Как составить неравенство по функции

Была ли эта статья полезной?

Посмотрите на еще одну таблицу. В ней представлены степени (frac{1}{3}):

$$left(frac{1}{3}right)^0=1;$$
$$left(frac{1}{3}right)^1=frac{1}{3};$$
$$left(frac{1}{3}right)^2=frac{1}{9};$$
$$left(frac{1}{3}right)^3=frac{1}{27};$$
$$left(frac{1}{3}right)^4=frac{1}{81};$$
$$left(frac{1}{3}right)^5=frac{1}{243};$$

Оказывается, чем в большую степень мы будем возводить (frac{1}{3}), тем МЕНЬШЕЕ значение будем получать. Показательная функция с основанием (frac{1}{3}) будет убывающей. Более того, если возводить в степень любую дробь меньшую единицы, с увеличением степени вы всегда будете получать всё меньшие и меньшие значения. Чтобы наглядно это продемонстрировать, нарисуем еще один график функции (y=(frac{1}{3})^x):

Из всего этого занудства следует очень важное общее правило:
Если основание у степени больше единицы (a>1), то показательная функция будет возрастающей, а если меньше единицы (0 lt a lt 1), то убывающей. Это ключевой момент при решении показательных неравенств!

Решение показательных (степенных) неравенств похоже на решение показательных уравнений с некоторыми оговорками. Начнем изучение с простейшего примера:

Пример 1
$$ 2^x>2^3; $$
Это неравенство решается интуитивно. Понятное дело, что чем в большую степень мы будем возводить двойку, тем большее значение будем получать. Основание больше единицы, а значит, показательная функция возрастающая!

Основания у нас одинаковые. Значит, если вместо (x) подставить любое число большее 3, мы получим верное неравенство. Решением нашего первого показательного неравенства будет:
$$ x>3;$$

Пример 2
$$3^{x+4}<3^{3x-10};$$
Основания одинаковые, большие единицы, а значит, у нас опять возрастающие функции – чем больше степень, тем больше значение показательной функции. Логично, что наше неравенство в таком случае сводится к сравнению степеней с сохранением знака неравенства:
$$x+4<3x-10;$$
$$-2x<-14;$$
При делении на отрицательное число не забываем поменять знак неравенства:
$$x>7;$$

Пример 3
$$ left(frac{1}{2}right)^x>left(frac{1}{2}right)^5;$$

Очень похожее неравенство, основания опять одинаковые, но они меньше единицы. Что это меняет? Знак неравенства!
Раз основание показательной функции меньше единицы, значит она убывающая – чем больше степень, тем меньше значение показательной функции. Поэтому для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо опять сравнить степени, но с противоположным знаком:
$$x<5;$$

Пример 4
$$left(frac{2}{3}right)^{2x-5}geleft(frac{2}{3}right)^{x+1};$$
Основания одинаковые и меньше единицы, значит избавляемся от основания (frac{2}{3}) и сравниваем степени, не забывая при этом изменить знак неравенства:
$$2x-5 le x+1;$$
$$x le 6;$$

Пример 5

$$2^{x+2} le 8^{2x-1};$$

Этот пример немного сложнее – здесь разные основания (слева 2, справа 8). Чтобы решить по аналогии с предыдущими примерами, нужно привести к одинаковым основаниям. Заметим, что восемь можно представить в виде степени двойки: (8=2^3). Подставим в исходное неравенство:
$$2^{x+2} le (2^3)^{2x-1};$$
Из свойства степеней: $$(a^n)^m=a^{n*m}.$$
$$2^{x+2} le 2^{3*(2x-1)};$$
Теперь основания одинаковые и больше единицы, избавляемся от них, оставляя знак неравенства неизменным:
$$x+2 le 3*(2x-1);$$
$$x+2 le 6x-3;$$
$$-5x le -5;$$
$$x ge 1.$$

Общий алгоритм

Сформулируем еще раз общие правила решения простых показательных неравенств:

1. Необходимо привести показательные функции слева и справа к одинаковому основанию
2. Избавляемся от оснований
3. Если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется
4. Если основание меньше единицы, то меняем знак неравенства на противоположный
5. Решаем получившееся неравенство

Схема решения

$$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$
где (a>0; ; aneq1) – некоторое положительное число, а (f(x)) и (g(x)) какие-то зависящие от (x) выражения.
Если (a>1): то (f(x)>g(x));
Если (0 lt a lt 1:) то (f(x) lt g(x)).

В принципе, схема решения простых показательных неравенств очень похожа на решение показательных уравнений. За исключением необходимости внимательно следить за основаниями и знаком неравенства.

Разберем еще несколько интересных и важных примеров.

Пример 6
$$2^{x+1} ge 4;$$
Справа от знака неравенства стоит не показательная функция, а просто число. Но его легко представить в виде степени двойки:
$$2^{x+1} ge 2^2;$$
Основания одинаковые, большие единицы. Избавляемся от них, знак неравенства сохраняем.
$$ x+1 ge 2;$$
$$x ge 1.$$

Как приводить степени к одному основанию

Пример 7
$$5^x le 3;$$

На первый взгляд, пример аналогичен предыдущему. Чтобы решить неравенство, нужно привести к одинаковому основанию. Так и есть, но вот как представить (3-ку) в виде степени (5-ки)?

Ничего сложного в этом нет. Оказывается, любое число (a) можно представить в виде степени с нужным нам основанием (b). Правда, без логарифмов тут не обойтись. Это можно сделать при помощи формулы:
$$ a=b^{log_{b}(a)}; qquad (*)$$
Например: (3=5^{log_{5}(3)};)

Кто забыл, что такое логарифмы, вам обязательно нужно посмотреть сюда.

Мы уже пользовались этой формулой в главе про показательные уравнения. На самом деле, для решения неравенств ее необязательно понимать, можно в лоб подставлять числа в формулу. Но я бы настоятельно рекомендовал разбираться во всем, чем вы пользуетесь. Поэтому подумайте самостоятельно, почему эта формула верна?

Посмотрим на правую часть формулы (*). В степени у нас стоит логарифм (log_{b}(a)). Логарифм – это число, в которое нужно возвести основание (b), чтобы получить (a). И в итоге, в правой части формулы (*) мы (b) возводим в степень, в которую нужно возвести (b), чтобы получить число (a). Так немного запутанно эта формула и работает. Но, если подумать, все не так сложно.

Возвращаемся к примеру 7. Теперь мы знаем, как (3-ку) представить в виде степени (5-ки):
$$3=5^{log_{5}(3)};$$
Подставляем в исходное неравенство
$$5^x le 5^{log_{5}(3)};$$
Наши основания одинаковые, избавляемся от них
$$x le log_{5}(3);$$
Ответ оставляем с некрасивым логарифмом. Мы его не сможем посчитать без калькулятора. На ЕГЭ именно так и поступаем.

Пример 8
$$left(frac{1}{81}right)^{-4x} < 27^{x+8};$$
Здесь привести к одному основанию несколько сложнее. Обратите внимание, что числа 27 и (frac{1}{81}) являются степенями (3-ки):
$$ 27=3^3; $$
$$ frac{1}{81}=3^{-4}; $$
Кто забыл, как работать со степенями, посмотрите главу про свойства степеней. Приведем к основанию (3) левую и правую части неравенства:
$$(3^{-4})^{-4x} < (3^3)^{x+8};$$
$$3^{16x} < 3^{3x+24};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$16x<3x+24;$$
$$ 13x<24;$$
$$x<frac{24}{13};$$

Пример 9
$$ 5^x <-3;$$
Казалось бы, пример ничем не отличается от примера №7 – приводи себе ((-3)) к основанию (5) по формуле и решай.

Но здесь проблема кроется в определении показательной функции. Показательная функция ВСЕГДА больше нуля!
А значит, (5^x>0) и никак не может быть меньше ((-3)), какие бы (x) вы не подставляли.
Попробуйте подставить вместо (x) минус миллион, что вы получите? По определению отрицательной степени:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$$ 5^{-1000000}=frac{1}{5^{1000000}};$$
Это, несомненно, будет очень маленькое, но положительное число.
Итак, в этом примере корней нет. Запомните это!

Пример 10
$$ 7^x >-6;$$
Неравенство аналогичное примеру №9, но с другим знаком неравенства.
Что меняется? Теперь нас просят найти такие (x), при которых показательная функция (7^x) будет больше отрицательного числа ((-7)). Но так как показательная функция больше (0) при любых (x), то она уже точно будет больше ((-7)).
Что бы вы не подставили, всегда будете получать верное неравенство.
Ответом здесь будет любое число.

Теперь разберем пример посложнее.

Пример 11
$$ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80} le 0;$$

Постараемся привести данное неравенство к виду, аналогичному предыдущим примерам. Для этого перенесем вправо второе слагаемое (0,2^{2x^2-4x-80}):
$$ 25^{x^2-2x+10} le 0,2^{2x^2-4x-80};$$
Приведем к одному основанию. Советую десятичные дроби записывать в виде обыкновенных дробей, так вы сразу увидите, к какому основанию удобно привести:
$$0,2=frac{2}{10}=frac{1}{5};$$
$$ 25^{x^2-2x+10} le left(frac{1}{5}right)^{2x^2-4x-80};$$
Слева и справа в основаниях стоят числа, которые легко можно представить в виде степени (5-ки):
$$25=5^2;$$
$$ frac{1}{5}=5^{-1};$$
Подставим
$$ (5^2)^{x^2-2x+10} le (5^{-1})^{2x^2-4x-80};$$
$$ 5^{2*(x^2-2x+10)} le 5^{-1*(2x^2-4x-80)};$$
$$ 5^{2*x^2-4x+20} le 5^{-2x^2+4x+80};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$ 2x^2-4x+20 le -2x^2+4x+80; $$
$$4x^2-8x-60 le 0;$$
Через дискриминант раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$ 4(x+3)(x-5) le 0;$$
И решаем методом интервалов:

Замена в показательных неравенствах

Мы разобрали все виды простейших степенных неравенств. Опираясь на эти знания, можно перейти к более сложным неравенствам, которые решаются при помощи замены переменной. В ЕГЭ по профильной математике такие примеры попадаются довольно часто.

Если вы раньше решали любые уравнения или неравенства на замену переменной, то разобраться будет совсем не трудно. Давайте посмотрим на примерах:

Пример 12
$$ 4^x-29*2^x+168le 0. $$
Согласно обычной логике в показательных неравенствах, приведем все показательные функции к одинаковому основанию. Здесь это сделать довольно легко:

$$ (2^2)^x-29*2^x+168 le 0$$
$$ 2^{2x}-29*2^x+168 le 0$$
Готово. Теперь обратите внимание, что (2^{2x}=(2^x)^2), согласно свойству степеней. Подставим:
$$ (2^x)^2-29*2^x+168 le 0$$
В любом примере на замену переменной нужно найти одинаковые конструкции (выражения), зависящие от (x). В нашем примере есть такая конструкция – (2^x).

Обозначим за (t=2^x), и подставим в наше неравенство:
$$ t^2-29t+168 le 0 $$
В итоге получили обыкновенное квадратное неравенство, которое я обычно решаю при помощи универсального метода интервалов:
$$ D=29^2-4*168=841-672=169;$$
$$t_{1}=frac{29+13}{2}=21;$$
$$t_{2}=frac{29-13}{2}=8;$$
Зная корни, раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$(t-8)(t-21) le 0;$$
Для метода интервалов рисуем числовую прямую, отмечаем нули функции (корни) и исследуем промежутки. Кто не помнит метод интервалов, настоятельно рекомендую его повторить, без него решать показательные неравенства бесполезно.

Получаем промежутки для переменной (t):
$$ t in [8;21];$$
И тут частая ошибка в том, что школьники заканчивают на этом решение. Но нас же не просят в условии задачи найти (t), нас просят найти (x)!

Поэтому обязательно нужно сделать обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной (x).
Для этого будем пользоваться простой логикой: раз (tin[8;21]), значит (t) может принимать такие значения, которые больше либо равны 8, но и не больше 21. Перепишем то же самое в виде системы (система, потому что эти условия должны выполняться одновременно):
$$ begin{cases}
t ge 8, \
t le 21.
end{cases}$$
Теперь нужно вспомнить, а что такое собственно (t). Это же переменная, за которую мы обозначили (2^x=t). Подставим вместо (t) (2^x).

Обратная замена:
$$ begin{cases}
2^x ge 8, \
2^x le 21.
end{cases}$$
Получили систему из двух простейших показательных неравенств, которые выше мы уже научились с вами решать.
$$ begin{cases}
2^x ge 2^3, \
2^x le 2^{log_{2}(21)}.
end{cases}$$
Основания везде одинаковые, можно от них избавиться:
$$ begin{cases}
x ge 3, \
x le log_{2}(21).
end{cases}$$
Запишем эту систему в виде промежутка
Ответ: (x in [3;log_{2}(21)].)

Как видите, все не так уж сложно. Разберем еще примеры на замену переменной в показательных неравенствах.

Пример 13
$$ 2^x+6*2^{-x} le 7$$
Этот пример тоже на замену. Хотя основания у показательных функций у нас одинаковые – двойка, но вот степень у них отличаются, а значит, делать замену пока нельзя. Нужно сделать так, чтобы одинаковым было абсолютно все – и степени, и основания.

Вспомним свойство степени с отрицательным показателем:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
И применим его в нашем неравенстве:
$$ 2^x+6*frac{1}{2^x} le 7$$
Обозначим за (t=2^x) и подставим:
$$ t+6*frac{1}{t} le 7 $$
Для того, чтобы тут воспользоваться методом интервалов, нужно перекинуть все в левую часть и привести к общему знаменателю.
$$ frac{t^2-7t+6}{t} le 0 $$
Я не рекомендую избавляться в неравенствах от знаменателя, как вы привыкли это делать в уравнениях. В неравенствах в подавляющем большинстве случаев ни в коем случае этого делать нельзя, он тоже влияет на знак всей функции. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ.
Поэтому я рекомендую всегда в неравенствах тащить знаменатель за собой, не убирать его. Подробнее про это можно почитать в теории обыкновенных неравенств.

Но я вынужден отметить, что именно в этом примере убрать знаменатель (t) можно, так как (t=2^x>0). Показательная функция у нас ВСЕГДА больше нуля, поэтому и (t>0), а значит он не влияет на знак неравенства. Однако делать мы это не будем, чтобы не запутаться. Знаменатель всегда будем оставляем на месте.

Раскладываем на множители числитель:
$$ frac{(t-1)(t-6)}{t} le 0 $$
Метод интервалов, с учетом того, что (t=2^x>0):

$$ t in[1;6];$$

Запишем промежуток в виде системы:
$$ begin{cases}
t ge 1, \
t le 6.
end{cases}$$
Вспоминаем, что (t=2^x) и делаем обратную замену:
$$ begin{cases}
2^x ge 1, \
2^x le 6.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x ge 2^0, \
2^x le 2^{log_{2}(6)}.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x ge 0, \
x le log_{2}(6).
end{cases}$$
Ответ: (x in [0;log_{2}(6)].)

Пример 14
$$16^{x+frac{1}{4}}-9*4^{x-frac{1}{2}}+1ge0$$
Пример очень похож на предыдущие, но перед тем, как делать замену, нам придется преобразовать левую часть неравенства. Выпишем отдельно показательные функции и постараемся привести их к одному виду. Иначе мы не сможем сделать замену. Для этого нам понадобятся свойства степеней:
$$a^{n+m}=a^n*a^m;$$
$$(a^n)^m=a^{n*m};$$
$$a^{n-m}=frac{a^n}{a^m};$$
$$16^{x+frac{1}{4}}=16^x*16^{frac{1}{4}}=16^x*2=2*16^x=2*(4^2)^x=2*(4^x)^2;$$
$$4^{x-frac{1}{2}}=frac{4^x}{4^{frac{1}{2}}}=frac{4^x}{2}=frac{1}{2}*4^x;$$
Подставим наши преобразования в исходное неравенство:
$$2*(4^x)^2-9*frac{1}{2}*4^x+1 ge 0;$$
Все готово к замене. Пусть (t=4^x):
$$2*t^2-frac{9}{2}*t+1 ge 0;$$
Домножим на (2), чтобы избавиться от знаменателя
$$4t^2-9t+2 ge 0;$$
Обыкновенное квадратное неравенство. Решаем, как обычно, методом интервалов. Для этого разложим на множители:

$$4(t-frac{1}{4})(t-2) ge 0;$$

$$left[
begin{gathered}
tle frac{1}{4}; \
tge 2, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на знак совокупности! Он означает, что нас устраивают оба промежутка, как показано на числовой прямой.

Очень важно уметь различать системы и совокупности.
Знак системы используется, когда нужно, чтобы значения (x) удовлетворяли всем неравенствам, входящим в систему. Другими словами, система – это знак пересечения решений всех неравенств.
Знак совокупности показывает, что значения (x) удовлетворяют хотя бы одному из неравенств в системе. Совокупность – это знак объединения решений.

Делаем обратную замену (t=4^x):
$$left[
begin{gathered}
4^xle frac{1}{4}; \
4^xge 2, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
4^xle 4^{-1}; \
4^xge 4^{frac{1}{2}}, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
xle -1; \
xge frac{1}{2}, \
end{gathered}
right.$$
Запишем получившуюся совокупность в виде промежутков.
Ответ:(xin(-infty;-1] cup [frac{1}{2};+infty).)

Теперь наших знаний достаточно, чтобы решать некоторые реальные примеры из ЕГЭ по профильной математике. Поехали:

Пример 15
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{25^x-9*5^x+20} le 0$$
Перед вами настоящий пример из ЕГЭ 2016 года. Возможно, выглядит неприятно, но на самом деле, он решается очень легко. А самое главное, у нас уже есть все необходимые знания, чтобы его решить.
Обращаем внимание, что почти везде есть конструкция (5^x). Это и будет наша замена, осталось только представить (25^x=(5^x)^2):
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{(5^x)^2-9*5^x+20} le 0$$
Пусть (t=5^x):
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{t^2-9*t+20} le 0$$
В третьей дроби разложим знаменатель на множители при помощи дискриминанта
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Приводим к общему знаменателю
$$ frac{t(t-5)+(t+5)(t-4)+22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе
$$ frac{2t^2-4t+2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
$$ frac{2(t^2-2t+1)}{(t-4)(t-5)} le 0$$
В скобках стоит полный квадрат
$$ frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Теперь применяем метод интервалов

$$left[
begin{gathered}
t=1, \
4 lt t lt 5. \
end{gathered}
right.$$

Перепишем двойное неравенство в виде системы
$$left[
begin{gathered}
t=1, \
begin{cases}
t > 4, \
t < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
Делаем обратную замену (t=5^x):
$$left[
begin{gathered}
5^x=1, \
begin{cases}
5^x > 4, \
5^x < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
5^x=5^0, \
begin{cases}
5^x > 5^{log_{5}(4)}, \
5^x < 5^1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
x=0, \
begin{cases}
x > log_{5}(4), \
x < 1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
В ответе не забываем отдельную точку (x=0), она нас тоже устраивает! Если на ЕГЭ забудете точки, в зависимости от критериев, потеряете какое-то количество баллов. Отдельная точка всегда записывается при помощи фигурных скобок.

Ответ: (x in [0] cup (log_{5}(4);1).)

Пример 16
$$ frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1 ge 0$$
Тут сразу бросается в глаза одинаковая конструкция (2^{2-x^2}-1). Замену мы можем делать абсолютно любую. Поэтому ничто не мешает нам тут обозначить за (t=2^{2-x^2}-1).

Подставим в исходное неравенство

$$ frac{3}{t^2}-frac{4}{t}+1 ge 0$$

Приводим к общему знаменателю
$$frac{t^2-4t+3}{t^2} ge 0$$
$$frac{(t-3)(t-1)}{t^2} ge 0$$
Самое время для метода интервалов:

$$t in (-infty;0) cup (0;1] cup [3;+infty);$$

Нас устраивает сразу три промежутка для (t). Запишем эти промежутки в виде большой совокупности, ведь нас устраивают все три промежутка:

$$left[
begin{gathered}
t < 0; \
begin{cases}
t > 0, \
t le 1.
end{cases} ; \
tge 3, \
end{gathered}
right.$$
Обратите внимание на то, что в совокупности у нас есть еще знак системы. Действительно, во втором промежутке (t) должно быть с одной стороны больше 0, а с другой меньше 1, и это должно выполняться одновременно. Поэтому второй промежуток описывается при помощи знака системы.

Сделаем обратную замену:

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}-1< 0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}-1 > 0, \
2^{2-x^2}-1 le 1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}-1ge 3, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 1; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 1, \
2^{2-x^2} le 2.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 4, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 2^0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 2^0, \
2^{2-x^2} le 2^1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 2^2, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2-x^2< 0; \
begin{cases}
2-x^2> 0, \
2-x^2 le 1.
end{cases} ; \
2-x^2ge 2, \
end{gathered}
right.$$

Разложим все квадратные неравенства по формуле разности квадратов:

$$left[
begin{gathered}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)< 0; \
begin{cases}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)> 0, \
(1-x)(1+x) le 0 .
end{cases} ; \
-x^2ge 0, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на последнее неравенство: так как квадрат всегда положителен, то это неравенство выполняется только, если (x=0).

И остальное решим методом интервалов. Я сразу напишу, что получается:

$$left[
begin{gathered}
xin (-infty;-sqrt{2}) cup (sqrt{2};+infty); \
begin{cases}
xin(-sqrt{2};sqrt{2}), \
xin(-infty;-1] cup [1;+infty).
end{cases} ; \
x=0, \
end{gathered}
right.$$

Для наглядности нарисуем числовую ось и отметим на ней все промежутки. Различными цветами показаны соответствующие промежутки из совокупности, а фиолетовой штриховкой показано итоговое решение. Там, где знак системы находим пересечение, там где совокупность – объединение.

Однородные показательные неравенства

Разберемся еще с одним типом показательных неравенств – однородными неравенствами. Такие неравенства часто встречаются, если в примере есть несколько показательных функций с разными основаниями, и свести их к одному основанию не представляется возможным.
Как обычно, давайте сразу будем разбираться на конкретном примере.

Пример 17
$$25^x-20^x-2*16^x le 0$$
Чем же это уравнение примечательно? Давайте попробуем по нашему старому алгоритму привести все к одинаковому основанию.
$$25^x=5^{2x};$$
$$20^x=(5*4)^x=5^x*4^x;$$
$$16^x=4^{2x};$$
Как видите, привести к одному основанию не получается. Мы никак не можем сделать одинаковые показательные функции, если основания 5 и 4. Будем работать с тем, что есть. Подставим получившееся разложение в исходное неравенство.
$$5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x} le 0;$$

Так как делить неравенства на положительные числа можно, поделим получившееся неравенство на (5^{2x}). На всякий случай напомню: при делении неравенств на положительные числа полностью делится и левая, и правая части неравенства, только в этом случае преобразование будет равносильным, то есть его корни не изменятся. Делить неравенство на (5^{2x}) можно, потому что это показательная функция, а она по определению всегда строго больше нуля.

$$frac{5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x}}{5^{2x}} le frac{0}{5^{2x}};$$

Разобьем левую часть на несколько дробей. То есть, поделим каждый одночлен числителя на знаменатель дроби. В правой части, очевидно, получается 0.
$$frac{5^{2x}}{5^{2x}}-frac{5^x*4^x}{5^{2x}}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-frac{4^x}{5^x}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
После некоторых преобразований в результате деления мы получили везде показательную функцию (left(frac{4}{5}right)^x), которую смело можно заменить на (t=left(frac{4}{5}right)^x).
$$1-t-2*t^2 le 0;$$
$$-2*t^2-t+1 le 0;$$
Разложим квадратный многочлен на множители при помощи дискриминанта, при этом не забываем про коэффициент (-2).
$$-2(t+1)(t-frac{1}{2}) le 0;$$
Решением этого квадратного неравенства будет:
$$ t in (-infty;-1]in[frac{1}{2};+infty);$$
Перепишем промежуток в виде совокупности:
$$left[
begin{gathered}
t le -1, \
t ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

И сделаем обратную замену. Напомню (t=left(frac{4}{5}right)^x):
$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge left(frac{4}{5}right)^{log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2})}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
x ge log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}). \
end{gathered}
right.$$

Первое неравенство в совокупности не имеет решений, так как показательная функция всегда больше нуля, значит, тем более больше (-1).

Ответ: (xin(log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}); +infty)).

Когда нет возможности привести к одинаковому основанию все содержащиеся в неравенстве функции, попробуйте решить как однородное уравнение при помощи деления. Разные основания – это звоночек о том, что пример может решаться при помощи деления.

Рассмотрим еще один интересный пример с разными основаниями. Только это уже не однородное уравнение.

Пример 18
$$6^x-4*3^x-2^x+4 le 0$$
Обратите внимание, что у нас в неравенстве сразу 4 слагаемых. Четное количество слагаемых иногда намекает на метод группировки. Его проходят в 8м классе, но если вы не помните, то сейчас научитесь прямо на этом примере.

Первым делом сгруппируем слагаемые попарно – первое со вторым, а третье с четвертым. И вынесем общий множитель. У первого и второго слагаемых общий множитель (3^x), а у третьего и четвертого общий множитель пусть будет (-1).

$$3^x*(2^x-4)-1*(2^x-4) le 0;$$

Обратите внимание на скобки, они получились одинаковые! Теперь у нас вместо четырех слагаемых стало два, но больших. У них тоже есть общий множитель – это как раз скобка ((2^x-4)). Вынесем скобку за скобку!

$$(2^x-4)(3^x-1) le 0;$$

У нас получилось произведение двух множителей. Произведение меньше нуля может быть только в том случае, если множители имеют разные знаки. То есть, нас устраивает либо:

$$ begin{cases}
2^x-4 ge 0, \
3^x-1 le 0.
end{cases}$$

Либо:
$$ begin{cases}
2^x-4 le 0, \
3^x-1 ge 0.
end{cases}$$

Решим обе системы и объединим решения, так как нам подходят оба случая.
$$ begin{cases}
2^xge 4, \
3^x le 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^xge 2^2, \
3^x le 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
xge 2, \
x le 0.
end{cases}$$

Эти два неравенства в системе не имеют решений, подходящих одновременно обоим. Поэтому в первой системе нет решений. Решим вторую:
$$ begin{cases}
2^x le 4, \
3^x ge 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x le 2^2, \
3^x ge 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x le 2, \
x ge 0.
end{cases}$$

Ответ: (xin[0;2].)

Рассмотрим еще один не очень приятный пример, который, тем не менее, может встретиться на ЕГЭ.

Пример 19
$$frac{5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10}{x+2} le 0.$$
Неравенство неприятное, потому что в числителе дроби у нас (x) везде в степени показательной функции, а в знаменателе (x) стоит отдельно. Никак не получится сделать замену. Но обратите внимание, нас спрашивают, при каких (x) дробь будет отрицательная. А дробь отрицательна только тогда, когда у нее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Опять, как в предыдущем примере, можем по отдельности рассмотреть числитель и знаменатель. Нас устраивает:
Либо:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$

Либо система с противоположными знаками:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак, так как это – условия, накладываемые на знаменатель.

Разберемся сначала с первой системой. Постараемся привести показательные функции к одинаковым основаниям в первом неравенстве системы:
$$ begin{cases}
5^{2x}*5^1-75*left(frac{1}{5}right)^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
Выпишем отдельно первое неравенство и решим его, сделав замену (t=25^x>0).
$$ 5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0;$$
$$5*t-frac{75}{t}-10 ge 0;$$
$$frac{5*t^2-10*t-75}{t} ge 0;$$
Так как (t=25^x>0), то мы можем спокойно избавиться от знаменателя в дроби, ведь он всегда положительный и не влияет на знак всего выражения.
$$5*t^2-10*t-75 ge 0;$$
$$5*(t-5)(t+3) ge 0;$$
$$ tin(-infty;-3] cup [5;+infty);$$
Но так как (t>0):
$$tin[5;+infty);$$
Запишем в виде неравенства:
$$t ge 5;$$
Сделаем обратную замену
$$ 25^x ge 5;$$
$$5^{2x} ge 5^1;$$
$$2x ge 1;$$
$$xgefrac{1}{2};$$

Напоминаю, что мы решили только первое неравенство в первой системе
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
C учетом нашего решения, ее теперь можно переписать в виде

$$ begin{cases}
xgefrac{1}{2}, \
x < -2.
end{cases}$$

Такая система решений не имеет. Но не грустим и вспоминаем, что у нас еще одна система неравенств с противоположным случаем – когда числитель отрицательный, а знаменатель положительный:

$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Так как отличие только в знаках неравенства, то все преобразования, которые мы делали выше, справедливы и тут. Не будем заново решать то же самое, просто возьмем решение из предыдущей системы и изменим знаки неравенства:

$$ begin{cases}
xlefrac{1}{2}, \
x > -2.
end{cases}$$

Эта система уже имеет решения. Можно, наконец, записать ответ.

Ответ: (xin(-2;frac{1}{2}].)

Мне лично не нравится рассматривать кучу случаев в подобных примерах. А что, если знаменатель будет сложнее чем в примере выше? А еще может быть не два множителя, а сразу пять или больше, тут всех случаев не рассмотришь.

Поэтому существует отличный и очень удобный метод рационализации. Я написал статью с полным его разбором. Кстати, в ЕГЭ часто встречаются примеры именно на метод рационализации, поэтому, если вы хотите сдать профиль на высокие баллы, то это прямо обязательно знать.

Решение уравнений с помощью графиков

Решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.

Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: ( displaystyle 2{x} -10=2)

Как его решить?

Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

Иными словами, у нас будет:

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата ( displaystyle x) точки пересечения графиков:

Наш ответ: ( displaystyle x=6)

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число ( displaystyle 6)!

Вариант 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, ( displaystyle 3).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

Возвращаемся к нашей параболе.

Для нашего случая точка ( displaystyle Aleft( -1;-9 right)). Нам необходимо еще две точки, соответственно, ( displaystyle x) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=2).

Как ты думаешь, что является решением уравнения?

Правильно, точки, в которых ( displaystyle y=0), то есть ( displaystyle x=2) и ( displaystyle x=-4). Потому что ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0).

И если мы говорим, что ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8), то значит, что ( displaystyle y) тоже должен быть равен ( displaystyle 0), или ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично!

Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}).

Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси ( displaystyle Ox) у нас ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}) находится выше, чем ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Верно, ( displaystyle xin left( -2;0 right)cup left( 2;+infty right)).

Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

Введение

Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач. Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символьном языке записываются важные задачи познания реальной действительности.

Не всякое неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в данном методическом пособии.

В последние годы в связи с появлением новых форм итоговой и текущей аттестации обучающихся особенно важным становится творческое и осмысленное освоение идей функциональной зависимости, что и обусловливает выбор темы пособия.

Пособие поможет расширить знания обучающихся, улучшить результаты сдачи Единого Государственного Экзамена.  Материал пособия представляет собой системное изложение методов и алгоритмов, позволяющих с помощью условий равносильности сводить решение сложных неравенств к решению простых рациональных неравенств, в том числе классическим методом интервалов.

Глава 1. Методы решения неравенств, основанные на использовании свойств функций

1.1. Использование области определения

Рассмотрим основные понятия по данной теме.

Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y=f(x) определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т.п.).

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что неравенство не имеет решений, а иногда позволяет найти решения неравенства непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Суть этого метода в следующем: если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве  М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства.

Если множество M, на котором определены обе части неравенства, окажется пустым множеством, то в этом случае неравенство решений не имеет.

Рассмотрим этот метод на следующих неравенствах:

Читать методическую разработку в полном объеме

На этой странице вы узнаете

• Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?
• Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
• Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами. 

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . 

При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства. 

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет. 

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0. 

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем. 

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается. 

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств?  В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ. 

• Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми. 

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки. 

• Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками. 

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки. 

• Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим. 

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками. 

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции. 

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой. 

Правила чередования знаков: 

• Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

• Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется. 

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

Пример 1. Решить неравенство x² + 8x — 33 > 0. 

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x² + 8x — 33 = 0. 

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x² + 8x — 33. Получаем: 

(-12)² + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞). 

Пример 2. Решить неравенство (frac{2х^2 + 22х — 204}{(х-3)(х+5)} ≤ 0). 

1. Находим нули функции. 

Нули числителя: 2х² + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17. 

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5. 

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток. 

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

(frac{2(-20)^2 + 22(-20) — 204}{(-20 -3)(-20 +5)} = frac{2 * 400 — 440 — 204}{(-23) * (-15)} = 156345. )

Следовательно, промежуток положительный. 

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ [-17; -5) U (3; 6].

Пример 3. Решить неравенство (frac{1}{х^2} ≥ frac{1}{х+2})

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х² ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2. 

2. Теперь перенесем все части неравенства влево: 

(frac{1}{х^2} — frac{1}{х+2} ≥ 0). 

Приведем к общему знаменателю:

 (frac{х + 2 — х^2}{х^2 (х + 2)} ≥ 0). 

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х² в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1. 

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. 

Получаем:

(frac{х^2 — х — 2}{х^2 (х + 2)} ≤ 0). 

Теперь найдем нули функции. 

Нули числителя: х² — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2. 

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2. 

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми. 

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь: 

(frac{(-3)^2 — (-3) — 2}{(-3)^2 ((-3) + 2)} = frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = frac{10}{-9})

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х² четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2]. 

Фактчек

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка. 
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. 
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. 
Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. 
Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. 
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1