Как составить матрицу в матлаб

Creating Matrices

MATLAB has many functions that create different kinds of matrices. For example, you can create a symmetric matrix with entries based on Pascal’s triangle:

Or, you can create an unsymmetric magic square matrix, which has equal row and column sums:

Another example is a 3-by-2 rectangular matrix of random integers. In this case the first
input to randi describes the range of possible values for the
integers, and the second two inputs describe the number of rows and columns.

A column vector is an m-by-1 matrix, a row vector is a 1-by-n matrix, and a scalar is a 1-by-1 matrix. To define a matrix manually, use square brackets [ ] to denote the beginning and end of the array. Within the brackets, use a semicolon ; to denote the end of a row. In the case of a scalar (1-by-1 matrix), the brackets are not required. For example, these statements produce a column vector, a row vector, and a scalar:

u = [3; 1; 4]

v = [2 0 -1]

s = 7

u =
       3
       1
       4

v =
       2     0    -1

s =
       7

For more information about creating and working with matrices, see Creating, Concatenating, and Expanding Matrices.

Adding and Subtracting Matrices

Addition and subtraction of matrices and arrays is performed element-by-element, or element-wise. For example, adding A to B and then subtracting A from the result recovers B:

Addition and subtraction require both matrices to have compatible dimensions. If the dimensions are incompatible, an error results:

Error using  + 
Matrix dimensions must agree.

For more information, see Array vs. Matrix Operations.

Vector Products and Transpose

A row vector and a column vector of the same length can be multiplied in either order. The result is either a scalar, called the inner product, or a matrix, called the outer product:

u = [3; 1; 4];
v = [2 0 -1];
x = v*u

For real matrices, the transpose operation interchanges a_ij and a_ji. For complex matrices, another consideration is whether to take the complex conjugate of complex entries in the array to form the complex conjugate transpose. MATLAB uses the apostrophe operator (') to perform a complex conjugate transpose, and the dot-apostrophe operator (.') to transpose without conjugation. For matrices containing all real elements, the two operators return the same result.

The example matrix A = pascal(3) is symmetric, so A' is equal to A. However, B = magic(3) is not symmetric, so B' has the elements reflected along the main diagonal:

For vectors, transposition turns a row vector into a column vector (and vice-versa):

If x and y are both real column vectors, then the product x*y is not defined, but the two products

and

produce the same scalar result. This quantity is used so frequently, it has three different names: inner product, scalar product, or dot product. There is even a dedicated function for dot products named dot.

For a complex vector or matrix, z, the quantity z' not only transposes the vector or matrix, but also converts each complex element to its complex conjugate. That is, the sign of the imaginary part of each complex element changes. For example, consider the complex matrix

z = [1+2i 7-3i 3+4i; 6-2i 9i 4+7i]

z =

   1.0000 + 2.0000i   7.0000 - 3.0000i   3.0000 + 4.0000i
   6.0000 - 2.0000i   0.0000 + 9.0000i   4.0000 + 7.0000i

The complex conjugate transpose of z is:

ans =

   1.0000 - 2.0000i   6.0000 + 2.0000i
   7.0000 + 3.0000i   0.0000 - 9.0000i
   3.0000 - 4.0000i   4.0000 - 7.0000i

The unconjugated complex transpose, where the complex part of each element retains its sign, is denoted by z.':

ans =

   1.0000 + 2.0000i   6.0000 - 2.0000i
   7.0000 - 3.0000i   0.0000 + 9.0000i
   3.0000 + 4.0000i   4.0000 + 7.0000i

For complex vectors, the two scalar products x'*y and y'*x are complex conjugates of each other, and the scalar product x'*x of a complex vector with itself is real.

Multiplying Matrices

Multiplication of matrices is defined in a way that reflects composition of the underlying linear transformations and allows compact representation of systems of simultaneous linear equations. The matrix product C = AB is defined when the column dimension of A is equal to the row dimension of B, or when one of them is a scalar. If A is m-by-p and B is p-by-n, their product C is m-by-n. The product can actually be defined using MATLAB for loops, colon notation, and vector dot products:

A = pascal(3);
B = magic(3);
m = 3; 
n = 3;
for i = 1:m
     for j = 1:n
        C(i,j) = A(i,:)*B(:,j);
     end
end

MATLAB uses an asterisk to denote matrix multiplication, as in C = A*B. Matrix multiplication is not commutative; that is, A*B is typically not equal to B*A:

X =
      15    15    15
      26    38    26
      41    70    39

Y =
      15    28    47
      15    34    60
      15    28    43

A matrix can be multiplied on the right by a column vector and on the left by a row vector:

Rectangular matrix multiplications must satisfy the dimension compatibility conditions. Since A is 3-by-3 and C is 3-by-2, you can multiply them to get a 3-by-2 result (the common inner dimension cancels):

However, the multiplication does not work in the reverse order:

Error using  * 
Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns 
in the first matrix matches the number of rows in the second matrix. To perform 
elementwise multiplication, use '.*'.

You can multiply anything with a scalar:

When you multiply an array by a scalar, the scalar implicitly expands to be the same size as the other input. This is often referred to as scalar expansion.

Identity Matrix

Generally accepted mathematical notation uses the capital letter I to denote identity matrices, matrices of various sizes with ones on the main diagonal and zeros elsewhere. These matrices have the property that AI = A and IA = A whenever the dimensions are compatible.

The original version of MATLAB could not use I for this purpose because it did not distinguish between uppercase and lowercase letters and i already served as a subscript and as the complex unit. So an English language pun was introduced. The function

returns an m-by-n rectangular identity matrix and eye(n) returns an n-by-n square identity matrix.

Matrix Inverse

If a matrix A is square and nonsingular (nonzero determinant), then
the equations AX =
I and XA =
I have the same solution X. This solution is called
the inverse of A and is denoted A^-1. The inv function and the expression
A^-1 both compute the matrix inverse.

X =

    3.0000   -3.0000    1.0000
   -3.0000    5.0000   -2.0000
    1.0000   -2.0000    1.0000

ans =

    1.0000         0         0
    0.0000    1.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000    1.0000

The determinant calculated by det is a measure of the scaling factor of the linear transformation
described by the matrix. When the determinant is exactly zero, the matrix is
singular and no inverse exists.

Some matrices are nearly singular, and despite the fact that an
inverse matrix exists, the calculation is susceptible to numerical errors. The cond function computes the condition number for
inversion, which gives an indication of the accuracy of the results from
matrix inversion. The condition number ranges from 1 for a
numerically stable matrix to Inf for a singular matrix.

It is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of
inv arises when solving the system of linear equations Ax =
b. The best way to solve this equation, from the standpoint of both
execution time and numerical accuracy, is to use the matrix backslash operator
x = Ab. See mldivide for more information.

Kronecker Tensor Product

The Kronecker product, kron(X,Y), of two matrices is the larger matrix formed from all possible products of the elements of X with those of Y. If X is m-by-n and Y is p-by-q, then kron(X,Y) is mp-by-nq. The elements are arranged such that each element of X is multiplied by the entire matrix Y:

[X(1,1)*Y  X(1,2)*Y  . . .  X(1,n)*Y
                     . . .
 X(m,1)*Y  X(m,2)*Y  . . .  X(m,n)*Y]

The Kronecker product is often used with matrices of zeros and ones to build up repeated copies of small matrices. For example, if X is the 2-by-2 matrix

and I = eye(2,2) is the 2-by-2 identity matrix, then:

ans =

     1     0     2     0
     0     1     0     2
     3     0     4     0
     0     3     0     4

and

ans =

     1     2     0     0
     3     4     0     0
     0     0     1     2
     0     0     3     4

Aside from kron, some other functions that are useful to replicate arrays are repmat, repelem, and blkdiag.

Vector and Matrix Norms

The p-norm of a vector x,

is computed by norm(x,p). This operation is defined for any value of p > 1, but the most common values of p are 1, 2, and ∞. The default value is p = 2, which corresponds to Euclidean length or vector magnitude:

v = [2 0 -1];
[norm(v,1) norm(v) norm(v,inf)]

ans =

    3.0000    2.2361    2.0000

The p-norm of a matrix A,

can be computed for p = 1, 2, and ∞ by norm(A,p). Again, the default value is p = 2:

A = pascal(3);
[norm(A,1) norm(A) norm(A,inf)]

ans =

   10.0000    7.8730   10.0000

In cases where you want to calculate the norm of each row or column of a matrix, you can use vecnorm:

ans =

    1.7321    3.7417    6.7823

Using Multithreaded Computation with Linear Algebra Functions

MATLAB supports multithreaded computation for a number of linear algebra and element-wise numerical functions. These functions automatically execute on multiple threads. For a function or expression to execute faster on multiple CPUs, a number of conditions must be true:

The matrix multiply (X*Y) and matrix power (X^p) operators show significant increase in speed on large double-precision arrays (on order of 10,000 elements). The matrix analysis functions det, rcond, hess, and expm also show significant increase in speed on large double-precision arrays.

Создание матриц

MATLAB имеет много функций, которые создают различные виды матриц. Например, можно создать симметрическую матрицу с записями на основе треугольника Паскаля:

Или, можно создать несимметричную матрицу магического квадрата, которая имеет равные суммы строки и столбца:

Другим примером является 3 2 прямоугольная матрица случайных целых чисел. В этом случае первый вход к randi описывает область значений возможных значений для целых чисел, и вторые два входных параметров описывают количество строк и столбцов.

Вектор-столбцом является m-by-1 матрица, вектор-строка является 1 n матрицей, и скаляр является матрицей 1 на 1. Чтобы задать матрицу вручную, используйте квадратные скобки [ ] обозначить начало и конец массива. В скобках используйте точку с запятой ; обозначить конец строки. В случае скаляра (матрица 1 на 1), не требуются скобки. Например, эти операторы производят вектор-столбец, вектор-строку и скаляр:

u = [3; 1; 4]

v = [2 0 -1]

s = 7

u =
       3
       1
       4

v =
       2     0    -1

s =
       7

Для получения дополнительной информации о создании и работе с матрицами, смотрите Создание, конкатенацию и расширение матрицы.

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц и массивов выполняются поэлементно или поэлементные. Например, добавление A к B и затем вычитание A от результата восстанавливает B:

Сложение и вычитание требуют, чтобы обе матрицы имели совместимые размерности. Если размерности несовместимы, ошибка заканчивается:

Error using  + 
Matrix dimensions must agree.

Для получения дополнительной информации см. Массив по сравнению Матричные операции.

Векторные произведения и транспонирование

Вектор-строка и вектор-столбец той же длины могут быть умножены в любом порядке. Результатом является или скаляр, названный скалярным произведением, или матрица, названная векторным произведением:

u = [3; 1; 4];
v = [2 0 -1];
x = v*u

Для действительных матриц транспонировать операция обменивается a _{i j} и a _{j i}. Для комплексных матриц другой фактор состоит в том, взять ли сопряженное комплексное число комплексных записей в массиве, чтобы сформировать комплексное сопряженное транспонирование. MATLAB использует оператор апострофа (') выполнять комплексное сопряженное транспонирование и оператор точечного апострофа (.') транспонировать без спряжения. Для матриц, содержащих все действительные элементы, эти два оператора возвращают тот же результат.

Матрица в качестве примера A = pascal(3) симметрично, таким образом, A' равно A. Однако B = magic(3) не симметрично, таким образом, B' отразили элементы по основной диагонали:

Для векторов перемещение превращает вектор-строку в вектор-столбец (и наоборот):

Если x и y оба действительные вектор-столбцы, затем продукт x*y не задан, но эти два продукта

и

приведите к тому же скалярному результату. Это количество используется так часто, оно имеет три различных имени: скалярное произведение, скалярное произведение или скалярное произведение. Существует даже специализированная функция для названных скалярных произведений dot.

Для комплексного вектора или матрицы, z, количество z' не только транспонирует вектор или матрицу, но также и преобразует каждый комплексный элемент в его сопряженное комплексное число. Таким образом, знак мнимой части каждого комплексного элемента изменения. Например, рассмотрите комплексную матрицу

z = [1+2i 7-3i 3+4i; 6-2i 9i 4+7i]

z =

   1.0000 + 2.0000i   7.0000 - 3.0000i   3.0000 + 4.0000i
   6.0000 - 2.0000i   0.0000 + 9.0000i   4.0000 + 7.0000i

Комплексное сопряженное транспонирование z :

ans =

   1.0000 - 2.0000i   6.0000 + 2.0000i
   7.0000 + 3.0000i   0.0000 - 9.0000i
   3.0000 - 4.0000i   4.0000 - 7.0000i

Неспрягаемый комплекс транспонирует, где комплексная часть каждого элемента сохраняет свой знак, обозначается z.':

ans =

   1.0000 + 2.0000i   6.0000 - 2.0000i
   7.0000 - 3.0000i   0.0000 + 9.0000i
   3.0000 + 4.0000i   4.0000 + 7.0000i

Для комплексных векторов, эти два скалярных произведения x'*y и y'*x сопряженные комплексные числа друг друга и скалярное произведение x'*x из комплексного вектора с собой действительно.

Умножение матриц

Умножение матриц задано способом, который отражает состав базовых линейных преобразований и позволяет компактное представление систем одновременных линейных уравнений. Матричное произведение C = AB задан, когда размерность столбца A равна размерности строки B, или когда один из них является скаляром. Если A является m-by-p, и B является p-by-n, их продукт, C является m-by-n. Продукт может на самом деле быть задан с помощью MATLAB for циклы, colon обозначение и векторные скалярные произведения:

A = pascal(3);
B = magic(3);
m = 3; 
n = 3;
for i = 1:m
     for j = 1:n
        C(i,j) = A(i,:)*B(:,j);
     end
end

MATLAB использует звездочку, чтобы обозначить умножение матриц, как в C = A*B. Умножение матриц не является коммутативным; то есть, A*B обычно не равно B*A:

X =
      15    15    15
      26    38    26
      41    70    39

Y =
      15    28    47
      15    34    60
      15    28    43

Матрица A может быть умножена справа вектор-столбцом и слева вектором-строкой:

Прямоугольные умножения матриц должны удовлетворить условиям совместимости размерности. Начиная с A имеет размер 3х3 и C 3 2, можно умножить их, чтобы добраться 3 2 результат (общие внутренние отмены размерности):

Однако умножение не работает в обратном порядке:

Error using  * 
Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns 
in the first matrix matches the number of rows in the second matrix. To perform 
elementwise multiplication, use '.*'.

Можно умножить что-либо со скаляром:

Когда вы умножаете массив на скаляр, скаляр неявно расширяется, чтобы быть одного размера с другим входом. Это часто упоминается как скалярное расширение.

Единичная матрица

Общепринятое математическое обозначение использует прописную букву I, чтобы обозначить единичные матрицы, матрицы различных размеров с единицами на основной диагонали и нулях в другом месте. Эти матрицы имеют свойство, что A I = A и I A = A каждый раз, когда размерности совместимы.

Исходная версия MATLAB не могла использовать I с этой целью, потому что это не различало прописные и строчные буквы, и i уже служил индексом и как комплексной единицей. Таким образом, английская игра слов языка была введена. Функция

возвращает m-by-n прямоугольная единичная матрица и eye(n) возвращает n-by-n квадратная единичная матрица.

Обращение матриц

Если матричный A является квадратным и несингулярным (ненулевой определитель), затем уравнения A X = I и X A =, I имеет то же решение X. Это решение называется инверсией A и обозначается A^-1. inv функционируйте и выражение A^-1 оба вычисляют обратную матрицу.

X =

    3.0000   -3.0000    1.0000
   -3.0000    5.0000   -2.0000
    1.0000   -2.0000    1.0000

ans =

    1.0000         0         0
    0.0000    1.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000    1.0000

Определитель, вычисленный det мера масштабного коэффициента линейного преобразования, описанного матрицей. Когда определитель ниже нуля, матрица сингулярна, и никакая инверсия не существует.

Некоторые матрицы почти сингулярны, и несмотря на то, что обратная матрица существует, вычисление восприимчиво к числовым ошибкам. cond функция вычисляет число обусловленности для инверсии, которая дает индикацию относительно точности результатов матричной инверсии. Число обусловленности лежит в диапазоне от 1 для численно устойчивой матрицы к Inf для сингулярной матрицы.

Редко необходимо сформировать явную инверсию матрицы. Частое неправильное употребление inv возникает при решении системы линейных уравнений A x = b. Лучший способ решить это уравнение, с точки зрения и времени выполнения и числовой точности, состоит в том, чтобы использовать матричный оператор обратной косой черты x = Ab. Смотрите mldivide для получения дополнительной информации.

Продукт тензора Кронекера

Кронекеров продукт, kron(X,Y), из двух матриц большая матрица, сформированная из всех возможных продуктов элементов X с теми из Y. Если X m-by-n и Y p-by-q, затем kron(X,Y) mp-by-nq. Элементы располагаются таким образом что каждый элемент X умножается на целый матричный Y:

[X(1,1)*Y  X(1,2)*Y  . . .  X(1,n)*Y
                     . . .
 X(m,1)*Y  X(m,2)*Y  . . .  X(m,n)*Y]

Кронекеров продукт часто используется с матрицами нулей и единиц, чтобы создать повторенные копии маленьких матриц. Например, если X матрица 2 на 2

и I = eye(2,2) единичная матрица 2 на 2, затем:

ans =

     1     0     2     0
     0     1     0     2
     3     0     4     0
     0     3     0     4

и

ans =

     1     2     0     0
     3     4     0     0
     0     0     1     2
     0     0     3     4

Кроме kron, некоторые другие функции, которые полезны, чтобы реплицировать массивы, repmat, repelem, и blkdiag.

Векторные и матричные нормы

p – норма векторного x,

вычисляется norm(x,p). Эта операция задана для любого значения p> 1, но наиболее распространенные значения p равняются 1, 2, и ∞. Значением по умолчанию является p = 2, который соответствует Евклидовой длине или векторной величине:

v = [2 0 -1];
[norm(v,1) norm(v) norm(v,inf)]

ans =

    3.0000    2.2361    2.0000

p – норма матричного A,

может быть вычислен для p = 1, 2, и ∞ norm(A,p). Снова, значением по умолчанию является p = 2:

A = pascal(3);
[norm(A,1) norm(A) norm(A,inf)]

ans =

   10.0000    7.8730   10.0000

В случаях, где вы хотите вычислить норму каждой строки или столбца матрицы, можно использовать vecnorm:

ans =

    1.7321    3.7417    6.7823

Используя многопоточное вычисление с функциями линейной алгебры

MATLAB поддерживает многопоточный расчет во многой линейной алгебре и поэлементных числовых функциях. Эти функции автоматически выполняются на нескольких потоках. Для функции или выражения, чтобы выполниться быстрее на нескольких центральных процессорах, много условий должны быть верными:

Матрица умножает (X*Y) и матричная степень (X^p) операторы показывают значительное увеличение скорости на больших массивах с двойной точностью (порядка 10 000 элементов). Функции анализа матрицы det, rcond, hess, и expm также покажите значительное увеличение скорости на больших массивах с двойной точностью.