Как составить матрицу теплица

From Wikipedia, the free encyclopedia

In linear algebra, a Toeplitz matrix or diagonal-constant matrix, named after Otto Toeplitz, is a matrix in which each descending diagonal from left to right is constant. For instance, the following matrix is a Toeplitz matrix:

Any matrix of the form

is a Toeplitz matrix. If the element of is denoted then we have

A Toeplitz matrix is not necessarily square.

Solving a Toeplitz system[edit]

A matrix equation of the form

is called a Toeplitz system if is a Toeplitz matrix. If is an Toeplitz matrix, then the system has at-most only
unique values, rather than . We might therefore expect that the solution of a Toeplitz system would be easier, and indeed that is the case.

Toeplitz systems can be solved by the Levinson algorithm in time.^[1] Variants of this algorithm have been shown to be weakly stable (i.e. they exhibit numerical stability for well-conditioned linear systems).^[2] The algorithm can also be used to find the determinant of a Toeplitz matrix in time.^[3]

A Toeplitz matrix can also be decomposed (i.e. factored) in time.^[4] The Bareiss algorithm for an LU decomposition is stable.^[5] An LU decomposition gives a quick method for solving a Toeplitz system, and also for computing the determinant.

Algorithms that are asymptotically faster than those of Bareiss and Levinson have been described in the literature, but their accuracy cannot be relied upon.^[6][7][8][9]

General properties[edit]

• For symmetric Toeplitz matrices, there is the decomposition

where is the lower triangular part of .

• The inverse of a nonsingular symmetric Toeplitz matrix has the representation

where and are lower triangular Toeplitz matrices and is a strictly lower triangular matrix.^[10]

Discrete convolution[edit]

The convolution operation can be constructed as a matrix multiplication, where one of the inputs is converted into a Toeplitz matrix. For example, the convolution of and can be formulated as:

This approach can be extended to compute autocorrelation, cross-correlation, moving average etc.

Infinite Toeplitz matrix[edit]

A bi-infinite Toeplitz matrix (i.e. entries indexed by ) induces a linear operator on .

The induced operator is bounded if and only if the coefficients of the Toeplitz matrix are the Fourier coefficients of some essentially bounded function .

In such cases, is called the symbol of the Toeplitz matrix , and the spectral norm of the Toeplitz matrix coincides with the norm of its symbol. The proof is easy to establish and can be found as Theorem 1.1 of:
^[11]

See also[edit]

• Circulant matrix, a square Toeplitz matrix with the additional property that
• Hankel matrix, an “upside down” (i.e., row-reversed) Toeplitz matrix
• Szegő limit theorems

Notes[edit]

References[edit]

• Bojanczyk, A. W.; Brent, R. P.; de Hoog, F. R.; Sweet, D. R. (1995), “On the stability of the Bareiss and related Toeplitz factorization algorithms”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 16: 40–57, arXiv:1004.5510, doi:10.1137/S0895479891221563, S2CID 367586
• Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2012), Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis, Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-8395-5
• Brent, R. P. (1999), “Stability of fast algorithms for structured linear systems”, in Kailath, T.; Sayed, A. H. (eds.), Fast Reliable Algorithms for Matrices with Structure, SIAM, pp. 103–116, doi:10.1137/1.9781611971354.ch4, hdl:1885/40746, S2CID 13905858
• Chan, R. H.-F.; Jin, X.-Q. (2007), An Introduction to Iterative Toeplitz Solvers, SIAM, doi:10.1137/1.9780898718850, ISBN 978-0-89871-636-8
• Chandrasekeran, S.; Gu, M.; Sun, X.; Xia, J.; Zhu, J. (2007), “A superfast algorithm for Toeplitz systems of linear equations”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 29 (4): 1247–1266, CiteSeerX 10.1.1.116.3297, doi:10.1137/040617200
• Chen, W. W.; Hurvich, C. M.; Lu, Y. (2006), “On the correlation matrix of the discrete Fourier transform and the fast solution of large Toeplitz systems for long-memory time series”, Journal of the American Statistical Association, 101 (474): 812–822, CiteSeerX 10.1.1.574.4394, doi:10.1198/016214505000001069, S2CID 55893963
• Krishna, H.; Wang, Y. (1993), “The Split Levinson Algorithm is weakly stable”, SIAM Journal on Numerical Analysis, 30 (5): 1498–1508, doi:10.1137/0730078
• Monahan, J. F. (2011), Numerical Methods of Statistics, Cambridge University Press
• Mukherjee, Bishwa Nath; Maiti, Sadhan Samar (1988), “On some properties of positive definite Toeplitz matrices and their possible applications” (PDF), Linear Algebra and Its Applications, 102: 211–240, doi:10.1016/0024-3795(88)90326-6
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (Third ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Stewart, M. (2003), “A superfast Toeplitz solver with improved numerical stability”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 25 (3): 669–693, doi:10.1137/S089547980241791X, S2CID 15717371
• Yang, Zai; Xie, Lihua; Stoica, Petre (2016), “Vandermonde decomposition of multilevel Toeplitz matrices with application to multidimensional super-resolution”, IEEE Transactions on Information Theory, 62 (6): 3685–3701, arXiv:1505.02510, doi:10.1109/TIT.2016.2553041, S2CID 6291005

Further reading[edit]

• Bareiss, E. H. (1969), “Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices”, Numerische Mathematik, 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269, S2CID 121761517
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), “Matrix rigidity of random Toeplitz matrices”, Computational Complexity, 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9, S2CID 253641700
• Golub G. H., van Loan C. F. (1996), Matrix Computations (Johns Hopkins University Press) §4.7—Toeplitz and Related Systems
• Gray R. M., Toeplitz and Circulant Matrices: A Review (Now Publishers) doi:10.1561/0100000006
• Noor, F.; Morgera, S. D. (1992), “Construction of a Hermitian Toeplitz matrix from an arbitrary set of eigenvalues”, IEEE Transactions on Signal Processing, 40 (8): 2093–2094, Bibcode:1992ITSP…40.2093N, doi:10.1109/78.149978
• Pan, Victor Y. (2001), Structured Matrices and Polynomials: unified superfast algorithms, Birkhäuser, ISBN 978-0817642402
• Ye, Ke; Lim, Lek-Heng (2016), “Every matrix is a product of Toeplitz matrices”, Foundations of Computational Mathematics, 16 (3): 577–598, arXiv:1307.5132, doi:10.1007/s10208-015-9254-z, S2CID 254166943

В линейной алгебре – матрица Теплица или матрица диагональных констант, названный в честь Отто Теплица, представляет собой матрицу , в которой каждая нисходящая диагональ слева направо постоянна. Например, следующая матрица является матрицей Теплица:

[a b c d e f a b c d g f a b c h g f a b i h g f a]. { displaystyle { begin {bmatrix} a b c d e \ f a b c d \ g f a b c \ h g f a b \ i h g f a end {bmatrix}}.}

Любая матрица A размера n × n вида

A = [a a – 1 a – 2 ⋯ ⋯ a – (n – 1) a 1 a 0 a – 1 ⋱ ⋮ a 2 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ a – 1 a – 2 ⋮ ⋱ a 1 a 0 a – 1 an – 1 ⋯ ⋯ a 2 a 1 a 0] { displaystyle A = { begin {bmatrix} a_ {0} a _ {- 1} a _ {- 2} cdots cdots a _ {- (n- 1)} \ a_ {1} a_ {0} a _ {- 1} ddots vdots \ a_ {2} a_ {1} ddots ddots ddots vdots \ vdots ddots ddots ddots a _ {- 1} a _ {- 2} \ vdots ddots a_ {1} a_ {0} a _ {- 1} \ a_ {n-1} cdots cdots a_ {2} a_ {1} a_ {0} end {bmatrix}}}

– это матрица Теплица . Если элемент i, j в A обозначен A i, j, то мы имеем

A i, j = A i + 1, j + 1 = a i – j. { displaystyle A_ {i, j} = A_ {i + 1, j + 1} = a_ {ij}. }

Матрица Теплица не обязательно является квадратной.

Содержание

• 1 Решение система Теплица
• 2 Общие свойства
• 3 Дискретная свертка
• 4 Бесконечная матрица Теплица
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература

Решение Теплица система

Матричное уравнение вида

A x = b { displaystyle Ax = b }

называется системой Теплица, если A является матрицей Теплица. Если A является матрицей Тёплица n × n { displaystyle n times n}, то система имеет только 2n − 1 степеней свободы, а не n. Поэтому можно ожидать, что решение системы Теплица будет проще, и это действительно так.

Системы Теплица могут быть решены с помощью алгоритма Левинсона за O (n) времени. Было показано, что варианты этого алгоритма слабо устойчивы (т.е. они демонстрируют числовую стабильность для хорошо обусловленных линейных систем). Алгоритм также может использоваться для нахождения детерминанта матрицы Теплица за O(n) time.

Матрица Теплица также может быть разложена (т.е. разложена на множители) в O (n) раз. Алгоритм Барейса для разложения LU является стабильным. LU-разложение дает быстрый метод решения системы Теплица, а также для вычисления определителя.

Алгоритмы, которые асимптотически быстрее алгоритмов Барейсса и Левинсона, описаны в литературе, но на их точность нельзя полагаться.

Общие свойства

• Матрица Теплица n × n может определяется как матрица A, где A i, j = c i − j, для констант c 1 − n … c n − 1. Набор матриц Теплица размера n × n является подпространством векторного пространства матриц размера n × n при матричном сложении и скалярном умножении.
• Две матрицы Теплица могут быть добавлено за O (n) раз (путем сохранения только одного значения каждой диагонали) и умножено на за O (n) раз.
• Матрицы Теплица – это персимметричный. Симметричные матрицы Теплица являются центросимметричными и бисимметричными.
• матрицами Теплица также тесно связаны с рядами Фурье, потому что оператор умножения на тригонометрический полином, сжатый до конечномерного пространства, может быть представлен такой матрицей. Точно так же можно представить линейную свертку как умножение на матрицу Теплица.
• Матрицы Теплица коммутируют асимптотически. Это означает, что они диагонализируют в одном и том же базисе, когда размерность строки и столбца стремится к бесконечности.
• A положительная полуопределенная матрица Теплица n × n A { displaystyle A}ранга r < n can be uniquely factored as

A = ∑ k = 1 rdiv (fk) v (fk) H = VDVH { displaystyle A = sum _ {k = 1} ^ {r} d_ {i} v (f_ {k}) v (f_ {k}) ^ { operatorname {H}} = VDV ^ { operatorname {H}}}

где D = diag (d 1,…, Dr) { displaystyle D = mathrm {diag} (d_ {1}, ldots, d_ {r})}– положительно определенная диагональная матрица размером r × r, V = [v (f 1),…, v (fr)] { displaystyle V = [v (f_ {1}), ldots, v (f_ {r})]}является n × r матрица Вандермонда такая, что столбцы имеют вид v (f) = [1, ei 2 π f,…, ei 2 π (n – 1) f] T { displaystyle v (f) = [1, e ^ {i2 pi f}, ldots, e ^ {i2 pi (n-1) f}] ^ { operatorname {T}}}. Здесь i = – 1 { displaystyle i = { sqrt {-1}}}и fk ∈ [0, 1] { displaystyle f_ {k} in [0, 1]}– нормализованная частота, а VH { displaystyle V ^ { operatorname {H}}}– эрмитовское транспонирование для В { Displaystyle V}. Если ранг r = n, то разложение Вандермонда не единственно.

• Для симметричных тёплицевых матриц существует разложение

1 a 0 A = GGT – (G – I) (G – I) T { displaystyle { frac {1} {a_ {0}}} A = GG ^ { operatorname {T}} – (GI) (GI) ^ { operatorname {T}}}

где G { displaystyle G}– это нижняя треугольная часть 1 a 0 A { displaystyle { frac {1} {a_ {0}}} A}.

• Инверсия неособой симметричной Матрица Теплица имеет представление

A – 1 = 1 α 0 (BBT – CCT) { displaystyle A ^ {- 1} = { frac {1} { alpha _ {0}}} (BB ^ { имя оператора {T}} -CC ^ { operatorname {T}})}

где B { displaystyle B}и C { displaystyle C}– это нижнетреугольные матрицы Теплица, а C { displaystyle C}– строго нижнетреугольная матрица.

Дискретная свертка

Операция свертка может быть построен как матричное умножение, где один из входов преобразуется в матрицу Теплица. Например, свертка h { displaystyle h}и x { displaystyle x}может быть сформулирована как:

y = h ∗ x = [h 1 0 ⋯ 0 0 h 2 h 1 ⋮ ⋮ h 3 h 2 ⋯ 0 0 h 3 ⋯ h 1 0 hm – 1 ⋮ ⋱ h 2 h 1 hmhm – 1 ⋮ h 2 0 hm hm – 2 ⋮ 0 0 ⋯ hm – 1 hm – 2 ⋮ ⋮ hmhm – 1 0 0 0 ⋯ hm] [x 1 x 2 x 3 ⋮ xn] { displaystyle y = h ast x = { begin {bmatrix} h_ {1} 0 cdots 0 0 \ h_ {2} h_ {1} vdots vdots \ h_ {3} h_ {2} cdots 0 0 \ vdots h_ {3} cdots h_ {1} 0 \ h_ {m-1} vdots ddots h_ {2} h_ {1} \ h_ {m} h_ {m-1} vdots h_ {2} \ 0 h_ {m} ddots h_ {m-2} vdots \ 0 0 cdots h_ {m-1} h_ {m-2} \ vdots vdots h_ {m} h_ {m-1} \ 0 0 0 cdots h_ { m} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {1} \ x_ {2} \ x_ {3} \ vdots \ x_ {n} end {bmatrix}}}

y T = [h 1 h 2 h 3 ⋯ hm – 1 hm] [x 1 x 2 x 3 ⋯ xn 0 0 0 ⋯ 0 0 x 1 x 2 x 3 ⋯ xn 0 0 ⋯ 0 0 0 x 1 x 2 x 3… xn 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 x 1 ⋯ xn – 2 xn – 1 xn 0 0 ⋯ 0 0 0 x 1 xn – 2 xn – 1 xn]. { displaystyle y ^ {T} = { begin {bmatrix} h_ {1} h_ {2} h_ {3} cdots h_ {m-1} h_ {m} end {bmatrix}} { begin { bmatrix} x_ {1} x_ {2} x_ {3} cdots x_ {n} 0 0 0 cdots 0 \ 0 x_ {1} x_ {2} x_ {3} cdots x_ {n} 0 0 cdots 0 \ 0 0 x_ {1} x_ {2} x_ {3} ldots x_ {n} 0 cdots 0 \ vdots vdots vdots vdots vdots vdots vdots \ 0 cdots 0 0 x_ {1} cdots x_ {n-2} x_ {n-1} x_ {n} 0 \ 0 cdots 0 0 0 x_ {1} cdots x_ {n-2} x_ {n-1} x_ {n} end {bmatrix}}.}

Этот подход можно расширить для вычисления автокорреляции, взаимной корреляции, скользящего среднего и т. д.

Бесконечная матрица Теплица

Двубесконечная матрица Теплица (т. Е. Элементы, индексированные Z × Z { displaystyle mathbb {Z} times mathbb {Z}}) A { displaystyle A}индуцирует линейный оператор на ℓ 2 { displaystyle ell ^ {2}}.

A = [⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ a 0 a – 1 a – 2 a – 3 ⋯ ⋯ a 1 a 0 a – 1 a – 2 ⋯ ⋯ a 2 a 1 a 0 a – 1 ⋯ ⋯ a 3 a 2 a 1 a 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮]. { Displaystyle A = { begin {bmatrix} vdots vdots vdots vdots \ cdots a_ {0} a _ {- 1} a _ {- 2} a _ {- 3} cdots \ cdots a_ { 1} a_ {0} a _ {- 1} a _ {- 2} cdots \ cdots a_ {2} a_ {1} a_ {0} a _ {- 1} cdots \ cdots a_ {3 } a_ {2} a_ {1} a_ {0} cdots \ vdots vdots vdots vdots end {bmatrix}}.}

Индуцированный оператор ограничен тогда и только тогда, когда коэффициенты матрицы Теплица A { displaystyle A}являются коэффициентами Фурье некоторой существенно ограниченной функции f { displaystyle f}.

В таких случаях f { displaystyle f}называется символом матрицы Теплица A { displaystyle A}, а спектральная норма матрицы Теплица A { displaystyle A}совпадает с L ∞ { displaystyle L ^ { infty}}норма его символа. Доказательство легко установить, и его можно найти в виде теоремы 1.1 в ссылке на книгу Google:

См. Также

• Циркулянтная матрица, матрица Теплица с дополнительным свойством, которое ai = ai + n { displaystyle a_ {i} = a_ {i + n}}
• Матрица Ганкеля, «перевернутая» (т.е. перевернутая по строкам) матрица Теплица

Примечания

Список литературы

• Боянчик А.В.; Brent, R.P.; de Hoog, F. R.; Свит, Д.Р. (1995), «Об устойчивости алгоритмов факторизации Барейса и связанных с ним Теплица», Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям, 16: 40–57, arXiv : 1004.5510, doi : 10.1137 / S0895479891221563
• Böttcher, Albrecht; Грудский, Сергей М. (2012), Матрицы Теплица, асимптотическая линейная алгебра и функциональный анализ, Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-8395-5
• Brent, RP (1999), «Устойчивость быстрых алгоритмов для структурированных линейных систем», в Kailath, T.; Сайед А. Х. (ред.), Быстрые надежные алгоритмы для матриц со структурой, SIAM, стр. 103–116
• Чан, Р. Х.-Ф.; Джин, X.-Q. (2007), Введение в итерационные решатели Теплица, SIAM
• Chandrasekeran, S.; Жвачка.; Солнце, X.; Xia, J.; Чжу, Дж. (2007), «Сверхбыстрый алгоритм для систем линейных уравнений Теплица», Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям, 29(4): 1247–1266, CiteSeerX 10.1.1.116.3297, doi : 10.1137 / 040617200
• Чен, WW; Hurvich, C.M.; Лу, Ю. (2006), «О корреляционной матрице дискретного преобразования Фурье и быстром решении больших систем Теплица для временных рядов с длинной памятью», Журнал Американской статистической ассоциации, 101 (474): 812–822, CiteSeerX 10.1.1.574.4394, doi : 10.1198 / 016214505000001069
• Кришна, ЧАС.; Ван, Ю. (1993), «Алгоритм разделения Левинсона слабо устойчив», Журнал SIAM по численному анализу, 30(5): 1498–1508, doi : 10.1137 / 0730078
• Монахан, Дж. Ф. (2011), Численные методы статистики, Cambridge University Press
• Мукерджи, Бишва Нат; Маити, Садхан Самар (1988), «О некоторых свойствах положительно определенных матриц Теплица и их возможных приложениях» (PDF), Линейная алгебра и ее приложения, 102 : 211–240, doi : 10.1016 / 0024-3795 (88) 90326-6
• Нажмите, WH; Теукольский, С. А.; Vetterling, W. T.; Фланнери, Б.П. (2007), Численные рецепты: Искусство научных вычислений (Третье изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0 -521-88068-8
• Стюарт, М. (2003), «Сверхбыстрый решатель Теплица с улучшенной числовой стабильностью», Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям, 25(3) : 669–693, doi : 10.1137 / S089547980241791X
• Ян, Зай; Се, Лихуа; Стойка, Петре (2016), «Разложение Вандермонда многоуровневых матриц Теплица с применением к многомерному сверхразрешению», Транзакции IEEE по теории информации, 62(6): 3685–3701, arXiv : 1505.02510, doi : 10.1109 / TIT.2016.2553041

Дополнительная литература

• Bareiss, EH (1969), «Численное решение линейных уравнений с Теплицем и вектором Теплица. матрицы », Numerische Mathematik, 13(5): 404–424, doi : 10.1007 / BF02163269
• Goldreich, O. ; Tal, A. (2018), «Матричная жесткость случайных тёплицевых матриц», Computational Complexity, 27 (2): 305–350, doi : 10.1007 / s00037- 016-0144-9
• Голуб Г.Х., van Loan CF (1996), Matrix Computations (Johns Hopkins University Press ) §4.7 – Теплиц и родственные системы
• Gray RM, Теплица и циркулянтные матрицы: обзор (Now Publishers )
• Noor, F.; Morgera, SD (1992), «Построение эрмитовой матрицы Теплица из произвольный набор собственных значений “, Транзакции IEEE по обработке сигналов, 40(8): 2093–2094, Bibcode : 1992ITSP… 40.2093N, doi : 10.1109 / 78.149978
• Пан, Виктор Ю. (2001), Структурированные матрицы и полиномы: унифицированные сверхбыстрые алгоритмы, Биркхойзер, ISBN 978-0817642402
• Йе, Кэ; Лим, Лек-Хенг (2016), «Каждая матрица является продуктом матриц Теплица», Основы вычислительной математики, 16(3): 577–598, arXiv : 1307.5132, doi :10.1007/s10208-015-9254-z

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 27 декабря 2021 года; проверки требует 1 правка.

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

,

то есть выполняется соотношение:

.

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Пример

Матрица 4×5:

Свойства[править | править код]

Две матрицы Тёплица можно сложить за операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за операций.

Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида , где — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время ^[1][2].

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также[править | править код]

• Циркулянт
• Ганкелева матрица

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения / ответственный редактор чл.-корр. СССР В. В. Воеводин. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 184 с. — 150 экз. Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine

• Robert M. Gray. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review. — California, USA: nowpublishers.com, 2000. — 98 с.

• Бабенко, К. И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, № 1(247). — С. 171—178.

• Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. — М.: Наука, 1974. — 263 с.

• Пустыльников Л. Д. Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, № 4(238). — С. 53—84.

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

[math]displaystyle{ A=begin{bmatrix}
a_0 & a_{-1} & a_{-2} & ldots & ldots &a_{-n+1} \
a_1 & a_0 & a_{-1} & ddots & & vdots \
a_2 & a_1 & ddots & ddots & ddots& vdots \
vdots & ddots & ddots & ddots & a_{-1} & a_{-2}\
vdots & & ddots & a_1 & a_0 & a_{-1} \
a_{n-1} & ldots & ldots & a_2 & a_1 & a_0
end{bmatrix} }[/math],

то есть выполняется соотношение:

[math]displaystyle{ a_{i,,j}=a_{i-1,,j-1} }[/math].

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Пример

Матрица 4×5:

[math]displaystyle{ M =
begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 & 7 & 8 \
3 & 4 & 5 & 6 & 7 \
2 & 3 & 4 & 5 & 6 \
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
end{pmatrix}
}[/math]

Свойства

Две матрицы Тёплица можно сложить за [math]displaystyle{ O(n) }[/math] операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за [math]displaystyle{ O(nlog n) }[/math] операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за [math]displaystyle{ O(n^2) }[/math] операций.

Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида [math]displaystyle{ Ax=b }[/math], где [math]displaystyle{ A }[/math] — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время [math]displaystyle{ O(n^2) }[/math]^[1][2].

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

• Циркулянт
• Ганкелева матрица

Примечания

Ссылки

• Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения / ответственный редактор чл.-корр. СССР В. В. Воеводин. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 184 с. — 150 экз. Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine

• Robert M. Gray. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review. — California, USA: nowpublishers.com, 2000. — 98 с.

• Бабенко, К. И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, № 1(247). — С. 171—178.

• Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. — М.: Наука, 1974. — 263 с.

• Пустыльников Л. Д. Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, № 4(238). — С. 53—84.