Как составить несократимую дробь

Как составить несократимую дробь

Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.

Сократимая дробь, определение и примеры.

Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.

Например:
Докажите, что дробь (frac{20}{35}) является сократимой.

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7

Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.

(frac{20}{35}=frac{4 times 5}{7 times 5}=frac{4}{7})

Из сократимой дроби (frac{20}{35}) получили несократимую дробь (frac{4}{7}).

Несократимая дробь, определение и примеры.

Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.

Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.

Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь (frac{137}{149}) является несократимой дробью.

Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь (frac{137}{149}) является несократимой.

Правило несократимой дроби.

Правило:

  1. Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
  2. Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
  3. Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.

Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби (frac{55}{100}).

Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.

(frac{55}{100}=frac{5 times 11}{5 times 20}=frac{11}{20})

Ответ: получили несократимую дробь (frac{11}{20}).

Неправильные сократимые и несократимые дроби.

Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:

Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби (frac{32}{20}).

Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем

(frac{32}{20}=frac{2 times 2 times 2 times 2 times 2}{5 times 2}=frac{16 times 2}{5 times 2}=frac{16}{5})

Ответ: получили несократимую неправильную дробь (frac{16}{5}).

Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.

Определите сократима ли дробь (frac{16}{25}).

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.

Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) (frac{8}{25}) б) (frac{6}{4}) в) (frac{13}{5}) г) (frac{36}{44}).

Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби (frac{8}{25})  (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.

б) У числителя и знаменателя дроби (frac{6}{4}) (6=2⋅3, 4=2⋅2, (frac{6}{4}=frac{2 times 3}{2 times 2}=frac{3}{2}) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.

в) Числитель и знаменатель дроби (frac{13}{5}), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.

г) Числитель и знаменатель дроби (frac{36}{44}) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь (frac{36}{44}=frac{4 times 9}{4 times 11}=frac{9}{11}) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.

Ответ: (frac{8}{25}) несократимая, правильная дробь.

Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.

Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.

б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.

в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от (frac{1}{133}) до (frac{132}{133}).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.

г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.

Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.

Источник

В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида pm {frac {m}{n}}, которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно просты[1], то есть не имеют общих делителей, кроме pm 1. Например, дробь {displaystyle {frac {121}{90}}} несократима, а {displaystyle {frac {120}{90}}} можно сократить: {displaystyle {frac {120}{90}}={frac {12}{9}}={frac {4}{3}}.}

Обыкновенные дроби[править | править код]

Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида {displaystyle {frac {m}{n}},} где m — целое число, а n — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю n быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:

{displaystyle -{frac {4}{5}}={frac {-4}{5}}={frac {4}{-5}}}

Для приведения обыкновенной дроби {displaystyle pm {frac {m}{n}}} к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель[2] НОД{displaystyle (m,n).} Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

{displaystyle n={frac {n}{1}} }

Вариации и обобщения[править | править код]

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.

Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида {displaystyle a+bi,} где a,b — целые числа. Делителей единицы четыре: {displaystyle 1;-1;i;-i.} Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить[3], что дробь {displaystyle {frac {4+2i}{4+7i}}} может быть сокращена до (уже несократимой) {displaystyle {frac {2}{3+2i}}.}

Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.

Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце[4]. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида {displaystyle a=m+in{sqrt {5}}}, где m, n — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:

{displaystyle {frac {6}{3(1+i{sqrt {5}})}}={frac {2}{1+i{sqrt {5}}}}={frac {1-i{sqrt {5}}}{3}}}

У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Гусев, Мордкович, 2013, с. 29—30.
  2. ↑ Выгодский, 2006, с. 81—82.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. ↑ Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 112—117.

Литература[править | править код]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Reduced Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Источник
Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.

Определение 1

Сократимая обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют положительный отличный от единицы общий делитель.

Пример 1

Например, обыкновенная дробь $frac{4}{20}$ является сократимой, т.к. числитель $4$ и знаменатель $20$ делятся на $4$, т.е. имеют положительный общий делитель $4$, отличный от единицы. Сократимыми также являются дроби $frac{3}{12}$, $frac{7}{7}$. Легко увидеть, что числитель $3$ и знаменатель $12$ имеют отличный от единицы положительный общий делитель $3$, а числа $7$ и $7$ имеют общий делитель $7$.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 2

Несократимая обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми, т.е. имеют единственный общий положительный делитель — единицу.

Пример 2

Например, дроби $frac{3}{5}$, $frac{11}{4}$, $frac{171}{5}$, $frac{18}{35}$ являются несократимыми, т.к. числитель и знаменатель каждой из них — взаимно простые числа.

Правила проверки дроби на сократимость

В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.

Например, легко увидеть, что дробь $frac{230}{450}$ сократима, т.к. ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $10$. Или с помощью признака делимости на $2$ можно утверждать, что дробь $frac{368}{6824}$ сократима.

В более сложных случаях с помощью признаков делимости сложно выяснить, сократима ли данная дробь. Например, сложно определить, сократима дробь $frac{240671}{357893}$. В таких случаях удобно использовать общий метод проверки дроби на сократимость.

«Сократимые дроби» 👇

Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость

Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:

  • если $НОД=1$, то дробь является несократимой;
  • если $НОДne 1$, то дробь является сократимой.

Пример 3

Проверить на сократимость обыкновенную дробь $frac{203}{861}$.

Решение.

Проверим, являются ли числитель $203$ и знаменатель $861$ взаимно простыми числами. Для этого найдем НОД числителя и знаменателя и проверим, равен ли он единице.

НОД вычислим по алгоритму Евклида:

$frac{861}{203}=4$(остаток $49$)

$frac{203}{49}=4$ (остаток $7$)

$frac{49}{7}=7$ (остаток $0$)

$frac{33}{25}=1$ (остаток $8$)

$frac{25}{8}=3$ (остаток $1$)

Таким образом, НОД($861, 203)=7$. Итак, числитель и знаменатель данной дроби не являются взаимно простыми числами, поэтому $frac{203}{861}$ — сократимая дробь.

Ответ: дробь $frac{203}{861}$ — сократимая.

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Например, сократим обыкновенную дробь $frac{7}{21}$ на $7$, т.к. $7div 7=1$ и $21div 7=3$. В результате сокращения получим дробь $frac{1}{3}$, для которой $frac{7}{21}=frac{7cdot 1}{7cdot 3}=frac{1}{3}$.

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Обычно дроби сокращают для получения несократимых дробей, которые равны исходным сократимым дробям. Несократимую дробь можно получить в результате сокращения исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя — наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.

Дробь $frac{a:НОДleft(a, bright)}{b:НОДleft(a, bright)}$ — несократимая, т.к. $a:НОДleft(a, bright)$ и $b:НОДleft(a, bright)$ — взаимно простые числа.

Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.

Правило сокращения дробей

  1. Найти НОД числителя и знаменателя дроби.

  2. Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.

Пример 4

Сократить дробь $frac{187}{231}$.

Решение.

Воспользуемся правилом сокращения дробей:

  1. Найдем НОД($187, 231$).

    Наиболее удобным является алгоритм Евклида:

    [231=187cdot 1+44][187=44cdot 4+11][44=11cdot 4]

    Таким образом, НОД($187, 231)=11$.

  2. Разделим числитель и знаменатель дроби $frac{187}{231}$ на $11$, в результате чего получим несократимую дробь, равную исходной дроби:

    [frac{187}{231}=frac{17cdot 11}{21cdot 11}=frac{17}{21}.]

Ответ: $frac{187}{231}=frac{17}{21}$

Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ textit{разложения дроби на простые множители}, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.

Пример 5

Сократить дробь $frac{720}{960}$.

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Рисунок 1.

Получим $frac{720}{960}=frac{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 3cdot 5}{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}$.

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):

[frac{720}{960}=frac{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 3cdot 5}{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}=frac{3}{2cdot 2}=frac{3}{4}.]

Ответ: $frac{720}{960}=frac{3}{4}$.

Также можно использовать еще один способ сокращения дроби — последовательное сокращение. Т.е. на каждом шаге проводят сокращение дроби на общий делитель числителя и знаменателя, который легко определяется, например, по признакам делимости.

Пример 6

Сократить дробь $frac{5000}{21150}$.

Решение.

Легко увидеть, что общим множителем числителя и знаменателя дроби является число $10$. После сокращения дроби $frac{5000}{21150}$ на $10$ получим $frac{500}{2115}$.

Далее сократим дробь $frac{500}{2115}$ на $5$, исходя из признака делимости на $5$. Получим $frac{100}{423}$ — несократимую дробь. Сокращение завершено.

Ответ: $frac{5000}{21150}=frac{100}{423}$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.

В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.

С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

Дробь 1 = Дробь 2

Дробь 3 = Дробь 4

где a, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:

Сокращение дробей графически

Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.

Больше наглядных примеров и понятных объяснений —
на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart.

Пример 1. Сократим обыкновенную дробь Дробь 5

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.

3 : 3 =1

15 : 3 = 5

Дробь 6 = Дробь 7 = Дробь 8

Сокращение выполнено: Дробь 9 = Дробь 10

Пример 2. Сократим обыкновенную дробь Дробь 11

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.

4 : 2 = 2

16 : 2 = 8

Дробь 12 = Дробь 13 = Дробь 14

Сокращение выполнено: Дробь 15 = Дробь 16

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Альтернативный текст для изображения

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Реши домашку по математике на 5.

Приведение дробей к несократимому виду

Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.

Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби Дробь 17 получили дробь Дробь 18

Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду Дробь 19

Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.

Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.

  • Дробь 20 — несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:

    a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.

Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду Дробь 25

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12

Найдем частное: 12 : 12 = 1

36 : 12 = 3

Дробь 26= Дробь 27= Дробь 28

Сокращение выполнено: Дробь 29= Дробь 30

Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду Дробь 31

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5

Найдем частное: 15 : 5 = 3

25 : 5 = 5

Дробь 32= Дробь 33= Дробь 34

Сокращение выполнено: Дробь 35= Дробь 36

Правило сокращения дробей

Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.

Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:

 

  1. Найдите НОД числителя и знаменателя дроби.

  2. Разделите числитель и знаменатель дроби на НОД.

В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.

Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.

  • Например, дана дробь Дробь 37

Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.

Пример 5. Сократите дробь Дробь 38

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5

Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.

Дробь 39= Дробь 40= Дробь 41

Сокращение выполнено: Дробь 42= Дробь 43

Пример 6. Сократите обыкновенную дробь Дробь 44

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9

18 : 9 = 2

81 : 9 = 9

Дробь 45= Дробь 46= Дробь 47

Сокращение выполнено: Дробь 48= Дробь 49

Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.

Пример 6. Сократите дробь: Дробь 50

Дробь 51= Дробь 52= Дробь 53= Дробь 54

Сокращение выполнено: Дробь 55= Дробь 56

Пример 7. Сократите дробь Дробь 57

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24

НОД 168 и 240 равен 24

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7

240 : 24 = 10

Дробь 58= Дробь 59= Дробь 60

Сокращение выполнено: Дробь 61= Дробь 62

Пример 8. Сократите дробь Дробь 63

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180

НОД 360 и 540 равен 180

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2

540 : 180 = 3

Дробь 64= Дробь 65= Дробь 66

Сокращение выполнено: Дробь 67= Дробь 68

Пример 8. Сократите дробь Дробь 69

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420

НОД 420 и 2520 равен 420

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1

2520 : 420 = 6

Дробь 70= Дробь 71= Дробь 72

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: Дробь 73= Дробь 74

Пример 9. Сократите дробь Дробь 75

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7

3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23

Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75

НОД 1575 и 3450 равен 72

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21

3450 : 75 = 46

Дробь 76= Дробь 77= Дробь 78

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: Дробь 79= Дробь 80

Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.

Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.

Источник

Определение.

Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно-простыми числами.

То есть единственным общим делителем числителя и знаменателя несократимой дроби является единица.

Примеры.

    [1)frac{5}{{12}}]

Делители числителя: 1; 5

Делители знаменателя: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

НОД (5; 12) =1, следовательно, 5 и 12 — взаимно-простые числа. Поэтому дробь

    [frac{5}{{12}}]

является несократимой.

    [2)frac{{16}}{{21}}]

Делители числителя: 1; 2; 4; 8; 16.

Делители знаменателя: 1; 3; 7; 21.

Наибольший (и единственный) общий делитель числителя и знаменателя — единица. Значит, числитель и знаменатель — взаимно-простые числа. Поэтому данная дробь — несократимая.

Согласно основному свойству дроби, дробь не изменится, если её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, отличное от нуля:

    [frac{a}{b} = frac{{a:m}}{{b:m}}]

Таким образом,

    [frac{a}{b}ufrac{{a:m}}{{b:m}}]

— две различные записи одного и того же числа.

В математике принято ответ записывать в виде несократимой дроби. То есть если числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, необходимо это сделать, иначе ответ не считается правильным.

Вот почему столь важно уметь определять, является ли дробь несократимой.

Как определить, является ли дробь несократимой?

1) Можно разложить числитель и знаменатель на простые множители и найти наибольший общий делитель. Если он равен 1, дробь несократима.

Например,

    [frac{{544}}{{945}}]

— несократимая дробь, поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен единице и 544 и 945 — взаимно-простые числа.

nesokratimaya-drob

2) Если числитель и знаменатель — простые числа, то они являются взаимно-простыми, а дробь, соответственно, — несократимой.

Например, дробь

    [frac{{491}}{{769}}]

несократима, так как 491 и 769 — простые числа (проверили по таблице простых чисел).

3) Можно проверять делимость числителя и знаменателя, используя признаки делимости.

Если ни один из делителей одного числа не является делителем другого, то общий делитель числителя и знаменателя — единица, то есть они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.

Например,

    [frac{{105}}{{374}}]

Числитель 105 делится на 5, 105:5=21. 21 делится на 3 и на 7. Следовательно, делители 105: 1; 3; 5; 7; 105.

Искать все делители знаменателя 374 не обязательно. Достаточно проверить, а не делится ли он на один из делителей числителя:

374 на 3 не делится (сумма 3+7+4=14),

на 5 не делится (запись заканчивается не на 0 и не на 5),

на 7 не делится (можно проверить непосредственным делением),

на 105 не делится.

Значит 1 — единственный общий делитель 105 и 374, они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.

Источник

Добавить комментарий