Как составить общую формулу для всех чисел которым соответствуют точки

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac<π><2>, frac<π><3>, frac<7π><4>, 10π, -frac<29π><6>)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac<π><2>),(-frac<π><2>),(frac<3π><2>), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки :y = – 1 / 2 , x > ; 0?

Алгебра | 10 – 11 классы

На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки :

Найдите на числовой окружности точку которая соответствует заданному числу п / 6?

Найдите на числовой окружности точку которая соответствует заданному числу п / 6.

Найдите квадрат расстояния между точками, координаты которых удовлетворяют системе уравнений?

Найдите квадрат расстояния между точками, координаты которых удовлетворяют системе уравнений.

На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки :y = – 1 / 2 , x > ; 0?

На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки :

На числовой окружности взяты точки M(2п / 3), N(п / 4) / Найдите все числа t, которым на данной окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге MN?

На числовой окружности взяты точки M(2п / 3), N(п / 4) / Найдите все числа t, которым на данной окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге MN.

Как найти на числовой окружности точки?

Как найти на числовой окружности точки.

Которые соответствуют числам 4, 5 и – 3?

Какой четверти числовой окружности принадлежат точки, соответствующих числам 8, 4 , 3, и – 8?

Найдите все числа, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки?

Найдите все числа, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки.

1 ) Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу – / 22 ) Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданной формуле ( во всех формулах предпологает?

1 ) Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу – / 2

2 ) Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданной формуле ( во всех формулах предпологаеться , что n принадлежит Z

Как определить координаты точки на числовой окружности, под углом 60 °?

Как определить координаты точки на числовой окружности, под углом 60 °.

Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам ; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки : t = Пи * n t = Пи * n / 2 Пожалуйста,?

Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам ; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки : t = Пи * n t = Пи * n / 2 Пожалуйста, подробнее распишите Спасибо.

Укажи какому числу t соответствует точка на числовой окружности, если её ордината удовлетворяет данному неравенству :у>0__πn 0

__πn 10 янв. 2022 г., 14:09:56

А) у = 9 это прямая параллельная оси х через у = 9. Она пересекает параболу в точках х = – 3 и х = 3.

При x(x + 9)(2x – 8)≥0 ответ : x∈[ – 9 ; 0]∪[4 ; + ∞).

3 вариант, точка пересечения получается (3 ; – 2) выразим х из первого уравнения x = 1 – y подставим х во второе уравнение и найдём y 1 – y – 3x = 9 1 – 4y = 9 – 4y = 8 y = – 2 подставим y в первое уравнение и найдём x x – 2 = 1 x = 3 Ответ : (3 ; – ..

Y = 3x – 5 y’ = 3 y ( – 1) = 3 * ( – 1) – 5 = – 8 y (3) = 3 * 3 – 5 = 4 y (4) = 3 * 4 – 5 = 7 Наименьшее значение – ” – 8″.

= 7 – 18y + 12 = – 18y + 19 – 18y = – 19 y = 19 / 18.

На числовой окружности укажите точку

Скачать
презентацию

Координаты >>

На числовой окружности укажите точку М, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа t, которым соответствует эта точка:

Слайд 11 из презентации «Точки на числовой окружности». Размер архива с презентацией 577 КБ.

Алгебра 10 класс

«Диофантовы уравнения» – Одноглавые сороконожки. Актуальность исследования. Методы решения диофантовых уравнений. Метод разложения на множители. Множество решений. Гипотеза. Целочисленные решения. Оценка выражений. Теория делимости. Решение. Способы решения диофантовых уравнений. Диофантовы уравнения. Многочлен с целыми коэффициентами. Метод решения относительно одной переменной. Метод оценки. Методы решения уравнений. Метод прямого перебора.

«Точки на числовой окружности» – Найдите на числовой окружности точки. Координаты. Точки с ординатой. Числовая окружность. Тригонометр. Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой. От окружности к тригонометру. Числовая окружность на координатной плоскости. Свойство координат точек. Точки с абсциссой. Центр числовой окружности. Назвать линию и координату точки. Назвать координату точки. На числовой окружности укажите точку.

«Тригонометрические функции углового аргумента» – Значения тригонометрических функций основных углов. Значения тригонометрических функций углов единичной окружности. Знаки тригонометрических функций в четвертях единичной окружности. Формулы приведения. Значения тригонометрических функций углового аргумента. Тригонометрические функции числового аргумента. Самостоятельная работа. Обобщить и систематизировать учебный материал по теме. Значения тригонометрических функций остальных углов таблицы.

«Системы счисления» – Разбить двоичное число на тетрады. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Связь систем счисления. Правило перевода дробных чисел. Примеры. Двоичные числа. Переводы в системах счисления. Шестнадцатеричная СС. Правило перевода из p-i системы счисления. Десятичная СС. Десятичные числа. Выполни перевод. Римская система счисления. Правило перевода. Что такое система счисления. Правила перевода.

«Уравнения» – Графический способ. Решение. Биология. Немного истории. Математика в Древней Индии. Математика исламского средневековья. Экономика. Появление буквенной символики. Аналитический способ. Где используются уравнения сегодня. Что такое уравнение. Физика. Математика в Древнем Египте. Алгебра. Арифметика Диофанта. Способы решения уравнений. Появление символа равенства. Геометрия. Алгебраический способ. Уравнения вокруг нас.

«Тест «Функции и их свойства»» – Множество значений функции. Укажите все нули функции. График какой функции изображен на рисунке. Задания командам. На каком из рисунков изображен график нечетной функции. Звезда для капитана. Звездная эстафета. Групповое задание командам. Найдите промежутки возрастания функции, заданной графически. Свойства функций. Тестирование. Найдите наименьший положительный период функции. Укажите график четной функции.

Всего в теме «Алгебра 10 класс» 52 презентации

[spoiler title=”источники:”]

http://algebra.my-dict.ru/q/3491249_na-cislovoj-okruznosti-ukazite-vse-tocki/

http://5klass.net/algebra-10-klass/Tochki-na-chislovoj-okruzhnosti/011-Na-chislovoj-okruzhnosti-ukazhite-tochku.html

[/spoiler]

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок и презентация на тему: “Числовая окружность: определение, общий вид, длина. Единичная окружность”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:
Числовая окружность (PPTX )

---

Что будем изучать:
1. Числовая окружность в жизни.
2. Определение числовой окружности.
3. Общий вид и длина числовой окружности.
4. Местонахождение основных точек окружности.

Числовая окружность и жизнь

В реальной жизни часто встречается движение по окружности. Например, соревнования велосипедистов, которые проезжают определенный круг на время или соревнования гоночных автомобилей, которым надо проехать наибольшее количество кругов за отведенное время.

Рассмотрим конкретный пример…

Бегун бежит по кругу длиной 400 метров. Спортсмен стартует в точке А (рис. 1) и движется против часовой стрелки. Где он будет находится через 200 м, 800 м, 1500 м? А где провести финишную черту, если бегуну необходимо пробежать 4195 м?


Решение:
Через 200 м бегун будет находиться в точке С. Так как он пробежит ровно половину дистанции.

Пробежав 800 м, бегун сделает ровно два круга и окажется в точке А.

1500м – это 3 круга по 400 м (1200 м) и еще 300 м , то есть $frac{3}{4}$ от беговой дорожки, финиш этой дистанции в точке D.

Где будет находиться наш бегун пробежав 4195 м? 10 кругов – это 4000 м, останется пробежать 195 м, это на 5 м меньше, чем половина дистанции. Значит финиш будет в точки K, расположенной около точки С.

Определение числовой окружности

Запомните!
Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.
Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности

1) Радиус окружности принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка. 
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.

Диаметры АС и BD делят окружность на четыре четверти:
первая четверть – это дуга AB.
вторая четверть – дуга BC.
третья четверть – дуга CD.
четвертая четверть – дуга DA.

3) Начальная точка числовой окружности – точка А.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Длина числовой окружности

Длина числовой окружности вычисляется по формуле:
$L = 2 π * R = 2 π * 1 = 2 π$.
Так как это единичная окружность, то $R = 1$.
Если взять $π ≈ 3,14$, то длина окружности L может быть выражена числом:
$2 π ≈ 2 * 3,14 = 6,28$.
Длина каждой четверти равна: $frac{1}{4}*2π=frac{π}{2}$.

Местонахождение основных точек окружности

Основные точки на окружности и их названия представлены на рисунке:

Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части. Около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует.

Для числовой окружности верно следующее утверждение:

Если точка $М$  числовой окружности соответствует числу $t$ , то она соответствует и числу вида $t+2π *k$, где $k$ – целое число. $М(t) = M(t+2π*k)$.

Рассмотрим пример.
В единичной окружности дуга АВ разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р — на три равные части. Чему равна длина дуги: AM, МВ, АК, КР, РB, АР, КМ?

Длина дуги $АВ =frac{π}{2}$. Разделив ее на две равные части точкой М, получим две дуги, длиной $frac{π}{4}$ каждая. Значит, $AM =МВ=frac{π}{4}$.

Дуга АВ разбита на три равные части точками К и Р. Длина каждой полученной части равна $frac{1}{3}* frac{π}{2}$, т. е. $frac{π}{6}$. Значит, $АК = КР = РВ =frac{π}{6}$.

Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной — $frac{π}{6}$. Значит, $АР = 2 *frac{π}{6} =frac{π}{3}$.

Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги AM исключением дуги АК. Таким образом, $КМ = AM – АК =frac{π}{4} – frac{π}{6} = frac{π}{12}$.

Задача:

Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$2π$, $frac{7π}{2}$, $frac{π}{4}$, $-frac{3π}{2}$.

Решение:

Числу $2π$ соответствует точка А, т.к. пройдя по окружности путь длиной $2π$, т.е. ровно одну окружность, мы опять попадем в точку А.

Числу $frac{7π}{2}$ соответствует точка D, т.к. $frac{7π}{2}=2π+frac{3π}{2}$, т.е. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти целую окружность и дополнительно путь длиной $frac{3π}{2}$, который закончится в точке D.

Числу $frac{π}{4}$ соответствует точка М, т.к. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти путь в половину дуги АВ длиной $frac{π}{2}$, который закончится в точке M.

Числу $-frac{3π}{2}$ соответствует точка В, т.к. двигаясь в отрицательном направлении из точки А, нужно пройти путь длиной $frac{3π}{2}$, который закончится в точке В.

Пример.

Найти на числовой окружности точки:
а) $21frac{π}{4}$;
б) $-37frac{π}{6}$.

Решение:
Воспользуемся формулой: $М(t) = M(t+2π*k)$ (8 слайд) получим:

а) $frac{21π}{4} = (4+frac{5}{4})*π = 4π +frac{5π}{4} = 2*2π +frac{5π}{4}$, значит числу $frac{21π}{4}$ соответствует такое же число, что и числу $frac{5}{4π}$ – середина третьей четверти.

б) $-frac{37π}{6}=-(6+frac{1}{6})*π =-(6π +frac{π}{6}) = -3*2π – frac{π }{6}$. Значит, числу $-frac{37π}{6}$ соответствует такое же число, что и числу $-frac{1}{6π}$. Тоже самое, что и $frac{11π}{6}$.

Пример.

Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) ВА;
б) МK.

Решение:

а) Дуга ВА – это дуга с началом в точке В и концом в точке А, при движении по окружности против часовой стрелки. Точка В соответственно равна $frac{π}{2}$, а точка А равна $2π$. Значит, для точек t имеем: $frac{π}{2} ≤ t ≤ 2π$. Но согласно формуле на слайде 8, числам $frac{π}{2}$ и $2π$ соответствуют числа вида $frac{π}{2}+2π*k$ и $2π+2π*k$ соответственно.
Тогда наше число t принимает значения:
$frac{π}{2} +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, где $к$ – целое число.

б) Дуга МK – это дуга с началом в точке М и концом в точке К. Точка М соответственно равна $-frac{3π}{4}$, а точка К равна $frac{π}{4}$.
Значит для точек t имеем:
$frac{-3π}{4} ≤ t ≤frac{π}{4}$.
Согласно формуле на слайде 8 числам $-frac{3π}{4}$ и $frac{π}{4}$ соответствуют числа вида: $-frac{3π}{4}+2π*k$ и $frac{π}{4}+2π*k$ соответственно.
Тогда наше число t принимает значения:
$-frac{3π}{4}+2π*k ≤ t ≤ frac{π}{4} +2π*k$, где $к$ – целое число.

Задачи для самостоятельного решения

1) На единичной окружности дуга ВС разделена точкой Т на две равные части, а точками К и Р на три равные части. Чему равна длина дуги: ВТ, ТС, ВК, КР, РС, ВР, КТ?

2) Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$π$, $frac{11π}{2}$, $frac{21π}{4}$, $-frac{7π}{2}$, $frac{17π}{6}$.

3) Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) АВ;
б) АС;
в) PM, где P – середина дуги АВ, а точка М – середина DA.