-
Случайные величины. Законы распределения случайных величин
ЦЕЛЬ
ЛЕКЦИИ: ввести понятие случайной величины
и закона распределения; для дискретной
случайной величины определить ряд
распределения; ввести понятие функции
распределения и плотности распределения
вероятностей и определить их свойства.
Под случайной величиной понимается
величина, которая в результате опыта
со случайным исходом принимает то или
иное значение. Возможные значения
случайной величины образуют множество
,
которое называют множеством возможных
значений случайной величины.
Пример 1. Для игральной кости
случайной величиной Х
будет число выпавших очков. Множество
возможных значений
.
Пример 2. Тестирование изделия
до появления первого исправного.
Случайная величина Y
– число тестов, которое будет произведено.
Множество возможных значений
бесконечное, но счетное.
Впредь случайную величину будем
обозначать большими буквами, например
Х,
а их возможные значения – малыми; в
приведенных примерах –
и
.
Случайные величины могут быть дискретными
и недискретными. В теоретико-множественной
трактовке основных понятий теории
вероятностей случайная величина Х
есть функция элементарного события
,
где
– элементарное событие, принадлежащее
пространству
.
При этом множество
возможных значений случайной величины
состоит из тех значений, которые принимает
функция
.
Если множество
счетное или конечное, то случайная
величина Х
называется дискретной, если несчетное
– недискретной. При этом случайные
величины могут иметь различные
распределения.
-
Закон распределения. Ряд распределения
-
Дискретной случайной величины
Законом распределения случайной
величины называется любое правило
(таблица, функция), позволяющее находить
вероятности всевозможных событий,
связанных со случайной величиной.
Рядом распределения дискретной
случайной величины Х
называется таблица, в верхней строке
которой перечислены в порядке возрастания
все возможные
значения случайной величины
а в нижней – вероятности этих значений:
При этом
– вероятность того, что в результате
опыта случайная величина Х
примет значение
.
Ряд распределения записывается в виде
таблицы
|
Х: |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
. |
(4.1)
События
;
;
… несовместны и образуют полную группу,
поэтому сумма всех вероятностей
в (4.1) будет равна единице:
. (4.2)
Отсюда следует, что единица распределена
между возможными значениями случайной
величины.
Пример. Ряд распределения
случайной величины Х
|
Х: |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0,24 |
0,46 |
0,26 |
0,04 |
. |
(4.3)
Графическое изображение ряда распределения
называется многоугольником распределения.
Строится он так: для каждого возможного
значения случайной величины
восстанавливается перпендикуляр к оси
абсцисс, на котором откладывается
вероятность данного значения случайной
величины. Полученные точки для наглядности
соединяются отрезками прямых (см. рис.
4.1).
К
роме
этой геометрической интерпретации,
часто полезна механическая
интерпретация, при которой ряд
распределения рассматривается как ряд
материальных
точек на оси абсцисс, имеющих значения
,
и соответственно массы
в
сумме составляющие единицу (см. рис.
4.2).
Функция
распределения
Наиболее общей формой закона распределения,
пригодной как для дискретных, так и
недискретных случайных величин, является
функция распределения.
Функцией распределения случайной
величины Х
называется вероятность того, что она
примет значение меньшее, чем заданное
х (аргумент
функции)
. (4.4)
Геометрически определение (4.4)
интерпретируется как вероятность того,
что случайная точка попадает левее
заданной точки (см. рис. 4.3).
С
войства
функции распределения выводятся из
геометрической интерпретации (см. рис.
4.3–4.4):
1.
– неубывающая функция своего аргумента,
т. е. если
,
то
.
Для
доказательства представим событие
как сумму двух несовместных событий
(см. рис. 4.4)
,
где
.
По правилу
сложения вероятностей
;
.
Учитывая
выражение (4.4), получаем
, (4.5)
но так как
,
то окончательно имеем, что
.
2.
;
.
Перемещая
до бесконечности влево (при
)
или вправо (при
),
можно убедиться, что событие становится
либо невозможным
,
либо достоверным
.
Функция
распределения
любой случайной величины есть неубывающая
функция своего аргумента, значения
которой заключены между нулем и единицей;
причем
,
а
.
В отдельных точках эта функция может
иметь скачки (разрывы первого рода), на
некоторых участках она может быть
постоянной, на других – монотонно
возрастать (см. рис. 4.5).
С
помощью функции распределения можно
вычислить вероятность попадания
случайной точки на участок от
до
.
Для определенности левый конец участка
будем включать в него, а правый – нет.
Искомую
вероятность получаем из выражения
(4.5), положив
и
,
,
откуда
. (4.6)
Т
аким
образом, вероятность того, что случайная
величина Х
в результате опыта попадет на участок
от
до
(включая
),
равна приращению функции распределения
на этом участке (см. рис. 4.6). Другая запись
выражения (4.6)
,
где квадратная скобка означает, что
данный конец включается в участок, а
круглая – что не включается.
Вероятность отдельного значения
случайной величины. Если взять любую
точку
и примыкающий к ней участок
,
то, приближая
к
,
в пределе получаем
. (4.7)
Значение этого
предела зависит от того, непрерывна ли
функция
в точке
или терпит разрыв. Если функция в точке
совершает скачок, то предел (4.7) равен
величине этого скачка. Если же
везде непрерывна, то вероятность каждого
отдельного значения случайной величины
Х
равна нулю. Последнее утверждение не
означает, что событие
невозможно; оно возможно, но с нулевой
вероятностью.
Функция
распределения дискретной
случайной величины
Для случайной величины Х,
представленной рядом распределения
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0,24 |
0,46 |
0,26 |
0,04 |
, |
можно, задаваясь различными значениями
х, вычислить
функцию распределения
:
;
;
;
;
.
Н
а
рис. 4.7 приведена рассчитанная функция
распределения
.
Жирными точками отмечены значения в
точках разрыва; функция
при подходе к точке разрыва слева
сохраняет свое значение (функция
“непрерывна
слева”). Заметим, что между скачками
функция
постоянна.
Функция распределения
любой дискретной случайной величины
есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках,
соответствующих возможным значениям
случайной величины, и равны вероятностям
этих значений. Сумма всех скачков функции
распределения равна единице.
Индикатор события. Индикатором
события А
называется случайная величина
,
равная единице, если в результате опыта
событие А
произошло, и – нулю, если не произошло:
Ряд распределения случайной величины
с вероятностью события А,
равной
,
имеет вид
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
. |
:
М
ногоугольник
распределения случайной величины
приведен на рис. 4.9, а функция распределения
– на рис. 4.10.
Непрерывная
случайная величина.
Плотность
распределения
С
лучайная
величина Х
называется непрерывной, если функция
распределения не только непрерывна в
любой точке, но и дифференцируема всюду,
кроме, может быть, отдельных точек, где
она терпит излом (см. рис. 4.11). Так как
скачков эта функция не имеет, то
вероятность любого отдельного значения
непрерывной случайной
величины равна нулю, т. е.
.
Поэтому говорить о распределении
вероятностей отдельных значений
не имеет смысла. В качестве закона
распределения непрерывных
случайных величин
вводится понятие плотности
распределения вероятностей
или плотности
распределения.
Исходим из механической
интерпретации распределения вероятностей.
Для дискретной случайной величины Х
в точках
сосредоточены
массы
,
сумма которых равна единице. Для
непрерывной случайной величины масса,
равная 1, “размазана” по числовой
оси с непрерывной в общем случае
плотностью (см. рис. 4.12). Вероятность
попадания случайной величины Х
на любой участок
может быть интерпретирована как масса,
приходящаяся на этот участок, а средняя
плотность на этом участке – как отношение
массы к его длине. Для участка
.
Но вероятность
определяется как приращение функции
распределения на этом участке
,
и, переходя к пределу при
,
получаем плотность в точке
,
т. е. производную функции распределения.
Плотностью
распределения
непрерывной случайной величины Х
в точке х
называется производная ее функции
распределения в этой точке
. (4.8)
Плотность распределения
,
как и функция распределения
,
является одной из форм закона распределения,
но она существует только для непрерывных
случайных величин. График плотности
распределения
называется кривой распределения
(см. рис. 4.13).
В
ероятность
попадания случайной величины Х
на участок
с точностью до бесконечно малых высших
порядков равна
.
Эта величина
называется элементом вероятности и
геометрически равна (приближенно)
площади элементарного прямоугольника,
опирающегося на отрезок длиной
и примыкающего к точке
(см. рис. 4.13).
Вероятность попадания случайной величины
Х
на участок от
до
равна сумме элементов вероятности на
всем этом участке, т. е. интегралу вида
. (4.9)
В геометрической
интерпретации эта вероятность равна
площади фигуры, ограниченной сверху
кривой распределения и опирающейся на
участок
(см. рис. 4.14). Функция распределения
теперь может быть вычислена следующим
образом:
. (4.10)
Геометрически (см. рис. 4.14) – это площадь,
ограниченная сверху кривой распределения
и лежащая левее точки
.
Свойства плотности распределения.
1. Плотность распределения – неотрицательная
функция
,
как
производная от неубывающей функции, и
еще потому, что плотность, как физическая
величина, не может быть отрицательной.
2.
Интеграл в бесконечных пределах от
плотности вероятности равен единице,
т. е.
. (4.11)
Это
свойство вытекает из выражения (4.10),
если верхний предел будет
и если учесть, что
.
44
Соседние файлы в папке 158_Tv
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Дискретная случайная величина
На этой странице мы собрали краткую теорию и примеры решения учебных задач, в которых дискретная случайная величина уже задана своим рядом распределения (табличный вид) и требуется ее исследовать: найти числовые характеристики, построить графики и т.д. Примеры на известные виды распределения вы можете найти по ссылкам:
- Биномиальный закон распределения
- Гипергеометрический закон распределения
- Геометрический закон распределения
- Закон распределения Пуассона
Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу
Краткая теория о ДСВ
Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений $x_i$, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей $p_i=P(X=x_i)$. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай $i=overline{1,n}$. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:
$$
begin{array}{|c|c|}
hline
X_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \
hline
p_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \
hline
end{array}
$$
При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице
$$sum_{i=1}^{n} p_i=1$$
Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами $(x_i,p_i)$ и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете ниже.
Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание:
$$M(X) = sum_{i=1}^{n} x_i cdot p_i$$
Дисперсия:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = sum_{i=1}^{n} x_i^2 cdot p_i – (M(X))^2$$
Среднее квадратическое отклонение:
$$sigma (X) = sqrt{D(X)}$$
Коэффициент вариации:
$$V(X) = frac{sigma(X)}{M(X)}$$.
Мода: значение $Mo=x_k$ с наибольшей вероятностью $p_k=max_i{p_i}$.
Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ.
Функция распределения ДСВ
По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины $F(x)=P(Xlt x)$. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение меньшее некоторого числа $x$. Примеры построения с подробными вычислениями и графиками вы найдете в примерах ниже.
Примеры решенных задач
Задача 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Построить многоугольник распределения и функцию распределения $F(x)$. Вычислить: $M[X], D[X], sigma[X]$, а также коэффициент вариации, асимметрии, эксцесса, моду и медиану.
Задача 2. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:
а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х;
б) построить график этого распределения.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Задача 3. Для случайной величины Х с данным рядом распределения
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) найдите $р_1$ и $р_2$ так, чтобы $М(Х)=0,5$
Б) после этого вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$ и постройте график ее функции распределения
Задача 4. Дискретная СВ $X$ может принимать только два значения: $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 lt x_2$. Известны вероятность $P$ возможного значения, математическое ожидание $M(x)$ и дисперсия $D(x)$. Найти: 1) Закон распределения этой случайной величины; 2) Функцию распределения СВ $X$; 3) Построить график $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$
Задача 5. Случайная величина Х принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.
Задача 6. Дан ряд распределения дискретной с.в. $Х$. Найти числовые характеристики положения и рассеивания с.в. $Х$. Найти м.о. и дисперсию с.в. $Y=X/2-2$, не записывая ряда распределения с.в. $Y$, проверить результат с помощью производящей функции.
Построить функцию распределения с.в. $Х$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦
Задача 7. Распределение дискретной случайной величины $Х$ задано следующей таблицей (рядом распределения):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Определить недостающее значение в таблице распределения. Вычислить основные числовые характеристики распределения: $M_x, D_x, sigma_x$. Найти и построить функцию распределения $F(x)$. Определить вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значения:
А) больше чем 6,
Б) меньше чем 12,
В) не больше 9.
Задача 8. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).
Задача 9. Задан закон распределения дискретной случайной величины $X$ (в первой строке указаны возможные значения $x_i$, во второй строке – вероятности возможных значений $p_i$).
Найти:
А) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$;
Б) составить функцию распределения случайной величины $F(x)$ и построить ее график;
В) вычислить вероятности попадания случайной величины $X$ в интервал $x_2 lt X lt x_4$, пользуясь составленной функцией распределения $F(x)$;
Г) составить закон распределения величины $Y=100-2X$;
Д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины $Y$ двумя способами, т.е. пользуясь
свойством математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Задача 10. Дискретная случайная величина задана таблице. Вычислить ее начальные и центральные моменты до 4 порядка включительно. Найти вероятности событий $xi lt Mxi$, $xi ge M xi$, $xi lt 1/2 M xi$, $xi ge 1/2 M xi$.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей
Решебник по терверу
Нужны еще решения? Более 11000 подробно решенных и оформленных задач. Найди в решебнике сейчас:
Функция распределения случайной величины
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Краткая теория
Пусть
– действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что
примет значение, меньшее
, то есть вероятность
события
обозначим через
. Разумеется, если
изменяется, то, вообще говоря, изменяется и
, то есть
– функция от
.
Функцией распределения называют функцию
, определяющую вероятность
того, что случайная величина
в результате испытания примет значение,
меньшее
, то есть:
Геометрически
это равенство можно истолковать так:
есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки
.
Иногда
вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная
функция».
Функцию
распределения дискретной случайной величины
можно представить следующим соотношением:
Это
соотношение можно переписать в развернутом виде:
Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции
равна 1.
Свойства функции распределения
Свойство 1.
Значения
функции распределения принадлежат отрезку
:
Свойство 2.
– неубывающая функция, то есть:
,
если
Свойство 3.
Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу
,
то:
1)
при
;
2)
при
Свойство 4.
Справедливо равенство:
Свойство 5.
Вероятность того, что непрерывная случайная
величина
примет одно определенное значение, равна нулю.
Таким образом, не представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал,
пусть даже сколь угодно малый.
Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности
означает, что событие
невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным
.
Свойство 6.
Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси
,
то справедливы следующие предельные соотношения:
Свойство 7.
Функция распределения непрерывная слева, то есть:
Смежные темы решебника:
- Дискретная случайная величина
- Непрерывная случайная величина
- Математическое ожидание
- Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Примеры решения задач
Пример 1
Дан ряд
распределения случайной величины
:
|
|
1 | 2 | 6 | 8 |
|
|
0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
Найти и изобразить ее функцию распределения.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Будем задавать различные значения
и находить для них
1. Если
,
то, очевидно,
в том числе и при
2. Пусть
(например
)
Очевидно, что и
3. Пусть
(например
);
Очевидно, что и
4. Пусть
Очевидно, что и
5. Пусть
Итак:
График функции распределения
Пример 2
Случайная
величина
задана функцией распределения:
Найти
вероятность того, что в результате испытания
примет значение:
а) меньше
0,2;
б) меньше
трех;
в) не
меньше трех;
г) не
меньше пяти.
Решение
а) Так
как при
функция
, то
то есть
при
б)
в)
События
и
противоположны, поэтому
Отсюда:
г) сумма
вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому
Отсюда, в
силу того что при
функция
, получим:
Пример 3
Задана
непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей f(x). Требуется:
1)
определить коэффициент A;
2) найти
функцию распределения F(x);
3)
схематично построить графики функций f(x) и F(x);
4)
вычислить математическое ожидание и дисперсию X;
5)
определить вероятность того, что X примет значение из
интервала (a,b).
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
1)
Постоянный параметр
найдем из
свойства плотности вероятности:
В
нашем случае эта формула имеет вид:
Получаем:
2)
Функцию распределения
найдем из
формулы:
Учитывая
свойства
, сразу можем отметить,
что:
и
Остается
найти выражение для
, когда х принадлежит интервалу
:
Получаем:
3) Построим графики функций:
График плотности распределения
График функции распределения
4) Вычислим
математическое ожидание:
В нашем случае:
Вычислим дисперсию:
Искомая дисперсия:
5) Вероятность того, что
примет значение из интервала
:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Закон
распределения случайной величины X задан таблицей.
Найти ее
математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной
точке.
F(1)=
M[X]=
D[X]=
Задача 2
Случайная
величины X задана функцией распределения
Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8),
(1,8; 2,3)
Задача 3
Дискретная
случайная величина X задана рядом распределения. Найти:
1)
функцию распределения F(x) и ее график;
2)
математическое ожидание M(X);
3)
дисперсию D(X).
|
|
-5 | 5 | 25 | 45 | 65 |
|
|
0.2 | 0.15 | 0.3 | 0.25 | 0.1 |
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 4
В задаче
дискретная случайная величина задана рядом распределения.
Найти
; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)
Задача 5
В задаче
непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x).
Найти a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)
Начертить
графики функций f(x);F(x).
Задача 6
Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна
(
). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.
Задача 7
Функция
распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
Найдите:
1)
параметр a;
2)
плотность вероятностей;
4) P(0<x<1)
Постройте
графики интегральной и дифференциальной функции распределения.
Задача 8
Дана
интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).
Задача 9
Дана
функция распределения F(х) случайной величины Х.
Найти плотность
распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X) и вероятность попадания X на
отрезок [a,b]. Построить графики
функций F(x) и f(x).
Задача 10
НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)
Найти:
а)
постоянную C=const;
б)
функцию распределения F(x);
в)
вероятность попадания в интервал -1<x<1
г)
построить графики f(x), F(x).
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
