Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на движение.
Задача на нахождение расстояния/скорости/времени
Задача 1. Автомобиль двигается со скоростью 80 км/ч. Сколько километров он проедет за 3 часа?
Решение
Если за один час автомобиль проезжает 80 километров, то за 3 часа он проедет в три раза больше. Чтобы найти расстояние, нужно скорость автомобиля (80км/ч) умножить на время движения (3ч)
80 × 3 = 240 км
Ответ: за 3 часа автомобиль проедет 240 километров.
Задача 2. На автомобиле за 3 часа проехали 180 км с одной и той же скоростью. Чему равна скорость автомобиля?
Решение
Скорость — это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.
Если за 3 часа автомобиль проехал 180 километров с одной и той же скоростью, то разделив 180 км на 3 часа мы определим расстояние, которое проезжал автомобиль за один час. А это есть скорость движения. Чтобы определить скорость, нужно пройденное расстояние разделить на время движения:
180 : 3 = 60 км/ч
Ответ: скорость автомобиля составляет 60 км/ч
Задача 3. За 2 часа автомобиль проехал 96 км, а велосипедист за 6 часов проехал 72 км. Во сколько раз автомобиль двигался быстрее велосипедиста?
Решение
Определим скорость движения автомобиля. Для этого разделим пройденное им расстояние (96км) на время его движения (2ч)
96 : 2 = 48 км/ч
Определим скорость движения велосипедиста. Для этого разделим пройденное им расстояние (72км) на время его движения (6ч)
72 : 6 = 12 км/ч
Узнаем во сколько раз автомобиль двигался быстрее велосипедиста. Для этого найдем отношение 48 к 12
Ответ: автомобиль двигался быстрее велосипедиста в 4 раза.
Задача 4. Вертолет преодолел расстояние в 600 км со скоростью 120 км/ч. Сколько времени он был в полете?
Решение
Если за 1 час вертолет преодолевал 120 километров, то узнав сколько таких 120 километров в 600 километрах, мы определим сколько времени он был в полете. Чтобы найти время, нужно пройденное расстояние разделить на скорость движения
600 : 120 = 5 часов
Ответ: вертолет был в пути 5 часов.
Задача 5. Вертолет летел 6 часов со скоростью 160 км/ч. Какое расстояние он преодолел за это время?
Решение
Если за 1 час вертолет преодолевал 160 км, то за 6 часов, он преодолел в шесть раз больше. Чтобы определить расстояние, нужно скорость движения умножить на время
160 × 6 = 960 км
Ответ: за 6 часов вертолет преодолел 960 км.
Задача 6. Расстояние от Перми до Казани, равное 723 км, автомобиль проехал за 13 часов. Первые 9 часов он ехал со скоростью 55 км/ч. Определить скорость автомобиля в оставшееся время.
Решение
Определим сколько километров автомобиль проехал за первые 9 часов. Для этого умножим скорость с которой он ехал первые девять часов (55км/ч) на 9
55 × 9 = 495 км
Определим сколько осталось проехать. Для этого вычтем из общего расстояния (723км) расстояние, пройденное за первые 9 часов движения
723 − 495 = 228 км
Эти 228 километров автомобиль проехал за оставшиеся 4 часа. Чтобы определить скорость автомобиля в оставшееся время, нужно 228 километров разделить на 4 часа:
228 : 4 = 57 км/ч
Ответ: скорость автомобиля в оставшееся время составляла 57 км/ч
Скорость сближения
Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.
Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причем скорость первого будет 100 м/м, а второго — 105 м/м, то скорость сближения будет составлять 100 + 105, то есть 205 м/м. Это значит, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшáться на 205 метров
Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.
Предположим, что пешеходы встретились через три минуты после начала движения. Зная, что они встретились через три минуты, мы можем узнать расстояние между двумя пунктами.
Каждую минуту пешеходы преодолевали расстояние равное двухсот пяти метрам. Через 3 минуты они встретились. Значит умножив скорость сближения на время движения, можно определить расстояние между двумя пунктами:
205 × 3 = 615 метров
Можно и по другому определить расстояние между пунктами. Для этого следует найти расстояние, которое прошел каждый пешеход до встречи.
Так, первый пешеход шел со скоростью 100 метров в минуту. Встреча состоялась через три минуты, значит за 3 минуты он прошел 100 × 3 метров
100 × 3 = 300 метров
А второй пешеход шел со скоростью 105 метров в минуту. За три минуты он прошел 105 × 3 метров
105 × 3 = 315 метров
Теперь можно сложить полученные результаты и таким образом определить расстояние между двумя пунктами:
300 м + 315 м = 615 м
Задача 1. Из двух населенных пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, а скорость второго — 12 км/ч. Через 2 часа они встретились. Определите расстояние между населенными пунктами
Решение
Найдем скорость сближения велосипедистов
10 км/ч + 12 км/ч = 22 км/ч
Определим расстояние между населенными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения
22 × 2 = 44 км
Решим эту задачу вторым способом. Для этого найдем расстояния, пройденные велосипедистами и сложим полученные результаты.
Найдем расстояние, пройденное первым велосипедистом:
10 × 2 = 20 км
Найдем расстояние, пройденное вторым велосипедистом:
12 × 2 = 24 км
Сложим полученные расстояния:
20 км + 24 км = 44 км
Ответ: расстояние между населенными пунктами составляет 44 км.
Задача 2. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 60 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 14 км/ч, а скорость второго — 16 км/ч. Через сколько часов они встретились?
Решение
Найдем скорость сближения велосипедистов:
14 км/ч + 16 км/ч = 30 км/ч
За один час расстояние между велосипедистами уменьшается на 30 километров. Чтобы определить через сколько часов они встретятся, нужно расстояние между населенными пунктами разделить на скорость сближения:
60 : 30 = 2 часа
Значит велосипедисты встретились через два часа
Ответ: велосипедисты встретились через 2 часа.
Задача 3. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 56 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Через два часа они встретились. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. Определить скорость второго велосипедиста.
Решение
Определим расстояние пройденное первым велосипедистом. Как и второй велосипедист в пути он провел 2 часа. Умножив скорость первого велосипедиста на 2 часа, мы сможем узнать сколько километров он прошел до встречи
12 × 2 = 24 км
За два часа первый велосипедист прошел 24 км. За один час он прошел 24:2, то есть 12 км. Изобразим это графически
Вычтем из общего расстояния (56 км) расстояние, пройденное первым велосипедистом (24 км). Так мы определим сколько километров прошел второй велосипедист:
56 км − 24 км = 32 км
Второй велосипедист, как и первый провел в пути 2 часа. Если мы разделим пройденное им расстояние на 2 часа, то узнаем с какой скоростью он двигался:
32 : 2 = 16 км/ч
Значит скорость второго велосипедиста составляет 16 км/ч.
Ответ: скорость второго велосипедиста составляет 16 км/ч.
Скорость удаления
Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.
Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причем скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4+6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиться на 10 километров.
Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.
Так, за первый час расстояние между пешеходами будет составлять 10 километров. На следующем рисунке можно увидеть, как это происходит
Видно, что первый пешеход прошел свои 4 километра за первый час. Второй пешеход также прошел свои 6 километров за первый час. Итого за первый час расстояние между ними стало 4+6, то есть 10 километров.
Через два часа расстояние между пешеходами будет составлять 10×2, то есть 20 километров. На следующем рисунке можно увидеть, как это происходит:
Задача 1. От одной станции отправились одновременно в противоположных направлениях товарный поезд и пассажирский экспресс. Скорость товарного поезда составляла 40 км/ч, скорость экспресса 180 км/ч. Какое расстояние будет между этими поездами через 2 часа?
Решение
Определим скорость удаления поездов. Для этого сложим их скорости:
40 + 180 = 220 км/ч
Получили скорость удаления поездов равную 220 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между поездами будет увеличиваться на 220 километров. Чтобы узнать какое расстояние будет между поездами через два часа, нужно 220 умножить на 2
220 × 2 = 440 км
Ответ: через 2 часа расстояние будет между поездами будет 440 километров.
Задача 2. Из пункта одновременно в противоположных направлениях отправились велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 16 км/ч, а скорость мотоциклиста — 40 км/ч. Какое расстояние будет между велосипедистом и мотоциклистом через 2 часа?
Решение
Определим скорость удаления велосипедиста и мотоциклиста. Для этого сложим их скорости:
16 км/ч + 40 км/ч = 56 км/ч
Определим расстояние, которое будет между велосипедистом и мотоциклистом через 2 часа. Для этого скорость удаления (56км/ч) умножим на 2 часа
56 × 2 = 112 км
Ответ: через 2 часа расстояние между велосипедистом и мотоциклистом будет 112 км.
Задача 3. Из пункта одновременно в противоположных направлениях отправились велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость мотоциклиста — 30 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 80 км?
Решение
Определим скорость удаления велосипедиста и мотоциклиста. Для этого сложим их скорости:
10 км/ч + 30 км/ч = 40 км/ч
За один час расстояние между велосипедистом и мотоциклистом увеличивается на 40 километров. Чтобы узнать через сколько часов расстояние между ними будет 80 км, нужно определить сколько раз 80 км содержит по 40 км
80 : 40 = 2
Ответ: через 2 часа после начала движения, между велосипедистом и мотоциклистом будет 80 километров.
Задача 4. Из пункта одновременно в противоположных направлениях отправились велосипедист и мотоциклист. Через 2 часа расстояние между ними было 90 км. Скорость велосипедиста составляла 15 км/ч. Определить скорость мотоциклиста
Решение
Определим расстояние, пройденное велосипедистом за 2 часа. Для этого умножим его скорость (15 км/ч) на 2 часа
15 × 2 = 30 км
На рисунке видно, что велосипедист прошел по 15 километров в каждом часе. Итого за два часа он прошел 30 километров.
Вычтем из общего расстояния (90 км) расстояние, пройденное велосипедистом (30 км). Так мы определим сколько километров прошел мотоциклист:
90 км − 30 км = 60 км
Мотоциклист за два часа прошел 60 километров. Если мы разделим пройденное им расстояние на 2 часа, то узнаем с какой скоростью он двигался:
60 : 2 = 30 км/ч
Значит скорость мотоциклиста составляла 30 км/ч.
Ответ: скорость мотоциклиста составляла 30 км/ч.
Задача на движение объектов в одном направлении
В предыдущей теме мы рассматривали задачи в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу другу другу либо в противоположных направлениях. При этом мы находили различные расстояния, которые изменялись между объектами в течении определенного времени. Эти расстояния были либо скоростями сближения либо скоростями удаления.
В первом случае мы находили скорость сближения — в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. За единицу времени расстояние между объектами уменьшалось на определенное расстояние
Во втором случае мы находили скорость удаления — в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. За единицу времени расстояние между объектами увеличивалось на определенное расстояние
Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причем с различной скоростью. Например, из одного пункта одновременно могут выехать велосипедист и мотоциклист, причем скорость велосипедиста может составлять 20 километров в час, а скорость мотоциклиста — 40 километров в час
На рисунке видно, что мотоциклист впереди велосипедиста на двадцать километров. Связано это с тем, что в час он преодолевает на 20 километров больше, чем велосипедист. Поэтому каждый час расстояние между велосипедистом и мотоциклистом будет увеличиваться на двадцать километров.
В данном случае 20 км/ч являются скоростью удаления мотоциклиста от велосипедиста.
Через два часа расстояние, пройденное велосипедистом будет составлять 40 км. Мотоциклист же проедет 80 км, отдалившись от велосипедиста еще на двадцать километров — итого расстояние между ними составит 40 километров
Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.
В приведенном выше примере, скорость удаления составляет 20 км/ч. Её можно найти путем вычитания скорости велосипедиста из скорости мотоциклиста. Скорость велосипедиста составляла 20 км/ч, а скорость мотоциклиста — 40 км/ч. Скорость мотоциклиста больше, поэтому из 40 вычитаем 20
40 км/ч − 20 км/ч = 20 км/ч
Задача 1. Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 120 км/ч, а скорость автобуса 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? 2 часа?
Решение
Найдем скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую
120 км/ч − 80 км/ч = 40 км/ч
Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 2 часа в два раза больше:
40 × 2 = 80 км
Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через два часа — 80 км.
Рассмотрим ситуацию в которой объекты начали свое движение из разных пунктов, но в одном направлении.
Пусть имеется дом, школа и аттракцион. От дома до школы 700 метров
Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причем первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 100 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 80 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?
Ответим на первый вопрос задачи — какое расстояние будет между пешеходами через 2 минуты?
Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 2 минуты. Он двигался со скоростью 100 метров в минуту. За две минуты он пройдет в два раза больше, то есть 200 метров
100 × 2 = 200 метров
Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 2 минуты. Он двигался со скоростью 80 метров в минуту. За две минуты он пройдет в два раза больше, то есть 160 метров
80 × 2 = 160 метров
Теперь нужно найти расстояние между пешеходами
Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (700м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (160м) и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (200м)
700 м + 160 м = 860 м
860 м − 200 м = 660 м
Либо из расстояния от дома до школы (700м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (200м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (160м)
700 м − 200 м = 500 м
500 м + 160 м = 660 м
Таким образом, через две минуты расстояние между пешеходами будет составлять 660 метров
Попробуем ответить на следующий вопрос задачи: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?
Давайте посмотрим какой была ситуация в самом начале пути — когда пешеходы еще не начали своё движение
Как видно на рисунке, расстояние между пешеходами в начале пути составляло 700 метров. Но уже через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 680 метров, поскольку первый пешеход двигается на 20 метров быстрее второго:
100 м × 1 = 100 м
80 м × 1 = 80 м
700 м + 80 м − 100 м = 780 м − 100 м = 680 м
Через две минуты после начала движения, расстояние уменьшится еще на 20 метров и будет составлять 660 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:
100 м × 2 = 200 м
80 м × 2 = 160 м
700 м + 160 м − 200м = 860 м − 200 м = 660 м
Через три минуты расстояние уменьшится еще на 20 метров и будет уже составлять 640 метров:
100 м × 3 = 300 м
80 м × 3 = 240 м
700 м + 240 м − 300м = 940 м − 300 м = 640 м
Мы видим, что с каждой минутой первый пешеход будет приближáться ко второму на 20 метров, и в конце концов догонит его. Можно сказать, что скорость равная двадцати метрам в минуту является скоростью сближения пешеходов. Правила нахождения скорости сближения и удаления при движении в одном направлении идентичны.
Чтобы найти скорость сближения при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую.
А раз изначальные 700 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 20 метров, то мы можем узнать сколько раз 700 метров содержат по 20 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго
700 : 20 = 35
Значит через 35 минут после начала движения первый пешеход догонит второго. Для интереса узнаем сколько метров прошел к этому времени каждый пешеход. Первый двигался со скоростью 100 метров в минуту. За 35 минут он прошел в 35 раз больше
100 × 35 = 3500 м
Второй шел со скоростью 80 метров в минуту. За 35 минут он прошел в 35 раз больше
80 × 35 = 2800 м
Первый прошел 3500 метров, а второй 2800 метров. Первый прошел на 700 метров больше, поскольку он шел от дома. Если вычесть эти 700 метров из 3500, то мы получим 2800 м
Рассмотрим ситуацию в которой объекты движутся в одном направлении, но один из объектов начал своё движение раньше другого.
Пусть имеется дом и школа. Первый пешеход отправился в школу со скоростью 80 метров в минуту. Через 5 минут вслед за ним в школу отправился второй пешеход со скоростью 100 метров в минуту. Через сколько минут второй пешеход догонит первого?
Второй пешеход начал свое движение через 5 минут. К этому времени первый пешеход уже отдалился от него на какое-то расстояние. Найдём это расстояние. Для этого умножим его скорость (80 м/м) на 5 минут
80 × 5 = 400 метров
Первый пешеход отдалился от второго на 400 метров. Поэтому в момент, когда второй пешеход начнет свое движение, между ними будут эти самые 400 метров.
Но второй пешеход двигается со скоростью 100 метров в минуту. То есть двигается на 20 метров быстрее первого пешехода, а значит с каждой минутой расстояние между ними будет уменьшáться на 20 метров. Наша задача узнать через сколько минут это произойдет.
Например, уже через минуту расстояние между пешеходами будет составлять 380 метров. Первый пешеход к своим 400 метрам пройдет еще 80 метров, а второй пройдет 100 метров
Принцип здесь такой-же, как и в предыдущей задаче. Расстояние между пешеходами в момент движения второго пешехода необходимо разделить на скорость сближения пешеходов. Скорость сближения в данном случае равна двадцати метрам. Поэтому, чтобы определить через сколько минут второй пешеход догонит первого, нужно 400 метров разделить на 20
400 : 20 = 20
Значит через 20 минут второй пешеход догонит первого.
Задача 2. Из двух сел, расстояние между которыми 40 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 15 км/ч, а скорость автобуса 35 км/ч. Через сколько часов автобус догонит велосипедиста?
Решение
Найдем скорость сближения
35 км/ч − 15 км/ч = 20 км/ч
Определим через часов автобус догонит велосипедиста
40 : 20 = 2
Ответ: автобус догонит велосипедиста через 2 часа.
Задача на движение по реке
Суда двигаются по реке с различной скоростью. При этом они могут двигаться, как по течению реки, так и против течения. В зависимости от того, как они двигаются (по или против течения), скорость будет меняться.
Предположим, что скорость реки составляет 3 км/ч. Если спустить лодку на реку, то река унесет лодку со скоростью 3 км/ч.
Если спустить лодку на стоячую воду, в которой отсутствует течение, то и лодка будет стоять. Скорость движения лодки в этом случае будет равна нулю.
Если лодка плывет по стоячей воде, в которой отсутствует течение, то говорят, что лодка плывет с собственной скоростью.
Например, если моторная лодка плывет по стоячей воде со скоростью 40 км/ч, то говорят что собственная скорость моторной лодки составляет 40 км/ч.
Как определить скорость судна?
Если судно плывет по течению реки, то к собственной скорости судна нужно прибавить скорость течения реки.
Например, если моторная лодка плывет со скоростью 30 км/ч по течению реки, и скорость течения реки составляет 2 км/ч, то к собственной скорости моторной лодки (30 км/ч) необходимо прибавить скорость течения реки (2 км/ч)
30 км/ч + 2 км/ч = 32 км/ч
Течение реки можно сказать помогает моторной лодке дополнительной скоростью равной двум километрам в час.
Если судно плывет против течения реки, то из собственной скорости судна нужно вычесть скорость течения реки.
Например, если моторная лодка плывет со скоростью 30 км/ч против течения реки, и скорость течения реки составляет 2 км/ч, то из собственной скорости моторной лодки (30 км/ч) необходимо вычесть скорость течения реки (2 км/ч)
30 км/ч − 2 км/ч = 28 км/ч
Течение реки в этом случае препятствует моторной лодке свободно двигаться вперед, снижая её скорость на два километра в час.
Задача 1. Скорость катера 40 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью катер будет двигаться по течению реки? Против течения реки?
Ответ:
Если катер будет двигаться по течения реки, то скорость его движения составит 40 + 3, то есть 43 км/ч.
Если катер будет двигаться против течения реки, то скорость его движения составит 40 − 3, то есть 37 км/ч.
Задача 2. Скорость теплохода в стоячей воде — 23 км/ч. Скорость течения реки — 3 км/ч. Какой путь пройдет теплоход за 3 часа по течению реки? Против течения?
Решение
Собственная скорость теплохода составляет 23 км/ч. Если теплоход будет двигаться по течению реки, то скорость его движения составит 23 + 3, то есть 26 км/ч. За три часа он пройдет в три раза больше
26 × 3 = 78 км
Если теплоход будет двигаться против течения реки, то скорость его движения составит 23 − 3, то есть 20 км/ч. За три часа он пройдет в три раза больше
20 × 3 = 60 км
Задача 3. Расстояние от пункта А до пункта B лодка преодолела за 3 часа 20 минут, а расстояние от пункта B до А — за 2 часа 50 минут. В каком направлении течет река: от А к В или от В к А, если известно, что скорость яхты не менялась?
Решение
Скорость яхты не менялась. Узнаем на какой путь она затратила больше времени: на путь от А до В или на путь от В до А. Тот путь, который затратил больше времени будет тем путем, течение реки которого шло против яхты
3 часа 20 минут больше, чем 2 часа 50 минут. Это значит, что течение реки снизило скорость яхты и это отразилось на времени пути. 3 часа 20 минут это время, затраченное на путь от от А до В. Значит река течет от пункта B к пункту А
Задача 4. За какое время при движении против течения реки
теплоход пройдет 204 км, если его собственная скорость
15 км/ч, а скорость течения в 5 раз меньше собственной
скорости теплохода?
Решение
Требуется найти время за которое теплоход пройдет 204 километра против течения реки. Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч. Двигается он против течения реки, поэтому нужно определить его скорость при таком движении.
Чтобы определить скорость против течения реки, нужно из собственной скорости теплохода (15 км/ч) вычесть скорость движения реки. В условии сказано, что скорость течения реки в 5 раз меньше собственной скорости теплохода, поэтому сначала определим скорость течения реки. Для этого уменьшим 15 км/ч в пять раз
15 : 5 = 3 км/ч
Скорость течения реки составляет 3 км/ч. Вычтем эту скорость из скорости движения теплохода
15 км/ч − 3 км/ч = 12 км/ч
Теперь определим время за которое теплоход пройдет 204 км при скорости 12 км/ч. В час теплоход проходит 12 километров. Чтобы узнать за сколько часов он пройдет 204 километра, нужно определить сколько раз 204 километра содержит по 12 километров
204 : 12 = 17 ч
Ответ: теплоход пройдет 204 километра за 17 часов
Задача 5. Двигаясь по течению реки, за 6 часов лодка
прошла 102 км. Определите собственную скорость лодки,
если скорость течения – 4 км/ч.
Решение
Узнаем с какой скоростью лодка двигалась по реке. Для этого пройденное расстояние (102км) разделим на время движения (6ч)
102 : 6 = 17 км/ч
Определим собственную скорость лодки. Для этого из скорости по которой она двигалась по реке (17 км/ч) вычтем скорость течения реки (4 км/ч)
17 − 4 = 13 км/ч
Задача 6. Двигаясь против течения реки, за 5 часов лодка
прошла 110 км. Определите собственную скорость лодки,
если скорость течения – 4 км/ч.
Решение
Узнаем с какой скоростью лодка двигалась по реке. Для этого пройденное расстояние (110км) разделим на время движения (5ч)
110 : 5 = 22 км/ч
Определим собственную скорость лодки. В условии сказано, что она двигалась против течения реки. Скорость течения реки составляла 4 км/ч. Это значит, что собственная скорость лодки была уменьшена на 4. Наша задача прибавить эти 4 км/ч и узнать собственную скорость лодки
22 + 4 = 26 км/ч
Ответ: собственная скорость лодки составляет 26 км/ч
Задача 7. За какое время при движении против течения реки лодка
пройдет 56 км, если скорость течения – 2 км/ч, а её
собственная скорость на 8 км/ч больше скорости течения?
Решение
Найдем собственную скорость лодки. В условии сказано, что она на 8 км/ч больше скорости течения. Поэтому для определения собственной скорости лодки, к скорости течения (2 км/ч) прибавим еще 8 км/ч
2 км/ч + 8 км/ч = 10 км/ч
Лодка движется против течения реки, поэтому из собственной скорости лодки (10 км/ч) вычтем скорость движения реки (2 км/ч)
10 км/ч − 2 км/ч = 8 км/ч
Узнаем за какое время лодка пройдет 56 км. Для этого расстояние (56км) разделим на скорость движения лодки:
56 : 8 = 7 ч
Ответ: при движении против течения реки лодка пройдет 56 км за 7 часов
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти 20 км, если скорость его равна 5 км/ч?
Решение
За один час пешеход проходит 5 километров. Чтобы определить за какое время он пройдет 20 км, нужно узнать сколько раз 20 километров содержат по 5 км. Либо воспользоваться правилом нахождения времени: разделить пройденное расстояние на скорость движения
20 : 5 = 4 часа
Задача 2. Из пункта А в пункт В велосипедист ехал 5 часов со скоростью 16 км/ч, а обратно он ехал по тому же пути со скоростью 10 км/ч. Сколько времени потратил велосипедист на обратный путь?
Решение
Определим расстояние от пункта А до пункта В. Для этого умножим скорость с которой ехал велосипедист из пункта А в пункт В (16км/ч) на время движения (5ч)
16 × 5 = 80 км
Определим сколько времени велосипедист затратил на обратный путь. Для этого расстояние (80км) разделим на скорость движения (10км/ч)
80 : 10 = 8 ч
Задача 3. Велосипедист ехал 6 ч с некоторой скоростью. После того как он проехал ещё 11 км с той же скоростью, его путь стал равным 83 км. С какой скоростью ехал велосипедист?
Решение
Определим путь, пройденный велосипедистом за 6 часов. Для этого из 83 км вычтем путь, который он прошел после шести часов движения (11км)
83 − 11 = 72 км
Определим с какой скоростью ехал велосипедист первые 6 часов. Для этого разделим 72 км на 6 часов
72 : 6 = 12 км/ч
Поскольку в условии задаче сказано, что остальные 11 км велосипедист проехал с той же скоростью, что и в первые 6 часов движения, то скорость равная 12 км/ч является ответом к задаче.
Ответ: велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч.
Задача 4. Двигаясь против течения реки, расстояние в 72 км теплоход проходит за 4ч, а плот такое же расстояние проплывает за 36 ч. За сколько часов теплоход проплывет расстояние 110 км, если будет плыть по течению реки?
Решение
Найдем скорость течения реки. В условии сказано, что плот может проплыть 72 километра за 36 часов. Плот не может двигаться против течения реки. Значит скорость плота с которой он преодолевает эти 72 километра и является скоростью течения реки. Чтобы найти эту скорость, нужно 72 километра разделить на 36 часов
72 : 36 = 2 км/ч
Найдем собственную скорость теплохода. Сначала найдем скорость его движения против течения реки. Для этого разделим 72 километра на 4 часа
72 : 4 = 18 км/ч
Если против течения реки скорость теплохода составляет 18 км/ч, то собственная его скорость равна 18+2, то есть 20 км/ч. А по течению реки его скорость будет составлять 20+2, то есть 22 км/ч
Разделив 110 километров на скорость движения теплохода по течению реки (22 км/ч), можно узнать за сколько часов теплоход проплывет эти 110 километров
110 : 22 = 5 ч
Ответ: по течению реки теплоход проплывет 110 километров за 5 часов.
Задача 5. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью 11 км/ч, а второй со скоростью 13 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?
Решение
Найдем скорость удаления велосипедистов
11 + 13 = 24 км
Узнаем какое расстояние будет между ними через 4 часа
24 × 4 = 96 км
Ответ: через 4 часа расстояние между велосипедистами будет 96 км.
Задача 6. От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли два теплохода, и через 6 часов они встретились. Какое расстояние до встречи прошел каждый теплоход и какое расстояние между пристанями, если один теплоход шел со скоростью 21 км/ч, а другой — со скоростью 24 км/ч?
Решение
Определим расстояние, пройденное первым теплоходом. Для этого умножим его скорость (21 км/ч) на время движения до встречи (6ч)
21 × 6 = 126 км
Определим расстояние, пройденное вторым теплоходом. Для этого умножим его скорость (24 км/ч) на время движения до встречи (6ч)
24 × 6 = 144 км
Определим расстояние между пристанями. Для этого сложим расстояния, пройденные первым и вторым теплоходами
126 км + 144 км = 270 км
Ответ: первый теплоход прошел 126 км, второй — 144 км. Расстояние между пристанями составляет 270 км.
Задача 7. Одновременно из Москвы и Уфы вышли два поезда. Через 16 часов они встретились. Московский поезд шел со скоростью 51 км/ч. С какой скоростью шел поезд, вышедший из Уфы, если расстояние между Москвой и Уфой 1520 км? Какое расстояние было между поездами через 5 часов после их встречи?
Решение
Определим сколько километров до встречи прошел поезд, вышедший из Москвы. Для этого умножим его скорость (51 км/ч) на 16 часов
51 × 16 = 816 км
Узнаем сколько километров до встречи прошел поезд, вышедший из Уфы. Для этого из расстояния между Москвой и Уфой (1520км) вычтем расстояние, пройденное поездом, вышедшим из Москвы
1520 − 816 = 704 км
Определим скорость с которой шел поезд, вышедший из Уфы. Для этого расстояние, пройденное им до встречи, нужно разделить на 16 часов
704 : 16 = 44 км/ч
Определим расстояние, которое будет между поездами через 5 часов после их встречи. Для этого найдем скорость удаления поездов и умножим эту скорость на 5
51 км/ч + 44 км/ч = 95 км/ч
95 × 5 = 475 км.
Ответ: поезд, вышедший из Уфы, шел со скоростью 44 км/ч. Через 5 часов после их встречи поездов расстояние между ними будет составлять 475 км.
Задача 8. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях отправились два автобуса. Скорость одного автобуса 48 км/ч, другого на 6 км/ч больше. Через сколько часов расстояние между автобусами будет равно 510 км?
Решение
Найдем скорость второго автобуса. Она на 6 км/ч больше скорости первого автобуса
48 км/ч + 6 км/ч = 54 км/ч
Найдем скорость удаления автобусов. Для этого сложим их скорости:
48 км/ч + 54 км/ч = 102 км/ч
За час расстояние между автобусами увеличивается на 102 километра. Чтобы узнать через сколько часов расстояние между ними будет 510 км, нужно узнать сколько раз 510 км содержит по 102 км/ч
510 : 102 = 5 ч
Ответ: 510 км между автобусами будет через 5 часов.
Задача 9. Расстояние от Ростова-на-Дону до Москвы 1230 км. Из Москвы и Ростова навстречу друг другу вышли два поезда. Поезд из Москвы идет со скоростью 63 км/ч, а скорость ростовского поезда составляет 
скорости московского поезда. На каком расстоянии от Ростова встретятся поезда?
Решение
Найдем скорость ростовского поезда. Она составляет скорости московского поезда. Поэтому чтобы определить скорость ростовского поезда, нужно найти от 63 км
63 : 21 × 20 = 3 × 20 = 60 км/ч
Найдем скорость сближения поездов
63 км/ч + 60 км/ч = 123 км/ч
Определим через сколько часов поезда встретятся
1230 : 123 = 10 ч
Узнаем на каком расстоянии от Ростова встретятся поезда. Для этого достаточно найти расстояние, пройденное ростовским поездом до встречи
60 × 10 = 600 км.
Ответ: поезда встретятся на расстоянии 600 км от Ростова.
Задача 10. От двух пристаней, расстояние между которыми 75 км, навстречу друг другу одновременно отошли две моторные лодки. Одна шла со скоростью 16 км/ч, а скорость другой составляла 75% скорости первой лодки. Какое расстояние будет между лодками через 2 ч?
Решение
Найдем скорость второй лодки. Она составляет 75% скорости первой лодки. Поэтому чтобы найти скорость второй лодки, нужно 75% от 16 км
16 × 0,75 = 12 км/ч
Найдем скорость сближения лодок
16 км/ч + 12 км/ч = 28 км/ч
С каждым часом расстояние между лодками будет уменьшáться на 28 км. Через 2 часа оно уменьшится на 28×2, то есть на 56 км. Чтобы узнать какое будет расстояние между лодками в этот момент, нужно из 75 км вычесть 56 км
75 км − 56 км = 19 км
Ответ: через 2 часа между лодками будет 19 км.
Задача 11. Легковая машина, скорость которой 62 км/ч, догоняет грузовую машину, скорость которой 47 км/ч. Через сколько времени и на каком расстоянии от начала движения легковая автомашина догонит грузовую, если первоначальное расстояние между ними было 60 км?
Решение
Найдем скорость сближения
62 км/ч − 47 км/ч = 15 км/ч
Если первоначально расстояние между машинами было 60 километров, то с каждым часом это расстояние будет уменьшáться на 15 км, и в конце концов легковая машина догонит грузовую. Чтобы узнать через сколько часов это произойдет, нужно определить сколько раз 60 км содержит по 15 км
60 : 15 = 4 ч
Узнаем на каком расстоянии от начала движения легковая машина догнала грузовую. Для этого умножим скорость легковой машины (62 км/ч) на время её движения до встречи (4ч)
62 × 4 = 248 км
Ответ: легковая машина догонит грузовую через 4 часа. В момент встречи легковая машина будет на расстоянии 248 км от начала движения.
Задача 12. Из одного пункта в одном направлении одновременно выезжали два мотоциклиста. Скорость одного 35 км/ч, а скорость другого составляла 80% скорости первого мотоциклиста. Какое расстояние будет между ними через 5 часов?
Решение
Найдем скорость второго мотоциклиста. Она составляет 80% скорости первого мотоциклиста. Поэтому чтобы найти скорость второго мотоциклиста, нужно найти 80% от 35 км/ч
35 × 0,80 = 28 км/ч
Первый мотоциклист двигается на 35-28 км/ч быстрее
35 км/ч − 28 км/ч = 7 км/ч
За один час первый мотоциклиста преодолевает на 7 километров больше. С каждым часом она будет приближáться ко второму мотоциклисту на эти 7 километров.
Через 5 часов первый мотоциклист пройдет 35×5, то есть 175 км, а второй мотоциклист пройдет 28×5, то есть 140 км. Определим расстояние, которое между ними. Для этого из 175 км вычтем 140 км
175 − 140 = 35 км
Ответ: через 5 часов расстояние между мотоциклистами будет 35 км.
Задача 13. Мотоциклист, скорость которого 43 км/ч, догоняет велосипедиста, скорость которого 13 км/ч. Через сколько часов мотоциклист догонит велосипедиста, если первоначальное расстояние между ними было 120 км?
Решение
Найдем скорость сближения:
43 км/ч − 13 км/ч = 30 км/ч
Если первоначально расстояние между мотоциклистом и велосипедистом было 120 километров, то с каждым часом это расстояние будет уменьшáться на 30 км, и в конце концов мотоциклист догонит велосипедиста. Чтобы узнать через сколько часов это произойдет, нужно определить сколько раз 120 км содержит по 30 км
120 : 30 = 4 ч
Значит через 4 часа мотоциклист догонит велосипедиста
На рисунке представлено движение мотоциклиста и велосипедиста. Видно, что через 4 часа после начала движения они сровнялись.
Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста через 4 часа.
Задача 14. Велосипедист, скорость которого 12 км/ч, догоняет велосипедиста, скорость которого составляет 75 % его скорости. Через 6 часов второй велосипедист догнал велосипедиста, ехавшего первым. Какое расстояние было между велосипедистами первоначально?
Решение
Определим скорость велосипедиста, ехавшего впереди. Для этого найдем 75% от скорости велосипедиста, ехавшего сзади:
12 × 0,75 = 9 км/ч — скорость ехавшего впереди
Узнаем сколько километров проехал каждый велосипедист до того, как второй догнал первого:
12 × 6 = 72 км — проехал ехавший сзади
9 × 6 = 54 км — проехал ехавший впереди
Узнаем какое расстояние было между велосипедистами первоначально. Для этого из расстояния, пройденного вторым велосипедистом (который догонял) вычтем расстояние, пройденное первым велосипедистом (которого догнали)
72 км − 54 км = 18 км
Ответ: между велосипедистами первоначально было 18 км.
Задача 15. Автомобиль и автобус выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость автомобиля 53 км/ч, скорость автобуса 41 км/ч. Через сколько часов после выезда автомобиль будет впереди автобуса на 48 км?
Решение
Найдем скорость удаления автомобиля от автобуса
53 км/ч − 41 км/ч = 12 км/ч
С каждым часом автомобиль будет удаляться от автобуса на 12 километров. На рисунке показано положение машин после первого часа движения
Видно, что автомобиль впереди автобуса на 12 км.
Чтобы узнать через сколько часов автомобиль будет впереди автобуса на 48 километров, нужно определить сколько раз 48 км содержит по 12 км
48 : 12 = 4 ч
Ответ: через 4 часа после выезда автомобиль будет впереди автобуса на 48 километров.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Инфоурок
›
Математика
›Презентации›Презентация по математике на тему “«Прямая и обратная пропорциональная зависимость в задачах на движение»” (6 класс)
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 139 человек из 50 регионов
- Сейчас обучается 50 человек из 26 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Прямая и обратная
пропорциональная
зависимость
в задачах на движение
Никоненко Л.Г.
учитель математики
МОУ «Савоськинская СОШ № 5»
6 класс -
2 слайд
Чем займёмся на уроке?
-
3 слайд
Ответьте на вопросы устно
Какое слово лишнее?
километр метр сантиметр длина миллиметр дециметр
тонна центнер масса грамм пуд
2. В каком отношении находится лишнее слово в каждом из списков вопроса 1?
3. Исходя из условия, сделайте заключение относительно величин, между которыми стоит знак вопроса:а) А больше Б в 3 раза (Б ? А) ;
б) А меньше Б в 4 раза (Б ? А);
в) А больше Б в 5 раз; Б больше В в 4 раза (В ? А). -
4 слайд
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. -
5 слайд
Задача 1. Один велосипедист проехал расстояние 24 км со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние проедет за это время другой велосипедист, скорость которого 10,5 км/ч?
Решение: Пусть второй велосипедист за это же время пройдет x км.
СкоростьРасстояние
1 велосипедист 12 км/ч 24 км
2 велосипедист 10,5 км/ч x км
Т.к. скорость и расстояние прямо пропорциональные величины, составим пропорцию: 12:10,5=24:x
Ответ: 21 км. -
6 слайд
Задача 2. Пешеход прошёл расстояние 8,4 км за 1,5 ч. Какое расстояние пройдёт он за 2,5 ч, если будет идти с той же скоростью?
Решение: Пусть за 2,5 ч пешеход пройдёт x км.
РасстояниеВремя
8,4 км1,5 ч
x км2,5 ч
Т.к. время и расстояние прямо пропорциональные величины, составим пропорцию: 8,4:x=1,5:2,5
Ответ: 14 км. -
7 слайд
Задача3. Теплоход на подводных крыльях прошёл расстояние между пристанями со средней скоростью 60 км/ч за 2,5 ч. За сколько времени пройдёт это расстояние теплоход, если будет идти со скоростью 50 км/ч?
Решение: Пусть с новой скоростью теплоход пройдёт
расстояние за x ч. Скорость Время
60 км/ч2,5 ч
50 км/чx ч
Т.к. скорость и время обратно пропорциональны, составим пропорцию: 60:50 = x:2,5
Ответ: 3 часа. -
8 слайд
Задача 4. Теплоход «Ракета» прошёл расстояние между пристанями со скоростью 50 км/ч за 4,8 ч. С какой скоростью должен идти теплоход, чтобы пройти это расстояние за 3,2 ч.
Решение: Пусть новая скорость теплохода x км/ч.
Скорость Время
50 км/ч4,8 ч
x км/ч3,2 ч
Т.к. скорость и время обратно пропорциональны, составим пропорцию: 50:x = 3,2:4,8
Ответ: 75 км/ч. -
9 слайд
Задача: Всадник, двигаясь со скоростью 18 км/ч, преодолел некоторое расстояние за 1 ч 30 мин. За какое время проедет это расстояние экипаж, скорость которого на 3 км/ч меньше скорости всадника?
Скорость экипажа:_____
1 ч 30 мин = ______ч
Пусть время, затраченное экипажем x ч.
Скорость Время
Всадник
Экипаж
Составим пропорцию:
___ : ___ = ____: ____x =
Ответ: __________
Закончите решение задачи: -
10 слайд
Составьте условия задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью.
-
11 слайд
Составьте задачи, решаемые с помощью этих пропорций.
50:60 = 2,5:x
180:х = 3:5
240:80 = х:90
х:500 = 120:100 -
12 слайд
Спасибо за работу!
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 262 908 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
Рейтинг:
5 из 5
- 03.11.2015
- 10824
- 56
- 03.11.2015
- 572
- 0
- 03.11.2015
- 819
- 0
- 03.11.2015
- 482
- 0
- 03.11.2015
- 846
- 0
- 03.11.2015
- 633
- 0
- 03.11.2015
- 1056
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
-
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Настоящий материал опубликован пользователем Никоненко Любовь Григорьевна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Удалить материал
-
- На сайте: 7 лет и 6 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 53484
-
Всего материалов:
33
Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.
Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы
скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;
время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;
расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.
Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.
На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:
1.Конвертер единиц измерения скорости
2.Конвертер единиц измерения времени
3.Конвертер единиц измерения расстояния (длины)
Примеры простых задач.
Задача 1.
Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.
Задача 2.
Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.
Задача 3.
Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.
Задачи на встречное движение
В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.
Задача 4.
Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение:
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.
Задача 5.
Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.
Задачи на движение в противоположных направлениях
В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.
Задача 6.
Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.
Задача 7.
Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.
Задачи на движение в одном направлении
В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.
Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.
Задача 8.
Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.
Задача 9.
Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.
Задача 10.
Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.
Задачи на движение по реке
Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.
Задача 11.
Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.
Итак, для решения задач на движение:
- Основная формула:S=ν*t;
- Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
- Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время
Заключение.
Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов.
Весь курс начальной школы (за 1-4 классы) в краткой форме на сайте edu.intmag24.ru. С помощью курса можно быстро повторить основные моменты и правила по предметам: русский язык, математика, окружающий мир.
Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.
В задачах на движение обычно используются формулы, выражающие закон равномерного движения, т.е.
s = v · t.
При составлении уравнений в таких задачах удобно использовать геометрическую иллюстрацию процесса движения.
При движении по окружности удобно пользоваться понятием угловой скорости, т.е. угла, на который поворачивается вокруг центра движущийся объект за единицу времени. Бывает, что для усложнения задачи, ее условие формулируют в разных единицах измерения. В таких случаях для составления уравнений необходимо выразить все данные значения через одну и ту же единицу измерения.
Источником составления уравнений в задачах на движение служат следующие соображения:
1) Объекты, начавшие движение навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время. Время, через которое они встретятся, находят по формуле
t = s/(v1 + v2) (*).
2) Если одно тело догоняет другое, то время, через которое первый догонит второго, вычисляется по формуле
t = s/(v1 – v2) (**).
3) Если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное задачи.
4) Если при одновременном движении двух объектов по окружности из одной точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройденных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности
c = 2πR.
5) Для времени новой встречи при движении в противоположных направлениях получим формулу (*), если в одном направлении – то формулу (**).
6) При движении по течению реки скорость объекта равна сумме скоростей в стоячей воде и скорости течения. При движении против течения скорость движения есть разность этих скоростей.
Аналитическое решение задач на движение
Задача 1.
Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу и через 3 часа 20 минут встретились. Сколько времени понадобилось каждому пешеходу, чтобы пройти все расстояние, если известно, что первый пришел в пункт, из которого вышел второй, на 5 часов позже, чем второй пришел в пункт, откуда вышел первый?
Решение.
В этой задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии. Это является ее главной особенностью. В таких случаях будет удобно принять за единицу все расстояние, тогда скорость первого пешехода будет равна
v1 = 1/x, а второго – v2 = 1/y, где x часов – время в пути первого, а y – время в пути второго пешеходов.
Условия задачи позволяют составить систему уравнений:
{3⅓ · 1/x + 3⅓ · 1/y = 1,
{x – y = 5.
Решая эту систему, получим, что y = 5, x = 10.
Ответ: 10 часов и 5 часов.
Задача 2.
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Через 3 часа навстречу ему из пункта В выехал мотоциклист, со скоростью в 3 раза большей, чем скорость велосипедиста. Встреча велосипедиста и мотоциклиста происходит посередине, между пунктами А и В. В случае выезда мотоциклиста позже велосипедиста на 2 часа, их встреча произошла бы на 15 километров ближе а пункту А. Найти расстояние АВ.
Решение.
Сделаем иллюстрацию к задаче (рис. 1).
Пусть АВ = s км, v км/ч – скорость велосипедиста, 3v км/ч – скорость мотоциклиста.
t1 = 0,5 s/v часов – время до встречи велосипедиста,
t2 = 0,5 s/3v часов – время до встречи мотоциклиста.
По условию t1 – t2 = 3, значит 0,5 s/v – 0,5s / 3v = 3, откуда s = 9v.
Если бы мотоциклист выехал на 2 часа позже велосипедиста, то они встретились бы в точке F.
AF = 0,5s – 15, BF = 0,5s + 15.
Составим уравнение: (0,5s – 15)/v – (0,5s + 15)/3v = 2, откуда s – 60 = 6v.
Получим систему уравнений:
{s = 9v,
{s = 60 + 6v.
Имеем:
{v = 20,
{s = 180.
Ответ: v = 20 км/ч, s = 180 км.
Графический метод при решении задач на движение
Существует и графический метод решения заданий. Рассмотрим применение этого метода для решения задач на движение. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи – зачастую очень удобный прием, который позволяет наглядно представить ситуацию задачи. Так же он позволяет составить новые уравнения или заменить алгебраическое решение задачи чисто геометрическим.
Задача 3.
Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Вслед за ним из пункта А выехал велосипедист, но с задержкой в 2 часа. Еще через 30 минут по направлению к пункту В выехал мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались в пункт В без остановок и равномерно. Через некоторое время после того, как выехал мотоциклист, оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода велосипедист прибыл в пункт В, если мотоциклист прибыл в пункт В на 1 час раньше пешехода?
Решение.
Для алгебраического решения требуется введение многих переменных и составления громоздкой системы. Графически ситуация, описанная в задаче, представлена на рисунке 2.
Используя подобие треугольников AOL и KOM, а так же треугольников AOP и KON можно составить пропорцию:
x/1 = 2/2,5;
x = 4/5 ч = 48 минут.
Ответ: 48 минут.
Задача 4.
Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два посыльных. После встречи один из них был в пути еще 16 часов, а второй – 9 часов. Определить, сколько времени был в пути каждый посыльный.
Решение.
Пусть время движения до встречи каждого посыльного будет t. По условию задачи строим график (рис. 3).
Аналогично задаче 3, необходимо использовать подобие треугольников.
Имеем:
t/16 = 9/t;
t2 = 144;
t = 12.
Значит, 12 + 16 = 28 (часов) – был в пути первый, 12 + 9 = 21 (час) – был в пути второй.
Ответ: 21 час и 28 часов.
Вот мы и разобрали основные методы решения задач на движение. В ЕГЭ они встречаются очень часто, поэтому обязательно практикуйтесь в решении данных задач.
Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на движение?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© devblog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Математика
6 класс
Урок № 7
Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
- Краткая запись условия задачи.
- Составление и решение пропорций по условию задачи.
- Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.
Тезаурус
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Основная литература
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Прямая пропорциональность.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Обратная пропорциональность.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.
Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.
Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.
Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.
Задача.
Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?
Решение.
При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.
Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.
Сделаем краткую запись условия.
Задача.
Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?
Решение.
При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.
Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.
Сделаем краткую запись условия.
Задача.
Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?
Решение:
Решение.
Задача.
Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?
Решение.
Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.
Подставьте нужные элементы в пропуски.
Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?
Решение:
При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.
Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.
Составим пропорцию:
_________
х=_______
х=_______(ч).
Правильный ответ.
Решение:
При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.
Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.
№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.
Заполните таблицу.
Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.
Варианты ответов:
135 км;
180 км;
225 км;
270 км.
Решение.
При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.
Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.
Ответ:
