Как составить подмножество дробей

Не тот ответ, который тебе нужен?

1. Главная

2. ГДЗ

3. 6 класс
4. Математика

5. Виленкин учебник

6. 60

Смотрите также:

• Задание 60 в старой редакции (2011 – 2017 г.)

• Учебник старой редакции (2011 – 2017 г.)

55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65

Вопрос

Подсказка

Ответ

Смотрите также:

• Задание 60 в старой редакции (2011 – 2017 г.)

• Учебник старой редакции (2011 – 2017 г.)

Выбери из множества

A = {

3
14

,

28
5

,

16
16

,

7
29

,

32
11

,

48
48

} подмножества B и C по следующим признакам:

B − правильные дроби

C − неправильные дроби
Какие из неправильных дробей равны 1?
Какие из них больше 1?

ГДЗ учебник по математике 4 класс Петерсон. 5 урок. Правильные и неправильные дроби. Номер №6

Решение

Содержание

Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией над множеством $ mathbb A_{} $ называется выражение вида
$$frac{g(x)}{f(x)} npu {f(x),g(x) }subset mathbb A[x],
f(x)notequiv 0 .
$$
Для экономии места будем опускать слово «рациональный» и, по аналогии с числовыми дробями, записывать рациональную дробь в виде $ g_{}(x)/f(x) $.
Полином $ g_{}(x) $ называется числителем дроби, а $ f_{}(x) $ — знаменателем дроби.

Дроби $ g_1(x)/ f_1(x) $ и $ g_2(x)/f_2(x) $ называются равными если $ f_1(x)g_2(x)-f_2(x)g_1(x) equiv 0 $; будем этот факт записывать:
$$ frac{g_1(x)}{f_1(x)}equiv frac{g_2(x)}{f_2(x)} .$$
В противном случае дроби называются неравными.

П

Пример.

$$frac{x-1}{x^2-1} equiv frac{1}{x+1} ,$$
и, в общем случае,
$$frac{h(x)g(x)}{h(x)f(x)} equiv frac{g(x)}{f(x)} npu h(x)in mathbb A[x],,
h(x)notequiv 0 .
$$

♦

Фактически, предыдущее определение допускает «сокращение» дроби на общий множитель числителя и знаменателя. С точки зрения математического
анализа, такое сокращение корректно только в области определения дроби, т.е. для значений $ x_{} $, не обращающих знаменатель в нуль. Но мы будем пренебрегать
этим ограничением.

Дробь называется несократимой если ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми полиномами.

Операции сложения и умножения дробей вводятся аксиоматически правилами
$$frac{g_1(x)}{f_1(x)}+frac{g_2(x)}{f_2(x)}=
frac{g_1(x)f_2(x)+g_2(x)f_1(x)}{f_1(x)f_2(x)} ;
frac{g_1(x)}{f_1(x)} cdot frac{g_2(x)}{f_2(x)}= frac{g_1(x)g_2(x)}{f_1(x)f_2(x)}
.
$$

Т

Теорема 1. Операции сложения и умножения дробей подчиняются аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Еще одна аксиома связывает между собой два множества — множество полиномов над $ mathbb A_{} $ и множество дробей над $ mathbb A_{} $.
Условимся отождествлять дробь вида $ g(x)/1 $ с полиномом $ g_{}(x) $.
Тогда множество рациональных дробей будет включать в качестве подмножества
множество $ mathbb A[x] $.

=>

Обратной для дроби $ g_{}(x)/ f(x) $ относительно операции умножения будет дробь $ f_{}(x)/ g(x) $; предполагается, что $ f(x) notequiv 0, g(x) notequiv 0 $.

Дробь называется правильной если степень числителя меньше степени знаменателя.

Т

Теорема 2. Любую дробь можно представить в виде суммы полинома и правильной несократимой дроби.

Доказательство. Пусть $ operatorname{HOD}(f,g)=d(x) $ и $ f(x)equiv f_1(x)d(x),, g(x)equiv g_1(x)d(x) $.
Тогда
$$frac{g(x)}{f(x)}equiv frac{g_1(x)}{f_1(x)} npu operatorname{HOD}(f_1,g_1)=1 .
$$
Далее, если $ deg g_1 < deg f_1 $, то дробь уже правильная. В противном случае
разделим $ g_1 $ на $ f_1 $: $ g_1(x)equiv q(x)f_1(x)+r(x) $ при $ deg r< deg f_1 $. Тогда
$$
frac{g(x)}{f(x)}equiv q(x)+frac{r(x)}{f_1(x)} ,
$$
и мы получили представление указанное в теореме.

♦

Т

Теорема 3. Сумма и произведение правильных дробей являются
правильными дробями.

Т

Теорема 4. Если дробь $ g_{}(x)/f(x) $ над $ mathbb A_{} $
является правильной и ее знаменатель раскладывается в произведение взаимно простых множителей:

$$f(x)equiv f_1(x)f_2(x)quad npu quad {f_1(x),f_2(x) }subset mathbb A[x], operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1 , deg f_1 < deg f, deg f_2 < deg f , $$
то
$$
frac{g(x)}{f(x)}equiv frac{g_1(x)}{f_1(x)}+frac{g_2(x)}{f_2(x)} ,
$$
где $ g_1(x)/ f_1(x) $ и $ g_2(x)/ f_2(x) $ — правильные дроби. Такое представление единственно.

Доказательство. На основании теоремы из

☞

ПУНКТА условие $ operatorname{HOD}(f_1(x),f_2(x))=1 $ эквивалентно
существованию в $ mathbb A_{} $ полиномов $ u_1(x) $ и $ u_2(x) $,
удовлетворяющих тождеству Безу $ u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)equiv 1 $. Тогда
$$
frac{g(x)}{f(x)}equivfrac{g(x)left(u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x) right)}{f_1(x)f_2(x)}
equiv frac{g(x)u_1(x)}{f_2(x)}+frac{g(x)u_2(x)}{f_1(x)} .
$$
Возьмем в качестве $ g_1(x) $ остаток от деления $ g(x)u_2(x) $ на $ f_1(x) $:
$$
g(x)u_2(x) equiv q(x)f_1(x)+ g_1(x) , deg g_1 < deg f_1 .
$$
Тогда
$$
frac{g(x)}{f(x)}equiv frac{g(x)u_1(x)}{f_2(x)}+q(x)+
frac{g_1(x)}{f_1(x)} equiv
frac{g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x)}{f_2(x)} + frac{g_1(x)}{f_1(x)} .
$$
Здесь $ {g(x)}/{f(x)} $ и $ {g_1(x)}/{f_1(x)} $ являются правильными
дробями. Но тогда, на основании теоремы 3, и их разность, т.е. дробь
$ {(g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x))}/{f_2(x)} $ должна быть правильной.
Обозначив $ g_2(x)= g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x) $, получим требуемое в теореме
представление.

Для доказательства единственности этого представления
предположим, что имеется еще одно представление
$$
frac{g(x)}{f(x)}equiv frac{widetilde{g}_1(x)}{f_1(x)}
+frac{widetilde{g}_2(x)}{f_2(x)}
$$
при обеих правильных дробях в правой части; пусть, для определенности,
$ g_1(x)notequiv widetilde{g}_1(x) $. Вычитая из одного представления
другое, приходим к тождеству
$$
left(g_1(x)- widetilde{g}_1(x) right) f_2(x) equiv
left(widetilde{g}_2(x) – g_2(x) right) f_1(x) .
$$
Поскольку $ operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1 $, то, по теореме 2 из

☞

ПУНКТА, полином
$ g_1(x)- widetilde{g}_1(x) $ должен делиться на $ f_1(x) $. Последнее,
однако, невозможно, поскольку
$ deg left(g_1-widetilde{g}_1 right) < deg f_1 $.

♦

П

Пример. Разложить дробь

$$
frac{x^2+1}{x^5+x+1}
$$
в сумму правильных дробей.

Решение. Знаменатель может быть разложен на множители, например,
так:
$ x^5+x+1equiv (x^2+x+1)(x^3-x^2+1) $. Обозначив $ f_1(x)= x^2+x+1 $ ,
$ f_2(x) = x^3-x^2+1 $, ищем $ operatorname{HOD}(f_1,f_2) $ по алгоритму Евклида:
$$
begin{array}{lcl}
f_2(x) &equiv& (x-2)f_1(x) + (x+3) , \
f_1(x) &equiv& (x-2)(x+3) + 7 ;
end{array}
$$
очевидно $ operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1 $. Полиномы, удовлетворяющие тождеству Безу,
можно получить с помощью континуант:
$$u_1(x)=1/7 (x^2 -4,x+5),,
u_2(x)=1/7 (-x+2) . $$
Далее, следуя схеме доказательства предыдущей теоремы,
делим $ g(x)u_2(x) $ на $ f_1(x) $:
$$g_1(x)=-1/7(3,x+1) ,
q(x)=1/7(-x+3) Rightarrow
$$
$$
Rightarrow
g_2(x)= g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x)=1/7(3,x^2-5,x+8)
.
$$

Ответ.
$$frac{x^2+1}{x^5+x+1} equiv frac{-1/7(3,x+1)}{x^2+x+1}+
frac{1/7(3,x^2-5,x+8)}{x^3-x^2+1}
.
$$

=>

Если знаменатель правильной дроби $ g(x)/f(x) $ представляет собой
произведение

$$ f(x)equiv f_1(x)times dots times f_K(x) $$
попарно взаимно простых
полиномов из $ mathbb A_{}[x] $, то дробь может быть разложена на сумму правильных дробей
над $ mathbb A_{} $:
$$
frac{g(x)}{f(x)}equiv frac{g_1(x)}{f_1(x)} + dots + frac{g_K(x)}{f_K(x)}
.
$$
Такое разложение единственно.

=>

Пусть каноническое разложение полинома $ f_{}(x) $ над $ mathbb A_{} $
задается формулой

$$ f(x)equiv Phi_1^{{mathfrak m}_1}(x) Phi_2^{{mathfrak m}_2} (x)
times dots times Phi_K^{{mathfrak m}_K}(x) . $$
Тогда правильная дробь $ g_{}(x)/f(x) $ может быть разложена на сумму правильных дробей:
$$
frac{g(x)}{f(x)}equiv
frac{g_{1}(x)}{Phi_1^{{mathfrak m}_1}(x)}+dots+
frac{g_{K}(x)}{Phi_K^{{mathfrak m}_K}(x)} ;
$$
при этом полиномы $ g_{1}(x),dots,g_{K}(x) $ определяются однозначно.

Правильная дробь вида $ G(x)/Phi^{mathfrak m}(x) $, где $ Phi(x) $ является неприводимым полиномом над $ mathbb A_{} $ , называется
примарной дробью над $ mathbb A_{} $. Примарная дробь называется простейшей дробью над $ mathbb A_{} $, если $ deg G < deg Phi $.

Задача. Разложить данную правильную дробь на сумму простейших.

Т

Теорема 5. Любая примарная дробь над $ mathbb A_{} $ может быть представлена
в виде суммы простейших над $ mathbb A_{} $ и такое представление единственно.

Доказательство. Пусть $ G(x)/Phi^{{mathfrak m}}(x) $ — примарная. Если
$ deg G < deg Phi $, то теорема доказана. Пусть $ deg G ge deg Phi $,
тогда разделим $ G(x) $ на $ Phi(x) $: $ G(x)equiv Q(x)Phi(x)+G_1(x),,
deg G_1 < deg Phi $. Тогда
$$
frac{G(x)}{Phi^{{mathfrak m}}(x)}equiv frac{Q(x)}{Phi^{{mathfrak m}-1}(x)}
+frac{G_1(x)}{Phi^{{mathfrak m}}(x)} ,
$$
и вторая дробь справа, очевидно, простейшая. Если $ deg Q < deg Phi $, то теорема
доказана; в противном случае поделим $ Q(x) $ на $ Phi(x) $. Продолжаем процесс,
на каждом этапе степень числителя уменьшается по сравнению с предыдущим этапом.
За конечное число шагов мы добьемся того, чтобы эта степень стала меньшей
$ deg Phi $. Окончательное разложение на простейшие будет иметь вид:
$$
frac{G(x)}{Phi^{{mathfrak m}}(x)}equiv
frac{G_1(x)}{Phi^{{mathfrak m}}(x)}+frac{G_2(x)}{Phi^{{mathfrak m}-1}(x)} + dots +
frac{G_{mathfrak m}(x)}{Phi(x)} ;
$$
здесь, возможно, некоторые числители могут оказаться тождественно равными
нулю, а для остальных же будет выполняться условие $ deg G_j < deg Phi $.

♦

Т

Теорема 6. Любая правильная дробь над $ mathbb A_{} $ может быть
представлена в виде суммы простейших над $ mathbb A_{} $ и такое представление единственно.

Доказательство следует из следствия к теореме 4 и теоремы 5.

♦

П

Пример. Разложить дробь

$$
frac{x^5+2,x^4-x+1}{x^9+x^7+3,x^6-x^5+2,x^4+2,x^3-x^2+x+1}
$$
на простейшие над $ mathbb Q_{} $.

Решение. Сначала выписываем каноническое разложение
знаменателя¹⁾:
$$
x^9+x^7+3,x^6-x^5+2,x^4+2,x^3-x^2+x+1equiv (x^3-x+1)(x^3+x+1)^2 .
$$
Теперь следуем рассуждениям доказательства теоремы 5.
Обозначив $ f_1 = x^3-x+1,, f_2 = (x^3+x+1)^2 $, находим полиномы $ u_{1}(x) $
и $ u_{2}(x) $, удовлетворяющие тождеству Безу
$ u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)equiv 1 $. Алгоритм Евклида даст нам выражения
для частных
$$
begin{array}{lcl}
f_2(x) &equiv& (x^3+3,x+1)f_1(x) + 4,x^2 , \
f_1(x) &equiv& 1/4,x(4,x^2) + (1-x) , \
4x^2 &equiv & (-4,x-4)(1-x)+ 4 ,
end{array}
$$
которые мы используем для вычисления континуант
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|}
hline
j & 0 & 1 & 2 & 3 \
hline
q_j & – & x^3+3,x+1 & 1/4,x & -4,x-4 \
hline
K_j(q_1,q_2,dots,q_j) & 1 & x^3+3,x+1 &
1/4,x^4+3/4,x^2+
& -x^5-x^4-2,x^3- \
&&& +1/4,x+1 & -4,x^2-2,x-3 \
hline
K_{j-1}(q_2,dots,q_j) & – & 1 & 1/4,x & -x^2-x +1
\
hline
end{array}
$$
Учитывая знаки, получаем полиномы, удовлетворяющие тождеству
$$
f_1(x) left(x^5+x^4+2,x^3+4,x^2 +2,x+3right) +f_2(x) left(-x^2-x+1 right) equiv 4 ,
$$
откуда и получаются искомые полиномы:
$$u_1(x)=
1/4
left(x^5+x^4+2,x^3+4,x^2 +2,x+3right),
u_2(x)=
1/4 left(-x^2-x+1right) .
$$
Исходная дробь, следовательно, может быть представлена в виде
$$
(x^5+2,x^4-x+1)left(frac{u_2(x)}{x^3-x+1} +frac{u_1(x)}{(x^3+x+1)^2} right)
equiv
$$
$$
equiv
frac{1/2x^2-1/4}{x^3-x+1}
+frac{-1/2x^5-5/4x^3+1/2x^2+3/4x+5/4}{(x^3+x+1)^2}
,
$$
из которых первая является простейшей над $ mathbb Q_{} $, а вторая — не является.
Делим ее числитель на $ x^3+x+1 $.

Ответ.
$$
frac{frac{1}{2}x^2
-frac{1}{4}}{x^3-x+1}
+frac{-frac{1}{2}x^2-frac{3}{4}}{x^3+x+1}
+frac{x^2+frac{3}{2}x+2}{(x^3+x+1)^2}
.
$$

Еще один способ нахождения числителей простейших дробей при разложении на них правильной дроби состоит в подборе их коэффициентов; этот метод
мы проиллюстрируем в следующих пунктах.

Согласно основной теоремы высшей алгебры, любой полином $ f_{}(x) $ с комплексными коэффициентами
может быть разложен на линейные множители:
$$
f(x)equiv a_0(x-lambda_1)^{{mathfrak m}_{1}}times
dots times
(x-lambda_{mathfrak r})^{{mathfrak m}_{{mathfrak r}}} , quad npu quad
{mathfrak m}_{1}+{mathfrak m}_{2}+dots+{mathfrak m}_{mathfrak r}=n= deg f
$$
и всех различных числах $ { lambda_1,dots,lambda_{mathfrak r } } subset mathbb C $. Следовательно,
простейшими над $ mathbb C_{} $ могут быть только дроби вида
$$
frac{A}{(x-lambda)^k} quad npu kin mathbb N .
$$
Из теоремы $ 6 $ тогда следует, что разложение дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие над $ mathbb C_{} $ имеет вид
$$
begin{array}{lcll}
displaystyle
frac{g(x)}{f(x)} &=& displaystyle frac{A_{1,1}}{(x-lambda_1)}+frac{A_{1,2}}{(x-lambda_1)^2}+
dots+ frac{A_{1,{mathfrak m}_1}}{(x-lambda_1)^{{mathfrak m}_1}}+ & \
&+& displaystyle frac{A_{2,1}}{(x-lambda_2)}+frac{A_{2,2}}{(x-lambda_2)^2}+
dots+ frac{A_{2,{mathfrak m}_2}}{(x-lambda_2)^{{mathfrak m}_2}}+ & \
&+&dots + & \
&+& displaystyle frac{A_{{mathfrak r},1}}{(x-lambda_{mathfrak r})}+frac{A_{{mathfrak r},2}}{(x-lambda_{mathfrak r})^2}+
dots+ frac{A_{{mathfrak r},{mathfrak m}_{mathfrak r}}}{(x-lambda_{mathfrak r})^{{mathfrak m}_{mathfrak r}}} &= \
&& & displaystyle = sum_{j=1}^{mathfrak r} sum_{ell=1}^{{mathfrak m}_j} frac{A_{j,ell}}{ (x-lambda_j)^{ell}}
.
end{array}
$$

П

Пример. Разложить дробь

$$
frac{-(2+3, mathbf i )x+(1-10, mathbf i)}{x^3+3 mathbf i, x^2-3(1+2 mathbf i )x+10-5 mathbf i}
$$
на простейшие над $ mathbb C_{} $.

Решение. Разложение знаменателя на линейные множители:
$$
x^3+3 mathbf i , x^2-3(1+2 mathbf i )x+10-5 mathbf i equiv (x+1+2 mathbf i )^2(x -2 – mathbf i)
.
$$
Следовательно, разложение на простейшие:
$$
frac{A_1}{x+1+2 mathbf i }+frac{A_2}{(x+1+2 mathbf i )^2 }+frac{A_3}{x-2- mathbf i }
.
$$
Величины $ A_1,A_2,A_3 $ находим методом неопределенных коэффициентов.
После приведения к общему знаменателю, в числителе получаем полином
$$A_1(x+1+2 mathbf i)(x-2- mathbf i)+A_2(x-2- mathbf i )+A_3(x+1+2 mathbf i )^2 = $$
$$=(A_1+A_3)x^2+left((-1+ mathbf i), A_1+A_2+(2+4 mathbf i)A_3 right)x-5 mathbf i,A_1
-(2+ mathbf i ) ,A_2 +(-3+4 mathbf i )A_3 ,
$$
который должен быть тождественно равен числителю исходной дроби, т.е.
$ -(2+3, mathbf i )x+(1-10, mathbf i) $.
Отсюда получаем систему линейных уравнений
$$
left{ begin{array}{rrrl}
A_1+& &A_3= & 0, \
(-1+ mathbf i), A_1+&A_2+& (2+4 mathbf i)A_3= & -(2+3, mathbf i ), \
-5 mathbf i, A_1 – & (2 + mathbf i) A_2 +& (-3+4 mathbf i)A_3= & 1-10, mathbf i
end{array}
right.
$$
имеющую единственное решение: $ A_1=1,, A_2=1,, A_3=-1 $.

Ответ.
$$
frac{1}{x+1+2 mathbf i }+frac{1}{(x+1+2 mathbf i)^2 }+frac{-1}{x-2- mathbf i } .
$$

В частном случае, когда корень полинома $ f_{}(x) $ оказываются простым, структура соответствующей ему
простейшей дроби вычисляется особенно просто.

Т

Теорема 7. Если $ lambda_1 $ — простой корень полинома $ f_{}(x) $, то
в разложении дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие входит не более одной дроби, содержащей в знаменателе $ (x- lambda_1) $; эта дробь имеет вид

$$ frac{g(lambda_1)}{f^{prime}(lambda_1)(x-lambda_1)} . $$

Доказательство. Пусть $ lambda_1 $ — корень полинома $ f_{}(x) $, тогда $ f(x)equiv (x-lambda_1)f_2(x) $, где $ f_2(x) in mathbb C[x], deg f_2 = deg f -1 $; если при этом корень $ lambda_1 $ — простой, то $ f_2(lambda_1) ne 0 $. На основании теоремы 4 имеет место разложение
$$
frac{g(x)}{f(x)} equiv frac{A_1}{x-lambda_1}+ frac{g_2(x)}{f_2(x)} .
$$
Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда
$$ g(x)equiv A_1f_2(x)+g_2(x)(x-lambda_1) . $$
Если подставить в него $ lambda_1 $, то получим $ g(lambda_1)=A_1f_2(lambda_1) $. Продифференцируем тождество $ f(x)equiv (x-lambda_1)f_2(x) $ по $ x_{} $ и подставим $ x=lambda_1 $, получим: $ f^{prime}(lambda_1)=f_2(lambda_1) $.

♦

=>

Если все корни $ lambda_{1},dots,lambda_n $ полинома
$ f_{}(x) $ являются простыми, то имеет место следующая формула Лагранжа:

$$
frac{g(x)}{f(x)}=sum_{j=1}^n frac{g(lambda_j)}{f^{prime}(lambda_j)(x-lambda_j)} .
$$

=>

Если все корни $ lambda_{1},dots,lambda_n $ полинома
$ f_{}(x) $ являются простыми, то

$$
frac{f^{prime}(x)}{f(x)}=sum_{j=1}^n frac{1}{x-lambda_j} .
$$

П

Пример. Разложить дробь

$$ frac{3,x^3-x+7}{4,x^4-8,x^3+4,x^2-9} $$
на простейшие над $ mathbb C_{} $.

Решение. Разложение знаменателя на линейные множители:
$$ 4,x^4-8,x^3+4,x^2-9 equiv 4, left(x- frac{1+ mathbf i sqrt{5}}{2}right)left(x- frac{1- mathbf i sqrt{5}}{2}right)left(x-frac{1+ sqrt{7}}{2}right)left(x-frac{1- sqrt{7}}{2}right) . $$
Поскольку все корни знаменателя простые, можно использовать формулу Лагранжа. Вычисляем значение дроби $ g(x)/f^{prime}(x) $ на корнях:
$$
frac{g(x)}{f^{prime}(x)}bigg|_{x=(1 pm mathbf i sqrt{5})/2}=frac{sqrt{5}}{48} (sqrt{5} pm mathbf i); quad
frac{g(x)}{f^{prime}(x)}bigg|_{x=(1 pm sqrt{7})/2}=frac{sqrt{7}}{336}(13,sqrt{7} pm 59 ) .
$$
Ответ.
$$
frac{frac{sqrt{5}}{48} (sqrt{5} + mathbf i)}{x- frac{1+ mathbf i sqrt{5}}{2}}
+frac{frac{sqrt{5}}{48} (sqrt{5} – mathbf i)}{x- frac{1- mathbf i sqrt{5}}{2}}
+frac{frac{sqrt{7}}{336}(13,sqrt{7} + 59 )}{x-frac{1+ sqrt{7}}{2}}
+frac{frac{sqrt{7}}{336}(13,sqrt{7} – 59 )}{x-frac{1- sqrt{7}}{2}} .
$$

Рассмотрим еще один частный случай знаменателя: $ f(x)equiv (x-lambda_1)^n $ при $ n>1 $. В этом случае для нахождения коэффициентов разложения правильной дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие
$$
frac{g(x)}{f(x)} equiv frac{A_{1,1}}{x-lambda_1}+frac{A_{1,2}}{(x-lambda_1)^2}+dots+frac{A_{1,n}}{(x-lambda_1)^n}
$$
достаточно разложить полином $ g_{}(x) $ по степеням $ x-lambda_1 $, т.е. воспользоваться формулой Тейлора:
$$
begin{matrix}
g(x) &equiv & A_0+A_1(x-lambda_1)+A_2(x-lambda_1)^2+dots+A_n(x-lambda_1)^n \
&equiv & g(lambda_1) + g^{prime}(lambda_1) (x-lambda_1)+frac{g^{prime prime}(lambda_1)}{2!} (x-lambda_1)^2+dots +frac{g^{(n)}(lambda_1)}{n!} (x-lambda_1)^n .
end{matrix}
$$
Коэффициенты разложения можно вычислить по схеме Хорнера.

П

Пример. Разложить на простейшие дробь

$$
frac{x^4+(2-mathbf i),x^3+3(1-mathbf i),x^2+3(1-mathbf i),x-4,mathbf i}{(x-mathbf i)^5} .
$$

Решение. Раскладываем числитель по степеням $ x-mathbf i $ с использованием схемы Хорнера:
$$
begin{array}{c|rrrrrr}
& 1 & 2-mathbf i & 3(1-mathbf i) & 3(1-mathbf i) & -4,mathbf i \
hline
mathbf i & 1 & 2& 3-mathbf i & 4 & underline{0} \
mathbf i & 1 &2+ mathbf i& 2+ mathbf i& underline{3+2, mathbf i} \
mathbf i & 1 & 2+ 2,mathbf i & underline{3, mathbf i} \
mathbf i & 1 & underline{2+3, mathbf i} \
mathbf i & underline{1} \
end{array}
$$
$$
Rightarrow x^4+(2-mathbf i),x^3+3(1-mathbf i),x^2+3(1-mathbf i),x-4,mathbf i equiv
$$
$$
equiv (x-mathbf i)^4+(2+3,mathbf i)(x-mathbf i)^3+3mathbf i,(x-mathbf i)^2+(3+2,mathbf i)(x-mathbf i)
$$
и разложение дроби на простейшие имеет вид
$$
frac{1}{x-mathbf i}+ frac{2+3,mathbf i}{(x-mathbf i)^2} + frac{3mathbf i}{(x-mathbf i)^3}+ frac{3+2,mathbf i}{(x-mathbf i)^4} .
$$

♦

Как искать простейшие дроби в случае, когда знаменатель $ f_{}(x) $ имеет не менее двух корней, причем один из них — кратный? — Существует общий метод решения
этой задачи, основанный на представлении полинома $ g_{}(x) $ числителя дроби в виде так называемого интерполяционного полинома Эрмита (Лагранжа-Сильвестра). Для практических же расчетов можно предложить определить сначала с помощью теоремы 7 простейшие дроби, соответствующие простым корням полинома, а коэффициенты числителей оставшихся простейших дробей искать по методу неопределенных коэффициентов. В одном из следующих пунктов будет указано универсальное представление этих коэффициентов — с помощью теории определителей.

?

Пусть разложение полинома $ f_{}(x) $ на линейные множители имеет вид:

$$
f(x)equiv a_0(x-lambda_1)^{{mathfrak m}_{1}}times
dots times
(x-lambda_{mathfrak r})^{{mathfrak m}_{{mathfrak r}}} , quad npu quad
{mathfrak m}_{1}+{mathfrak m}_{2}+dots+{mathfrak m}_{mathfrak r}=n= deg f
$$
и всех различных числах $ { lambda_1,dots,lambda_{mathfrak r } } subset mathbb C $. Доказать, что
$$
frac{f^{prime}(x)}{f(x)} equiv frac{{mathfrak m}_{1}}{x-lambda_1}+frac{{mathfrak m}_{2}}{x-lambda_2}
+ dots + frac{{mathfrak m}_{{mathfrak r}}}{x-lambda_{mathfrak r}} .
$$

Материал этого пункта существенно используется в задаче интегрирования рациональных дробей.

Согласно теореме, приведенной в

☞

ПУНКТЕ, любой полином $ f_{}(x) $ с вещественными коэффициентами
степени $ ge 1 $ может быть разложен над множеством $ mathbb R^{} $ на множители двух видов:
$$(x-lambda)^{mathfrak m} u (x^2+p,x+q)^{mathfrak M} quad npu
{lambda,p,q} subset mathbb R,, p^2-4,q<0 u {{mathfrak m},{mathfrak M}}subset mathbb N
. $$
Из этого следует, что простейшими над $ mathbb R_{} $ дробями могут быть только дроби вида
$$
frac{A}{(x-lambda)^{k}} quad u quad frac{Bx+C}{(x^2+p,x+q)^{ell}} quad
npu {k,ell } subset mathbb N .
$$

Практические способы разложения дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие над $ mathbb R_{} $ могут быть получены развитием способов, разработанных для разложения на простейшие над $ mathbb C_{} $. Так, нетрудно проверить, что если в разложение дроби над $ mathbb C_{} $ входит слагаемое $ A/(x-lambda) $, то в это же разложение обязательно входит и $ overline{A}/(x-overline{lambda}) $, где ¯ означает комплексное сопряжение. Если при этом $ lambda_{} $ — мнимый корень полинома $ f_{}(x) $, то эти две простейшие дроби различны и их сумма
$$ frac{A}{x-lambda}+frac{overline{A}}{x-overline{lambda}}=frac{(A+overline{A})x-(Aoverline{lambda}+overline{A}lambda)}{x^2-(lambda+overline{lambda})x+ lambda overline{lambda}} = frac{ 2, mathfrak{Re}(A),x-2, mathfrak{Re}(Aoverline{lambda})}{x^2-2,mathfrak{Re}(lambda)x+ |lambda|^2}$$
будет вещественной дробью — простейшей над $ mathbb R_{} $.

П

Пример. Разложить дробь
$$ frac{3,x^3-x+7}{4,x^4-8,x^3+4,x^2-9} $$
на простейшие над $ mathbb R_{} $.

Решение. В предыдущем пункте было получено следующее разложение этой дроби над $ mathbb C_{} $:
$$
frac{frac{sqrt{5}}{48} (sqrt{5} + mathbf i)}{x- frac{1+ mathbf i sqrt{5}}{2}}
+frac{frac{sqrt{5}}{48} (sqrt{5} – mathbf i)}{x- frac{1- mathbf i sqrt{5}}{2}}
+frac{frac{sqrt{7}}{336}(13,sqrt{7} + 59 )}{x-frac{1+ sqrt{7}}{2}}
+frac{frac{sqrt{7}}{336}(13,sqrt{7} – 59 )}{x-frac{1- sqrt{7}}{2}} .
$$
Если объединить первые две дроби, то получим искомое разложение на простейшие над $ mathbb R_{} $:
$$frac{frac{5}{24}(x-1)}{x^2-x+frac{3}{2}}
+frac{frac{sqrt{7}}{336}(13,sqrt{7} + 59 )}{x-frac{1+ sqrt{7}}{2}}
+frac{frac{sqrt{7}}{336}(13,sqrt{7} – 59 )}{x-frac{1- sqrt{7}}{2}} .
$$

♦

П

Пример. Разложить дробь

$$
frac{x^2+1}{x^5-2,x^3-2,sqrt{2}, x^2+4,sqrt{2}}
$$
на простейшие над $ mathbb R_{} $.

Решение. Выписываем каноническое разложение знаменателя:
$$
x^5-2,x^3-2,sqrt{2}, x^2+4,sqrt{2}equiv
(x-sqrt{2})^2(x+sqrt{2})(x^2+sqrt{2},x+2) .
$$
Разложение на простейшие имеет вид
$$
frac{A_1}{x-sqrt{2}} + frac{A_2}{(x-sqrt{2})^2}+ frac{A_3}{x+sqrt{2}}
+frac{Bx+C}{x^2+sqrt{2},x+2} .
$$
Коэффициенты $ A_1,A_2,A_3,B $ и $ C_{} $ находим методом неопределенных коэффициентов.
После приведения к общему знаменателю, в числителе получаем полином
$$(A_1+A_3+B),x^4+(sqrt{2}A_1+A_2-sqrt{2}A_3 -sqrt{2}B+C),x^3 + $$
$$+(2,sqrt{2},A_2-2,B-sqrt{2}C),x^2
+(-2sqrt{2}, A_1+4,A_2-2 sqrt{2},A_3+2,sqrt{2}, B-2,C),x – $$
$$
-4,A_1+2 sqrt{2}A_2+4,A_3+2sqrt{2}C ,
$$
который должен быть тождественно равен $ x^{2}+1 $. Отсюда получаем систему
линейных уравнений
$$
left{ begin{array}{rrrrrl}
A_1+& &A_3+&B& = & 0, \
A_1+&A_2 – &sqrt{2}A_3 -&sqrt{2}B+ &C= & 0, \
&2,sqrt{2},A_2-&& 2,B-&sqrt{2}C =& 1, \
-2sqrt{2}, A_1+&4,A_2-&2 sqrt{2},A_3+&2,sqrt{2}, B-&2,C=&0, \
-4,A_1+&2 sqrt{2}A_2+&4,A_3+& &2sqrt{2}C=&1 ,
end{array}
right.
$$
имеющую единственное решение:
$$
A_1 = {scriptstyle 1}/{scriptstyle 48},
A_2={scriptstyle sqrt{2}}/{scriptstyle 8},
A_3={scriptstyle 3}/{scriptstyle 16},
B = -{scriptstyle 1}/{scriptstyle 6},
C = -{scriptstyle sqrt{2}}/{scriptstyle 12 }
.
$$

Ответ.
$$
-frac{{scriptstyle 1}/{scriptstyle 48}}{x-sqrt{2}}
+frac{{scriptstyle sqrt{2}}/{scriptstyle 8}}{(x-sqrt{2})^2}
+frac{{scriptstyle 3}/{scriptstyle 16}}{x+sqrt{2}}
-frac{{scriptstyle 1}/{scriptstyle 6},x
+{scriptstyle sqrt{2}}/{scriptstyle 12 }}{x^2+sqrt{2}x+2} .
$$

Задача. Для таблицы значений
$$
begin{array}{c|ccccc}
x & x_1 & x_2 & dots & x_N \ hline
y & y_1 & y_2 &dots & y_N
end{array}
$$
при различных узлах $ {x_j} $ построить рациональную функцию в виде $ F(x)=g(x)/f(x) $ при $ g_{}(x) $ — полиноме степени $ le n $, $ f_{}(x) $ — полиноме степени $ le m $,
так, чтобы $ { F(x_j)=y_j }_{j=1}^N $. При этом $ N,n,m $ связаны соотношением:
$$ N=m+n+1 , . $$

В отличие от полиномиальной интерполяции, не всегда имеет решение.

§

Решение задачи см.

☞

ЗДЕСЬ.

В настоящем пункте существенно используются результаты из раздела ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.

Формулы для производных дробной функции становятся громоздкими с ростом порядков:
$$
left[ frac{g(x)}{f(x)} right]^{prime} = frac{g^{prime}(x)f(x)-g(x)f^{prime}(x)}{left[f(x)right]^2} ;
$$
$$
left[ frac{g(x)}{f(x)} right]^{prime prime} = frac{g^{prime prime}(x)[f(x)]^2-g(x)f(x)f^{prime prime}(x)-2,f(x)f^{prime}(x)g^{prime}(x)+2,g(x)[f^{prime}(x)]^2}{left[f(x)right]^3} .
$$
Однако эту громоздкость удается слегка упорядочить с использованием формализма определителей.

Т

Теорема 8. Имеет место равенство:

$$
left[ frac{g(x)}{f(x)} right]^{[k]} =
$$
$$
=frac{1}{left[f(x)right]^{k+1}}
left|begin{array}{cccccc}
f(x) & 0 & 0 & dots & 0 & g(x) \
f^{prime}(x) & f(x) & 0 & dots & 0 & g^{prime}(x) \
f^{prime prime}(x) & 2 f^{prime}(x) & f(x) & dots & 0 & g^{prime prime}(x) \
dots & & & & & dots \
f^{[k-1]}(x) & C_{k-1}^1 f^{[k-2]}(x) & C_{k-1}^2 f^{[k-3]}(x) & dots & f(x) & g^{[k-1]}(x) \
f^{[k]}(x) & C_{k}^1 f^{[k-1]}(x) & C_{k}^2 f^{[k-2]}(x) & dots & C_k^{k-1} f^{prime}(x) & g^{[k]}(x)
end{array}
right|_{(k+1)times (k+1)} ;
$$
здесь $ C_N^M $ — биномиальный коэффициент.

Доказательство. Если $ R(x)=g(x)/f(x) $, то $ R(x)f(x) equiv g(x) $. Последовательно дифференцируем произведение:
$$
begin{array}{ccccccc}
f(x) R(x) &=g(x) & & & & & \
f^{prime}(x) R(x) & +f(x)R^{prime}(x) &= g^{prime}(x) & & & & \
f^{prime prime}(x) R(x) &+ 2 f^{prime}(x) R^{prime}(x) & +f(x) R^{prime prime}(x) & = g^{prime prime}(x) & & & \
dots & & & & dots & & \
f^{[k]}(x) R(x) &+ C_{k}^1 f^{[k-1]}(x) R^{prime}(x) & + C_{k}^2 f^{[k-2]}(x) R^{prime prime}(x) & + dots + & \

& & +C_k^{k-1} f^{prime}(x) R^{[k-1]}(x) & +f(x)R^{[k]}(x) & = g^{[k]}(x) ; \
end{array}
$$
последняя формула — это формула Лейбница.
Эти равенства составляют систему линейных уравнений относительно величин $ R(x),R^{prime}(x),R^{prime prime}(x),dots, R^{[k]}(x) $. Эту систему можно решить по формулам Крамера; нас, собственно, интересует лишь одна компонента этого решения — последняя.

♦

Результат теоремы не предполагает рациональности дроби: числитель и знаменатель могут быть и неполиномиальны; лишь бы только требуемые производные от них были вычислимы.

Т

Теорема 9. Пусть $ lambda $ является корнем полинома $ f_{}(x) $ кратности $ mathfrak m $. Обозначим $ f_{lambda}(x)=f(x)/(x-lambda)^{mathfrak m} $ — частное от деления $ f_{}(x) $ на $ (x-lambda)^{mathfrak m} $. В разложение дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие, слагаемые, содержащие в знаменателе $ (x-lambda) $, войдут в составе определителя:

$$
-frac{1}{left[f_{lambda}(lambda)right]^{mathfrak m}}
left|begin{array}{cccccc}
f_{lambda}(lambda) & 0 & 0 & dots & 0 & g(lambda) \
f_{lambda}^{prime}(lambda) & f_{lambda}(lambda) & 0 & dots & 0 & g^{prime}(lambda) \
f_{lambda}^{prime prime}(lambda) & 2 f_{lambda}^{prime}(lambda) & f_{lambda}(lambda) & dots & 0 & g^{prime prime}(lambda) \
dots & & & & & dots \
f_{lambda}^{[mathfrak m-1]}(lambda) & C_{mathfrak m-1}^1 f_{lambda}^{[mathfrak m-2]}(lambda) & C_{mathfrak m-1}^2 f_{lambda}^{[mathfrak m-3]}(lambda) & dots & f_{lambda}(lambda) & g^{[mathfrak m-1]}(lambda) \
displaystyle frac{1}{(x-lambda)^{mathfrak m}} & displaystyle frac{1}{(x-lambda)^{mathfrak m-1}} & displaystyle frac{1}{(x-lambda)^{mathfrak m-2}} & dots & displaystyle frac{1}{(x-lambda)} & 0
end{array}
right|_{(mathfrak m+1)times (mathfrak m+1)} .
$$

П

Пример. Разложить на простейшие дробь

$$
frac{3,x^6-11,x^5+19,x^4-22,x^3+15,x^2-6,x+1}{x^3(x-1)^4} .
$$

Решение. Если взять сначала $ lambda_{}=0 $, то для этого корня имеем: $ mathfrak m =3, f_{0}(x)=(x-1)^4 $ и все простейшие дроби, имеющие в знаменателе степени $ x_{} $, содержатся в выражении
$$
-frac{1}{[f_0(0)]^3}
left|begin{array}{cccc}
f_0(0) & 0 & 0 & g(0) \
f^{prime}_0(0) & f_0(0) & 0 & g^{prime}(0) \
f^{prime prime}_0(0) & 2,f^{prime}_0(0) & f_0(0) & g^{prime prime}(0) \
1/x^3 & 1/x^2 & 1/x & 0
end{array}
right|=
–
left|begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 1 \
-4 & 1 & 0 & -6 \
12 & -8 & 1 & 30 \
1/x^3 & 1/x^2 & 1/x & 0
end{array}
right| =frac{1}{x^3}-frac{2}{x^2}+frac{1}{x} .
$$
Аналогично, для случая $ lambda_{}=1 $ имеем: $ mathfrak m =4, f_{1}(x)=x^3 $, и соответствующие простейшие дроби входят в состав выражения
$$
-frac{1}{[f_1(1)]^4}
left|begin{array}{ccccc}
f_1(1) & 0 & 0 & 0 & g(1) \
f^{prime}_1(1) & f_1(1) & 0 & 0 & g^{prime}(1) \
f^{prime prime}_1(1) & 2,f^{prime}_1(1) & f_1(1) & 0 & g^{prime prime}(1) \
f^{prime prime prime}_1(1) & 3,f^{prime prime}_1(1) & 3,f^{prime}_1(1) & f_1(1) & g^{prime prime prime}(1) \
displaystyle{frac{1}{(x-1)^4}} & displaystyle{frac{1}{(x-1)^3}} & displaystyle{frac{1}{(x-1)^2}} & displaystyle{frac{1}{(x-1)}} & 0
end{array}
right|=
$$
$$
=-
left|begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 \
3 & 1 & 0 & 0 & -3 \
6 & 6 & 1 & 0 & -4 \
6 & 18 & 9 & 1 & 24 \
displaystyle{frac{1}{(x-1)^4}} & displaystyle{frac{1}{(x-1)^3}} & displaystyle{frac{1}{(x-1)^2}} & displaystyle{frac{1}{(x-1)}} & 0
end{array}
right| =
$$
$$
=frac{2}{x-1}+frac{1}{(x-1)^2}-frac{1}{(x-1)^4} .
$$
Ответ.
$$
frac{1}{x^3}-frac{2}{x^2}+frac{1}{x}+frac{2}{x-1}+frac{1}{(x-1)^2}-frac{1}{(x-1)^4} .
$$

Пусть $ f(x), g(x), g_1(x) $ — полиномы с рациональными коэффициентами, $ deg f=n $. Обозначим $ lambda_{1},dots,lambda_n $ корни $ f_{}(x) $.

Задача. Для рациональной дроби $ g_1(x)/g(x) $ найти полином $ G_{}(x) $
c рациональными коэффициентами и такой, чтобы
$$G(lambda_1)=g_1(lambda_1)/g(lambda_1), dots , G(lambda_n)=g_1(lambda_n)/g(lambda_n)
.
$$
Понятно, что эта постановка имеет смысл, если $ {g(lambda_j) ne 0}_{j=1}^n $, т.е. полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ взаимно просты.

П

Пример. Уничтожить иррациональность в знаменателе выражения

$$
frac{sqrt[3]{4}+5sqrt[3]{2}+7}{sqrt{2+sqrt[3]{2}}+sqrt[3]{2}+3} .
$$

Хотя эта задача и выглядит иначе, чем сформулированная в начале пункта, но она является именно частным случаем первой. В самом деле, обозначим
$$ lambda=sqrt{2+sqrt[3]{2}} quad Rightarrow quad lambda^2=2+sqrt[3]{2} quad Rightarrow quad (lambda^2-2)^3=2 , $$
т.е. $ lambda_{} $ является корнем полинома $ 6_{} $-й степени с целочисленными коэффициентами. С другой стороны, все иррациональности рассматриваемой дроби выражаются в полиномиальном виде от $ lambda_{} $:
$$
frac{sqrt[3]{4}+5sqrt[3]{2}+7}{sqrt{2+sqrt[3]{2}}+sqrt[3]{2}+3} = frac{(lambda^2-2)^2+5(lambda^2-2)+7}{lambda+lambda^2-2+3}=frac{lambda^4+lambda^2+1}{lambda^2+lambda+1} .
$$

§

Общая схема решения подобных задач

☞

ЗДЕСЬ.

Задача 1. Разложить дробь $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Тейлора по степеням переменной $ x_{} $.

Универсальная формула разложения произвольной функции $ G(x) $:
$$
G(0)+frac{G^{prime}(0)}{1!}x+frac{G^{prime prime}(0)}{2!}x^2+dots+ frac{G^{[j]}(0)}{j!}x^j+ dots ;
$$
лишь бы только можно было вычислить значения функции $ G(x) $ и ее производных в точке $ 0_{} $. Материалы предыдущего пункта позволяют вычислить значения производных дроби $ g_{}(x)/f(x) $; однако нас интересуют менее громоздкие способы — и их можно будет получить, воспользовавшись свойством полиномиальности $ g_{} (x) $ и $ f_{} (x) $.

Задача 2. Разложить дробь $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд по отрицательным степеням переменной $ x_{} $; будем говорить о таком ряде, как о ряде Лорана.

П

Разложить дробь

$$
frac{x^2+x+1}{x^4+3,x^3+2,x-1}
$$
в ряд Тейлора по степеням $ x_{} $.

Решение. Будем делить числитель на знаменатель «в столбик», но, в отличие от аналогичного алгоритма, использованного в пункте

☞

ДЕЛИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ, располагать действия будем по возрастанию степеней $ x_{} $:
$$
begin{array}{rrrrrrrrrr|l}
1&+ x & +x^2 & & & && & & & -1+2,x+3,x^3+x^4 \
1&-2,x& &-3,x^3&-x^4& & & & && overline{ -1-3,x -7,x^2-17,x^3-44,x^4 -112,x^5+dots quad } \
hline
& 3,x&+x^2 &+3,x^3&+x^4& \
& 3,x&-6,x^2 & &-9,x^4 &-3,x^5 \
hline
&&7,x^{2}&+3,x^3&+10,x^4&+3,x^5 & \
&&7,x^{2}&-14,x^3&&-21,x^5 & -7,x^6 & \
hline
&&& 17,x^{3}&+10,x^4&+24,x^5 &+7,x^6 & \
&&& 17,x^{3}&-34,x^4& &-51,x^6 &-17, x^7 \
hline
&&&& 44,x^4 & +24,x^5 & +58,x^6 &+17,x^7 \
&&&& 44,x^4 & -88,x^5 & & -132,x^7 & -44, x^8 \
hline
&&&&& 112,x^5 & + dots
end{array}
$$
Процесс деления можно продолжать сколь угодно долго. Ответом задачи является ряд
$$ -1-3,x -7,x^2-17,x^3-44,x^4 -112,x^5+dots . $$
Если мы обрываем ряд на каком-то шаге, как оценить остаточный член? — Ответ на этот вопрос достаточно очевиден: имеем цепочку тождеств
$$
frac{x^2+x+1}{x^4+3,x^3+2,x-1} equiv -1 + x frac{3+x+3,x^2+x^3}{-1+2,x+3,x^3+x^4} equiv
$$
$$
equiv -1-3,x+x^2 frac{7+3,x+10,x^2+3,x^3}{-1+2,x+3,x^3+x^4}equiv
$$
$$
equiv -1-3,x -7,x^2 +x^3 frac{17+10,x+24,x^2+7,x^3 }{-1+2,x+3,x^3+x^4} equiv dots
$$
Выявим теперь закономерность в формировании последовательности коэффициентов ряда. Выпишем эту последовательность и умножим последовательные $ 5_{} $ членов этой последовательности на коэффициенты полинома знаменателя $ x^4+3,x^3+2,x-1 $, записанные по убыванию степеней $ x_{} $:
$$
begin{array}{crrrrrrr}
&-1 &-3 & -7 &-17 &-44 &-112 & dots \
times & 1 & 3 & 0 & 2 & -1 & \
hline
& -1 & -9 & 0 & – 34 & 44
end{array} qquad
begin{array}{crrrrrrr}
&-1 &-3 & -7 &-17 &-44 &-112 & dots \
times & & 1 & 3 & 0 & 2 & -1 & \
hline
& & -3 & -21 & 0 & -88 & 112
end{array}
$$
Сумма элементов получившихся строк оказывается равной $ 0_{} $. Подмеченная закономерность оказывается универсальной.

♦

Т

Теорема 10. Пусть

$$ f(x)=a_0x^n+dots+a_n, nge 1, a_0ne 0 $$
и²⁾ $ a_nne 0 $. Пусть $ deg g(x) < deg f $. В разложении дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Тейлора по степеням $ x_{} $:
$$
frac{g(x)}{f(x)} = t_0+t_1x+t_2x^2+dots = sum_{j=0}^{infty} t_jx^{j}
$$
коэффициенты разложения будут удовлетворять соотношению
$$ t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+dots+t_{K+n}a_n = 0 quad npu quad forall K in {0,1,2,dots } . $$

Доказательство. Домножим разложение на $ f_{}(x) $ и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $ x_{} $ в тождестве
$$ g(x) equiv f(x) sum_{j=0}^{infty} t_jx^{j} = a_nt_0+(a_nt_1+a_{n-1}t_0)x+ (a_nt_2+a_{n-1}t_1+a_{n-2}t_0)x^2+dots+
$$
$$ +(a_nt_{n-1}+a_{n-1}t_{n-2}+dots+a_{1}t_0)x^{n-1}+ $$
$$+(a_nt_{n}+a_{n-1}t_{n-1}+dots+a_{0}t_0)x^{n}+(a_nt_{n+1}+a_{n-1}t_{n}+dots+a_{0}t_1)x^{n+1}+dots $$
По предположению, $ deg g < n $, поэтому все коэффициенты при $ x^{n},x^{n+1},dots $ должны быть равны нулю. Получаем бесконечную цепочку однотипных равенств, которые эквивалентны записанному в формулировке теоремы соотношению.
Это соотношение позволяет линейно выразить каждый коэффициент ряда, начиная с $ t_n $, через $ n_{} $ предшествующих; при этом закономерность вычисления не меняется с возрастанием номера коэффициента:
$$
t_{K+n}= – frac{1}{a_n} (t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+dots+t_{K+n-1}a_{n-1}) .
$$
Для определения первых $ n_{} $ коэффициентов ряда имеем уравнения
$$
begin{array}{ll}
t_0a_n &=b_{n-1}, \
t_1a_n+t_0a_{n-1} & = b_{n-2}, \
t_2a_n+t_1a_{n-1}+t_0a_{n-2} & = b_{n-3}, \
dots & dots \
t_{n-1}a_n+t_{n-2}a_{n-1}+dots+t_0a_{1} & = b_{0},
end{array}
$$
в правых частях которых стоят коэффициенты полинома $ g(x)=b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+dots+b_{n-1} $. Оказывается, что эти коэффициенты непосредственно влияют только на первые $ n_{} $ членов разложения в ряд Тейлора; как только они определены, оставшиеся будут задаваться соотношением, в котором коэффициенты $ b_0,b_1,dots,b_{n-1} $ не участвуют. Иными словами, у двух правильных дробей $ g_{}(x)/f(x) $ и $ tilde g_{}(x)/f(x) $ с одинаковыми знаменателями формирование коэффициентов разложения в ряд Тейлора происходит единообразно, начиная с коэффициента при степени $ x^{n} $; и различия между этими рядами формируется в коэффициентах при $ x^0,x^1,dots,x^{n-1} $.

♦

Последовательность $ {y_j}_{j=0}^{infty} $, формируемая по правилу: первые $ n_{} $ членов заданы произвольно, а каждый следующий определяется через $ n_{} $ предыдущих с помощью линейного соотношения
$$ y_{K+n} = A_1y_{K+n-1}+dots+A_{n}y_{K} quad npu quad forall K in {0,1,2,dots } $$
и при фиксированных числах $ A_1,dots,A_n $, $ A_nne 0 $, называется линейной рекуррентной последовательностью $ n_{} $-го порядка; само уравнение вида
$$ A_0y_{K+n}+A_1y_{K+n-1}+dots+A_{n}y_{K}=0 quad npu quad A_0ne 0, A_n ne 0 $$
относительно неизвестной последовательности $ {y_j}_{j=0}^{infty} $ называется линейным однородным разностным уравнением $ n_{} $-го порядка.

§

Подробное исследование этих объектов

☞

ЗДЕСЬ.

=>

Коэффициенты ряда Тейлора разложения правильной дроби, знаменатель которой является полиномом степени $ n_{} $ с отличным от нуля свободным членом, формируют линейную рекуррентную последовательность $ n_{} $-го порядка; при этом разностное уравнение, которое формирует эту последовательность, не зависит от коэффициентов числителя разлагаемой дроби.

П

Пример. Вычислить первые $ 7_{} $ членов разложения дроби

$$
frac{x^4-3,x^3+1}{3,x^5+x^3+2,x^2-x+4}
$$
в ряд Тейлора по степеням $ x_{} $.

Решение.
$$
begin{array}{lrcl}
4,t_0 &=1 & Rightarrow & t_0=1/4, \
4,t_1-t_0 & = 0 & Rightarrow & t_1=1/16, \
4,t_2-t_1+2,t_0 & = 0 & Rightarrow & t_2=-7/64, \
4,t_3-t_2+2,t_1+t_0 & =-3 & Rightarrow & c_3=-223/256, \
4,t_4-t_3+2,t_2+t_1 & = 1 & Rightarrow & c_4=73/1024,\
hline
4,t_5-t_4+2,t_3+t_2+3,t_0 & = 0 & Rightarrow & c_5=1201/4096, \
4,t_6-t_5+2,t_4+t_3+3,t_1 & = 0 & Rightarrow & c_6=3417/16384.
end{array}
$$
Ответ.
$$ frac{1}{4}+frac{1}{16}x-frac{7}{64}x^2-frac{223}{256}x^3+frac{73}{1024}x^4+frac{1201}{4096}x^5+frac{3417}{16384}x^6 . $$

Справедливо и обратное утверждение: любая последовательность $ {c_j}_{j=0}^{infty} $, элементы которой, начиная с какого-то номера $ K_0+n $, удовлетворяют разностному уравнению
$$ A_0t_{K+n}+A_1t_{K+n-1}+dots+A_{n}t_{K}=0 $$
при $ n in mathbb N, quad A_0ne 0, A_n ne 0, Kin {K_0,K_0+1,dots } $
представляет собой коэффициенты ряда Тейлора разложения рациональной дроби (не обязательно правильной!), в знаменателе которой стоит полином
$ A_0x^n+A_1x^{n-1}+dots+A_n $. Подробнее

☞

ЗДЕСЬ.

Во всех предыдущих рассуждениях настоящего пункта мы старательно обходили вопрос о сходимости ряда Тейлора, ограничиваясь лишь формальным построением этого ряда. Самое время заполнить этот пробел. Очевидно, достаточно будет решить этот вопрос для случая разложения функции $ 1/f(x) $. Воспользуемся возможностью разложения полинома $ f_{}(x) $ на линейные множители над множеством $ mathbb C_{} $:
$$
frac{1}{a_0x^n+a_1x^{n-1}+dots+a_n} equiv frac{1/a_0}{(x-lambda_1)timesdots times (x-lambda_n)}
$$
где $ {lambda_{1},dots,lambda_n } subset mathbb C $ — корни полинома $ f_{}(x) $ (с учетом их кратностей). Разложение дроби в ряд Тейлора может быть получено как с помощью алгоритмов, разобранных выше, так и как произведение разложений дробей вида
$$ frac{1}{x-lambda_j} . $$
Имеем:
$$
frac{1}{x-lambda_j}=-frac{1}{lambda_j}cdot frac{1}{1-x/lambda_j}=-frac{1}{lambda_j}left(1+frac{x}{lambda_j}+frac{x^2}{lambda_j^2}+dots+
frac{x^k}{lambda_j^k}+dots right)
$$
и ряд в правой части сходится абсолютно при $ |x/lambda_j|<1 $.

Т

Теорема 11. Пусть $ g_{}(x)/f(x) $ — правильная, несократимая дробь и $ f(0) ne 0 $. Тогда ряд Тейлора этой дроби по степеням переменной $ x_{} $ сходится абсолютно в круге комплексной плоскости, определяемом условием

$$ |x| < min_{j} |lambda_j| , $$
где $ lambda_{j} $ означает корень полинома $ f_{}(x) $.

Доказательство проводится средствами теории функции комплексной переменной и использует (привычную для курса математического анализа вещественной переменной) возможность перемножения абсолютно сходящихся рядов.

♦

П

Пример. Оценить радиус сходимости ряда из предыдущего примера.

Решение. Корни полинома $ 3,x^5+x^3+2,x^2-x+4 $:
$$ lambda_1 approx -1.159580, lambda_{2,3} approx underbrace{-0.158205 pm 1.033065 mathbf i}_{| |approx 1.045109}, lambda_{4,5} approx underbrace{0.737995pm 0.712803 mathbf i}_{| |approx 1.026023} . $$

Ответ. Ряд сходится при $ |x| < 1.026 $.

Задачу разложения дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Лорана по степеням $ 1/x_{} $ можно свести к рассмотренной в предыдущем пункте задаче о разложении в ряд Тейлора. Если $ f(x)=a_0x^n+dots+a_n, nge 1, a_0ne 0, g(x)=b_0x^{n-1}+b_{1}x^{n-2}+dots+b_{n-1} $, то
$$ frac{g(x)}{f(x)}=frac{x^{n-1}left(b_0+b_1cdot 1/x + dots + b_{n-1} cdot 1/x^{n-1} right)}{x^nleft(a_0+a_1cdot 1/x+a_2 cdot 1/x^2+dots+ a_n cdot 1/x^nright)}= z frac{b_0+b_1z + dots + b_{n-1}z^{n-1}}{a_0+a_1z+a_2z^2+dots+ a_nz^n} $$
при $ z=1/x $. Дальше раскладываем дробь по положительным степеням $ z_{} $. Приведенные ниже результаты являются аналогами соответствующих результатов из предыдущего пункта.

Т

Теорема 12. Пусть $ f(x)=a_0x^n+dots+a_n, nge 1, a_0ne 0 $. Пусть $ deg g(x) < deg f $. В разложении дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Лорана по степеням $ 1/x_{} $:

$$
frac{g(x)}{f(x)} = frac{c_0}{x}+frac{c_1}{x^2}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{c_j}{x^{j+1}}
$$
коэффициенты разложения будут удовлетворять соотношению
$$ c_{K+n}a_0+c_{K+n-1}a_{1}+dots+c_{K}a_n = 0 quad npu quad forall K in {0,1,2,dots } . $$

Обратим внимание на отличие этого соотношения от полученного при разложении $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Тейлора по положительным степеням $ x_{} $;
в теореме 10 оно имело вид
$$ t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+dots+t_{K+n}a_n = 0 $$
Два соотношения отличаются порядком следования коэффициентов при соответствующих элементах рекуррентных последовательностей: $ (a_0,a_1,dots,a_n) $ и
$ (a_n,a_{n-1},dots,a_0) $.

Т

Теорема 13. Если все корни $ lambda_1,dots,lambda_{n} $ полинома $ f_{}(x) $ простые и $ deg g(x) < deg f $ то имеет место равенство

$$
c_k=sum_{j=1}^n frac{lambda_j^k g(lambda_j)}{f^{prime}(lambda_j)} quad npu quad forall k in {0,1,2,dots } .
$$

Доказательство. Воспользуемся формулой Лагранжа:
$$
frac{g(x)}{f(x)}=sum_{j=1}^{n}frac{g(lambda_j)}{f'(lambda_j)(x-lambda_j)} .
$$
Разложим теперь каждую дробь $ 1/(x-lambda_{j}) $ в ряд Лорана по степеням $ 1/x_{} $
$$
frac{1}{x-lambda_j}= frac{1}{x(1-lambda_j/x)}= frac{1}{x}left(1+ frac{lambda_j}{x}+frac{lambda_j^2}
{x^2}+dots right)
$$
и подставим в предыдущее равенство. Сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях $ x_{} $ в полученном ряду и в ряду $ sum_{j=0}^{infty} c_jx^{-j-1} $, получаем
требуемый результат.

♦

=>

Имеют место следующие формулы Ньютона, выражающие суммы степеней корней полинома ( суммы Ньютона) $ s_k=lambda_1^{k}+dots+lambda_n^k $ (при $ kin mathbb N $) через его коэффициенты:

$$
s_k=left{begin{array}{lr}
-(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+dots+a_{k-1}s_1+a_kk)/a_0,
&npu kle n ;\
-(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+dots+a_ns_{k-n})/a_0,
& npu k > n.
end{array}
right.
$$
Дополнительно полагают также $ s_{0}=n $ при любом наборе корней³⁾.

Доказательство утверждения для случая простоты всех корней полинома следует из предыдущей теоремы — суммы Ньютона будут коэффициентами разложения
в ряд Лорана дроби $ f^{prime}(x)/f(x) $. Пусть теперь полином имеет кратные корни и его разложение на линейные множители имеет вид:
$$
f(x)equiv a_0(x-lambda_1)^{{mathfrak m}_{1}}times
dots times
(x-lambda_{mathfrak r})^{{mathfrak m}_{{mathfrak r}}} , quad npu quad
{mathfrak m}_{1}+{mathfrak m}_{2}+dots+{mathfrak m}_{mathfrak r}=n= deg f
$$
и всех различных числах $ { lambda_1,dots,lambda_{mathfrak r } } subset mathbb C $. Имеем (см. упражнение в конце

☞

ПУНКТА ):
$$
frac{f^{prime}(x)}{f(x)} equiv frac{{mathfrak m}_{1}}{x-lambda_1}+frac{{mathfrak m}_{2}}{x-lambda_2}
+ dots + frac{{mathfrak m}_{{mathfrak r}}}{x-lambda_{mathfrak r}} ,
$$
и дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему случаю.

♦

Т

Теорема 14. Пусть $ g_{}(x)/f(x) $ — правильная, несократимая дробь. Тогда ряд Лорана этой дроби по степеням $ 1/x_{} $ сходится абсолютно в области комплексной плоскости, определяемой условием

$$ |x| > max_{j} |lambda_j| , $$
где $ lambda_{j} $ означает корень полинома $ f_{}(x) $.