В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.
Равносильные неравенства: определение, примеры
Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.
Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.
Приведем пример:
Даны три равносильных неравенства: x > 2, 2·x:2 > 2 и x>3-1. В самом деле, множества решений этих неравенств одинаковые, решение каждого их них – числовой промежуток (2, +∞).
Неравенства х6≥-2 и |х+7|< 0 являются равносильными, поскольку оба не имеют решений.
Неравенства х>3 и х≥3 – не равносильные: х=3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.
Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.
Равносильные преобразования неравенств
Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.
Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.
Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.
Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.
Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:
- Замена выражений в обоих частях неравенства тождественно равными выражениями на области допустимых значений (ОДЗ) переменных заданного неравенства есть равносильное преобразование неравенства.
Докажем утверждение. Пусть дано неравенство с одной переменной A(x)<B(x), где A(x) и B(x) – некие выражения с переменной x. Допустим, выражение C(x) является тождественно равным выражению A(x), а выражение D(x) является тождественно равным B(x) на ОДЗ заданного неравенства. Найдем доказательство, что неравенство C(x)<D(x) служит равносильным неравенству A(x)<B(x). С этой целью нам нужно продемонстрировать тот факт, что любое решение q заданного неравенства будет также решением неравенства C(x)<D(x), и наоборот: любое решение неравенства C(x)<D(x) будет решением заданного неравенства A(x)<B(x).
Мы приняли, что q – решение неравенства A(x)<B(x), тогда верным будет числовое неравенство A(q)<B(q). Отсюда по разностному определению неравенства выводим, что A(q)−B(q)<0.
Выражение A(q)−B(q) можно записать в виде A(q)+(C(q)−C(q))−B(q)+(D(q)−D(q)), что является тем же самым, (A(q)−C(q))+C(q)−(B(q)−D(q))−D(q). Выражения A(x) и C(x), B(x) и D(x) по условию тождественно равны, тогда: A(q)=C(q) и B(q)=D(q), откуда A(q)−C(q)=0 и B(q)−D(q)=0. Таким образом, (A(q)−C(q))+C(q)−(B(q)−D(q))−D(q)=0+C(q)−0−D(q)=C(q)−D(q). Мы продемонстрировали, что значение выражения A(q)−B(q) равно значению выражения C(q)−D(q), а поскольку A(q)−B(q)<0, то и C(q)−D(q)<0. Отсюда делаем вывод, что C(q)<D(q). И крайнее неравенство означает, что q – решение неравенства C(x)<D(x).
Таким же образом доказывается, что любое решение неравенства C(x)<D(x) будет решением и неравенства A(x)<B(x), тем самым будет доказано и исходное утверждение.
Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.
Покажем пример использования.
Рассмотрим неравенство x>2+6. В правой части возможно заменить сумму значением так, чтобы получилось равносильное неравенство x>8.
В неравенстве 3·(x+1)−2·x+11≤2·y+3·(y+1)+x, в обоих его частях мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получив в итоге равносильное неравенство x+14≤5·y+3+x. Если детально разобрать наши действия, то мы заменили левую часть данного неравенства тождественно равным ей выражением x+14, а правую часть – тождественно равным ей выражением 5·y+3+x на области допустимых значений переменных x и y заданного неравенства.
Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.
- Прибавление или вычитание из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.
Приведем обоснование указанного утверждения. Допустим, задано неравенство A(x)<B(x) и некое число c. Необходимо доказать, что заданному равносильно неравенство A(x)+c<B(x)+c, которое мы получим, прибавив к обеим частям исходного неравенства число c. Продемонстрируем, что любое решение q заданного неравенства будет также и решением неравенства A(x)+c<B(x)+c, и наоборот.
Мы приняли, что q – решение неравенства A(x)<B(x), тогда верно следующее: A(q)<B(q). Из свойств числовых неравенств следует, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить любое число. Мы прибавим число c к обеим частям крайнего неравенства, получим A(q)+c<B(q)+c, и это означает, что q служит решением неравенства A(x)+c<B(x)+c.
Подобным же образом можно доказать, что любое решение неравенства A(x)+c<B(x)+c будет являться и решением неравенства A(x)<B(x). Мы приняли, что q – решение неравенства A(x)+c<B(x)+c, тогда A(q)+c<B(q)+c, из обеих частей вычтем число c, получим A(q)<B(q), где q – решение неравенства A(x)<B(x).
Таким образом, неравенства A(x)<B(x) и A(x)+c<B(x)+c являются равносильными. Для наглядности укажем пример: x>2 и x−5>2−5 – равносильные неравенства, а, учитывая рассматриваемое выше утверждение, равносильным им является и неравенство x−5>−3.
- Свойство, которое мы доказали выше, возможно расширить: прибавив к левой и правой частям неравенства одно и то же выражение с учетом соблюдения ОДЗ данного неравенства, получим равносильное неравенство.
Исходному неравенству x<7 будет равносильно неравенство x+(12·x−1)<7+(12·x−1).
- Указанные выше равносильные преобразования дают как следствие еще одно действие, пожалуй, основное в процессе преобразования неравенств: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком служит равносильным преобразованием.
Исходному неравенству 3·x−5·y>12 равносильно неравенство 3·x>12+5·y.
- Равносильным преобразованием также является умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число. И, умножив (или разделив) обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный (< на >, > на <, ≤ на ≥, а ≥ на ≤), получим равносильное неравенство.
Докажем сначала первую часть утверждения. Допустим, задано неравенство A(x)<B(x) и c – некое положительное число. Приведем доказательство, что A(x)<B(x) и A(x)·c<B(x)·c – равносильные неравенства. Примем q как решение заданного неравенства, в таком случае верным будет числовое неравенство A(q)<B(q). Опираясь на свойства числовых неравенств, можем утверждать, что, умножив обе части верного числового неравенства на положительное число, получим верное числовое неравенство. Производим умножение на заданное число c, что дает нам A(q)·c<B(q)·c. Это значит, что q – решение неравенства A(x)·c<B(x)·c.
Теперь в обратную сторону: примем q как решение неравенства A(x)·c<B(x)·c, в таком случае: A(q)·c<B(q)·c. Разделим обе части этого числового неравенства на положительное число c (опираясь на свойства числовых неравенств), что даст нам верное числовое неравенство A(q)<B(q). Отсюда можно сделать вывод, что q – решение неравенства A(x)<B(x). Так, мы доказали, что при положительном числе c неравенства A(x)<B(x) и A(x)·c<B(x)·c являются равносильными.
Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.
Задано неравенство 2·x≤5. Умножим его левую и правую части на положительное число 3, что даст нам равносильное неравенство 6·x≤15.
Задано неравенство -23·z<1. Разделим левую и правую его части на отрицательное число -23, сменив знак неравенства. Получим z>-112 – неравенство, равносильное заданному.
Расширим и это свойство неравенств:
- умножив обе части заданного неравенства на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства, не изменяющее ОДЗ, получим равносильное неравенство;
- умножив обе части неравенства на одно и то же выражение, отрицательное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства и не изменяющее ОДЗ, а также изменив знак равенства на противоположный, получим равносильное неравенство.
Задано неравенство x>1. Умножим его правую и левую части на выражение x2+1, положительное на всей ОДЗ, и получим равносильное неравенство x·(x2+1)>1·(x2+1).
В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.
Результат неравносильных преобразований неравенств
Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.
Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.
Разберем примеры для лучшего понимания теории.
Пусть заданы неравенства x>−2 и 1x-1x+x>-2. Решением первого будет числовой промежуток (−2, +∞), а второго – множество -2, 0∪0, +∞.
Пусть необходимо решить второе неравенство.
Конечно, сазу приходит мысль об упрощении левой части приведением слагаемых, произведя замену просто на х, что даст переход к простому неравенству x>−2. Однако мы намеренно не учтем, что переход надо осуществить на ОДЗ переменной х (х≠0), тогда предложенное выше преобразование даст нам неравносильное неравенство x>−2, а следовательно – неверный ответ (−2, +∞) взамен нужного -2, 0∪0, +∞.
Посмотрим с другой стороны:
Мы решим неравенство x>−2. При этом нам захотелось заменить его якобы равносильным неравенством 1x-1x+x>-2. Однако оно не является таковым: нуль не служит его решением, однако служит решением исходного неравенства. Суть в том, что выражение в его левой части тождественно равно не на всей области допустимых значений исходного неравенства: когда х=0, неравенство не равно x (при х=0 оно не определено). Совершенные действия приведут нас к неверному ответу -2, 0∪0, +∞ взамен правильного (−2, +∞).
Признак вероятного неравносильного преобразования – сужение области допустимых значений. Вновь обратимся к примеру выше: когда мы производили переход от неравенства x>−2 к неравенству 1x-1x+x>-2, произошло сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел до множества без нуля. Такое положение вещей точно указывает на то, что полученное в итоге неравенство никак не будет равносильным исходному, т.е. такой переход не приведет к необходимому верному результату.
Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.
Равносильными неравенствами называют неравенства, решения которых совпадают. Равносильными считаются также неравенства, которые не имеют решений.
Примеры:
- Неравенства (x-1>2) и (x+7>10) равносильны, так как их решения совпадают: (x>3).
- Равносильны и неравенства (6x^2-7x+8<6x^2-7x+1) и (2x-4>2x+5) – ни одно из них не имеет решений.
- А вот неравенства (-2x<4) и (x<-2) неравносильны, так как, например, у первого решением будет (x ϵ (-2;∞)), а решение второго – (x ϵ (-∞;-2)).
Равносильные преобразования неравенств – это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным неравенствам.
Основные равносильные преобразования неравенств:
- Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
(4x-1>7)
(4x>7+1) -
а) Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или выражение не равное нулю.
(4x<8) (|:4)
(x<2)(x(x^2+1)≥x^2+1) (|:(x^2+1))
(x≥1)б) Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или выражение с переменой знака неравенства на противоположный.
(-4x<8) (|:-4)
(x>-2)(-x(x^2+49)≥-x^2-49) (|:(-x^2-49))
(x leq 1) -
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
((x+1)^2≤4)
(x^2+2x+1≤4)(5^{x+1}>25)
(5^{x+1}>5^2) - Возведение в нечетную степень обеих частей неравенства.
(sqrt[3]{12x^2-28x+8}≤2)
(12x^2-28x+8≤8) - Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
((x-5)^3<(2x+4)^3)
(x-5<2x+4) -
а) Переход вида: (a^{f(x)}∨a^{g(x)}) (⇔) (f(x)∨g(x)), если (a>1).
(5^{x^2-2x}>5^{x-2})
(x^2-2x>x-2)б) Переход вида: (a^{f(x)}∨a^{g(x)}) ⇔ (f(x)∧g(x)),если (a∈(0;1)).
((frac{1}{4})^{x-1}< (frac{1}{4})^4)
(x-1>4) -
а) Переход вида: (log_{a}{f(x)}∨log_{a}{g(x)}⇔ f(x)∨g(x)), если (a>1) и (begin{cases}f(x)>0\g(x) >0end{cases})
(log_{3}{(x-2)}) (≤) (log_{3}{9})
ОДЗ: (x>2)
(x-2) (≤) (9)б) Переход вида: (log_{a}{f(x)}∨log_{a}{g(x)}⇔ f(x)∧g(x)), если (a∈(0;1)) и (begin{cases}f(x)>0\g(x) >0end{cases})
(log_{3}{(x-2)}) (≤) (log_{3}{9})
ОДЗ: (x>2)
(x-2) (geq) (9)
Пример: Найдите равносильные неравенства. Укажите, какие виды равносильных преобразований применялись:
|
a) (x^2-2x<-1) |
b) (3x<6) |
|
c) (x^2<2x+1) |
d) (x^2-4x+4>0) |
|
e) (sqrt[3]{x}>2) |
f) (0,1^{x^2-2x}>0,1^x) |
Решение:
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) применялось равносильное преобразование 2.
В пункте c) умножили неравенство на (-1), но не поменяли знак неравенства – значит применилось не равносильное преобразование.
В пункте d) применялась формула квадрата разности – равносильное преобразование 3 .
В пункте e) возвели обе части неравенства в куб, но при этом поменяли знак неравенства – преобразование не равносильное
В пункте f) перешли от вида (a^{f(x)}>a^{g(x)}) к виду (f(x) < g(x)), и т.к. (a∈(0;1)) – это преобразование равносильное.
Равносильные преобразования применяют, чтобы найти решение неравенства. Каждый раз, когда вы правильно решали неравенство, вы использовали равносильные преобразования. Фактически вместо «равносильные преобразования» можно сказать «правильные преобразования».
Пример: Решите неравенство (-2x(x-2)≤6-4x)
|
(-2x(x-2)≤6-4x) |
Используем 3 равносильное преобразование – раскроем скобки. |
|
|
(-2x^2+4x≤6-4x) |
Используем 1 равносильное преобразование – перенесем все слагаемые в правую часть |
|
|
(-2x^2+4x+4x-6≤0) |
Используем 3 равносильное преобразование – приведем подобные слагаемые |
|
|
(-2x^2+8x-6≤0) |
Используем 2 равносильное преобразование – поделим все неравенство на (-2) |
|
|
(x^2-4x+3≥0) |
Используем 3 равносильное преобразование – разложим квадратный трехчлен на множители. |
|
|
(D=16-12=4=2^2) |
Воспользуемся методом интервалов. | |
|
Метод интервалов – не относится к равносильным преобразованием, это именно метод решения неравенств.
Запишем ответ |
Ответ: (xin(-infty;1]cup [3;infty) )
Два неравенства (f(x) > g(x)) и (r(x) > s(x)) являются равносильными,
если множество их решений совпадают, в частности множества решений могут быть пустыми.
Чтобы решить неравенство, выполняют равносильные преобразования этого неравенства, на каждом шаге переходя к более простому равносильному ему неравенству.
Равносильные преобразования неравенств
|
Исходное неравенство |
Равносильное неравенство |
Равносильное преобразование |
|
3×2+3,6x≤0,84 |
3×2+3,6x−0,84≤0 |
перенос слагаемого (0,84) из правой части неравенства в левую с заменой знака |
|
4×2−14x+12≥0 |
2×2−7x+6≥0 |
деление левой и правой частей неравенства на положительное число (2) |
|
−2×2+7x−6>0 |
2×2−7x+6<0 |
умножение обеих частей неравенства на отрицательное число (-1) с заменой знака неравенства > на < |
|
2t2+37t−6>0 |
7t−6>0 |
деление левой и правой частей неравенства на положительное (при любых (t)) выражение 2t2+3 , знак неравенства не изменился |
|
11z+6−2z2−3<0 |
11z+6>0 |
умножение левой и правой частей неравенства на отрицательное (при любых (z)) выражение −2z2−3 , с заменой знака неравенства (<) на (>). |
В основе решения
неравенств с одной переменной лежит
понятие равносильности.
Определение.
Два неравенства
называются равносильными, если их
множества решений равны.
Например,
неравенства 2 x
+ 7 > 10 и 2 x
> 3 равносильны, так как их множества
решений равны и представляют собой
промежуток (2/3, ∞).
Теоремы о
равносильности неравенств и следствия
из них аналогичны соответствующим
теоремам о равносильности уравнений.
При их доказательстве используются
свойства истинных числовых неравенств.
Теорема
3. Пусть неравенство
f(х)
> g(х)
задано на множестве
X
и h(x)
– выражение, определенное на том же
множестве. Тогда неравенства f(х)
> g(х)
и f(х)+
h(x)
> g(х)
+ h(x)
равносильны на
множестве X.
Из этой теоремы
вытекают следствия, которые часто
используются при решении неравенств:
-
Если
к обеим частям неравенства f(х)
> g(х)
прибавить одно и
то же число d,
то получим неравенство
f(х)
+ d
> g(х)+
d,
равносильное
исходному.
-
Если какое-либо
слагаемое (числовое выражение или
выражение с переменной) перенести из
одной части неравенства в другую,
поменяв знак слагаемого на
противоположный, то получим неравенство,
равносильное данному.
Теорема
4. Пусть неравенство
f(х)
> g(х)
задано на множестве X
и h(х)
– выражение, определенное на том же
множестве, и для всех х
из множества X
выражение h(х)
принимает положительные
значения. Тогда неравенства f(х)
> g(х)
и f(х)·
h(x)
> g(х)
· h(x)
равносильны на
множестве X.
Из
этой теоремы вытекает следствие: если
обе части неравенства f(х)
> g(х)
умножить на одно и то
же положительное число d,
то получим неравенство
f(х)·d
> g(х)
·d,
равносильное данному.
Теорема
5. Пусть неравенство
f(х)
> g(х)
задано на множестве
X
и h(х)
– выражение, определенное на том же
множестве, и для всех х
их множества X
выражение h(х)
принимает отрицательные значения. Тогда
неравенства f(х)
> g(х)
и f(х)·
h(x)
> g(х)·
h(x)
равносильны на
множестве X.
Из
этой теоремы вытекает следствие: если
обе части неравенства f(х)
> g(х)
умножить на одно и то
же отрицательное число d
и знак неравенства
поменять на противоположный, то получим
неравенство f(х)·d
> g(х)
·d,
равносильное данному.
3. Решение неравенств с одной переменной
Решим
неравенство 5х
– 5 < 2х – 16,
х €
R,
и обоснуем все преобразования, которые
мы будем выполнять в процессе решения.
|
Преобразования |
Обоснование |
|
Воспользовались |
|
Выполнили 226 |
|
3. Разделим обе |
Воспользовались |
Решением
неравенства х
< 7 является промежуток (-∞, 7) и,
следовательно, множеством решений
неравенства 5х
– 5 < 2х + 16
является промежуток (-∞, 7).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Дата публикации: 10 апреля 2017.
Алгебра – 11 класс. Равносильность неравенств
Урок и презентация на тему:
“Равносильность неравенств. Системы неравенств”
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:
Равносильность неравенств. Системы неравенств (PPTX)
Ребята, мы рассмотрели основные принципы решения уравнений с одной переменой. Давайте рассмотрим неравенства с одной переменой.
Вообще, что такое неравенство? Выражение вида $f(x)>g(x)$; $(f(x)<g(x))$ являются неравенствами. При записи неравенств в общем виде не принципиально, какой знак неравенства применять. Все свойства, рассмотренные на нашем уроке, распространяются как на строгие, так и не строгие неравенства.
Любое значение переменой х, при котором неравенство $f(x)>g(x)$ превращается в верное числовое неравенство, называется решением или чаще говорят частное решение. Множество всех частных решений называется общим решением.
Итак, под решением неравенства могут подразумевать следующее:
а) Частное решение – конкретное значение переменой, при которой выполняется неравенство. Например, для неравенства $x>7$, частным решением будет $х=10$ или $х=999$.
б) Общее решение – множество всех частных решений, т.е. все числа при которых выполняется данное неравенство. Для неравенства $x>7$ общее решение оно само и есть. Или мы можем записать общее решение в виде промежутка $xϵ(7;+∞)$.
в) Под решением можно понимать и сам процесс решения неравенства – выбор метода решения или какие-либо другие математические операции.
Равносильность неравенств
Определение. Два неравенства с одной переменой $f(x)>g(x)$ и $h(x)>q(x)$ называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.
Определение. Если решение неравенства $f(x)>g(x)$ (1) содержится в решении неравенства $h(x)>q(x)$ (2), то неравенство (2) является следствием неравенства (1).
Например, решением неравенства $x^2>16$ являются два промежутка $(-∞;-4)$ и $(4;+∞)$. Решением неравенства $x>4$ является промежуток $(4;+∞)$. Решение второго неравенства является частью решения первого, а поэтому первое неравенство – это следствие второго неравенства.
Если знаки неравенства поменять местами, то уже второе неравенство станет следствием первого. Решением $x^2<16$ является промежуток $(-4;4)$, решение неравенства $х<4$ – промежуток $(-∞;4)$. Решение первого неравенства является частью решения второго.
Решением неравенства, чаще всего, получаются бесконечные промежутки чисел. Поэтому полную проверку решения проводить не удобно и практически невозможно. При решении неравенств стоит применять только равносильные преобразования, которые не приведут к неравенствам следствиям. Неравенства следствия, как и в случае с уравнениями, могут привести к потере решений. Какие преобразования равносильны для неравенств?
Теоремы о равносильности неравенств
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части в другую, поменяв при этом знак на противоположный и оставив при этом знак неравенства без изменений, то получится неравенство равносильное исходному.
Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и туже нечетную степень, оставив при этом знак неравенства без изменений, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3.
а) Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$.
б) Если $0<a<1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)<g(x)$. (Знак неравенства меняется на противоположный).
Теорема 4.
а) Если обе части неравенства $f(x)>g(x)$ умножить на одно и тоже выражение $h(x)$, положительное при всех х, из области определения неравенства $f(x)>g(x)$, оставив при этом знак неравенства без изменений, то получится неравенство $f(x)*h(x)>g(x)*h(x)$, равносильное исходному.
б) Если обе части неравенства $f(x)>g(x)$ умножить на одно и тоже выражение $h(x)$, отрицательное при всех х, из области определения неравенства $f(x)>g(x)$, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство $f(x)*h(x)<g(x)*h(x)$, равносильное исходному.
Теорема 5.
Если обе части неравенства $f(x)>g(x)$ неотрицательны на всей области определения (ОДЗ), то после возведения неравенства в одну и ту же четную степень n, получится неравенства того же знака ${f(x)}^n>{g(x)}^n$, равносильное данному.
Теорема 6. Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то:
а) при $a>1$ логарифмическое неравенство $log_af(x)>log_ag(x)$ равносильно неравенству того же смысла: $f(x)>g(x)$;
б) при $0<a<1$ логарифмическое неравенство $log_af(x)>log_a g(x)$ равносильно неравенству противоположного смысла: $f(x)<g(x)$.
Системы и совокупности неравенств
Определение. Несколько неравенств с одной переменой образуют систему неравенств. Если надо найти все значения переменной, каждая из которых является частным решением всех заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств – это общее решение системы неравенств.
Решение системы неравенств – это пересечение множеств частных решений каждого конкретного неравенства системы.
Определение. Несколько неравенств образуют совокупность неравенств, если требуется найти все значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение – частное решение совокупности неравенств. Множество всех частных решений – общее решение или просто решение совокупности неравенств.
Решение совокупности неравенств – есть объединение множеств частных решений каждого конкретного неравенства совокупности.
Системы неравенств объединяются фигурной скобкой, а совокупности неравенств – квадратной скобкой.
Пример.
Решить систему и совокупность неравенств:
Решение.
а) Наши неравенства представляют собой обычные линейные неравенства, решение, которых найти не сложно: $begin {cases} x>2, \ x≥6 end {cases}$.
Нам нужно найти пересечение двух множеств решений. Проще всего это сделать графически, нарисовав два промежутка:
Как видно из рисунка решение неравенства – это промежуток $[6;+∞)$.
Ответ: $xϵ[6;+∞)$.
б) Неравенства в данной совокупности полностью аналогичны пункту a). Только в этой задаче нам требуется найти объединение решений каждого неравенства. По рисунку не трудно заметить, что объединение – это промежуток $(2;+∞)$.
Ответ: $xϵ(2;+∞)$.
При решении неравенств учитывайте: если одно из неравенств является следствием другого, то неравенства следствия можно отбрасывать.
Давайте вернемся к логарифмическим неравенствам:
$log_a f(x)>log_a g(x)$, $a>1$ равносильно системе: $begin {cases} f(x)>0, \ g(x)>0, \ f(x)>g(x) end {cases}$.
$log_af(x)>log_a g(x)$, $0<a<1$ равносильно системе: $begin {cases} f(x)>0, \ g(x)>0, \ f(x)<g(x) end {cases}$.
Если $f(x)>g(x)$ и $g(x)>0$, тогда $f(x)$ точно больше нуля. Для второго случая: если $f(x)<g(x)$ и $f(x)>0$, то $g(x)$ в этом случае больше нуля.
Мы можем отбросить неравенства следствия, то есть при решении логарифмических неравенств достаточно решить:
$log_af(x)>log_ag(x)$, $a>1$ равносильно системе: $begin {cases} g(x)>0, \ f(x)>g(x) end {cases}$.
$log_a f(x)>log_a g(x)$, $0<a<1$ равносильно системе: $begin {cases} f(x)>0, \ f(x)<g(x) end {cases}$.
Пример.
Решить неравенство: $log_{x-3}(2x+3)>log_{x-3}(3x-5)$.
Решение.
От того, каково основание логарифма зависит, какое равносильное преобразование мы можем произвести. Нам следует рассмотреть два случая:
а) $x-3>1$; б) $0<x-3<1$.
Тогда, в соответствии с уточнением, приведенным выше, имеем две системы неравенств. С учетом области допустимых значений неравенства:
а) $begin {cases} x-3>1, \ 2x+3>3x-5, \ 3x-5>0 end {cases}$.
б) $begin {cases} 0<x-3<1, \ 2x+3<3x-5, \ 2x+3>0 end {cases}$.
а) $begin {cases} x>4, \ x<8, \ x>frac{5}{3} end {cases}$.
б) $begin {cases} 3<x<4, \ x>8, \ x>-1,5end {cases}$.
Решением системы неравенств (а) является промежуток $(4;8)$.
Система неравенств (б) – решений не имеет.
Ответ: $xϵ(4;8)$.
