Как составить обратный определитель - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Постановка задачи
2 Основные определения и простейшие свойства
- 2.1 Определитель
- 2.2 Обратная матрица
- 2.3 Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса
3 Формулы для определителя
4 Объем параллелепипеда
5 Литература
6 См. также

Постановка задачи

Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица, и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры, но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений. Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n - 1 . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать |A| или det .

Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем квадратной матрицы порядка , n geq 3 , называется число

где M_k – определитель матрицы порядка n - 1 , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание. В литературе вместо термина “определитель” используется также термин “детерминант”, имеющий тот же самый смысл. От слова “детерминант” и появилось обозначение det .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.

Утверждение 1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Утверждение 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Утверждение 3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Утверждение 4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Утверждение 5. Если строку матрицы умножить на число alpha , то ее определитель умножится на это число.

Утверждение 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Утверждение 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Утверждение 8. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица A_p получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица A_q – заменой i-ой строки на строку .

Утверждение 9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Утверждение 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Определение 2. Алгебраическим дополнением к элементу $a_{ij}$ матрицы называется число, равное $(-1)^{i+j} * M_{ij}$ , где $M_{ij}$ – определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
Алгебраическое дополнение к элементу $a_{ij}$ матрицы обозначается $A_{ij}$ .

Пример.
Пусть .
Тогда

Замечание. Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так:

Утверждение 11. Разложение определителя по произвольной строке.

Для определителя матрицы справедлива формула

Пример.
Вычислите .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех – нули. Получим

Утверждение 12. Для квадратной матрицы порядка при j neq k выполнено соотношение .

Утверждение 13. Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 – 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу и равенство при j neq k .

Утверждение 14. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице, |E| = 1 .

Вывод. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце.
Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если $a_{11}=0$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице $a_{11} neq 0$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $(-frac{a_{21}}{a_{11}})$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен .

Остальные элементы новой второй строки обозначим $a^{(1)}_{2k}$ , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен |A| .
Первую строку умножим на число $(-frac{a_{31}}{a_{11}})$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим $a^{(1)}_{3k}$ , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен |A| .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число $(-frac{a_{n1}}{a_{11}})$ и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее $A^{(1)}$ , которая имеет вид

причем $|A| = |A^{(1)}|$ . Для вычисления определителя матрицы $A^{(1)}$ используем разложение по первому столбцу

Так как $(-1)^{1+1} = 1$ , то

В правой части стоит определитель матрицы порядка n - 1 . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка n - 2 . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.

Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма – по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

Пример. Вычислите определитель матрицы .

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $-frac{3}{2}$ :

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $-(frac{-4}{2}) = 2$ :

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $-(frac{-6}{2}) = 3$ :

Определитель не меняется. В результате получаем

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

В результате получаем

Ответ. .

Замечание. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа – целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.

Обратная матрица

Определение 3. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается $A^{-1}$ . Таким образом, если $A^{-1}$ существует, то $AA^{-1} = A^{-1}A = E$ .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы $A^{-1}$ , то есть $(A^{-1})^{-1} = A$ . Про матрицы и $A^{-1}$ можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если |A| = 0 , и невырожденной или неособенной матрицей, если .

Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Утверждение. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и (1)
где $A_{ij}$ – алгебраические дополнения к элементам $a_{ij}$ .

Теорема.
Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица – невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).

Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй – номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй – строке: (2)

Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.

Замечание. В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так: (3)

Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц – целые числа. И наоборот, если элементы матрицы – десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя $frac{1}{|A|}$ впереди.

Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение.
– существует.

Ответ: .

Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы [5, стр.316-317].

Именно, определитель матрицы равен det $(A) = a_{11}a^{(1)}_{22} ... a^{(n-1)}_{nn}$ .

Обратная матрица $A^{-1}$ находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:

, где e[j] есть j-тый столбец единичной матрицы , x[j] – искомый вектор.

Полученные векторы решений – образуют, очевидно, столбцов матрицы $A^{-1}$ , поскольку $AA^{-1} = E$ .

Формулы для определителя

1. Если матрица невырожденная, то $A = P^{-1}LDU$ и
$det A = det P^{-1} det L det D det U = pm$ (произведение ведущих элементов).

Знак плюс или минус дается определителем матрицы $P^{-1}$ (или ) и зависит от того, является число перестановок строк в приведении четным или нечетным. Для треугольных сомножителей имеем и

2. Определитель матрицы может быть вычислен разлоразложением по алгебраическим дополнениям i-й строки:

$det A = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$ .

Алгебраическое дополнение $det A_{ij}$ есть определитель подподматрицы
$M_{ij}$ , взятый с нужным знаком:

$A_{ij} = (-1)^{i+j} det M_{ij}$ .

Подматрица $M_{ij}$ образуется вычеркиванием i-й строки и j-го столбца матрицы .

3. Правило Крамера: j-й элемент вектора $x = A^{-1} b$ равен
$x_j = frac {det B_j}{det A}$ , где

В B_j – вектор заменяет собой j-й столбец матрицы .

Пример.

Решение системы

4. Формула для ведущих элементов.

Если матрица представляется в виде LDU , то левые верхние углы удовлетворяют соотношению

Для разных разложения подматриц A_k «согласованы» друг с другом.

Объем параллелепипеда

Связь между определителем и объемом не очевидна, однако мы можем предположить для начала, что все углы прямые, т. е. грани взаимно перпендикулярны, и мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом. Тогда объем его равен просто произведению длин ребер .

Мы хотим получить ту же самую формулу с помощью определителя. С этой целью вспомним, что ребра параллелепипеда представляются строками матрицы . В нашем случае эти строки
взаимно ортогональны, так что

Величины $l^{2}_{i}$ суть квадраты длин строк матрицы, т. е. квадраты длин ребер, и нули вне диагонали получаются вследствие ортогональности строк. Переходя к определителям, получаем

Извлекая корень, мы и приходим к требуемому соотношению:
определитель равняется объему. Знак при det A будет зависеть от того, образуют ребра правостороннюю систему координат вида xyz или левостороннюю xyz .

Если область не прямоугольна, то объем уже не равен произведению длин ребер. В плоском случае «объем» параллелограмма равен произведению длины основания на высоту .

Вектор длины есть разность между вектором второй строки $Ob = (a_{21}, a_{22})$ и его проекцией на вектор первой строки.

Площадь паралелограмма равна det A .

Площади квадрата и параллелограмма.

Первый представляет собой единичный квадрат, и его площадь, равна 1. Второй есть параллелограмм с единичными основанием и высотой; его площадь не зависит от «сдвига», даваемого коэффициентом , и равна 1.

Литература

http://e-lib.gasu.ru/eposobia/metody/
http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/lection/lection2/lection2.asp
http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/index.html
Вычисление матриц Якоби и Гессе
Киселёв В.Ю., Пяртли А.С., Калугина Т.Ф. Высшая математика.
Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М., Высшая школа, 1990, 544 с.
Стренг Г. Линейная алгебра и ее приминения / Под ред. Г. И. Марчука. М.: Мир, 1980. 453 c.

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Источник

Как найти обратную матрицу

Быстрый способ для матриц $2 times 2$
1. Пример 1
2. Пример 2
Нахождение с помощью метода Гаусса
1. Пример 3
2. Пример 4
Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$

Пример 1

Найти обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 3&4 \ 5&9 end{pmatrix}$.

Решение

Первым делом вычисляем определитель и убеждаемся, что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 3&4 \ 5&9 end{vmatrix} = 3cdot9 – 4cdot5 = 27 – 20 = 7.$$

Итак, определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует. Продолжаем наш алгоритм. Меняем элементы на главной диагонали местами, а у оставшихся элементов меняем знак на противоположный. $$A^{-1} = frac{1}{7} begin{pmatrix} 9&-4 \ -5&3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}$$

Пример 2

Вычислить обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{pmatrix}$.

Решение

Находим определитель $$det A = begin{vmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{vmatrix} = 2cdot(-6) – 4cdot(-1) = -12 + 4 = -8.$$

Меняем местами элементы главной диагонали, а остальным меняем знак на противоположный. Не забываем затем каждый элемент разделить на определитель. $$A^{-1} = frac{1}{-8} begin{pmatrix} -6&1 \ -4&2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{-6}{-8}&frac{1}{-8} \ frac{-4}{-8}&frac{2}{-8} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$

Ответ

$$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Пример 3

Найти обратную матрицу элементарными преобразованиями $$A = begin{pmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{pmatrix}.$$

Решение

Вычисляем определитель матрицы, чтобы убедиться что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{vmatrix} = 4-1+0-0-2-0=1 neq 0.$$

Выписываем основную матрицу и добавляем справа единичную матрицу. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ -1&-1&1 &|& 0&0&1 end{pmatrix}$$

Проводим элементарные преобразования над строками матриц таким образом, чтобы слева получилась единичная матрица. В то же время как справа получим обратную матрицу.

Умножаем третью строку на 2 и прибавляем первую. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&-3&2 &|& 1&0&2 end{pmatrix}$$

Умножаем третью строку на 2 и прибавляем к ней вторую строку, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Теперь запускаем обратный ход преобразований снизу вверх. Ко второй строке прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Умножаем первую строку на 2 и прибавляем к ней вторую строчку матрицы. $$begin{pmatrix} 4&0&0 &|& 4&4&4 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Теперь, чтобы слева получилась единичная матрица нужно первую строку разделить на 4, вторую на 2. $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& 1&1&1 \ 0&1&0 &|& 1&2&2 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Справа как видим получилась обратная матрица $$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}$$

Пример 4

Дана матрица, найти обратную $$A = begin{pmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{pmatrix}.$$

Решение

Первым делом вычисляем определитель, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы $$det A = begin{vmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{vmatrix} = 0+16+1-0-6-6=5.$$

Теперь справа от матрицы дописываем единичную матрицу $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 1&0&2 &|& 0&1&0 \ 4&1&3 &|& 0&0&1 end{pmatrix}.$$

Теперь с помощью элементарных преобразований делаем так, чтобы слева стояла единичная матрица. А справа получим одновременно обратную матрицу.

Умножаем вторую строку на 3 и вычитаем из неё первую. Умножаем третью строчку на 3 и вычитаем первую, умноженную на 4. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&-5&5 &|& -4&0&3 end{pmatrix}$$

Умножаем третью строку на 2 и вычитаем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-15 &|& -3&-15&6 end{pmatrix}$$

Третью строку можно разделить на 3, чтобы уменьшить числа для дальнейшего удобства. Сделаем это. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$

Начинаем проводить преобразования над строками теперь снизу вверх. Умножаем первую строку на 5 и прибавляем к ней третью. Ко второй строке просто прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 15&10&0 &|& 4&-5&2 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$

К первой строке прибавляем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 15&0&0 &|& -6&-15&12 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$

Осталось разделить первую строку на 15, вторую на (-2), а третью на (-5). $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$

Ответ

$$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5

Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$

Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $

Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю:

$$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 – 0 – 6 + 4 = 36 neq 0 $$

Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец:

$$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 – 2 = 10 $$

Убираем первую строку и второй столбец:

$$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 – 0) = 4 $$

Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя.

$$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 – 0 = 1 $$

$$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$

$$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 – 0 = 12 $$

$$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 – 0) = 3 $$

$$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 – 6 = -8 $$

$$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$

$$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$

Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений:

$$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$

Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $:

$$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$

В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $:

$$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$

Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$

Источник

Обра́тная
ма́трица —
такая матрица
(А^-1),
что их умножение (с любой стороны) даст
в результате единичную матрицу

Свойства
обратной матрицы

Способы
нахождения обратной матрицы

Нахождение обратной
матрицы с помощью присоединенной

(АǀЕ) ̴ (ЕǀА^-1)

Пример.
С помощью элементарных преобразований
строк найти обратную матрицу к матрице
A.

Определитель
равен –2, следовательно существует
обратная матрица. Припишем к исходной
матрице единичную, и будем преобразовывать
матрицу A, к виду единичной матрицы.
Тогда единичная матрица преобразуется
в обратную к матрице A.

Нахождение обратной
матрицы по формуле:

Пример.
Найдите обратную матрицу для
матрицы

Решение.
Находим определитель

Так
как

то
матрица А – невырожденная, и обратная
для нее существует. Находим алгебраические
дополнения:

Составляем
обратную матрицу, размещая найденные
алгебраические дополнения так, чтобы
первый индекс соответствовал столбцу,
а второй – строке:

Полученная
матрица и служит ответом к задаче.

Билет 7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.

АХ=В

Умножим на А^-1
обе части уравнения

А^-1 * А * Х = А^-1
*В

ЕХ = А^-1В

= А^-1В

5х₁ + 10х₂ =
4

3х₁ – х₂ =
1

А
;

В =

;

Х =

Метод Крамера
(правило Крамера) — способ решения
квадратных систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем
основной матрицы (причём для таких
уравнений решение существует и оно
единственно)

Билет 8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств r2 и r1

Вектором называется
направленный отрезок.

Линейными
операциями
называются операции сложения и
вычитания векторов и умножения
вектора на число.

1. Сумма

векторов

находится
по правилу
треугольника

или
по правилу
параллелограмма

— эти
правила равносильны.

Сложение
векторов
коммутативно и ассоциативно:

2.
Разность векторов

можно
определить как сумму

,
т. е. вычитание заменяется прибавлением
противоположного вектора.

Удобно
также правило
треугольника:
векторы

откладывают
от общего начала, тогда разность

есть
вектор, начало которого совпадает с
концом

,
а конец — с концом

3.
Произведением

(или
)
вектора

на
действительное число λ называется
вектор

,
коллинеарный вектору

,
имеющий длину, равную

,
и то же направление, что и вектор

,
если λ >
0, и направление, противоположное
направлению вектора

,
если λ <
0.

Так, например,

есть
вектор, имеющий то же направление, что
и вектор

,
а длину, вдвое большую, чем вектор

(рис.
108).

В
случае, когда λ = 0 или

,
произведение

представляет
собой нулевой вектор.

Противоположный
вектор

можно
рассматривать как результат умножения
вектора

на
λ = -1:

.

Очевидно, что

.

Множество
всех векторов размерности n называется
арифметическим n-мерным векторным
пространством и обозначается Rⁿ.

Геометрический смысл
имеют лишь пространства R1, R2, R3 . Для R1 –
это прямая, для R2 – плоскость, для R3 –
трехмерное пространство.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Загрузить PDF

Как правило, обратные операции используются для упрощения сложных алгебраических выражений. Например, если в задаче присутствует операция деления на дробь, можно заменить ее операцией умножения на обратную дробь, что является обратной операцией. Более того, матрицы делить нельзя, поэтому нужно умножать на обратную матрицу. Вычислять матрицу, обратную матрице размером 3х3, довольно утомительно, но нужно уметь делать это вручную. Также обратную величину можно найти с помощью хорошего графического калькулятора.

1
Проверьте определитель матрицы. Сначала вычислите определитель матрицы. Если определитель равен 0, то обратную матрицу вычислить нельзя. Определитель матрицы М обозначается как det(М).^[1]
- В случае матрицы размером 3х3 сначала обязательно вычислите определитель.
- Чтобы получить подробную информацию, прочитайте статью Как найти определитель матрицы 3х3.
2
Транспонируйте исходную матрицу. Транспонирование – это замена строк на столбцы относительно главной диагонали матрицы, то есть нужно поменять местами элементы (i,j) и (j,i). При этом элементы главной диагонали (начинается в верхнем левом углу и заканчивается в нижнем правом углу) не меняются.^[2]
- Чтобы поменять строки на столбцы, запишите элементы первой строки в первом столбце, элементы второй строки во втором столбце, а элементы третьей строки в третьем столбце. Порядок изменения положения элементов показан на рисунке, на котором соответствующие элементы обведены цветными кружками.
3
Найдите определить каждой матрицы размером 2х2. Каждый элемент любой матрицы, включая транспонированную, связан с соответствующей матрицей 2х2. Чтобы найти матрицу 2х2, которая соответствует определенному элементу, зачеркните строку и столбец, в которых находится данный элемент, то есть нужно зачеркнуть пять элементов исходной матрицы 3х3. Незачеркнутыми останутся четыре элемента, которые являются элементами соответствующей матрицы 2х2.^[3]
- Например, чтобы найти матрицу 2х2 для элемента, который расположен на пересечении второй строки и первого столбца, зачеркните пять элементов, которые находятся во второй строке и первом столбце. Оставшиеся четыре элемента являются элементами соответствующей матрицы 2х2.
- Найдите определитель каждой матрицы 2х2. Для этого произведение элементов второстепенной диагонали вычтите из произведения элементов главной диагонали (смотрите рисунок).
- Подробную информацию о матрицах 2х2, соответствующих определенным элементам матрицы 3х3, можно найти в интернете.
4
Создайте матрицу кофакторов. Результаты, полученные ранее, запишите в виде новой матрицы кофакторов. Для этого найденный определитель каждой матрицы 2х2 напишите там, где располагался соответствующий элемент матрицы 3х3. Например, если рассматривается матрица 2х2 для элемента (1,1), ее определитель запишите в позиции (1,1). Затем поменяйте знаки соответствующих элементов согласно определенной схеме, которая показана на рисунке.^[4]
- Схема изменения знаков: знак первого элемента первой строки не меняется; знак второго элемента первой строки меняется на противоположный; знак третьего элемента первой строки не меняется и так далее построчно. Обратите внимание, что знаки «+» и «-», которые показаны на схеме (смотрите рисунок), не свидетельствуют о том, что соответствующий элемент будет положительным или отрицательным. В данном случае знак «+» говорит о том, что знак элемента не меняется, а знак «-» свидетельствует об изменении знака элемента.
- Подробную информацию о матрицах кофакторов можно найти в интернете.
- Так вы найдете присоединенную матрицу исходной матрицы. Иногда ее называют комплексно-сопряженной матрицей. Такая матрица обозначается как adj(M).
5
Разделите каждый элемент присоединенной матрицы на определитель. Определитель матрицы М был вычислен в самом начале, чтобы проверить, что обратная матрица существует. Теперь разделите каждый элемент присоединенной матрицы на этот определитель. Результат каждой операции деления запишите там, где находится соответствующий элемент. Так вы найдете матрицу, обратную исходной.^[5]
- Определитель матрицы, которая показана на рисунке, равен 1. Таким образом, здесь присоединенная матрица является обратной матрицей (потому что при делении любого числа на 1 оно не меняется).
- В некоторых источниках операция деления заменяется операцией умножения на 1/det(М). При этом конечный результат не меняется.
Реклама

1
Единичную матрицу напишите рядом с исходной матрицей. Запишите исходную матрицу М, справа от нее нарисуйте вертикальную черту, а затем справа от черты запишите единичную матрицу. Получится матрица с тремя строками и шестью столбцами (большая матрица).^[6]
- Напомним, что единичной матрицей является матрица, где элементами главной диагонали являются единицы, а остальными элементами являются нули. Подробную информацию о единичных матрицах можно найти в интернете.
2
Выполните элементарные преобразования, чтобы из исходной матрицы получить единичную. Наша цель заключается в том, чтобы создать единичную матрицу на левой половине большой матрицы. Элементарные преобразования, выполняемые на левой половине большой матрицы, нужно выполнять и на ее правой половине (напомним, что правой половиной большой матрицы является единичная матрица).^[7]
- Помните, что элементарные преобразования включают в себя операции скалярного умножения, а также сложения и вычитания строк, чтобы обособить определенные элементы. Подробную информацию об элементарных преобразованиях матриц можно найти в интернете.
3

Продолжайте преобразовывать большую матрицу до тех пор, пока ее левая половина (то есть исходная матрица) не превратится в единичную матрицу. Напомним, что единичной матрицей является матрица, где элементами главной диагонали являются единицы, а остальными элементами являются нули. Когда исходная матрица станет единичной, на правой половине большой матрицы вы получите матрицу, обратную исходной.^[8]
4

Запишите обратную матрицу. Запишите элементы, расположенные на правой половине большой матрицы, в виде отдельной матрицы, которая является обратной матрицей.^[9]

Реклама

1

Выберите калькулятор, который работает с матрицами. С помощью простых калькуляторов нельзя найти обратную матрицу, но это можно сделать на хорошем графическом калькуляторе, таком как Texas Instruments TI-83 или TI-86.^[10]
2

Введите исходную матрицу в память калькулятора. Для этого нажмите кнопку Matrix (Матрица), если она есть. В случае калькулятора Texas Instruments, возможно, понадобится нажать кнопки 2^nd и Matrix.
3

Выберите меню Edit (Редактирование). Сделайте это с помощью кнопок со стрелками или соответствующей функциональной кнопки, которая находится в верхней части клавиатуры калькулятора (расположение кнопки зависит от модели калькулятора).^[11]
4

Введите обозначение матрицы. Большинство графических калькуляторов умеет работать с 3-10 матрицами, которые можно обозначить буквами А-J. Как правило, просто выберите [A], чтобы обозначить исходную матрицу. Затем нажмите кнопку Enter (Ввод).^[12]
5

Введите размер матрицы. В данной статье говорится о матрицах 3х3. Но графические калькуляторы умеют работать с матрицами больших размеров. Введите количество строк, нажмите кнопку Enter, затем введите количество столбцов и еще раз нажмите кнопку Enter.^[13]
6
Введите каждый элемент матрицы. На экране калькулятора отобразится матрица. Если ранее в калькулятор уже вводилась матрица, она появится на экране. Курсор выделит первый элемент матрицы. Введите значение первого элемента и нажмите Enter. Курсор автоматически переместится к следующему элементу матрицы.^[14]
- Чтобы ввести отрицательное значение элемента, нажмите специальную кнопку со знаком «минус», а не кнопку операции вычитания; в противном случае калькулятор не сможет правильно обработать это число.
- Чтобы перейти к определенному элементу матрицы, воспользуйтесь кнопками со стрелками.
7

Выйдите из режима введения матрицы. Введя значения всех элементов матрицы, нажмите кнопку Quit (Выход). (Или, если необходимо, нажмите кнопки 2^nd и Quit.) Так вы выйдете из режима введения матрицы и перейдете на основной экран калькулятора.^[15]
8
Воспользуйтесь специальной кнопкой, чтобы найти обратную матрицу. Во-первых, войдите в режим ввода матрицы (нажмите кнопку Matrix) и нажмите кнопку Names (Обозначения), чтобы выбрать обозначение матрицы, которое вы указали ранее (скорее всего, [A]). Затем нажмите кнопку выполнения обратной операции, которая помечена как $x^{{-1}}$ (возможно, сначала придется нажать кнопку 2^nd). На экране отобразится $A^{{-1}}$ . Нажмите Enter, чтобы вывести на экран обратную матрицу.^[16]
- Не пользуйтесь кнопкой ^ (кнопка для возведения в степень), чтобы ввести A^-1 посредством нажатия нескольких клавиш. Калькулятор не поймет эту операцию.
- Если после нажатия на кнопку обратной операции на экране отобразилось сообщение об ошибке, скорее всего, обратная матрица не существует. Чтобы убедиться в этом, вычислите определить матрицы.
9
Преобразуйте значения элементов обратной матрицы в обыкновенные дроби. По умолчанию калькулятор отображает значения элементов обратной матрицы в виде десятичных дробей; в большинстве случаев такую матрицу нельзя записать в ответе. Поэтому десятичные значения элементов обратной матрицы необходимо преобразовать в обыкновенные дроби (в редчайших случаях все элементы обратной матрицы будут целыми числами).^[17]
- Во многих графических калькуляторах есть кнопка, позволяющая преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные. Например, на калькуляторе TI-86 нажмите Math (Математика), выберите Misc (Другое), затем выберите Frac (Дробь) и нажмите Enter. Десятичные дроби будут автоматически преобразованы в обыкновенные.
Реклама

Советы

Описанные методы можно применять к матрицам, элементами которых являются не только числа, но и переменные, неизвестные и даже алгебраические выражения.
Вычисления записывайте на бумаге, так как найти обратную матрицу в уме крайне сложно.
Существуют компьютерные программы, которые умеют работать с любыми матрицами^[18], включая матрицы 30х30.
Проверьте ответ, полученный с помощью любого из описанных в этой статье методов. Для этого перемножьте исходную (М) и обратную (М¹) матрицы. Помните, что М*М¹ = М¹*М = 1. Единичная матрица – это матрица, где элементами главной диагонали являются единицы, а остальными элементами являются нули. Если результат перемножения не равен 1, проверьте ваши вычисления.

Предупреждения

Не все матрицы 3×3 обратимы. Если определитель матрицы равен 0, обратная матрица не существует. (Обратите внимание, что в вычислениях присутствует деление на определитель, а на 0 делить нельзя.)

Об этой статье

Эту страницу просматривали 89 818 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Методы вычисления определителей

При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций. Гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя, что соответствует элементарным преобразованиям матрицы.

I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.

При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.

Метод приведения определителя к треугольному виду

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.

Итак, метод состоит из двух шагов.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка

$det{A}= begin{vmatrix}1&2&3&4\ 2&3&4&1\ 3&4&1&2\ 4&1&2&3end{vmatrix},$ приводя его к треугольному виду.

Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент $a_{11}=1$ первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):

$begin{vmatrix}1&2&3&4\ 2&3&4&1\ 3&4&1&2\ 4&1&2&3end{vmatrix}= begin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&-1&-2&-7\ 0&-2&-8&-10\ 0&-7&-10&-13end{vmatrix}.$

Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.

Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на (-1)cdot0,!5=-0,!5 , т.е. умножить на (-2):

$begin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&-1&-2&-7\ 0&-2&-8&-10\ 0&-7&-10&-13end{vmatrix}= -2cdot!begin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&1&2&7\ 0&-1&-4&-5\ 0&-7&-10&-13end{vmatrix}.$

В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы $a_{32}=-1$ и $a_{42}=-7$ второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента $a_{22}=1$ и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:

$-2cdot!begin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&1&2&7\ 0&-1&-4&-5\ 0&-7&-10&-13end{vmatrix}= -2cdot!begin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&1&2&7\ 0&0&-2&2\ 0&0&4&36end{vmatrix}$

Осталось сделать равным нулю элемент $a_{43}$ . К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится):

$-2cdot!begin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&1&2&7\ 0&0&-2&2\ 0&0&4&36end{vmatrix}= -2cdot!begin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&1&2&7\ 0&0&-2&2\ 0&0&0&40end{vmatrix}.$

Получили определитель треугольного вида.

2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали:

$det{A}= -2cdotbegin{vmatrix}1&2&3&4\ 0&1&2&7\ 0&0&-2&2\ 0&0&0&40end{vmatrix}= -2cdot1cdot1cdot(-2)cdot40=160.$

Метод понижения порядка определителя

Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя.

1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.

2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.

Пример 2.13. Вычислить определитель четвёртого порядка методом понижения порядка.

$det{A}= begin{vmatrix}1&0&3&4\ 0&3&0&1\ 3&0&1&2\ 4&1&2&3 end{vmatrix}$

Решение. 1. В качестве ведущего элемента возьмем $a_{24}=1$ , а все остальные элементы второй строки при помощи элементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на (-3):

$begin{vmatrix}1&0&3&4\ 0&3&0&1\ 3&0&1&2\ 4&1&2&3 end{vmatrix}= begin{vmatrix}1&-12&3&4\ 0&0&0&1\ 3&-6&1&2\ 4&-8&2&3end{vmatrix}.$

2. Разложим определитель по второй строке

$begin{vmatrix}1&-12&3&4\ 0&0&0&1\ 3&-6&1&2\ 4&-8&2&3end{vmatrix}= 1cdot(-1)^{2+4}cdot begin{vmatrix}1&-12&3\3&-6&1\4&-8&2end{vmatrix}.$

Получили определитель третьего порядка.

Вынесем за знак определителя множитель (2) из второго столбца (точнее все элементы второго столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2):

$begin{vmatrix}1&-12&3\3&-6&1\4&-8&2end{vmatrix}= 2cdot begin{vmatrix}1&-6&3\ 3&-3&1\ 4&-4&2end{vmatrix}.$

Прибавим ко второму столбцу первый

$2cdot begin{vmatrix}1&-6&3\ 3&-3&1\ 4&-4&2end{vmatrix}= 2cdot begin{vmatrix}1&-5&3\ 3&0&1\ 4&0&2end{vmatrix}.$

Полученный определитель разложим по второму столбцу

$2cdot begin{vmatrix}1&-5&3\ 3&0&1\ 4&0&2end{vmatrix}= 2cdot(-5)cdot(-1)^{1+2}cdot begin{vmatrix}3&1\4&2end{vmatrix}= 10cdot begin{vmatrix}3&1\4&2end{vmatrix}.$

Получили определитель 2-го порядка.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2)

$10cdot begin{vmatrix}3&1\4&2end{vmatrix}= 10cdot begin{vmatrix}3&1\-2&0 end{vmatrix}.$

Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядка единственным его элементом

$10cdot begin{vmatrix}3&1\-2&0 end{vmatrix}= 10cdot(-2)cdot(-1)^{2+1}cdot1=20.$

Результат совпадает с полученным в примере 2.7.

Метод изменения всех элементов определителя

При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях.

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка. Из свойства 6 следует, что при умножении всех элементов определителя n-го порядка на число lambdane0 определитель умножается на число $lambda^ncolon,det(lambda A)=lambda^ndet{A}$ .

Рассмотрим теперь определитель матрицы , элементы которой $b_{ij}=a_{ij}+x$ получены из соответствующих элементов матрицы прибавлением числа xcolon

$det{B}= begin{vmatrix} a_{11}+x& a_{12}+x& cdots& a_{1n}+x\ vdots&vdots& ddots&vdots\ a_{n1}+x& a_{n2}+x& cdots& a_{nn}+x end{vmatrix}.$

Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей

$det{B}= begin{vmatrix} a_{11}+x&a_{12}+ x&cdots& a_{1n}+x\ vdots&vdots&ddots&vdots\ a_{n1}+x&a_{n2}+ x&cdots& a_{nn}+xend{vmatrix}= begin{vmatrix}x&a_{12}+x&cdots&a_{1n}+x\ vdots&vdots&ddots&vdots\ x&a_{n2}+x&cdots&a_{nn}+xend{vmatrix}.$

То же свойство применяем к каждому определителю (“раскладывая” второй столбец) и т.д. В итоге получим сумму 2^n определителей n-го порядка, причем определители, имеющие по два и более столбцов из элементов, равных , равны нулю (по свойству 4). Поэтому в сумме остаются только (n+1) слагаемых: определитель матрицы и определителей вида

$D_{j}= begin{vmatrix}a_{11}&cdots&a_{1,j-1}&x& a_{1,j+1}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots& vdots&vdots& vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{n,j-1}&x&a_{n,j+1}& cdots&a_{nn}end{vmatrix},$

отличающихся от определителя матрицы только j-м столбцом. Раскладывая этот определитель по j-му столбцу, получаем сумму алгебраических дополнений элементов этого столбца, умноженную на xcolon

$D_{j}= xcdotsum_{i=1}^{n}A_{ij}.$

Следовательно, сумма всех таких определителей $D_{j},(j=1,2,ldots,n)$ равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы , умноженной на

$sum_{j=1}^{n}D_{j}= xcdotsum_{j=1}^{n}sum_{i=1}^{n}A_{ij},.$

Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число , определитель увеличивается на сумму всех алгебраических дополнений, умноженную на число xcolon

$begin{vmatrix}a_{11}+x&cdots&a_{1n}+x\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}+x&cdots&a_{nn}+xend{vmatrix}= begin{vmatrix}a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}+ xcdotsum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n}A_{ij},.$

Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка

$D_n= begin{vmatrix}a_1&x&x&cdots&x\ x&a_2&x&cdots&x\ x&x&a_3&cdots&x\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\ x&x&x&cdots&a_nend{vmatrix}.$

Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы

$det{A}= begin{vmatrix}a_1-x&0&0&cdots&0\ 0&a_2-x&0&cdots&0\ 0&0&a_3-x&cdots&0\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&0&0&cdots&a_n-xend{vmatrix}.$

Искомый определитель D_n получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы числа . Поэтому

$D_n=det{A}+xcdot sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}A_{ij},.$

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

$det{A}= (a_1-x)cdot(a_2-x)cdotldotscdot(a_n-x)=prod_{i=1}^{n}(a_i-x).$

Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы . Заметим, что алгебраическое дополнение недиагонального элемента равно нулю ( $A_{ij}$ при ine j , так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е.

$A_{ij}= (a_1-x)cdotldotscdot(a_{i-1}-x)cdot(a_{i+1}-x)cdotldotscdot(a_n-x).$

Поэтому

$D_{n}= prod_{i=1}^{n}(a_i-x)+xcdotsum_{k=1}^{n}prod_{i=1}^{k}(a_i-x).$

Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений

Этот метод заключается в том, что исходный определитель Delta_n n-го порядка выражается через определители $Delta_{n-1},Delta_{n-2},ldots,Delta_{n-m}$ того же вида, но меньшего порядка. Получается рекуррентное уравнение

$Delta_n= f(Delta_{n-1},Delta_{n-2},ldots,Delta_{n-m}).$

Решая это уравнение, находим формулу, выражающую определитель Delta_n через определители Delta_1,Delta_2,ldots,Delta_m и порядок ncolon

Delta_n= F(Delta_1,Delta_2,ldots,Delta_m).

В последнюю формулу подставляем определители Delta_1,Delta_2,ldots,Delta_m невысокого (m<n) порядка, которые нетрудно вычислить каким-либо другим способом.

Замечание 2.6. Рекуррентным уравнением называется равенство вида $x_n=f(n,x_{n-1},ldots,x_{n-m})=0$ , выражающее n-й член x_n искомой числовой последовательности ${x_n}$ через её предыдущих членов $x_{n-1},x_{n-2},ldots,x_{n-m}$ . Методы решения таких уравнений рассматриваются в разд.

Пример 2.15. Вычислить определитель n-го порядка

$Delta_n= begin{vmatrix}3&2&0&cdots&0&0\ -2&3&2&cdots&0&0\ 0&-2&3&cdots&0&0\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ 0&0&0&cdots&3&2\ 0&0&0&cdots&-2&3end{vmatrix}.$

Решение. Разложим определитель по первой строке

$Delta_n= 3cdot(-1)^{1+1}cdot begin{vmatrix}3&2&cdots&0&0\ -2&3&cdots&0&0\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ 0&0&cdots&3&2\ 0&0&cdots&-2&3end{vmatrix}+ 2cdot(-1)^{1+2}cdot begin{vmatrix}-2&2&cdots&0&0\ 0&3&cdots&0&0\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ 0&0&cdots&3&2\ 0&0&cdots&-2&3end{vmatrix}.$

Первый из полученных определителей (n-l)-ro порядка обозначим $Delta_{n-1}$ , так как он имеет такой же вид, что и Delta_n . Разложив последний определитель по первому столбцу, получим определитель того же вида, что и Delta_n , но (n-2)-го порядка

$Delta_n= 3Delta_{n-1}- 2begin{vmatrix}-2&2&0&cdots&0\ 0&3&2&cdots&0\ 0&-2&3&cdots&0\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&0&0&cdots&3end{vmatrix}= 3Delta_{n-1}-2(-2)(-1)^{1+1} begin{vmatrix}3&2&cdots&0\ -2&3&cdots&0\ vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&0&cdots&3end{vmatrix}.$

Следовательно, искомый определитель удовлетворяет рекуррентному уравнению

$Delta_n= 3cdotDelta_{n-1}+4cdotDelta_{n-2}.$

Решение этого уравнения будем искать в виде Delta_n= a(-1)^n+b4^n , где и — неизвестные коэффициенты. Заметим, что эта формула дает решение рекуррентного уравнения при любых коэффициентах и . В самом деле, подставляя Delta_n= a(-1)^n+b4^n в уравнение, получаем тождество

$begin{gathered} acdot(-1)^n+bcdot4^n= 3cdotBigl[acdot(-1)^{n-1}+bcdot4^{n-1} Bigr] + 4cdotBigl[acdot(-1)^{n-2}+bcdot4^{n-2}Bigr]~~Leftrightarrow\[2pt] Leftrightarrow~~ acdot(-1)^n+bcdot4^n= -3acdot(-1)^n+frac{3}{4}bcdot4^n+4acdot(-1)^n+frac{b}{4}cdot4^n~~Leftrightarrow\[2pt] Leftrightarrow~~ acdot(-1)^n+bcdot4^n= acdot(-1)^n+bcdot4^n.end{gathered}$

Подберем теперь коэффициенты и в формуле Delta_n= acdot(-1)^n+bcdot4^n так, чтобы при n=1 и n=2 она давала правильные результаты, т.е.

$Delta_1= acdot(-1)^1+bcdot4^1=3;quad Delta_2= acdot(-1)^2+bcdot4^2= begin{vmatrix}3&2\-2&3end{vmatrix}=13.$

Решая систему уравнений $begin{cases}-a+4b=3,\ a+16b=13,end{cases}$ получаем $a=frac{1}{5},,b=frac{4}{5}$ . Следовательно, искомый определитель равен

$Delta_n= frac{1}{5}cdot(-1)^n+frac{4}{5}cdot4^n= frac{1}{5}Bigl[(-1)^n+4^{n+1}Bigr].$

Пример 2.16. Вычислить определитель Вандермонда

$Delta_n= begin{vmatrix}1&1&cdots&1&1\ x_1&x_2&cdots&x_{n-1}&x_n\ x_1^2&x_2^2&cdots&x_{n-1}^2&x_n^2\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&cdots&x_{n-1}^{n-1}&x_n^{n-1}end{vmatrix}.$ где x_1,x_2,ldots,x_n — действительные числа.

Решение. Рассмотрим определитель

$Delta_n(x)= begin{vmatrix}1&1&cdots&1&1\ x_1&x_2&cdots&x_{n-1}&x\ x_1^2&x_2^2&cdots&x_{n-1}^2&x^2\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&cdots&x_{n-1}^{n-1}&x^{n-1}end{vmatrix},$

который отличается от определителя Вандермонда последним столбцом, но совпадает с ним при x=x_ncolon,Delta_n(x_n)=Delta_n . Раскладывая определитель Delta_n(x) по последнему столбцу, получаем многочлен (n-1)-й степени действительной переменной xcolon

$Delta_n(x)=a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_1x+a_0,$

где старший коэффициент $a_{n-1}$ равен алгебраическому дополнению элемента $x^{n-1}colon$

$a_{n-1}= (-1)^{n+n}cdotDelta_{n-1}= Delta_{n-1},$

т.е. определителю $Delta_{n-1}$ — определителю Вандермонда (n-l)-ro порядка. Заметим, что при x=x_1 определитель Delta_n(x) равен нулю, так как он имеет два одинаковых столбца (свойство 4). Следовательно, x_1 — корень многочлена . То же самое можно сказать про числа $x_2,x_3,ldots,x_{n-1}$ . Все они являются корнями многочлена Delta_n(x) . Следовательно, этот многочлен имеет вид:

$Delta_n(x)= Delta_{n-1}cdot(x-x_1)(x-x_2)cdotldotscdot(x-x_{n-1}).$

Подставляя в это равенство x=x_n и учитывая, что Delta_n(x_n)=Delta_n , получаем рекуррентное уравнение

$Delta_n= Delta_{n-1}cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)cdotldotscdot(x_n-x_{n-1}).$

Записывая аналогичным образом $Delta_{n-1},Delta_{n-2},ldots,Delta_2$ и учитывая, что Delta_1=1 , получаем

$Delta_n= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)cdotldotscdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)cdotldotscdot(x_n-x_{n-1})= prod_{1leqslant j<ileqslant n}(x_i-x_j).$

Таким образом, определитель Вандермонда равен произведению всех разностей x_i-x_j при 1leqslant j<ileqslant n .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Материал из MachineLearning.

Содержание

Постановка задачи

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Обратная матрица

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Формулы для определителя

Объем параллелепипеда

Литература

См. также

Как найти обратную матрицу

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Нахождение с помощью метода Гаусса

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Билет 7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.

Билет 8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств r2 и r1

Советы

Предупреждения

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Методы вычисления определителей

Метод приведения определителя к треугольному виду

Метод понижения порядка определителя

Метод изменения всех элементов определителя

Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений

Вам также может понравиться

Как найти в какую школу идти

Как найти номер телефона нужного мне человека

Как найти массу электронов через заряд

Добавить комментарий Отменить ответ