Как составить последовательности нечетных чисел четных чисел

Натуральные числа.

Их ряд выглядит очень просто: 1, 2, 3, 4, 5, … Казалось бы, что интересного можно найти в них? И тем не менее, за более чем 600 лет, прошедших от основания Пифагором своей секты до написания ее адептом Никомахом Герасским “Введения в арифметику”, были обнаружены многие интересные, хотя и немного наивные факты.

Прежде всего, единица считалась началом всех начал, потому что все числа складываются из единиц и к единице стремятся при вычитании и делении.

Дробных чисел древние греки не знали, но понимали, что такое доли. Натуральное число n можно было разбить на доли 1/m, где 1<m<=n, но не все такие доли существовали, а только те, для которых доля была натуральным числом. Например, для числа 6 существовали доли 1/2, 1/3, и 1/6. Четвертой доли числа 6 для древних греков не существовало.

Все числа делятся на четные и нечетные.

Четные и нечетные числа отличаются друг от друга на единицу и, значит, идут в натуральном ряду чередуясь: 1 – нечетное, 2 – четное, 3 – нечетное, 4 – четное и так далее.

Сумма двух четных чисел есть число четное. Сумма двух нечетных чисел есть тоже число четное. И только сумма четного и нечетного числа дает нечетное число.

Всякое число, кроме единицы, есть полусумма чисел, стоящих вокруг него на равных расстояниях. Единица не имеет двух соседей, прилежащих к ней, и потому равна лишь половине одного такого соседа – числа два.

Четные числа.

Четные числа бывают четно-четные, нечетно-четные и четно-нечетные.

Четно-четные числа делятся на 2 сами и результаты их деления тоже делятся на два и так до тех пор, пока после деления не останется одна единица.

Чтобы найти все четно-четные числа, нужно взять единицу, удвоить ее, затем удвоить результат, затем удвоить результат удвоения и так дальше удваивать каждое получившееся число до бесконечности, потому что ряд натуральных чисел бесконечен. Получаются числа 2, 4, 8, 16, 32, …

У четно-четного числа существуют доли по названию всех четно-четных чисел перед ним, и эти доли равны четно-четным числам, стоящим перед ним.

Сумма последовательных четно-четных чисел, начиная с единицы, равна следующему четно-четному числу минус 1.

Если в последовательности четное количество чисел, то произведение крайних равно произведению средних.

Если в последовательности нечетное количество чисел, то произведение крайних равно произведению среднего на само себя

Четно-нечетные числа можно разделить поровну, потому что они четные, но только один раз, потому что в результате их деления получаются нечетные числа. Это такие числа как 6, 10, 14, 18, 22, 26, …

Нечетными долями таких чисел являются четные числа, а четными долями – нечетные числа.

Четно-нечетные числа находятся умножением на 2 последовательности нечетных чисел, т. е. чисел, начиная с 1 и идущих с разницей в двойку. Таким образом получаются числа 6, 10, 14, 18, …

В последовательности из четного количества таких чисел сумма средних чисел равна сумме крайних.

В последовательности из нечетного количества таких чисел полусумма крайних равна среднему числу.

Нечетно-четные числа делятся поровну и их половины тоже делятся поровну, но половины половин или идущие дальше части от деления пополам оказываются нечетными, и таким образом деление рано или поздно останавливается, не доходя до единицы.

Эти числа порождаются хитроумным путем: нужно выписать все нечетные числа, начиная с 3, и все четно-четные числа, начиная с 4. Затем нужно брать по очереди числа какого-либо одного из этих рядов и последовательно умножать каждое число на все числа другого ряда. Произведения следует запоминать, а потом, отсортировав их по возрастанию, мы получим ряд нечетно-четных чисел.

Если же оставить нечетно-четные числа в виде таблицы, то мы увидим, что каждый столбец будет повторять свойство четно-нечетных чисел – сумма крайних равна среднему или полусумме двух средних. В то же время в строках повторится свойство четно-четных чисел – произведение крайних равно произведению средних или квадрату среднего числа, если оно одно.

Так в этом одном виде соединяются свойства обоих других, ибо он является их природной смесью.

Рассказ о свойствах нечетных чисел будет выложен здесь, а впереди нас ждут беседы о совершенных числах и об отношениях, поэтому, ставьте “лайки”, подписывайтесь и не пропускайте наши статьи.

Калькулятор расчета монолитного плитного фундамента тут obystroy.com
Как снять комнату в коммунальной квартире здесь
Дренажная система водоотвода вокруг фундамента – stroidom-shop.ru

Все натуральные числа с точки зрения делимости на 2 раз­биваются на два множества: множество четных чисел и множество нечетных чисел.

Четные числа делятся нацело на 2, а нечетные при делении на 2 дают остаток 1.  0 – число четное.

При решении задач, в которых используются свойство четность важно помнить и применять следующие правила:

• Сумма и разность двух нечетных чисел является четным числом
• Сумма и разность двух четных чисел является четным числом.
• Сумма и разность двух чисел, из которых одно четное, а другое нечетное, является нечетным числом.
• Произведение двух нечетных чисел является нечетным числом.
• Произведение двух чисел, из которых одно четное, явля­ется четным числом.

Разберем несколько примеров.

Задача 1.

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством 1, 3 и 5 рублей?

Решение.

Нельзя. И вовсе не потому, что таких купюр не существует. Сумма четного количества нечетных слагаемых не может быть нечетным числом.

Ответ: Нельзя.

Задача 2.

В наборе было 23 гири массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, … 23 кг. Можно ли их разложить на две равные по массе части, если гирю в 21 кг потеряли?

Решение.

Масса всех гирь S = (1 + 23) + (2 + 22) + … + (11 + 13) + 12 – число четное.

Следовательно, (S – 21) на две равные по весу части не разложить, поскольку это число нечётное.

Ответ. 23 гири с данной массой на две равные части не разложить.

Задача 3.

Кузнечик прыгает по прямой в разные стороны: первый прыжок на 1 см, второй – на 2 см, третий – на 3 см и так далее. Может ли он после двадцать пятого прыжка вернуться в ту точку, с которой начал?

Решение.

Пусть кузнечик прыгает по числовой прямой в разные стороны и начинает из точки с координатой 0. После 25 прыжка он окажется в точке с нечетной координатой (среди чисел от 1 до 25 – нечетных – нечетное число). Так как 0 – число четное, то он не может вернуться в исходное положение.

Ответ. После 25 прыжка кузнечик не может вернуться в ту точку, с которой начал.

Задача 4.

В древней рукописи приведено описание города, расположенного на 8 островах. Острова соединены между собой и с материком мостами. На материк выходят 5 мостов; на 4 островах берут начало по 4 моста, на 3 островах берут начало по 3 моста и на один остров можно пройти только по одному мосту. Может ли быть такое расположение мостов?

Решение.

Найдем число концов у всех мостов:

5 + 4 · 4 + 3 · 3 + 1 = 31.

31 – является числом нечетным.

Так как число концов у всех мостов должно быть четным, то такого расположения мостов быть не может.

Ответ. Не может.

Задача 5.

На столе стоит 6 стаканов. Из них 5 стаканов стоят пра­вильно, а один – перевернут донышком вверх. Разре­шается переворачивать любые 2 стакана за один ход. Можно ли все стаканы поставить правильно за конечное число ходов?

Решение.

Для решения этой задачи попробуем сформулировать условие на языке чисел. Для этого событие «стакан стоит правильно» пронумеруем 1, а «стакан стоит не правильно» – 0. Тогда вместо рисунка со стаканами возникнет последовательность из пяти единичек и одного нуля. Сумма всех чисел последовательности равна нечетному числу 5. При переворачивании стакана в нашей последовательности 0 будет меняться на 1 и наоборот – 1 на 0. Наша цель – получить ряд из одних 1. Их должно стать 6 и сумма должна стать также равной 6. Это число четное.

Но что происходит с суммой при переворачивании 2 стаканов одновременно? Либо две 1 заменяются 0, либо два 0 – единицами, либо одна 1 на 0 и один 0 на 1. А что же происходит с суммой? В первом и втором случаях она изменяется на 2, а в третьем – не меняется вообще. А это значит, что она никогда не станет четной и никогда не сможет стать равной 6, как, между прочим, ни 2 и не 4.

Ответ. Невозможно.

Задача 6.

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и про­нумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться число 2006?

Решение.

Обратим внимание на сумму номеров страниц на одном листе. Она нечетна, поскольку одной странице соответствует нечетное число, а второй странице листа чётное. Но листов 25. Тогда сумма всех номеров вырванных страниц нечетна. А что получил Вася? Следовательно, он не прав!

Ответ. Не могло.

Задача 7.

Каждая из 10 цифр написана на карточке. Таких комплектов изготовили 2. Получили 20 карточек, на каждой из которых написана цифра 0 или 1 или 2 … или 9 и карточек с одинаковыми цифрами по 2. Доказать, что нельзя разложить эти карточки в один ряд так, чтобы между одинаковыми карточками с цифрой k лежало ровноk карточек. (k = 0, 1, 2, …, 9).

Решение.

Допустим, что разложить карточки указанным способом удалось. Тогда их легко пронумеровать по порядку числами от 1 до 20. Предположим, что каждая первая, встретившаяся в ряду, карточка с цифрой k имеет номер а_k а последняя с той же цифрой k номер b_k. Тогда b_k – а_k = k + 1. Тогда

∑(b_k – а_k) = ∑b_k  –  ∑а_k = (b₀ – а₀) + (b₁ – а₁) + (b₂ – а₂) + (b₃ – а₃) + … + (b₉ – а₉) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10 = 55.

Но ∑b_k  +  ∑а_k = 1 + 2 + 3 + … + 20 = 210. (Сумма всех номеров карточек.).

Получили ∑b_k – ∑а_k = 55 и ∑b_k + ∑а_k = 210. Сложив эти равенства, получаем 2∑b_k = 265, что невозможно. (Во всех случаях под знаком ∑ понимается суммирование по k от 0 до 9.) Справа число четное, а слева – нечетное. Это противоречие доказывает, что наше допущение о возможности разложить карточки указанным способом ошибочно.

Ответ. Утверждение доказано.

Если вы хорошо усвоили материал данной статьи, то решение следующих задач у вас не должно вызывать особых затруднений. В случае затруднений, попробуйте найти среди решенных задачи родственного содержания.

1. Вдоль забора растет 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на единицу. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
2. В Королевстве 1 001 город. Король приказал проло­жить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило 7 дорог. Смогут ли подданные спра­виться с приказом короля?

Желаю успехов!

Остались вопросы? Не знаете, как применять свойства чётности и нечётности чисел?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

c(seq(1, 5, 2), seq(2, 6, 2))

2 ответа

Лучший ответ

## To prepare data
x1 <- rpois(n = 10, lambda = 8)
x1

## To sort the data so that odd numbers come earlier
c(x1[x1 %% 2 == 1], x1[x1 %% 2 == 0])

sequence(c(3, 3), from = c(1, 2), by = 2)
#[1] 1 3 5 2 4 6

seqOrdered <- function(from = 1, to){
  n = ceiling((to - from) / 2)
  sequence(c(n, n), from = c(from, from + 1), by = 2)
}

seqOrdered(1, 6)
#[1] 1 3 5 2 4 6