Как составить подобие прямоугольных треугольников

Подобие прямоугольных треугольников обычно доказывают, используя не общие признаки, а специальные признаки подобия для прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1- й признак подобия прямоугольных треугольников

( подобие прямоугольных треугольников по острому углу)

Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.

 — прямоугольные (∠C=90º, ∠C=90º).

Если

то

(по острому углу).

2- й признак подобия прямоугольных треугольников

( подобие прямоугольных треугольников по двум катетам)

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

 — прямоугольные (∠C=90º, ∠C=90º).

Если

то

(по двум катетам).

3- й признак подобия прямоугольных треугольников

( подобие прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе)

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

 — прямоугольные (∠C=90º, ∠C=90º).

Если

то

(по катету и гипотенузе).

Из подобия прямоугольных треугольников следуют соотношения между высотой, проведённой к гипотенузе, гипотенузой, катетами и проекциями катетов на гипотенузу, а также свойство биссектрисы треугольника.

Подобие прямоугольных треугольников и его применение

1 января 2016

Разумеется, подобными могут быть не только прямоугольные треугольники, но именно в них возникает несколько интересных свойств, которые могут значительно упростить решение сложных планиметрических задач.

Сегодня мы изучим механизм того, как возникают подобные прямоугольные треугольники, какие особенные свойства при этом возникают и как грамотно применять всё это в своей работе.

Всего в видео рассмотрено две ситуации:

1. Подобие при проведении высоты к гипотенузе;
2. Подобие после проведения линий, параллельных катетам.

В обоих случаях разбирать будем реальные задачи, чтобы сразу применять изученные свойства на практике.:)

Смотрите также:

1. Основное свойство биссектрисы угла в треугольнике и его применение для решения задач
2. Что такое теорема косинусов и как она помогает решать геометрические задачи
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
4. Тригонометрические функции
5. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
6. Производительность совместного труда

Подобие – это понятие, характеризующее наличие одинаковой, не зависящей от размеров, формы у геометрических фигур.

Подобные фигуры – это фигуры, для которых существует взаимно-однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми парами их соответствующих точек изменяется в одно и то же число раз.

Например, то, что фигуры F₁ и F₂ подобны, означает, что для любых двух точек M₁ и N₁ фигуры F₁ и сопоставленных им точек M₂ и N₂ фигуры F₂ выполняется соответствие (frac{M_1N_1}{M_2N_2}=k), где k – одно и то же число для всех точек (k > 0). Число k называется коэффициентом подобия.Преобразование фигуры F₁ в фигуру F₂, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, называется преобразованием подобия.

Гомотетия – это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Гомотетия – это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A₁, лежащая на прямой OA, по правилу (OA_1=kcdot OA), где k – постоянное, отличное от нуля число, O – фиксированная точка. Точка O называется центром гомотетии, число k – коэффициентом гомотетии.

Свойства преобразования гомотетии:

1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, углы – в углы.

2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых). Стороны гомотетичных фигур пропорциональны, а углы равны.

Подобные треугольники – это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

Свойства подобных треугольников

1. Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны: (frac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}}=frac{A_1B_1}{AB}=frac{B_1C_1}{BC}=frac{A_1C_1}{AC}=k).
2. Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т. д.) относятся как их соответствующие стороны.
3. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров: (frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=frac{A_1B_1^2}{AB^2}=frac{B_1C_1^2}{BC^2}=frac{A_1C_1^2}{AC^2}=k^2).

1-й признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

(left. begin{aligned} angle A=angle A_1\ angle B=angle B_1 end{aligned} right } Rightarrow Delta ABC sim Delta A_1B_1C_1)

2-й признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3-й признак подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
2. Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.