Как составить параметрическое уравнение высоты треугольника

Как составить параметрическое уравнение высоты треугольника

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Как найти параметрическое уравнение высоты треугольника

И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.

Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости

I. «Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости»

Нужно найти не длину, а уравнение CH.

II. «Можно воспользоваться двойным векторным произведением. и найти направляющий вектор высоты. »
То есть:
AC<2,2,2>
AB

Нужно найти не длину, а уравнение CH. – Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.

Так? – Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.

Уравнение высоты треугольника по координатам формула

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
25. . 26. .
27. . 28. .
29. . 30. .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

[spoiler title=”источники:”]

http://diary.ru/~eek/p183898406_uravnenie-vysoty-treugolnika-v-prostranstve.htm

http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/

[/spoiler]

Источник
Автор Сообщение

Заголовок сообщения: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике

СообщениеДобавлено: 09 авг 2017, 10:36 
Не в сети
Начинающий


Зарегистрирован:
08 авг 2017, 14:55
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Написать параметрическое уравнение высоты, проведенной из вершины А на сторону ВС в треугольнике АВС. А(2,1,-1), В(1,3,0), С(4,1,7).

Что нужно почитать, что бы понять как решить эту задачу?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

dr Watson

Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике

СообщениеДобавлено: 09 авг 2017, 11:37 

Знать надо почти ничего.

Вариант А.
1. На прямой [math]BC[/math] берём точку [math]D[/math]. Для этого надо знать, как задать параметрически прямую, проведённую через две точки. Координаты точки [math]D[/math] будут зависеть от одного параметра.
2 Мы хотим, чтобы точка [math]D[/math] была основанием перпендикуляра, опущенного из вершины [math]A[/math], то есть чтобы векторы [math]vec{AD}[/math] и [math]vec{BC}[/math] были перпендикулярны. Для этого надо знать, что такое скалярное произведение и как с его помощью записать условие перпендикулярности.
3. Из условия перпендикулярности находим параметр, то есть получаем конкретно точку [math]D.[/math] Остаётся написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки [math]A[/math] и [math]D,[/math] а это Вы уже умеете, если прошли п.1.

ВАРИАНТ В.
1. Берём вектор, перпендикулярный вектору [math]vec{BC}[/math] любой ненулевой длины. Он будет направляющим вектором искомой прямой.
2. Теперь надо знать, как записать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку [math]A[/math] параллельно полученному направляющему вектору.

PS. Чтобы в данном контексте пишется слитно. Раздельно пишется во фразах типа “что бы мне ещё поесть”, “что бы я ни делал, ничего не получается”
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson “Спасибо” сказали:
vas999

vas999

Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике

СообщениеДобавлено: 09 авг 2017, 12:40 

dr Watson писал(а):

Вариант А.
1. На прямой [math]BC[/math] берём точку [math]D[/math]. Для этого надо знать, как задать параметрически прямую, проведённую через две точки. Координаты точки [math]D[/math] будут зависеть от одного параметра.

А(2,1,-1), В(1,3,0), С(4,1,7).
Направляющий вектор:

[math]overrightarrow{BC} = left( 4-1,1-3,7-0 right)=left( 3,-2,7 right)[/math]

Параметрические уравнения прямой:

[math]left{!begin{aligned}
& x =1+3 lambda \
& y =3-2 lambda\
& z =0+7lambda
end{aligned}right.[/math]

Так?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

vas999

Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике

СообщениеДобавлено: 09 авг 2017, 13:58 

dr Watson писал(а):

1. Пишем уравнение плоскости через точку [math]A[/math] перпендикулярно вектору [math]BC[/math].
2. Подставляем в неё [math]x=1=3lambda, y=ldots[/math] и находим [math]lambda[/math] – получили точку [math]D.[/math]
3. Как в варианте А.

А(2,1,-1), В(1,3,0), С(4,1,7).

1.
[math]overrightarrow{BC}=(3,−2,7)[/math]
[math]left{!begin{aligned}
& x =1+3 lambda \
& y =3-2 lambda\
& z =0+7lambda
end{aligned}right.[/math]

[math]3left( x-2 right) -2left( y-1 right)+7left( z+1 right) =0[/math]
[math]3x-2y+7z+3= 0[/math]

2. [math]3left( 1+3 lambdaright)-2left( 3-2 lambda right)+7left( 0+7lambda right) +3 = 0[/math]
[math]lambda=0[/math]
[math]D= left( 1,3,0 right)[/math]

Так?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

vas999

Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике

СообщениеДобавлено: 09 авг 2017, 14:33 

dr Watson писал(а):

3. Из условия перпендикулярности находим параметр, то есть получаем конкретно точку [math]D.[/math] Остаётся написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки [math]A[/math] и [math]D,[/math] а это Вы уже умеете, если прошли п.1.

3. [math]overrightarrow{AB}=left( 1-2,3-1,0+1 right) =left( -1,2,1 right)[/math]
[math]left{!begin{aligned}
& x =2- lambda \
& y =1+2 lambda \
& z =-1+ lambda
end{aligned}right.[/math]

Это и есть ответ?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 
Источник

Ника

Высший разум

(181432)


13 лет назад

Решение:
1) Найдем уравнение медианы АМ, для этого найдем координаты точки М (4;3;5)
(х-1)/(4-1)=(у-2)/(3-2)=(z-3)/(5-3)
(x-1)/3=(y-2)/1=(z-3)/2 – искомое уравнение медианы.
2) Найдем каноническое уравнение высоты АН, для этого найдем уравнение стороны ВС:
(x-3)/2=(y-4)/(-2)=(z-4)/2
Направляющий вектор этой прямой n(2;-2;2) является нормальным вектором для плоскости проходящей через точку А и перпендикулярно прямой ВС
2(x-1)-2(y-2)+2(z-3)=0
x-y+z-2=0 – уравнение плоскости, найдем основание перпендикуляра, точку Н:
(x-3)/2=t
(y-4)/(-2)=t
(z-4)/2=t
Получили:
x=2t+3
y=2t+4
z=2t+4
2t+3-2t-4+2t+4-2=0
2t=-1
t=-0.5
Тогда H(2;3;3)
Уравнение высоты:
(x-1)/1=(y-2)/1=(z-3)/0

Елена Гужвенко

Гений

(53581)


13 лет назад

Помогу про высоту.
1) Найти вектор ВС=(2,-2,3), он будет перпендикулярен высоте АН.
2) Найдем координаты любого вектора (х, у, z), параллельного АН, то есть перпендикулярного ВС.
Возьмем х=0, у=1, найдем z с помощью скалярного произведения ВС на (0,1,z):
2*0+(-2)*1+3*z=0
-2=-3z
z=2/3
Нашли вектор, параллельный АН, тогда уравнение высоты АН:
(x-1)/0=(y-2)/1=(z-3)/(2/3) каноническое уравнение высоты АН

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 

Параметрическое уравнение высоты тр-ка

Сообщение14.12.2008, 18:25 

Аватара пользователя


16/02/07
329

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста как быть с такой задачкой:
Даны вершины треугольника А(1;2;-4), В(3;-2;-2), С(5;0;-6). Составить параметрическое уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.
Какую формулу здесь использовать?

Профиль  

ewert 

Сообщение14.12.2008, 18:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32162

Для начала полезно вспомнить (или узнать), что такое параметрические

уравнения

прямой и в чём геометрический смысл их

коэффициентов.

Профиль  

Мироника 

Сообщение14.12.2008, 19:40 

Аватара пользователя


16/02/07
329

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид

$x=x_0+lt, y=y_0+mt, z=z_0+nt$

Здесь ${l, m, n}$ – координаты направляющего вектора

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Но как их найти?

Я нашла уравнение прямой АС:

$frac {x-1} {2} = frac {y-2} {-1} = frac {z+4} {-1}$

Получается, что $2l=-m=-n$

Так?

Профиль  

ewert 

Сообщение14.12.2008, 19:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32162

Мироника писал(а):

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид
$x=x_0+lt, y=y_0+mt, z=z_0+nt$
Здесь ${l, m, n}$ – координаты направляющего вектора

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Но как их найти?
Я нашла уравнение прямой АС:
$frac {x-1} {2} = frac {y-2} {-1} = frac {z+4} {-1}$

Правильно.

Мироника писал(а):

Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

Да нет конечно! с чего вдруг?

Профиль  

Someone 

Сообщение14.12.2008, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

Профиль  

ewert 

Сообщение14.12.2008, 19:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32162

(я так понял, что Мироника

таким своеобразным способом записала равенство нулю скалярного произведения)

Профиль  

Мироника 

Сообщение14.12.2008, 19:57 

Аватара пользователя


16/02/07
329

Мироника писал(а):
Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

Да нет конечно! с чего вдруг?

Мне ведь нужно найти параметрические уравнения высоты из вершины В на сторону АС. Следовательно? искомая прямая перпендикулярна АС. Вот я и пользуюсь условием перпендикулярности прямых в пространстве $l_1l_2=m_1m_2=n_1n_2$

В чем здесь ошибка?

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

ой, поняла. я хотела написать $ 2l-m-n=0$

Профиль  

Someone 

Сообщение14.12.2008, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

В чем здесь ошибка?

В том, что это вовсе не условие перпендикулярности.

Профиль  

Алексей К. 

Сообщение14.12.2008, 19:57 


29/09/06
4552

Мироника писал(а):

Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

Так это или не так, но это, по-моему, совсем не интересно.

Давайте, например, рассмотрим парам. уравнение прямой $AC$ как уравнение некой подвижной точки $P(t)=left(x(t),y(t),z(t)right)$, и спросим себя: “при каком $t=t_0$ вектор $AC$ будет перпендикулярен вектору $BP(t_0)$?” Это и будет вожделенная высота.

Профиль  

Мироника 

Сообщение14.12.2008, 19:57 

Аватара пользователя


16/02/07
329

Профиль  

Someone 

Сообщение14.12.2008, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

ой, поняла. я хотела написать

Да, это другое дело. Только этого для решения задачи не хватит: уравнение одно, а неизвестных три или две, если учесть, что они нужны с точностью до пропорциональности.

Профиль  

Мироника 

Сообщение14.12.2008, 20:03 

Аватара пользователя


16/02/07
329

Профиль  

ewert 

Сообщение14.12.2008, 20:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32162

Вообще-то эту задачу можно решать кучей способов. Вот, на мой взгляд, логически наиболее прямолинейный (хотя и не самый очевидный).

1). Находим (с помощью векторного произведения) вектор, перпендикулярный к треугольнику.

2). Находим (аналогично) вектор, перпендикулярный к только что найденному и к вектору $overrightarrow{AC}$.

Это и будет искомый направляющий вектор высоты.

Профиль  

Алексей К. 

Сообщение14.12.2008, 20:08 


29/09/06
4552

Скалярное произведение $AC=(4,-2,-2)$ на $BP=(x(t)-3,y(t)+2,z(t)+2)$ равно нулю.

Профиль  

Someone 

Сообщение14.12.2008, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

Ну, вот у Вас есть точка $M(1+2t;2-t;-4-t)$ и точка $B(3;-2;-2)$. При каком условии будет $overrightarrow{BM}perpoverrightarrow{AC}$?

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

Во как активно Вам помогают…

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

    [left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot 5 + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{43}}{4}.]

Таким образом, уравнение прямой BC —

    [y = - frac{{11}}{4}x + frac{{43}}{4}.]

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

    [k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{{11}}{4}}} = frac{4}{{11}}.]

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

    [y = frac{4}{{11}}x + b.]

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

    [2 = frac{4}{{11}} cdot ( - 7) + b, Rightarrow b = frac{{50}}{{11}}.]

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

    [y = frac{4}{{11}}x + frac{{50}}{{11}}.]

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

    [left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ - 3 = k cdot 5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{11}}{{12}}.]

Уравнение прямой AB:

    [y = - frac{5}{{12}}x - frac{{11}}{{12}}.]

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

    [k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{5}{{12}}}} = frac{{12}}{5} = 2,5.]

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

    [left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{29}}{4}.]

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

    [k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{frac{3}{4}}} = - frac{4}{3}.]

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

    [y = - frac{4}{3}x + b.]

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

    [- 3 = - frac{4}{3} cdot 5 + b, Rightarrow b = frac{{11}}{3}.]

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

    [y = - frac{4}{3}x + frac{{11}}{3}.]

uravnenie-vysoty-treugolnika

Источник

Добавить комментарий