Как составить передаточную функцию по структурной схеме

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету теория автоматического управления с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

ТАУ

Теория автоматического управления является основной общепрофессиональной дисциплиной направления подготовки дипломированного специалиста «Автоматизированные технологии и производства».

Основной целью автоматизации является исключение непосредственного участия человека в управлении производственными процессами и другими техническими объектами.

В настоящее время автоматизация технологических процессов представляет собой одно из важнейших средств роста эффективности производства, интенсификации развития народного хозяйства. Таким образом, задача изучения дисциплины «Теория автоматического управления» состоит в освоении основных принципов построения и функционирования автоматических систем управления на базе современных математических методов и технических средств.

Построение структурных схем и сигнальных графов автоматических систем

В теории систем автоматического управления (САУ) широко используют понятие звена, под которым понимают некоторый физический элемент системы (усилитель, двигатель, датчик и т. п.) либо формально выделенную часть математической модели системы (например, уравнение равновесия напряжений якорной цепи двигателя), для которых указаны входные (одна или несколько) и выходная (обычно одна) переменные. При этом говорят, что звено преобразует входные переменные, т. е. приложенные к звену внешние воздействия, в выходную переменную — реакцию. В математическом плане обобщением понятий САУ и звена САУ является понятие динамической системы.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Дифференциальное уравнение (ДУ) линейной динамической системы с одним входом и одним выходом записывается в классической форме следующим образом:

Здесь и — входная и выходная переменные системы (в дальнейшем зависимость от часто будем опускать); -постоянные вещественные коэффициенты; — целые числа ( — порядок системы), причем . То же уравнение в операторной форме имеет вид

где

полиномы степеней, соответственно, и от оператора дифференцирования определяемого для любой дифференцируемой функции следующим образом:

Определим формально операторную передаточную функцию (ОПФ) соотношением . Тогда в силу уравнения (1 2) имеем

Преобразование ДУ (1.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях (ННУ) дает

(использована теорема об изображении производной при ННУ: если

a — уже не операторные, а обычные полиномы от комплексной переменной ).

Передаточной функцией (ПФ) системы, описываемой ДУ (1.1) или (1.2), называется отношение изображений по Лапласу выходной и входной переменных при ННУ:

Отсюда в силу уравнения (1.4) и с учетом (1.3) получаем:

т. е. ПФ совпадает с ОПФ с точностью до обозначения аргумента

В связи с этим в дальнейшем будем использовать одно и го же обозначение, например , как для ПФ, так и для ОПФ, понимая под символом в первом случае (когда ДУ рассматривается в комплексной области) комплексную переменную, а во втором (при рассмотрении ДУ во временной области) — оператор дифференцирования . Иногда, если это не будет приводить к разночтениям, и сами уравнения (12) или (1.4) будем записывать одинаково — в виде , т. е. без указания у функций и их аргументов или (тем самым допуская возможность толкования этого уравнения в обеих областях) и даже, несмотря на некоторую нестрогость, обозначая одинаковыми буквами как сами переменные, так и их изображения.

С учетом сказанного рекомендуется следующая методика нахождения ПФ поДУ( 1.1), не требующая применения преобразования Лапласа:

Если система имеет несколько входов и/или выходов, т. е. является многомерной, то уместно говорить о множестве передаточных функций, связывающих каждый вход с каждым выходом : I

Все они имеют один и тот же знаменатель (если не производить сокращения одинаковых нулей и полюсов) и, в общем случае, разные числители:

Теперь приведем передаточные функции наиболее важных типовых звеньев систем автоматического управления. 1 Пропорциональное звено:

где — коэффициент передачи (обычно > 0).

• Интегрирующее звено:

где — постоянная времени.

В качестве обобщения можно рассматривать интегрирующее звено произвольного порядка:

• Дифференцирующее звено:

Обобщенное дифференцирующее звено:

Апериодическое звено:

где — постоянная времени.

• Форсирующее звено:

• Апериодическое звено 2-го порядка:

где — постоянные времени. 7 Колебательное звено

где — постоянная времени; — коэффициент затухания (0 < < 1).

8. Консервативное звено

где — постоянная времени.

Часто в передаточных функциях звеньев 4, 6, 7 и 8 вместо единицы пишут коэффициент передачи к.

Построение структурных схем и М-графов динамических систем

При анализе и синтезе систем автоматического управления часто прибегают к графическом)’ изображению уравнений, описывающих систему. Для этой цели обычно используют структурные схемы и, реже, сигнальные графы В структурной схеме переменные обозначаются отрезками прямых или ломаными линиями, оканчивающимися стрелками В графе каждой переменной соответствует некоторая вершина. Мы будем рассматривать только одну разновидность сигнальных графов, а именно граф Мейсона (Мэзона), или, короче, М-граф

Уравнение звена вила изображается в виде структурной схемы и М-графа так, как показано на рис. 1.1, а (напоминаем, что мы намеренно не делаем различия между записью уравнений во временной и комплексной областях). На структурных схемах внутри прямоугольных блоков, изображающих звенья системы, могут записываться не только передаточные функции или ОПФ, но и коэффициенты передачи, матрицы, обозначения функциональных зависимостей, в том числе графические, и другие разновидности математических характеристик звеньев. Их мы будем обозначать общим термином «передача» Изображенная на рис. 1.1, а структурная схема трактуется единственным образом: выходная переменная звена равна входной переменной, умноженной на передачу звена. В М-графе передача записывается над дугой, при этом переменная, соответствующая вершине-стоку, равна переменной, отождествляемой с вершиной-истоком, умноженной на передачу дуги. Дуга графа может иметь вид собственно дуги либо прямолинейного отрезка, снабженных стрелкой.

В вершину графа могут входить несколько дуг. В этом случае действует следующее соглашение: переменная, отождествляемая с вершиной, в которую входят дуги, равна взвешенной сумме переменных, соответствующих вершинам, из которых эти дуги исходят, причем в качестве весовых коэффициентов выступают передачи дуг. Так, М-граф, приведенный на рис. 11,6, соответствует уравнению . В структурных схемах для обозначения операции алгебраического суммирования применяют специальный элемент — сумматор, изображаемый в виде кружка (см. рис. 1.1, б, где рядом с графом приведена структурная схема, соответствующая тому же уравнению). Сумматор может иметь любое число входных переменных (знак, с которым переменная входит в алгебраическую сумму, указывается рядом с соответствующей стрелкой) и только одну выходную переменную

Часто одна и та же переменная входит в несколько уравнений Чтобы в структурной схеме иметь возможность использовать какую-либо переменную в качестве входа сразу нескольких звеньев, применяют специализированный элемент — отвод. Это линия, отходящая от основной в какой-либо точке и обозначающая ту же переменную, что и основная линия (см. рис. 1.1, в, где показаны два отвода). Начало отвода отмечается «жирной» точкой.

Если в структурной схеме имеется горизонтальная цепочка звеньев, чередующихся с сумматорами, то обычно знаки «плюс» или «минус» ставят не у всех стрелок, входящих в сумматоры, а только у тех, которые подходят к данной цепочке извне (см., например, три сумматора между переменными и на рис. 2.2, а), — если, конечно, переменные, изображенные горизонтальными стрелками, входят в алгебраическую сумму со знаком «плюс».

Пусть система задана некоторым числом алгебраических и дифференциальных уравнений. Чтобы построить по ним структурную схему и М-граф системы, рекомендуется выполнить следующие действия:

При этом выражения окажутся не чем иным, как передаточными функциями (иначе: ОПФ), связывающими входы звена с его выходом.

1. По каждому уравнению вида (1.15) изобразить М-граф, для чего:

а) нанести на рисунок вершины, соответствующие переменным ;

б) из каждой вершины , провести в вершину дугу со стрелкой и написать рядом с ней соответствующую передачу .

Поскольку правая часть уравнения (1.15) представляет собой алгебраическую сумму, для изображения соответствующей структурной схемы необходим сумматор. В результате получается схема, подобная той, что показана на рис. 11, б Таким образом, если звено имеет один вход, то ему соответствуют структурная схема и М-граф аналогичные тем, что приведены на рис. 1.1, в Нел и же входов несколько, то звену (уравнению) соответствует структурная схема и граф, содержащие несколько звеньев (дуг), причем в структурной схеме обязательно появится сумматор

Уравнения, по которым строится структурная схема или граф, связаны между собой, так как содержат общие переменные Это должно быть ясно отражено и в самой схеме (графе), а именно: в графе не должно быть двух вершин с одинаковыми именами переменных, а в структурной схеме линии, соответствующие одной и той же переменной, должны либо совпадать (так что выход одного звена является входом другого), либо выступать одна по отношению к другой как основная линия и отвод.

Нецелесообразно изображать систему исходных уравнений в виде набора отдельных фрагментов структурной схемы: после этого все равно придется проводить между ними линии связи.

Удобнее рисовать схему (граф) последовательно, используя то обстоятельство, что входными переменными любого звена являются, как правило, выходные переменные других звеньев.

Конечно, входами могут быть и внешние воздействия рассматриваемой системы, т. е независимые переменные, не являющиеся выходами каких-либо звеньев на структурной схеме таким переменным соответствуют стрелки, не исходящие ни из каких звеньев, а в графе — вершины, не имеющие входящих дуг.

В детализированной структурной схеме (ДСС) [3] используются только элементарные звенья — пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие, а также сумматоры. Если для всех передаточных функций системы, связывающих каждый вход с каждым выходом, выполнено условие реализуемости (степень полинома числителя не превышает степени полинома знаменателя), то система может быть описана в виде ДСС, состоящей только из безынерционных (пропорциональных и суммирующих) и интегрирующих звеньев [4]. Для этого рекомендуется пользоваться следующей методикой:

• Представить математическую модель системы -го порядка в виде совокупности дифференциальных уравнений 1-го порядка (один из способов сделать это состоит в построении гак называемых канонических форм уравнений состояния [3D и, возможно, еще ряда алгебраических уравнений:

Здесь — внутренние переменные системы; — внешние воздействия; и — линейные функции своих аргументов.

Предостережение. Переходя от уравнения (1.17) к уравнению (1.18), не следует приводить подобные члены, содержащие переменную , иначе структурная схема, построенная по такому уравнению, не будет детализированной. Таким образом, переменная может одновременно присутствовать как в левой, так и в правой частях уравнения (1.18), что на рис. 1.2 показано пунктиром. Не следует также раскрывать скобки в (1.18): это приведет к появлению выражения во всех слагаемых правой части и создаст иллюзию повышения порядка динамической системы.

• По уравнениям (1.17), (1.18) изобразить ДСС, принимая во внимание, что уравнению (1.18) соответствует схема, показанная на рис 1.2.

Сформулированная методика сохраняет силу и при построении детализированного М-графа. Имеется, однако, тонкость: чтобы графически изобразить -е уравнение в (1.18), необходимо задать не только вершины, соответствующие переменным , но и вершину для переменной или пропорциональной ей величины (см задачу 1 5).

Пример №1.1.

Записать в самом общем виде уравнение, выражающее зависимость выходной величины у линейной динамической системы от входных величин и , введя необходимые обозначения передаточных функций По уравнению построить структурную схему и М-граф.

Решение:

Обозначим передаточные функции, связывающие выход с каждым из входов, как и . Тогда на основании свойства линейности искомое уравнение имеет вид . Структурная схема и М-граф показаны на рис. 1.3.

Пример №1.2.

Определить ПФ системы с одним входом и одним выходом и по ее дифференциальному уравнению

Решение:

Производя замену на , записываем дифференциальное уравнение в операторной форме:

после чего переходим в комплексную область:

откуда получается искомая ПФ

Пример №1.3.

По передаточной функции

системы с одним входом и одним выходом записать ее дифференциальное уравнение.

Решение:

Обозначив выходную и входную переменные системы как и , запишем, согласно определению передаточной функции, равенство

Освобождаясь от дробей и заменяя и , соответственно, на и , получаем ДУ в операторной форме :

и в классической:

Пример №1.4.

Изобразить структурную схему следящей системы по приведенным ниже уравнениям ее функциональных элементов:

• Элемент сравнения:

где и — заданное и действительное значения углового положения исполнительной оси; — угловое рассогласование (ошибка).

• Регулятор и усилительно-преобразовательное устройство:

где — напряжение, приложенное к якорю двигателя, — коэффициент.

• Двигатель постоянного тока.

где и — ЭДС, ток, электромагнитный момент, угловая скорость и угловое положение вала двигателя; — момент сопротивления, и — активное сопротивление и индуктивность якорной цепи, — суммарный момент инерции ротора двигателя, редуктора и исполнительного механизма, приведенный к валу двигателя; — константы.

• Редуктор:

где — передаточное отношение редуктора

Решение:

Структурная схема, построенная по уравнениям (1.19)-(1 26), показана на рис. 1.4. На ней для большей ясности рядом со звеньями написаны номера соответствующих уравнений. Последовательность изображения уравнений может быть, например, следующей: (1.19)-(1.21), (1.24), (1.23), (1.22), (1.25), (1.26).

Графическое изображение уравнений (1.20), (1.22) и (1 24) затруднений не вызывает — это пропорциональные звенья. Наличие разности в правой части уравнения (1.19) указывает на то, что необходим сумматор с двумя входами Во всех дифференциальных уравнениях заменяем на , после чего разрешаем эти уравнения относительно переменных, выбранных в качестве выходных. Чтобы избежать появления дифференцирующих звеньев, необходимо сделать выходными величины, стоящие в уравнениях под знаком производной, т. е. и . Тогда уравнения (1.23) и (1.24) примут вид

т. е им будут соответствовать интегрирующие звенья с передачей , причем для первого звена входная величина должна быть сформирована из переменных и с помощью сумматора

Наибольшую трудность вызывает графическая интерпретация уравнения якорной цепи двигателя (1.21). После замены возможны три основных варианта записи этого уравнения, один из них рассмотрен в задаче 1 5, а еще два приведены ниже:

Первый из приведенных вариантов предпочтителен, поскольку в этом случае, во-первых, в структурной схеме будет на одно звено меньше, а во-вторых, последний вариант создает иллюзию того, что порядок системы на единицу выше, чем на самом деле

Замечание. Передаточную функцию

связывающую переменные и , уместно назвать передаточной функцией якорной двигателя При необходимости ее легко можно преобразовать к стандартной форме ПФ апериодического звена 1-го порядка:

где

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №1.5.

По уравнению (1.21) изобразить ДОС и детализированный граф.

Решение:

Перепишем (1.21) в форме уравнения (116): . Далее, заменив переменной , представим это уравнение в операторной форме (1.18):

Заметим, что переменная присутствует в обеих частях уравнения, но как раз or приведения подобных мы уже предостерегали. ДСС, являющаяся решением задачи, показана на рис. 1.5, а (сравните с аналогичным фрагментом схемы рис. 1.4, не являющимся ДСС).

Чтобы изобразить М-граф, нанесем на рисунок вершины для переменных

после чего проведем ребра с соответствующими передачами. Результат показан на рис. 1.5, б.

Полезно сравнить структурную схему и М-граф, соответствующие одному и тому же уравнению. Это, во-первых, поможет читателю в дальнейшем избежать распространенной ошибки — смешивания в одном рисунке элементов структурной схемы и графа, а во-вторых, позволит ему при необходимости легко изобразить по М-графу соответствующую структурную схему, и наоборот.

Анализ структурных схем. Передаточные функции типовых соединений звеньев САУ

Типовыми соединениями звеньев в структурных схемах являются последовательное (рис. 2.1, д), параллельное, или согласно-параллельное (рис. 2.1,6), и соединение с обратной связью, или встречно-параллельное (рис. 2.1, в). Каждое из этих соединений можно рассматривать как одно звено, считая его входной и выходной величинами, соответственно, переменные и (рис 2.1,г).

Необходимо твердо усвоить формулы для определения передаточной функции

типового соединения по передаточным функциям звеньев, образующих это соединение:

• Последовательное соединение:

• Параллельное соединение:

(Если какая-либо из переменных на рис. 2.1, б входит в сумматор со знаком «минус», то и в формуле (2 2) соответствующее слагаемое должно быть взято со знаком «минус».)

• Соединение с обратной связью:

В последней формуле необходимо выбирать знак «плюс» в случае отрицательной обратной связи и «минус» — в случае положительной. Отметим, что в этой формуле выражение , т. е. произведение передач прямой и обратной связей, называется передаточной функцией разомкнутого контура, а само выражение (2.3) — передаточной функцией замкнутого контура.

Если структурная схема содержит только типовые соединения, то, как бы сложна ни была эта схема, по ней всегда можно определить передаточную функцию, связывающую заданные переменные, путем последовательного применения формул (2.1)-(2.3). Если же, кроме типовых, есть соединения с более сложной топологией (подробнее об этом см. в 3 1), то необходимо либо использовать теорему Мейсона, рассматриваемую в 2.2, либо применить метод эквивалентных структурных преобразований, излагаемый в 3.1

Теорема Мейсона (Мэзона)

Теорема Мейсона позволяет определить передаточную функцию, связывающую любые две переменные структурной схемы или М-графа. Поскольку первоначально теорема была сформулирована для графов, а затем распространена на структурные схемы, уточним некоторые топологические термины, знание которых необходимо для правильного применения этой теоремы.

Маршрутом в теории графов называют последовательность ребер, в которой соседние ребра инцидентны одной и той же вершине (напомним, что вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является концом ребра , например, на рис 1.1,6 вершина инцидентна всем трем ребрам графа, а вершина не инцидентна ребрам с передачами и ). Таким образом, геометрически маршрут представляет собой непрерывную цепочку ребер. В направленных графах, каковыми являются М-графы, при «обходе» маршрута направления всех ребер, образующих маршрут, должны совпадать с направлением обхода. Например, в графе на рис. 2.2, б последовательность ребер с передачами и 1, соединяющая вершины и , является маршрутом, а последовательность — не является, поскольку направление ребра 1 противоположно направлению обхода указанной последовательности ребер.

Путь — это маршрут без повторяющихся ребер и вершин На рис. 2.2, б последовательность ребер с передачами 1 (вверх), 1,-1 — это маршрут, но не путь, поскольку вершина проходится дважды В структурной схеме путем называют направленную последовательность звеньев, в которой ни одна переменная не встречается более одного раза [3].

Передачей пути называется произведение передач всех звеньев (в графе — ребер), образующих этот путь, причем необходимо учитывать и знаки, с ко-

торыми переменные данного пути входят в сумматоры, встречающиеся на этом пути. Па рис 2.2, а, б путь между переменными и имеет передачу .

Контуром как в графе, так и в структурной схеме называют замкнутый путь. Для графа это означает, что начальная и конечная вершины пути совпадают.

Передача контура — это произведение передач всех звеньев (или ребер), образующих контур, с учетом знаков в сумматорах Например, контур в графе на рис. 1.5, б имеет передачу . Предостережем от распространенной ошибки: иногда вместо передачи контура записывают передаточную функцию замкнутого контура вида (2.3); на самом деле передача контура есть, по существу, передаточная функция разомкнутого контура, но с учетом знака обратной связи.

Говорят, что контур не касается другого контура или пути, если он не имеет с ним общих переменных. На рис 2.2, а, б контур с передачей не касается контура с передачей , и, наоборот, касается контура с передачей , поскольку имеет с ним общую переменную .

Согласно теореме Мейсона, передача, связывающая некоторую «входную» переменную (обычно это внешнее воздействие) с некоторой «выходной» переменной , определяется формулой

Обозначения, использованные в формулах (2.4)-(2.6), имеют следующий смысл: — передача -го пути от к ; — сумма передач всех контуров; — сумма произведений передач всех не касающихся друг друга контуров, взятых по два; — сумма произведений передач всех не касающихся друг друга контуров, взятых по три, и т. д.; сумма передач всех контуров, не касающихся -го пути; — сумма произведений передач всех контуров, не касающихся -го пути и друг друга, взятых по два; — сумма произведений передач всех контуров, не касающихся -го пути и друг друга, взятых но три, и т. д.

Заметим, что два пути или два контура могут частично совпадать; тем не менее, если они различаются хотя бы одним звеном (ребром), то это рахпич-ные пути или контуры.

Решение любой задачи, требующей применения теоремы Мейсона, следует начинать с анализа структурной схемы или М-графа. Если схема сложна, то рекомендуется сначала выписать передачи всех путей, связывающих заданные переменные, и передачи всех контуров, отметив специально «некасающиеся» контуры После этого можно непосредственно записывать искомую передаточную функцию в соответствии с формулами (2 4)-(2.6).

Хотя при определении передаточных функций по теореме Мейсона в качестве входной переменной практически всегда выступает какое-либо внешнее воздействие, ничто не мешает применять эту теорему в ситуации, когда входом является некоторая «внутренняя» переменная структурной схемы. В этом случае надо лишь «усечь» схему, исключив из нее все пути, направленные к указанной входной переменной от заданного выхода и от внешних входных воздействий.

Удобство теоремы Мейсона заключается в возможности быстро записать требуемую передаточную функцию без многократного перерисовывания структурной схемы, что часто бывает необходимо в случае применения альтернативного метода структурных преобразований (см. 3.1) Вместе с тем, с ростом сложности схемы резко возрастает опасность «пропустить» при ее анализе какой-нибудь путь или контур либо не заметить факта «некасания» Поэтому в целом метод структурных преобразований считается более надежным способом определения передаточной функции по структурной схеме

Анализ установившегося режима по структурной схеме при постоянных входных воздействиях

Для исследования динамических систем, в том числе на ЭВМ, бывает важно уметь анализировать установившийся режим при постоянных внешних воздействиях Это можно делать различными способами — например, с помощью алгебраических методов пространства состояний. Здесь мы рассмотрим простой способ, позволяющий определить установившиеся значения всех переменных системы по структурной схеме.

Пусть система асимптотически устойчива (изложение методов анализа устойчивости выходит за рамки данного учебного пособия) Тогда, если все входные (внешние) воздействия постоянны, то с течением времени (теоретически — при ) все переменные системы примут постоянные значения Из этого факта вытекают важные следствия.

1. Если схема содержит интегрирующее звено, описываемое, как известно, уравнением , то из (индекс служит обозначением установившегося режима) следует, что . Таким образом, в асимптотически устойчивой системе с постоянными внешними воздействиями входные переменные всех интегрирующих звеньев в установитиемся режиме равны нулю.

2 Если в схеме имеется дифференцирующее звено, описываемое уравнением , то из следует . Следовательно, в асимптотически устойчивой системе с постоянными внешними воздействиями выходы всех дифференцирующих звеньев в установившемся режиме равны нулю. По этой же причине выход форсирующего звена (см. передаточную функцию (1.11)) принимает постоянное значение, равное его входу.

Большинство звеньев структурной схемы — это позиционные звенья, описываемые передаточными функциями (1.5), (I 10), (1 12) и (I 13), причем в трех последних в общем случае присутствует коэффициент передачи .

Коэффициент передачи к звена (системы) может быть определен двояко:

а) , т. е. как отношение установившейся реакции к постоянному входному воздействию , если система асимптотически устойчива;

б) , если это выражение имеет смысл (определено).

Последнее выражение — это одновременно и практический способ определения коэффициента передачи.

Общим свойством позиционных звеньев является то, что при подаче на вход такого звена постоянной величины на его выходе с течением времени также устанавливается постоянное значение. ПФ позиционного звена в установившемся режиме вырождается в коэффициент передачи (т. е в ПФ можно положить ), поэтому в установившемся режиме вход и выход пропорционального, апериодических 1-го и 2-го порядков и колебательного звеньев связаны соотношением .

Консервативное звено с ПФ (1.14) также относится к позиционным, но, в отличие от остальных, не является асимптотически устойчивым. При наличии в схеме консервативного звена (или эквивалентного ему встречно-параллельного соединения интегрирующего звена 2-го порядка и пропорционального звена) в системе в установившемся режиме будут наблюдаться незатухающие колебания, т. е. по крайней мере некоторые переменные будут изменяться по гармоническому закону. Анализ такого установившегося режима выходит за рамки излагаемого здесь метода.

В заключение отметим, что отводы по переменным, установившиеся значения которых равны нулю, при анализе установившегося режима можно не учитывать.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №2.1.

По структурной схеме (рис 2.3, а) определить передаточные функции , связывающие выходы и с внешними воздействиями и

Решение:

Сначала найдем ПФ , при этом вход учитывать не надо. Данная схема содержит только типовые соединения. Звенья с передачами и образуют соединение с обратной связью, причем положительной. Будем рассматривать это соединение как одно звено с ПФ , определяемой согласно формуле (2.3) как . Звенья с передачами и образуют

согласно-параллельное соединение; в соответствии с формулой (2.2) его . Эквивалентные звенья с передачами и образуют последовательное соединение, ПФ которого на основании (2.1) есть . Таким образом, схема сводится к одноконтурной системе с единичной отрицательной обратной связью и передачей прямой связи . Поэтому ПФ записывается по формуле (2 3) как , или, с учетом введенных обозначений.

Для сравнения получим искомую ПФ иначе — с помощью теоремы Мейсона. От к ведут два пути — с передачами и . Схема содержит три контура, имеющие передачи и (последняя получилась такой в результате сокращения двух минусов). Контуры, не касающиеся какого-либо пути или другого контура, отсутствуют. В результате согласно формулам (2.4)-(2.6) находим:

что, разумеется, совпадает с ранее полученным выражением.

Чтобы найти ПФ , следует не только помнить о необходимости рассматривать каждое из типовых соединений как одно звено, но и ясно представлять себе общую структуру системы с обратной связью. Внешнее воздействие приложено к сумматору (вид схемы на рис. 2.3, а позволяет предположить, что — это задающее воздействие, а — возмущающее; исходя из этого, первый сумматор можно назвать элементом сравнения, второй же, к которому приложено возмущение, называть так нежелательно), и та часть схемы, которая заключена между этим сумматором и выходом (ее передача равна ), представляет собой прямую связь, а остальные звенья образуют обратную связь. Поскольку воздействие не учитываем, то знак подходящей к элементу сравнения отрицательной связи по переменной следует учесть отдельно в виде звена с передачей -1, стоящего перед встречно-параллельным соединением, имеющим передачу . Следовательно, результирующая передача звеньев, стоящих в обратной связи, равна — , но сама обратная связь формально является положительной, поскольку она подходит к сумматору, к которому приложено воздействие со знаком «плюс». В силу этого при определении в формуле (2.3) следует выбрать знак «минус»:

Окончательно получаем:

До сих пор на структурных схемах выходная величина всегда изображалась стрелкой, заканчивающей горизонтальную цепочку звеньев, берущую начало от места приложения задающего воздействия. Если же в качестве выхода рассматривается какая-либо «внутренняя» переменная (в данной задаче — ), то в большинстве случаев, если не предполагается использовать теорему Мейсона, структурную схему целесообразно, а чаще всего даже необходимо, перерисовать так, чтобы образовалась указанная цепочка, началом которой являлось бы рассматриваемое внешнее воздействие, а концом — данная выходная переменная. Если таких цепочек в исходной схеме несколько, удобно взять самую длинную из них. После этого остается дополнить цепочку остальными элементами схемы — так, чтобы в итоге получилась структурная схема, топологически эквивалентная исходной, т. е. сохраняющая способ соединения звеньев друг с другом. На рис. 2.3, б и в показаны две такие схемы, нарисованные для случаев, когда входами системы являются, соответственно, переменные и , а выходом — (в принципе, первую из схем можно было бы и не изображать, поскольку понять ее структуру непосредственно по исходной схеме ничуть не сложнее, чем в только что рассмотренной задаче нахождения ПФ ). Обе схемы в целом представляют собой систему с обратной связью и содержат только типовые соединения: звенья с передачами и образуют встречно-параллельное соединение, а звенья с передачами и — согласно-параллельное. На рис. 2.3, б передача прямой связи равна

обратной —

на рис. 2.3, в прямая связь имеет передачу — , обратная связь является единичной и, формально, положительной.

С учетом сказанного, легко записать искомые ПФ

Обращаем внимание читателя на то, что все четыре найденные передаточные функции имеют, как это всегда и должно быть, одинаковые знаменатели.

Чтобы найти ПФ и с помощью теоремы Мейсона, нет необходимости перерисовывать схему рис. 2 3, а. Предоставляем читателю возможность решить задачу этим способом самостоятельно.

Пример №2.2.

С помощью теоремы Мейсона по структурной схеме или М-графу, изображенным на рис. 2.2, а и б, определить передаточные функции и , связывающие вход с выходами, соответственно, и .

Решение:

Определим ПФ . От к ведут два пути — с передачами, соответственно, и . В схеме (графе) три контура (на рис. 2.2, а они показаны дугами и пронумерованы): контур 1 имеет передачу —, контур 2 — передачу контур 3 — передачу , при этом 1 -й и 3-й контуры друг друга не касаются, кроме того, 3-й контур не касается 1-го пути После такого анализа не составляет труда записать искомую передаточную функцию

При нахождении учтем, что знаменатель у этой ПФ тот же, что и у ПФ поскольку он определяется, согласно выражению (2.5), только контурами схемы (графа). От к ведет единственный путь, его передача равна . Все три контура касаются этого пути. С учетом этого находим:

Пример №2.3.

С помощью теоремы Мейсона определить передачу между переменными и структурной схемы, изображенной на рис. 2.2, г.

Решение:

В схеме только один контур, но четыре пути: с передачами, соответственно, , 1 и — (последний путь топологически наиболее сложен, он включает- в себя прямую связь с передачей , далее — единичную отрицательную обратную связь и, наконец, единичную прямую связь; полезно убедиться в том, что он полностью удовлетворяет данному ранее определению пути — при его обходе ни одна переменная не встречается дважды, а сам обход происходит только в направлении стрелок). Поскольку контур касается всех путей, искомая передаточная функция записывается предельно просто:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Преобразование структурных схем. Эквивалентные структурные преобразования

Если в структурной схеме имеются не только типовые соединения звеньев (см. 2.1), но и другие, более сложные, то при необходимости определить передаточную функцию, связывающую заданные переменные, можно поступить различным образом: воспользоваться теоремой Мейсона (о ее достоинствах и недостатках было сказано ранее) либо применить метод эквивалентных преобразований структурных схем (короче — метод структурных преобразований), излагаемый далее. Этот метод, как показывает практика преподавания, не так легок для начального освоения, как теорема Мейсона, и даже может показаться громоздким, но в действительности после приобретения необходимых навыков становится удобным, эффективным и надежным инструментом анализа систем. Знание этого метода обязательно для специалиста в области автоматического управления. Рассмотрим сущность метода эквивалентных структурных преобразований.

Обычно в схеме можно выделить две части, не обязательно компактные одна состоит только из типовых соединений, к которым, следовательно, сразу могут быть применены формулы (2 1)—(2.3) для определения передаточных функций, другая же — назовем ее преобразуемой частью — содержит различного рода нетиповые соединения звеньев. В чем особенность таких соединений, и почему они являются предметом специального рассмотрения0

На рис 3.1, а показана структурная схема, в которой вообще нет типовых соединений. Если бы в этой схеме отсутствоват отвод «*» (конечно, вместе с сумматором ), то это была бы обычная, «типовая» схема, содержащая всгречно-параллельное и последовательное соединения (То же самое можно сказать и о случае, когда в схеме не было бы отвода «**».) Наличие этого отвода не позволяет «свернуть» встречно-параллельное соединение звеньев с передачами и в одно звено, так как в новом звене перестанет существовать переменная , по которой и сделан отвод.

Возникает вопрос: нельзя ли заменить эту схему другой так, чтобы ее передаточная функция не изменилась, но отвод «*» шел не с выхода звена с передачей , а с его входа (в этом случае упомянутое встречно-параллельное соединение беспрепятственно «сворачивается» в одно звено)? Положительный ответ на этот вопрос как раз и составляет сущность структурных преобразований вообще и преобразования рассматриваемой схемы в частности Для данного примера результат преобразования представлен на рис 3.1, б (метод его получения будет рассмотрен позднее). Ценой некоторого усложнения схемы (добавилось одно звено) достигнута главная цель — точка отвода перенесена через звено. Заметим, что схема теперь содержит только типовые

соединения, а передаточная функция, связывающая переменные и , в результате преобразования не изменилась (ПФ исходной схемы легко найти по теореме Мейсона, а ПФ преобразованной — по формулам (2.1)-(2 3)). Можно сказать и иначе: уравнения, связывающие входную и выходную переменные в рассматриваемых схемах, совпадают с точностью до тождественности алгебраических выражений.

Приведение схемы к типовому виду осуществляется выполнением некоторого количества операций преобразования. После выполнения любой из этих операций новая схема должна в определенном смысле быть эквивалентна предыдущей Пусть та часть (фрагмент) структурной схемы, над которой совершается операция преобразования, имеет входных переменных и выходных . Тогда критерий эквивалентности исходной и преобразованной схем (фрагментов) может быть сформулирован следующим образом: операция преобразования не должна изменять ни одной из передаточных функций

связывающих каждый вход с каждым выходом . Соблюдение условия эквивалентности при выполнении преобразований отдельных частей структурной схемы гарантирует, что и вся схема на любом этапе ее преобразования будет удовлетворять этому условию.

В табл. 3.1 приведены правила, по которым выполняются структурные преобразования. Подавляющее большинство приведенных здесь операций -это различного рода перестановки: звеньев, сумматоров и отводов. Для пояснения каждой операции в соответствующей горизонтальной графе показаны две схемы: исходная и эквивалентная ей преобразованная Однако как раз в силу эквивалентности всех преобразований каждую пару схем можно просматривать и в обратном порядке, считая эквивалентную схему исходной Например, операция 3 носит двойственный характер: сумматоры можно объединять и, наоборот, разделять.

При начальном изучении табл. 3.1 полезно убедиться в корректности каждой операции. Для этого рекомендуется проверить совпадение передаточных функций, связывающих каждый вход с каждым выходом в исходной

и эквивалентной схемах. Чтобы получить требуемую ПФ, необходимо просто «пройти» вдоль пути, связывающего данный вход с данным выходом, перемножая передачи всех звеньев этого пути и учитывая знаки в сумматорах. Можно поступить и иначе, в обеих схемах для каждой выходной переменной записать уравнение, описывающее зависимость этой переменной от всех входных переменных, после чего сравнить эти уравнения.

Особо подчеркнем следующее обстоятельство: приведенные в табл 3.1 правила выполнения операций не предназначены для запоминания. Необходимо просто понять логику построения эквивалентной схемы по имеющейся исходной и всякий раз при решении конкретной задачи поступать аналогично.

Рассмотрим теперь правила выполнения отдельных операций Все множество приведенных в табл. 3.1 операций можно условно разделить на три группы Первую из них составляют простейшие операции 1-4, которые вряд ли нуждаются в пояснениях.

Группу основных операций составляют операции 5-7. Именно они являются главным инструментом преобразования структурных схем. Рассмотрим перестановку звена и сумматора — например, в случае, когда сумматор стоит перед звеном (в табл. 3.1 — операция 5, вариант а). Если просто поменять местами сумматор и звено с передачей , то полученная схема не будет эквивалентна исходной: в то время как по входу передача не изменяется и равна , по входу в исходной схеме передача равна , а в преобразованной — единице. Следовательно, для того чтобы обеспечить эквивалентность, необходимо в связь по переменной вставить дополнительное звено с передачей .

Аналогично рассуждаем при обосновании правила перестановки звена и отвода. Рассмотрим операцию 6, вариант а. Просто поменять местами звено и отвод нельзя: в этом случае отвод будет по переменной , а надо — по переменной . А поскольку , то в отвод необходимо вставить звено с передачей .

Перестановка сумматора и отвода — наиболее сложная из операций преобразования структурных схем, и ее по возможности следует избегать. Здесь тоже есть два варианта взаимного расположения переставляемых элементов (варианты а и б операции 7 в табл. 3.1) В связи с этим следует со всей определенностью сказать, что объективная необходимость в выполнении перестановки по варианту б встречается крайне редко Бели при анализе конкретной схемы выясняется, что без перестановки сумматора и отвода обойтись нельзя, то необходимо, прежде всего, искать возможность выполнить перестановку по варианту а, такая возможность, скорее всего, существует.

Обращаем внимание на то, что, согласно правилу выполнения данной операции, в эквивалентной схеме вместо отвода по переменной , равной сумме (или в других случаях — разности) переменных и , появляются два отвода — по каждой из указанных переменных, а также дополнительный сумматор. Таким образом, схема усложнилась, и требуется еще ряд преобразований, чтобы ее упростить. (Принцип здесь таков: выходящая из дополнительного сумматора связь, хотя бы и пройдя через промежуточные звенья, обязательно заканчивается в каком-нибудь сумматоре; следовательно, дополнительный сумматор можно объединить с этим сумматором, если до этого поменять местами указанные промежуточные звенья и дополнительный сумматор.)

Однако, оказывается, перестановку сумматора и отвода можно выполнить гораздо более простым способом, исключающим появление дополнительного сумматора, а значит, и не требующим последующих операций по упрощению схемы. Суть этого способа (отразить его в табл. 3.1 не представляется возможным) состоит в следующем. В исходной системе отвод по переменной у, или в данном случае удобнее сказать — сама переменная , в конце концов «приходит» в некоторый сумматор, пройдя в общем случае через какие-то промежуточные звенья (обозначим их эквивалентную передачу как ). Но поскольку переменная у есть сумма переменных и , то, согласно принципу суперпозиции, можно считать, что каждая из этих переменных, пройдя через эквивалентное звено с передачей , «приходит» в указанный сумматор. Следовательно, в преобразованной схеме нужно вместо отвода по у просто сделать два отвода — по переменным и — и провести эти новые связи в упомянутый сумматор, вставив в каждую из них звено с передачей . Этот прием подробно разъясняется в задаче 3.2.

Последнюю группу в табл. 3.1 составляют операции 8-10, которые можно назвать вспомогательными. Справедливость операций 8^и 10 очевидна, при этом заметим, что величины , по существу, представляют собой одну и ту же переменную. Операция 9 по сути является графической интерпретацией свойства дистрибутивности сложения и умножения:

В чем польза трех последних операций? Рассмотрим более внимательно операцию 9. Ее смысл заключается в возможности выноса общей передачи из нескольких суммирующихся каналов (имеются в виду линии, входящие в сумматор) в канон за сумматором. Очевидно, что это упрощает схему, особенно если число входящих в сумматор каналов велико. Однако, возможно, еще большая польза этой операции состоит в другом. Если, наоборот, эквивалентную схему принять за исходную, то операция 9 трактуется по-другому: передачу звена, расположенного за сумматором, можно поместить в каждый из суммирующихся каналов Это позволяет иначе взглятть на уже рассмотренную операцию 5 перестановки звена и сумматора (в варианте а). Очевидно, что она полностью совпадает с операцией 9, и, следовательно, если в схеме последовательно расположены сумматор и звено, то операцию 5 над ними можно трактовать уже не как взаимную перестановку, а как «ввод» звена в каждый из каналов — это правило легко запоминается учащимися

Аналогично обстоит дело с операцией 10. Если рассматривать приведенную в табл 3.1 пару схем слева направо, то правило звучит так: общую передачу всех связей, отходящих от точки разветвления, можно внести в связь перед этой точкой. Рассматривая эти же схемы в обратном порядке, можно прийти к следующему выводу: передачу звена, стоящего до точки разветвления, можно внести во все отходящие от этой точки связи. Знание этого правила позволяет, не задумываясь, выполнять операцию 6 перестановки звена и отвода (вариант а).

Операция 8 удобна тем, что позволяет искусственно создать в какой-либо связи звено с требуемой передачей — чтобы получить возможность вынести эту передачу из двух или более связей, т. е. выполнить операцию 9 или 10.

В заключение укажем на еще одно правило, которое бывает полезно при упрощении схем и выполнении других процедур их преобразования к заданному виду: уравнения, описывающие систему, не изменятся, если в структурной схеме у всех переменных, связанных с каким-либо сумматором, изменить знак на противоположный. Другими словами, можно изменить знаки у всех стрелок, входящих в сумматор, и поставить звено с передачей -1 в связь, выходящую из сумматора. Эта операция, по существу, является частным случаем операции 9 при =-1.

Знание правил структурных преобразований не дает, однако, ответа на вопрос, в каком порядке следует преобразовывать схему к типовому виду при решении конкретной задачи. Ответить определенно на него невозможно, поскольку задачи такого типа решаются, как правило, не единственным образом То, какие именно операции и в какой последовательности будут использованы, зависит как от многообразия вариантов решения, так и от опыта и, не в последнюю очередь, от личных предпочтений специалиста, выполняющего структурные преобразования. Нет нужды доказывать, что при наличии нескольких возможных алгоритмов решения задачи необходимо выбирать наиболее простой.

Несмотря на сказанное, некоторые общие рекомендации относительно алгоритма преобразования структурных схем все же можно дать. Прежде всего, необходимо каждое имеющееся в схеме типовое соединение звеньев заменить эквивалентным звеном, снабдив его обозначением соответствующей передаточной функции. Затем целесообразно выполнить операции перестановки звена и отвода или/и звена и сумматора (как уже указывалось, операцию перестановки сумматора и отвода без необходимости применять не следует), чтобы в результате образовались новые типовые соединения. Их нужно опять заменить эквивалентными звеньями и т. д. Рекомендуется после каждого этапа преобразований перерисовывать схему с новыми обозначениями.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Операция инверсии

Полезным видом структурно-топологических преобразований является операция инверсии. Ее применяют

• а) для приведения структурной схемы к виду, удобному для цифрового и аналогового моделирования, путем устранения дифференцирующих звеньев,
• б) при анализе установившихся режимов для устранения некорректности типа деления на ноль (в передаточных функциях вида /р при р-> 0),
• в) для получения из схемы общего вида некоторых частных структурных схем путем предельного перехода при стремлении какого-либо параметра к бесконечности или к нулю.

Различают инверсию пути и контура. Главной чертой этих операций является изменение направления пути (контура) на противоположное

Рассмотрим операцию инверсии пути. Чтобы излагаемое далее правило было более понятно, проиллюстрируем его примером. Пусть требуется про-инвертировать путь между переменными и в схеме на рис. 1.1,6. Этот путь включает в себя звено с передачей , сумматор (перед ним необходимо мысленно поместить звено с передачей -1, учитывающее знак при суммировании) и, разумеется, все линии связи, в том числе стрелки, соответствующие переменным и . Вообще говоря, при решении задач, по крайней мере на этапе освоения данной операции, полезно каким-либо образом выделять инвертируемый путь. Это помогает избежать распространенных ошибок, когда к рассматриваемому пути по невнимательности относят элементы, на самом деле ему не принадлежащие, и, наоборот, упускают из виду неотъемлемые элементы данного пути. В связи с этим обращаем особое внимание на то, что отводы, отходящие от пути в точках разветвления, а также связи (стрелки), подходящие к пути в сумматорах, не являются элементами этого пути

Для рассматриваемого примера результат инверсии показан па рис 3.2, а. Сравнение этой схемы с исходной позволяет лучше усвоить излагаемое далее правило инверсии пути.

Чтобы проинвертировать некоторый путь между двумя переменными структурной схемы, необходимо изменить:

1) направление пути на противоположное;

2) передачи всех звеньев этого пути — на обратные;

3) знаки всех воздействий, подходящих к данному пути, — на противоположные.

Это правило можно рассматривать как алгоритм выполнения данной операции. На первом этапе следует перерисовать схему, изменив направления всех стрелок рассматриваемого пути (и только его!) и пока воздержавшись от записи передач внутри графических изображений звеньев. Далее необходимо записать эти передачи как обратные исходным, причем, если на инвертируемом пути встречаются сумматор и принадлежащая этому же пути стрелка, входящая в сумматор со знаком «минус», то последний следует интерпретировать как звено с передачей -1. В заключение меняют на противоположные знаки, с которыми к рассматриваемому пути подходят (в сумматорах) внешние воздействия, в том числе воздействия от остальной части схемы.

Заметим, что с математической точки зрения инверсия пути соответствует разрешению алгебраического уравнения, описывающего данный путь, относительно новой переменной.

Так, в рассмотренном примере исходной и преобразованной схемам соответствуют следующие два варианта одного и того же уравнения:

Инверсия контура в практическом плане является наиболее важной из двух рассматриваемых здесь операций. Именно она является инструментом решения задач, перечисленных в начале раздела.

Чтобы проинвертировать некоторый контур структурной схемы, необходимо:

1) любой сумматор этого контура принять за опорный (обозначим его ) и любую переменную контура — за выходную (обозначим ее у), тогда путь от к будем считать прямой связью, а путь от к — обратной связью;

2) направление контура изменить на противоположное; в результате этого прямая связь становится обратной, а обратная — прямой;

3) передачи всех звеньев контура изменить на обратные (как-уже пояснялось, знаки «минус» при входящих в сумматоры стрелках данного контура тоже необходимо рассматривать как звенья этого контура, имеющие передачу -1);

4) знаки прямой и обратной связей изменить на противоположные, вставив звено с передачей -1 непосредственно у опорного сумматора;

5) знаки всех воздействий, подходящих к данному контуру извне, за исключением воздействий, приложенных к опорному сумматору, заменить на противоположные.

Применение этого правила проиллюстрируем на примере контура, изображенного на рис. 3.2, б Рассмотрим два варианта назначения опорного сумматора (приводящие, таким образом, к двум вариантам решения) — они обозначены на схеме как и . Выходной переменной все время будем считать . Сначала изменим на противоположное направление всех стрелок в контуре (обращаем внимание на то, что одна из стрелок, изображающих переменную , а именно — стрелка, направленная вправо от точки разветвления, не изменила своего направления, поскольку не принадлежит этому кон-туру). Далее передачи и меняем на обратные. Минус у стрелки, входящей в сумматор , будем считать звеном с передачей -1, но, как увидим позднее, в зависимости от варианта выбора опорного сумматора это звено будет либо изображено, либо нет.

Пусть опорным является сумматор . Чтобы изменить, согласно 4-му шагу алгоритма, знак прямой связи (она теперь становится обратной), необходимо на схеме рис. 3.2, в вставить звено с передачей -1 в эту связь непосредственно справа от опорного сумматора. Вместо этого выполним эквивалентное действие — поставим знак «минус» у стрелки, входящей в этот сумматор справа. Нужно также изменить и знак обратной связи (становящейся, напротив, прямой), поэтому на схеме рис. 3.2, в на выходе опорного сумматора, где мыслилось звено с передачей -1, это звено теперь не изображаем В заключение меняем знаки, с которыми воздействия и подходят к данному контуру; при воздействиях и знаки сохраняются, так как они приложены в опорном сумматоре.

Теперь рассмотрим вариант с опорным сумматором . Для изменения знака прямой связи (превращающейся на рис 3.2, г в обратную) ставим справа от этого сумматора знак «минус» при входящей стрелке. А для изменения знака обратной связи звено с передачей -1 помещаем на выход опорного сумматора У воздействий и меняем знак. Напротив, знак при переменной , как приложенной к опорному сумматору, сохраняем прежним

Хотя выбор различных опорных сумматоров привел к различным структурным схемам, эти схемы легко получаются одна из другой изменением знаков всех переменных в сумматорах и . Заметим также, что все переменные системы после инверсии сохранили свои позиции на схеме.

Если требуется привести структурную схему к виду, удобному для моделирования, путем устранения имеющихся в ней дифференцирующих звеньев, то эту задачу можно решить с помощью операции инверсии контура в том случае, если инвертируемый контур не содержит интегрирующих звеньев. В противном случае при замене передач звеньев кон тура на обратные интегрирующие звенья превратятся в дифференцирующие. В такой ситуации делу могут помочь структурные преобразования, а в сложных случаях — применение методов пространства состояний (канонических форм, которые всегда приводят к структурным схемам без дифференциаторов [3]).

Пример №3.1.

По структурной схеме, изображенной на рис 3.1, а, определить передаточную функцию, связывающую переменные и , с помощью структурных преобразований: а) путем переноса отвода «*» через звено с передачей ; б) с использованием перестановки сумматора и звена с передачей .

Решение:

На рис. 3.1,6 показан результат решения задачи первым способом. Чтобы получить его, необходимо сначала перерисовать без каких-либо изменений ту часть схемы, которая не подвергается операции преобразования. В данном случае это вся схема за исключением отвода «». Специально обращаем внимание на то, что звено с передачей никуда не «исчезнет» из-за того, что через него будет перенесен отвод; точно так же отвод этот, откуда бы он ни начинался, должен закончиться в сумматоре , который, таким образом, тоже остается на прежнем месте. Итак, положения начала и конца связи «*» известны Чтобы определить ее передачу, рассуждаем следующим образом: указанный отвод отождествляется с переменной , но в новой схеме он берется по переменной ; а поскольку , то в рассматриваемую связь необходимо вставить звено с передачей . Возможно, более простым может показаться другой способ рассуждений: согласно правилу выполнения операции 10 (см. табл 3.1), передачу звена, стоящего до точки разветвления, можно перенести в обе связи, отходящие от этой точки Поскольку теперь схема содержит только типовые соединения звеньев — встречно-параллельное (дважды) и последовательное, — то по формулам (2.3) и (2.1) определяем искомую передаточную функцию:

Для решения вторым способом удобно воспользоваться операцией 9 (см. табл. 3.1): убрав звено с передачей из связи, выходящей из сумматора , вставить такое же звено в каждую из связей, входящих в этот сумматор. После этого оба сумматора рассматриваемой схемы оказываются рядом, и, следовательно, их можно объединить. В итоге получается схема, изображенная на рис. 3.3, а В принципе, никаких преобразований больше не требуется. Чтобы записать передаточную функцию, необходимо только понимать, что между точкой разветвления и сумматором образовалось согласно-параллельное соединение звеньев с передачами и 1, поэтому его можно заменить эквивалентным звеном с передачей +1, при этом оба минуса можно заменить одним, как показано на рис 3.3, б. Передаточная функция, записанная по последней схеме, разумеется, совпадает с найденной ранее. Представляется, что решение первым способом является более простым.

Пример №3.2.

По схеме, изображенной на рис. 2.2, г, определить передаточную функцию от и к у методом структурных преобразований

Решение:

Данная схема является примером случая, когда нельзя обойтись без операции перестановки сумматора и отвода Наиболее быстро задача решается взаимной перестановкой первого (слева) сумматора и отвода по переменной . Выполним эту операцию не по образцу из табл. 3.1, а рекомендованным при ее обсуждении более простым способом. Поскольку отвод по переменной заканчивается в третьем сумматоре, а сама величина является разностью переменных и , то можно вместо отвода по сделать отводы по переменным и и провести их к тому же сумматору. Остается только определить передачи новых связей. В исходной схеме путь от к имеет передачу 1, а путь от к — передачу — Поэтому первая из новых связей (по ) будет единичной, а во вторую (по ) необходимо ввести звено с передачей —. Результат показан на рис 3 4, а. Звенья с передачами и — образуют параллельное соединение с эквивалентной передачей — . Часть схемы, содержащая звенья с передачами и , еще не приведена к типовому виду (заметим, кстати, что структура этой части схемы, заключенной

между переменными и , характерна для многих задач на структурные преобразования). Поменяв местами первый сумматор и звено с передачей В и объединив затем оказавшиеся рядом сумматоры, приходим к структурной схеме, приведенной на рис. 3.4, б. Поскольку схема стала типовой (обращаем внимание на то, что в ней две связи имеют передачу 1), по формулам (2.1.)-(2.3) определяем передаточную функцию:

Это выражение после упрощения совпадает с найденным в задаче 2.3

Пример №3.3.

По структурным схемам, приведенным на рис. 2.2, а и в, определить методом структурных преобразований передаточные функции и связывающие вход с выходами, соответственно, и (сравните с задачей 2.2).

Решение:

Главную трудность при нахождении ПФ представляет наличие отвода «*» по переменной . Перенесем его через звено с передачей в точку разветвления связи по переменной . Тогда между переменными и окажется заключено встречно-параллельное соединение звеньев с передачами и (обратная связь — отрицательная), передача которого равна, следовательно,

Одновременно сделаем перестановку крайнего левого сумматора и звена с передачей , после чего объединим сумматоры. Итогом этих преобразований является схема, изображенная на рис 3 5, а. Предлагаем читателю завершить приведение ее к типовому виду самостоятельно. Для этого необходимо только перенести отвод, идущий из точки о на вход звена с передачей , через звено с передачей в точку . В результате получается следующая структура: звено с единичной передачей охвачено отрицательной обратной связью с передачей ; этот контур, в свою очередь, образует последовательное соединение со звеном , охваченное далее положительной обратной связью с передачей , наконец, это соединение включено последовательно со звеньями, имеющими передачи и . С учетом сказанного, передаточная функция от к получается равной

что после подстановки выражения для дает ответ, совпадающий с найденным в задаче 2.2.

Преобразования схемы на рис. 2.2, в, необходимые для нахождения ПФ , частично совпадают с только что описанными, а именно: перестановка левого сумматора и звена с передачей позволяет получить встречно-параллельное (с отрицательной обратной связью) соединение звеньев с передачами 1 и . Кроме этого, надо перенести отвод, идущий к звену с передачей , на вход звена с передачей . По преобразованной схеме (рис. 3.5, б) записываем:

что совпадает с ПФ в задаче 2.2.

Пример №3.4.

Выполнить инверсию контура на рис. 3.6, а.

Решение:

Примем левый сумматор за опорный, а переменную — за выходную. Схема с проинвертированным контуром приведена на рис. 3.6, б. При желании ее можно изобразить более привычным образом, проведя горизонтально единичную прямую связь вправо от опорного сумматора; звенья же с передачами (охвачено местной отрицательной обратной связью с передачей ) и войдут в обратную связь. Поясним основные этапы выполнения инверсии. При замене передач всех звеньев контура на обратные учитываем минус при связи, выходящей из звена с передачей . Что касается минуса при единичной обратной связи, то при инверсии он исчезает, поскольку знак обратной связи должен быть заменен на противоположный. А для замены знака прямой связи ставим минус при стрелке, выходящей из звена с передачей . Знак при внешнем воздействии и не меняем, поскольку оно приложено в опорном сумматоре. Выходная переменная звена с передачей является для данного контура вторым внешним воздействием, и знак, с которым оно приложено ко второму, не опорному, сумматору, изменен на противоположный

Полезно убедиться, что передаточная функция системы после инверсии не изменилась.

Пример №3.5.

В структурной схеме, изображенной на рис. 2.1, в, с помощью эквивалентных структурных преобразований сделать обратную связь единичной.

Решение:

Задача предназначена для самостоятельного решения Рекомендуется использовать операции 8 и 10 из табл. 3.1.

Пример №3.6.

На рис. 3.7, а показана упрошенная структурная схема системы автоматического регулирования скорости электродвигателя постоянного тока, соединенного с рабочим механизмом упругой механической связью, имеющей жесткость с. Требуется с помощью операции инверсии контура: а) получить частную схему для случая жесткой связи двигателя с механизмом ; б) определить уравнение, связывающее установившуюся ошибку по скорости с постоянным моментом сопротивления .

Пояснение Кроме названных, в схеме имеются следующие переменные: и — угловые скорости двигателя и механизма; — задающее воздействие по скорости (здесь полагается постоянным); — электромагнитный момент двигателя; — момент сил упругости Параметры системы: и — «механические» постоянные времени двигателя и механизма; — коэффициент, упрощенно описывающий регулятор скорости и внутренний контур регулирования тока двигателя.

Решение:

Проинвертируем контур, содержащий звенья с передачами и , приняв левый сумматор за опорный. С этой целью указанные передачи превратим в обратные, знак, с которым переменная входит в сумматор, изменим на «плюс» и с обеих сторон опорного сумматора (в начале прямой связи и в конце обратной связи) также поменяем знаки. После этого учтем условие да: передача станет нулевой, что эквивалентно разрыву данной связи, а следовательно, перестает существовать сумматор, принятый за опорный. Результатом описанных действий является схема, показанная на рис. 3.7, б. Обратим внимание читателя на то, что, согласно схеме, угловые скорости и двух вращающихся масс теперь совпадают, а это соответствует абсолютно жесткой связи между этими массами. Чтобы придать структурной схеме окончательный вид, объединим два правых сумматора, приняв во внимание, что соединяющая их связь имеет передачу -1. В результате внешнее воздействие оказывается приложенным со знаком «минус», а звенья с передачами образуют соединение с отрица-

тельной обратной связью, передача которого есть , где -суммарный момент инерции двигателя и механизма (рис. 3.7, в). Это полностью соответствует физике явления, поскольку в случае абсолютно жесткой связи двигателя и механизма последние должны рассматриваться как одно целое.

Чтобы решить вторую часть задачи, выполним инверсию полученного контура (ввиду простоты эту операцию не поясняем). Для перехода к схеме установившегося режима достаточно заменить обозначения переменных на установившиеся значения и принять , в результате чего передача становится нулевой и данная связь разрывается (рис. 3.7, г). По структурной схеме записываем искомое уравнение:

Пример №3.7.

Структурную схему, изображенную на рис. 3.8, привести к виду, удобному для моделирования, устранив дифференцирующее звено.

Решение:

Задача решается путем переноса отвода, идущего на вход звена с передачей , через интегрирующее звено.

Построение и анализ логарифмических частотных характеристик. Логарифмические частотные характеристики

Математический аппарат частотных характеристик, в особенности — логарифмических частотных характеристик, является весьма эффективным инструментом анализа и синтеза автоматических систем, даже несмотря на наличие мощных методов так называемой «современной теории управления» (методов пространства состояний, вход-выходного подхода и др.) и огромные возможности вычислительной техники. Частотные характеристики благодаря сочетанию строгости, простоты, наглядности и информативности не только являются удобным средством в руках инженера и исследователя, но и, после приобретения достаточного опыта, вырабатывают у специалиста интуицию, необходимую для приближенной оценки динамических свойств систем и поиска методов их улучшения.

Как известно, частотная передаточная функция (ЧПФ) получается из передаточной функции подстановкой р = уш. Годограф функции при изменении аргумента от 0 до называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ). Если ЧПФ представлена в показательной форме

то функции

и

называются, соответственно, амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотными характеристиками. Если же ЧПФ представлена в алгебраической форме

то функции

и

называются, соответственно, вещественной (ВЧХ) и мнимой (МЧХ) частотными характеристиками.

Чтобы построить АФХ, необходимо

1) записать аналитические выражения для и ;

2) задавая некоторые характерные значения , определить соответствующие им значения и (кроме значений 0 и , необходимо выбирать такие значения частоты, которые позволяют выявить перемену знаков в выражениях и , т. е переход АФХ в новый квадрант комплексной плоскости; собственно говоря, в этих промежуточных точках нет нужды вычислять значения и , достаточно определить их знак); свести результаты в таблицу;

3) задав на комплексной плоскости систему координатных осей по данным таблицы построить АФХ; отметить на ней направление возрастания частоты.

Функция

называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛAX) и графически изображается как функция частоты [рад/с], откладываемой по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, т. е., фактически, как функция безразмерной переменной , откладываемой в равномерном масштабе. Значения измеряются в децибелах (дБ) и откладываются по оси ординат в равномерном масштабе. ФЧХ, изображаемая как функция частоты, откладываемой в логарифмическом масштабе, называется логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ). Ее значения измеряются в градусах или радианах. ЛАХ и ЛФХ называются логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ).

Любой интервал частот , граничные частоты которого различаются в 10 раз, называется декадой. Ширина декады

На рис. 4.1 изображена система координат, которой пользуются при построении ЛЧХ. На ней показан пример оцифровки осей, причем для оси абсцисс даны два варианта оцифровки, используемые в литературе: снизу от оси — для в радианах в секунду (сокращенно ) и сверху — для (это безразмерная величина, иногда условно считают, что она измеряется в декадах) Как правило, мы будем давать оцифровку для самой частоты. Ось ординат чаще всего проводят через точку, соответствующую частоте 1 рад/с, хотя это и не обязательно; иногда мы при изображении ЛЧХ вообще не будем проводить ось ординат.

Необходимо уметь правильно отмечать на оси абсцисс точки, соответствующие конкретным значениям частоты. Пусть, например, требуется нанести на ось частот две точки: 2 и 20 . Логарифмируя эти числа, получаем 0,3 и 1,3. Это означает, что указанные точки отстоят от точки с оцифровкой 1 (или 0 для ) на расстояние, соответственно, в 0,3 и 1,3 декады (см рис. 4.1). Однако удобнее координаты второй точки находить иначе. Поскольку точка 20 занимает в пределах второй (если вести отсчет от точки 1 ) декады точно такую же позицию, что и точка 2 в пределах первой декады, то можно брать логарифм не от 20, а от 2, после чего откладывать отрезок длиной 0,3 декады уже от точки 10 .

Также необходимо уметь строить в принятом масштабе наклонные участки асимптотических ЛАХ, т е. отрезки прямых, имеющих стандартные коэффициенты наклона Например, чтобы через данную точку провести прямую, имеющую коэффициент наклона -20 дБ/дек, следует найти вторую точку, отстоящую от заданной на 1 декаду вправо и на 20 дБ вниз (либо, наоборот, на 1 декаду влево и на 20 дБ вверх), после чего соединить обе точки отрезком прямой. Коэффициенты наклона 0, ±20 дБ/дек, ±40 дБ/дек… сокращенно обозначают 0, ±1, ±2 . ..

При изучении теории автоматического управления обязательным является знание логарифмических частотных характеристик типовых звеньев САУ, перечисленных в 1.1. Этот материал можно найти в любом учебнике по теории автоматического управления Здесь мы, не приводя графиков ЛЧХ типовых звеньев, отметим их существенные особенности, знание которых облегчает усвоение этого материала.

Общей чертой трех типов звеньев — пропориионального с ПФ (1 5), интегрирующего и дифференцирующего (произвольного порядка), описываемых передаточными функциями (1.7) и (1.9), — является то, что для них как ЛАХ, так и ЛФХ представляют собой прямые При этом ЛАХ пропорционального звена — горизонтальная прямая с ординатой 20 [дБ], а ЛФХ -прямая, совпадающая с осью частот. ЛАХ обобщенных интегрирующего и дифференцирующего звеньев — это прямые, имеющие коэффициенты наклона, соответственно, -20 дБ/дек и 20 дБ/дек (сокращенно — и ), каждая из которых проходит через две характерные точки, описываемые формально одними и теми же выражениями для интегрирующего и дифференцирующего звеньев:

Каждая из этих точек соответствует своей, одной из двух форм записи передаточных функций (1.7) и (1.9) — с использованием коэффициента или постоянной времени Если необходимо построить ЛАХ обобщенного интегрирующего или дифференцирующего звена, то следует определить координаты одной из указанных точек (ее выбирают в зависимости от того, к какой форме записи проще приводится заданная передаточная функция) и провести через нее прямую с нужным коэффициентом наклона. Что касается фазовых характеристик указанных звеньев, то это горизонтальные прямые с ординатой -90° для интегрирующего звена и 90° — для дифференцирующего Обращаем внимание на полное соответствие (точнее, пропорциональность) между коэффициентом наклона ЛAX и ординатой ЛФХ для всех трех рассмотренных звеньев.

С остальными из перечисленных в 1.1 типовых звеньев дело обстоит сложнее. Для каждого из них различают два вида ЛАХ — точную, описываемую выражением (4.1), и асимптотическую. При компьютерном моделировании САУ с помощью специализированных математических пакетов, например Control System Toolbox системы Matlab, мы имеем возможность рассчитывать и видеть на экране график именно точной ЛАХ исследуемой системы. Однако в практике предварительного инженерного анализа систем и оценки вариантов закона управления обычно имеют дело с асимптотическими ЛАХ, широкое применение которых объясняется простотой их построения даже для весьма сложных систем и богатством заключенной в них информации.

Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика — это ломаная, отрезки которой являются асимптотами для точной ЛАХ. Для звеньев, описываемых передаточными функциями (1.10), (1.11), (1 13) и (1 14) (апериодическое звено 2-го порядка мы исключаем из рассмотрения, поскольку оно заменяется последовательным соединением двух апериодических звеньев 1-го порядка), асимптотическая ЛАХ состоит из двух асимптот: низкочастотной (к ней точная ЛАХ приближается при ) и высокочастотной (то же при ). Соединение (сопряжение) двух асимптот происходит на частоте сопряжения, которая для всех рассматриваемых звеньев равна . Низкочастотной асимптотой для всех звеньев выступает горизонтальная прямая с ординатой 20 где — коэффициент передачи звена, в общем случае присутствующий в числителе передаточных функций (1 10), (1 13) и (1.14) (для форсирующего звена -1). Высокочастотная асимптота ЛАХ рассматриваемых звеньев представляет собой прямую, коэффициент наклона которой определяется тем, в числителе или в знаменателе передаточной функции находится полином от переменной и какова степень этого полинома. У апериодического и форсирующего звеньев полиномы имеют первую степень, поэтому наклон асимптоты составляет 20 дБ/дек, для звеньев 2-го порядка — колебательного и консервативного — он равен 40 дБ/дек. В ПФ форсирующего звена полином находится в числителе, поэтому коэффициент наклона положителен; у остальных звеньев он отрицателен Заметим, что асимптотические ЛАХ колебательного и консервативного звеньев совпадают

Фазовые характеристики трех звеньев графически представляют собой плавные кривые; они являются следующими функциями частоты: для апериодического звена, — для форсирующего и — для колебательного; ЛФХ консервативного звена — это разрывная по функция: 0 при и 180° при . Первые три ЛФХ имеют асимптоты: низкочастотная совпадает с осью абсцисс, высокочастотная является горизонтальной прямой с ординатой -180°, дня консервативного звена указанные асимптоты как раз и составляют точную ЛФХ. Для всех названных звеньев имеется полное соответствие между коэффициентами наклона асимптот ЛАХ и ординатами соответствующих асимптот ЛФХ. На частоте сопряжения первые три ЛФХ принимают среднее из асимптотических значений При эскизном построении ЛФХ апериодического, форсирующего и колебательного звеньев следует иметь в виду, что уже на расстоянии 1 декады влево и вправо от частоты сопряжения значения этих ЛФХ мало отличаются от асимптотических значений (например, для апериодического и форсирующего звеньев — на 5,7°).

Заметам, что передаточные функции (1 10) и (1.11) апериодического и форсирующего звеньев являются взаимно обратными. Как следствие, их ЛЧХ симметричны друг другу относительно оси частот. То же самое можно сказать об ЛЧХ дифференцирующего и интегрирующего звеньев. В связи с этим набор «типовых» передаточных функций можно расширить, введя в него функции, обратные передаточным функциям (1 13) и (1 14) колебательного и консервативного звеньев. Соответственно, ЛЧХ таких звеньев будут зеркальным отображением ЛЧХ указанных звеньев. Такой расширенный набор позволяет почти любую передаточную функцию, не являющуюся типовой, представить в виде произведения типовых передаточных функций

В процессе анализа САУ часто возникает необходимость в построении ЛЧХ систем с довольно сложной структурой Будем предполагать, что структурная схема системы уже преобразована так, что содержит только типовые соединения Следовательно, возникает задача построения ЛЧХ типовых соединений звеньев по известным ЛЧХ самих этих звеньев

Рассмотрим последовательное соединение Основной результат состоит в том, что как ЛАХ, так и ЛФХ последовательного соединения звеньев могут быть получены суммированием соответствующих характеристик звеньев, образующих это соединение (уточним, что нас интересует, главным образом, графическое сложение частотных характеристик). Это позволяет сравнительно легко строить ЛЧХ длинных цепочек звеньев

На данный результат можно посмотреть и с другой стороны. Среди звеньев структурной схемы могут оказаться и такие, передаточные функции которых не совпадают ни с одной из рассмотренных ранее передаточных функций типовых звеньев. Однако в большинстве случаев такая «сложная» передаточная функция всегда может быть представлена в виде произведения типовых передаточных функций, а значит, ее можно рассматривать как ПФ последовательного соединения типовых звеньев, что позволяет строить ЛЧХ по такой ПФ суммированием «типовых» составляющих.

Несмотря на ясность изложенного подхода, необходимо сделать существенную оговорку. Основные преимущества метода ЛЧХ связаны, в первую очередь, с простотой ручного построения асимптотических ЛАХ типовых звеньев САУ и, как следствие, систем в целом (мы говорим именно о ручном построении как основе предварительных, прикидочных расчетов автоматических систем; впрочем, очень часто расчеты, выполненные с помощью ЛЧХ, являются весьма точными). В отличие от асимптотических ЛАХ, которые можно строить вполне точно с соблюдением необходимых масштабов, фазовые характеристики большинства даже типовых звеньев и тем более их последовательных соединений могут быть построены вручную только эскизно, поскольку описываются не очень простыми выражениями. Если бы оказалось, что для анализа каких-либо свойств системы необходимо точное построение ее ЛФХ, то это свело бы на нет преимущества использования аппарата асимптотических ЛАХ. К счастью, большинство систем, с которыми приходится иметь дело, относятся к так называемым минимально-фазовым системам, для которых существует однозначная связь между амплитудной и фазовой частотными характеристиками и, следовательно, можно обойтись построением только ЛАХ — если, конечно, имеется возможность на любом этапе расчета восстановить (в случае необходимости) ЛФХ по имеющейся ЛАХ или хотя бы оценить значение фазы в любой точке ЛАХ (подробно об этом говорится в 4 2).

Таким образом, наибольшее значение для практики анапиза и синтеза автоматических систем имеет построение асимптотических ЛАХ типовых соединений звеньев. Для последовательного соединения или, что равнозначно, для передаточной функции сложного вида результирующая ЛАХ может быть найдена, как уже было сказано, простым суммированием составляющих, соответствующих передаточным функциям отдельных звеньев или сомножителям сложной передаточной функции. Однако на практике этот способ применяется редко. Более эффективной является специальная методика, позволяющая строить результирующую ЛАХ по передаточной функции сложного вида без предварительного изображения отдельных составляющих. Методика базируется том факте, что ЛАХ пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев являются бесконечными прямыми и, следовательно, вносят свой вклад в результирующую ЛАХ во всем диапазоне частот, в то время как влияние асимптотических ЛАХ звеньев других типов начинается только с соответствующей частоты сопряжения (если рассматривать весь частотный диапазон слева направо), поскольку их низкочастотные асимптоты, если полагать коэффициент передачи этих звеньев равным единице, совпадают с осью абсцисс.

Пусть передаточная функция имеет следующий вид (или приведена к таковому):

где функция представляет собой одно из следующих выражений:

a и — выражения, представляющие собой произведения сомножителей вида

где

так что

(Если в исходной передаточной функции есть сомножители, имеющие вид полинома второй степени

то они приводятся к виду

или

в зависимости от того, являются корни полинома вещественными или комплексными. Вместо нахождения корней полинома последний можно формально представить в виде

тогда, если , то корни являются вещественными, а если , то комплексными.) Отметим также, что или могут быть тождественно равны единице.

Чтобы по передаточной функции (4.2) построить асимптотическую ЛАХ, необходимо выполнить следующие действия:

На оси абсцисс отметить точки, соответствующие сопрягающим частотам где — постоянные времени функций и Для определенности упорядочим эти частоты согласно неравенствам

Начать построение ЛАХ (оно ведется слева направо, от низких частот к более высоким) с участка, представляющего собой ЛАХ передаточной функции ; этот участок следует проводить только для первой (наименьшей) сопрягающей частоты .

Далее на частотах последовательно изменить наклон (сделать «изломы») результирующей ЛАХ с целью учесть наличие в ПФ сомножителей и . Изменение наклона на очередной частоте — должно составлять 20 дБ/дек для и 40 дБ/дек для , причем оно должно быть положительным, если данный сомножитель находится в числителе ПФ, и отрицательным — если в знаменателе.

Чтобы выполнить эскизное построение результирующей ЛФХ по передаточной функции (4.2), необходимо представить последнюю в виде произведения типовых передаточных функций расширенного набора, т. е. (1.5)-(1.11), (1.13), (1.14) и функций, обратных (1.13) и (1.14), затем построить ЛФХ для каждого сомножителя, после чего сложить их. Чтобы в процессе сложения избежать грубых ошибок, полезно знать правило интегральной проверки правильности построения ЛФХ: начальное и конечное значения результирующей ЛФХ равны, соответственно, 90° и 90° , где и -коэффициенты наклона, соответственно, начального и конечного участков результирующей ЛАХ.

Перейдем к рассмотрению правил приближенною построения ЛЧХ параллельных соединений (точное их построение может быть сделано на компьютере, но необходимость в этом возникает редко). Обоснование этих правил — оно весьма простое — можно найти в [5].

Чтобы построить асимптотическую ЛАХ согласно-параллельного соединения двух звеньев, необходимо построить ЛАХ для каждого звена, после чего провести результирующую ЛАХ как объединение всех верхних участков исходных ЛАХ (на каждой частоте верхним мы называем участок с большей ординатой).

Для построения асимптотической ЛАХ встречно-параллельного соединения (с отрицательной обратной связью) звеньев с передаточными функциями и необходимо изобразить ЛАХ прямой связи и «обратную» ЛАХ — обратной связи, после чего провести результирующую ЛАХ как объединение всех нижних участков указанных ЛАХ.

По построенной ЛАХ всегда можно качественно построить соответствующую ЛФХ методом, изложенным в 4.2 Интересно, что фазовые характеристики исходных звеньев (точнее, и для согласно-параллельного соединения и и — — для встречно-параллельного) служат для построенной ЛФХ асимптотами.

Приведенные правила построения ЛАХ параллельных соединений звеньев нельзя применять к соединениям, способным приводить к образованию эквивалентных неминимально-фазовых звеньев. В особенности это касается соединения с положительной обратной связью и согласно-параллельного соединения с вычитанием передач. Не рекомендуется пользоваться данным методом (или, по крайней мере, следует соблюдать осторожность) в тех случаях, когда известно, что точная ЛАХ хотя бы одного из двух звеньев, образующих параллельное соединение, имеет резонансный всплеск.

Кстати готовые задачи на продажу по ТАУ тут.

Определение значений ЛФХ но ЛАХ минимально-фазовой системы

Минимально-фазовой (МФ) называется система, передаточная функция которой не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости. В противном случае система называется неминимально-фазовой (НМФ). Передаточная функция МФ-системы представима в виде, определяемом выражениями (4 2}-(4.5), поскольку корни полиномов от переменной , входящих в выражения для

имеют неотрицательные вещественные части. Если ПФ имеет вид дробно-рациональной функции, т. е. отношения двух полиномов, го вопрос о том, является ли система минимально-фазовой, может быть решен путем анализа устойчивости обоих полиномов (эти вопросы здесь не рассматриваются). Например, полином

устойчив (что можно определить хотя бы по критерию Гурвица), имеет трехкратный вещественный корень и разлагается на множители в виде (сравним с (4.4)), а полином — неустойчив, его разложение на сомножители 1-й и 2-й степеней имеет вид

откуда видно, что имеются два комплексных корня в правой полуплоскости.

Важнейшим свойством МФ-системы является однозначность связи между ее АЧХ (или ЛAX) и ФЧХ (ЛФХ). Известно, что две системы — минимально-фазовая и неминимально-фазовая — могут иметь одинаковые ЛАХ, но различные ЛФХ, причем МФ-система на любой частоте имеет наименьшее по модулю значение ЛФХ Для МФ-системы по ЛАХ всегда можно (по крайней мере, в принципе) восстановить ЛФХ, а также ПФ.

Если задана асимптотическая ЛАХ МФ-системы, то задача построения по ней ЛФХ решается согласно следующему алгоритму:

1) необходимо представить данную ЛАХ как сумму ЛАХ некоторого числа типовых звеньев САУ;

2)для каждого типового звена построить соответствующую ЛФХ (мы имеем в виду эскизное построение, хотя, конечно, возможно и точное);

3) сложить эти типовые ЛФХ.

Если же требуется по ЛАХ определить передаточную функцию, то, начиная со 2-го шага, алгоритм меняется:

2) для каждого типового звена следует записать в общем (буквенном) виде его ПФ;

3)по ЛАХ каждого типового звена или, если потребуется, по заданной исходной ЛАХ определить численные значения параметров передаточной функции этого типового звена;

4) перемножить найденные типовые передаточные функции.

При выполнении третьего этапа этого алгоритма часто оказывается полезной формула, выражающая зависимость разности ординат [дБ] двух точек, взятых на прямой, имеющей коэффициент наклона 20 дБ/дек , от отношения абсцисс этих точек

В этой формуле можно не учитывать знак , тогда величину следует всегда считать положительной.

Эскизное построение ЛФХ по ЛАХ МФ-системы требуется довольно редко — в основном, при исследовании устойчивости по критерию Найквиста в процессе синтеза системы, выполняемого целиком на основе ЛАХ Гораздо чаще бывает необходимо уметь определять значение ЛФХ в отдельной точке ЛАХ Кроме анализа устойчивости по критерию Найквиста (в основном, в частном случае устойчивой в разомкнутом состоянии системы с монотонной ЛАХ, когда требуется оценить значение фазы на частоте среза), такая задача возникает при анализе качества системы в процессе графического синтеза корректирующего устройства. Говоря конкретно, многие методики синтеза желаемой ЛАХ предусматривают контроль значений ЛФХ в характерных точках ЛАХ; кроме того, при синтезе параллельной коррекции следует контролировать запас устойчивости (по фазе) внутреннего контура системы. Иногда требуется оценка значений ЛФХ в выбранных точках ЛАХ, экспериментально снятой на реальном объекте управления

Существует удобная эмпирическая формула, позволяющая приблизительно оценить значение фазы на определенной частоте по асимптотической ЛАХ минимально-фазовой системы [5]

где — изменение (перепад) ЛАХ на интервале, равном двум декадам, с частотой посередине, дБ.

Отметим особенности этого метода

Формула (4.7) при всей своей простоте дает абсолютно точный результат, если ЛАХ имеет вид прямой с постоянным наклоном Например, для интегрирующего звена для любой частоты имеем = — 40 дБ, откуда = — 90° Для апериодического звена на частоте сопряжения получаем = 2,25 (- 20) = — 45°, т. е. точный результат, а максимальная погрешность (5,7°) наблюдается на расстоянии 1 декады от частоты . Для форсирующего звена справедливы те же выводы. Поэтому, если в произвольной асимптотической ЛАХ разность коэффициентов наклона любых двух соседних участков не превышает 20 дБ/дек, то максимальная погрешность в определении фазы по формуле (4.7), скорее всего, не превысит 6-12°.

2 Если наклоны каких-либо соседних участков различаются на 40 дБ/дек или более, то важно знать, обусловлено это наличием колебательного (или «обратного» колебательному) звена или нет. При положительном ответе к оценкам, получаемым по формуле (4.7), следует относиться с большой осторожностью, поскольку погрешность метода в этом случае может оказаться значительной.

• Рискнем утверждать, что в большинстве практических ситуаций погрешность оценивания фазы по формуле (4.7) лежит в пределах 5—15° В связи с этим не рекомендуется применять данный метод для анализа устойчивости систем по критерию Найквиста в тех случаях, когда оцененное значение ЛФХ (разомкнутой системы) на частоте среза отличается от значения -180° менее чем на 15°, поскольку в зависимости от того, насколько велика фактическая погрешность определения фазы, результат анализа может оказаться принципиально разным.

В заключение остановимся на особенностях построения частотных характеристик неминимально-фазовых систем. Пусть задана передаточная функция НМФ-системы. Чтобы эскизно построить по ней АФХ, необходимо придерживаться изложенного в 4.1 алгоритма, одинакового для МФ- и НМФ-систсм

Если по передаточной функции НМФ-системы требуется построить логарифмические частотные характеристики, то рекомендуется действовать согласно следующему алгоритму:

Дальнейшие шаги алгоритма относятся к эскизному построению ЛФХ.

Пример №4.1.

Построить ЛАХ по передаточной функции

Решение:

Приведем передаточную функцию (4.8) к виду (4.2). Для выполнения условия разделим числитель и знаменатель на 100, в результате чего полином второй степени, стоящий в знаменателе, принимает вид , т. е. его свободный член становится равным единице. Нетрудно убедиться, что он разлагается на сомножители первой степени . Тем самым передаточная функция преобразуется к требуемому виду:

Сравнивая ее с выражениями (4.2)-(4.5), заключаем, что в данном случае

Определим частоты сопряжения ЛАХ. Их значения являются обратными по отношению к постоянным времени в выражениях для и :

(частоты пронумерованы в порядке возрастания их значений). Нанесем соответствующие точки на ось абсцисс (для определения их положения вычисляем: ) и проведем через них вертикальные пунктирные линии (рис. 4.2).

Построение ЛАХ, согласно изложенной в 4.1 методике, начинаем с участка, представляющего собой ЛАХ пропорционального звена с передачей . Это горизонтальная линия, имеющая ординату 20 10= 20 дБ. Ее проводим только до пунктирной линии, соответствующей первой сопрягающей частоте. Далее в ЛАХ должен произойти «излом». Поскольку частота соответствует сомножителю первой степени, стоящему в числителе, то «приращение наклона» второго участка ЛАХ по отношению к наклону первого участка составляет + 20 дБ/дек, поэтому второй участок проводим с коэффициентом наклона + 1 ( + 20 дБ^дек) — до следующей сопрягающей частоты

. Эта частота соответствует сомножителю первой степени, стоящему в знаменателе, поэтому наклон следующего, третьего, участка отличается от наклона предыдущего на -20 дБ/дек, т. е. его коэффициент наклона равен нулю. Совершенно аналогично на частотах и изменяем наклон участков ЛАХ на -20 дБ/дек, т. е. четвертый и пятый участки проводим с коэффициентами наклона, соответственно, -1 и -2.

Пример №4.2.

В одной системе координатных осей построить логарифмические амплитудные частотные характеристики, соответствующие передаточным функциям

Решение:

Заданные передаточные функции являются частными случаями передаточной функции обобщенного интегрирующего звена, представленной в форме (см (17)). Поэтому все три ЛАХ, соответствующие различным значениям , представляют собой прямые, проходящие через одну и ту же характерную точку с координатами

Коэффициенты наклона этих ЛАХ составляют, соответственно, -20,-40 и -60дБ/дек (сокращенно -1,-2 и-3).

Пример №4.3.

Построить логарифмические частотные характеристики по передаточной функции

для двух значений постоянной времени : 0,5 с и 0,005 с.

Решение:

Пусть = 0,5 с. Заданная ПФ имеет стандартный вид (4 2), причем

Единственная сопрягающая частота находится как . Соответствующая точка на оси абсцисс расположена на 0,3 декады правее частоты 1. Начальный участок ЛАХ представляет собой ЛАХ интегрирующего звена с ПФ . Это прямая, имеющая коэффициент наклона -1 (-20 дБ/дек) и проходящая через точку на оси частот, абсцисса которой есть величина, обратная постоянной времени интегрирующего звена (0,1 с), т. с. равная 10 (рис. 4.3). Однако при построении результирующей ЛАХ необходимо помнить, что начальный участок следует проводить слева направо и только до наименьшей сопрягающей частоты. Поэтому на рис. 4.3 ЛAX интегрирующего звена проведена сплошной линией только до частоты 2 , а далее эта линия проведена до характерной точки уже пунктиром Частота сопряжения 2 соответствует сомножителю первой степени, стоящему в знаменателе, поэтому наклон второго, заключительного участка ЛАХ отличается от наклона первого участка на — 20 дБ/дек и, следовательно, составляет -2 (-40 дБ/дек)

Чтобы построить ЛФХ, представим исходную ПФ как произведение двух передаточных функций: интегрирующего и апериодического звеньев. Первой ПФ соответствует ЛФХ, график которой имеет вид горизонтальной прямой, имеющей ординату — 90°, второй — функция (где = 0,5 с), принимающая при значение -45° и стремящаяся при , соответственно, к 0 и — 90° Предоставляем учащимся самостоятельно изобразить эти составляющие и результирующую ЛФХ как их сумму.

Построение ЛЧХ при = 0.05 с — задача для самостоятельного решения

Пример №4.4.

Определить частоту среза асимптотической ЛАХ, изображенной на рис 4 3, а также значение ЛФХ на этой частоте.

Решение:

Задачу можно решить несколькими способами. По-видимому, наиболее удобен следующий На рис 43 имеются два прямоугольных треугольника с общим катетом длиной (он проведен штриховой линией) Один треугольник имеет коэффициент наклона гипотенузы -2, его второй катет ограничен частотами 2 и . В другом треугольнике коэффициент наклона гипотенузы (она проведена штриховой линией) составляет — 1, а второй катет ограничен частотами 2 и 10. Воспользуемся формулой (4.6) для разности ординат (перепада) ЛАХ, имеющей вид прямой с коэффициентом наклона , на некотором интервале частот. Считая величины и положительными (см. комментарий к формуле (4.6)), запишем дня указанных треугольников:

где

Отсюда

что дает

Другой возможный способ решения: поскольку

а перепад ЛАХ на интервале частот составляет

далее из уравнения находим .

Определить значение ЛФХ на частоте также можно различными способами Простота ПФ позволяет в данном случае сделать это даже точно: как показано в задаче 4.3, ЛФХ имеет две составляющих и описывается выражением

откуда

Однако наиболее общий, универсальный способ основан на применении формулы (4.7). Поскольку ЛАХ состоит из двух участков, то перепад ординат на интервале частот определим как сумму двух составляющих:

перепада на интервале и перепада на интервале . Ширину этих интервалов, измеряемую в декадах, обозначим как . Определим сначала ширину интервала частот . Она составляет

Тогда

(как видим, сумма составляет как раз 2 дек)

Учитывая, что коэффициенты наклона 1-го и 2-го участков ЛАХ составляют, соответственно, -20 и —40 дБ/дек, находим:

Следовательно

откуда

что близко к точному значению.

Пример №4.5.

Используя методику приближенного построения ЛАХ встречно-параллельного соединения звеньев, построить результирующую ЛАХ соединения с отрицательной обратной связью, в котором передаточные функции прямой и обратной связей равны, соответственно,

и

По результирующей ЛАХ записать приближенное выражение передаточной функции указанного соединения.

Решение:

На рис. 4 4 показаны логарифмические амплитудные частотные характеристики и прямой и обратной связей, построенные по ПФ и . Применяя методику приближенного построения ЛАХ встречно-параллельного соединения, сформулированную в 4.1, изобразим сначала «обратную» ЛАХ — обратной связи; она показана штриховой линией и представляет собой горизонтальную прямую с ординатой -20дБ. После этого проводим результирующую ЛАХ как объединение нижних участков и .

Построенной ЛАХ соответствует передаточная функция вида

уравнения

находим Постоянная времени может быть определена как величина, обратная частоте сопряжения . Последнюю найдем из формулы для перепада ординат прямой с коэффициентом наклона -20 дБ/дек на интервале частот

где (как уже говорилось, удобно считать и положительными величинами). Поскольку

откуда = 0,01 с. Таким образом, искомая ПФ определяется приближенным выражением

Интересно сравнить его с точным выражением

Пример №4.6

Определить передаточную функцию минимально-фазовой системы по ее ЛАХ, изображенной на рис 4.5

Решение:

Представим заданную ЛАХ как сумму двух составляющих, соответствующих типовым звеньям. Они изображены на рис. 4.5 штриховыми линиями и обозначены — ЛАХ дифференцирующего звена, — ЛАХ апериодического звена (всегда полезно убедиться, графически сложив составляющие, что их сумма действительно дает исходную ЛАХ). Это значит, что искомая передаточная функция представляет собой произведение двух передаточных функций:

Теперь необходимо найти значения параметров этих функций Значение к определяется по ординате характерной точки ЛАХ на частоте , отсюда . Значение постоянной времени найдем как величину, обратную сопрягающсй частоте . Чтобы найти последнюю, запишем, согласно формуле (4 6), выражение для перепада ординат наклонного участка заданной ЛАХ на интервале частот

Удобно переписать это уравнение следующим образом:

откуда

Следовательно,

поэтому искомая передаточная функция определяется выражением

Пример №4.7.

Построить АФХ и ЛЧХ по передаточной функции

Решение:

Наличие полюса в правой полуплоскости говорит о том, что это передаточная функция ПМФ-системы. Для построения АФХ это не имеет значения Раскрыв в знаменателе скобки, приведя подобные члены и выполнив подстановку , получаем следующее выражение для частотной передаточной функции:

Умножив числитель и знаменатель на функцию, комплексно сопряженную функции, стоящей в знаменателе, представим ЧПФ в алгебраической форме

где

Чтобы построить эскиз АФХ, необходимо вычислить и для нескольких значений частоты Прежде всего, заметим, что , т е. АФХ целиком расположена в третьем квадранте При получаем ; при имеем График АФХ показан на рис. 4.6, а. Поскольку при функция имеет более высокий порядок малости, чем функция , то график АФХ стремится к началу координат так, что ось вещественных служит для него касательной.

Поскольку знаменатель передаточной функции разлагается на сомножители порядка не выше второго, то, в соответствии с методикой, изложенной в 4.2, построение ЛАХ выполняем, игнорируя минус в знаменателе График ЛАХ показан на рис 4 6, б Для построения ЛФХ представим исходную ПФ как произведение передаточных функций

Первая их них — типовая ПФ МФ-звена; соответствующая ЛФХ обозначена на рис 4.6, б как , ее график «привязан» к характерной точке: на частоте сопряжения 5 значение равно -45°. Вторая ПФ описывает неминимально-фазовое звено. В соответствии с табл 4.1 ее ЛФХ при увеличении частоты от 0 до изменяется от -180° до -90°, принимая на сопрягающей частоте 2 значение -135°. Результирующую ЛФХ получаем, графически складывая и .