Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное слагаемое.
Корень уравнения – это значение неизвестно, которое при подстановке в уравнение превращает его в верное равенство.
Решить уравнение, значит найти все его корни или установить, что их нет.
Линейное уравнение с одним неизвестным – это выражение вида:
где, a и b – коэффициенты (числа), а х – неизвестное.
Алгоритм решения линейного уравнения с одним неизвестным:
- Раскрываем скобки (если требуется)
- Неизвестные слагаемые переносим влево, а известные слагаемые вправо относительно знака “=” (неизвестное слагаемое – слагаемое содержащее неизвестное)
- При переносе за знак “=” знак слагаемого меняем на противоположный (т.е. если был “+” при переносе станет “-“)
- Приводим подобные слагаемые
- Обе части уравнения делим на коэффициент, стоящий перед неизвестным (коэффициент – число перед неизвестным)
Пример: Решить уравнение
Спасибо за просмотры, ставьте лайк и подписывайтесь.
Статья на тему “Квадратное уравнение”
В данной публикации мы рассмотрим определение и общий вид записи уравнения с одним неизвестным, а также приведем алгоритм его решения с практическими примерами для лучшего понимания.
- Определение и запись уравнения
-
Алгоритм и примеры решения уравнений с одим неизвестным
- Простые варианты
- Сложные варианты
Определение и запись уравнения
Математическое выражение вида ax + b = 0 называется уравнением с одним неизвестным (переменной) или линейным уравнением. Здесь:
- a и b – любые числа: a – коэффициент при неизвестном, b – свободный коэф.
- x – переменная. Для обозначения может использоваться любая буква, но общепринятыми являются латинские x, y и z.
Уравнение можно представить в равнозначном виде ax = -b. После этого мы смотрим на коэффициенты.
- При a ≠ 0 единственный корень x = -b/a.
- При a = 0 уравнение примет вид 0 ⋅ x = -b. В таком случае:
- если b ≠ 0, корней нет;
- если b = 0, корнем является любое число, т.к. выражение 0 ⋅ x = 0 верно при любом значении x.
Алгоритм и примеры решения уравнений с одим неизвестным
Простые варианты
Рассмотрим простые примеры при a = 1 и наличии всего одного свободного коэффициента.
| Пример | Роль переменной x | Решение | Объяснение |
| x + 6 = 11 | слагаемое | x = 11 – 6 = 5 | от суммы отнимается известное слагаемое |
| x – 12 = 7 | уменьшаемое | x = 12 + 7 = 19 | разность прибавляется к вычитаемому |
| 13 – x = 4 | вычитаемое | x = 13 – 4 = 9 | из уменьшаемого вычитается разность |
| 14 ⋅ x = 42 | множитель | x = 42 : 12 = 3 | произведение делится на известный множитель |
| x : 4 = 25 | делимое | x = 25 ⋅ 4 = 100 | частное умножается на делитель |
| 36 : x = 6 | делитель | x = 36 : 6 = 6 | делимое делится на частное |
Сложные варианты
При решении более сложного уравнения с одной переменной, очень часто требуется сначала его упростить, прежде чем находить корень. Для этого могут применяться следующие приемы:
- раскрытие скобок;
- перенос всех неизвестных в одну сторону от знака “равно” (обычно в левую), а известных в другую (правую, соответственно).
- приведение подобных членов;
- освобождение от дробей;
- разделение обеих частей на коэффициент при неизвестном.
Пример: решим уравнение (2x + 6) ⋅ 3 – 3x = 2 + x.
Решение
- Раскрываем скобки:
6x + 18 – 3x = 2 + x. - Переносим все неизвестные влево, а известные вправо (не забываем при переносе менять знак на противоположный):
6x – 3x – x = 2 – 18. - Выполняем приведение подобных членов:
2x = -16. - Делим обе части уравнения на число 2 (коэффициент при неизвестной):
x = -8.
Уравнение с одним неизвестным
- Решение уравнений с одним неизвестным
Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением. Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.
Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим 
. Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень 
.
Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.
Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.
Решение уравнений с одним неизвестным
Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:
- освобождение от дробных членов;
- раскрытие скобок;
- перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
- сделать приведение подобных членов;
- разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
Пример 1. Решить уравнение
Решение:
- Освобождаем уравнение от дробных членов:
4(5x – 7) – 24 = 3(3x + 12).
- Раскрываем скобки:
20x – 28 – 24 = 9x + 36.
- Переносим члены:
20x – 9x = 36 + 28 + 24.
- Выполняем приведение подобных членов:
11x = 88.
- Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):
x = 8.
- Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:
Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.
Ответ: x = 8.
Пример 2. Решить уравнение
5(x – 2) = 45.
Решение:
- Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:
x – 2 = 9.
- Переносим члены:
x = 9 + 2.
- Выполняем приведение подобных членов:
x = 11.
- Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:
5(11 – 2) = 45;
5 · 9 = 45;
45 = 45.
Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:
5(x – 2) = 45;
x – 2 = 9;
x = 9 + 2;
x = 11.
Ответ: x = 11.
В этой теме рассмотрим подробный алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной. Что же такое решение уравнений? Уравнение считается решенным, если мы нашли корни уравнения или доказали, что их нет. Линейные уравнения – это самый простой вид уравнений в школьной программе по математике.
Формула линейного уравнения.
Принято линейное уравнение записывать так:
ax+b=0
где коэффициенты a и b произвольные числа (числа которые явно записаны),
а переменная x – это неизвестное число.
Пример линейных уравнений:
5x-6=0,
0,3-4x=0,
6x=2.
Алгоритм решения линейного уравнения.
В математике существуют различные виды уравнений. Например, квадратные уравнения, рациональные уравнения, иррациональные уравнения и т.д. И каждый вид уравнения решается определенным способом. Не существует единого алгоритма решения всех уравнений, поэтому для каждого вида уравнений свой способ решения. И каждый способ надо запоминать. Теперь вернемся к линейным уравнениям и разберем пошаговый алгоритм действий.
Как решать линейные уравнения?
Правило решения достаточно просты.
1 шаг. У всех уравнений есть две стороны левая и правая. Знак равно = эти две части разделяет. Все что написано в уравнении до знака равно находится с левой части уравнения, а все что написано после знака равно — правая часть.
Рассмотрим пример линейного уравнения:
2x+5=8
Левая часть уравнения (2x+5) = правая часть уравнения (8)
2 шаг. Необходимо перенести неизвестные (переменные или буквы) в одну сторону, а известные (цифры) в другую сторону уравнения. При переносе слева на право или наоборот справа на лево числа или переменной, нужно поменять знак. Если был знак “+” поменяется на знак минус и наоборот.
В нашем примере 2х это неизвестное, а число 5 и 8 известное.
В уравнении 2x+5=8 число 5 находится слева, необходимо, это число перенести вправо, чтобы числа посчитать с числами. У числа 5 знак + поэтому при переносе слева на право знак поменяется на минус. Получим:
2x=8-5
2x=3
3 шаг. Если перед переменной стоит число, а в нашем уравнении стоит 2 перед х, тогда все уравнение делим на это число.
2x=3 |:2
|:2 такая запись означает, что мы должны все элементы уравнения поделить на 2. Если подробно расписать, то линейное уравнение будет выглядеть так:
2x:2=3:2
2x:2 получим 1x или просто х, а 3:2=1,5
x=1,5
4 шаг. Мы нашли корень уравнения x=1,5.
Корень уравнения – это число которое превращает уравнение в верное равенство.
Чтобы проверить правильно ли решено уравнение необходимо вместо переменной х в уравнение 2x+5=8 подставить найденный корень x=1,5.
2x+5=8
2 •1,5+5=8
3+5=8
8=8
Получено верное равенство, поэтому корень найден верно.
Рассмотрим следующий пример:
2х–3,5=7х+10
Сделаем перенос неизвестных влево, а известных вправо. Неизвестные – это 2х и 7х. Необходимо 7х перенести влево и поменять знак с “+” на “–”. Перед 7х не стоит ни каких знаков поэтому считается знак плюс. Известные – это -3,5 и 10. Число -3,5 нужно перенести слева на право и поменять знак с минуса на плюс. Получим:
2х–7х=10+3,5
–5х=13,5
Так как перед переменной х стоит число -5, нужно все уравнение поделить на -5, чтобы перед переменной х стало число 1.
–5х=13,5 |:(–5)
x=13,5:( –5)
x=–2,7
Сделаем проверку. Подставим в уравнение 2х–3,5=7х+10 вместо переменной х число –2,7.
2х–3,5=7х+10
2•(–2,7)–3,5=7•(–2,7)+10
–5,4–3,5= –18,9+10
-8,9=-8,9
Линейные уравнение, которые не имеют решения.
Уравнения могут не иметь решения. Как же выглядят такие линейные равнения? Как решаются такие линейные уравнения.
Для простоты давайте рассмотрим пример:
3х-6,7=х+4+2х
Здесь мы решаем точно также, как и в предыдущих примерах. Неизвестные (3х, х и 2х) группируем с лева, а известные (-6,7 и 4) – с права. Не забываем менять знаки при переносе. Получаем:
3х-х-2х=4+6,7
0х=10,7 или 0=10,7
Всем известно, что число 0 и 10,7 не равны друг другу, следовательно, у такого уравнения нет решения, потому что при любом значении переменной х верного равенства не будет.
Линейные уравнения, у которых бесконечное количество решений.
Чаще всего у линейных уравнений один корень, но бывают случаи, когда корней бесконечное множество. Такое линейное уравнение легко распознать визуально. Левая часть и правая часть уравнения равны при любых переменных.
Рассмотрим пример:
-5+2х+1=9+2х-13
Переносим неизвестные влево, а известные вправо. Не забываем менять знак.
2х-2х=9-13+5-1
0=0
Когда левая часть и правая часть равны одинаковым выражениям, тогда такое линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.
В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Что такое линейное уравнение
Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа.
Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Примерами линейных уравнений будут:
3·x=11 (уравнение с одной переменной x при а=5 и b=10);
−3,1·y=0 (линейное уравнение с переменной y, где а=-3,1 и b=0);
x=−4 и −x=5,37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и -1 соответственно. Для первого уравнения b=-4; для второго – b=5,37) и т.п.
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a·x=b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5·x=2·x+6 – также линейное.
А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
3·x−7=0 (a=3, b= −7);
1,8·y+7,9=0 (a=1,8, b=7,9).
Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a·x=b, например, 6·x=35.
Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a·x+b=0, где x – переменная; a, b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a·x+b=0, определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.
При таком подходе уравнение 5·x+8=0 – линейное, а 5·x=−8 – уравнение, сводящееся к линейному.
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b. Запишем эти условия:
- при a≠0 линейное уравнение имеет единственный корень x=-ba;
- при a=0 и b≠0 линейное уравнение не имеет корней;
- при a=0 и b=0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
- перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
- умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
Таким образом, преобразуем линейное уравнение a·x+b=0, перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a·x=−b.
Далее мы разделим обе части равенства на число а, при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а=0, рассмотрим позже.
Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x=-ba. Т.е., когда a≠0, исходное уравнение a·x+b=0 равносильно равенству x=-ba, в котором очевиден корень -ba.
Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня -ba как x1. Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x2. И конечно: x2≠x1, а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x1−x2≠0. С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a·x1+b=0 и a·x2+b=0.
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:
a·x1+b−(a·x2+b)=0−0, отсюда: a·(x1−x2)+(b−b)=0 и далее a·(x1−x2)=0. Равенство a·(x1−x2)=0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a≠0 и x1−x2≠0. Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 имеет лишь один корень.
Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a=0.
Когда a=0 линейное уравнение a·x+b=0 запишется как 0·x+b=0. Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0·x+b=0, получим b=0. Равенство справедливо при b=0; в прочих случаях, когда b≠0, равенство становится неверным.
Таким образом, когда a=0 и b=0, любое число может стать корнем линейного уравнения a·x+b=0, поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0=0. Когда же a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b=0.
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
- по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
- при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
- при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
- при a, отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:
- перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a·x=−b;
- обе части полученного равенства делим на число a, что даст нам искомый корень заданного уравнения: x=-ba.
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Напоследок уточним, что уравнения вида a·x=b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a≠0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a.
Таким образом, чтобы найти решение уравнения a·x=b, используем такой алгоритм:
- при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
- при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
- при a, не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a, что дает возможность найти единственный корень, который равен ba.
Примеры решения линейных уравнений
Необходимо решить линейное уравнение 0·x−0=0.
Решение
По записи заданного уравнения мы видим, что a=0 и b=−0 (или b=0, что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.
Ответ: x – любое число.
Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0·x+2,7=0.
Решение
По записи определяем, что а=0, b=2,7. Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.
Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.
Задано линейное уравнение 0,3·x−0,027=0. Необходимо решить его.
Решение
По записи уравнения определяем, что а=0,3; b= -0,027, что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.
Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0,3·x=0,027. Далее разделим обе части полученного равенства на а=0,3, тогда: x=0,0270,3.
Осуществим деление десятичных дробей:
0,0270,3=27300=3·93·100=9100=0,09
Полученный результат есть корень заданного уравнения.
Кратко решение запишем так:
0,3·x-0,027=0,0,3·x=0,027,x=0,0270,3,x=0,09.
Ответ: x=0,09.
Для наглядности приведем решение уравнения записи a·x=b.
Заданы уравнения: 1) 0·x=0; 2) 0·x=−9; 3) -38·x=-334. Необходимо решить их.
Решение
Все заданные уравнения отвечают записи a·x=b. Рассмотрим по очереди.
В уравнении 0·x=0, a=0 и b=0, что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.
Во втором уравнении 0·x=−9: a=0 и b=−9, таким образом, это уравнение не будет иметь корней.
По виду последнего уравнения -38·x=-334 запишем коэффициенты: a=-38, b=-334, т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a, получим в результате: x=-334-38. Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:
-334-38=33438=15438=154·83=15·84·3=10
Кратко решение запишем так:
-38·x=-334,x=-334-38,x=10.
Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x=10.
