Как составить ряд распределения вероятностей - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для подсчета вероятностей числа успехов. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли.

Задача
9. Вероятность
того, что образец бетона выдержит
нормативную нагрузку, равна 0.9. Случайная
величина X
– число образцов, которые выдержат
испытания. Составить ряд распределения,
найти функцию распределения ДСВ X,
построить её график и найти все числовые
характеристики, если в нашем распоряжении
5 образцов.

Решение:

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Ввести обозначения для заданных величин	n – число испытаний m – число образцов, выдержавших испытания p – вероятность выдержать испытание p=0.9, q=1-p=0.1, n=7 Найти ; ; ; ; ;
2.	Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу Бернулли.	Так как , нужно воспользоваться формулой Бернулли – пункт а) ;
3	Найти числовые характеристики ДСВ по формулам МX=np DX=npq	МX=np=5·0.9=0.45 DX=npq=5·0.9·0.1=0.045 .
4	Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов
	x	0	1	2	3	4	5
P	0.00001	0.00045	0.0081	0.0729	0.328	0.59

5	Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов

Алгоритм 10

Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов в k-ом испытании

(геометрические
распределения)

Задача
№ 10. Вероятность
того, что образец бетона выдержит
нормативную нагрузку, равна 0.9. Случайная
величина X
– число возможных испытаний до появления
первого бракованного образца. Составить
ряд распределения, найти функцию
распределения ДСВ X,
построить её график и найти все числовые
характеристики (ограничиться тремя-пятью
испытаниями).

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Ввести обозначения для заданных величин	n – число испытаний p – вероятность выдержать испытание p=0.9, q=1-p=0.1, Найти , , , , ,
2.	Сосчитать требуемую вероятность, выбрав соответствующую содержанию задачи формулу	Т.к. случайная величина X-число возможных испытаний до появления первого бракованного образца, то воспользуемся геометрической вероятностью: и т.д.
3	Найти числовые характеристики ДСВ по формулам М(х)= D(x)=	М(х)= , D(x)= , .
4	Составить ряд распределений случайной величины X – числа возможных образцов
	x	1	2	3	4	5
P	0.1	0.09	0.0081	0.0729	0.0656

5	Составить функцию распределения случайной величины X – числа возможных образцов и построить график.

Алгоритм 11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ
Функция распределения
II. Операции над дискретными случайными величинами

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения — малыми буквами

Из приведенного выше примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности $p_i=P{X=x_i} quad (sum_i p_i=1)$ .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

– первой вынули стандартную деталь;

— первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

— первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

$p_1=P{X=x_1=1}=frac{4}{6}=frac{2}{3}$

$p_2=P{X=x_2=2}=frac{2}{6}cdot frac{4}{5}=frac{4}{15}$

$p_3=P{X=x_3=3}=frac{2}{6}cdot frac{1}{5}cdot frac{4}{4}=frac{1}{15}$

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

— число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

— ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

— выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

— выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

— выборка содержит три изделия с дефектом;

Найдем соответствующие им вероятности :

$[p_1=P(X=0)=frac{C_{16}^3cdot C_{4}^0}{C_{20}^3}]$

$[p_2=P(X=1)=frac{C_{16}^2cdot C_{4}^1}{C_{20}^3}]$

$[p_3=P(X=2)=frac{C_{16}^1cdot C_{4}^2}{C_{20}^3}]$

$[p_4=P(X=3)=frac{C_{16}^0cdot C_{4}^3}{C_{20}^3}]$

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

	0	1	2	3
	$frac{28}{57}$	$frac{8}{19}$	$frac{8}{95}$	$frac{1}{285}$

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны , тогда вероятности их промахов равны . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х – числа попаданий в цель.

– ни один из стрелков не попал в цель;

– один из стрелков попал в цель;

– двое стрелков поразили цель;

– три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности :

$p_0=P{X=0}=g_1 cdot g_2 cdot g_3 =0,5cdot 0,4 cdot 0,2=0,04;$

$p_1=P{X=1}=h_1 cdot g_2 cdot g_3+g_1 cdot h_2 cdot g_3 +g_1 cdot g_2 cdot h_3=\ =0,5cdot 0,4 cdot 0,2+0,5cdot 0,6 cdot 0,2+0,5cdot 0,4 cdot 0,8=0,04+0,06+0,16=0,26.$

Запись вида означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

$p_2=P{X=2}=h_1 cdot h_2 cdot g_3+g_1 cdot h_2 cdot h_3 +h_1 cdot g_2 cdot h_3=\ =0,5cdot 0,6 cdot 0,2+0,5cdot 0,6 cdot 0,8+0,5cdot 0,4 cdot 0,8=0,06+0,24+0,16=0,46$ — (двое из трех поразили цель);

$p_3=P{X=3}=h_1 cdot h_2 cdot h_3=0,5cdot 0,6 cdot 0,8=0,24$ — (три стрелка поразили цель).

Контроль: $sum_{i=0}^3=0,04+0,26+0,46+0,24=1$

	0	1	2	3
	0,04	0,26	0,46	0,24

Многоугольник распределения:

Функция распределения

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения

Свойства функции распределения:

– неубывающая функция, т.е. , если
непрерывна слева в любой точке , т.е.

Функция распределения ДСВ имеет вид

$[F(x)=sum_{x_i<x} p_i]$

где суммирование ведется по всем индексам , для которых

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

	-2	-1	0	2	3
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если , то , так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если , то

если , то , так как может принять значения -2 или -1

если , то

если , то $F(x)=P{X<x}=P{X=-2}+P{X=-1}+P{X=0}+\+P{X=2}+P{X=3}=0,1+0,2+0,3+0,3+0,1=1$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$begin{displaymath} F(x) = left{ begin{array}{ll} 0, qquad xle -2 , \ 0,1, qquad -2< x le -1,\ 0,3, qquad -1< x le 0,\ 0,6, qquad 0< x le 2,\ 0,9, qquad 2< x le 3, \ 1, qquad x>3. end{array} right. end{displaymath}$

II. Операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения с вероятностями $p_i=P{X=x_i}, quad i=1,2, ... , n$ и ДСВ Y, принимающей значения с вероятностями $q_j=P{Y=y_j}, quad j=1,2, ... , m$ называется ДСВ, принимающая все значения вида (соответственно, или ) с вероятностями $p_{ij}=P{{X=x_i}cdot {Y=y_j}}=P{X=x_i,quad Y=y_j}.$

Обозначение: (соответственно, или ).

Произведением ДСВ Х на число называется ДСВ , принимающая значения с вероятностями $p_i=P{X=x_i}.$

Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения (соответственно, ) с вероятностями $p_i=P{X=x_i}.$ Обозначение: (соответственно, ).

Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события ${X=x_i}$ и ${Y=y_j}$ при любых

2.1. Задано распределение ДСВ Х

	-2	-1	1	2	3
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

Построить ряд распределения случайных величин:

а)

б)

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

Вероятности значений СВ Y равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например, и т. д.), т.е. каждое значение СВ Х мы умножаем на 2, а вероятности оставляем прежними. Таким образом

	-4	-2	2	4	6
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

б) Значения СВ Z таковы (возведем каждое значение СВ Х в квадрат):

$[z_1={(-2)}^2=4; z_2={(-1)}^2=1,]$

Составим вспомогательную таблицу для распределения СВ

	4	1	1	4	9
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

При этом мы должны помнить, что при одинаковых значениях СВ Z, соответствующие им вероятности нужно сложить, т.е.

$[P{Z=1}=P{X^2=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0,25+0,3=0,55;]$

$[P{Z=4}=P{X^2=4}=P{X=-2}+P{X=2}=0,20+0,15=0,35.]$

Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

		$frac{pi}{4}$	$frac{pi}{2}$	$frac{3pi}{4}$		$frac{5pi}{4}$	$frac{3pi}{2}$
	$frac{1}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{4}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{1}{16}$

Построить:

а) ряд распределения СВ $Y=sin(X-frac{pi}{4});$

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения СВ Y, подставляя соответствующие значения в формулу $Y=sin(X-frac{pi}{4})$ :

$y_1=sinleft(0-frac{pi}{4}right)=sin(-frac{pi}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}$

$y_2=sin(frac{pi}{4}-frac{pi}{4})=sin(0)=0$

$y_3=sin(frac{pi}{2}-frac{pi}{4})=sin(frac{pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}$

$y_4=sin(frac{3pi}{4}-frac{pi}{4})=sin(frac{pi}{2})=1$

$y_5=sin(pi-frac{pi}{4})=sin(frac{pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}$

$y_6=sin(frac{5pi}{4}-frac{pi}{4})=sin(pi)=0$

$y_7=sin(frac{3pi}{2}-frac{pi}{4})=-cos(frac{pi}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}$

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

	$-frac{sqrt{2}}{2}$		$frac{sqrt{2}}{2}$		$frac{sqrt{2}}{2}$		$-frac{sqrt{2}}{2}$
	$frac{1}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{4}$	$frac{3}{16}$	$frac{1}{8}$	$frac{1}{16}$

Составим ряд распределения.

При этом

$P{Y=-frac{sqrt{2}}{2}}=P{X=0}+P{X=frac{3pi}{2}}=frac{1}{16}+frac{1}{16}=frac{1}{8}$

$P{Y=0}=P{X=frac{pi}{4}}+P{X=frac{5pi}{4}}=frac{1}{8}+frac{1}{8}=frac{1}{4}$

$P{Y=frac{sqrt{2}}{2}}=P{X=frac{pi}{2}}+P{X=pi}=frac{3}{16}+frac{3}{16}=frac{3}{8}$

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

	$-frac{sqrt{2}}{2}$		$frac{sqrt{2}}{2}$
	$frac{1}{8}$	$frac{1}{4}$	$frac{3}{8}$	$frac{1}{4}$

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин ;

в) ;

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения $z_{ij}=x_{i}+y_{j}$ , т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0+2=2	1+2=3	2+2=4
0+3=3	1+3=4	2+3=5
0+4=4	1+4=5	2+4=6

Т. е. случайная величина принимает значения:

Найдем вероятности этих значений:

$[p_1=P{Z=2}=P{X=0,Y=2}]$

Запись вида означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.

$p_1=P{X=0,Y=2}=P{{X=0}cdot {Y=2}}=P{X=0}cdot P{Y=2}=0,2cdot 0,3=0,06$

Для нахождения вероятностей воспользуемся правилом сложения несовместных событий:

$p_2=P{Z=3}=P{X=0,Y=3}+P{X=1,Y=2}=0,2cdot 0,3+0,4cdot 0,3=0,06+0,12=0,18;$

$p_3=P{Z=4}=P{X=0,Y=4}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}=0,2cdot 0,4+ \ +0,4cdot 0,3+0,4cdot 0,3=0,08+0,12+0,12=0,32;$

$p_4=P{Z=5}=P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}=0,4cdot 0,4+0,4cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;$

$p_5=P{Z=6}=P{X=2,Y=4}=0,4cdot 0,4=0,16$

Запишем ряд распределения ДСВ

	2	3	4	5	6
	0,06	0,18	0,32	0,28	0,16

Сделаем проверку:

$sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,06+0,18+0,32+0,28+0,16=1.$

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ

Найдем всевозможные значения $w_{ij}=x_{i}-y_{j}$ .

Все вычисления сведены в таблицу ниже.

0-2=-2	1-2=-1	2-2=0
0-3=-3	1-3=-2	2-3=-1
0-4=-4	1-4=-3	2-4=-2

Таким образом случайная величина принимает значения:

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

$p_1=P{W=-4}=P{X=0,Y=4}=0,2cdot 0,4=0,08$

$p_2=P{W=-3}=P{X=0,Y=3}+P{X=1,Y=4}=0,2cdot 0,3+0,4cdot 0,4=0,06+0,16=0,22;$

$p_3=P{W=-2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0,2cdot 0,3+ \ +0,4cdot 0,3+0,4cdot 0,4=0,06+0,12+0,16=0,34;$

$p_4=P{W=-1}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=3}=0,4cdot 0,3+0,4cdot 0,3=0,12+0,12=0,24;$

$p_5=P{W=0}=P{X=2,Y=4}=0,4cdot 0,3=0,12$

Запишем ряд распределения ДСВ

	-4	-3	-2	-1	0
	0,08	0,22	0,34	0,24	0,12

Сделаем проверку: $sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,08+0,22+0,34+0,24+0,12=1$

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V : $v_{ij}=x_{i}cdot y_{j}$ . Все вычисления сведены в таблицу ниже.

0·2=0	1·2=2	2·2=4
0·3=0	1·3=3	2·3=6
0·4=0	1·4=4	2·4=8

Таким образом случайная величина принимает значения:

Найдем вероятности этих значений:

$p_1=P{V=0}=P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}+P{X=0,Y=4}=0,2cdot 0,3+0,2cdot 0,3+0,2cdot 0,4=0,06+0,06+0,08=0,2;$

$p_2=P{V=2}=P{X=1,Y=2}=0,4cdot 0,3=0,12$

$p_3=P{V=3}=P{X=1,Y=3}=0,4cdot 0,3=0,12$

$p_4=P{V=4}=P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=2}=0,4cdot 0,4+0,4cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;$

$p_5=P{V=6}=P{X=2,Y=3}=0,4cdot 0,3=0,12$

$p_6=P{V=8}=P{X=2,Y=4}=0,4cdot 0,4=0,16$

Запишем ряд распределения ДСВ

	0	2	3	4	6	8
	0,2	0,12	0,12	0,28	0,12	0,16

Сделаем проверку: $sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,2+0,12+0,12+0,28+0,12+0,16=1$

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем . Пусть .

Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, .

Получим ряд

	0	1	2	3	4
	0,12	0,24	0,34	0,22	0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.

Источник

Функция распределения случайной величины

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Пусть

– действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что

примет значение, меньшее

, то есть вероятность
события

обозначим через

. Разумеется, если

изменяется, то, вообще говоря, изменяется и

, то есть

– функция от

Функцией распределения называют функцию

, определяющую вероятность
того, что случайная величина

в результате испытания примет значение,
меньшее

, то есть:

Геометрически
это равенство можно истолковать так:

есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки

Иногда
вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная
функция».

Функцию
распределения дискретной случайной величины

можно представить следующим соотношением:

Это
соотношение можно переписать в развернутом виде:

Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции

равна 1.

Свойства функции распределения

Свойство 1.

Значения
функции распределения принадлежат отрезку

Свойство 2.

– неубывающая функция, то есть:

,
если

Свойство 3.

Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу

,
то:

при

;

при

Свойство 4.

Справедливо равенство:

Свойство 5.

Вероятность того, что непрерывная случайная
величина

примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал,
пусть даже сколь угодно малый.

Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности

означает, что событие

невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным

Свойство 6.

Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси

,
то справедливы следующие предельные соотношения:

Свойство 7.

Функция распределения непрерывная слева, то есть:

Смежные темы решебника:

Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина
Математическое ожидание
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач

Пример 1

Дан ряд
распределения случайной величины

	1	2	6	8
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти и изобразить ее функцию распределения.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Будем задавать различные значения

и находить для них

1. Если

,
то, очевидно,

в том числе и при

2. Пусть

(например

)

Очевидно, что и

3. Пусть

(например

);

Очевидно, что и

4. Пусть

Очевидно, что и

5. Пусть

Итак:

График функции распределения

Пример 2

Случайная
величина

задана функцией распределения:

Найти
вероятность того, что в результате испытания

примет значение:

а) меньше
0,2;

б) меньше
трех;

в) не
меньше трех;

г) не
меньше пяти.

Решение

а) Так
как при

функция

, то

то есть
при

б)

в)
События

противоположны, поэтому

Отсюда:

г) сумма
вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому

Отсюда, в
силу того что при

функция

, получим:

Пример 3

Задана
непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей f(x). Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4)
вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5)
определить вероятность того, что X примет значение из
интервала (a,b).

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

, сразу можем отметить,
что:

Остается
найти выражение для

, когда х принадлежит интервалу

Получаем:

3) Построим графики функций:

График плотности распределения

График функции распределения

4) Вычислим
математическое ожидание:

В нашем случае:

Вычислим дисперсию:

Искомая дисперсия:

5) Вероятность того, что

примет значение из интервала

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Закон
распределения случайной величины X задан таблицей.

Найти ее
математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной
точке.

F(1)=

M[X]=

D[X]=

Задача 2

Случайная
величины X задана функцией распределения

Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8),
(1,8; 2,3)

Задача 3

Дискретная
случайная величина X задана рядом распределения. Найти:

1)
функцию распределения F(x) и ее график;

2)
математическое ожидание M(X);

3)
дисперсию D(X).

	-5	5	25	45	65
	0.2	0.15	0.3	0.25	0.1

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

В задаче
дискретная случайная величина задана рядом распределения.

Найти

; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)

Задача 5

В задаче
непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x).

Найти a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)

Начертить
графики функций f(x);F(x).

Задача 6

Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна

(

). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.

Задача 7

Функция
распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найдите:

1)
параметр a;

2)
плотность вероятностей;

4) P(0<x<1)

Постройте
графики интегральной и дифференциальной функции распределения.

Задача 8

Дана
интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).

Задача 9

Дана
функция распределения F(х) случайной величины Х.

Найти плотность
распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X) и вероятность попадания X на
отрезок [a,b]. Построить графики
функций F(x) и f(x).

Задача 10

НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)

Найти:

а)
постоянную C=const;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания в интервал -1<x<1

г)
построить графики f(x), F(x).

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
Выборочная дисперсия и СКО
Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
Примеры

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

Интервальный вариационный ряд – это ряд распределения, в котором однородные группы составлены по признаку, меняющемуся непрерывно или принимающему слишком много значений.

Общий вид интервального вариационного ряда

Интервалы, (left.left[a_{i-1},a_iright.right))	(left.left[a_{0},a_1right.right))	(left.left[a_{1},a_2right.right))	…	(left.left[a_{k-1},a_kright.right))
Частоты, (f_i)	(f_1)	(f_2)	…	(f_k)

Здесь k – число интервалов, на которые разбивается ряд.

Размах вариации – это длина интервала, в пределах которой изменяется исследуемый признак: $$ F=x_{max}-x_{min} $$

Правило Стерджеса
Эмпирическое правило определения оптимального количества интервалов k, на которые следует разбить ряд из N чисел: $$ k=1+lfloorlog_2 Nrfloor $$ или, через десятичный логарифм: $$ k=1+lfloor 3,322cdotlg Nrfloor $$

Скобка (lfloor rfloor) означает целую часть (округление вниз до целого числа).

Шаг интервального ряда – это отношение размаха вариации к количеству интервалов, округленное вверх до определенной точности: $$ h=leftlceilfrac Rkrightrceil $$

Скобка (lceil rceil) означает округление вверх, в данном случае не обязательно до целого числа.

Алгоритм построения интервального ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Найти размах вариации (R=x_{max}-x_{min})
Шаг 2. Найти оптимальное количество интервалов (k=1+lfloorlog_2 Nrfloor)
Шаг 3. Найти шаг интервального ряда (h=leftlceilfrac{R}{k}rightrceil)
Шаг 4. Найти узлы ряда: $$ a_0=x_{min}, a_i=1_0+ih, i=overline{1,k} $$ Шаг 5. Найти частоты (f_i) – число попаданий значений признака в каждый из интервалов (left.left[a_{i-1},a_iright.right)).
На выходе: интервальный ряд с интервалами (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k})

Заметим, что поскольку шаг h находится с округлением вверх, последний узел (a_kgeq x_{max}).

Например:
Проведено 100 измерений роста учеников старших классов.
Минимальный рост составляет 142 см, максимальный – 197 см.
Найдем узлы для построения соответствующего интервального ряда.
По условию: (N=100, x_{min}=142 см, x_{max}=197 см).
Размах вариации: (R=197-142=55) (см)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloor 3,322cdotlg ⁡100rfloor=1+lfloor 6,644rfloor=1+6=7)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{55}{5}rceil=lceil 7,85rceil=8) (см)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=142, a_i=142+icdot 8, i=overline{1,7} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм

(left.left[142;150right.right))

(left.left[150;158right.right))

(left.left[158;166right.right))

(left.left[166;174right.right))

(left.left[174;182right.right))

(left.left[182;190right.right))

(left[190;198right])

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

Относительная частота интервала (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) – это отношение частоты (f_i) к общему количеству исходов: $$ w_i=frac{f_i}{N}, i=overline{1,k} $$

Гистограмма относительных частот интервального ряда – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – относительным частотам каждого из интервалов.
Площадь гистограммы равна 1 (с точностью до округлений), и она является эмпирическим законом распределения исследуемого признака.

Полигон относительных частот интервального ряда – это ломаная, соединяющая точки ((x_i,w_i)), где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).

Накопленные относительные частоты – это суммы: $$ S_1=w_1, S_i=S_{i-1}+w_i, i=overline{2,k} $$ Ступенчатая кривая (F(x)), состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – накопленным относительным частотам, является эмпирической функцией распределения исследуемого признака.
Кумулята – это ломаная, которая соединяет точки ((x_i,S_i)), где (x_i) – середины интервалов.

Например:
Продолжим анализ распределения учеников по росту.
Выше мы уже нашли узлы интервалов. Пусть, после распределения всех 100 измерений по этим интервалам, мы получили следующий интервальный ряд:

i	1	2	3	4	5	6	7
(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм	(left.left[142;150right.right))	(left.left[150;158right.right))	(left.left[158;166right.right))	(left.left[166;174right.right))	(left.left[174;182right.right))	(left.left[182;190right.right))	(left[190;198right])
(f_i)	4	7	11	34	33	8	3

Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03
(S_i)	0,04	0,11	0,22	0,56	0,89	0,97	1

Построим гистограмму и полигон:

Построим кумуляту и эмпирическую функцию распределения:

Эмпирическая функция распределения (относительно середин интервалов): $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 146\ 0,04, 146lt xleq 154\ 0,11, 154lt xleq 162\ 0,22, 162lt xleq 170\ 0,56, 170lt xleq 178\ 0,89, 178lt xleq 186\ 0,97, 186lt xleq 194\ 1, xgt 194 end{cases} $$

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

Выборочная средняя интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная по частотам: $$ X_{cp}=frac{x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k}{N}=frac1Nsum_{i=1}^k x_if_i $$ где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i $$

Модальным интервалом называют интервал с максимальной частотой: $$ f_m=max f_i $$ Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) – нижняя граница модального интервала;
(f_m,f_{m-1},f_{m+1}) – соответственно, частоты модального интервала, интервала слева от модального и интервала справа.

Медианным интервалом называют первый интервал слева, на котором кумулята превысила значение 0,5. Медиана интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) – нижняя граница медианного интервала;
(S_{me-1}) накопленная относительная частота для интервала слева от медианного;
(w_{me}) относительная частота медианного интервала.

Расположение выборочной средней, моды и медианы в зависимости от симметрии ряда аналогично их расположению в дискретном ряду (см. §65 данного справочника).

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68

$$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i=171,68approx 171,7 text{(см)} $$ На гистограмме (или полигоне) относительных частот максимальная частота приходится на 4й интервал [166;174). Это модальный интервал.
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_o=166, f_m=34, f_{m-1}=11, f_{m+1}=33, h=8\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =166+frac{34-11}{(34-11)+(34-33)}cdot 8approx 173,7 text{(см)} end{gather*} На кумуляте значение 0,5 пересекается на 4м интервале. Это – медианный интервал.
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_o=166, w_m=0,34, S_{me-1}=0,22, h=8\ \ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_me}h=166+frac{0,5-0,22}{0,34}cdot 8approx 172,6 text{(см)} end{gather*} begin{gather*} \ X_{cp}=171,7; M_o=173,7; M_e=172,6\ X_{cp}lt M_elt M_o end{gather*} Ряд асимметричный с левосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|}=frac{2,0}{0,9}approx 2,2lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

Выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная для квадрата отклонения от средней: begin{gather*} D=frac1Nsum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 f_i=frac1Nsum_{i=1}^k x_i^2 f_i-X_{cp}^2 end{gather*} где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ D=sum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 w_i=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2 $$

Выборочное среднее квадратичное отклонение (СКО) определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии: $$ sigma=sqrt{D} $$

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

$x_i$	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68
(x_i^2w_i) – результат	852,64	1660,12	2886,84	9826	10455,72	2767,68	1129,08	29578,08

$$ D=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2=29578,08-171,7^2approx 104,1 $$ $$ sigma=sqrt{D}approx 10,2 $$

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

Исправленная выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как: begin{gather*} S^2=frac{N}{N-1}D end{gather*}

Стандартное отклонение выборки определяется как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии: $$ s=sqrt{S^2} $$

Коэффициент вариации это отношение стандартного отклонения выборки к выборочной средней, выраженное в процентах: $$ V=frac{s}{X_{cp}}cdot 100text{%} $$

Подробней о том, почему и когда нужно «исправлять» дисперсию, и для чего использовать коэффициент вариации – см. §65 данного справочника.

Например:
Для распределения учеников по росту получаем: begin{gather*} S^2=frac{100}{99}cdot 104,1approx 105,1\ sapprox 10,3 end{gather*} Коэффициент вариации: $$ V=frac{10,3}{171,7}cdot 100text{%}approx 6,0text{%}lt 33text{%} $$ Выборка однородна. Найденное значение среднего роста (X_{cp})=171,7 см можно распространить на всю генеральную совокупность (старшеклассников из других школ).

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Построить интервальный ряд с интервалами (left.right[a_{i-1}, a_ileft.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k}) (см. алгоритм выше).
Шаг 2. Составить расчетную таблицу. Найти (x_i,w_i,S_i,x_iw_i,x_i^2w_i)
Шаг 3. Построить гистограмму (и/или полигон) относительных частот, эмпирическую функцию распределения (и/или кумуляту). Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 5. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 6. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.

п.7. Примеры

Пример 1. При изучении возраста пользователей коворкинга выбрали 30 человек.
Получили следующий набор данных:
18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29
Постройте интервальный ряд и исследуйте его.

1) Построим интервальный ряд. В наборе данных: $$ x_{min}=18, x_{max}=38, N=30 $$ Размах вариации: (R=38-18=20)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloorlog_2⁡ 30rfloor=1+4=5)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{20}{5}rceil=4)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=18, a_i=18+icdot 4, i=overline{1,5} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет

(left.left[18;22right.right))

(left.left[22;26right.right))

(left.left[26;30right.right))

(left.left[30;34right.right))

(left.left[34;38right.right))

Считаем частоты для каждого интервала. Получаем интервальный ряд:

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет	(left.left[18;22right.right))	(left.left[22;26right.right))	(left.left[26;30right.right))	(left.left[30;34right.right))	(left.left[34;38right.right))
(f_i)	1	7	12	6	4

2) Составляем расчетную таблицу:

(x_i)	20	24	28	32	36	∑
(f_i)	1	7	12	6	4	30
(w_i)	0,033	0,233	0,4	0,2	0,133	1
(S_i)	0,033	0,267	0,667	0,867	1	–
(x_iw_i)	0,667	5,6	11,2	6,4	4,8	28,67
(x_i^2w_i)	13,333	134,4	313,6	204,8	172,8	838,93

3) Строим полигон и кумуляту

Эмпирическая функция распределения: $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 20\ 0,033, 20lt xleq 24\ 0,267, 24lt xleq 28\ 0,667, 28lt xleq 32\ 0,867, 32lt xleq 36\ 1, xgt 36 end{cases} $$ 4) Находим выборочную среднюю, моду и медиану $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_iapprox 28,7 text{(лет)} $$ На полигоне модальным является 3й интервал (самая высокая точка).
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_0=26, f_m=12, f_{m-1}=7, f_{m+1}=6, h=4\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =26+frac{12-7}{(12-7)+(12-6)}cdot 4approx 27,8 text{(лет)} end{gather*}
На кумуляте медианным является 3й интервал (преодолевает уровень 0,5).
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_0=26, w_m=0,4, S_{me-1}=0,267, h=4\ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h=26+frac{0,5-0,4}{0,267}cdot 4approx 28,3 text{(лет)} end{gather*} Получаем: begin{gather*} X_{cp}=28,7; M_o=27,8; M_e=28,6\ X_{cp}gt M_egt M_0 end{gather*} Ряд асимметричный с правосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|} =frac{0,9}{0,1}=9gt 3), т.е. распределение сильно асимметрично.

5) Находим выборочную дисперсию и СКО: begin{gather*} D=sum_{i=1}^k x_i^2w_i-X_{cp}^2=838,93-28,7^2approx 17,2\ sigma=sqrt{D}approx 4,1 end{gather*}
6) Исправленная выборочная дисперсия: $$ S^2=frac{N}{N-1}D=frac{30}{29}cdot 17,2approx 17,7 $$ Стандартное отклонение (s=sqrt{S^2}approx 4,2)
Коэффициент вариации: (V=frac{4,2}{28,7}cdot 100text{%}approx 14,7text{%}lt 33text{%})
Выборка однородна. Найденное значение среднего возраста (X_{cp}=28,7) лет можно распространить на всю генеральную совокупность (пользователей коворкинга).

Источник

Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для подсчета вероятностей числа успехов. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли.

Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов в k-ом испытании

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

II. Операции над дискретными случайными величинами

Функция распределения случайной величины

Краткая теория

Свойства функции распределения

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

п.7. Примеры

Вам также может понравиться

Как найти вероятность пловцов

Как найти точки касания вписанной окружности

Как найти обычную дробь от десятичной дроби

Добавить комментарий Отменить ответ