Как составить параметрические уравнения медианы треугольника

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Образцы выполнения некоторых заданий

Рассмотрим решения некоторых практических упражнений.

Задание 2(е)

На плоскости даны точки А(11; -5), В(6;7), С(-10; -5). Найти уравнение биссектрисы угла А.

Решение задания 2(е)

Найдем направляющий вектор биссектрисы как сумму ортов векторов и

,

или (умножая на )

.

; ;

; .

.

Таким образом, в качестве направляющего вектора биссектрисы угла А можно взять вектор и уравнение биссектрисы будет иметь вид

.

Задание 3

Дана точка (0;2) пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон 5х – 4у + 15 = 0 и 4х + у – 9 = 0. Найти координаты вершин треугольника и уравнение третьей стороны.

Решение Координаты одной вершины найдем как координаты точки пересечения данных сторон, для чего решим систему уравнений

Получаем или

Точка О_ц пересечения медиан треугольника называется его центром. Отметим одно свойство центра треугольника, которое используем для нахождения координат остальных вершин:

; ,

где х_ц, у_ц – координаты центра треугольника;

х_i, y_i – координаты i-ой вершины треугольника,

Для доказательства этих формул рассмотрим треугольник А₁А₂А₃, где А_i(x_i;y_i), i = 1-3 (см.рис.2.1).

Рис.2.1. Вспомогательный чертеж к заданию 3

Пусть В середина стороны А₁А₂. Тогда А₃В – медиана треугольника А₁А₂А₃. По известному из элементарной геометрии свойству медиан треугольника .

Тогда координаты точки В найдем по формулам

и ,

а координаты центра О_ц из векторного соотношения , которое в координатной форме записывается так

, .

Отсюда, выражая х_ц и у_ц через x_i, y_i, получим требуемые формулы.

Вернемся к решению задания 3. Используя доказанные формулы, полагая в них х₁ = 1 и у₁ = 5, х_ц = 0 и у_ц = 2, получим два уравнения, которым должны удовлетворять координаты остальных двух вершин

; ,

Еще два уравнения получим, если потребуем, чтобы искомые точки, вершины треугольника, принадлежали заданным сторонам, т.е. их координаты удовлетворяли уравнениям этих сторон

Итак, для определения четырех неизвестных х₂, у₂, х₃, у₃, мы имеем четыре независимых (!) условия (уравнения)

Решив эту систему, получим х₂ = -3, у₂ = 0, х₂= 2, у₃ = 1.

Наконец, уравнение третьей стороны запишем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (-3;0) и (2;1)

или .

Итак, уравнение третьей стороны x – 5у + 3 = 0, а вершины треугольника имеют координаты (1;5), (-3;0), (2;1).

Задание 7

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояний до точки F( ) и до прямой
равно .

Привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить линию на чертеже. Показать на чертеже фокусы, директрисы, асимптоты (если они имеются у построенной линии).

Замечание. Отметим, что в заданиях этого модуля ; ; .

Пусть n = 101. Тогда:

, т.к. ;

, т.к. ;

, т.к. .

Итак, для n = 101 первая часть задания 7 принимает вид:

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояния до точки F(-4;1) и до прямой x = 1
равно .

Решение задания 7 (для n = 101).

Пусть М(х;у) произвольная точка искомой линии, r – расстояние от М до F и d – расстояние от точки М до прямой x = 1. Тогда

и .

По условию , т.е. d = 2r.

– уравнение искомой линии.

Упростим уравнение линии и приведем его к каноническому виду. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат и выполним следующие преобразования уравнения

х 2 – 2х +1 = 4х 2 + 32х + 64 + 4(у – 1) 2 ,

3х 2 + 34х + 4(у – 1) 2 + 63 = 0,

,

.

Последнее уравнение – это каноническое уравнение эллипса с полуосями и ( ), центр которого находится в точке с координатами . Координаты вершин эллипса
и , т.е. (-9;1), , ,
. Построим эллипс на чертеже (см.рис.2.2).

Рис.2.2. Эллипс с уравнением

Фокусы эллипса имеют координаты , где .

.

Итак, координаты фокусов F₁(-4;1), F₂( ;1).

Директрисы эллипса имеют уравнения , где е – эксцентриситет эллипса

.

Уравнения директрис , т.е.

D₂: .

Отметим фокусы и директрисы эллипса на рис.2.2.

Обратите внимание на совпадение фокуса F₁ с точкой, данной в условии задания 7, на совпадение директрисы D₁ с прямой х = 1 из условия этого задания, и совпадение эксцентриситета е с параметром е в условии. По этому поводу см. теоретическое упражнение 18.

В пространстве даны точки А(-2; -4;1), В(3;1; -1), С(5;1;1),
S(1;-4;0). Найти координаты центра и радиус вписанной в пирамиду SABC сферы (условие сформулировано для n = 101).

Решение задания 4(м)

Пусть точка О(x₀;y₀;z₀) – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC. Найдем точку О как точку, равноудаленную от граней пирамиды. Для этого найдем уравнения всех граней и расстояния от точки О до этих граней (уравнения некоторых граней находятся в предшествующих пункту М пунктах задания 4).

Грань АВС. Уравнение грани

или 5х – 7у – 5z – 13 = 0.

Точки О и S лежат по одну сторону от грани АВС, поэтому отклонения этих точек от грани АВС имеют одинаковые знаки. Отклонение (S) точки S от грани АВС равно

> 0.

.

Аналогично все делается для граней ABS, BCS, CAS.

Грань ABS имеет уравнение 5х + у + 15z – 1 = 0 и
.

Грань BCS имеет уравнение 5х – 3у – 5z – 17 = 0 и
.

Наконец, грань CAS имеет уравнение 5х – 7у + 15z + 33 = 0 и
.

Так как О – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC, то

d(O; ABC) = d(O; ABS) = d(O; BCS) = d(O; CAS) = r,

где r – радиус вписанной сферы.

Тогда координаты точки О должны удовлетворять системе

В отличие от других заданий этого модуля, коэффициенты и решение этой системы найдем приближенно, с помощью микрокалькулятора или ЭВМ. Получим систему

и уравнение вписанной сферы

.

1. Общее уравнение прямой на плоскости. Нормальный вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

3. Каноническое и параметрическое уравнения прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

5. Уравнения прямых, проходящих через данную точку параллельно и перпендикулярно данной прямой (3 случая задания данной прямой: общим уравнением, каноническим уравнением, уравнением с угловым коэффициентом).

6. Общее уравнение плоскости в пространстве, нормальный вектор плоскости. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности.

7. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой.

8. Общее, каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

9. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

10. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной плоскости.

11. Расстояние от точки до: прямой на плоскости; прямой в пространстве; плоскости в пространстве.

12. Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение кривой второго порядка.

13. Каноническое и параметрическое уравнения окружности.

14. Эллипс (фокусы и директрисы, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения эллипса.

15. Гипербола (фокусы, директрисы и асимптоты, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения гиперболы.

16. Парабола (фокус и директриса, фокальный радиус точки, эксцентриситет). Каноническое уравнение параболы.

17. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

18. Полярные координаты на плоскости. Уравнение линии в полярных координатах.

19. Уравнение поверхности в пространстве. Общее уравнение поверхностей второго порядка.

20. Основные типы поверхностей второго порядка и их канонические уравнения.

1. Бугров Н.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 176 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учебное пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1980. 320 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981. 232 с.

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 240 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1981, 464 с.

6. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания/Под ред. Ю.С. Арутюнова. – М.: Высшая школа, 1985.

7. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Изд. 3-е. – Минск: Изд-во БГУ, 1973. 532 с.

8. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 1983. 175 с.

9. Погорелов А.В.Аналитическая геометрия.– М.:Наука, 1968. 176с

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik

http://poisk-ru.ru/s5347t9.html

[/spoiler]

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

1) По формулам координат середины отрезка

   

   

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

   

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

   

   

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы  BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

   

   

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

   

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

1007 Составить канонические
уравнения прямой, проходящей через точку М₁(2; 0; -3) параллельно: 1007.1 вектору a={2; -3;
5}; 1007.2 прямой ; 1007.3 оси Ох; 1007.4 оси Оу; 1007.5 оси Oz. 1008 Составить
канонические уравнения прямой, проходящей через
данные точки: 1008.1 (1; -2; 1), (3; 1; -1); 1008.2 (3; -1; 0), (1; 0; -3); 1008.3 (0; -2; 3), (3; -2; 1); 1008.4 (1; 2; -4), (-1; 2; -4). 1009 Составить
параметрические уравнения прямой, проходящей
через точку М₁(1; -1; -3) параллельно: 1009.1 вектору a={2; -3;
4}; 1009.2 прямой ; 1009.3 прямой , , . 1010 Составить
параметрические уравнения прямой, проходящей
через данные точки: 1010.1 (3; -1; 2), (2; 1; 1); 1010.2 (1; 1; -2), (3; -1; 0); 1010.3 (0; 0; 1), (0; 1; -2). 1011 Через точки М₁(-6; 6; -5), М₂(12;
-6; 1) проведена прямая. Определить
точки пересечения этой прямой с координатными
плоскостями.
1012 Даны вершины
треугольника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3), С(4; -7; -2). Составить
параметрические уравнения его медианы,
проведенной из вершины С. 1013 Даны вершины
треугольника А(3; -1; -1), В(1; 2; -7), С(-5; 14; -3). Составить
канонические уравнения биссектрисы его
внутреннего угла при вершине С. 1014 Даны вершины
треугольника А(2; -1; -3), В(5; 2; -7), С(-7; 11; 6). Составить
канонические уравнения биссектрисы его внешнего
угла при вершине А. 1015 Дан вершины
треугольника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3), С(5; 1; -7). Составить
параметрические уравнения его высоты,
опущенного из вершины В на противоположную
сторону. 1016 Дана прямая , . Вычислить
проекции какого-нибудь ее направляющего вектора
а на координатные оси. Найти общее выражение
проекций произвольного направляющего вектора
этой прямой на координатные оси. 1017 Дана прямая , . Найти
разложение какого-нибудь ее направляющего
вектора а по базису i, j, k. Выразить в общем виде
разложение произвольного направляющего вектора
этой прямой по базису i, j, k. 1018 Составить
канонические уравнения прямой, проходящей через
точку М₁(2; 3; -5) параллельно
прямой , . 1019 Составить
канонические уравнения следующих прямых: 1019.1 , ; 1019.2 , ; 1019.3 , . 1020 Составить
параметрические уравнения следующих прямых: 1020.1 , ; 1020.2 , . 1021 Доказать
параллельность прямых: 1021.1 и , ; 1021.2 , , и , ; 1021.3 , и ,
. 1022 Доказать
перпендикулярность прямых: 1022.1 и , ; 1022.2 , , и , ; 1022.3 , и ,
. 1023 Найти острый
угол между прямыми , . 1024 Найти тупой
угол между прямыми , , и , , . 1025 Определить
косинус угла между прямыми , и , . 1026 Доказать, что
прямые, заданные параметрическими уравнениями , , и , , , пересекаются. 1027 Даны прямые , ; при
каком значении l они пересекаются? 1028  

Доказать,
что условие, при котором две прямые и лежат в одной плоскости, может быть
представлено в следующем виде:

.

1029 Составить
уравнения прямой, которая проходит через точку М₁(-1;
2; -3) перпендикулярно к вектору a={6;
-2; -3} и пересекает прямую . 1030 Составить
уравнения прямой, которая проходит через точку
М(-4; -5; 3) и пересекает две прямые , .
1031 Составить
параметрические уравнения общего
перпендикуляра двух прямых, заданных
уравнениями , , и, ,. 1032 Даны
уравнения движения точки М(x; y; z): , , . Определить скорость v. 1033 Даны
уравнения движения точки М(x; y; z): , , . Определить расстояние d, которое
пройдет эта точка за промежуток времени от t₁=0
до t₂=7. 1034 Составить
уравнения движения точки М(x; y; z), которая, имея
начальное положение М₀(3; -1; -5), движется прямолинейно и равномерно
в направлении вектора s={-2; 6; 3} со скоростью v=21. 1035 Составить
уравнения движения точки М(x; y; z), которая,
двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла
расстояние от точки М₁(-7; 12; 5) до точки М₂(9; -4; -3) за промежуток времени от t₁=0
до t₂=4. 1036 Точка М(x; y; z)
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М₀(20; -18; -32)
в направлении, противоположном
вектору s={3; -4; -12}, со скоростью v=26. Составить
уравнения движения точки М и определить точку, с
которой она совпадает в момент времени t=3. 1037 Точки М(x; y; z)
и N(x, y, z) движутся прямолинейно и равномерно:
первая из начального положения М₀(-5;
4; -5) со скоростью v_M=14 в направлении вектора s={3; -6; 2}, вторая
из начального положения N₀(-5; 16; -6) со скоростью v_N=13 в направлении, противоположном
вектору r={-4; 12; -3}. Составить уравнения движения
каждой из точек и, убедившись, что их траектории
пересекаются, найти: 1037.1 точку Р
пересечения их траекторий; 1037.2 время,
затраченное на движение точки М от М₀
до Р; 1037.3 время,
затраченное на движение точки N от N₀
до Р; 1037.4 длины
отрезков M₀P и N₀P.

9.1. Прямая на плоскости

Рассмотрим
различные случаи задания прямой L
на плоскости.

1. Если
задан ненулевой направляющий
вектор

и радиус-вектор
некоторой фиксированной точкито в этом случае радиус-векторпроизвольной точкизадается формулой

(9.1)

где

Уравнение (9.1)
называется
векторно-параметрическим уравнением
прямой L.

2. Если
– координаты точкикоторая лежит на прямойL,
(l, m)
– координаты направляющего вектора
то прямая задаетсяпараметрическими
уравнениями:

3. Если
– направляющий вектор, такой, чтои– точка, через которую проходит прямая,
то имеемканоническое
уравнение:

(9.2)

4. Если прямая L
не параллельна оси Ox,
то для всех направляющих векторов
отношение
По заданному угловому коэффициентуk
прямой L
и точке
уравнение прямойL
может быть задано в следующем виде:

– это уравнение
прямой с угловым коэффициентом
k,
проходящей
через точку
М₀.

В случае, если
– точка пересечения прямойL
с осью Oy,
это уравнение может быть записано в
следующем виде:

5. Координаты
направляющего вектора
прямойL
могут быть найдены, если известны две
точки
иэтой прямой:

Уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки:

(9.3)

6. Если известны
точки пересечения прямой L
с координатными осями, т. е. точки M₀(a,
0) и M₁(0,
b),
то справедливо уравнение
«в отрезках»:

7. Положение прямой
на плоскости однозначно определено и
в случае, когда задан ненулевой нормальный
вектор
этой прямой и точкаУсловие перпендикулярности векторовпозволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его
координатной форме:

или

(9.4)

где

Уравнение (9.4)
называется общим
уравнением прямой
L.

8. Если в качестве
нормального вектора берется единичный
вектор
направленный из начала координат в
сторону прямой, т. е.

то справедливо
нормальное
уравнение
прямой L
на плоскости:

где
– расстояние от начала координат до
прямой.

Величина
δ(M₀,
L)
= x₀cos α
+ y₀cos β
– p,
где

называется отклонением точки М₀
от прямой L.
При этом δ
< 0, если точки M₀
и O(0,
0) лежат по одну сторону от прямой L,
δ
> 0 – если по разные. Расстояние d(M₀,
L)
от точки до прямой равно абсолютному
значению отклонения.

От общего уравнения
прямой к нормальному можно перейти с
помощью умножения на нормирующий
множитель:

где

Расстояние от
точки M₀(x₀,
y₀)
до прямой L:
Ax
+ By
+ C
= 0 может быть
найдено по формуле

(9.5)

Угол между прямыми
легко найти с помощью косинуса угла
между их направляющими или нормальными
векторами, а также по формуле

где k₁
и k₂
– угловые коэффициенты прямых.

При этом возможны
частные случаи:

Здесь L₁
и L₂
– прямые на плоскости, для которых
– угловые коэффициенты соответственно
прямыхи

В полярной системе
координат уравнение прямой имеет вид

ρcos(φ
– φ₀)
= p,

где p
– длина перпендикуляра, проведенного
из полюса к прямой, φ₀
– угол между полярной осью и перпендикуляром.

Пример 1.
Даны вершины треугольника ABC:
A(1, 2),
B(–1, –3),
C(2, –1).
Найти:

1) уравнение прямой
BC;

2) уравнение высоты
AH
и ее длину;

3) уравнение медианы
BM;

4) угол между прямыми
BM
и AH;

5) уравнения
биссектрис внутреннего и внешнего углов
при вершине А.

Решение.
1) Для составления уравнения прямой BC
воспользуемся заданными координатами
точек B,
C
и уравнением прямой (9.3), проходящей
через две заданные точки. Так как B(–1,
–3), C(2,
–1), имеем:

Последнее уравнение
приведем к общему уравнению, использовав
основное свойство пропорции:

2(x
+ 1) = 3(y
+ 3) или 2x
– 3y
– 7 = 0.

Таким образом,
окончательно получаем:

ВС:
2x
– 3y
– 7 = 0.

2) Для построения
уравнения высоты АН
воспользуемся условием перпендикулярности
прямых AH
и ВС:
нормальным вектором прямой ВС
является
,
т. е.Этот вектор можно рассматривать как
направляющий вектор прямойАН.
Следовательно, каноническое уравнение
прямой AH
согласно формуле (9.2) имеет вид:

(9.6)

где А(1,
2)АН.

В общем виде получим
АН:
3х
+ 2у
– 7 = 0.

Чтобы найти длину
высотыАВС,
опущенной из вершины А,
воспользуемся формулой расстояния
(9.5):

3) Для составления
уравнения медианы ВМ
найдем координаты точки М,
являющейся серединой отрезка AC:

Получим M(3/2,
1/2). Запишем уравнение прямой BM
по двум известным точкам B(–1,
–3) и
используя формулу (9.3):

Приведя его к
общему уравнению, получим:

ВМ:
7x
– 5y
– 8 = 0.

4) Угол φ
между прямыми BM
и AH
найдем, используя угол между их нормальными
векторами:

Получаем

5) Пусть точка M(x,
y)
лежит на биссектрисе угла BАС.
Тогда по свойству биссектрисы d(M,
AB)
= d(M,
AC).
Запишем уравнения прямых АВ
и
АС. Имеем:

Следовательно,

Аналогично

т. е.

Используем формулу
расстояния (9.5):

Следовательно,

По основному
свойству пропорции и свойству модуля
имеем:

Итак, получили две
биссектрисы (внутреннего и внешнего
углов при вершине А):

Пример 2.
Даны две точки A(–3,
8) и B(2,
2). На оси Ox
найти такую точку M,
сумма расстояний от которой до двух
заданных точек была бы наименьшей.

Решение.
Воспользуемся утверждением, смысл
которого состоит в следующем: наименьший
путь между двумя точками достигается
в случае движения по прямой. Тогда задача
будет заключаться в поиске точки
пересечения прямой AB
(рис. 9.1) с осью Ox,
где B
– точка, симметричная точке В
относительно оси Ox
(или в нахождении точки пересечения
прямой AB
с осью Ox,
где A
– точка, симметричная точке А
относительно оси Ox).

Рис. 9.1

Точки B(2,
–2) и A(–3,
8) определяют прямую AB:

т. е.
или

Значит, для
нахождения координат искомой точки М
осталось решить систему уравнений:

Решаем ее:

Итак, точка М(1,
0) является искомой.

Задания

Соседние файлы в папке Часть 2

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Аналитическая геометрия.

Задача 3. Даны вершины треугольника ABC (рис. 1): А(-4,8), В(5,-4), С(10, 6).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнение высоты СД и ее длину;

3) уравнение медианы, проведенной из вершины А;

4) записать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

Решеиие

1. Расстояние d между точками М1(x1у1) и М2(х2у2) определя­ется по формуле

(1)

Подставим в формулу (1) координаты точек А и В, получим

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(x1у1) и М2(х2у2), имеет вид

(2)

Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение пря­мой АВ:

Для нахождения углового коэффициента КАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: .

Отсюда . Т. к. высота СD перпендикулярна АВ, то угловой коэффициент будет равен , .

Искомая высота проходит через точку С(10,6). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:

(y-yо) = k(x-xo) (3)

Y-6= (x-10), 3x-4y-6=0 (СD)

Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD): , откуда х=2, у=0, т. е. D(2,0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и Д, находим

3. Обозначим основание искомой медианы через М. По определению медианы М делит сторону ВС пополам. Координаты точки М най­дем по формуле

(4)

Чтобы записать уравнение медианы AM, воспользуемся форму­лой (2). , , , (АМ)

4. Обозначим искомую прямую СР. Угловой коэффициент , т. к. АВ и СР параллельны, то искомая прямая проходит через точку С (10,6). Воспользуемся уравнением (3)

, , (СP)

Задача 4. Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой у=120+30х, а на железнодорожном – у=160+20х, где х – расстояние в километрах, у – транспортные расходы на 1 км. (в усл. ден. ед.).

Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при х=200 км.

1. Построим прямые у=120+30х (I) и у=160+20х (II) (рис. 4).

Рис.4

Найдем точку пересечения двух прямых

х0=4 у0=240

Если х=4, оба вида транспорта эквивалентны по затратам.

Если х<4, автомобильные перевозки выгоднее, а при х>4 выгоднее становятся же­лезнодорожные перевозки.

Рассчитаем транспортные расходы при х=200 км.
у=120+30∙200=6120 (усл. ден. ед.) – затраты на автомобильном

Транспорте;

У=160+4000=4150 (усл. ден. ед.) – затраты на железнодорожном транспорте.

< Предыдущая		Следующая >