Как составить пропорцию в геометрии треугольника

Математика

В двух треугольниках, имеющих равные углы, стороны, лежащие против одинаковых углов, называются сходственными (соответственными).

В треугольниках ABC и DEF (черт. 152), в которых

стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF, лежащие против равных углов C и F, A и D, B и E будут соответственными сторонами.

Определение подобных треугольников. Подобными называются такие два треугольника, у которых углы равны и сходственные стороны пропорциональны.

Если в двух треугольниках (черт. 152) ABC и DEF углы равны

и соответственные стороны пропорциональны

AB/DE = AC/DF = BC/EF

то треугольники называются подобными.

Подобие обычно выражают знаком ∼.

Подобие двух треугольников изображают письменно:

Случаи подобия треугольников

Теорема 89. (Первый случай подобия.) Два треугольника подобны, если три угла одного равны трем углам другого треугольника.

Дано. В треугольниках ABC и DEF углы равны (черт. 153).

Требуется доказать, что они подобны. Для этого нужно доказать, что их стороны пропорциональны, т. е. удовлетворяют отношениям:

AB/DE = AC/DF = BC/EF

Доказательство. Наложим треугольник DEF на ABC так, чтобы вершина E совпала с вершиной B, сторона ED со стороной AB. По равенству углов B и E сторона EF пойдет по стороне BC. Положим, точка D упадет в D’, а точка F в E’. Треугольник D’BE’ равен треугольнику DEF, следовательно,

Если соответственные углы равны, то D’E || AC.

По теореме 86 имеют место равенства

AC/D’E’ = AB/BD’ = BC/BE’

Так как BD’ = ED, BE’ = EF, D’E’ = DF, то

AC/DF = AB/ED = BC/EF (ЧТД).

Теорема 90 (второй случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по два равных угла.

Доказательство. Если в двух треугольниках ABC и DEF два угла равны (черт. 153).

то и третьи углы тоже равны, а в таком случае треугольники подобны (теорема 89).

Теорема 91 (третий случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по равному углу, заключающемуся между пропорциональными сторонами.

Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 153) углы B и E равны, и стороны, их содержащие, пропорциональны, т. е.

∠B = ∠E и AB/DE = BC/EF.

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Доказательство. Совместим угол E с углом B, и отложим BD’ = ED, BE’ = EF, тогда ∆ BD’E’ = ∆ DEF, следовательно,

Так как имеет место пропорция

то сторона D’E’ || AC (теорема 87).

Поэтому ∠D’ = ∠A, ∠C = ∠E’.

т. е. три угла одного равны трем углам другого треугольника.

В этом же случае треугольники ABC и DEF подобны (ЧТД).

Теорема 92 (четвертый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Дано. В треугольниках ABC и abc (черт. 154) стороны пропорциональны:

AB/ab = BC/bc = AC/ac (1)

Требуется доказать, что у них углы равны, т. е.

Доказательство. Отложим на стороне BA отрезок Ba’, равный ba, и проведем отрезок a’c’, параллельный AC, тогда будут иметь место отношения:

AB/Ba’ = BC/Bc’ = AC/a’c’

Так как Ba’ = ba, то рядом с этими имеют место отношения:

AB/ab = BC/Bc’ = AC/a’c’ (2)

Сопоставляя отношения (1) и (2), заключаем, что

следовательно, два треугольника a’Bc’ и abc равны, откуда

∠B = ∠b, ∠Ba’c’ = ∠a, ∠Bc’a’ = ∠c

∠A = ∠a’, ∠C = ∠c’, то
B = b, A = a, C = c,

следовательно, углы двух треугольников ABC и abc равны (ЧТД).

Теорема 93 (пятый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного параллельны сторонам другого.

Доказательство. Здесь могут быть два случая:

1-й случай. Если углы двух треугольников с параллельными сторонами обращены в одну сторону. В таком случае в двух таких треугольниках ABC и abc (черт. 155) все углы одного соответственно равны углам другого, и, следовательно, треугольники подобны.

2-й случай. Когда углы с параллельными сторонами обращены в разные стороны. Так в треугольниках ABC и a’b’c’ стороны параллельны.

AB || a’b’, AC || a’c’, BC || b’c’.

Углы же между параллельными сторонами обращены в разные стороны.

В таком случае, продолжив стороны a’c’ и a’b’, откладываем на продолжении их части a’b” = a’b’ и a’c” = a’c’.

Треугольники a’b”c” и a’b’c’ равны. Треугольник a’b”c” подобен треугольнику ABC, ибо у него стороны параллельны и углы, направленные в одну сторону, равны, следовательно,

a’b”c”, следовательно, ∆ ABC

a’b’c’ и
AB/a’b’ = AC/a’c’ = BC/b’c’

Теорема 94 (шестой случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного перпендикулярны к сторонам другого.

Даны два треугольника ABC и abc (черт. 156), стороны которых перпендикулярны:

ab ⊥ AB, ac ⊥ AC, bc ⊥ BC

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Доказательство. Продолжим стороны ac и bc до пересечения их со сторонами AC и BC в точках n и p. Тогда в двух треугольниках mcn и mCp все углы равны, ибо

n = p как прямые

Углы при точке m равны как вертикальные,

а следовательно, и третьи углы равны ∠pCm = ∠mcn.

∠pCm = ∠ACB, ∠mcn = ∠acb

Подобным же образом можно доказать, что A = a, B = b, следовательно, треугольники ABC и abc подобны и имеет место пропорция

AB/ab = AC/ac = BC/bc

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 95. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

Дано. У прямоугольных треугольников ABC и abc (черт. 157) острые углы C и c равны.

Требуется доказать, что треугольники ABC и abc подобны.

Доказательство. Углы B и b равны как прямые, углы C и c равны по условию, следовательно, они подобны (теорема 90).

Теорема 96. Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного пропорциональна катету и гипотенузе другого.

Дано. В прямоугольных треугольниках ABC и abc (черт. 157)

Требуется доказать, что ∠A = ∠a, ∠C = ∠c.

Доказательство. Отложим на отрезке BA отрезок Bm, равный ba и из точки m проведем отрезок mn, параллельный ac, тогда имеет место пропорция:

Так как Bm = ab по построению, то, сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что ac = mn, следовательно, два прямоугольных треугольника Bmn и abc, имея по равному катету и равной гипотенузе, равны.

Действительно, у них Bm = ab, mn = ac. У равных треугольников и углы равны:

∠m = ∠a = ∠A и ∠n = ∠c = ∠C

следовательно, два треугольника ABC и abc подобны.

Теорема 97. В подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам.

Даны два подобных треугольника ABC и FED (черт. 158), следовательно,

∠A = ∠F, ∠B = ∠E, ∠C = ∠D и
AB/FE = BC/ED = AC/DF

и проведены высоты BH и Eh.

Требуется доказать, что AB/FE = BH/Eh.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ABH и FEh подобны, ибо ∠A = ∠F по условию, ∠AHB = ∠FhE как прямые, следовательно,

Теорема 98. Прямая, разделяющая угол треугольника пополам, делит его противоположную сторону на части пропорциональные двум другим сторонам.

Дано. Отрезок BD делит угол B треугольника ABC пополам (черт. 159).

∠ABD = ∠DBC или ∠ α = ∠ β

Требуется доказать, что AB/BC = AD/DC.

Доказательство. Проведем из точки A отрезок AF параллельный BD до пересечения его с прямой BC в точке F. В треугольнике FBA

∠AFB = ∠ β как соответственные углы,
∠FAB = ∠ α как внутренние накрест-лежащие углы от пересечения параллельных AF и BD третьей прямой AB.

Так как ∠ α = ∠β по условию, то

∠AFB = ∠FAB, т. е. треугольник FAB равнобедренный, поэтому FB = AB.

Из того, что AF || BD вытекает пропорция:

Заменяя FB равным отрезком AB, получим пропорцию:

Теорема 99 (обратная 98). Прямая, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам, делит угол при вершине пополам.

Дано. В треугольнике ABC (черт. 159) прямая BD рассекает противоположную сторону так, что имеет место пропорция:

Требуется доказать, что ∠ α = ∠β .

Доказательство. Проведем отрезок AF параллельно BD, тогда из треугольника AFC вытекает пропорция:

Сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что FB = AB, следовательно,

Так как ∠ α = ∠ FAB, ∠β = ∠ AFB, то и

Отношения в прямоугольном треугольнике

Теорема 100. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, среднепропорционален между частями гипотенузы.

Дано. В треугольнике ABC угол ABC прямой (черт. 160) и BD ⊥ AC.

Требуется доказать, что AD/BD = BD/DC.

Доказательство. Треугольники ABD и BDC подобны, ибо углы при точке D равны как прямые; кроме того из равенств ∠A + ∠ α = d, ∠ α + ∠β = d вытекает

A + α = α + β, или A = β, следовательно и C = α.

Из подобия треугольников ABD и BDC вытекает пропорция

Примечание. Если составляют одно отношение из сторон одного треугольника, то другое отношение составляется из соответственных сторон другого треугольника. При этом рассуждают следующим образом: против стороны AD лежит угол α , которому в подобном треугольнике BCD равен угол C, а против него лежит сходственная сторона BD треугольника BCD и т. д.

Теорема 101. Каждый катет среднепропорционален между целой гипотенузой и отрезком, прилежащим катету.

Доказательство. a) Треугольники ABC и ABD (черт. 160) подобны, ибо ∠ ABC = ∠ADB как прямые, ∠A общий, следовательно,

Из подобия треугольников вытекает пропорция:

b) Треугольники ABC и BCD подобны, ибо ∠ABC = ∠BDC как прямые, ∠C общий, следовательно,

∠A = ∠ β, откуда
DC/BC = BC/AC (b)

Теорема 102. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из предыдущих пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

AB 2 = AD · AC
BC 2 = DC · AC

Складывая их, получим:

AB 2 + BC 2 = AD · AC + DC · AC или
AB 2 + BC 2 = AC (AD + DC) = AC · AC = AC 2 , т. е.
AC 2 = AB 2 + BC 2

a) Гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов.

b) Катет равен корню квадратному из квадрата гипотенузы без квадрата другого катета.

Теорема 103. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетом.

Дано. В квадрате ABCD проведена диагональ AC (черт. 161).

Требуется доказать, что отношение AC/AD есть величина несоизмеримая.

Доказательство. Станем сравнивать больший отрезок AC с меньшим BC по обыкновенным приемам нахождения общей меры, т. е. наложим меньший отрезок на больший, первый остаток на меньший и т. д.

a) Наложим отрезок BC на отрезок AC. Отложив отрезок AE, равный AB или BC, мы видим, что отрезок BC уложился один раз, ибо

Так как AB = BC, то 2BC > AC и BC > ½AC, следовательно, первый остаток EC 2 = AB 2 + BC 2 .

Так как AB = BC, то AC 2 = 2AB 2 , откуда AC = AB √ 2 и AC/AB = √ 2 величина несоизмеримая.

Соотношение между сторонами остроугольного и тупоугольного треугольника

Теорема 104. Квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника без удвоенного произведения основания на отрезок, заключающийся между вершиной острого угла и высотой.

Здесь могут быть два случая: 1) когда перпендикуляр, выражающий высоту, пойдет внутри и 2) когда он пойдет вне треугольника.

Первый случай. Перпендикуляр BD (черт. 162), опущенный из вершины B на основание AC треугольника ABC, пойдет внутри треугольника.

Требуется доказать, что AB 2 = BC 2 + AC 2 – 2AC · DC.

Доказательство. Для прямоугольного треугольника ABD имеем равенство:

AB 2 = BD 2 + AD 2 (a)
AD = AC – DC, AD 2 = (AC – DC) 2 = AC 2 + DC 2 – 2AC · DC

Из прямоугольного треугольника BDC имеем:

BD 2 = BC 2 – DC 2

Вставляя величины BD 2 и AD 2 в равенство (a), получим:

AB 2 = BC 2 – DC 2 + AC 2 + DC 2 – 2AC · DC, откуда
AB 2 = BC 2 + AC 2 – 2AC · DC (ЧТД).

2-й случай. Перпендикуляр BD (черт. 163) лежит вне треугольника ABC.

Доказательство. Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

AB 2 = BD 2 + DA 2

Из прямоугольного треугольника BCD имеем:

BD 2 = BC 2 – CD 2

AB 2 = BC 2 – CD 2 + DA 2 .

DA = CD – AC
DA 2 = (CD – AC) 2 = CD 2 + AC 2 – 2CD · AC, то
AB 2 = BC 2 – CD 2 + CD 2 + AC 2 – 2CD · AC, откуда
AB 2 = BC 2 + AC 2 – 2CD · AC (ЧТД).

Теорема 105. Квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника с удвоенным произведением основания на отрезок его от вершины тупого угла до высоты.

Дано. В тупоугольном треугольнике ABC отрезок CD (черт. 164) есть отрезок, лежащий между вершиной тупого угла и высотой.

Требуется доказать, что

AB 2 = AC 2 + BC 2 + 2AC · CD

Доказательство. Из тупоугольного треугольника ABC имеем:

AB 2 = BD 2 + AD 2 (a)
AD = AC + CD, AD 2 = AC 2 + CD 2 + 2AC · CD

Из прямоугольного треугольника BCD вытекает, что

BD 2 = BC 2 – CD 2

Заменяя AD 2 и BD 2 в равенстве (a), получим:

AB 2 = BC 2 – CD 2 + AC 2 + CD 2 + 2AC · CD

AB 2 = BC 2 + AC 2 + 2AC · CD (ЧТД).

Теорема 106. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырех сторон параллелограмма.

Дан параллелограмм ABCD (черт. 165) и проведены его диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Доказательство. Опустив перпендикуляры BE и CF, имеем из косоугольного треугольника ABD равенство:

BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD · AE (1)

Из тупоугольного треугольника ACD равенство:

AC 2 = CD 2 + AD 2 + 2AD · DF (2)

Отрезки AE и DF равны, ибо прямоугольные треугольники ABE и DCF равны, так как они имеют по равному катету и равной гипотенузе.

Сложив равенства (1) и (2), имеем:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + CD 2 + AD 2

Так как AD = BC, то

BD 2 + AC 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 (ЧТД).

Теорема 107. Сумма квадратов двух сторон треугольника равна сумме удвоенного квадрата отрезка, соединяющей вершину с серединой основания, с удвоенным квадратом половины основания.

Дано. Соединим вершину B с серединой основания D треугольника ABC так, что AD = DC (черт. 166).

Требуется доказать, что

AB 2 + BC 2 = 2AD 2 + 2BD 2

Доказательство. Проведем высоту BE.

Из прямоугольных треугольников ABE и BCE вытекают равенства:

AB 2 = BE 2 + AE 2
BC 2 = BE 2 + CE 2

Сложив их, находим:

AB 2 + BC 2 = 2BE 2 + AE 2 + CE 2 (a)

Так как AE = AD + DE = CD + DE, CE = CD – DE, то

AE 2 = (CD + DE) 2 = CD 2 + DE 2 + 2CD · DE
CE 2 = (CD – DE) 2 = CD 2 + DE 2 – 2CD · DE

AE 2 + CE 2 = 2CD 2 + 2DE 2 (b)

Заменяя в равенстве (a) сумму AE 2 + CE 2 из равенства (b), имеем:

AB 2 + BC 2 = 2BE 2 + 2CD 2 + 2DE 2 .

Из прямоугольного треугольника BDE видно, что

BE 2 = BD 2 – DE 2

AB 2 + BC 2 = 2BD 2 – 2DE 2 + 2CD 2 + 2DE 2

Подобные треугольники

Определение

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A₁ = ∠A₂, ∠B₁ = ∠B₂ и∠C₁ = ∠C₂

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 – угол1 – угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 – ∠A – ∠B и ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac<3> <6>= frac = frac = frac = frac<1> <2>Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac<7> <11>= frac = frac<15> Rightarrow CA = frac<15 times 11> <7>= 23.57$
x = AC – DC = 23.57 – 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac<3> <9>= frac = frac<8> Rightarrow AB = frac<8 times 9> <3>= 24 м$
x = AB – 8 = 24 – 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt <24^2 + 9^2>= 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC – AE = 25.63 – 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac<1.6> <2.8>= frac = frac <5 + AC>Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 – 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac<8> <1.2>= 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

[spoiler title=”источники:”]

http://www.math10.com/ru/geometria/podobnye-treugolniki.html

[/spoiler]

Подобные треугольники

3 октября 2022

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Подобные треугольники — ключевая тема геометрии 8 класса. Они будут преследовать нас до самого конца школы. И сегодня мы разберём всё, что нужно знать о них.

План такой:

1. Основное определение
2. Лемма о подобных треугольниках
3. Свойства подобных треугольников
4. Разбор задач

1. Основное определение

Определение. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$:

У них есть равные углы: $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. И пропорциональные стороны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}= frac{AC}{MK}= frac{color{red}{3}}{color{red}{2}}]

Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны. Записывается это так:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Число $k={color{red}{3}}/{color{red}{2}};$ называется коэффициентом подобия. К нему мы ещё вернёмся.

Пропорциональные стороны подобных треугольников (например, $AB$ и $MN$, либо $BC$ и $NK$) в некоторых учебниках называют сходственными. На практике этот термин применяется редко. Мы будем говорить просто «соответственные стороны».

Дальше идёт очень важное замечание.

1.1. Обозначение подобных треугольников

В геометрии один и тот же треугольник можно называть по-разному. Например, $Delta ABC$, $Delta BCA$ или $Delta CAB$ — это всё один и тот же треугольник. То же самое касается и углов.

Но в подобных треугольниках есть негласное правило:

При обозначении подобных треугольников порядок букв выбирают так, чтобы равные углы перечислялись в одной и той же последовательности.

Вернёмся к нашим треугольникам $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $anglecolor{red}{A}=anglecolor{red}{M}$ и $anglecolor{blue}{B}=anglecolor{blue}{N}$, можно записать $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Deltacolor{red}{M}color{blue}{N}K$. Или $Delta Ccolor{red}{A}color{blue}{B}sim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$. Но никак не $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$.

Да, это негласное правило. И если вы нарушите последовательность букв, это не ошибка. Никто не снизит вам за это баллы. А если снизит — добро пожаловать на апелляцию.

Правильная запись позволяет быстро и безошибочно выписывать пропорциональные стороны треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Берём две первые буквы из каждого треугольника: ${AB}/{MN};$. Затем две последние буквы: ${BC}/{NK};$. Наконец, вычёркиваем «центральную» букву: ${AC}/{MK};$.

Приравниваем полученные три дроби:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Вот и всё! Даже рисунок не нужен! Этот приём настолько прост и эффективен, что его в обязательном порядке изучают на моих занятиях, курсах и вебинарах.

В будущем мы увидим, что подобные треугольники чаще всего ищут как раз для составления таких пропорций.

2. Лемма о подобных треугольниках

Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.

Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.

Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MNparallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:

Докажем, что $Delta ABCsim Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.

Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MNparallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $angle ABC=angle MNC$.

Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.

Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AC}{MC}=frac{BC}{NC}]

Это равенство — второе в искомом:

[frac{AB}{MN}= color{red}{frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}}]

Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KNparallel AC$:

Поскольку $AMparallel KN$ (по построению) и $AKparallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.

Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{NC}]

Учитывая, что $AK=MN$, получаем

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников

[Delta ABCsim Delta MNC]

Что и требовалось доказать.

Эта лемма — не признак подобия. Это самостоятельная теорема, которая ускоряет решение многих задач.

Признаки подобия разобраны в отдельном уроке — см. «Признаки подобия треугольников».

Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:

Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда

[Delta ABCsim Delta MNC]

3. Свойства подобных треугольников

Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.

3.1. Периметры подобных треугольников

Теорема 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Здесь число $color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}; frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB&=color{red}{k}cdot MN \ BC &=color{red}{k}cdot NK \ AC &=color{red}{k}cdot MK \ end{align}]

Периметр треугольника $MNK$:

[{{P}_{Delta MNK}}=MN+NK+MK]

Периметр треугольника $ABC$:

[begin{align}{{P}_{Delta ABC}} &=AB+BC+CD= \ &=color{red}{k}cdot MN+color{red}{k}cdot NK+color{red}{k}cdot MK= \ &=color{red}{k}cdot left( MN+NK+MK right)= \ &=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}} end{align}]

Итого получаем равенство

[{{P}_{Delta ABC}}=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}}]

Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:

[frac{{{P}_{Delta ABC}}}{{{P}_{Delta MNK}}}=color{red}{k}]

В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.

3.2. Площади подобных треугольников

Теорема 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:

[begin{align}angle ABC &=angle MNK=color{blue}{alpha} \ sin angle ABC &=sin angle MNK=sin color{blue}{alpha} end{align}]

Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

В частности, из этого равенства следует, что

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB &= color{red}{k}cdot MN \ BC &= color{red}{k}cdot NK \ end{align}]

Площадь треугольника $MNK$:

[{{S}_{Delta MNK}}=frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin color{blue}{alpha} ]

Площадь треугольника $ABC$:

[begin{align}{{S}_{Delta ABC}} &=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &=frac{1}{2}cdotcolor{red}{k}cdot MNcdotcolor{red}{k}cdot NKcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin alpha = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}} end{align}]

Получаем равенство

[{{S}_{Delta ABC}}={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}}]

Перепишем в виде отношения:

[frac{{{S}_{Delta ABC}}}{{{S}_{Delta MNK}}}={color{red}{k}^{2}}]

Что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы мы использовали формулу площади треугольника:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}absin alpha ]

Тригонометрию проходят после подобия, поэтому мы опираемся на ещё не изученный материал.

Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}ah]

Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)

3.3. Элементы подобных треугольников

Теорема 4. Отношение высот, биссектрис и медиан, проведённых к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.

Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:

В этом случае высоты $CDbot AB$ и $KLbot MN$ относятся как

[frac{CD}{KL}=frac{AB}{MN}= color{red}{k}]

Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.

4. Задачи на подобие

Здесь разобрано пять задач на подобие треугольников. Все они довольно простые. За сложными задачами добро пожаловать в задачник.:)

Задача 1. Готовые треугольники

Известно, что треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, причём $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. Кроме того, стороны $AB=6$, $BC=7$, $AC=10$ и $MN=9$. Найдите стороны $NK$ и $MK$.

Решение. Построим треугольники $ABC$ и $MNK$, отметим известные стороны:

Из условия $Delta ABCsim Delta MNK$ следует, что верно равенство

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Опустим последнюю дробь и получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}]

Найдём сторону $NK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{7}}{color{red}{6}}=10,5]

Аналогично, убирая среднюю дробь, получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Найдём сторону $MK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{10}}{color{red}{6}}=15]

Ответ: $NK=10,5$, $MK=15$.

Задача 2. Прямая, параллельная стороне

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:

а) Отрезок $BD$, если $AB=16$, $AC=20$, $DE=15$.

б) Отрезок $AD$, если $AB=28$, $BC=63$, $BE=27$.

Решение. Для начала построим рисунок. Он будет общий для обоих пунктов.

Из условия следует, что прямая $DE$ пересекает стороны треугольника $ABC$:

Поскольку $DEparallel AC$, по лемме о подобных треугольниках прямая $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник, подобный исходному:

[Delta ABCsim Delta DBE]

Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует равенство

[frac{AB}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{AC}{DE}]

Решаем пункт а). Подставляем в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Вычёркиваем среднюю дробь и получаем пропорцию

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Отсюда легко найти $DB$ (или, что то же самое, $BD$):

[DB=frac{color{red}{16}cdotcolor{red}{15}}{color{red}{20}}=12]

Аналогично решаем пункт б). Подставляем в исходное равенство известные величины:

[frac{color{red}{28}}{DB}=frac{color{red}{63}}{color{red}{27}}=frac{AC}{DE}]

Первые две дроби образуют пропорцию, из которой вновь легко найти $DB$:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=12]

Осталось найти $AD$:

[begin{align}AD &=AB-BD= \ &=color{red}{28}-color{red}{12}=16 end{align}]

Ответ: а) $BD=12$; б) $AD=16$.

Важное замечание по работе с пропорциями. Ни в коем случае не нужно перемножать числа в числителе.

Напротив: нужно разложить их на множители и сократить!

Взгляните:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=frac{4cdotcolor{blue}{7}cdot 3cdotcolor{green}{9}}{color{blue}{7}cdotcolor{green}{9}}=12]

Так вы сэкономите время, избежите умножения столбиком и защитите себя от множества ошибок. Никогда не умножайте большие числа, если дальше их нужно будет сокращать.

Задача 3. Доказательство подобия

Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны.

Решение. Сделаем первоначальный рисунок по условию задачи:

Здесь нет прямых, параллельных сторонам треугольника, поэтому лемма о подобных треугольниках не поможет. Докажем подобие по определению.

Сначала разберёмся с углами. Поскольку $ABCD$ — квадрат, и $KD=MD$ — половина стороны квадрата, треугольники $MDK$ и $BCD$ — прямоугольные и равнобедренные.

Все острые углы треугольников $MDK$ и $BCD$ равны 45°. Можем записать это так:

[begin{align}angle BCD &=angle MDK={90}^circ \ angle CBD &=angle DMK={45}^circ \ angle CDB &=angle DKM={45}^circ \ end{align}]

Дополнительное построение: диагональ квадрата $color{red}{AC}$:

Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KM$ — средняя линия, поэтому $KM={color{red}{AC}}/{2};$. С другой стороны, $AC=BD$ как диагонали квадрата. Поэтому верно равенство

[frac{KM}{BD}=frac{KM}{color{red}{AC}}=frac{1}{2}]

Но тогда выполняется следующее равенство:

[frac{MD}{BC}=frac{DK}{CD}=frac{MK}{BD}=frac{1}{2}]

А это вместе с равенством углов как раз и означает, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны:

[Delta MDKsim Delta BCD]

Доказательство завершено.

Мы доказали подобие треугольников по определению. Если пользоваться признаками подобия, всё будет намного быстрее. Но пока мы не вправе пользоваться этими признаками.

Задача 4. Вписанный ромб

В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEK$ так, как показано на рисунке. Найдите сторону ромба, если $AB=10$, $BC=15$.

Решение. Пусть искомая сторона ромба равна $color{red}{x}$. Из условия задачи получим такой рисунок:

Зная, что $AB=10$ и $BC=15$, выразим $AK$ и $CD$:

[begin{align}AK &=10-color{red}{x} \ CD &=15-color{red}{x} \ end{align}]

Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BDEK$ — ромб, то $KEparallel BC$. По лемме о подобных треугольниках имеем:

[Delta ABCsim Delta AKE]

В подобных треугольниках подобные стороны пропорциональны, поэтому

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{KE}=frac{AC}{AE}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно или выражено через $color{red}{x}$:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}=frac{AC}{AE}]

Последняя дробь оказалась бесполезной. Вычеркнем её и получим пропорцию:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}]

Применяем основное свойство пропорции и уравнение:

[begin{align}10cdotcolor{red}{x} &=15cdot left( 10- color{red}{x} right) \ 2cdotcolor{red}{x} &=3cdot left( 10- color{red}{x} right) \ &cdots\ color{red}{x} &=6 end{align}]

Это и есть искомая сторона ромба. Она равна $color{red}{x}=6$.

Ответ: $BD=6$.

Задача 5. Свойства биссектрисы

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=12$, угол $ABC={120}^circ $. Отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите длину $BD$.

Решение. Из условия задачи можно сделать вот такой рисунок:

Поскольку $BD$ — биссектриса угла в треугольнике, точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Это можно записать так:

[frac{AD}{CD}=frac{AB}{CB}=frac{color{red}{8}}{color{red}{12}}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $AD=color{blue}{2x}$, $CD=color{blue}{3x}$.

Дополнительное построение: прямая $DMparallel AB$:

Рассмотрим угол $ACB$. Поскольку $DMparallel AB$, по теореме о пропорциональных отрезках получаем, что

[frac{BM}{CM}=frac{AD}{CD}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Вновь обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $BM=color{blue}{2y}$, $CM=color{blue}{3y}$. Но тогда

[BC=BM+MC=color{blue}{5y}=color{red}{12}]

Получаем, что $color{blue}{y}=color{red}{2,4}$. Отсюда легко найти длину $BM$:

[BM=color{blue}{2y}=2cdotcolor{red}{2,4}= color{red}{4,8}]

Далее заметим, что если угол $ABC$ равен 120°, то

[angle ABD=angle CBD={60}^circ ]

С другой стороны, прямые $AB$ и $MD$ параллельны по построению. Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.

Следовательно, углы $ABD$ и $BDM$ — внутренние накрест лежащие, поэтому

[angle BDM=angle ABD={60}^circ ]

Рассмотрим треугольник $BDM$. В нём есть два угла по 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник:

[BD=BM=color{red}{4,8}]

Мы нашли длину отрезка $BD$. Задача решена.

Ответ: $BD=4,8$.

Итак, с определением разобрались. В следующем уроке разберём признаки подобия.:)

Смотрите также:

1. Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
2. Теорема менелая
3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
4. Введение системы координат
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Нестандартная задача B5 на площадь круга

План урока:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН <АС₁, рассматривается аналогично, и также получается противоречие. Эти противоречия означают, что на самом деле точка Н должна совпадать с С₁, то есть справедливо равенство

ч.т. д.

Теперь, доказав обобщенную теорему Фалеса, мы можем перейти к первому признаку подобия треугольников.

Действительно, пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых

Так как сумма углов у любого треуг-ка постоянна и составляет 180°, то должны быть одинаковы и третьи углы:

При таком наложении прямые ВС и В₁С₁ окажутся параллельными, так как соответственные углы ∠В₁С₁А и ∠ВСА одинаковы. Но параллельные прямые должны отсекать на сторонах угла пропорциональные отрезки, то есть

У ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ углы одинаковы, а лежащие напротив них стороны пропорциональны, следовательно, это подобные треуг-ки.

Задание. Прямая, параллельная стороне AВ ∆AВС, пересекает стороны ВС и АС в точках Е и Р. Известно, что ЕС = 2, ВЕ = 3, ЕР = 3,2. Какова длина AВ?

Решение. В данной задаче есть только два треуг-ка, ∆AВС и ∆РЕС. Докажем их подобие. У них есть общий∠С, а ∠СЕР = ∠СВА, ведь это односторонние углы при параллельных прямых ЕР и AВ. Отсюда следует, что ∆AВС∾∆РЕС. Значит, ∠А = ∠СРЕ.

Далее надо найти коэффициент подобия. Стороны СЕ и ВС лежат против равных углов∠А и ∠СРЕ, поэтому они сходственные.

Задание. По данным рисунка найдите длину КЕ:

Решение. На рисунке показано, что ∠ВСА = ∠СКЕ, а∠А = ∠Е = 90°. То есть у ∆AВС и ∆СКЕ есть два одинаковых угла, и, следовательно, они подобны. Сходственными будут являться стороны AВ и ЕС, с их помощью найдем коэффициент подобия:

Задание. Основания трапеции имеют длины 5 и 8 см. Длины ее боковых сторон составляют 3,6 и 3,9 см. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Определите расстояние от М до вершин меньшего основания.

Решение. Для начала выполним построение:

Отрезки ВС и АD параллельны, так как они являются основаниями трапеции. Отсюда получаем равенство соответственных углов:

Теперь посмотрим на ∆АМD и ∆ВМС. МЫ только что выяснили, что у них есть одинаковые углы (∠МВС и ∠МАD), а ∠М является общим для них. Тогда получаем, что эти треуг-ки подобны. Стороны ВС и AD будут сходственными, так как лежат против одного и того же ∠М, поэтому по их длине можно найти коэффициент подобия:

Для нахождения МВ обозначим его длину как х. Тогда отрезок АМ будет иметь длину х + 3,9. Но из подобия треуг-ков следует такое соотношение:

Подставив сюда значение k и выраженные через х длины АМ и МВ, получим уравнение:

МС можно найти таким же путем, обозначив его длину как у. Тогда отрезок МD будет равен у + 3,6, и можно составить уравнение:

Второй и третий признаки подобия треугольников

Существует ещё два признака подобия треуг-ков, которые в решении задач используются значительно реже. Они выводятся непосредственно из первого признака.

Докажем второй признак подобия. Пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, для которых выполняются соотношения:

Необходимо доказать, что они подобны. Для этого построим ещё один ∆AВС₂, который будет иметь общую сторону с ∆AВС, причем точку С₂ мы выберем так, что будут выполняться условия:

∆А₁В₁С₁ и ∆AВС₂ будут подобными, ведь у них одинаковы два угла. Значит, будет выполняться соотношение

Но тогда ∆AВС и ∆AВС₂ будут равными, ведь у них одинаковы две стороны и угол, образованный этими сторонами:

В итоге у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ оказываются два одинаковых угла, то есть они подобны друг другу

ч. т. д.

Задание. На стороне угла отмечены точки A и В так, что AВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отмечены точки С и D так, что AD = 8 cм и AF = 10 см. Подобны ли ∆АСD и ∆AFB? 

Решение.

У рассматриваемых треуг-ков есть общий угол ∠А. Найдем отношение сторон, прилегающих к этому углу.

Отношения одинаковы, значит, треуг-ки подобны.

Примечание. В данном случае важно понимать, какие стороны надо делить друг на друга. У ∆АСD известны стороны АС и АD, равные 16 и 8 см. У ∆AFB известны AF и AB, которые составляют 10 и 5 см. Делить надо большую сторону одного треуг-ка на большую сторону другого треуг-ка, то есть 16 на 10. Потом же делим меньшие стороны, то есть 8 на 5.Если получили одно и тоже число, то это значит, что рассмотренные треуг-ки подобны, причем полученное число как раз и является коэффициентом подобия.

Рассмотрим третий признак подобия треуг-ков.

Докажем его. Пусть у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ пропорциональны их стороны:

Можно заметить, что ∆AВС₂ и ∆А₁В₁С₁ подобны, ведь у них совпадают два угла. Тогда верны соотношения:

Самая левая дробь в обоих случаях одинакова, а в других отличны лишь числители. Значит, эти числители одинаковы:

Но тогда у ∆AВС и ∆AВС₂ совпадают все стороны, то есть эти треуг-ки равные. Следовательно. Так как ∆AВС₂ подобен ∆А₁В₁С₁, то и равный ему ∆AВС также подобен ∆А₁В₁С₁

ч. т. д.

Задание. Подобны ли ∆AВС и ∆DEF, если их стороны имеют длины:

Решение.

Для проверки достаточно просто поделить длины сторон друг на друга. При этом большую сторону одного треуг-ка будем делить на большую сторону другого, а меньшую – на меньшую. Если в результате отношение всех трех сторон будет одинаково, то можно утверждать, что треуг-ки подобны:

Все три раза мы получали число 2, именно оно и является коэффициентом подобия треуг-ков.

Отношение площадей подобных треугольников

Если треуг-ки подобны, то их стороны отличаются в k раз, где k– коэффициент подобия. А как соотносятся друг с другом длины их высот, медиан и других характерных отрезков. Несложно догадаться, что они также отличаются в k раз.

Докажем это на примере высот. Пусть есть подобные ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, причем их коэффициент подобия равен k:

Проведем в них высоты СН и С₁Н₁:

Теперь сравним ∆АСН и ∆А₁С₁Н₁. Из подобия ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ следует, что

Аналогично можно доказать, что в k раз будут отличаться длины медиан и биссектрис.

А каким будет отношение площадей подобных треугольников?Оказывается, что они отличаются уже в k² раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k² раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

9:2 = 4,5 м

Ответ: 4,5 м.

Соотношения в треугольнике

228. В этой главе мы будем главным образом понимать под обозначениями отрезков AB, AC и т. д. выражающие их числа.

Мы знаем (п. 226), что если даны геометрически два отрезка a и b, то мы можем построить средний пропорциональный между ними. Пусть теперь отрезки даны не геометрически, а числами, т. е. под a и b будем понимать числа, выражающие 2 данных отрезка. Тогда нахождение среднего пропорционального отрезка сведется к нахождению числа x из пропорции a/x = x/b, где a, b и x числа. Из этой пропорции имеем:

x² = ab
x = √ab

229. Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC (чер. 224).

Опустим из вершины его прямого угла (∠B прямой) перпендикуляр BD на гипотенузу AC. Тогда из п. 225 мы знаем:

1) AC/AB = AB/AD и 2) AC/BC = BC/DC.

Отсюда мы получаем:

AB² = AC · AD и BC² = AC · DC.

Сложив по частям полученные равенства, получим:

AB² + BC² = AC · AD + AC · DC = AC(AD + DC).

т. е. квадрат числа, выражающего гипотенузу, равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты прямоугольного треугольника.

Сокращенно говорят: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Если мы дадим полученной формуле геометрическое толкование, то получим уже известную нам теорему Пифагора (п. 161):

квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Из уравнения AB² + BC² = AC² иногда приходится находить катет прямоугольного треугольника, по гипотенузе и другому катету. Получим, напр.:

AB² = AC² – BC² и, следов.,

230. Найденное числовое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника позволяет решать множество вычислительных задач. Решим некоторые из них:

1. Вычислить площадь равностороннего треугольника по данной его стороне.

Пусть ∆ABC (чер. 225) равносторонний и каждая его сторона выражается числом a (AB = BC = AC = a). Для вычисления площади этого треугольника надо узнать сначала его высоту BD, которую мы назовем чрез h. Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота BD делит основание AC пополам, т. е. AD = DC = a/2. Поэтому из прямоугольного треугольника DBC имеем:

BD² = BC² – DC²,

или

h² = a² – a²/4 = 3a²/4 (выполняем вычитание).

Отсюда имеем:

(выносим множитель из под корня).

Следовательно, называя число, выражающее площадь нашего треугольника, чрез Q и зная, что площадь ∆ABC = (AC · BD)/2, находим:

Мы можем смотреть на эту формулу, как на один из способов измерения площади равностороннего треугольника: надо измерить его сторону в линейных единицах, возвести найденное число в квадрат, умножить полученное число на √3 и разделить на 4 — получим выражение площади в квадратных (соответствующих) единицах.
2. Стороны треугольника равны 10, 17 и 21 лин. един. Вычислить его площадь.

Опустим высоту h в нашем треугольнике (чер. 226) на большую сторону — она непременно пройдет внутри треугольника, так как в треугольнике тупой угол может быть расположен только против большей стороны. Тогда большая сторона, = 21, разделится на 2 отрезка, один из которых обозначим чрез x (см. чертеж) — тогда другой = 21 – x. Получим два прямоугольных треугольника, из которых имеем:

h² = 10² – x² и h² = 17² – (21 – x)²

Так как левые части этих уравнений одинаковы, то

10² – x² = 17² – (21 – x)²

Выполняя действия получим:

10² – x² = 289 – 441 + 42x – x²

Упрощая это уравнение, найдем:

42x = 252,

откуда

x = 6

Тогда из уравнения h² = 10² – x², получим:

h² = 10² – 6² = 64

и, следовательно,

h = √64 = 8

Тогда искомая площадь найдется:

Q = (21 · 8)/2 квад. един. = 84 квад. един.

3. Можно решить общую задачу:

как вычислить площадь треугольника по его сторонам?

Пусть стороны треугольника ABC выражены числами BC = a, AC = b и AB = c (чер. 227). Положим, что AC есть большая сторона; тогда высота BD пойдет внутри ∆ABC. Назовем: BD = h, DC = x и тогда AD = b – x.

Из ∆BDC имеем: h² = a² – x².

Из ∆ABD имеем: h² = c² – (b – x)²,

откуда a² – x² = c² – (b – x)².

Решая это уравнение, последовательно получаем:

2bx = a² + b² – c² и x = (a² + b² – c²)/2b.

Далее, подставляя это выражение в уравнение h² = a² – x², найдем

(Последнее написано на том основании, что числителя 4a²b² – (a² + b² – c²)² можно рассматривать, как равность квадратов, которую разлагаем на произведение суммы на разность).

Или

Эту формулу преобразовывают, вводя периметр треугольника, который обозначим чрез 2p, т. е.

a + b + c = 2p

Вычитая по 2c из обеих частей равенства, получим:

a + b + c – 2c = 2p – 2c или a + b – c = 2(p – c):

Также найдем:

c + a – b = 2(p – b) и c – a + b = 2(p – a).

Тогда получим:

(p выражает полупериметр треугольника).
Этою формулою можно пользоваться для вычисления площади треугольника по трем его сторонам.

231. Упражнения.

1. Основание равнобедренного треугольника равно 10 дм., а его площадь = 60 кв. дм. Найти (вычислить) его периметр.
2. Параллельные стороны равнобочной трапеции равны 16 и 40 дм., а каждая из непараллельных сторон = 37 дм. Вычислить его площадь.
3. Стороны трапеции равны: параллельные 15 и 36 дм., а непараллельные 13 и 20 дм. Вычислить их площадь.
4. Сторона ромба и его меньшая диагональ одинаковы. Найти формулу для измерения площади такого ромба по его стороне.
5. Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 8 дм. Найти отрезок гипотенузы, заключенный между биссектором прямого угла треугольника и высотою, опущенною из вершины прямого угла.
6. Биссектор прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на 2 отрезка, равные соответственно лин. един. Вычислить его площадь.
7. Найти сторону квадрата, равновеликого равнобедренному треугольнику, боковая сторона которого = 12 ½ лин. един., а высота относится к основанию, как 2 : 3.
8. Стороны параллелограмма равны a и b и один из его углов = 45°. Найти формулу для его площади.
9. Угол параллелограмма = 30°; выразить его площадь чрез его стороны (a и b).

232. В п. 229 мы нашли зависимость между сторонами прямоугольного треугольника. Можно найти подобную же зависимость для сторон (с присоединением еще одного отрезка) косоугольного треугольника.

Пусть имеем сначала ∆ABC (чер. 228) такой, чтобы ∠A был острый. Постараемся найти выражение для квадрата стороны BC, лежащей против этого острого угла (подобно тому, как в п. 229 нашли выражение для квадрата гипотенузы).

Построив BD ⊥ AC, получим из прямоугольного треугольника BDC:

BC² = BD² + DC²

Заменим BD2, определяя его из ABD, откуда имеем:

BD² = AB² – AD²,

а отрезок DC заменим чрез AC – AD (очевидно, что DC = AC – AD). Тогда получим:

BC² = AB² – AD² + (AC – AD)² = AB² – AD² + AC² – 2AC · AD + AD²

Выполнив приведение подобных членов, найдем:

BC² = AB² + AC² – 2AC · AD.

Эта формула читается: квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, минус удвоенное произведение одной из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты.

233. Пусть теперь ∠A и ∆ABC (чер. 229) тупой. Найдем выражение для квадрата стороны BC, лежащей против тупого угла.

Построив высоту BD — она теперь расположится несколько иначе: на 228 где ∠A острый, точки D и C располагаются по одну сторону от A, а здесь, где ∠A тупой, точки D и C расположатся по разные стороны от A. Тогда из прямоугольного ∆BDC получим:

BC² = BD² + DC²

Мы можем BD2 заменить, определяя его из прямоугольного ∆BDA:

BD² = AB² – AD²,

а отрезок DC = AC + AD, что очевидно. Заменяя, получим:

BC² = AB² – AD² + (AC + AD)² = AB² – AD² + AC² + 2AC · AD + AD²

Выполняя приведение подобных членов найдем:

BC² = AB² + AC² + 2AC · AD,

т. е. квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, плюс удвоенное произведение одной из них на ее отрезок от вершины тупого угла до высоты.
Эта формула, а равно и формула п. 232, допускают геометрическое истолкование, которое легко найти.

234. Пользуясь свойствами пп. 229, 232, 233, мы можем, если нам даны стороны треугольника в числах, узнать, есть ли у этого треугольника прямой или тупой угол.

Прямой или тупой угол в треугольнике может быть расположен лишь против большей стороны, каков же угол против нее, легко узнать: этот угол острый, прямой или тупой, смотря по тому, будет ли квадрат большей стороны меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

Узнать, имеется ли прямой или тупой угол в следующих треугольниках, определяемых своими сторонами:

1) 15 дм., 13 дм. и 14 дм.; 2) 20, 29 и 21; 3) 11, 8 и 13; 4) 7, 11 и 15.

235. Пусть имеем параллелограмм ABCD (чер. 230); построим его диагонали AC и BD и его высоты BK ⊥ AD и CL ⊥ AD.

Тогда, если ∠A (∠BAD) острый, то ∠D (∠ADC) непременно тупой (ибо их сумма = 2d). Из ∆ABD, где ∠A считаем острым, имеем:

BD² = AB² + AD² – 2AD · AK,

а из ∆ACD, где ∠D тупой, имеем:

AC² = AD² + CD² + 2AD · DL.

Заменим в последней формуле отрезок AD равным ему отрезком BC и DL равным ему AK (DL = AK, ибо ∆ABK = ∆DCL, в чем легко убедиться). Тогда получим:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.

Сложив выражение для BD2 с последним выражением для AC², найдем:

BD² + AC² = AB² + AD² + BC² + CD²,

так как члены –2AD · AK и +2AD · AK взаимно уничтожаются. Полученное равенство можем прочитать:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

236. Вычисление медианы и биссектора треугольника по его сторонам. Пусть в треугольнике ABC (чер. 231) построена медиана BM (т. е. AM = MC). Зная стороны ∆ABC: BC = a, AC = b и AB = c, вычислить медиану BM.

Продолжим BM и отложим отрезок MD = BM. Соединив D с A и D с C, получим параллелограмм ABCD (выяснить это легко, так как ∆AMD = ∆BMC и ∆AMB = ∆DMC).

Называя медиану BM чрез m, получим BD = 2m и тогда, пользуясь предыдущим п., имеем:

237. Вычисление радиуса, описанного около треугольника круга. Пусть около ∆ABC (чер. 233) описан круг O. Построим диаметр круга BD, хорду AD и высоту треугольника BH.

Тогда ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d — угол A прямой, потому что он вписанный, опирающийся на диаметр BD и ∠D = ∠C, как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB). Поэтому имеем:

BD/BC = AB/BH,

или, называя радиус OB чрез R, высоту BH чрез h и стороны AB и BC, как и раньше, соответственно чрез c и a:

2R/a = c/h,

откуда

R = ac/2h,

но площадь ∆ABC = Q = bh/2, откуда h = 2Q/b.

Следовательно, R = (abc) / (4Q).

Мы умеем (п. 230 зад. 3) вычислять площадь треугольника Q по его сторонам. Отсюда можем вычислить R по трем сторонам треугольника.

238. Вычисление радиуса вписанного в треугольник круга. Впишем в ∆ABC, стороны которого даны (чер. 234), круг O. Соединив его центр O с вершинами треугольника и с точками касания D, E и F сторон к кругу, найдем, что радиусы круга OD, OE и OF служат высотами треугольников BOC, COA и AOB.

Называя радиус вписанного круга чрез r, имеем:

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что

Докажем, что

Предположим, что  Пусть серединой отрезка является некоторая точка Тогда отрезок — средняя линия треугольника

Отсюда
Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой  что противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно,

Предположим, что Пусть серединой отрезка является некоторая точка Тогда отрезок — средняя линия трапеции Отсюда Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой Мы пришли к противоречию. Следовательно,
Аналогично можно доказать, что и т. д. 

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно  Записывают:
Если   то говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если то говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми (рис. 113). Докажем, что: 
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной , который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем:  — некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на равных отрезков, каждый из которых равен .

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки соответственно на равных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен  Отсюда  

Имеем:  Отсюда  Тогда 

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса. 

Если рисунок 113 дополнить прямой параллельной прямой (рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что 

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Таким образом, медиана пересекая медиану делит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана также делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану в отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы и

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что 

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то  Отсюда  Тогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках   Поскольку BE = ВС, то 

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А₁. Затем отметим точки так, чтобы  Проведем отрезок А₂В. Через точки A₁ и А₂ проведем прямые, параллельные прямой Они пересекут отрезок АВ в точках В₁ и В₂ соответственно. По теореме Фалеса

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

На рисунке 131 изображены треугольники у которых равны углы:

Стороны лежат против равных углов Такие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны 

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники  у которых и  По определению эти треугольники подобны. Пишут: (читают: «треугольник АВС подобен треугольнику »).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику  с коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут:
Поскольку  то можно также сказать, что треугольник подобен треугольнику АВС с коэффициентом  Пишут:

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если  

Докажите это свойство самостоятельно.

Лемма¹ о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.
 

¹Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок параллелен стороне АС. Докажем, что

Углы равны как соответственные при параллельных прямых и секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников выполняются условия  то по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники , у которых Докажем, что

Если то треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Отложим на стороне ВА отрезок равный стороне Через точку проведем прямую параллельную стороне АС (рис. 140).

Углы — соответственные при параллельных прямых и секущей Отсюда Але  Получаем, что  Таким образом, треугольники и равны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Следовательно,

Пример №1

Средняя линия трапеции равна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда 
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см. 

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда  
Отсюда AM • МВ = DM • МС. 

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Угол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Отсюда Следовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда 
Отсюда

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( вв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки   а на продолжении стороны АС — точку   Для того чтобы точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки лежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую (рис. 153, а). Поскольку то треугольники АМС₁ и BNC₁ подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда 
Из подобия треугольников BNA₁ и СРА₁ получаем:    
Из подобия треугольников следует равенство

Перемножив почленно левые и правые части пропорции

получаем равенство

  

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки лежат на одной прямой.
Пусть прямая пересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A₂ (рис. 153, б). Поскольку точки лежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать:

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что то есть точки делят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая пересекает сторону ВС в точке
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки лежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что 

На диагонали АС отметим точку К так, что Углы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда  то есть 

Поскольку  Углы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому  Отсюда  то есть  

Сложив равенства (1) и (2), получаем: 

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники  в которых Докажем, что

Если k = 1, то  а следовательно, треугольники   равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть и На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки так, что (рис. 160). Тогда

Покажем, что Предположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что 
Имеем: тогда то есть
Следовательно, буквами М и С₂ обозначена одна и та же точка. Тогда
По лемме о подобных треугольниках получаем, что

Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники в которых    Докажем, что 

Если k = 1, то треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки такие, что (рис. 161). Тогда  

В треугольниках угол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда

Учитывая, что по условию  получаем: 
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что получаем:

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки  — высоты треугольника АВС. Докажем, что
В прямоугольных треугольниках острый угол В общий. Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда    

Тогда    Угол В — общий для треугольников  Следовательно, треугольники АВС и подобны по второму признаку подобия треугольников. 

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный то его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = (рис. 167).

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник (рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника . Для этой окружности угол является центральным, а угол — вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Углы ВАС и равны как противолежащие углы параллелограмма поэтому Поскольку то равнобедренные треугольники подобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и — соответственные высоты подобных треугольников, то АН = 
Докажем теперь основную теорему.

Поскольку точка М₁ — середина стороны ВС, то отрезок AM₁ — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Поскольку то Углы равны как вертикальные. Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Значит, точка М делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично. 

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

• Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

• Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

• Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

• Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

• Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

• Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков и называют отношение их длин, то есть 

Говорят, что отрезки и пропорциональные отрезкам и

если  

Например, если 

  то  действительно

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка и  пропорциональны трем отрезкам и если

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые  и пересекают стороны угла (рис. 123). Докажем, что

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков и являются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины который можно отложить целое число раз и на отрезке  и на отрезке

Пусть и – рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями:  Поэтому

Имеем:

2) Разделим отрезок на  равных частей длины  а отрезок  – на равных частей длины  Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой (рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок на равных отрезков длины  причем будет состоять из таких отрезков, а  – из  таких отрезков. 

Имеем: 

3) Найдем отношение  и  Будем иметь:

 и 

Следовательно, 

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. 

Следствие 2. 

Доказательство:

Поскольку то 

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

 то есть 

Учитывая, что 

будем иметь:

Откуда

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки  Постройте отрезок

Решение:

Поскольку то и

Для построения отрезка можно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной (рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок а на другой – отрезки и

2) Проведем прямую Через точку параллельно проведем прямую, точку пересечения которой со стороной угла обозначим через  то есть

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

 откуда  Следовательно,

Построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезков и так как для этих отрезков верно равенство:

А еще раньше…

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. – 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники и подобны (рис. 127), то

и

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно  Число называют коэффициентом подобия треугольника к треугольнику  или коэффициентом подобия треугольников и

Подобие треугольников принято обозначать символом  В нашем случае  Заметим, что из соотношения следует соотношение

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть  и

Тогда

Имеем:

Пример №7

Стороны треугольника относятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника равна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию и то

Обозначим  По условию  тогда (см). Имеем:  

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

А еще раньше…

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры – суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая пересекает стороны и треугольника соответственно в точках и (рис. 129). Докажем, что

1) – общий для обоих треугольников,  (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей  (аналогично, но для секущей Следовательно, три угла треугольника равны трем углам треугольника

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

 

3) Докажем, что 

Через точку проведем прямую, параллельную  и пересекающую в точке  Так как – параллелограмм, то  По обобщенной теореме Фалеса:  

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Но Следовательно, 

4) Окончательно имеем: и  а значит,

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и  у которых  и  (рис. 130). Докажем, что

1) Отложим на стороне  треугольника отрезок и проведем через прямую, параллельную (рис. 131). Тогда (по лемме).

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса  Но (по построению). Поэтому  По условию  следовательно,  откуда 

3) Так как  и  то  (по двум сторонам между ними). 

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но  следовательно,

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и  у которых  (рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем:

2)  но Поэтому

3) Тогда (по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно,

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и у которых  (рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем:

2) Тогда  но поэтому

 Учитывая, что

 имеем:

3) Тогда (по трем сторонам).

4) Следовательно, 

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника  и  Но  значит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Ответ. Да.

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, – 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть – параллелограмм (рис. 132).  – высота параллелограмма. Проведем – вторую высоту параллелограмма.

(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда  то есть  откуда 

Ответ. 12 см.

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть – прямоугольный треугольник – высота треугольника (рис. 145). Докажем, что и

1)    У прямоугольных треугольников  и угол – общий. Поэтому (по острому углу).

2) Аналогично -общий,  Откуда

3) У треугольников и

Поэтому  (по острому углу). 

Отрезок называют проекцией катета на гипотенузу а отрезок – проекцией катета на гипотенузу 

Отрезок называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков  и , если

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1)  (по лемме). Поэтому  или

2) (по лемме). Поэтому или

 (по лемме). Поэтому или

Пример №10

– высота прямоугольного треугольника 

с прямым углом Докажите, что

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

то а так как то

 Поэтому откуда

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где  

1) 

2)  то есть  Так как  то

3)  Так как то 

4)

Ответ. 60 см.

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть – биссектриса треугольника (рис. 147). Докажем, что 

1) Проведем через точку прямую, параллельную и продлим биссектрису до пересечения с этой прямой в точке Тогда (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей

2) – равнобедренный (так как и то а значит,

3) (как вертикальные), поэтому (по двум углам). Следовательно, 

Но таким образом 

Из пропорции  можно получить и такую: 

Пример №12

В треугольнике   – биссектриса треугольника. Найдите  и

Решение:

Рассмотрим (рис. 147). Пусть

тогда  Так как  имеем уравнение:  откуда

Следовательно,

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике   медиана (рис. 148).

Тогда  является также высотой и биссектрисой. Поскольку точка – центр вписанной окружности – является точкой пересечения биссектрис треугольника, то – радиус окружности.

Учитывая, что  обозначим  Так как – середина  то 

– биссектриса треугольника  поэтому 

Пусть  Тогда  Имеем:  откуда 

Ответ. 6 см.

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды и пересекаются в точке то

Доказательство:

Пусть хорды и пересекаются в точке (рис. 150). Рассмотрим и у которых  (как вертикальные), (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Тогда (по двум углам), а значит, откуда

Следствие. Если — центр окружности, — ее радиус, – хорда, то  где 

Доказательство:

Проведем через точку диаметр (рис. 151). Тогда

Окончательно имеем:

Пример №14

AL – биссектриса треугольника  Докажите формулу биссектрисы:

Доказательство:

Опишем около треугольника окружность и продлим до пересечения с окружностью в точке (рис. 152).

1) (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу   (по условию). Поэтому (по двум углам).

2) Имеем: откуда

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд: 

3) Следовательно,

 то есть

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки лежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках и и касательную  где — точка касания, то

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153.  (как вписанный угол),  , то

есть  Поэтому  (по двум углам),

значит,  Откуда

Следствие 1. Если из точки  провести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках и а другая – в точках и  то

Так как по теореме каждое из произведений  и равно то следствие очевидно.

Следствие 2. Если  — центр окружности,  — ее радиус, – касательная, – точка касания, то  где

Доказательство:

Проведем из точки  через центр окружности секущую (рис. 154), и – точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

но поэтому

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели (рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь с планкой, которая вращается вокруг точки Направим планку на верхнюю точку  ели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку  в которой планка упирается в поверхность земли.

Рассмотрим и у них общий, поэтому (по острому углу).

Тогда  откуда 

Если, например,  то 

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник у которого углы и равны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану треугольника и откладываем на прямой отрезок  равный данному.

3) Через точку проводим прямую, параллельную  Она пересекает стороны угла в некоторых точках и  (рис. 157).

4) Так как  то  Значит, два угла треугольника  равны данным.

Докажем, что – середина

(по двум углам). Поэтому

(по двум углам). Поэтому 

Получаем, что  то есть  Но  (по построению), поэтому  и 

Следовательно, – медиана треугольника и треугольник – искомый. 

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной  называется частное их длин, т.е. число  

Иначе говоря, отношение  показывает, сколько раз отрезок  и его части укладываются в отрезке  Действительно, если отрезок  принять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка 

Отрезки длиной  пропорциональны отрезкам длиной  если 

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку 

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: 

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение  показывает, сколько раз отрезок  укладывается в отрезке  а отношение  сколько раз отрезок  укладывается в отрезке Теорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков  Действительно, прямые, параллельные  «переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок  «переходит» в отрезок  десятая часть отрезка  — в десятую часть отрезка  и т.д. Поэтому если отрезок  укладывается в отрезке  раз, то отрезок  укладывается в отрезке  также  раз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку  то  и следствие данной теоремы можно записать в виде  На такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Постройте отрезок 

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол  и отложим на одной его стороне отрезки  и  а на другой стороне — отрезок  (рис. 91).

Проведем прямую  и прямую, которая параллельна  проходит через точку  и пересекает другую сторону угла в точке  По теореме о пропорциональных отрезках  откуда Следовательно, отрезок  — искомый.

Заметим, что в задаче величина  является четвертым членом пропорции  Поэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники 

Подобие этих треугольников кратко обозначают так:  В этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: 

Число  равное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть с коэффициентом подобия  Это означает, что  т.е.  Имеем:

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

 Пусть даны треугольники  и  в которых , (рис. 99).

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что  Отложим на луче  отрезок  равный  и проведем прямую  параллельную  Тогда  как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому  по второму признаку, откуда  По теореме о пропорциональных отрезках  следовательно  Аналогично доказываем что  Таким образом по определению подобных треугольников  Теорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции  диагонали пересекаются в точке  (рис. 100).

Рассмотрим треугольники  В них углы при вершине  равны как вертикальные,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Тогда  по двум углам. Отсюда следует, что  По скольку по условию значит,  Тогда 
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. 

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

 Пусть даны треугольники  в которых  (рис. 101).

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче  отрезок равный  и проведем прямую  параллельную  Тогда  как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому  по двум углам. Отсюда  а поскольку  Тогда  по первому признаку равенства треугольников, следовательно,  по двум углам. Теорема доказана. 

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны  треугольника  делит каждую из них в отношении  начиная от вершины  Докажите, что эта прямая параллельна 

Решение:

Пусть прямая  пересекает стороны  треугольника  в точках  соответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Тогда треугольники  подобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что  Но эти углы являются соответственными при прямых  и секущей  Следовательно,  по признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

 Пусть в треугольниках (рис. 103).

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче  отрезок  равный отрезку  и проведем прямую  параллельную  Тогда  как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому  по двум углам. Отсюда  а поскольку  то  Учитывая, что  имеем  Аналогично доказываем, что Тогда  по третьему признаку равенства треугольников, следовательно,  по двум углам. Теорема доказана. 

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике  с острым углом  проведены высоты  (рис. 110). Докажите, что 

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники  и  Поскольку они имеют общий острый угол  они подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е.  

Рассмотрим теперь треугольники  У них также общий угол , а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно,  по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок  называется средним пропорциональным между отрезками  если 

В прямоугольном треугольнике  с катетами  и гипотенузой  проведем высоту  и обозначим ее  (рис. 111).

Отрезки  на которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов  на гипотенузу обозначают  соответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Доказательство:

 По признаку подобия прямоугольных треугольников  (у этих треугольников общий острый угол   (у этих треугольников общий острый угол  и  (острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника  Из подобия треугольников  имеем:  откуда  Аналогично из подобия треугольников  и  получаем И наконец, из подобия треугольников  и  имеем  откуда  Теорема доказана. 

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике  (рис. 112).

Из метрического соотношения в треугольнике  получаем: откуда  тогда  Из соотношения  имеем:  откуда  Следовательно, 

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство:

 Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами  и гипотенузой  (рис. 117) 

Складывая эти равенства почленно, имеем: 

Теорема доказана. 

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если  то

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть  — высота треугольника  в котором  (рис. 118).

Поскольку  — наибольшая сторона треугольника, то точка  лежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка  равной  см, тогда  По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника  имеем:  а из прямоугольного треугольника  имеем:  т.е. Приравнивая два выражения для  получаем:

Таким образом, 

Тогда из треугольника  по теореме Пифагора имеем: 

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если 

Доказательство:

 Пусть в треугольнике  (рис. 119, а)  Докажем, что угол  прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник  с прямым углом  в котором  (рис. 119, б). По теореме Пифагора  а с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников  Тогда  по трем сторонам, откуда 

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный:  Об этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел  для которых выполняется равенство  принято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка  не лежит на прямой   — перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку  с точкой прямой  и не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой  На рисунке 121 отрезок  — наклонная к прямой  точка  — основание наклонной. При этом отрезок  прямой  ограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной  на данную прямую.

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

По данным рисунка 123 это означает, что

Доказательство:

 Пусть  — биссектриса треугольника  Докажем, что 

В случае, если  утверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса  является одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда 

Проведем перпендикуляры  к прямой  (рис. 124). Прямоугольные треугольники  подобны, поскольку их острые углы при вершине  равны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: 

С другой стороны, прямоугольные треугольники  также подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Отсюда следует что  

Сравнивая это равенство с предыдущем  что и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть  — биссектриса прямоугольного треугольника  с гипотенузой  (рис. 125).

По свойству биссектрисы треугольника 

Тогда если  и по теореме Пифагора имеем:

Следовательно, 

тогда 

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что 

Доказательство:

 Пусть хорды  пересекаются в точке  Проведем хорды  Треугольники  подобны по двум углам:  как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине  равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что т.е. 

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что 

Доказательство:

 Пусть из точки  к окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках  и касательная  — точка касания). Проведем хорды  Треугольники  подобны по двум углам: у них общий угол  а углы  и  измеряются половиной дуги   (см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем:  т.е. 

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что 

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника  пересекаются в точке Докажите, что

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции  Элементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников  и (рис. 129). Поскольку  как вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому  Но углы  внутренние накрест лежащие при прямых  и секущей  Следовательно, по признаку параллельности прямых 

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны определяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна  — его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами  Отсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами  проводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Построение:

1.Построим треугольник  в котором 

2.Построим биссектрису угла 

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок 

4.Проведем через точку  прямую, параллельную  Пусть  — точки ее пересечения со сторонами угла  Треугольник  искомый.

Доказательство:

Поскольку по построению  как соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике   — биссектриса и  по построению, 

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии  и ни одного, если 

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:    

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: 

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:  и 

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: 

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если 

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:  

• любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
• равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
• большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Историческая справка:

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид    и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы равны соответственным углам ΔABC: . Но стороны в два раза больше соответственных сторон ΔABC: . Следовательно, треугольник не равен треугольнику ABC. Треугольники и ABC – подобные.

Поскольку = 2АВ, составим отношение этих сторон:

Аналогично получим: . Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять:

Из этого двойного равенства составим три пропорции:

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: и говорим: «Треугольник подобен треугольнику ABC*. Знак заменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись – неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Решение:

В данных треугольниках: ےA = ے,N ےB = ےK, ےC= ےP. Составим отношение сходственных сторон:

Подставим известные длины сторон:

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: , отсюда АВ = 5,6 см;

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

1. определите соответственно равные углы треугольников;
2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях – стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и (рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Докажем, что

Поскольку то

Запишем периметры подобных треугольников АВС и

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 – 1716).

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 – 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Из обобщенной теоремы Фалеса,

поэтому

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: . Но КА = MN, поэтому

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: ‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины На отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = n. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = m. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу

Следовательно, их можно приравнять:

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm < ВМ < d(m + 1).

Поскольку Разделим все члены неравенства на АВ: Если увеличивать количество точек деления, то число n будет бесконечно большим, а число приближённым к нулю. Поэтому отношение отличается от числа на очень малое число .

Аналогично получим:

Итак, соотношение отличается от числа на одно и то же очень малое число . А это возможно, если Отсюда следует, что

2. Отрезок х называется четвёртым пропорциональным трёх заданных отрезков a, b и с, если выполняется равенство а: b = с: х. Для построения четвёртого пропорционального отрезка на стороне произвольного угла от его вершины О откладываем отрезки OA = a, АВ= b, а на другой стороне угла — отрезок ОС = с (рис. 257). Соединив точки А и С, проводим ВХ || АС. Отрезок СХ— искомый, поскольку, по обобщённой теореме Фалеса,

Первый признак подобия треугольников

Для того чтобы установить подобие двух треугольников по определению, необходимо убедиться, что в них соответственные углы равны и сходственные стороны пропорциональны. На практике это неудобно, поэтому используют признаки подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам).

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Совместим наложением , так, чтобы угол А совместился с углом (рис. 273). Это возможно, поскольку ےА = ےАу Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах . Прямые ВС и cообразуют с секущей равные соответственные углы: Из признака параллельности прямых следует, что,

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне , отсекает от треугольника подобный треугольник. Поэтому

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы – по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ ~ ∆COD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ےАОВ = ےCOD как вертикальные, ےОАВ = ےOCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ ~ ∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

1. выделите их на рисунке;
2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы – специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, . Тогда:

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Пусть . Отложим на стороне треугольника отрезок = АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Имеем треугольник , который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику .

Следовательно, Отсюда

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: . Отсюда Из равенства треугольников подобия треугольников следует, что .

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников:

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ےA = ےR.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ےA=ےR,

Следовательно, ∆АВС~∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно:

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: . Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что . То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ےC= 90°, СH— высота.

Доказать:

Доказательство.

1) по двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ےACH— ےCBH

Из подобия треугольников следует: Отсюда = .

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны (рис. 302).

Поэтому

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

no двум углам. В них: , поскольку CL — биссектриса ےС. Отсюда по двум углам.

В них: ےAML = ےBNL = 90°, ےALM— ےBLN как вертикальные.

Отсюда (2)

Из равенств (1) и (2) получим:

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть — искомый. Опустим требование задачи, что I – биссектриса ےB, то есть = I. Тогда можно построить вспомогательный по двум заданным углам А и С. Через точку на биссектрисе ےВ ( = I) проходит прямая , отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины , искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного АВС.

Построение.

1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
2. Проводим биссектрису BL угла В.
3. На луче BL откладываем отрезок = I.
4. Через точку , проводим прямую .

Доказательство.

По построению, в треугольнике : ےAt = ےA, ےCX = ےC, BLy — биссектриса угла В и = I. Следовательно, , — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Докажем это.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے3 = ے4, так как ے1 = ے2 (BD— биссектриса ےKBC);

ے1 = ے3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے2 = ے4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

и АВ>ВС {АВ>АС).

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.