Как составить ряд чисел правило

Содержание:

Числовые ряды:

При решении ряда математических задач, в том числе и в приложениях математики в экономике, приходится рассматривать суммы, составленные из бесконечного множества слагаемых. Из теории действительных чисел известно лишь, что означает сумма любого конечного числа чисел. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых решается в теории рядов.

Основные понятия. Сходимость ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел

Числа называются членами ряда, а член — общим или -м членом ряда.

Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член т.е. задана функция натурального аргумента. Например, ряд с общим членом имеет вид

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член. Эта задача имеет бесконечно много решений, но иногда удается найти самое естественное решение.

Пример:

Найти в простейшей форме общий член ряда:

Решение:

Нетрудно убедиться, что для ряда а) общий член а для ряда б)

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

Сумма п первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Число называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример:

Исследовать сходимость геометрического ряда, т.е. ряда, составленного из членов геометрической профессии

Решение:

Необходимо установить, при каких значениях знаменателя профессии ряд (13.4) сходится и при каких — расходится.

Из школьного курса алгебры известно, что сумма первых членов геометрической профессии, т.е. -я частичная сумма ряда при равна

Возможно несколько случаев:

1) если

т.е. ряд сходится и его сумма

2) если следовательно, и ряд расходится;

3) если то ряд (13.4) примет вид его -я частичная сумма т.е. ряд расходится;

4) если то ряд (13.4) примет вид при четном и — при нечетном, следовательно, не существует, и ряд расходится.

Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

-я частичная сумма ряда

Учитывая, что

Отсюда т.е. сумма ряда

Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд (полученный умножением данного ряда на число ) также сходится и имеет сумму .

2. Если ряды сходятся и их суммы соответственно равны то и ряд (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна

Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из свойств пределов числовых последовательностей.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

Пусть в сходящемся ряде (13.1) отброшены членов (в принципе можно отбрасывать члены с любыми номерами, лишь бы их было конечное число). Покажем, что полученный ряд

имеющий частичную сумму также сходится.

Очевидно, что Отсюда следует, что при фиксированном конечный предел существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел . А это и означает, что ряд (13.7) сходится. ■

Ряд (13.7), полученный из данного отбрасыванием его первых членов, называется -м остатком ряда.

Если сумму -го остатка ряда обозначить через т.е.

то сумму ряда (13.1) можно представить в виде

В результате мы подошли к свойству 4.

4. Для того чтобы ряд (13.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы

Это свойство вытекает из теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций (см. § 6.3).

Установить сходимость (расходимость) ряда путем определения и вычисления (как это сделано в примерах 13.2, 13.3) возможно далеко не всегда из-за принципиальных трудностей при нахождении (суммировании членов ряда). Проще это можно сделать на основании признаков сходимости, к изучению которых мы переходим.

Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е.

Выразим -й член ряда через сумму его и членов, т.е. Так как ряд сходится, то и Поэтому

Пример №1

Проверить выполнение необходимого признака для ряда (13.6).

Решение:

Выше было доказано, что ряд (13.6) сходится, и действительно т.е. необходимый признак сходимости выполняется. ►

Следствие. Если предел общего члена ряда (13.1) при не равен нулю, т.е. то ряд расходится.

Предположим противное, т.е. ряд (13.1) сходится. Но в этом случае из приведенной выше теоремы следует , что противоречит условию, заданному в следствии, т.е. ряд (13.1) расходится. ■

Пример №2

Исследовать сходимость ряда

Решение:

т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится. ►

Замечание. Следует подчеркнуть, что рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный признак сходимости ряда. Если то из этого еще не следует, что ряд сходится.

В качестве примера рассмотрим ряд

называемый гармоническим.

Необходимый признак сходимости выполнен: Докажем, что, несмотря на это, гармонический ряд расходится.

Вначале получим вспомогательное неравенство. С этой целью запишем сумму первых членов ряда:

Найдем разность

Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим, равным придем к вспомогательному неравенству

Предположим противное, т.е. что гармонический ряд сходится, тогда и, переходя к пределу в неравенстве (см. § 6.5), получим, что

Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится. ■

В следующих двух параграфах рассмотрим достаточные признаки сходимости.

Ряды с положительными членами

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами: причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом

Тогда: а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1; б) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

а) Пусть частичные суммы рядов 1 и 2 соответственно равны . По условию ряд 2 сходится, следовательно, существует так как члены ряда 2 положительны. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда 1. Эта последовательность является: возрастающей (так как с ростом увеличивается сумма положительных слагаемых) и ограниченной (так как в силу условия (13.11), т.е. ).

Следовательно, на основании признака существования предела (см. § 6.5) последовательность имеет предел, т.е. ряд 1 сходится.

б) Применим метод доказательства от противного. Предположим, что ряд 2 сходится. Тогда согласно первой части теоремы сходится и ряд 1, что противоречит предположению; т.е. ряд 2 расходится. ■

Замечание. Так как сходимость ряда не изменяется при отбрасывании конечного числа членов ряда, то условие (13.11) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами . Достаточно, чтобы оно выполнялось, начиная с некоторого номера или чтобы имело место неравенство где — некоторое целое число.

Пример №3

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом (его знаменатель ).

Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда и вообще то на основании признака сравнения ряд сходится. ►

Пример №4

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на расходимость ряда). Так как и вообще (ибо т.е. члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, то на основании признака сравнения ряд расходится. ►

сходится при расходится при здесь же отметим, что при расходимость ряда (13.12) следует из признака сравнения, так как в этом случае члены ряда больше соответствующих членов гармонического ряда а в частном случае при сходимость ряда (13.12) может быть доказана сравнением этого ряда со сходящимся (13.6)).

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (13.11), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т.п.). В ряде случаев более простым оказывается предельный признак сравнения.

Теорема (предельный признак сравнения)

Теорема (предельный признак сравнения). Если — ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов то ряды одновременно сходятся либо расходятся.

Так как , то по определению предела числовой последовательности (см. § 6.1) для любого существует такой номер , что для всех выполняется неравенство

Если ряд сходится, то сходится ряд и в силу признака сравнения будет сходиться ряд аналогично, если сходится ряд сходится ряд и сходится . Таким образом, из сходимости одного ряда следует сходимость другого. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается аналогично. 

Пример №5

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим (выбор такого ряда для сравнения может подсказать то, что при больших ). Так как то данный ряд, так же как и гармонический, расходится. ►

Весьма удобным на практике является признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера)

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения -го члена к -му члену Тогда, если то ряд сходится; если то ряд расходится; если то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

 Из определения предела последовательности следует, что для любого существует такой номер , что для всех выполняется неравенство 1) Пусть Выберем настолько малым, что число

Последнее неравенство будет выполняться для всех , т.е. для

Получили, что члены ряда меньше соответствующих членов геометрического ряда сходящегося при Следовательно, на основании признака сравнения этот ряд сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд отличающийся от полученного на первые членов.

2) Пусть Возьмем настолько малым, что Тогда из условия следует, что Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера поэтому предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. не выполнен необходимый признак сходимости, и ряд расходится. ■

Пример №6

Исследовать сходимость рядов:

Решение:

а) Так как то по признаку Даламбера ряд сходится.

б) Так как

то по признаку Даламбера ряд расходится. ►

Замечание 1. Если то ряд расходится.

Замечание 2. Если то, как отмечалось выше, признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сходимости.

Теорема (интегральный признак сходимости)

Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть дан ряд члены которого положительны и не возрастают, т.е.а функция , определенная при непрерывная и невозрастающая и

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

Рассмотрим ряд

Его -й частичной суммой будет

Сходимость ряда (13.14) означает существование предела последовательности его частичных сумм (13.15), т.е. сходимость несобственного интеграла поскольку В силу монотонности функции на любом отрезке или, учитывая (13.13),

Интегрируя (13.16) на отрезке получим

откуда

Если ряд сходится, то по признаку сравнения рядов в силу первого неравенства (13.17) должен сходиться ряд (13.14), а значит, и несобственный интеграл Обратно, если сходится J/(jc)c&, т.е. ряд (13.14), то согласно тому же признаку сравнения на основании второго неравенства (13.17) будет сходиться ряд а следовательно, и данный ряд

Пример №7

Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда

Решение:

Пусть Функция при (а значит, и при ) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла Имеем Если

Если то

Итак, данный ряд сходится при и расходится при

Ряды с членами произвольного знака

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю, т.е.то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: .

 Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при

Эта последовательность возрастающая (так как с ростом увеличивается число положительных слагаемых в скобках) и ограниченная (это видно из того, что можно представить в виде

откуда следует, что ). На основании признака существования предела (см. § 6.5) последовательность имеет предел

Попутно заметим, что, переходя к пределу в неравенстве получим, что

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при Очевидно, что поэтому, учитывая необходимый признак сходимости ряда,

Итак, при любом (четном или нечетном) т.е. ряд сходится. Рис. 13.1 иллюстрирует сходимость к числу слева при четном и справа при нечетном . ■

Из рис. 13.1 вытекает еще одна оценка для суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница: при любом

Пример №8

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена то по признаку Лейбница ряд сходится. ►

Замечание. В теореме Лейбница существенно не только условие но и условие Так, например, для ряда ,

второе условие нарушено и, хотя ряд расходится. Это видно, если данный ряд представить (после попарного сложения его членов) в виде

т.е. «удвоенного» гармонического ряда.

Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

По формуле (13.9) сумму сходящегося ряда можно представить как сумму членов ряда и суммы -гo остатка ряда, т.е. Полагая приближенно мы допускаем погрешность, равную Так как при четном -й остаток знакочередующегося ряда представляет ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, то его сумма не превосходит первого члена Так как при нечетном для -го остатка ряда его сумма то, очевидно, что при любом

Пример №9

Какое число членов ряда надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?

Решение:

По условию Учитывая следствие теоремы Лейбница (13.18), запишем более сильное неравенство или откуда и или т.е. необходимо взять не менее 31 члена ряда. ►

Знакопеременные ряды. Пусть знакопеременный ряд (13.1), в котором любой его член может быть как положительным, так и отрицательным.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (13.1)

сходится, то сходится и данный ряд.

 Обозначим суммы абсолютных величин членов данного ряда (13.1), входящих в него со знаком «плюс» и «минус».

Тогда частичная сумма данного ряда а ряда, составленного из абсолютных величин его членов, По условию ряд (13.19) сходится, следовательно, существует конечный предел

Последовательности являются возрастающими (так как с увеличением увеличиваются ) и ограниченными

значит, существуют пределы и и соответственно предел частичной суммы данного ряда

т.е. ряд (13.1) сходится. ■

Следует отметить, что обратное утверждение неверно. Ряд (13.19) может расходиться, а ряд (13.1) сходиться. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд) расходится.

Поэтому введем следующие определения.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Таким образом, рассмотренный выше ряд — абсолютно сходящийся, а ряд условно сходящимся.

Грубо говоря, различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся — в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Возьмем, например, ряд Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом:

Перепишем ряд в виде:

т.е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Пример №10

Найти сумму ряда доказав его сходимость.

Решение:

Очевидно, что общий член ряда

Представим сумму членов ряда в виде Так как при последовательность имеет конечный предел, то ряд сходится, и его сумма

Пример №11

Исследовать сходимость ряда:

Решение:

а) Проверим выполнение необходимого признака сходимости, найдя предел общего члена:

Для вычисления предела отношения двух бесконечно больших функций натурального аргумента правило Лопиталя непосредственно применять нельзя, ибо для таких функций не определено понятие производной. Поэтому применяя теорему о «погружении» дискретного аргумента в непрерывный , получим

следовательно, ряд расходится.

б) Очевидно, что задан ряд с положительными членами, так как ибо аргумент синуса при любом . Так как члены данного ряда меньше членов сходящегося геометрического ряда со знаменателем

(ибо при ), то данный ряд сходится.

в) Представим общий член ряда в виде

Применим предельный признак сравнения, сравнив данный ряд со сходящимся «эталонным» рядом (13.12) при Так как предел отношения общих членов двух рядов

есть конечное число, не равное нулю, то данный ряд, так же как и «эталонный», сходится.

г) Применим признак Даламбера, заметив, что общий член ряда имеет вид

Тогда и т.е. данный ряд сходится.

д) Применим признак Даламбера:

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Проверим выполнение необходимого признака (с этого можно было начать исследование): т.е. необходимый признак выполнен, но вопрос о сходимости ряда по-прежнему не решен.

Применим признак сравнения в более простой предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим.

т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина ( или ) наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов (см. § 13.3). Применим, наконец, признак сравнения в обычной форме. Сравним данный ряд с тем же гармоническим рядом, у которого отброшен первый член:

Так как члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического ряда и вообще

что вытекает из очевидного неравенства ), то данный ряд расходится. ►

Пример №12

Исследовать сходимость ряда:

Решение:

а) Предел общего члена ряда так как знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель колеблется, принимая значения 1 (при четном ) и —1 (при нечетном ). Следовательно, необходимый признак сходимости не выполнен, и ряд расходится.

б) Так как члены знакочередующегося ряда, начиная со второго, убывают по абсолютной величине —

и предел общего члена (это можно установить, например, с помощью правила Лопиталя), то по признаку Лейбница ряд сходится. Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармонического ряда, умноженного на Следовательно, данный ряд условно сходящийся.

в) Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, так как его члены меньше членов сходящегося ряда (13.12) при следовательно, данный ряд сходится и притом абсолютно. ►

Определение ряда и его сходимость

Пусть

бесконечная последовательность чисел.

Определение 27.1.1. Выражение

называется числовым рядом, а элементы последовательности членами ряда.

Поскольку выражение (27.1.2) рассматривается как единое целое, то для задания ряда необходимо задать каждый его член Обычно член ряда задается как некоторая функция от своего номера. Аналитическое выражение этой функции называют общим членом ряда. Например, общим членом ряда геометрической прогрессии является

Припишем теперь определенный смысл выражению (27.1.2), т.е. введем определение.

Определение 27.1.2. Сумма n первых членов ряда (27.1.2) называется n-ой частичной суммой этого ряда.

Ясно, что первая, вторая, третья и т.д. частичные суммы ряда

составляют бесконечную последовательность:

Определение 27.1.3. Ряд (27.1.2) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел:

Значение S этого предела называется суммой ряда (27.1.2). Ряд (27.1.2) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм предела не имеет (например, если члены последовательности возрастают по модулю неограниченно).

Содержание теории числовых рядов состоит в установлении сходимости или расходимости тех или иных рядов и в вычислении сумм сходящихся рядов.

В принципе можно доказывать сходимость или расходимость каждого ряда, а также вычислять сумму сходящегося ряда, опираясь непосредственно на определения сходимости и суммы. Для этого в каждом случае составляется аналитическое выражение для n- ой частичной суммы ряда и находится предел этого выражения при возрастании n.

Пример:

Для ряда -я частичная сумма , и предел ее, поэтому этот ряд сходится и его сумма равна 1.

Пример:

Последовательность вида

называется геометрической прогрессией, где а – первый член, а

q – её знаменатель; выражение называется общим членом геометрической прогрессии.

Числовой ряд члены которого являются членами геометрической прогрессии, называется геометрическим рядом со знаменателем q .

Если в прогрессии (27.1.3) имеется только конечное число членов, то прогрессия называется конечной; в противном случае, если за каждым членом прогрессии следует ещё хотя бы один член, то прогрессия называется бесконечной.

В случае конечной прогрессии можно говорить о сумме всех её членов , которую можно назвать n- ой частичной суммой геометрического ряда.

Известно, что при , эта сумма равна . Из определения 27.1.3 следует, что суммой геометрического ряда

называется предел её частичных сумм при неограниченном возрастании n:

Так как а и q от n не зависят, то последнюю формулу представим в виде:

Если то предел равен нулю, и мы получаем

, т.е. при прогрессия (27.1.5) сходится. Следователь-

но, сходится и ряд (27.1.4). Если же , то предел справа в равенстве (27.1.5) не существует и, следовательно, ряд (27.1.4) расходится.

Итак, мы привели примеры, в которых исследование сходимости рядов проводили, применяя определение 27.1.3., т.е. вычисляли частичные суммы и находили предел их последовательностей. Ясно, что в общем случае, составление аналитического выражения для n- ой частичной суммы трудный вопрос. Кроме того, при исследовании рядов нередко значения сумм не представляют интереса, т.к. нужно определить только сходится ряд или нет. Поэтому представляют интерес методы анализа рядов, когда не требуется вычислять суммы рядов. Далее перейдем к изложению таких методов.

Свойства сходящихся рядов

Пусть дан ряд

Определение 27.2.1. Ряд называется n-м остатком ряда (27.2.1.)

Очевидно, m- я частичная суммаn -го остатка ряда равна разности частичных сумм самого ряда. Кроме того, , откуда, переходя к пределу по m при , получим

Предел слева есть сумма исходного ряда, а предел справа-сумма его n – го остатка: . Ясно, что из существования предела в левой части равенства следует существование другого предела в правой части и наоборот. Поэтому если сходится один из остатков ряда, то сходится и сам ряд. Точно так же из сходимости ряда следует сходимость каждого его остатка. Кроме того, справедлива следующая теорема.

Теорема 27.2.1. Если ряд (27.2.1) сходится, то сумма его n-го остатка с ростом n стремится к нулю.

Доказательство. Выше показано, что . Так как это равенство справедливо для любого n, то мы можем перейти в нем по n к пределу:

Но для сходящегося ряда , поэтому

Рассмотрим теперь свойства сходящихся рядов, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами.

Теорема 27.2.2. Если ряд

имеет сумму S, то ряд

полученный из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число a, имеет сумму aS.

Доказательство. Обозначим последовательность частичных сумм ряда (27.2.2) Тогда последовательность частичных сумм ряда (27.2.3) очевидно будет иметь вид:. И поэтому . Так как ряд

(27.2.2) сходится, то существует и, следовательно, существует предел ив силу этого же равенства он равен aS.

Теорема 27.2.3. Если ряды

и сходятся, а их суммы соответственно равны, то и рядназываемый суммой данных рядов, также сходится и его сумма равна сумме сумм данных рядов , другими словами, сходящиеся ряды можно почленно складывать.

Доказательство. Пусть и

. Тогда n -ая частичная сумма ряда

будет равна и так как существуют, то

существует и равен, т.е.

Следствие. Разность двух сходящихся рядов-ряд сходящийся.

Теорема 27.2.4. Свойства сходимости или расходимости ря-,ki не нарушается, если в ряде исключить или приписать к нему любое конечное число членов.

Доказательство. Пусть два ряда, причём второй получается из первого исключением первых двух членов. Тогда, если – n-я частичная сумма первого ряда, а – n-я частичная сумма второго ряда, то, очевидно, что

Из этого равенства следует, что, если имеет предел, то также имеет предел. Ясно, что эти пределы будут различны, а, именно Если же не имеет предела, то также не имеет предела.

Теорема 27.2.5. (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна S. Из определения n -ой частичной суммы следует, что общий член ряда можно представить в виде разности и-ой частичной суммы и (n-1)-ой частичной суммы: . Переходя к пределу в этом равенстве, получим утверждение теоремы:

Отметим, что условие (27.2.4) не является достаточным, т.е. общий член может стремиться к нулю, но ряд все же может быть расходящимся. Но если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд будет расходящийся.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №13

Исследуем на сходимость гармонический ряд

Решение:

Вначале находим предел общего члена: . Нетрудно, однако, показать, что сумма n первых членов гармонического ряда беспредельно возрастает. Для этого сгруппируем слагаемые, начиная со второго, в группы из 1, 2, 4, 8,… членов: так что в k – ой группе будет членов. Fx л и в каждой групп заменим все члены последним, то получим ряд:

сумма n первых членов которого, равна, очевидно, стремится к :

Но сумма n первых членов заданного гармонического ряда больше суммы n первых членов преобразованного ряда, т.е. . Тогда , что означает, что следовательно, гармонический ряд расходится.

Пример №14

Найти формулу для общего члена ряда

считая, что каждый его последующий член определяется по тому же закону, по которому образованы записанные члены, и найти ею сумму.

Решение:

Каждый член данного ряда представляет собой дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель равен произведению двух последовательных натуральных чисел . Следовательно, искомая формула общего члена ряда имеет вид:

Для вычисления суммы ряда составим n -ую частичную сумму:

Представим выражение для общего члена в виде разности:

тогда

Переходя к пределу, получаем сумму ряда:

Пример №15

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Общий член ряда определяется формулой

Вычислим предел модуля общего члена:

Так как предел общего члена не стремится к нулю, то ряд расходится.

Признаки сходимости числовых знакоположительных рядов

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами. Существует много приёмов, называемых признаками сходимости, позволяющих установить сходимость или расходимость числовых рядов Так мы познакомились с методом исследования сходимости ряда на основании выяснения имеет ли предел последовательность частичных сумм. Стремление к нулю члена ряда по мерс роста его номера также является признаком сходимости, хотя только необходимым. Ниже мы приведём ряд достаточных признаков сходимости.

Признаки сравнения

Теорема 27.3.1. (I признак сравнения). Пусть

и

два ряда, причём члены первого ряда, начиная с некоторого номера k , не превосходят соответствующих членов второго

Тогда из сходимости ряда (27.3.2) следует сходимость ряда (27.3.1), а из расходимости ряда (27.3.1) следует расходимость ряда (27.3.2).

Доказательство. Так как исключение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (теорема 27.2.4.), то достаточно доказать теорему для случая когда неравенства (27.3.3) выполняются для k = 1.

Пусть последовательности частичных сумм рядов (27.3.1) и (27.3.2) соответственно. Это возрастающие последовательности, так как члены рядов неотрицательные числа. В силу неравенств (27.3.3), имеем

Пусть ряд (27.3.2) сходится. Тогда сходится соответствующая последовательность частичных сумм ряда (27.3.2), т.е.

Поскольку выполняются неравенства (27.3.3), то члены последовательности частичных сумм ряда (27.3.1) удовлетворяют неравенству для всех т. Следовательно, последовательность возрастает и ограничена:

Поэтому, в силу признака Больцано-Всйсрштраса, последовательность частичных сумм ряда (27.3.1) сходится. По определению 27.1.3, сходится и ряд (27.3.1).

Пусть теперь ряд (27.3.1) расходится. Это значит, что его частичные суммы неограниченно возрастают. Но тогда, в силу неравенств (27.3.3), неограниченно возрастают и частичные суммы ряда (27.3.2), что означает, что этот ряд расходится. 

Пример №16

Пусть дан ряд

Исследуем его сходимость.

Решение:

Необходимый признак выполняется, т.е.

Для исследования сходимости заданного ряда применим 1 признак

сравнения (теорему 27.3.1). Сравним заданный рядс гармоничсским рядом . Так как выполняются неравенствато ряд расходится, потому что расходится гармонический ряд.

Пример №17

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Очевидно, что предел общего члена при возрастании т стремится к нулю.

Сравним данный ряд, общий член которого с гармоническим рядом который сходится, так как

Поскольку для т.е. выполняются неравенства (27.3.3), то на основании первого признака сравнения заключаем, что исследуемый ряд также сходится.

Теорема 27.3.2. (II признак сравнения). Если для рядов и отношение общих членов стремится к некоторому положительному и конечному пределу:

то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Предельное соотношение (27.3.4), в силу определения означает, что, начиная с некоторою номера N ,

выполняется неравенство. Это неравенство равносильно неравенству:

Обозначив , неравенство (27.3.5) запишется в виде:

Предположим, что ряд сходится. Поскольку выполняется неравенство то, из первого признака сравнения, следует сходимость ряда в силу теоремы 27.2.2, и ряда . Если же ряд расходится, то расходится и ряд по теореме 27.2.2. Тогда, поскольку выполняется неравенство , расходится и ряд в силу I признака сравнения. Аналогично рассуждая можно показать, что из сходимости ряда следует сходимость ряда по I признаку сравнения с использованием теоремы 27.2.2. 13

Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число а , что для любого положительного числа найдется номер такой, что для всех выполняется неравенство

Пример №18

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Очевидно, что . Поэтому, воспользуемся признаком сравнения, сравнив заданный ряд с гармоническим. Найдем предел отношения общих членов исследуемого ряда и гармонического:

Теорема 27.3.2 выполняется, поэтому из расходимости гармонического ряда следует расходимость исследуемого ряда.

Признаки Д’Аламбсра и Коши

Иногда вместо признаков сравнения оказываются полезными некоторые специальные признаки сходимости ряда. Отметим среди них признаки Д’Аламбсра и Коши, непосредственно получающиеся из признаков сравнения, если в качестве ряда сравнения взять соответствующим образом выбранную геометрическую прогрессию.

Теорема 27.3.3. (признак Д’Аламбера). Если для ряда

с положительными членами существует такой номер , начиная с которого, т.е. при , отношение последующего члена к предыдущему удовлетворяет неравенству: , то ряд (27.3.6) сходится. Если же существует номер , начиная с которого, т.е. при отношение последующего члена к предыдущему больше единицы: то ряд (27.3.6) расходится.

Доказательство. Пусть 0 q 1 и пусть существует такой номер , что при . выполняется неравенство:Перепишем это неравенство в виде: . Тогда, начиная с номера буду последовательно выполнятся неравенства:

Ряд , являясь суммой член геометрической прогрессии со знаменателем , сходите Из неравенств (27.3.7) следует, что по I признаку сравнения, сходится и ряд значит и весь ряд (27.3.6

т.к. на сходимость ряда не влияет исключение конечного числа е^ членов.

Если же существует такое , что выполняется неравенств для всех , то, переписав его в виде , можно для всех , последовательно записать следующие неравенство

Так как по предположению , то n-ный член ряда будучи ограниченным снизу положительной постоянной не стремится к нулю. Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, и поэтому ряд (27.3.6) расходится.

Следствие 1. Пусть существует предел отношения последующего члена ряда (27.3.6) к предыдущему равный r :

Тогда, если то ряд (27.3.6) сходится: если же то ряд (21.3.6) расходится.

Доказательство. Воспользовавшись определением предела, для фиксированного , можно утверждать, что начиная с некоторого номера , для всех , все отношения будут отличатся от значения предела r на число

Рассмотрим правую часть двойного неравенства: . Тогда сославшись на доказанную теорему 27.3.3, в случае если r 1, получаем сходимость ряда. Рассматривая левую часть неравенства

, получаем расходимость ряда приr > 1. Следствие доказано.

Пример №19

Рассмотрим ряд , сходимость которого исследуем, используя признак Даламбера, т.е. следствие 1.

Решение:

Выпишем вначале значения

Затем вычислим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

Так как этот предел меньше 1, то, в силу следствия 1, данный ряд сходится.

Заметим, что при исследовании сходимости ряда обычно (как правило, но не всегда) применяют следствие 1 из теоремы 27.3.3.

Теорема 27.3.4. (признак Kouiu). Если для ряда

с положительными членами, начиная с некоторого номера . выполняется неравенство для всех , то ряд (27.3.6) сходится. Если же существует такой номер , начиная с которого выполняется неравенство для всех , то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть существует такой номер , что при всех выполняется неравенство Тогда, возводя обе части неравенства в степень n, получим . Так как сходится геометрический ряд , то на основании признака сравнения, получаем, что ряд сходится. Если же существует номер , такой что для всех , то ясно, что , и значит (не выполняется необходимый признак сходимости), поэтому ряд расходится.

Следствие 2. Пусть существует предел корня n -ой степени из n-го члена ряда (27.3.9):

Тогда, если , то ряд (27.3.9) сходится, если же, то ряд (27.3.9) расходится.

Доказательство. Из определения предела следует, что для фиксированного существует номер , начиная с которого выполняется неравенство Это неравенство равносильно неравенству. Из правой части неравенства следует, поскольку сколь угодно малое число. Тогда из теоремы 27.3.4, получаем сходимость ряда (27.3.9). Рассматривая левую часть неравенства, получим и если, то из теоремы 27.3.4 следует расходимость ряда (27.3.9). Следствие доказано.

Пример №20

Рассмотрим ряд , сходимость которого исследуем по признаку Коши, т.е. применим следствие 2.

Решение:

Выпишем значение n-го члена ряда н вычислим предел корня n -ой степени:

Так как этот предел меньше 1, то, согласно следствию 2, ряд сходится.

Замечание. Если пределы (27.3.8) и (27.3.10) равны 1, то для исследования сходимости ряда (27.3.9) нужно применять другие признаки, с которыми можно ознакомиться в [3].

Интегральный признак сходимости

Рассмотрим признак, достоинство которого состоит в исключительно высокой его чувствительности. Этим признаком проводится исследование сходимости там, где сформулированные признаки Д’Аламбсра и Коши «не работают».

Каждый член числового ряда можно рассматривать как значение функции f от его номера:

Эта функция определена пока только для целых положительных значений аргумента. Поэтому, доопределив значение функции f для всех нецелых значений аргумента, больших единицы, мы сможем, говорить о функции f(x), принимающей значения для любого и при х = n, равные членам числового ряда. Теорема 27.3.5. Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают Если функция f, определённая для всех , неотрицательна и монотонно убывает, то ряд (27.3.11) сходится или расходится тогда и только тогда, когда сходится или

расходится интеграл

Доказательство. Пусть члены ряда (27.3.11) удовлетворяют условиям теоремы. Изобразим их графически, откладывая по оси Ох независимую переменную, а по оси Оу – соответствующие значения .

При таком графическом изображении сумма n первых членов ряда представляет сумму площадей описанных прямоугольников, которая заключает внутри себя площадь, ограниченной кривой , осью Ох и прямыми и поэтому будет выполняться неравенство:

С другой стороны, криволинейная трапеция содержит сумму площадей вписанных прямоугольников, которая равна Поэтому, выполняется неравенство:

Из (27.3.12) и (27.3.13) следует неравенство:

Предположим, что несобственный интеграл сходится. Это означает, что является конечным числом. Тогда из неравенства (27.3.14) следует, что последовательность частичных сумм возрастающая и ограничена при всех n. Тогда в силу теоремы: “возрастающая последовательность, ограниченная сверху, сходится”, числовой ряд (27.3.11) сходится. Если же несобствснный интеграл расходится, т.е. , то из неравенства (27.3.12) следует, что последовательность частичных сумм не ограничена. Тогда в силу определения 27.1.3 ряд будет расходящимся.

Пример №21

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Применим интегральный признак. Рассмотрим функцию которая положительна и убывает при х> 2, и исследуем сходимость несобственного интеграла:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд в силу инте1рального признака Коши.

Замечание. Исследовать сходимость данного ряда при помощи следствий 1 и 2 не представляется возможным, так как соответствующие пределы равны 1.

Пример №22

Исследовать сходимость ряда Дирихле

Решение:

Если , то общий член ряда не стремится к нулю. На основании следствия из необходимого признака сходимости, следует расходимость ряда Дирихле при .

Пусть а > 0, тогда необходимый признак, очевидно, выполняется. Применим интегральный признак Коши. Введем функцию

, которая положительная и не возрастает при и исследуем сходимость несобственного интеграла

Вычислим определенный интеграл, записанный под знаком предела:

Если существует и равен а при указанный предел не существует.

Таким образом, при a>1 несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд Дирихле, а при несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд Дирихле.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10…) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48….)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.

Иными словами, для последовательности (a_n={ 3;: 6; :12; : 24; : 48; : 96; : 192; : 384…}).

порядковый номер элемента	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	…
обозначение элемента	(a_1)	(a_2)	(a_3)	(a_4)	(a_5)	(a_6)	(a_7)	(a_8)	…
значение элемента	(3)	(6)	(12)	(24)	(48)	(96)	(192)	(384)	…

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

– I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

– II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Четвертый ((n=3)):     (c_{3+1}=c_3+3)
                                         (c_4=c_3+3=10+3=13).

Пятый ((n=4)):   (c_{4+1}=c_4+3)
                              (c_5=c_4+3=13+3=16).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_{n+1}=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_{n+1}) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;)   (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:	Вычисления:
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) ? ? ? (…)	Так как формула дана для элемента с номером (n+2), то чтобы найти (z_3) нужно подставлять вместо (n) единицу: (z_{1+2}=3z_{1+1}-z_1) (z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) ? ? (…)	Теперь найдем (z_4), подставив вместо (n) двойку: (z_{2+2}=3z_{2+1}-z_2) (z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) (34) ? (…)	Наконец вычисляем (z_5), подставляя вместо (n) тройку: (z_{3+2}=3z_{3+1}-z_3) (z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) (34) (89) (…)	Готово. Можно писать ответ.

Ответ: (c_3=13); (c_4=34); (c_5=89).

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):

а) (1)               б) (3)               в) (6)              г) (10) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

(a_1=1^2-1=0) – мимо.

(a_2=2^2-2=2) – тоже не то.

(a_3=3^2-3=6) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: (6).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

1. Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n); 

2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное (n); 

3. Если (n) – натуральное, то данное число – член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=)(frac{51+2n}{n+4}) ?

Решение:

(a_n=)(frac{51+2n}{n+4})	Если число (3) – член последовательности, то значит при некотором значении (n), формула (frac{51+2n}{n+4}) должна дать нам тройку. Найдем это (n) по алгоритму выше. Подставляем тройку вместо (a_n).
(3=)(frac{51+2n}{n+4})	Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель ((n+4)).
(3cdot (n+4)=51+2n)	Получилось линейное уравнение.  Раскрываем скобки слева.
(3n+12=51+2n)	Собираем неизвестные слева, числа справа…
(3n-2n=51-12)	…и приводим подобные слагаемые.
(n=39)	Готово. Найденное значение – это то число, которое надо подставить вместо (n) в формулу (frac{51+2n}{n+4}), чтоб получилось тройка (можете проверить это сами). Значит (39)-ый член последовательности равен трем.

Ответ: Да, число (3) является элементом данной последовательности.

Смотри также:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

На этой странице вы узнаете

• Как мы привыкаем к последовательностям на протяжение нашей жизни?
• Что такое золотое сечение?

Что значит “действовать последовательно”? Мы делаем что-то по определенным принципам, не нарушаем правила. Все наши действия будут иметь логику, которую мы сможем отследить. В математике также можно составлять числа в строгом порядке. Называться такие ряды будут последовательностями. 

Понятие последовательности 

Посмотрим на несколько рядов чисел и порассуждаем.

По какому принципу составлен ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т.д.? Всё просто: к каждому новому числу прибавляют единицу. 

А какой принцип в ряде чисел 2, 4, 6, 8 и т.д.? Здесь к каждому новому числу прибавляют 2. 

Что можно сказать про ряд 2, 4, 8, 16, 32 и т.д.? Каждое новое число умножают на 2. 

Все приведенные выше ряды чисел будут называться последовательностью. Как описать ее одним термином?

Ненадолго вспомним функции чисел. Разберем функцию f(x)=x+1. 
Если x = 0, то f(x) = 1.
Если x = 1, то f(x) = 2.
Если x = 2, то f(x) = 3.
Если x = 3, то f(x) = 4.

Внимательно посмотрим на значения функции: это и будет наша первая последовательность 1, 2, 3, 4, 5. Мы можем сделать вывод, что последовательность можно задать с помощью функции. 

На самом деле, любая последовательность и есть функция. Теперь дадим определение. 

Последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел или его части. 

То есть подставлять в такую функцию можно только натуральные числа. 

Подробнее про функцию, ее значение, область определения и другие свойства можно прочесть в статье «Определение и график функции». 

Аргумент будет обозначать порядковый номер числа в последовательности. Первое число в последовательности будет задаваться х = 1, второе число х = 2, n число как х = n. 

Числа, которые образуют последовательность, — это члены последовательности. И у каждого члена последовательности есть свой порядковый номер. 

Как же обозначаются члены последовательности? Не будем же мы каждый раз писать “двадцатый член последовательности” или что-то подобное? 

Для членов последовательности существует свое обозначение: an, где индекс после буквы а обозначает порядковый номер члена последовательности. 

Например, 

• а₁ — первый член последовательности, 
• а₂₀ — двадцатый член последовательности, 
• а₁₀₀ — сотый член последовательности и так далее. 

Таким образом можно обозначить любой член последовательности. 

Способы задания числовой последовательности

Рассмотрим, каким способами можно задать числовую последовательность. 

Первый способ — это указать все члены последовательности. Однако он не всегда удобен, поскольку в последовательности может быть бесконечное количество членов. 

Второй способ мы уже использовали — это задать общую формулу. Тогда можно будет найти любой член последовательности. В этом случае нужно будет подставить порядковый номер члена последовательности в формулу. 

Допустим, дана последовательность a_n = 3n + 40, и нам нужно найти третий член последовательности. Тогда нужно подставить n = 3 в формулу: 

a₃ = 3 * 3 + 40 = 9 + 40 = 49. 

Аналогичным способом можно будет найти любой член в данной последовательности. 

Рассмотрим ещё пример. Что мы можем сказать про последовательность чисел 2, 4, 12, 32, 88 и так далее? Определенный закон здесь вывести достаточно сложно. Всё потому, что следующий член последовательности зависит от предыдущего. 

Обратим внимание на третий член последовательности: 12 = 2 * 6 = 2(2 + 4). А если посмотреть на четвертый член последовательности? 32 = 2 * 16 = 2(4 + 12). 

И так с каждым членом последовательности: он равен удвоенной сумме двух предыдущих членов. 

Это еще один способ задания последовательности, когда используется рекуррентная формула. Ее особенность в том, что каждый член последовательности выражен с помощью предыдущих членов последовательности. 

Одним из примеров такой последовательности будут числа Фибоначчи. Это последовательность, в которой первые два члена равны 1, а все следующие являются суммой двух предшествующих им. 

Числа Фибоначчи выглядят так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и так далее.

Как задать их с помощью рекуррентной формулы? Допустим, мы хотим найти член an в этой последовательности. Мы знаем, что для этого нужно сложить два предыдущих члена, то есть a_n-1 и a_n-2. Вот мы и получили формулу.

a_n = a_n-1 + a_n-2. 

Виды числовых последовательностей

Возьмем обычную последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …, a_n. Мы можем сказать, что каждый следующий член последовательности больше, чем предыдущий. Такие последовательности называются возрастающими. 

Если перевернуть ее и получить последовательность 5, 4, 3, 2, 1, …, a_n — последовательность будет называться убывающей. Для такой последовательности обязательно, чтобы каждый следующий член был меньше, чем предыдущий. 

Что, если мы просто будем менять знак числа? Например, −1, 1, −1, 1 и так далее? Тогда последовательность будет ни убывающей и ни возрастающей. 

Такую последовательность можно задать с помощью формулы a_n = (-1)ⁿ. 

Разумеется, не все последовательности бывают бесконечными. Ранее мы рассматривали только бесконечные последовательности: в них можно было подставить любое значение n. 

Возьмем последовательность простых однозначных чисел: 2, 3, 5, 7. Больше однозначных чисел нет — продолжить последовательность мы не можем. 

Последовательность, в которой ограничено количество членов, будет называться конечной последовательностью. Если же в последовательности не ограничено количество членов, и их можно задавать до бесконечности, то такая последовательность будет называться бесконечной последовательностью. 

Фактчек

• Последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел или его части. 
• Каждый член последовательности имеет свой номер, который отображается в индексе. Например, a₁ — первый член последовательности, а a₂₅ — двадцать пятый. 
• Последовательность можно задать несколькими способами. Во-первых, выписать все члены последовательности. Во-вторых, задать общую формулу. В-третьих, задать рекуррентную формулу. 
• Рекуррентная формула — это формула, в которой каждый следующий член последовательности зависит от предыдущих. Ярким примером такой последовательности являются числа Фибоначчи, где каждое число является суммой двух предыдущих. 
• Последовательности бывают возрастающими и убывающими. В возрастающих последовательностях каждый следующий член больше предыдущего, а в убывающей каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. В бесконечных последовательностях не ограничено количество членов. А в конечных последовательностях количество членов ограничено. 

Проверь себя

Задание 1. 
Выберите конечную числовую последовательность.

1. Числа Фибоначчи.
2. Четные положительные числа.
3. Нечетные трехзначные числа.
4. Нечетные отрицательные числа. 

Задание 2. 
Выберите убывающую последовательность. 

1. 10, 9, 8, 7, 6, 5, …, a_n
2. Числа Фибоначчи
3. 1, 2, 3, 4, 5, …, a_n
4. 1, 3, 5, 7, 9, …, a_n 

Задание 3. 
Выберите возрастающую последовательность. 

1. 100, 90, 80, …, a_n
2. (frac{1}{2}), (frac{1}{3}), (frac{1}{4}), …, a_n
3. Числа Фибоначчи
4. −1, −2, -3, …, a_n

Задание 4. 
Какая последовательность является числами Фибоначчи? 

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
3. 1, 4, 9, 16, 25, …
4. 1, (frac{1}{2}), (frac{1}{3}), (frac{1}{4}), …

Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 3 4. — 2

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

Для начала представим систему: a1, a2…, an,… , где ak∈R, k=1,2….

Для примера, возьмем такие числа, как: 6,3,-32,34,38,-316,… .

Числовой ряд – это сумма членов ∑akk=1∞=a1+a2+…+an+… .

Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором q = -0.5: 8-4+2-1+12-14+…=∑k=1∞(-16)·-12k .

ak является общим или k–ым членом ряда.

Он выглядит примерно таким образом -16·-12k .

Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом Sn=a1+a2+…+an , в которой n –любое число. Sn является n-ой суммой ряда.

Например, ∑k=1∞(-16)·-12k есть S4=8-4+2-1=5 .

S1,S2,…,Sn,… образуют бесконечную последовательность числового ряда.

Для ряда n –ая сумму находится по формуле Sn=a1·(1-qn)1-q=8·1–12n1–12=163·1–12n . Используем следующую последовательность частичных сумм: 8,4,6,5,…,163·1–12n,… .

Ряд ∑k=1∞ak является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом S=lim Snn→+∞ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд ∑k=1∞ak называется расходящимся.

Суммой сходящегося ряда ∑k=1∞ak является предел последовательности ∑k=1∞ak=lim Snn→+∞=S .

В данном примере lim Snn→+∞=lim 163т→+∞·1-12n=163·lim n→+∞1–12n=163 , ряд ∑k=1∞(-16)·-12k сходится. Сумма равна 163: ∑k=1∞(-16)·-12k=163 .

Сумма подобного вида как ∑k=1∞=1+12+13+…+1n+… – это гармонический числовой ряд.

Сумма ∑k=1∞1ks=1+12s+13s+…+1ns+… , где s –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

1. ∑k=1∞1k – расходящийся.

Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как limn→+∞Sn=S и limn→+∞S2n=S . После определенных действий мы получаем равенство limn→+∞(S2n-Sn)=0 .

Напротив,

S2n-Sn=1+12+13+…+1n+1n+1+1n+2+…+12n–1+12+13+…+1n=1n+1+1n+2+…+12n

Справедливы следующие неравенства 1n+1>12n, 1n+1>12n,…, 12n-1>12n . Получаем, что S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n>12n+12n+…+12n=n2n=12 . Выражение S2n-Sn>12 указывает на то, что limn→+∞(S2n-Sn)=0 не достигается. Ряд расходящийся.

1. b1+b1q+b1q2+…+b1qn+…=∑k=1∞b1qk-1

Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при q<1 , и расходится при q≥1 .

Согласно приведенным выше определениям, сумма n членов определяется согласно формуле Sn=b1·(qn-1)q-1 .

Если q<1 верно 

 limn→+∞Sn=limn→+∞b1·qn-1q-1=b1·limn→+∞qnq-1-limn→+∞1q-1==b1·0-1q-1=b1q-1

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

При q = 1 b1+b1+b1+…∑k=1∞b1 . Суммы можно отыскать с использованием формулы Sn=b1·n , предел бесконечен limn→+∞Sn=limn→+∞b1·n=∞. В представленном варианте ряд расходится.

Если q = -1, то ряд выглядит как b1-b1+b1-…=∑k=1∞b1(-1)k+1 . Частичные суммы выглядят как Sn=b1 для нечетных n, и Sn=0 для четных n. Рассмотрев данный случай, мы удостоверимся, что предела нет и ряд является расходящимся.

При q>1 справедливо limn→+∞Sn=limn→+∞b1·(qn-1)q-1=b1·limn→+∞qnq-1-limn→+∞1q-1==b1·∞-1q-1=∞

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

1. Ряд ∑k=1∞1ks сходится, если s > 1 и расходится, если s≤ 1 .

Для s = 1 получаем ∑k=1∞1k , ряд расходится.

При s < 1 получаем 1ks≥1k для k, натурального числа. Так как ряд является расходящимся ∑k=1∞1k , то предела нет. Следуя этому, последовательность ∑k=1∞1ks неограниченна. Делаем вывод, что выбранный ряд расходится при s < 1.

Необходимо предоставить доказательства, что ряд ∑k=1∞1ks сходится при s > 1.

Представим S2n-1-Sn-1 :

S2n-1-Sn-1=1+12s+13s+…+1(n-1)s+1ns+1(n+1)s+…+1(2n-1)s–1+12s+13s+…+1(n-1)s=1ns+1(n+1)s+…+1(2n-1)s

Допустим, что 1(n+1)s<1ns, 1(n+2)s<1ns, …, 1(2n-1)s<1ns , тогда S2n-1-Sn-1=1ns+1(n+1)s+…+1(2n-1)s<<1ns+1ns+…+1ns=nns=1ns-1

Представим уравнение для чисел, которые являются натуральными и четными n=2:   S2n-1-Sn-1=S3-S1=12s+13s<12s-1n=4:   S2n-1-Sn-1=S7-S3=14s+15s+16s+17s<14s-1=12s-12n=8:  S2n-1-Sn-1=S15-S7=18s+19s+…+115s<18s-1=12s-13…

Получаем:

∑k=1∞1ks=1+12s+13s+14s+…+17s+18s+…+115s+…==1+S3-S1+S7-S3+S15+S7+…<<1+12s-1+12s-12+12s-13+…

Выражение 1+12s-1+12s-12+12s-13+… – это сумма геометрической прогрессии q=12s-1 . Согласно исходным данным при s>1, то0<q<1 . Получаем, ∑k=1∞<1+12s-1+12s-12+12s-13+…=11-q=11-12s-1 . Последовательность ряда при s > 1 увеличивается и ограничивается сверху 11-12s-1 . Представим, что есть предел и ряд является сходящимся ∑k=1∞1ks .

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

 6+3+32+34+38+316+…6-3+32-34+38-316+…6+3-32+34+38-316+…

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑k=1∞bk абсолютно сходится в том случае, когда ∑k=1∞bk также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Если ряды 6-3+32-34+38-316+… и 6+3-32+34+38-316+… определяются как сходящиеся, то верно считать, что 6+3+32+34+38+316+…

Знакопеременный ряд ∑k=1∞bk считается условно сходящимся в том случае, если ∑k=1∞bk – расходящийся, а ряд ∑k=1∞bk считается сходящимся.

Подробно разберем вариант ∑k=1∞(-1)k+1k=1-12+13-14+… . Ряд ∑k=1∞(-1)k+1k=∑k=1∞1k , который состоит из абсолютных величин, определяется как расходящийся. Этот вариант считается сходящимся, так как это легко определить. Из данного примера мы узнаем, что ряд ∑k=1∞(-1)k+1k=1-12+13-14+… будет считаться условно сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

1. Если ∑k=1∞ak будет сходится, то и ряд ∑k=m+1∞ak также признается сходящимся. Можно отметить, что ряд без m членов также считается сходящимся. В случае, если мы добавляем к ∑k=m+1∞ak несколько чисел, то получившийся результат также будет сходящимся.
2. Если ∑k=1∞ak сходится и сумма = S, то сходится и ряд ∑k=1∞A·ak , ∑k=1∞A·ak=A·S , где A –постоянная.
3. Если ∑k=1∞ak и ∑k=1∞bk являются сходящимися , суммы A и B тоже, то и ряды ∑k=1∞ak+bk и ∑k=1∞ak-bk также сходятся . Суммы будут равняться A + B и A – B соответственно.

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Если ряд ∑k=1∞ak является сходящимся, то предел его k-ого члена =0: limk→+∞ak=0 .

Если мы проверим любой вариант, то нужно не забывать о непременном условии. Если оно не выполняется, то ряд расходится. Если limk→+∞ak≠0 , то ряд расходящийся.

Следует уточнить, что условие важно, но не достаточно. Если равенство limk→+∞ak=0 выполняется , то это не гарантирует, что ∑k=1∞ak является сходящимся.

Приведем пример. Для гармонического ряда ∑k=1∞1k условие выполняется limk→+∞1k=0 , но ряд все равно расходится.

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Для сходимости знакоположительного ∑k=1∞ak, ak>0 ∀k=1,2,3,… нужно определять ограниченную последовательность сумм.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

∑k=1∞ak и∑k=1∞bk – знакоположительные ряды. Неравенство ak≤bk справедливо для k = 1, 2, 3, … Из этого следует, что из ряда ∑k=1∞bk мы можем получить∑k=1∞ak . Так как ∑k=1∞ak расходится, то ряд∑k=1∞bk можно определить как расходящийся.

Данное правило постоянно используется для решения уравнений и является серьезным аргументом, которое поможет определить сходимость. Сложности могут состоять в том, что подобрать подходящий пример для сравнения можно найти далеко не в каждом случае. Довольно часто ряд выбирается по принципу, согласно которому показатель k-ого члена будет равняться результату вычитания показателей степеней числителя и знаменателя k-ого члена ряда. Допустим, что ak=k2+34k2+5 , разность будет равна 2 – 3 = -1. В данном случае можно определить, что для сравнения необходим ряд с k-ым членом bk=k-1=1k , который является гармоническим.

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Допустим, что ∑k=1∞ak и ∑k=1∞bk – знакоположительные числовые ряды.

Если limk→+∞akbk≠∞ , то ряд ∑k=1∞bk сходится, и ∑k=1∞ak сходится также.

Если limk→+∞akbk≠0 , то так как ряд ∑k=1∞bk расходится, то ∑k=1∞ak также расходится.

Если limk→+∞akbk≠∞ и limk→+∞akbk≠0 , то сходимость или расходимость ряда означает сходимость или расходимость другого.

Рассмотрим ∑k=1∞1k3+3k-1 с помощью второго признака. Для сравнения ∑k=1∞bk возьмем сходящийся ряд∑k=1∞1k3 . Определим предел: limk→+∞akbk=limk→+∞1k3+3k-11k3=limk→+∞k3k3+3k-1=1

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд∑k=1∞1k3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Допустим, что ∑k=1∞ak и _∑k=1∞bk – знакоположительные числовые ряды. Если условие выполняется для некого номера ak+1ak≤bk+1bk , то сходимость данного ряда∑k=1∞bk означает, что ряд ∑k=1∞ak также является сходящимся. Расходящийся ряд ∑k=1∞ak влечет за собой расходимость ∑k=1∞bk .

Признак Даламбера

Представим, что ∑k=1∞ak – знакоположительный числовой ряд. Если limk→+∞ak+1ak<1, то ряд является сходящимся, если limk→+∞ak+1ak>1 , то расходящимся.

Замечание 1

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Если limk→+∞ak+1ak=-∞ , то ряд является сходящимся, если limk→∞ak+1ak=+∞ , то расходящимся.

Если limk→+∞ak+1ak=1 , то признак Даламбера не поможет и потребуется провести еще несколько исследований.

Радикальный признак Коши

Допустим, что ∑k=1∞ak – это знакоположительный ряд. Еслиlimk→+∞akk<1 , то ряд является сходящимся, если limk→+∞akk>1 , то расходящимся.

Замечание 2

Данный признак будет считаться справедливым только в том случае, если предел бесконечен. Другими словами, если limk→+∞akk=-∞, то ряд сходится, если limk→+∞akk=+∞ , то ряд расходится.

Еслиlimk→+∞akk=1 , то данный признак не дает никакой информации – требуется проведение дополнительного анализа.

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Интегральный признак Коши

Допустим, что ∑k=1∞ak является знакоположительным рядом. Необходимо обозначить функцию непрерывного аргумента y = f(x), которая совпадаетan= f(n) . Если y = f(x) больше нуля, не прерывается и убывает на [a; +∞) , где a≥1

, то в случае, если несобственный интеграл ∫a+∞f(x)dx является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Признак Раабе

Допустим, что ∑k=1∞ak – знакоположительный числовой ряд.

Если limk→+∞k·akak+1<1 , то ряд расходится, еслиlimk→+∞k·akak+1-1>1 , то сходится.

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Для исследования берем ∑k=1∞bk . Используем знакоположительный ∑k=1∞bk . Мы можем использовать любой из подходящих признаков, которые мы описывали выше. Если ряд ∑k=1∞bk сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑k=1∞bk – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑k=1∞bk либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши помогут сделать выводы о ∑k=1∞bk по расходимости из модулей ∑k=1∞bk . Ряд ∑k=1∞bk также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если limk→∞+bk≠0 .

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Если величины членов знакочередующегося ряда убывают b1>b2>b3>…>… и предел модуля =0 при k→+∞ , то ряд ∑k=1∞bk сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑k=1+∞uk·vk сходится в том случае, если {uk} не возрастает, а последовательность ∑k=1+∞vk ограничена.

Сразу отметим, что единой универсальной методики для решения задач на числовые ряды нет. Закономерности, по которым числа следуют друг за другом, могут быть самыми разными, и научиться быстро решать такого рода задачи можно только путём практики – прорешав большое количество других задач на ряды.

Рассмотрим самые простые случаи.

Надо продолжить ряд

1) 2 4 6 8 …

В этом случае всё просто – каждое следующее число на 2 больше предыдущего (т.е. это ряд чётных чисел, или арифметическая прогрессия с шагом 2), поэтому следующее число будет 10

2) 4 8 16 32 …

Тут каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего (геометрическая прогрессия), поэтому следующим будет число 64

3) 6 11 17 24 …

Этот случай уже чуть сложнее. В этом числовом ряду разница между соседними числами на 1 больше, чем разница между предыдущими

11 – 6 = 5

17 – 11 = 6

24 -17 = 7

Как видим, шаг (разница) между соседними числами каждый раз увеличивается на 1.

Соответственно, после 24 будет число, которое на 8 больше, то есть 32

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Пример 1

Ряд: 18 10 6 4 …

Взглянув на этот ряд, можно достаточно быстро понять, что разница между соседними числами с каждым шагом сокращается в 2 раза

18 – 10 = 8

10 – 6 = 4 (8:4 = 2)

6 – 4 = 2 (4:2 = 2)

Следовательно, следующий шаг – это 2:2 = 1, то есть число будет 4-1 = 3

Пример 2

Ряд: 7 15 31 63

Этот ряд противоположен предыдущему. Тут разница между соседними числами с каждым шагом увеличивается в 2 раза

15 – 7 = 8

31 – 15 = 16 (16:8 = 2)

63 – 31 = 32 (32:16 = 2)

Следующий шаг будет 32∙2 = 64, соответственно, следующее число будет 63 + 64 = 127

Ответ: 127

Пример 3

Ряд: 2 4 8 10 20 22 44 46 92 94

Взглянем на этот ряд подробнее.

4 – 2 = 2

8:4 = 2

10 – 8 =2

20:10 = 2

То есть одно число на 2 больше предыдущего, а следующее – в 2 раза больше предыдущего.

Далее опять – на 2 больше, и потом в два раза больше.

Следующие числа в этом ряду:

22 – 20 = 2

44:22 = 2

46 – 44 = 2

92:46 = 2

94 – 92 = 2

Соответственно, следующее число будет в 2 раза больше, чем 94. Т.е. это будет 94∙2 = 188

Ответ: 188

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Пример 4

Ряд: 1 2 3 5 7 11 13 17 19

В этом ряду бесполезно искать закономерности, насколько соседние числа отличаются друг от друга. Все числа в этом ряду – простые, то есть без остатка делятся только на 1 и на само себя. Соответственно, следующим в ряду будет следующее после 19 простое число, то есть 23.

После того, как вы поняли, что это ряд простых чисел, то вы поняли, почему иные закономерности в этом ряду искать бесполезно – ведь математики до сих пор не нашли закона, по которому распределяются простые числа, и как можно по формуле (а не путём перебора) найти следующее простое число, зная предыдущие.

Ответ: 23

Дата публикации
02.05.2020