Как составить полярную систему координат - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью.
Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой.
Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается varphi , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку^[1].

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

История[править | править код]

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном Гиппарх (190—120 до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел^[2]. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку^[3]. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы^[4].

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат»^[5]. Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат^[6]. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком^[7]^[8] Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему^[5].

Графическое представление[править | править код]

Точка в полярной системе координат

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются (радиальная координата, встречается вариант обозначения rho ) и varphi (угловая координата, полярный угол, фазовый угол, азимут, позиционный угол, иногда пишут theta или ). Координата соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата varphi равна углу, отсчитываемому в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называемого полярной осью системы координат)^[1].

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и всегда принимает неотрицательные значения . Полярный угол varphi определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;
в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Например, точка с координатами $(3,;60^{circ })$ будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами $(3,;-300^{circ })$ будет нарисована на том же месте.

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы она указывала на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка может быть представлена в виде $(r,;varphi pm ntimes 360^{circ })$ или $(-r,;varphi pm (2n+1)times 180^{circ })$ , где — произвольное целое число^[9].

Для обозначения полюса используют координаты . Независимо от координаты varphi точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём^[10]. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений , а угол varphi к интервалу $[0,;360^{circ })$ или $(-180^{circ },;180^{circ }]$ (в радианах или )^[11].

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом $2pi ;{mathrm {RAD}}=360^{circ }$ . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики и почти во всех разделах математики используют радианы^[12].

Связь между декартовыми и полярными координатами[править | править код]

Пару полярных координат и varphi можно перевести в Декартовы координаты и путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса (при этом предполагается, что нулевой луч полярной системы координат совпадает с осью декартовой системы):

в то время как две декартовы координаты и могут быть переведены в полярную координату :

$r^{2}=y^{2}+x^{2}$

(по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты varphi следует принять во внимание два следующих соображения:

Для вычисления varphi в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями ( обозначает обратную функцию к тангенсу):

${displaystyle varphi ={begin{cases}operatorname {arctg} ({frac {y}{x}}),&x>0,ygeq 0\operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})+2pi ,&x>0,y<0\operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})+pi ,&x<0\{frac {pi }{2}},&x=0,y>0\{frac {3pi }{2}},&x=0,y<0\-&x=0,y=0end{cases}}}$

Для вычисления varphi в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:^[13]

${displaystyle varphi ={begin{cases}operatorname {arctg} ({frac {y}{x}}),&x>0\operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})+pi ,&x<0,ygeq 0\operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})-pi ,&x<0,y<0\{frac {pi }{2}},&x=0,y>0\-{frac {pi }{2}},&x=0,y<0\-&x=0,y=0end{cases}}}$

Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение к , а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты . Однако можно заметить, что независимо от знаков декартовых координат, частные производные угла по ним вычисляются довольно просто, благодаря чему получаем удобные матрицы Якоби:

${displaystyle J=det {frac {partial (x,;y)}{partial (r,;varphi )}}={begin{vmatrix}{dfrac {partial x}{partial r}}&{dfrac {partial x}{partial varphi }}\{dfrac {partial y}{partial r}}&{dfrac {partial y}{partial varphi }}end{vmatrix}}={begin{vmatrix}cos(varphi )&-rsin(varphi )\sin(varphi )&rcos(varphi )end{vmatrix}}.}$

${displaystyle J^{-1}=det {frac {partial (r,;varphi )}{partial (x,;y)}}={begin{vmatrix}{dfrac {partial r}{partial x}}&{dfrac {partial r}{partial y}}\{dfrac {partial varphi }{partial x}}&{dfrac {partial varphi }{partial y}}end{vmatrix}}={begin{vmatrix}cos(varphi )&sin(varphi )\-{dfrac {1}{r}}sin(varphi )&{dfrac {1}{r}}cos(varphi )end{vmatrix}}.}$

Уравнение кривых в полярных координатах[править | править код]

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность[править | править код]

Окружность, заданная уравнением

Общее уравнение окружности с центром в ( $r_{0},;theta$ ) и радиусом имеет вид:

$r^{2}-2rr_{0}cos(varphi -theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.$

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом ^[14].

Прямая[править | править код]

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

где theta — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, , где — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке $(r_{0},;theta )$ определяется уравнением

$r(varphi )=r_{0}sec(varphi -theta ).$

Полярная роза[править | править код]

Полярная роза задана уравнением

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

$r(varphi )=acos(kvarphi +theta _{0})$

для произвольной постоянной $theta _{0}$ (включая 0). Если — целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных , либо с лепестками для чётных . Если — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь -лепестковую розу. Таким образом, уравнение
будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Спираль Архимеда[править | править код]

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для а другую для . Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Конические сечения[править | править код]

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что большая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

${displaystyle r={frac {ell }{1-ecos varphi }}}$

где — эксцентриситет, а ell — фокальный параметр. Если e>1 , это уравнение определяет гиперболу; если e=1 , то параболу; если e<1 , то эллипс. Отдельным случаем является e=0 , определяющее окружность с радиусом ell .

Комплексные числа[править | править код]

Пример комплексного числа , нанесённого на комплексную плоскость

Пример комплексного числа, нанесённого на график, с использованием формулы Эйлера

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число может быть записано в прямоугольной форме так:

где — мнимая единица, или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше):

и отсюда:

${displaystyle z=re^{ivarphi }}$

где — число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны^[15] (В этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол varphi задан в радианах)

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.

Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:

Умножение:

$r_{0}e^{{ivarphi _{0}}}cdot r_{1}e^{{ivarphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i(varphi _{0}+varphi _{1})}}.$

Деление:

${frac {r_{0}e^{{ivarphi _{0}}}}{r_{1}e^{{ivarphi _{1}}}}}={frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{{i(varphi _{0}-varphi _{1})}}.$

Возведение в степень (формула Муавра):

$(re^{{ivarphi }})^{n}=r^{n}e^{{invarphi }}.$

В математическом анализе[править | править код]

Операции математического анализа тоже можно сформулировать, используя полярные координаты^[16]^[17].

Дифференциальное исчисление[править | править код]

Справедливы следующие формулы:

$r{frac {partial }{partial r}}=x{frac {partial }{partial x}}+y{frac {partial }{partial y}},$

${frac {partial }{partial varphi }}=-y{frac {partial }{partial x}}+x{frac {partial }{partial y}}.$

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

Дифференцируя оба уравнения по varphi получим:

${frac {dx}{dvarphi }}=r'(varphi )cos varphi -r(varphi )sin varphi ,$

${frac {dy}{dvarphi }}=r'(varphi )sin varphi +r(varphi )cos varphi .$

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке :

${frac {dy}{dx}}={frac {r'(varphi )sin varphi +r(varphi )cos varphi }{r'(varphi )cos varphi -r(varphi )sin varphi }}.$

Интегральное исчисление[править | править код]

Область , которая образована полярной кривой и лучами и

Пусть — область, которую образуют полярная кривая и лучи и , где . Тогда площадь этой области находится определённым интегралом:

${frac {1}{2}}int limits _{a}^{b}[r(varphi )]^{2},dvarphi .$

Область образована из секторов (тут )

Такой результат можно получить следующим образом. Сначала разобьём интервал [a,;b] на произвольное число подынтервалов . Таким образом, длина такого подынтервала равна b-a (полная длина интервала), разделённая на (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала $varphi _{i}$ — средняя точка. Построим секторы с центром в полюсе, радиусами $r(varphi _{i})$ , центральными углами и длиной дуги ${displaystyle r(varphi _{i})Delta varphi }$ . Поэтому площадь каждого такого сектора будет ${frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2}Delta varphi$ . Отсюда, полная площадь всех секторов:

$sum _{{i=1}}^{n}{frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2},Delta varphi .$

Если число подынтервалов увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться. Положив , полученная сумма станет интегральной. Предел этой суммы при определяет вышеописанный интеграл:

$lim _{{Delta varphi to 0}}sum _{{i=1}}^{infty }{frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2},Delta varphi ={frac {1}{2}}int limits _{a}^{b}[r(varphi )]^{2},dvarphi .$

Обобщение[править | править код]

Используя декартовы координаты, площадь бесконечно малого элемента может быть вычислена как . При переходе к другой системе координат в многократных интегралах необходимо использовать определитель Якоби:

$J=det {frac {partial (x,;y)}{partial (r,;varphi )}}={begin{vmatrix}{dfrac {partial x}{partial r}}&{dfrac {partial x}{partial varphi }}\{dfrac {partial y}{partial r}}&{dfrac {partial y}{partial varphi }}end{vmatrix}}.$

Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен :

$J={begin{vmatrix}cos varphi &-rsin varphi \sin varphi &rcos varphi end{vmatrix}}=rcos ^{2}varphi +rsin ^{2}varphi =r.$

Следовательно, площадь элемента в полярных координатах можно записать так:

Теперь, функция, записанная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

$iint limits _{R}f(r,;varphi ),dA=int limits _{a}^{b}int limits _{0}^{{r(varphi )}}f(r,;varphi ),r,dr,dvarphi .$

Здесь область , как и в предыдущем разделе, такая, которую образуют полярная кривая и лучи и .

Формула для вычисления площади, описанная в предыдущем разделе, получена в случае f=1 . Интересным результатом применения формулы для многократных интегралов является Интеграл Эйлера — Пуассона:

$int limits _{{-infty }}^{infty }e^{{-x^{2}}},dx={sqrt pi }.$

Векторный анализ[править | править код]

Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле на двумерном пространстве (плоскости) можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:

${mathbf {e}}_{r}=(cos varphi ,;sin varphi )$

в направлении , и

${mathbf {e}}_{varphi }=(-sin varphi ,;cos varphi );$

${mathbf {F}}=F_{r}{mathbf {e}}_{r}+F_{varphi }{mathbf {e}}_{varphi }.$

Связь между декартовыми компонентами поля $F_{x}$ и $F_{y}$ и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:

$F_{x}=F_{r}cos varphi -F_{varphi }sin varphi ;$

$F_{y}=F_{r}sin varphi +F_{varphi }cos varphi .$

Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля записывается:

${mathrm {grad}},Phi ={frac {partial Phi }{partial r}}{mathbf {e}}_{r}+{frac {1}{r}}{frac {partial Phi }{partial varphi }}{mathbf {e}}_{varphi }.$

Всё это работает за исключением одной особой точки — полюса, для которой varphi не определено, и векторный базис, описанный выше, построить таким образом в данной точке нельзя. Это надо иметь в виду, хотя на практике векторные поля, исследуемые с помощью полярных координат, часто или сами имеют особенность в этой точке, или равны в ней нулю, что несколько облегчает дело. Кроме того, использование полярных координат никак не затрудняет выражение произвольного векторного поля сколь угодно близко к этой точке.

Трёхмерное расширение[править | править код]

Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая — ещё одной угловой координаты.

Цилиндрические координаты[править | править код]

Точка начертана в цилиндрической системе координат

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как , образуя тройку координат .

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

${begin{cases}x=rho cos varphi ;\y=rho sin varphi ;\z=z.end{cases}}$

Сферические координаты[править | править код]

Точка начертана в сферической системе координат

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты theta , равным углу поворота от вертикальной оси (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка , где — расстояние от центра координат, varphi — угол от оси (как и в плоских полярных координатах), theta — широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта delta является дополнением theta и равна $delta =90^{circ }-theta$ , а долгота вычисляется по формуле $l=varphi -180^{circ }$ ^[18].

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

${begin{cases}x=rsin theta cos varphi ;\y=rsin theta sin varphi ;\z=rcos theta .end{cases}}$

Обобщение на n измерений[править | править код]

Полярную систему координат можно расширить на случай -мерного пространства. Пусть $x_{i}in {mathbb {R}}$ , — координатные векторы -мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в -мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора $xin {mathbb {R}}^{n}$ от координатной оси $x_{{i+2}}$ .

Для перевода обобщённых -мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:

${begin{array}{lcr}x_{1}&=&rcos varphi sin vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};\x_{2}&=&rsin varphi sin vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};\x_{3}&=&rcos vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};\x_{4}&=&rcos vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};\ldots &ldots &ldots qquad qquad qquad \x_{{n-1}}&=&rcos vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};\x_{n}&=&rcos vartheta _{{n-2}}.end{array}}$

Как можно показать, случай n=2 соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а n=3 — обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:

${displaystyle det {frac {partial (x_{1},;ldots ,;x_{n})}{partial (r,;varphi ,;vartheta _{1},;ldots ,;vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}sin vartheta _{1}(sin vartheta _{2})^{2}ldots (sin vartheta _{n-2})^{n-2}}$

где -мерный элемент объёма имеет вид:

$dV=r^{{n-1}}sin vartheta _{1}(sin vartheta _{2})^{2}ldots (sin vartheta _{{n-2}})^{{n-2}},dr,dvarphi ,dvartheta _{1}ldots dvartheta _{{n-2}}=$

$=r^{{n-1}},dr,dvarphi prod limits _{{j=1}}^{{n-2}}(sin vartheta _{j})^{j},dvartheta _{j}.$

Применение[править | править код]

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физические системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Поводом создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу, впоследствии оказалось, что она крайне удобна иногда и для исследования некругового движения (см. Кеплерова задача).

Позиционирование и навигация[править | править код]

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу^[19]. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро)^[20].

Применение в физике[править | править код]

Cечение комптоновского рассеяния от угла рассеяния (для разной энергии фотона)

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, и вообще центральные силы. Также существенное удобство полярные координаты предоставляют при работе с системами, имеющими точечные (или приближенно точечные) источники энергии, такие как радиоантенны — при исследовании их излучения на сравнительно больших расстояниях от антенны, распространение звука или света — в особенности (но не обязательно) сферически- или цилиндрически-симметричное.
В определенных задачах, в том числе из числа упомянутых выше, использование сферических или цилиндрических координат (являющихся для этих задач естественными) по сути сводится к использованию просто двумерных полярных координат.

Полярные координаты как для вычислений, так и для наглядного изображения их результатов, бывают достаточно полезны не только в случаях, когда симметрия задачи близка в целом к осевой или сферической, но и в случаях, когда симметрия явно далека от таковой, например, для вычисления поля диполя. В этом случае применение полярных координат имеет мотивировку в малом размере источника поля (заряды диполя расположены очень близко друг к другу), к тому же поле каждого такого заряда просто выражается в полярных координатах, особенно если поместить полюс в один из этих зарядов (поле второго будет отличаться, кроме знака, лишь на малую поправку).

В квантовой механике и химии полярные координаты (наряду со сферическими для более сложных случаев) используются для изображения угловой зависимости волновой функции электрона в атоме, в том числе в целях качественного анализа и наглядности при преподавании.

Применение в прикладных целях, диаграммы направленности[править | править код]

Диаграмма направленности (азимутальная) типичной направленной антенны

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических координатах при шести частотах

В разных прикладных областях, полярные координаты применяются как способами, близкими к применяемым в соответствующих областям фундаментальной физики, так и самостоятельным образом.

Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность. В случае излучателя, имеющего строгую осевую симметрию или слабо от нее отклоняющегося, достаточно использовать не сферические, а обычные (двумерные) полярные координаты, так как во всех плоскостях, проходящих через ось симметрии, зависимость будет одинаковой или почти одинаковой. Если такой симметрии нет, то какое-то представление о звуковом потоке в разных направлениях может дать пара (для каждой частоты) полярных диаграмм в перпендикулярных плоскостях, для эллиптического или прямоугольного излучателя — связанного с его главными осями.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности микрофонов, определяемую отношением чувствительности при падении звуковой волны под углом относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности.

В принципе, полярные диаграммы могут использоваться для представления практически любых зависимостей. Но на практике обычно этот вид представления выбирается в случаях, когда речь идет от зависимости от реального геометрического направления (см. например Роза ветров, Диаграмма рассеяния, зависимость отраженного светового потока от угла в фотометрии, диаграмма направленности антенн, светодиодов и других светоизлучателей, фотодатчиков, акустических систем итп). Также довольно нередко можно встретиться с применением полярных координат в случаях, когда одна из переменных имеет циклический характер (в полярных координатах ее довольно естественно представлять углом).

Могут применяться и областях, не связанных прямо с физикой (хотя иногда можно проследить более или менее прямую аналогию в этом плане), например, можно использовать полярные диаграммы, аналогичные розе ветров, например, для изучения направлений миграций животных. Такое использование достаточно удобно и наглядно.

См. также[править | править код]

Системы координат в элементарной математике

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Brown, Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis (англ.) / Andrew M. Gleason. — Evanston, Illinois: McDougal Littell (англ.) (рус., 1997. — ISBN 0-395-77114-5.
↑ Friendly, Michael Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization. Дата обращения: 10 сентября 2006. Архивировано из оригинала 26 апреля 2001 года.
↑ T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine, Elsevier, с. 169, ISBN 0444503285
↑ David A. King (1996), «Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping», in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128—184 [153], Routledge, London and New York
↑ ¹ ² Coolidge, Julian (англ.) (рус.. The Origin of Polar Coordinates (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1952. — Vol. 59. — P. 78—85. — doi:10.2307/2307104.
↑ Boyer, C. B. Newton as an Originator of Polar Coordinates (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1949. — Vol. 56. — P. 73—78. — doi:10.2307/2306162.
↑ Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Дата обращения: 10 сентября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Smith, David Eugene. History of Mathematics, Vol II (неопр.). — Boston: Ginn and Co., 1925. — С. 324.
↑ Polar Coordinates and Graphing (PDF) (недоступная ссылка — история) (13 апреля 2006). Дата обращения: 22 сентября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar. Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (англ.). — Fourth Edition. — Thomson Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0534402305.
↑ Stewart, Ian; David Tall. Complex Analysis (the Hitchhiker’s Guide to the Plane) (англ.). — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 0521287634.
↑ Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. Principles of Physics (неопр.). — Brooks/Cole—Thomson Learning, 2005. — ISBN 0-534-49143-X.
↑ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence. The Student’s Introduction to Mathematica® (англ.). — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 0521594618.
↑ Claeys, Johan Polar coordinates (недоступная ссылка — история). Дата обращения: 25 мая 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑
Smith, Julius O. Euler’s Identity // Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT) (англ.). — W3K Publishing, 2003. — ISBN 0-9745607-0-7.
↑ Husch, Lawrence S. Areas Bounded by Polar Curves. Дата обращения: 25 ноября 2006. Архивировано из оригинала 11 октября 2014 года.
↑ Lawrence S. Husch. Tangent Lines to Polar Graphs. Дата обращения: 25 ноября 2006. Архивировано из оригинала 2 июля 2015 года.
↑ Wattenberg, Frank Spherical Coordinates (недоступная ссылка — история) (1997). Дата обращения: 16 сентября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Santhi, Sumrit Aircraft Navigation System (недоступная ссылка — история). Дата обращения: 26 ноября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Emergency Procedures (PDF). Дата обращения: 15 января 2007. Архивировано 15 февраля 2012 года.

Литература[править | править код]

Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. (недоступная ссылка) Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, стр. 47-50.

Ссылки[править | править код]

Программы для рисования графиков в каталоге ссылок Curlie (dmoz)

Источник

Полярная система координат (полярные координаты)

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой , называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор vec{i} , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки в полярной системе координат, полярные радиус и угол

Положение точки в полярной системе координат определяется расстоянием (полярным радиусом) от точки до полюса (т.е. r=vertoverrightarrow{OM}vert ) и углом varphi (полярным углом) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде M(r,varphi) . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

– в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

– в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения rgeqslant0 . Полярный угол varphi определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения -pi<varphileqslantpi , называемыми главными значениями полярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых 2pi n , где ninmathbb{Z} . В этом случае значениям varphi+2pi n полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат Orvarphi можно связать прямоугольную систему координат Ovec{i}vec{j} , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x,y точки , отличной от точки , и ее полярные координаты r,varphi . По рис.2.28,б получаем

$begin{cases}x=rcdotcosvarphi,\[2pt]y=rcdotsinvarphi.end{cases}$

(2.17)

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

$left{begin{aligned}r&= sqrt{x^2+y^2},\ cosvarphi&= frac{x}{r}=frac{x}{sqrt{x^2+y^2}},\ sinvarphi&= frac{y}{r}=frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}.end{aligned}right.$

(2.18)

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых 2pi n , где ninmathbb{Z} . При xne0 из них следует, что $operatorname{tg}frac{y}{x}$ . Главное значение полярного угла varphi~(-pi<varphileqslantpi) находится по формулам (рис.2.29):

Главное значение полярного угла

$varphi=left{begin{aligned}operatorname{arctg}frac{y}{x},quad&x>0,\pi+operatorname{arctg}frac{y}{x},quad&x<0,,ygeqslant0,\-pi+operatorname{arctg}frac{y}{x},quad&x<0,,y<0,\frac{pi}{2},quad&x=0,,y>0,\-frac{pi}{2},quad&x=0,,y<0.end{aligned}right.$

Пример 2.9. В полярной системе координат Orvarphi :

а) изобразить координатные линии $r=1,~r=2,~r=3,~varphi=frac{pi}{4},~varphi=frac{pi}{2}$ ;

б) изобразить точки M_1,~M_2 с полярными координатами $r_1=3,~varphi_1=frac{9pi}{4},~r_2=3,~varphi=-frac{7pi}{4}$ . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек M_1,~M_2 .

Решение. а) Координатные линии r=1,~r=2,~r=3 представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии $varphi=frac{pi}{4},$ $varphi=frac{pi}{2}$ и $varphi=frac{3pi}{4}$ — полупрямые (рис.2.30,а).

б) Построим точки $M_1!left(3,frac{9pi}{4}right)$ и $M_2!left(3,-frac{7pi}{4}right)$ (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение $varphi=frac{pi}{4}$ . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой $M!left(3,frac{pi}{4}right)$ , изображенной на рис.2.30,а.

в) Учитывая пункт “б”, найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:

$x=rcdotcosvarphi=3cdotcosfrac{pi}{4}=frac{3sqrt{2}}{2};~y=rcdotsinfrac{pi}{4}=frac{3sqrt{2}}{2},$ то есть $M!left(frac{3sqrt{2}}{2},frac{3sqrt{2}}{2}right).$

Построение линии в полярной системе координат

Замечания 2.8

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, 0leqslantvarphi<2pi .

2. Расстояние между двумя точками M_1(r_1,varphi_1) и M_2(r_2,varphi_2) (длина отрезка M_1M_2 ) вычисляется по формуле

Ориентированная площадь параллелограмма, построенного на радиус-векторах

$M_1M_2=sqrt{r_1^2+r_2^2-2cdot r_1cdot r_2cdotcos(varphi_2-varphi_1)},$

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).

3. Ориентированная площадь $S_{ast}^{land}$ параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах $overrightarrow{OM_1}$ и $overrightarrow{OM_2}$ , находится по формуле

$S_{astoverrightarrow{OM_1},overrightarrow{OM_2}}^{land}=overrightarrow{OM_1}landoverrightarrow{OM_2}=r_1cdot r_2cdotsin(varphi_2-varphi_1).$

Она положительна, если varphi_1<varphi_2 (при этом ориентация пары радиус- векторов $overrightarrow{OM_1}$ и $overrightarrow{OM_2}$ правая), и отрицательна, если varphi_1>varphi_2 (ориентация пары радиус-векторов $overrightarrow{OM_1}$ и $overrightarrow{OM_2}$ левая).

Пример 2.10. Даны полярные координаты $varphi_A=frac{pi}{3},~r_A=4$ и $varphi_B=frac{2pi}{3},~r_B=2$ точек и (рис.2.32). Требуется найти:

Чертёж точек в полярных координатах

а) скалярное произведение bigllangleoverrightarrow{OA},overrightarrow{OB}biglrangle ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение overrightarrow{OA}landoverrightarrow{OB} ;

г) площадь $S_{OAB}$ треугольника OAB ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим

$leftlangleoverrightarrow{OA},overrightarrow{OB}rightrangle=left|overrightarrow{OA}right|{cdot}left|overrightarrow{OB}right|!cdotcospsi=r_Acdot r_Bcdotcos(varphi_B-varphi_A)=4cdot2cdotcosfrac{pi}{3}=4.$

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$AB=sqrt{r_A^2+r_B^2-2cdot r_Acdot r_Bcdotcos(varphi_B-varphi_A)}=sqrt{4^2+2^2-2cdot4cdot2cdotfrac{1}{2}}=2sqrt{3}.$

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB} :

$overrightarrow{OA}landoverrightarrow{OB}=r_Acdot r_Bcdotsin(varphi_B-varphi_A)=2cdot4cdotsinfrac{pi}{3}=4sqrt{3}.$

Площадь положительная, так как векторы overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB} образуют правую пару (varphi_A<varphi_B) .

г) Площадь треугольника OAB находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB} .

Так как $S_{astoverrightarrow{OA},overrightarrow{OB}}=left|overrightarrow{OA}landoverrightarrow{OB}right|=4sqrt{3}$ (см. пункт “в”), то $S_{OAB}=frac{1}{2}cdot4sqrt{3}=2sqrt{3}$ .

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек и :

$begin{gathered}x_A=r_Acdotcosvarphi_A=4cdotfrac{1}{2}=2,quad y_A=r_Acdotsinvarphi_A=4cdotfrac{sqrt{3}}{2}=2sqrt{3};\[3pt] x_B=r_Bcdotcosvarphi_B=2cdotfrac{-1}{2}=-1,quad y_B=r_Bcdotsinvarphi_B=2cdotfrac{sqrt{3}}{2}=sqrt{3}.end{gathered}$

а затем координаты середины отрезка (см. пункт 3 замечаний 2.1):

$x_C=frac{x_A+x_b}{2}=frac{2+(-1)}{2}=frac{1}{2};quad y_C=frac{y_A+y_B}{2}=frac{2sqrt{3}+sqrt{3}}{2}=frac{3sqrt{3}}{2}.$

Пример 2.11. На координатной плоскости Oxy отмечена точка A(4,-3) . Найти:

Полярные координаты точки и её образа, поворот радиус-вектора на угол вокруг начала координат

а) полярные координаты точки , образа точки при повороте радиус-вектора overrightarrow{OA} на угол $frac{pi}{3}$ вокруг начала координат (рис.2.33);

б) полярные координаты точки A_1 , образа точки при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).

Решение. а) Найдем полярные координаты точки . По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:

$r_A=sqrt{x_A^2+y_A^2}=sqrt{4^2+(-3)^2}=5;quadvarphi_A=operatorname{arctg}frac{y_A}{x_A}=operatorname{arctg}frac{-3}{4}=-operatorname{arctg}frac{3}{4},$

так как точка лежит в text{IV} четверти.

При повороте радиус-вектора overrightarrow{OA} вокруг полюса на угол $frac{pi}{3}$ полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки : $r_{A'}=r_{A}=5$ , $varphi_{A'}=varphi_{A}+frac{pi}{3}=frac{pi}{3}-operatorname{arctg}frac{3}{4}$ , причем $varphi_{A'}$ — главное значение полярного угла $(-pi<varphi_{A'}leqslantpi)$ .

б) При инверсии относительно окружности радиуса полярные координаты r',varphi' образа выражаются через полярные координаты r,varphi прообраза следующими формулами:

$r'=frac{R^2}{r},quadvarphi'=varphi.$

Поэтому, учитывая пункт “а”, находим (для R=1 ):

$r_{A_1}=frac{1}{r_A}=frac{1}{5},quadvarphi_{A_1}=varphi_{A}=-operatorname{arctg}frac{3}{4}.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Полярные координаты – определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Полярные координаты. параметрические уравнения линии

Полярные координаты

Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.

Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).

Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол

Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.

Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до и значения ф от 0 до , при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие , а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).

Тогда для произвольной точки М имеем

Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим

Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем

Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.

Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.

Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.

Пример:

Рассмотрим кривую , где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:

По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).

Параметрические уравнения линии

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

Пример:

Выведем параметрические уравнения окружности.

Пусть М — произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

Это и есть параметрические уравнения окружности.

Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:

Пример:

Выведем параметрические уравнения эллипса.

Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где

За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: . Используя формулы (2), имеем

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть

Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса

Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.

Пример:

Решение:

Составляем таблицу значений:

Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).

Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим т. е. каноническое уравнение параболы.

Параметрические уравнения циклоиды

Определение: Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем

Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть

Полярная система координат

Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), . Точка О при этом называется
полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
координатами точки М задается в виде: (1)

Рис.1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
прямоугольную систему координат:

Пример 1.

Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
− лемниската.
Решение.

Вычислим значения r при различных значениях ϕ :

Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
отрезки длины r , получим :

Рис.3. Лемниската

Пример 2.

а) Построим кривую − кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:

Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤ ϕ 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).

При этом, если r > 0, то векторы сонаправлены, если r

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Полярная система координат (полярные координаты)

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом , и полупрямой , называемой полярной осью . Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки в полярной системе координат определяется расстоянием ( полярным радиусом ) от точки до полюса (т.е. ) и углом ( полярным углом ) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

– в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения . Полярный угол определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения , называемыми главными значениями полярного угла . В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат <связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки , отличной от точки , и ее полярные координаты . По рис.2.28,б получаем

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение полярного угла находится по формулам (рис.2.29):

Пример 2.9. В полярной системе координат :

а) изобразить координатные линии ;

б) изобразить точки с полярными координатами . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек .

Решение. а) Координатные линии представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии и — полупрямые (рис.2.30,а).

б) Построим точки и (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой , изображенной на рис.2.30,а.

в) Учитывая пункт “б”, найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, .

2. Расстояние между двумя точками и (длина отрезка ) вычисляется по формуле

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).

3. Ориентированная площадь параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах и , находится по формуле

Она положительна, если (при этом ориентация пары радиус- векторов и правая), и отрицательна, если varphi_2″ png;base64,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” style=”vertical-align: middle;” /> (ориентация пары радиус-векторов и левая).

Пример 2.10. Даны полярные координаты и точек и (рис.2.32). Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение ;

г) площадь треугольника ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

Площадь положительная, так как векторы и образуют правую пару .

г) Площадь треугольника находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах и .

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек и :

а затем координаты середины отрезка (см. пункт 3 замечаний 2.1):

Пример 2.11. На координатной плоскости отмечена точка . Найти:

а) полярные координаты точки , образа точки при повороте радиус-вектора на угол вокруг начала координат (рис.2.33);

б) полярные координаты точки , образа точки при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).

Решение. а) Найдем полярные координаты точки . По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:

так как точка лежит в четверти.

При повороте радиус-вектора вокруг полюса на угол полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки : , , причем — главное значение полярного угла .

б) При инверсии относительно окружности радиуса полярные координаты образа выражаются через полярные координаты прообраза следующими формулами:

Поэтому, учитывая пункт “а”, находим (для ):

Координаты. Полярная система координат.

Полярная система координат — двухмерная система координат, согласно ей всякая точка на плоскости характеризуется параметрами полярного угла и полярного радиуса. К такой системе координат целесообразно обращаться тогда, когда соотношения между точками удобнее представить в виде радиусов и углов. В более широко известной, декартовой или прямоугольной системе координат, соотношения сходного рода получиться указать, лишь применив тригонометрические уравнения.

Полярная система координат формируется точкой О – полюсом, лучом Ор – полярной осью, и единичным вектором e одной направленности с лучом Ор.

Представим на плоскости точку М, не совмещающуюся с О. Местоположение точки М характеризуется параметрами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, сформированным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов берем против часов стрелки).

Параметры r и φ – полярные координаты точки М, указывают М(r; φ), при этом r – полярный радиус, φ — полярный угол. При этом полярный угол учитывается в радианах.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=polyarnye-koordinaty

http://www.calc.ru/Koordinaty-Polyarnaya-Sistema-Koordinat.html

[/spoiler]

Источник

Download Article

The familiar rectangular grid is an easy system to learn, but it is not convenient in all situations. What if you want to plot the spokes on a wheel, or the movement of water down a drain? In these cases, a circular coordinate system is a more natural fit. In fact, you’ve already used the basic idea of polar coordinates in everyday life.^[1] If you’re locating the source of a siren, for example, you need two piece of information: how far away it is, and which direction the sound is coming from. The polar coordinate system maps points the same way, describing the distance from a fixed point, and the angle theta from a fixed ray.

1
Set up the polar plane. You’ve probably graphed points with Cartesian coordinates before, using notation to mark locations on a rectangular grid. Polar coordinates use a different kind of graph instead, based on circles:
- The center point of the graph (or “origin” in a rectangular grid) is the pole. You can label this with the letter O.
- Starting from the pole, draw a horizontal line to the right. This is the polar axis. Label the axis with units as you would the positive x-axis on a rectangular grid.
- If you have special polar graph paper, it will include many circles of different sizes, all centered on the pole. You do not have to draw these yourself if using blank paper.
2

Understand polar coordinates. On the polar plane, a point is represented by a coordinate in the form :

Advertisement
3

1
2

Measure an angle of from the polar axis. Place a protractor so the center is on the pole, and the edge runs along the polar axis. Measure the angle from this axis. If the angle is in radians and your protractor only shows degrees, you can convert the units or refer to the unit circle for help.
3

Draw a line based on the sign of . The next step will be to draw a line along the angle you measured. Before you can do this, however, you need to know which way to draw the line. Refer back to the polar coordinates to find out:
4
Label the point where the line and circle meet. This is the point .
- The point $(5,{frac {pi }{2}})$ is located on a circle with radius 5 centered on the pole, ¼ of the way along the circle’s circumference in a counter-clockwise direction from the polar axis. (This point is equivalent to (0, 5) in rectangular coordinates.)

First Example

Plot the point P located at $(4,{frac {-pi }{3}})$ on the polar plane

1

Construct a circle with radius . Use the pole as its centre.
2

Measure the angle ${frac {-pi }{3}}$ radians. Measure this angle from the polar axis (equivalent to the positive x-axis). Since the angle ${frac {-pi }{3}}$ is negative, measure this angle in a clockwise direction.
3

Draw a line at this angle. Start at the pole (origin). Since the radius is positive, move forward from the pole through the angle you measured. The point where the line intersects the circle is $(4,{frac {-pi }{3}})$ .

Second Example

Plot the point Q located at $(-2,{frac {3pi }{2}})$ on the polar plane.

1

Construct a circle with radius . Use the pole as its centre. Although the radius is actually -2, the sign is not important for this step.
2

Measure the angle ${frac {3pi }{2}}$ radians. Since the angle ${frac {3pi }{2}}$ is positive, you must go counter-clockwise from the polar axis.
3

Construct a line opposite that angle. Since the radius is negative, you must go from the pole in the opposite direction of the given angle. The point where the line intersects the circle is $(-2,{frac {3pi }{2}})$ .

1

Consider the point in the Cartesian plane. Starting at the origin, draw a line segment 2 units along the positive x-axis. Draw a second line segment from that point 1 unit in the positive y direction. You are now at point (2, 1), so label this point P.
2
3

Find the angle between and the positive x-axis. Use trigonometry to find this value:
4

Write down the polar coordinates. You now have the values of and . The rectangular coordinates (2, 1) convert to approximate polar coordinates of (2.24, 26.6º), or exact coordinates of $({sqrt {5}},tan ^{{-1}}({frac {1}{2}}))$ .

Add New Question

Question

How can I calculate a vector in 3D?

Vectors in 3D are represented using the x, y, and z axes. You can find their intersections and lengths just like you would in 2D vectors.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Unlike the rectangular coordinate system, a point has infinite polar coordinates. For example, the point (1, 2π) is the same as the point (-1, π). It is also the same as the points (1, 4π), (1, 6π), (1, 8π), and so on. Each one instructs you to “circle around” a different number of times, but they all end up in the same place.^[2]

Thanks for submitting a tip for review!

Things You’ll Need

Paper
Pencil
Drawing compass
Protractor

References

About This Article

Article SummaryX

To plot polar coordinates, set up the polar plane by drawing a dot labeled “O” on your graph at your point of origin. Draw a horizontal line to the right to set up the polar axis. When you look at the polar coordinate, the first number is the radius of a circle. To plot the coordinate, draw a circle centered on point O with that radius. The second coordinate is an angle. Use a protractor to draw a line that intersects point O at that angle. The point where the circle and the angled line meet is the polar coordinate. To learn what direction to draw your line, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 58,876 times.

Did this article help you?

Источник

Полярная система
координат на плоскости определяется
заданием некоторой точки О, луча ОР,
исходящего из этой точки, и единицы
масштаба. Точка О называется полюсом,
а луч ОР – полярной осью.

Пусть M
– произвольная точка плоскости. Обозначим
через r
и
ее расстояние от полюса и угол,
отсчитываемый от полярной оси против
часовой стрелки до направления ОМ. Эти
числа называются полярными координатами
точки М, причем величинаr
называется полярным радиусом, а
– полярным углом точки М. По определению
величинаЗадание пары чиселоднозначно
определяет точку М на плоскости.

Если ограничить
изменение угла
пределами
то и обратно каждой точке плоскости
однозначно соответствует пара чисел
(r,).Исключение
составляет только полюс О, для которого
r
= 0, а угол неопределенный.

На практике обычно
обобщают понятие полярных координат.
Для этого углы ,отсчитываемые от
полярной оси по часовой стрелке, считают
отрицательными и допускают, что –
При этом, правда,
различным парам чисел
будут
соответствовать одни и те же точки
плоскости (здесьn
– любое целое число). Однако это не
приводит к каким-либо противоречиям.

Если выбрать
декартову систему координат так, чтобы
ее начало О совпадало с полюсом полярной
системы, а ось ox
шла по полярной оси ОР, то между полярными
координатами (r,
)
и декартовыми координатами (x,y)
для каждой точки М будет осуществляться
следующая связь:

(6.1.1)

(6.1.2)

Из этих формул
следует, что

(6.1.3)

Замечание:
Формула
определяет два угла
(в пределах от 0 доФормулы (6.1.3) уточняют, какой из этих
углов следует выбрать. Из формулы
вытекает, что надо брать тот угол
для которогоимеет тот же знак, что иx.

Пример 1.
Построить точки, заданные своими
полярными координатами:

A(3;

–

D(2;0).

Решение:
Для построения точек A,
B
и С из полюса О проведем лучи под углом
–и на них откладываем отрезки длины 3, 2,
1 соответственно. ТочкуD
откладываем на полярной оси на расстоянии
2 от полюса.

Пример 2.
Построить линию
в полярной системе координат.

Решение:
Построим
эту линию по точкам, задавая углу
определенные значения и получая значенияr
из уравнения .

Если

Если далее
рассматривать углы из промежутка
то значенияr
будут отрицательными, так как в этом
промежутке
Это означает, что в области нет точек
данной линии.

Если

Запишем полученные
данные в таблицу

Заметим,
что последние четыре значенияr
в таблице можно было получить, если
рассмотреть отрицательные значения
угла
,
соответственно,–;–––.
Далее из полюса проводим лучи и откладываем
на них соответствующие значенияr.
Соединяя полученные точки плавной
линией, строим заданную кривую. Построенная
кривая является окружностью радиуса 1
с центром в точке (1,0), лежащей на полярной
оси.

Пример 3.
Построить
линию, заданную уравнением
перейдя в полярную систему координат.

Решение:
Преобразуем данное уравнение, используя
формулы (6.1.1):

,получим:

Построим эту линию
по точкам. Так как
то

Для вычисления
значений r
составляем таблицу:

Далее из полюса
проводим лучи и откладываем на них
соответствующие значения r.
Соединим полученные точки плавной
линией. Построенная кривая (см. рис.40)
также является окружностью радиуса 2 с
центром в точке

Соседние файлы в предмете Математика

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
03.03.20154.96 Кб8Содержание OneNote.onetoc2
#

Источник

История[править | править код]

Графическое представление[править | править код]

Связь между декартовыми и полярными координатами[править | править код]

Уравнение кривых в полярных координатах[править | править код]

Окружность[править | править код]

Прямая[править | править код]

Полярная роза[править | править код]

Спираль Архимеда[править | править код]

Конические сечения[править | править код]

Комплексные числа[править | править код]

В математическом анализе[править | править код]

Дифференциальное исчисление[править | править код]

Интегральное исчисление[править | править код]

Обобщение[править | править код]

Векторный анализ[править | править код]

Трёхмерное расширение[править | править код]

Цилиндрические координаты[править | править код]

Сферические координаты[править | править код]

Обобщение на n измерений[править | править код]

Применение[править | править код]

Позиционирование и навигация[править | править код]

Применение в физике[править | править код]

Применение в прикладных целях, диаграммы направленности[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Полярная система координат (полярные координаты)

Полярные координаты – определение и вычисление с примерами решения

Полярные координаты. параметрические уравнения линии

Полярные координаты

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Параметрические уравнения линии

Параметрические уравнения циклоиды

Полярная система координат

Полярная система координат (полярные координаты)

Координаты. Полярная система координат.

First Example

Second Example

Things You’ll Need

References

About This Article

Did this article help you?

Вам также может понравиться

Как найти лучшего друга в телеграмме

Как найти зависимость в данных

Как составить булеан множества

Добавить комментарий Отменить ответ