Как составить многоугольник распределения вероятностей - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

2.2.6. Многоугольник распределения

Итак, пусть дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

Многоугольником распределения вероятностей данной величины называют ломаную, звенья которой соединяют соседние точки . Иногда вместо «многоугольника»

используют термин полигон, но этот вариант больше в ходу в математической статистике.

Всё очень просто:

Задача 91
Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины

Решение: чертим прямоугольную систему координат, в которой по оси абсцисс отсчитываются – значения случайной величины, а по оси ординат – их вероятности. Отмечаем на чертеже

точки , в данном случае их

пять, и соединяем «соседей» отрезками:

При выполнении чертежа от руки по возможности придерживайтесь следующего масштаба:
горизонтальная ось: 1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см);
вертикальная ось: 0,1 = 2 тетрадные клетки.

Если значения достаточно велики, то ось абсцисс можно «разорвать» (не чертить

её кусочек после единицы), и справа продолжить нумерацию, например, с 20.

Теперь обратите внимание на следующую важную вещь: помимо того, что дискретную случайную величину можно изобразить с

помощью многоугольника – её ведь можно ещё и ЗАДАТЬ этим способом. До сих пор мы делали это с помощью таблички, но никто же не мешает

использовать и чертёж!

Задача 92
Дискретная случайная величина задана своим многоугольником

Записать закон распределения данной случайной величины, выполнить проверку.

Это задание для самостоятельного решения. И тут мы, кстати, видим изъян графического способа: по чертежу не всегда понятны точные

значения случайной величины и их вероятности.

На практике задачи с многоугольником встречаются довольно часто, но гораздо бОльшее распространение получила:

2.2.7. Функция распределения случайной величины

2.2.5. Формула для вычисления дисперсии

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Закон распределения дискретной случайной величины

В задачах 12.1-12.10 требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически. С этой целью на прямоугольной системе координат строят точки M1(x1; p1), M2(x2; p2), …, Mn(xn; pn), где xi – возможные значения случайной величины, а pi – соответствующие вероятности, и соединяют их последовательно отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Построим многоугольник распределения дискретной случайной величины X, заданной следующим законом распределения:

X	1	3	5	6
p	0,2	0,4	0,1	0,3

Математическое ожидание:

Дисперсия: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник

 Многоугольник распределения

Итак, пусть дискретная случайная величина X задана своим законом распределения:

Многоугольником распределения вероятностей данной величины называют

ломаную, звенья которой соединяют соседние точки (xi ; pi ) . Иногда вместо

«многоугольника» используют термин полигон, но этот вариант больше в ходу в математической статистике.

Всё очень просто:

Задача 91

Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины X

Решение: чертим прямоугольную систему координат, в которой по оси абсцисс отсчитываются xi – значения случайной величины, а по оси ординат pi – их вероятности.

Отмечаем на чертеже точки (xi ; pi ) , в данном случае их пять, и соединяем «соседей» отрезками:

При выполнении чертежа от руки по возможности придерживайтесь следующего масштаба:

горизонтальная ось: 1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см); вертикальная ось: 0,1 = 2 тетрадные клетки.

Если значения xi достаточно велики, то ось абсцисс можно «разорвать» (не чертить её кусочек после единицы), и справа продолжить нумерацию, например, с 20.

Теперь обратите внимание на следующую важную вещь: помимо того, что дискретную случайную величину можно изобразить с помощью многоугольника – её ведь можно ещё и ЗАДАТЬ этим способом. До сих пор мы делали это с помощью таблички, но никто же не мешает использовать и чертёж!

Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/	105

Задача 92

Дискретная случайная величина X задана своим многоугольником

Записать закон распределения данной случайной величины, выполнить проверку.

Это задание для самостоятельного решения. И тут мы, кстати, видим изъян графического способа: по чертежу не всегда понятны точные значения случайной величины и их вероятности.

Функция распределения случайной величины Стандартное обозначение: F (x)

Идля дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

…, где P( X x) – вероятность того, что случайная величина X примет значение,

МЕНЬШЕЕ, чем переменная x , которая «пробегает» все действительные значения от

«минус» до «плюс» бесконечности.

Построим функцию распределения для нашей подопытной игры:

Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение F ( 20) ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие:

F ( 20) P( X 20) 0 . Совершенно понятно, что F (x) 0 и для всех «икс» из интервала ( ; 5) , а также для x 5 . Почему? По определению функции распределения:

F ( 5) P( X 5) 0 – вы согласны? Функция F (x) возвращает вероятность того, что в точке x 5 выигрыш будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

Таким образом: F (x) 0 , если x 5 .

Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/	106

На интервале 5 x 2,5 функция F (x) P( X x) 0,5 , поскольку левее любой точки этого интервала есть только одно значение x1 5 случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того, сюда же следует отнести точку x 2,5 , так как:

F (2,5) P( X 2,5) 0,5 – очень хорошо осознайте этот момент!

Таким образом, если 5 x 2,5 , то F (x) 0,5

Далее рассматриваем промежуток 2,5 x 10 . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша x1 5, x2 2,5, поэтому:

F (x) P( X x) 0,5 0,4 0,9

И, наконец, если x 10 , то F (x) P( X x) 0,5 0,4 0,1 1 , ибо все значения x1 5, x2 2,5, x3 10 случайной величины X лежат СТРОГО левее любой точки интервала x (10; )

Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция F (x) характеризует вероятность, то она может принимать значения лишь из промежутка 0 F (x) 1 – и никакие другие!

Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать фигурные скобки:

0,	если	x 5
	если	5 x 2,5
0,5,
F (x)
0,9,	если	2,5 x 10
1,	если	x 10

График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:

Причём, функция F (x) или её график однозначно определяют сам закон распределения: в точке x1 5 высота «ступеньки» (разрыв) составляет p1 0,5 (следим

по графику), в точке x2 2,5 «скачок» разрыва равен	p2 0,4	и, наконец, в точке x3 10
он равен в точности p3 0,1.

Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/	107

Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время, и НСВ – тоже.

Освоим технические моменты решения типовой задачи:

Задача 93

Построить функцию распределения случайной величины X

Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:

P( 1 X 5),	P(4 X 10),	P( X 2),
P(3 X 7),	P(X 7),	P	X M (X )	(X ) …, пожалуй, достаточно.

Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения
функции распределения:
Сначала берём первое значение x1 2 и составляем нестрогое неравенство
x 2 . На этом промежутке F (x) 0 .
На промежутке 2 x 0 (между x1 и x2 ):
На промежутке 0 x 3 (между x2	и x3 ):
На промежутке 3 x 7 (между x3	и x4 ):

И, наконец, если x строго больше самого последнего значения x4 7 , то:

Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию F (x) иногда называют интегральной функцией

распределения. В практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку:

Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/	108

Источник

Закон распределения дискретной случайной величины можно представить в графическом виде с помощью декартова системой координат, то есть если по оси OY отложить вероятности этих значений p_i, a по оси OX значения случайной величины x_i и соединив точки между собой получим многоугольником распределения.

Многоугольник распределения является одной из форм закона распределения случайной величины.

Пример

Закон распределения случайной дискретной величины X задан в виде таблицы.

x	0	1	2	3	4	5
p	0.05	0.2	0.3	0.2	0.15	0.1

Требуется построить многоугольник распределения дискретной случайной величины.

Решение

Для построения многоугольник распределения дискретной СВ воспользуемся прямоугольной (декартовой) системой координат и на графике отметим точки в соответствии с таблицей выше:

(0; 0,05), (1; 0,2), (2; 0,3), (3; 0,2), (4; 0,15) и (5; 0,1)

Соединив точки между собой, построим многоугольника распределения дискретной случайной величины

7172

Источник

Содержание

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ
Функция распределения
II. Операции над дискретными случайными величинами

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения — малыми буквами

Из приведенного выше примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности $p_i=P{X=x_i} quad (sum_i p_i=1)$ .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

– первой вынули стандартную деталь;

— первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

— первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

$p_1=P{X=x_1=1}=frac{4}{6}=frac{2}{3}$

$p_2=P{X=x_2=2}=frac{2}{6}cdot frac{4}{5}=frac{4}{15}$

$p_3=P{X=x_3=3}=frac{2}{6}cdot frac{1}{5}cdot frac{4}{4}=frac{1}{15}$

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

— число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

— ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

— выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

— выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

— выборка содержит три изделия с дефектом;

Найдем соответствующие им вероятности :

$[p_1=P(X=0)=frac{C_{16}^3cdot C_{4}^0}{C_{20}^3}]$

$[p_2=P(X=1)=frac{C_{16}^2cdot C_{4}^1}{C_{20}^3}]$

$[p_3=P(X=2)=frac{C_{16}^1cdot C_{4}^2}{C_{20}^3}]$

$[p_4=P(X=3)=frac{C_{16}^0cdot C_{4}^3}{C_{20}^3}]$

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

	0	1	2	3
	$frac{28}{57}$	$frac{8}{19}$	$frac{8}{95}$	$frac{1}{285}$

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны , тогда вероятности их промахов равны . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х – числа попаданий в цель.

– ни один из стрелков не попал в цель;

– один из стрелков попал в цель;

– двое стрелков поразили цель;

– три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности :

$p_0=P{X=0}=g_1 cdot g_2 cdot g_3 =0,5cdot 0,4 cdot 0,2=0,04;$

$p_1=P{X=1}=h_1 cdot g_2 cdot g_3+g_1 cdot h_2 cdot g_3 +g_1 cdot g_2 cdot h_3=\ =0,5cdot 0,4 cdot 0,2+0,5cdot 0,6 cdot 0,2+0,5cdot 0,4 cdot 0,8=0,04+0,06+0,16=0,26.$

Запись вида означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

$p_2=P{X=2}=h_1 cdot h_2 cdot g_3+g_1 cdot h_2 cdot h_3 +h_1 cdot g_2 cdot h_3=\ =0,5cdot 0,6 cdot 0,2+0,5cdot 0,6 cdot 0,8+0,5cdot 0,4 cdot 0,8=0,06+0,24+0,16=0,46$ — (двое из трех поразили цель);

$p_3=P{X=3}=h_1 cdot h_2 cdot h_3=0,5cdot 0,6 cdot 0,8=0,24$ — (три стрелка поразили цель).

Контроль: $sum_{i=0}^3=0,04+0,26+0,46+0,24=1$

	0	1	2	3
	0,04	0,26	0,46	0,24

Многоугольник распределения:

Функция распределения

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения

Свойства функции распределения:

– неубывающая функция, т.е. , если
непрерывна слева в любой точке , т.е.

Функция распределения ДСВ имеет вид

$[F(x)=sum_{x_i<x} p_i]$

где суммирование ведется по всем индексам , для которых

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

	-2	-1	0	2	3
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если , то , так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если , то

если , то , так как может принять значения -2 или -1

если , то

если , то $F(x)=P{X<x}=P{X=-2}+P{X=-1}+P{X=0}+\+P{X=2}+P{X=3}=0,1+0,2+0,3+0,3+0,1=1$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$begin{displaymath} F(x) = left{ begin{array}{ll} 0, qquad xle -2 , \ 0,1, qquad -2< x le -1,\ 0,3, qquad -1< x le 0,\ 0,6, qquad 0< x le 2,\ 0,9, qquad 2< x le 3, \ 1, qquad x>3. end{array} right. end{displaymath}$

II. Операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения с вероятностями $p_i=P{X=x_i}, quad i=1,2, ... , n$ и ДСВ Y, принимающей значения с вероятностями $q_j=P{Y=y_j}, quad j=1,2, ... , m$ называется ДСВ, принимающая все значения вида (соответственно, или ) с вероятностями $p_{ij}=P{{X=x_i}cdot {Y=y_j}}=P{X=x_i,quad Y=y_j}.$

Обозначение: (соответственно, или ).

Произведением ДСВ Х на число называется ДСВ , принимающая значения с вероятностями $p_i=P{X=x_i}.$

Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения (соответственно, ) с вероятностями $p_i=P{X=x_i}.$ Обозначение: (соответственно, ).

Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события ${X=x_i}$ и ${Y=y_j}$ при любых

2.1. Задано распределение ДСВ Х

	-2	-1	1	2	3
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

Построить ряд распределения случайных величин:

а)

б)

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

Вероятности значений СВ Y равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например, и т. д.), т.е. каждое значение СВ Х мы умножаем на 2, а вероятности оставляем прежними. Таким образом

	-4	-2	2	4	6
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

б) Значения СВ Z таковы (возведем каждое значение СВ Х в квадрат):

$[z_1={(-2)}^2=4; z_2={(-1)}^2=1,]$

Составим вспомогательную таблицу для распределения СВ

	4	1	1	4	9
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

При этом мы должны помнить, что при одинаковых значениях СВ Z, соответствующие им вероятности нужно сложить, т.е.

$[P{Z=1}=P{X^2=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0,25+0,3=0,55;]$

$[P{Z=4}=P{X^2=4}=P{X=-2}+P{X=2}=0,20+0,15=0,35.]$

Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

		$frac{pi}{4}$	$frac{pi}{2}$	$frac{3pi}{4}$		$frac{5pi}{4}$	$frac{3pi}{2}$
	$frac{1}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{4}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{1}{16}$

Построить:

а) ряд распределения СВ $Y=sin(X-frac{pi}{4});$

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения СВ Y, подставляя соответствующие значения в формулу $Y=sin(X-frac{pi}{4})$ :

$y_1=sinleft(0-frac{pi}{4}right)=sin(-frac{pi}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}$

$y_2=sin(frac{pi}{4}-frac{pi}{4})=sin(0)=0$

$y_3=sin(frac{pi}{2}-frac{pi}{4})=sin(frac{pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}$

$y_4=sin(frac{3pi}{4}-frac{pi}{4})=sin(frac{pi}{2})=1$

$y_5=sin(pi-frac{pi}{4})=sin(frac{pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}$

$y_6=sin(frac{5pi}{4}-frac{pi}{4})=sin(pi)=0$

$y_7=sin(frac{3pi}{2}-frac{pi}{4})=-cos(frac{pi}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}$

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

	$-frac{sqrt{2}}{2}$		$frac{sqrt{2}}{2}$		$frac{sqrt{2}}{2}$		$-frac{sqrt{2}}{2}$
	$frac{1}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{4}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{1}{16}$

Составим ряд распределения.

При этом

$P{Y=-frac{sqrt{2}}{2}}=P{X=0}+P{X=frac{3pi}{2}}=frac{1}{16}+frac{1}{16}=frac{1}{8}$

$P{Y=0}=P{X=frac{pi}{4}}+P{X=frac{5pi}{4}}=frac{1}{8}+frac{1}{8}=frac{1}{4}$

$P{Y=frac{sqrt{2}}{2}}=P{X=frac{pi}{2}}+P{X=pi}=frac{3}{16}+frac{3}{16}=frac{3}{8}$

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

	$-frac{sqrt{2}}{2}$		$frac{sqrt{2}}{2}$
	$frac{1}{8}$	$frac{1}{4}$	$frac{3}{8}$	$frac{1}{4}$

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин ;

в) ;

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения $z_{ij}=x_{i}+y_{j}$ , т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0+2=2	1+2=3	2+2=4
0+3=3	1+3=4	2+3=5
0+4=4	1+4=5	2+4=6

Т. е. случайная величина принимает значения:

Найдем вероятности этих значений:

$[p_1=P{Z=2}=P{X=0,Y=2}]$

Запись вида означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.

$p_1=P{X=0,Y=2}=P{{X=0}cdot {Y=2}}=P{X=0}cdot P{Y=2}=0,2cdot 0,3=0,06$

Для нахождения вероятностей воспользуемся правилом сложения несовместных событий:

$p_2=P{Z=3}=P{X=0,Y=3}+P{X=1,Y=2}=0,2cdot 0,3+0,4cdot 0,3=0,06+0,12=0,18;$

$p_3=P{Z=4}=P{X=0,Y=4}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}=0,2cdot 0,4+ \ +0,4cdot 0,3+0,4cdot 0,3=0,08+0,12+0,12=0,32;$

$p_4=P{Z=5}=P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}=0,4cdot 0,4+0,4cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;$

$p_5=P{Z=6}=P{X=2,Y=4}=0,4cdot 0,4=0,16$

Запишем ряд распределения ДСВ

	2	3	4	5	6
	0,06	0,18	0,32	0,28	0,16

Сделаем проверку:

$sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,06+0,18+0,32+0,28+0,16=1.$

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ

Найдем всевозможные значения $w_{ij}=x_{i}-y_{j}$ .

Все вычисления сведены в таблицу ниже.

0-2=-2	1-2=-1	2-2=0
0-3=-3	1-3=-2	2-3=-1
0-4=-4	1-4=-3	2-4=-2

Таким образом случайная величина принимает значения:

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

$p_1=P{W=-4}=P{X=0,Y=4}=0,2cdot 0,4=0,08$

$p_2=P{W=-3}=P{X=0,Y=3}+P{X=1,Y=4}=0,2cdot 0,3+0,4cdot 0,4=0,06+0,16=0,22;$

$p_3=P{W=-2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0,2cdot 0,3+ \ +0,4cdot 0,3+0,4cdot 0,4=0,06+0,12+0,16=0,34;$

$p_4=P{W=-1}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=3}=0,4cdot 0,3+0,4cdot 0,3=0,12+0,12=0,24;$

$p_5=P{W=0}=P{X=2,Y=4}=0,4cdot 0,3=0,12$

Запишем ряд распределения ДСВ

	-4	-3	-2	-1	0
	0,08	0,22	0,34	0,24	0,12

Сделаем проверку: $sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,08+0,22+0,34+0,24+0,12=1$

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V : $v_{ij}=x_{i}cdot y_{j}$ . Все вычисления сведены в таблицу ниже.

0·2=0	1·2=2	2·2=4
0·3=0	1·3=3	2·3=6
0·4=0	1·4=4	2·4=8

Таким образом случайная величина принимает значения:

Найдем вероятности этих значений:

$p_1=P{V=0}=P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}+P{X=0,Y=4}=0,2cdot 0,3+0,2cdot 0,3+0,2cdot 0,4=0,06+0,06+0,08=0,2;$

$p_2=P{V=2}=P{X=1,Y=2}=0,4cdot 0,3=0,12$

$p_3=P{V=3}=P{X=1,Y=3}=0,4cdot 0,3=0,12$

$p_4=P{V=4}=P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=2}=0,4cdot 0,4+0,4cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;$

$p_5=P{V=6}=P{X=2,Y=3}=0,4cdot 0,3=0,12$

$p_6=P{V=8}=P{X=2,Y=4}=0,4cdot 0,4=0,16$

Запишем ряд распределения ДСВ

	0	2	3	4	6	8
	0,2	0,12	0,12	0,28	0,12	0,16

Сделаем проверку: $sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,2+0,12+0,12+0,28+0,12+0,16=1$

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем . Пусть .

Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, .

Получим ряд

	0	1	2	3	4
	0,12	0,24	0,34	0,22	0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.

Источник

2.2.6. Многоугольник распределения

Закон распределения дискретной случайной величины

 Многоугольник распределения

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

II. Операции над дискретными случайными величинами

Вам также может понравиться

Как найти фон для ютуба

Как можно исправить кончик носа

Как составить отношение площадей треугольников

Добавить комментарий Отменить ответ