Как составить систему на 3 числа


Полная система для лото 3 даёт стопроцентную гарантию выигрыша при совпадении трёх номеров. Как создать свою собственную полную систему игры в лото 3 из любого количества (до 99) номеров.

Полная система комбинаций номеров гарантирует выпадение одной тройки при совпадении трёх номеров.

Система ограничена вводом 14 номеров.

Это моя программа – при использовании давайте ссылку на страницу.


.


Форма для выбора номеров

Выбрано номеров:


#полнаясистема #лото3 #3номера

Видео канал сайта



Новости сайта

На страницах сайта можно найти последние результаты популярных лотерей, а также закономерность выпадения номеров по тиражам, системы номеров, варианты анализа номеров, статистика тиражей.
Советы и предложения по ведению сайта и новости по лотерейной тематике публикуйте в группе соцсетей или направляйте на мою страничку.

Новости

Cайт igravloto.ru

Сайт “Системы игры в числовые лотереи” сайт не является игровым сайтом, не относится к сайтам азартной тематики.
Он не является официальным сайтом Государственных лотерей “Столото” и любых других числовых лото.
Здесь собраны результаты тиражей и проведен их статический анализ. Cайт собирает статистику тиражей популярных числовых лотереи.

О сайте

Лотерейный билет

На сайте не организуются азартные игры и не продаются лотерейные билеты.
Претензии по лотерейным билетам, помощь в получении выигрышей, свои предложения направляйте на официальные сайты организаторов лотерей.
Сайт не консультирует посетителей по организационным вопросам проведения тиражей.

Помощь

Реклама на сайте

Рекламные блоки от рекламных компаний, размещенные на сайте, могут содержать рекламу лотерейных сайтов (или азартных игр) от своих проверенных рекламодателей.
Для размещения Вашей рекламы на сайте igravloto.ru внесите соответствующие изменения в настройках рекламных объявлений.

Контакты

Афоризмы о игре

Зачем мне играть в выдуманные игры, когда на свете так много настоящей игры.

Карта сайта

Социальные сети

Присоединяйтесь к группам сайта в социальных сетях. Сохраняйте ссылки в своих профилях.

Социальные сети

.


Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

  1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
  1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
  1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
  1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Система линейных уравнений с тремя переменными

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d – данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; frac<1> <2>x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ <left< begin 3x+2y-z = 8 \ x-y+z = -2 \ 2x-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow <left< begin 3(y-z-2)+2y-z = 8 \ x = y-z-2 \ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ 5y-4z = 14 \ -y-7z = 5 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ 5(-7z-5)-4z = 14 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ -39z = 39 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = 2-(-1)-2 = 1 \ y = -7cdot(-1)-5 = 2 \ z = -1 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 2 \ z = -1 end right.> $$

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ <left< begin a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 end right.> $$

Определим главный определитель системы:

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end $$

и вспомогательные определители :

$$ Delta_x = begin d_1 & b_1 & c_1 \ d_2 & b_2 & c_2 \ d_3 & b_3 & c_3 end, Delta_y = begin a_1 & d_1 & c_1 \ a_2 & d_2 & c_2 \ a_3 & d_3 & c_3 end, Delta_z = begin a_1 & b_1 & d_1 \ a_2 & b_2 & d_2 \ a_3 & b_3 & d_3 end $$

Тогда решение системы:

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end = a_1 = begin b_2 & c_2 \ b_3 & c_3 end – b_1 = begin a_2 & c_2 \ a_3 & c_3 end + c_1 = begin a_2 & b_2 \ a_3 & b_3 end = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$$<left< begin z = 3x+2y-13 \ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \ x+2y-(3x+2y-13) = 9 end right.> Rightarrow <left< begin z = 3x+2y-13 \ 11x+5y = 37 \ -2x = -4 end right.> Rightarrow $$

$$Rightarrow <left< begin z = 3cdot2+2cdot3-13 = -1 \ y = frac<37-11cdot2> <5>= 3 \ x = 2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 2 \ y = 3 \ z = -1 end right.> $$

$$ <left< begin x = -y-3z+6 \ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ -7y-7z = -7 |:(-7) \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ y+z = 1 \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ 9z = 18 \ y = 1-z end right.> Rightarrow <left< begin x = 1-6+6 = 1 \ z = 2 \ y = 1-2 = -1 end right.> Rightarrow$$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$$ Delta = begin 3 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3\ 1 & 2 & -1 end = 3 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end – 2 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end – 1 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 13 & 2 & -1 \ -2 & -1 & 3 \ 9 & 2 & -1 \ end = 13 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end – 2 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end – 1 = begin -2 & -1 \ 9 & 2 \ end = $$

$$ Delta_y = begin 3 & 13 & -1 \ 2 & -2 & 3 \ 1 & 9 & -1 \ end = 3 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end – 13 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end – 1 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 3 & 2 & 13 \ 2 & -1 & -2 \ 1 & 2 & 9 \ end = 3 = begin -1 & -2 \ 2 & 9 \ end – 2 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end + 13 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta = begin 1 & 1 & 3 \ 2 & -5 & -1\ 1 & 2 & -5 end = 1 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end – 1 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 6 & 1 & 3 \ 5 & -5 & -1 \ -11 & 2 & -5 \ end = 6 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end – 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end + 3 = begin 5 & -5 \ -11 & 2 \ end = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ Delta_y = begin 1 & 16 & 3 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & -11 & -5 \ end = 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end – 6 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 1 & 1 & 6 \ 2 & -5 & 5 \ 1 & 2 & -11 \ end = 1 = begin -5 & 5 \ 2 & -11 \ end – 1 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end + 6 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ a neq b, b neq c, a neq c $$

Решаем методом замены:

$$ <left< begin z = -(a^3+a^2 x+ay)\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 end right.> Rightarrow <left< beginz = -(a^3+a^2 x+ay)\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 end right.> $$

Т.к. $ a neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) neq 0$

Т.к.$ a neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

Из второго уравнения получаем:

Т.к. $b neq c$ можно сократить на $(b-c) neq 0$:

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Алгебраические системы с тремя неизвестными

Для систем с тремя неизвестными определения понятий равносильности и следствия, а также свойства преобразований систем формулируются аналогично тому, как это было сделано для систем с двумя неизвестными.

Будем рассматривать системы вида

где , , являются либо многочленами от , , , либо могут быть представлены в виде отношения многочленов.

Сформулируем для систем уравнений с тремя неизвестными следующие утверждения, которые могут оказаться полезными при решении систем.

Если , где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

и поэтому множество решений системы (1) в этом случае есть объединение множеств решений систем (2) и (3).

2°. Если уравнение

есть следствие системы (1), то система

равносильна системе (1), т. е. при добавлении к системе (1) еще одного уравнения (4), являющегося следствием этой системы, получается система, равносильная системе (1).

. Если уравнение (4) — следствие системы (1), причем где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

. Система (1) равносильна каждой из следующих систем:

5°. Если уравнение равносильно уравнению где — многочлен от и , то система (1) равносильна системе

Это утверждение лежит в основе метода исключения неизвестных: система (1) сводится к системе (5), (6) с двумя неизвестными.

Прежде чем переходить к примерам алгебраических систем с тремя неизвестными, отметим, что нет общих рецептов для нахождения решений систем. Каждый раз нужно учитывать конкретные особенности рассматриваемой системы. Можно дать только общий совет: решайте побольше задач.

Рассмотрим сначала системы с тремя неизвестными, которые сводятся к кубическим уравнениям.

К таким системам относятся системы симметрических алгебраических уравнений, т.е. системы вида (1), где , , — многочлены, каждый из которых не меняется, если поменять местами любую пару из переменных , , .

В этом случае удобно ввести следующие переменные:

Простейший пример системы рассматриваемого вида — система

Система (7) и кубическое уравнение

связаны следующим образом.

Если , , — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть решений: получаемых всевозможными перестановками трех чисел , , . Обратно, если решение системы (7), то , , — корни уравнения (8).

Доказательство этого утверждения основано на использовании формул Виета для корней уравнения (8):

Для сведения к системам (7) систем симметрических уравнений вида

можно использовать следующие тождества:

Примеры с решениями

Пример №186.

Решить систему уравнений

Решение:

Используя уравнения (12), (13) и тождество (9), получаем

Применяя формулу (11) и учитывая равенства (13)-(15), находим

Следовательно, исходная система равносильна системе вида (7), в которой , а уравнение (8) имеет вид

Корни этого уравнения — числа Поэтому система имеет шесть решений, получаемых перестановкой чисел

Ответ.

Обратимся теперь к системам с тремя неизвестными, которые не являются симметрическими.

Пример №187.

Решить систему уравнений

Решение:

Так как правые части уравнений отличны от нуля, то Полагая получаем систему линейных уравнений

Сложив уравнения системы (16), находим

Из (16) и (17) получаем т. е.

Перемножив почленно уравнения системы (18), которая равносильна исходной, имеем откуда

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем (18), (19) и (18), (20), которые имеют решения и соответственно.

Ответ.

Пример №188.

Решить систему уравнений

Решение:

Будем решать систему методом исключения неизвестных и сведением, в конечном счете, к одному уравнению с одним неизвестным. Складывая почленно уравнения (21) и (23), получаем

Так как на основании равенства (24), то из этого равенства следует, что

Запишем далее уравнение (22) в виде

Исключив из уравнений (24) и (26), получаем откуда

Заметим, что система (27), (25), (21) равносильна системе (21)— (23). Подставляя выражения для и из формул (27) и (25) в уравнение (21), получаем

или откуда Соответствующие значения и найдем по формулам (27) и (25).

Ответ.

Пример №189.

Решить систему уравнений

Решение:

Перемножив уравнения системы (28), получаем

Уравнение (29) является следствием системы (28), которая равносильна системе

Уравнения (30), (31), (32) имеют решения соответственно. С учетом равенства (29) находим четыре решения системы (28).

Ответ.

Пример №190.

Найти решения системы уравнений

Решение:

Вычитая из уравнения (34) уравнение (33), получаем

Далее, вычитая из уравнения (35) уравнение (33), находим

Наконец, складывая уравнения (34) и (35), получаем

Система (37)-(39) равносильна системе (33)-(35), а при условии (36) — системе линейных уравнений

имеющей единственное решение

Ответ.

Пример №191.

Решить систему уравнений

Решение:

Вычтем из уравнения (41) уравнение (40) и преобразуем полученное уравнение к виду

Выполнив ту же операцию с уравнениями (42) и (41), имеем

Система (43), (44), (42), равносильная системе (40)-(42), распадается на следующие четыре системы:

Полученные системы легко решаются методом исключения неизвестных. Объединив решения этих систем, найдем все решения исходной системы.

Ответ.

Пример №192.

Решить систему уравнений

Решение:

Решим эту систему как линейную относительно Для этого сложим попарно уравнения системы (45) и получим систему

Перемножив уравнения системы (46) и полагая находим или откуда т. е.

Система (45) в силу утверждения 3° равносильна совокупности систем (46), (47) и (46), (48), каждая из которых имеет единственное решение.

Ответ.

Пример №193.

Решить систему уравнений

Решение:

Если , то из системы (49) следует, что , а может принимать любые значения. Аналогично, если , то , — любое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений вида

Будем искать решения системы (49) такие, что . Умножив первое уравнение системы (49) на , а третье — на и сложив результаты, получим

Прибавив к уравнению (51) второе уравнение системы (49), умноженное на :, находим

Каждое из уравнений (51), (52) является следствием системы (49).

Так как , , — действительные числа (требуется найти действительные решения системы), то уравнение (52) равносильно уравнению

Исключая из уравнений (53) и (51), получаем

Уравнения (53) и (54) являются следствиями системы (49), а уравнение (54) равносильно совокупности уравнений

Из (55) и (53) следует, что , а из системы (49) при и находим Полученное решение содержится среди решений (50).

Из (56) и (53) следует, что Подставляя в систему (49), находим решения и

Ответ. — любое действительное число;

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

[spoiler title=”источники:”]

http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/sistema-linejnyh-uravnenij-s-tremya-peremennymi/

http://lfirmal.com/algebraicheskie-sistemyi-s-tremya-neizvestnyimi-s-primerami-resheniya/

[/spoiler]

Содержание:

Системы уравнений, как и отдельные уравнения, используют для решения сложных и необходимых задач. Системы уравнений бывают с двумя, тремя и более переменными. В этой главе вы ознакомитесь с простейшими системами двух уравнений с двумя переменными. Основные темы лекции:

  • уравнения с двумя переменными;
  • график линейного уравнения;
  • системы уравнений;
  • способ подстановки;
  • способ сложения;
  • решение задач составлением системы уравнений.

Уравнения с двумя переменными

До сих пор мы рассматривали уравнение с одной переменной. Однако существуют задачи, решение которых приводит к уравнениям с двумя переменными.

Пример:

На 22 руб. купили несколько книжек по 5 руб. и географических карт — по 3 руб. Сколько купили книжек и карт?

Решение:

Пусть купили х книжки у карт. За книжки заплатили 5х руб., а за карты — 3у руб. Всего заплатили 22 руб., то есть, 5х + Зу = 22.

Это уравнение с двумя переменными. Приведём и другие примеры таких уравнений с двумя переменными:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Уравнение вида ах + by = с, где а, b, с — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Если Системы линейных уравнений с примерами решений

Примеры линейных уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений два первых из них — уравнение первой степени с двумя переменными.

Паре чисел х = -1 и у = 9 удовлетворяет уравнение 5х + Зу -= 22, так как Системы линейных уравнений с примерами решений А пара чисел х = 1 и у = 2 этому уравнению не удовлетворяет, поскольку Системы линейных уравнений с примерами решений

Каждая пара чисел, удовлетворяющая уравнение с двумя переменными, т. е. обращающая это уравнение в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Обратите внимание: одно решение состоит из двух чисел, на первом месте записывают значение х, на втором — у. Корнями их не называют.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, следует подставить в уравнение произвольное значение первой неременной и, решив полученное уравнение, найти соответствующее значение второй переменной.

Для примера найдем несколько решений уравнения

Системы линейных уравнений с примерами решений

Если х = 1, то Системы линейных уравнений с примерами решений отсюда у = -2. Пара чисел х = 1 и у = -2 — решение данного уравнения. Его записывают ещё и так: (1; -2). Придавая переменной х значения 2, 3, 4, … , так же можно найти сколько угодно решений уравнения: (2; 1), (3; 4), (4; 7), (5; 10), …. Каждое уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.

Уравнение Системы линейных уравнений с примерами решений также имеет бесконечно много решений, но сформулированную выше задачу удовлетворяет только одно из них: (2; 4).

Два уравнения с двумя переменными называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Для уравнения с двумя переменными остаются справедливыми свойства, сформулированные для уравнений с одной переменной.

Обе части уравнения с двумя переменными можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Любой член такого уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. В результате получается уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Системы линейных уравнений с примерами решений можно преобразовать так: Системы линейных уравнений с примерами решений. Каждое из этих уравнений равносильно друг другу.

Иногда возникает потребность решить уравнение с двумя переменными во множестве целых чисел, то есть определить решения, являющиеся парами целых чисел. Способы решения таких уравнений определил древнегреческий математик Диофант (III в.), поэтому их называют диофантовыми уравнениями. Например, задача о книжках и картах сводится к уравнению Системы линейных уравнений с примерами решений где х и у могут быть только целыми (иногда натуральными) числами.

Переменную у из этого уравнения выразим через х:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Будем подставлять в равенство вместо х первые натуральные числа до тех пор, пока не получим целое значение переменной у. Это можно делать устно. Если х = 2, то у = 4. Других натуральных решений уравнение не имеет. Поэтому задача имеет единственное решение: 2 книги и 4 карты.

Пример:

Решите уравнение:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

а) При любых значениях х и у значения выражения Системы линейных уравнений с примерами решенийне может быть отрицательным числом. Поэтому уравнение не имеет решений.

б) Значение выражения Системы линейных уравнений с примерами решенийравно нулю только при условии, когда x -3 = 0 и y = 0. Значит, уравнение имеет только одно решение: х = 3, у = 0.

Пример:

Составьте уравнение с двумя переменными, решением которого будет пара чисел (1; -5).

Решение:

Пишем любой двучлен с переменными х и у, например Системы линейных уравнений с примерами решений Если х = 1, а у = -5, то значение даного двучлена равно 28. Следовательно, уравнение Системы линейных уравнений с примерами решений удовлетворяет условие задачи.

Есть много других линейных уравнений с двумя переменными, имеющих такое же решение (1; -5).

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение Системы линейных уравнений с примерами решений Давая переменной х значения -2, -1,0,1,2, 3,…, найдём соответствующие значения переменной у. Будем иметь решение данного уравнения: (-2; -б), (-1; -4,5), (0; -3), <1; -1,5), (2; 0), (3; 1,5),….

Если на координатной плоскости обозначить соответствующие этим парам точки, то окажется, что все они размещены на одной прямой (рис. 89). Эту прямую (рис. 90) называют графиком данного уравнения.

Выразим из уравнения Системы линейных уравнений с примерами решений его переменную у через х:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Это функция, график которой изображён на рисунке 90. Вообще, если Системы линейных уравнений с примерами решений то из уравнения ах + by = с переменную у можно выразить через х. Получим равенство Системы линейных уравнений с примерами решений являющееся формулой линейной функции. А её график — прямая.

График каждого уравнения первой степени с двумя переменными — прямая. И каждая прямая координатной плоскости — график некоторого линейного уравнения с двумя переменными.

Каждая точка графика уравнения имеет координаты, удовлетворяющие данное уравнение. Например, точка М графика уравнения Системы линейных уравнений с примерами решенийимеет абсциссу 5 и ординату 4,5 (см. рис. 90). Эти значения х и у удовлетворяют данное уравнение: 3 5-2-4,5 = 6.

График линейной функции одновременно является графиком некоторого линейного уравнения с двумя переменными. Например, уравнения Системы линейных уравнений с примерами решенийравносильны, а равносильные уравнения имеют одинаковые графики.

Чтобы построить график уравнения первой степени о ‘ 1 двумя переменными, достаточно найти два его решения, обозначить на координатной плоскости соответствующие им точки и провести через них прямую.

Такое уравнение удовлетворяет любая пара чисел. Его графиком является вся координатная плоскость.

•Если Системы линейных уравнений с примерами решений то будем иметь уравнение

Системы линейных уравнений с примерами решений

Такое уравнение не имеет ни одного решения.

Известно, что две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Так же могут располагаться на координатной плоскости и графики двух уравнений первой степени с двумя переменными (рис. 91).

Взаимное расположение графиков уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решений

Пример:

Постройте график уравнения:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Уравнению а) удовлетворяет каждая пара чисел (c ; 4), где с — произвольное число. График этого уравнений — прямая, параллельная оси х, проходящая через точку A(0 ; 4) (рис. 92).

Бесконечно много решений уравнения б) — множество пар (2 ; p), где p — произвольное число. График этого уравнения — прямая параллельная оси у (рис. 93).

Уравнение в) удовлетворяет каждая пара чисел, график этого уравнения — вся координатная плоскость.

Уравнение г) не имеет ни одного решения, его график — пустое множество.

Системы линейных уравнений с примерами решений

Определение и вычисление систем уравнений

Пример:

4 кг конфет и 3 кг пряников стоят 26 руб., а 6 кг конфет и 2 кг пряников — 34 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг пряников?

Эту задачу можно решить, составив уравнение с одной переменной, а можно воспользоваться другим способом.

Пусть 1 кг конфет стоит х руб., а 1 кг пряников — у руб.

Тогда

Системы линейных уравнений с примерами решений

Имеем два уравнения с двумя переменными. Надо найти такие значения переменных х и у, которые удовлетворяют одновременно и первое, и второе уравнения, то есть обращающие каждое из уравнений в верное равенство. Другими словами: надо найти общее решение обоих уравнений, или решить систему данных уравнений.

Если требуется найти общие решение двух или нескольких уравнений, говорят, что эти уравнения образуют систему. Записывают систему уравнений, объединяя их фигурной скобкой:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решением системы уравнений называют общее решение всех её уравнений.

Например, пара чисел (3; 2) является решением системы

Системы линейных уравнений с примерами решений

то есть: Системы линейных уравнений с примерами решений

Решить систему уравнений —это означает найти множество всех её решений .

Решать системы уравнений можно графическим способом. Решим, например, систему (*). Для этого построим на одной координатной плоскости графики обоих её уравнений (рис. 95). Координаты каждой точки графика уравненияСистемы линейных уравнений с примерами решений удовлетворяют это уравнение. Координаты каждой точки графика уравнения Системы линейных уравнений с примерами решений удовлетворяют это уравнение. Построенные графики пересекаются в точке А (3; 2). Поэтому пара чисел (3; 2) — единственное решение данной системы уравнений.

Системы линейных уравнений с примерами решений

Графическим способом обычно находят приближённые решения. А подставив значения Системы линейных уравнений с примерами решений в данную систему уравнений, убедимся,что (3; 2) — точное решение.

Каждая ли система двух уравнений имеет только одно решение? Нет. Например, система уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

имеет бесконечно много решений. Ведь графики обоих этих уравнений — одна и та же прямая (убедитесь в этом самостоятельно). Следовательно, координаты каждой точки этой прямой, например(-2; -6), (-1; -4,5), (0; -3), (1; -1,5), (2; 0),… — решения данной системы уравнений.

Есть системы уравнений, которые не имеют ни одного решения. Графики таких уравнений — параллельные прямые (см. рис. 91).

Вы уже знаете, что уравнение и функции — удобные математические модели многих задач. Системы уравнений также используют как математические модели. Иногда, исходя из условия задачи, систему уравнений с двумя переменными легче составить, чем одно уравнение. И решать её бывает легче, чем уравнение с одной переменной, соответствующее условию той же задачи.

Пример:

Сколько решений имеет система уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Так как Системы линейных уравнений с примерами решений то эта система имеет одно решение (см. рис. 91). Проверьте графически.

Пример:

Решите графически систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Найдём координаты точек пересечения графиков уравнений системы с осями координат.

Системы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Построим графики данных уравнений (рис. 96). Эти графики — параллельные прямые, не имеющие общих точек. Ответ. Система уравнений решений не имеет.

Способ подстановки

Графический способ решения систем уравнений громоздок и даёт, как правило, приближённые решения. Поэтому чаще системы решают другими способами, в частности способом подстановки.

Пусть, например, надо решить систему

Системы линейных уравнений с примерами решений

Выразим из второго её уравнения переменную х через у:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Так как первое уравнение системы должны удовлетворять те же значения переменных, что и второе, подставим найденное выражение 9-3у вместо х в первое уравнение. Получим уравнение с одной переменной:

Системы линейных уравнений с примерами решений отсюда Системы линейных уравнений с примерами решений

Подставим значение у = 2 в уравнение х = 9 – Зу и найдём соответствующее значение переменной х:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Следовательно, решением системы является пара чисел (3; 2).

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, надо:

  1. выразить из какого-нибудь её уравнения одну переменную через другую;
  2. подставить в другое уравнение системы вместо этой л временной полученное выражение;
  3. решить получившееся уравнение с одной переменной;
  4. найти соответствующее значение второй переменной.

Этим способом можно решать любую систему линейных уравнений с двумя переменными. Однако удобнее, если коэффициент при какой-либо переменной в уравнении равен 1.

Пример №1

Решите систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Заменим данные уравнения линейными, получим систему:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Иногда можно подставлять из одного уравнения системы во второе не значение отдельной переменной, а значение целого выражения.

Например, решая систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

можно значение выражения 2х-4у из второго уравнения подставить в первое:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Тогда

Системы линейных уравнений с примерами решений

Ответ. х = 3, у = -2.

Проверка. Системы линейных уравнений с примерами решений

2 • 3 – 4(-2) = 6 + 8 = 14. Найденная пара чисел (3; -2) удовлетворяет данную систему уравнений.

Пример №2

Решите систему уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Выразим из второго уравнения значение Дроби Системы линейных уравнений с примерами решений через х и подставим его в первое уравнение.

Системы линейных уравнений с примерами решений

Тогда Системы линейных уравнений с примерами решений

Ответ. (8; 6).

Способ сложения

Дана система уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Сначала решим её способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную у через х и подставим полученное выражение вместо у во второе уравнение:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Дальше уже несложно закончить решение системы.

А можно ли уравнение Системы линейных уравнений с примерами решений получить другим способом? Да, для этого достаточно сложить левые и правые части уравнений системы. Так как коэффициенты при у — противоположные числа, то члены с переменной у сокращаются. Поэтому, решая любую подобную систему, вместо подстановки можно выполнять почленно сложение уравнении. Оформлять решение будем, например, так: Системы линейных уравнений с примерами решений Ответ. (5; 2).

Таким образом решают системы, в которых коэффициенты при какой-либо переменной — противоположные числа. А к такому виду можно свести любую систему линейных уравнений с двумя переменными. Пусть, например, дана система

Системы линейных уравнений с примерами решений

Умножим обе части её первого уравнения на 2, а второго — на -3; получим систему, в которой коэффициенты при переменной х — противоположные числа. Уравнения полученной системы равносильны уравнениям данной. Следовательно, она имеет такие же решения, что и данная.

Оформлять решение можно таким образом: Системы линейных уравнений с примерами решений Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение. (15; -2).

Способом сложения можно решить не только системы линейных уравнений, а и многих нелинейных.

Пример №3

Решите систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Выполнив сложение левых и правых частей данных уравнений, получим:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Значит, Системы линейных уравнений с примерами решений отсюда Системы линейных уравнений с примерами решений

Проверка показывает, что найденные пары чисел (3; 1) и (3; -1) удовлетворяют данную систему уравнений.

Ответ. Система уравнений имеет два решения: (3; 1) и (3; -1).

Пример №4

Решите систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Умножим все члены первого уравнения на 3, а второго — на 5. Упростим полученные уравнения:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Чтобы воспользоваться способом сложения, ещё раз умножим все члены первого уравнения на 3, а второго — на 5 и почленно сложим их:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Ответ. (4; 1).

Решение задач составлением системы уравнений

Многие задачи, особенно такие, в которых надо найти значения двух величин, удобно решать с помощью систем уравнений.

Пример:

За 5 блокнотов и 6 тетрадей заплатили 6,9 руб. Сколько стоит один блокнот и одна тетрадь, если 4 блокнота дороже 3 тетрадей на 2,4 руб.?

Решение:

Допустим, что блокнот стоит х руб., а тетрадь — у руб. За 5 блокнотов заплатили 5х руб., а за б тетрадей — 6у руб. Вместе за них заплатили 6,9 руб., следовательно,

Системы линейных уравнений с примерами решений

Так как 4 блокнота дороже 3 тетрадей на 2,4 руб., имеем ещё одно уравнение:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Переменные х и у в обоих уравнениях обозначают одни и те же цены. Значит, надо решить систему этих двух уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Ответ. Блокнот стоит 90 к., тетрадь — 40 к.

Эту задачу можно решить также составлением уравнения с одной переменной. Любую задачу, которая решается составлением системы линейных уравнений, можно решить и с помощью уравнения с одной переменной. Только систему уравнений чаще составить легче, чем уравнение с одной переменной.

Существует немало задач, которые удобно решать с помощью системы трёх уравнений с тремя переменными. Решим одну из них.

Пример:

Капитал в 10 000 руб. поделите на три части так, чтобы первая была на 2 000 руб. больше второй и на 3 000 руб. — третьей.

Решение:

Обозначим искомые части капитала буквами х,у и z. По условию задачи

Системы линейных уравнений с примерами решений

Искомые значения переменных должны удовлетворять системе трёх уравнений с тремя переменными:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Сложив почленно левые и правые части этих уравнений, будем иметь Зх = 15 000, отсюда х = 5 000. Тогда из второго уравнения получим:

5000 -у = 2000, y = 3000, а из третьего вычислим:

5 000 -z = 3 000, z = 2 000. Ответ. 5000 руб., 3000 руб. и 2000 руб.

Обобщим задачу 1:

Пример:

За 5 блокнотов и 6 тетрадей заплатили m руб. Сколько стоит один блокнот и одна тетрадь, если 4 блокнота дороже 3 тетрадей на n руб.?

Здесь m и n – параметры, то есть буквы, считающиеся в условиях задачи данными, неизменными. Задачи с параметрами так же можно решать с помощью уравнений или системы уравнений, только ответами к ним будут не конкретные числа, а выражения, содержащие параметры.

Решим сформулированную задачу.

Решение:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Ответ. Один блокнот и одна тетрадь стоят соответственно

Системы линейных уравнений с примерами решений руб. и Системы линейных уравнений с примерами решений руб.

Пример:

Поделите капитал 8 100 руб. на две части так, чтобы меньшая часть составляла 80 % от большей.

Решение:

Пусть большая часть равна х руб., тогда меньшая — 80 % от х, то еть 0,8х. Имеем систему двух уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Ответ: 4500 руб. и 3600 руб.

Пример:

Найдите два числа, сумма которых равна 15, а разность их квадратов на 60 больше.

Решение:

Если искомые числа равны х и у, то

Системы линейных уравнений с примерами решений

Так как Системы линейных уравнений с примерами решений а х – у = 5. Имеем систему уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Её решение х = 10, у = 5 является решением и данной иидачи.

Ответ. 10 и 5.

История систем уравнений

Задачи, сводящиеся к системе уравнений с двумя переменными, учёные Вавилона умели решать ещё более 4 тысяч лет тому назад.

Китайские математики более 2 тысяч лeт тому назад разработали общий метод решения систем линейных уравнений с тремя и более неизвестными и описали его в трактате «Математика в девяти книгах».

Древнегреческий математик Диофант (III в.) находил натуральные решения и таких, например, задач: «Найдите два числа с данной разностью и таких, чтобы разность их квадратов была больше их разности на заданное число». Если искомые числа обозначить через х и у, а данные — через а и b, то задаче соответствует такая система уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Графический способ решения уравнений одним из первых предложил выдающийся французский философ, математик, физик, физиолог Р. Декарт. Он ввёл понятие переменной величины и удобную математическую Рене Декарт символику. (1596-1650)

В 1637 г. Р. Декарт опубликовал работу «Размышления о методе», в которой описал метод координат, связывающий алгебру с геометрией. Пользуясь этим методом, геометрические задачи можно решать алгебраическими методами, а алгебраические — геометрическим.

Р. Декарт — основатель очень известного ранее философского учения картезианство. Это название произошло от латинизированного имени Декарта – Картезий.

Напомню:

Уравнение вида ах + by = с, где а,b,c — данные числа, называют линейным уравнением с двумя переменными хну. Если Системы линейных уравнений с примерами решений его называют уравнением первой степени с двумя переменными.

Пару чисел, удовлетворяющую уравнение с двумя переменными, называют решением этого уравнения. Например, пара чисел (3; -2) — решение уравнения Системы линейных уравнений с примерами решений Уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений. В декартовой системе координат каждому уравнению первой степени с двумя переменными соответствует прямая — график этого уравнения. И наоборот, каждая прямая координатной плоскости — график некоторого линейного уравнения с двумя переменными.

Два уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют те же решения. Равносильные уравнения с двумя переменными имеют одинаковые графики.

Если нужно найти общие решения двух или нескольких уравнений, говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Решением системы уравнений называют общее решение всех её уравнений. Пример системы двух линейных уравнений с переменными х и у:

Системы линейных уравнений с примерами решений Каждое уравнение этой системы имеет бесконечно много решений и только одно из них — общее для обоих уравнений: пара (2; 3).

Системе двух уравнений первой степени с двумя переменными в декартовой системе координат соответствует пара прямых. Поскольку две прямые на плоскости могут пересекаться , совпадать или быть параллельными, то и соответствующая им система уравнений может иметь одно решение, бесконечно много или не иметь ни одного решения.

Решать системы уравнений с двумя переменными можно разными способами — подстановки, сложения или графическим способом.

Системы линейных уравнений

К системам линейных уравнений приводит множество прикладных, в том числе и экономических задач.

Основные понятия и определения

Система Системы линейных уравнений с примерами решений линейных уравнений с Системы линейных уравнений с примерами решений переменными имеет вид:

Системы линейных уравнений с примерами решений

где Системы линейных уравнений с примерами решений— произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде: Системы линейных уравнений с примерами решений

Решением системы (2.1) называется такая совокупность Системы линейных уравнений с примерами решений чисел Системы линейных уравнений с примерами решений при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Например, система уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений — совместная и определенная, так как имеет единственное решение Системы линейных уравнений с примерами решений; система Системы линейных уравнений с примерами решений— несовместная; а система уравнении Системы линейных уравнений с примерами решений — совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений Системы линейных уравнений с примерами решений, где с — любое число.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений, рассмотренных в гл.1 применительно к матрицам (например, умножение обеих частей уравнений на числа, не равные нулю; сложение уравнений системы), получается система (2.1), равносильная данной.

Запишем систему (2.1) в матричной форме. Обозначим: Системы линейных уравнений с примерами решений

где Системы линейных уравнений с примерами решенийматрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Системы линейных уравнений с примерами решений — матрица-столбец переменных; Системы линейных уравнений с примерами решений— матрица-столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений равно числу строк матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений, то их произведение

Системы линейных уравнений с примерами решений

есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части системы (2.1). На основании определения равенства матриц систему (2.1) можно записать в виде: Системы линейных уравнений с примерами решений

Система n линейных уравнений с n переменными.

Метод обратной матрицы и формулы Крамера

Пусть число уравнений системы (2.1) равно числу переменных, т.е. Системы линейных уравнений с примерами решенийТогда матрица системы является квадратной, а ее определитель Системы линейных уравнений с примерами решений называется определителем системы.

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя переменными:

Системы линейных уравнений с примерами решений

в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля.

Для решения этой системы исключим переменную Системы линейных уравнений с примерами решений, умножив первое уравнение на Системы линейных уравнений с примерами решений, второе — наСистемы линейных уравнений с примерами решений и сложив их. Затем исключим переменную Системы линейных уравнений с примерами решений, умножив первое уравнение на Системы линейных уравнений с примерами решений, второе — на Системы линейных уравнений с примерами решений и также сложив их. В результате получим систему:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Выражение в скобках есть определитель системы

Системы линейных уравнений с примерами решений

Обозначив Системы линейных уравнений с примерами решений система (2.5) примет вид

Системы линейных уравнений с примерами решений

Из полученной системы следует, что если определитель системы Системы линейных уравнений с примерами решений, то система (2.4) имеет единственное решение, определяемое по формулам: Системы линейных уравнений с примерами решений

Если Системы линейных уравнений с примерами решений Системы линейных уравнений с примерами решений, то система (2.4) несовместная, так как в этом случае приводится к виду:Системы линейных уравнений с примерами решений

Если Системы линейных уравнений с примерами решений, то система (2.4) неопределенная и имеет бесконечное множество решений, так как в этом случае приводится к виду: Системы линейных уравнений с примерами решений

Для получения решения системы (2.1) при Системы линейных уравнений с примерами решений в общем виде предположим, что квадратная матрица системы Системы линейных уравнений с примерами решений невырожденная, т.е. ее определитель Системы линейных уравнений с примерами решений В этом случае существует обратная матрица Системы линейных уравнений с примерами решений.

Умножая слева обе части матричного равенства (2.3) на матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений, получим Системы линейных уравнений с примерами решений Так какСистемы линейных уравнений с примерами решений, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

Системы линейных уравнений с примерами решений

Теорема Крамера. Пусть Системы линейных уравнений с примерами решений — определитель матрицы системы Системы линейных уравнений с примерами решений а Системы линейных уравнений с примерами решений — определитель матрицы, получаемой из матрицы Системы линейных уравнений с примерами решенийзаменой Системы линейных уравнений с примерами решений-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Системы линейных уравнений с примерами решений, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Формулы (2.8) получили название формул Крамера.

Системы линейных уравнений с примерами решенийВ соответствии с (1.14) обратная матрица Системы линейных уравнений с примерами решений где Системы линейных уравнений с примерами решений— матрица, присоединенная к матрице Системы линейных уравнений с примерами решений. Так как элементы матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений есть алгебраические дополнения элементов матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений, транспонированной к Системы линейных уравнений с примерами решений, то запишем равенство (2.7) в развернутой форме:Системы линейных уравнений с примерами решений

Учитывая, что Системы линейных уравнений с примерами решений , получим после умножения матриц

Системы линейных уравнений с примерами решений откуда следует, что для любого Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

На основании свойства 9 определителей (см. § 1.4) Системы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решений, где Системы линейных уравнений с примерами решений — определитель матрицы, полученной из матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений заменой Системы линейных уравнений с примерами решений-го столбца Системы линейных уравнений с примерами решений столбцом свободных членов. Следовательно, Системы линейных уравнений с примерами решений

Заметим, что фактически формулы Крамера были получены нами в частном случае при решении системы (2.4) Системы линейных уравнений с примерами решений уравнений с двумя переменными.

Пример №5

Решить систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера. Р е ш е н и е. а) Обозначим Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Тогда в матричной форме данная система имеет вид: Системы линейных уравнений с примерами решений Найдем определитель Системы линейных уравнений с примерами решений . Так как Системы линейных уравнений с примерами решений, то матрица Системы линейных уравнений с примерами решений – невырожденная, и существует обратная матрица Системы линейных уравнений с примерами решений. Матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений находим по алгоритму:

Системы линейных уравнений с примерами решений Теперь пo формуле (2.7)

Системы линейных уравнений с примерами решений

т.е. решение системы (4; 2; 1).

б) Найдем определитель системы Системы линейных уравнений с примерами решений (см. п. а). Так как Системы линейных уравнений с примерами решений, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц Системы линейных уравнений с примерами решений полученных из матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов: Системы линейных уравнений с примерами решений (рекомендуем читателю вычислить самостоятельно).

Теперь по формулам Крамера (2.8)

Системы линейных уравнений с примерами решений

т.е. решение системы (4; 2; 1).

В конце решения системы (любым способом) рекомендуем сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства. ►

Существенным недостатком решения систем Системы линейных уравнений с примерами решений линейных уравнений с Системы линейных уравнений с примерами решений переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.

Метод Гаусса

Рассмотрим решение системы (2.1) т линейных уравнений с Системы линейных уравнений с примерами решенийпеременными в общем виде.

Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных — заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе (2.1) коэффициент при переменной Системы линейных уравнений с примерами решений в первом уравнении Системы линейных уравнений с примерами решений (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, чтобы Системы линейных уравнений с примерами решений).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на Системы линейных уравнений с примерами решений) и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему, …, Системы линейных уравнений с примерами решений-му уравнению системы (2.1), исключим переменную х, из всех последующих уравнений, начиная со второго. ПолучимСистемы линейных уравнений с примерами решений

где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2. Предположим, что Системы линейных уравнений с примерами решений (если это не так, то соответствующей перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров добьемся того, чтобы Системы линейных уравнений с примерами решений).

Умножая второе уравнение на подходящие числаСистемы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решенийи прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому, …, Системы линейных уравнений с примерами решений-му уравнению системы, исключим переменную Системы линейных уравнений с примерами решенийиз всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных Системы линейных уравнений с примерами решенийпосле Системы линейных уравнений с примерами решений-гo шага получим систему

Системы линейных уравнений с примерами решений

Число нуль в последних Системы линейных уравнений с примерами решений уравнениях означает, что их левые части имеют вид Системы линейных уравнений с примерами решений Если хотя бы одно из чисел Системы линейных уравнений с примерами решений не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (2.1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числаСистемы линейных уравнений с примерами решений в системе (2.10) равны нулю. В этом случае последние Системы линейных уравнений с примерами решений уравнений в системе (2.10) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (2.1). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы (2.10) равно числу переменных, т.е. Системы линейных уравнений с примерами решений (в этом случае система (2.10) имеет треугольный вид); б) Системы линейных уравнений с примерами решений (в этом случае система (2.10) имеет ступенчатый вид).

Переход системы (2.1) к равносильной ей системе (2.10) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (2.10) — обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений

называемую расширенной матрицей системы (2.1), ибо в нее, кроме матрицы системы Системы линейных уравнений с примерами решений, дополнительно включен столбец свободных членов.

Пример №6

Решить систему уравнений: Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид: Системы линейных уравнений с примерами решений Шаг 1. Так как Системы линейных уравнений с примерами решений, то умножая первую строку матрицы на числа (-2), (—3), (-2) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную Системы линейных уравнений с примерами решений из всех строк, начиная со второй. Заметив, что в новой матрице Системы линейных уравнений с примерами решений, поменяем местами вторую и третью строки: Системы линейных уравнений с примерами решений

Шаг 2. Так как теперь Системы линейных уравнений с примерами решений, то умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную Системы линейных уравнений с примерами решений из всех строк, начиная с третьей:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Шаг 3. Учитывая, что Системы линейных уравнений с примерами решений, умножаем третью строку на 13,5/8 = 27/16, и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим из нее переменную Системы линейных уравнений с примерами решений.

Получим (см. последнюю матрицу) систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения Системы линейных уравнений с примерами решений ; из третьегоСистемы линейных уравнений с примерами решений; из второго

Системы линейных уравнений с примерами решений и из первого уравнения

Системы линейных уравнений с примерами решенийт.е. решение системы

Системы линейных уравнений с примерами решений

Пример №7

Методом Гаусса решить систему уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы

Системы линейных уравнений с примерами решений

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво — оно привелось к неверному равенству Системы линейных уравнений с примерами решений, следовательно, данная система несовместна. ►

Система Системы линейных уравнений с примерами решений линейных уравнений с Системы линейных уравнений с примерами решений переменными

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (см. § 1.6). Поэтому, если строки расширенной матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений, т.е. уравнения системы (2.1), линейно независимы, то ранг матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений равен числу ее уравнений, т.е. Системы линейных уравнений с примерами решений, если — линейно зависимы, то Системы линейных уравнений с примерами решений

Вопрос о разрешимости системы (2.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Системы линейных уравнений с примерами решенийНе проводя строгого доказательства теоремы, поясним его. В процессе преобразования системы уравнений (2.1) к виду (2.10), т.е. элементарных преобразований матрицы системы Системы линейных уравнений с примерами решений и расширенной матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений, ранги этих матриц не изменяются. Ранее (см. § 2.3) было установлено, что система (2.10) совместна тогда и только тогда, когда все свободные членыСистемы линейных уравнений с примерами решений

равны нулю. В этом случае, как нетрудно проверить, ранг матрицы и ранг расширенной матрицы системы (2.10), так же как и данной системы (2.1), совпадают (оба равны Системы линейных уравнений с примерами решений). Системы линейных уравнений с примерами решений

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

  1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. Системы линейных уравнений с примерами решений, то система (2.1) имеет единственное решение.
  2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е.Системы линейных уравнений с примерами решений, то система (2.1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Результаты исследования системы (2.1) приведем в виде схемы (рис. 2.1):

Системы линейных уравнений с примерами решений Пусть Системы линейных уравнений с примерами решений. Системы линейных уравнений с примерами решений переменных Системы линейных уравнений с примерами решений называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные Системы линейных уравнений с примерами решений называются неосновными (или свободными).

Решение системы (2.1), в котором все Системы линейных уравнений с примерами решений неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Так как каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний Системы линейных уравнений с примерами решений , то и базисных решений имеется не более Системы линейных уравнений с примерами решений. Таким образом, совместная система Системы линейных уравнений с примерами решений линейных уравнений с Системы линейных уравнений с примерами решений переменными Системы линейных уравнений с примерами решений имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее Системы линейных уравнений с примерами решений, где Системы линейных уравнений с примерами решений

Приведенная на рис. 2.1 схема не означает, что для решения системы (2.1) в общем случае необходимо вычислять отдельно, а затем сравнивать ранги матрицы системы Системы линейных уравнений с примерами решенийи расширенной матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений. Достаточно сразу применить метод Гаусса.

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:

  • значительно менее трудоемкий;
  • позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);
  • дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.
Пример №8

Методом Гаусса решить систему

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы (для удобства вычислений берем в качестве первой строки коэффициенты второго уравнения, у которого коэффициент при Системы линейных уравнений с примерами решений равен 1):

Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений т.е. ранг матрицы системы Системы линейных уравнений с примерами решений

Оставляем в левой части переменные Системы линейных уравнений с примерами решений которые берем за основные (определитель из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля, т.е.Системы линейных уравнений с примерами решений Остальные неосновные переменные Системы линейных уравнений с примерами решений переносим в правые части уравнений. В результате получим систему

Системы линейных уравнений с примерами решенийоткуда

Системы линейных уравнений с примерами решений

Задавая неосновным переменным произвольные значения Системы линейных уравнений с примерами решений, найдем бесконечное множество решений системы

Системы линейных уравнений с примерами решений

Пример №9

Найти все базисные решения системы, приведенной в примере 2.4.

Решение:

Ранг матрицы системы Системы линейных уравнений с примерами решений (это следует из примера 2.4), следовательно, одно из уравнений системы, например, третье, можно отбросить.

Общее число групп основных переменных не более чем Системы линейных уравнений с примерами решений, поэтому возможны следующие группы основных переменных:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Выясним, могут ли переменные Системы линейных уравнений с примерами решений быть основными. Так как определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных, т.е. базисный минор

Системы линейных уравнений с примерами решений, то Системы линейных уравнений с примерами решений могут быть основными переменными. Рассуждая аналогично, найдем, что из всех возможных групп основных переменных только переменные Системы линейных уравнений с примерами решений не могут быть основными, ибо Системы линейных уравнений с примерами решений Найдем первое базисное решение, взяв в качестве основных переменных Системы линейных уравнений с примерами решений, а в качестве неосновных — переменные Системы линейных уравнений с примерами решений. Приравняв неосновные переменные нулю, т.е. Системы линейных уравнений с примерами решений, получим систему уравнений в виде: Системы линейных уравнений с примерами решений, откуда Системы линейных уравнений с примерами решенийпервое базисное решение (4/5; -17/5; 0; 0)

Если взять за основные переменные Системы линейных уравнений с примерами решений и приравнять нулю соответствующие неосновные переменные Системы линейных уравнений с примерами решений т.е. Системы линейных уравнений с примерами решений , то получим второе базисное решение (4/5; 0; 17/5; 0). Аналогично находятся и остальные базисные решения (9/7; 0; 0; -17/7), (0; -9; 0; 4) и (0; 0; 9; 4). ►

Системы линейных однородных уравнений

Фундаментальная система решений

Система Системы линейных уравнений с примерами решений линейных уравнений с Системы линейных уравнений с примерами решений переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:Системы линейных уравнений с примерами решений

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0, 0, …, 0).

Если в системе (2.12)Системы линейных уравнений с примерами решений, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при Системы линейных уравнений с примерами решений

Обозначим решение системы (2.12) Системы линейных уравнений с примерами решений в виде строки Системы линейных уравнений с примерами решений

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

  1. Если строка Системы линейных уравнений с примерами решенийрешение системы (2.12), то и строка Системы линейных уравнений с примерами решенийтакже решение этой системы.
  2. Если строки Системы линейных уравнений с примерами решений и Системы линейных уравнений с примерами решенийрешения системы (2.12), то при любых Системы линейных уравнений с примерами решений их линейная комбинация Системы линейных уравнений с примерами решенийтакже решение данной системы.

Убедиться в справедливости указанных свойств решений системы линейных однородных уравнений можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому представляет интерес найти такие линейно независимые решения системы (2.12), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Определение. Система линейно независимых решенийСистемы линейных уравнений с примерами решений называется фундаментальной, если каждое решение системы (2.12) является линейной комбинацией решений Системы линейных уравнений с примерами решений.

Теорема. Если ранг Системы линейных уравнений с примерами решений матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2.12) меньше числа переменных Системы линейных уравнений с примерами решений, то всякая фундаментальная система решений системы (2.12) состоит из Системы линейных уравнений с примерами решений решений.

Поэтому общее решение системы (2.12) линейных однородных уравнений имеет вид:

Системы линейных уравнений с примерами решений

где Системы линейных уравнений с примерами решений — любая фундаментальная система решений, Системы линейных уравнений с примерами решений— произвольные числа и Системы линейных уравнений с примерами решений

Можно показать, что общее решение системы т линейных уравнений с п переменными (2.1) равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (2.12) и произвольного частного решения этой системы (2.1).

Пример №10

Даны матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений Решить уравнения: Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

а) Для невырожденной матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений решение уравнения находится по той же формуле (2.7) Системы линейных уравнений с примерами решений, но здесь необходимо учесть, что Системы линейных уравнений с примерами решений не является матрицей-столбцом (как это было в § 2.1), а имеет размер (2×3), ибо

Системы линейных уравнений с примерами решений

Найдем обратную матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений согласно алгоритму, приведенному в § 1.5:

Системы линейных уравнений с примерами решений; так как Системы линейных уравнений с примерами решений то Системы линейных уравнений с примерами решений существует. Матрица Системы линейных уравнений с примерами решений, транспонированная к Системы линейных уравнений с примерами решений , имеет вид Системы линейных уравнений с примерами решений, а матрица Системы линейных уравнений с примерами решений из алгебраических дополнений элементов матрицы Системы линейных уравнений с примерами решенийесть Системы линейных уравнений с примерами решений Теперь Системы линейных уравнений с примерами решений и матрица переменных

Системы линейных уравнений с примерами решений

б) Полагая матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений невырожденной, умножим обе части уравнения Системы линейных уравнений с примерами решенийсправа на обратную матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений Так как

Системы линейных уравнений с примерами решений, то Системы линейных уравнений с примерами решений и размер

матрицы переменных (4 x 2), так как Системы линейных уравнений с примерами решений– Следовательно,

Системы линейных уравнений с примерами решений

Пример №11

Решить уравнениеСистемы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Обозначив Системы линейных уравнений с примерами решений представим уравнение в виде Системы линейных уравнений с примерами решений. Умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений и справа на обратную матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений, учитывая, что Системы линейных уравнений с примерами решенийневырожденные матрицы: Системы линейных уравнений с примерами решений

Получим Системы линейных уравнений с примерами решений. Учитывая, что

Системы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решений получим Системы линейных уравнений с примерами решений

Теперь найдем Системы линейных уравнений с примерами решений

Поэтому Системы линейных уравнений с примерами решений

Пример №12

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: Системы линейных уравнений с примерами решений Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение:

Пусть ежедневно фабрика выпускает Системы линейных уравнений с примерами решений пар сапог, Системы линейных уравнений с примерами решений пар кроссовок и Системы линейных уравнений с примерами решений пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему: Системы линейных уравнений с примерами решений Решая систему любым способом, находим (200; 300; 200), т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 — кроссовок и 200 пар ботинок. ►

Пример №13

С двух заводов поставляются автомобили длядвух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй — 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство (см. таблицу). Системы линейных уравнений с примерами решений

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти оптимальный план перевозок машин.

Решение:

Пусть Системы линейных уравнений с примерами решений — количество машин, поставляемых с Системы линейных уравнений с примерами решений-го завода Системы линейных уравнений с примерами решений-му автохозяйству Системы линейных уравнений с примерами решений. Получаем систему Системы линейных уравнений с примерами решений Решаем систему, например, методом Гаусса. (Рекомендуем сделать это читателю самостоятельно.) Найдем Системы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решений (обращаем внимание на то, что ранг матрицы системы Системы линейных уравнений с примерами решений, т.е.Системы линейных уравнений с примерами решений, и система имеет единственное решение). ►

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)

Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из я отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой — как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается Системы линейных уравнений с примерами решений отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения: Системы линейных уравнений с примерами решений — общий (валовой) объем продукции Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли Системы линейных уравнений с примерами решений;

Системы линейных уравнений с примерами решений — объем продукции Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли, потребляемой Системы линейных уравнений с примерами решений-й отраслью в процессе производства Системы линейных уравнений с примерами решений;

Системы линейных уравнений с примерами решений — объем конечного продукта Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой Системы линейных уравнений с примерами решений отраслями, и конечного продукта, то

Системы линейных уравнений с примерами решений

Уравнения (2.14) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (2.14), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

Системы линейных уравнений с примерами решений

показывающие затраты продукции Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли на производство единицы продукции Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты Системы линейных уравнений с примерами решений будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

Системы линейных уравнений с примерами решений

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса (2.14) примут вид:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Обозначим Системы линейных уравнений с примерами решений

где Системы линейных уравнений с примерами решений — вектор валового выпуска, Системы линейных уравнений с примерами решений — вектор конечного продукта, Системы линейных уравнений с примерами решений — матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему (2.14) можно записать в матричном виде:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Системы линейных уравнений с примерами решений, который при известной матрице прямых затрат Системы линейных уравнений с примерами решений обеспечивает заданный вектор конечного продукта Системы линейных уравнений с примерами решений.

Перепишем уравнение (2.18) в виде:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Если матрицаСистемы линейных уравнений с примерами решений невырожденная, т.е. Системы линейных уравнений с примерами решений то по формуле (2.7)

Системы линейных уравнений с примерами решений

Матрица Системы линейных уравнений с примерами решений называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений, будем задаваться единичными векторами конечного продукта

Системы линейных уравнений с примерами решений. Тогда по формуле (2.20) соответствующие векторы валового выпуска будут

Системы линейных уравнений с примерами решений

Следовательно, каждый элемент Системы линейных уравнений с примерами решений матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений есть величина валового выпуска продукции Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта Системы линейных уравнений с примерами решений-й отрасли Системы линейных уравнений с примерами решений

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения Системы линейных уравнений с примерами решений должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях

Системы линейных уравнений с примерами решений

Матрица Системы линейных уравнений с примерами решений называется продуктивной, если для любого вектора Системы линейных уравнений с примерами решенийсуществует решение Системы линейных уравнений с примерами решений уравнения (2.19). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений. Один из них говорит о том, что матрица Системы линейных уравнений с примерами решений продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица Системы линейных уравнений с примерами решений продуктивна, если Системы линейных уравнений с примерами решенийдля любых Системы линейных уравнений с примерами решений и Системы линейных уравнений с примерами решений и существует номер Системы линейных уравнений с примерами решенийтакой, чтоСистемы линейных уравнений с примерами решений

Пример №14

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.: Системы линейных уравнений с примерами решений

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне.

Решение:

Имеем

Системы линейных уравнений с примерами решений

По формуле (2.15) находим коэффициенты прямых затрат:

Системы линейных уравнений с примерами решений т.е матрица прямых затрат

Системы линейных уравнений с примерами решений удовлетворяет критерию продуктивности:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Поэтому для любого вектора конечного продукта Системы линейных уравнений с примерами решений можно найти необходимый объем валового выпуска Системы линейных уравнений с примерами решений по формуле (2.20):

Системы линейных уравнений с примерами решений

Найдем матрицу полных затрат Системы линейных уравнений с примерами решений :

Системы линейных уравнений с примерами решений. Так как Системы линейных уравнений с примерами решенийпо формуле (1.14)

Системы линейных уравнений с примерами решений По условию вектор конечного продукта Системы линейных уравнений с примерами решений. Тогда по формуле (2.17) получаем вектор валового выпуска: Системы линейных уравнений с примерами решений

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной — до 160,5 усл. ед. 

Системы линейных уравнений в линейной алгебре

Для исследования процессов функционирования экономики, при построении математических моделей конкретных задач, возникающих перед менеджером в процессе его деятельности, в ряде случаев используются системы линейных уравнений. Так, например, при межотраслевом анализе – изменение объема выпуска отрасли при фиксированном коэффициенте прямых затрат в случае изменения спроса необходимо искать путем решения системы линейных уравнений, которая является моделью изучаемого процесса.

Нахождение решений системы линейных уравнений может быть осуществлено различными методами. Выбор метода зависит от рассматриваемой задачи и соответствующей математической модели. В ряде случаев необходимо лишь знать – существует ли решение рассматриваемой системы.

Цель данного раздела – исследовать совместность системы линейных уравнений и дать некоторые методы их решения. Эти методы позволяют найти точное решение системы. Кроме этого, существуют методы, позволяющие находить приближенные решения, например, метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя, метод пошагового агрегирования. В этом разделе они не рассматриваются.

Рассмотрим совокупность уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

где Системы линейных уравнений с примерами решений– действительные числа, а Системы линейных уравнений с примерами решений -неизвестные. Эту совокупность называют системой линейных уравнений с n неизвестными, числа Системы линейных уравнений с примерами решений – коэффициенты системы (1), Системы линейных уравнений с примерами решений -свободные члены. Упорядоченный набор n действительных чисел Системы линейных уравнений с примерами решений называется решением системы (13.1), если после подстановки в каждое из уравнений (13.1) вместоСистемы линейных уравнений с примерами решений чисел Системы линейных уравнений с примерами решений, это уравнение превращается в тождество.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее есть, по крайней мере, два различных решения.

Две системы с п неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Матрица Системы линейных уравнений с примерами решений, составленная из коэффициентов системы (13.1), называется матрицей системы. Обозначив Системы линейных уравнений с примерами решенийчерез систему (13.1) можно записать в виде матричного уравнения:

Системы линейных уравнений с примерами решений Матрица Системы линейных уравнений с примерами решений полученная приписыванием к матрице А справа столбца свободных членов системы (13.1), называется расширенной матрицей системы (13.1).

При исследовании системы (13.1) ищут ответ на следующие три вопроса:

  1. когда система совместна;
  2. если система совместна, то определена ли она;
  3. как отыскать ее решения.

Критерий совместности системы линейных уравнений

Ответ на первый вопрос дает теорема Кронекера-Капелли – критерий совместности системы линейных уравнений.

Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим невырожденные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых m= n и определитель матрицы системы отличен от нуля. Определитель матрицы называется определителем системы. Следующая теорема, называемая правилом Крамера, отвечает на второй вопрос.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Коэффициенты этой системы составляют квадратную матрицу второго порядка:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решим систему (13.3). Для этого умножим первое уравнение системы на Системы линейных уравнений с примерами решений второе – на Системы линейных уравнений с примерами решений и вычтем из первого уравнения второе:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Аналогично, исключая Системы линейных уравнений с примерами решений, получим –Системы линейных уравнений с примерами решений

Если Системы линейных уравнений с примерами решенийто найдем единственное решение системы:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Общий знаменатель значений неизвестных Системы линейных уравнений с примерами решений, обозначаемый через Системы линейных уравнений с примерами решенийназывается определителем матрицы А. Это определитель второго порядка. Числителями неизвестных Системы линейных уравнений с примерами решений являются определители тоже второго порядка Системы линейных уравнений с примерами решений Мы получили правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Правило Крамера. Если определитель Системы линейных уравнений с примерами решений системы п линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение: Системы линейных уравнений с примерами решений где Системы линейных уравнений с примерами решений– определитель, получаемый из Системы линейных уравнений с примерами решений заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Невырожденную систему линейных уравнений АХ = В можно решить и иным способом.

Поскольку матрица А – невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица Системы линейных уравнений с примерами решений Умножив обе части уравнения АХ = В слева на матрицу Системы линейных уравнений с примерами решений, получим Системы линейных уравнений с примерами решений, откуда Системы линейных уравнений с примерами решений.

Мы ответили на три вопроса относительно систем линейных уравнений. Однако применение теоремы Крамера, которая позволила дать этот ответ, приводит к слишком громоздким вычислениям.

Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Метод Гаусса

Метод Гаусса основан на теореме: если к некоторому уравнению системы прибавить другое уравнение этой системы, умноженное на любое действительное число, или умножить любое уравнение системы на отличное от нуля действительное число, то полученная система будет эквивалентна исходной.

Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных, осуществляя его за несколько итераций. На каждой итерации выбирается разрешающее уравнение и базисное неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы, которое ранее не было выбрано разрешающим и не все коэффициенты которого равны нулю. За базисное неизвестное выбирают неизвестное, коэффициент при котором в разрешающем уравнении, называемый разрешающим коэффициентом, не равен нулю.

Алгоритм метода следующий:

  1. Выбирают разрешающее уравнение и базисное неизвестное.
  2. Делят обе части разрешающего уравнения на разрешающий коэффициент и исключают базисное неизвестное из всех уравнений системы, кроме разрешающего. Отбрасывают, если они появились, уравнения, все коэффициенты и свободный член в котором равны нулю. Если получилось уравнение, в котором коэффициенты нулевые, а свободный член не нуль, то система несовместна, конец. Если таких уравнений нет, то шаг 1. Если все уравнения были использованы в качестве разрешающих, то шаг 3.
  3. Если нет, то шаг 1.
  4. Базисные неизвестные оставляют слева, а небазисные (назовем их свободными, так как они могут принимать любые значения) переносят вправо. Тем самым получено общее решение системы. Конец.

Однородные системы уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что г не превосходит п. В случае у = п система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при r < n.

Следствие. Однородная система уравнений в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений m

выполняется условие r < n и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие: Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система и линейных однородных уравнений, матрица которой Системы линейных уравнений с примерами решений с определителем Системы линейных уравнений с примерами решений, имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме r < n, а это значит, что матрица А вырожденная, т.е.Системы линейных уравнений с примерами решений = 0.

Разрешенные системы линейных уравнений

Переменная Системы линейных уравнений с примерами решений называется разрешенной, если какое-нибудь уравнение системы содержит Системы линейных уравнений с примерами решений с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы переменная Системы линейных уравнений с примерами решений не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Например, система уравнений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

содержит разрешенные переменные Системы линейных уравнений с примерами решений. Переменные Системы линейных уравнений с примерами решений, разрешенными не являются.

Если каждое уравнение содержит разрешенную переменную, то такую систему называют разрешенной. Очевидно, что приведенная в качестве примера система уравнений является разрешенной.

Выбрав из каждого уравнения разрешенной системы по одной разрешенной переменной, можно сформировать набор попарно различных переменных, который называется набором разрешенных переменных данной системы. В общем случае набор разрешенных переменных определен неоднозначно. Например, у рассмотренной выше системы можно выбрать два набора разрешенных переменных: Системы линейных уравнений с примерами решений

Переменные системы, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если в системе фиксирован набор разрешенных переменных Системы линейных уравнений с примерами решений, то переменные Системы линейных уравнений с примерами решенийявляются свободными; если в набор разрешенных переменных системы входят Системы линейных уравнений с примерами решений, то свободными переменными являются Системы линейных уравнений с примерами решений.

Допустим, что разрешенная система уравнений содержит переменные Системы линейных уравнений с примерами решений и что набор Системы линейных уравнений с примерами решений является набором разрешенных переменных данной системы. Возможны два случая: r= n и r < n.

В первом случае, когда r = n, все переменные системы образуют набор разрешенных переменных системы Системы линейных уравнений с примерами решений. Из определения набора разрешенных переменных вытекает, что данная система содержит n уравнений. Из определения разрешенных переменных следует, что переменная Системы линейных уравнений с примерами решенийсодержится только в первом уравнении, переменная Системы линейных уравнений с примерами решений – только во втором и т.д., переменная Системы линейных уравнений с примерами решений – только в n-м уравнении. Таким образом, разрешенная система имеет вид: Системы линейных уравнений с примерами решений

Очевидно, что такая система уравнений имеет только одно решение Системы линейных уравнений с примерами решений.

Во втором случае, когда r < n разрешенная система состоит из г уравнений вида:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Переменные Системы линейных уравнений с примерами решений являются свободными переменными системы. Если выразить разрешенные переменные системы Системы линейных уравнений с примерами решений через ее свободные переменные Системы линейных уравнений с примерами решений система примет вид:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Теорема (свойство свободных переменных). Если свободным переменным системы придать Системы линейных уравнений с примерами решений произвольные значения Системы линейных уравнений с примерами решений тогда:

  1. можно построить решение К системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно Системы линейных уравнений с примерами решений
  2. если у решений К и L системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.

Доказательство: Если значения свободных переменных Системы линейных уравнений с примерами решенийподставить в систему, то получится:

Системы линейных уравнений с примерами решений

То есть Системы линейных уравнений с примерами решенийявляется решением системы уравнений, так как после подстановки координат АГ в эту систему получаются верные равенства. Поскольку у К значения свободных переменных равны, соответственно, Системы линейных уравнений с примерами решений и есть искомое решение системы.

Следствие. Все решения системы получаются так же, как и решение К.

Значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом различных способов, поэтому система уравнений является неопределенной.

Разрешенная система уравнений совместна всегда. Она будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если число уравнений меньше числа неизвестных.

Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы Системы линейных уравнений с примерами решений имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности – Системы линейных уравнений с примерами решений

Перенесем лишние неизвестные Системы линейных уравнений с примерами решений которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид: Системы линейных уравнений с примерами решений

Ее можно решить относительно Системы линейных уравнений с примерами решений так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для Системы линейных уравнений с примерами решений Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все Системы линейных уравнений с примерами решений т. е. она имеет вид: Системы линейных уравнений с примерами решений

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно -система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением Системы линейных уравнений с примерами решений Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор – столбец Системы линейных уравнений с примерами решений называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы А), если найдется такое число Системы линейных уравнений с примерами решений что будет выполняться равенство Системы линейных уравнений с примерами решений

Число Системы линейных уравнений с примерами решений называется собственным значением линейного преобразования (матрицы А), соответствующим вектору X. Матрица А имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица А является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы А перепишем равенство Системы линейных уравнений с примерами решений в виде Системы линейных уравнений с примерами решений – единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. Системы линейных уравнений с примерами решений

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной Системы линейных уравнений с примерами решений которое называется характеристическим уравнением матрицы А, многочленСистемы линейных уравнений с примерами решенийназывается характеристическим многочленом матрицы А, а его корни – характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы А.

Для нахождения собственных векторов матрицы А в векторное уравнение Системы линейных уравнений с примерами решений или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения Системы линейных уравнений с примерами решений и решать обычным образом.

Пример №15

Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Будем находить ранги матриц Системы линейных уравнений с примерами решений методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:Системы линейных уравнений с примерами решений

Очевидно, что Системы линейных уравнений с примерами решений Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду: Системы линейных уравнений с примерами решений

Поскольку определитель при неизвестных Системы линейных уравнений с примерами решений отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде: Системы линейных уравнений с примерами решений Системы линейных уравнений с примерами решений — общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным Системы линейных уравнений с примерами решений конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при Системы линейных уравнений с примерами решений Системы линейных уравнений с примерами решений

Вектор Системы линейных уравнений с примерами решений является частным решением данной системы.

Пример №16

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а. Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Данной системе соответствует матрица Системы линейных уравнений с примерами решений Имеем Системы линейных уравнений с примерами решений

следовательно, исходная система равносильна такой: Системы линейных уравнений с примерами решений

Отсюда видно, что система совместна только при а=5. Общее решение в этом случае имеет вид: Системы линейных уравнений с примерами решений

Пример №17

Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа Системы линейных уравнений с примерами решенийСистемы линейных уравнений с примерами решений из которых хотя бы одно отлично от нуля (см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство: Системы линейных уравнений с примерами решений

В координатной записи оно равносильно системе уравнений: Системы линейных уравнений с примерами решений

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого г < n. Определитель при неизвестных Системы линейных уравнений с примерами решений отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде: Системы линейных уравнений с примерами решений Имеем: Системы линейных уравнений с примерами решений

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные Системы линейных уравнений с примерами решений не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение Системы линейных уравнений с примерами решений имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, Системы линейных уравнений с примерами решений Тогда Системы линейных уравнений с примерами решений и мы получим соотношение Системы линейных уравнений с примерами решений т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример №18

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Вычислим определитель матрицы А Системы линейных уравнений с примерами решений

Итак, Системы линейных уравнений с примерами решений Корни характеристического уравнения Системы линейных уравнений с примерами решений – это числа Системы линейных уравнений с примерами решений Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы А. Для нахождения собственных векторов матрицы А подставим найденные значения Системы линейных уравнений с примерами решений в систему (5.6): при Системы линейных уравнений с примерами решений имеем систему линейных однородных уравнений Системы линейных уравнений с примерами решений

Следовательно, собственному значению Системы линейных уравнений с примерами решений отвечают собственные векторы вида Системы линейных уравнений с примерами решений (8, 8, -3, 15), где Системы линейных уравнений с примерами решений – любое отличное от нуля действительное число. При Системы линейных уравнений с примерами решений = -2 имеем: Системы линейных уравнений с примерами решений и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Поэтому собственному значению Системы линейных уравнений с примерами решений отвечают собственные векторы вида Системы линейных уравнений с примерами решенийгде Системы линейных уравнений с примерами решений – любое отличное от нуля действительное число.

Системы линейных уравнений в высшей математике

Линейной системой m уравнений с n неизвестными Системы линейных уравнений с примерами решений называется система вида

Системы линейных уравнений с примерами решений

Числа Системы линейных уравнений с примерами решений называются коэффициентами системы, a Системы линейных уравнений с примерами решений – ее свободными членами.

Линейную систему удобно записывать в матричной форме:

Системы линейных уравнений с примерами решений Матрица Системы линейных уравнений с примерами решений называется расширенной матрицей системы: Системы линейных уравнений с примерами решений

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю. В противном случае она называется неоднородной.

Решением системы m уравнений с n неизвестными называется совокупность значений неизвестных

Системы линейных уравнений с примерами решений

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В

противном случае она называется несовместной.

Замечание. Однородная система линейных уравнений всегда совместна,

т.к. имеет нулевое решение.

Решить систему – значит найти все ее решения.

Решение невырожденных систем линейных уравнений

Система n линейных уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если матрица системы невырожденная.

Правило Крамера:

Невырожденная система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам

Системы линейных уравнений с примерами решений где Системы линейных уравнений с примерами решений – определитель (матрицы) системы. Системы линейных уравнений с примерами решений – определитель, полученный из Системы линейных уравнений с примерами решений заменой i-гo столбца на столбец свободных членов.

Пример №19

Решить систему уравнений по формулам Крамера.

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Выпишем матрицу системы: Системы линейных уравнений с примерами решений Найдем ее определитель:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Следовательно, матрица А невырожденная и система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера. НайдемСистемы линейных уравнений с примерами решений Системы линейных уравнений с примерами решений

Системы линейных уравнений с примерами решений

Тогда Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение произвольных систем линейных уравнений

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы.

Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор располагается в первых k строках и k столбцах матрицы системы. Отбросив m-k последних уравнений искомой системы, записывают укороченную систему:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Неизвестные Системы линейных уравнений с примерами решений называются базисными, a Системы линейных уравнений с примерами решенийсвободными.

Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, решают укороченную систему относительно базисных неизвестных. Решение укороченной (а следовательно, и исходной) системы будет являться функцией от n-k свободных неизвестных и называться общим решением системы.

Вывод. Если ранг расширенной системы не равен рангу основной матрицы, то система несовместна. Если ранг системы равен рангу расширенной системы и равен количеству неизвестных, то система имеет единственное решение. Если же ранг системы равен рангу расширенной системы и меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

В общем случае для решения систем линейных уравнений применяют метод Жордана-Гаусса. Согласно ему расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований над строками приводят к трапециевидной форме. Такой матрице соответствует система, которую легко решить, начиная с последнего уравнения.

Пример №20

Исследовать систему уравнений и в случае совместимости решить ее:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Найдем ранг матрицы методом Гаусса. Путем элементарных преобразований над строками приведем данную матрицу к трапециевидной форме: Системы линейных уравнений с примерами решений

  1. первую строку умножили на -1 и прибавили ко второй, первую строку умножили на -1 и прибавили к третьей;
  2. вторую строку прибавили к третьей.

Отсюда rank A=rank Системы линейных уравнений с примерами решений Система совместна.

Очевидно, если мы проделаем над уравнениями системы любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. Из коэффициентов преобразованной матрицы составим систему:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Выберем в качестве базисного минора стоящий в первых двух строках и столбцах: Системы линейных уравнений с примерами решений

Тогда неизвестные Системы линейных уравнений с примерами решений – базисные, Системы линейных уравнений с примерами решений– свободные. Придадим свободным неизвестным произвольные числовые значения Системы линейных уравнений с примерами решений где Системы линейных уравнений с примерами решений Решим укороченную систему относительно базисных неизвестных, начиная с последнего уравнения:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Следовательно,

Системы линейных уравнений с примерами решений

Тогда Системы линейных уравнений с примерами решений Общее решение системы имеет вид

Системы линейных уравнений с примерами решений где Системы линейных уравнений с примерами решений – произвольные постоянные.

Для существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг системы k был меньше числа неизвестных n. Тогда общее решение однородной системы может быть записано в виде

Системы линейных уравнений с примерами решений

где Системы линейных уравнений с примерами решений – векторы-столбцы, которые называются фундаментальной системой решений.

Пример №21

Найти фундаментальную систему решений:

Системы линейных уравнений с примерами решений

Решение:

На основании предыдущего примера выпишем общее решение системы: Системы линейных уравнений с примерами решений

где Системы линейных уравнений с примерами решений – произвольные постоянные. Тогда векторы Системы линейных уравнений с примерами решений

образуют фундаментальную систему решений.

  • Линейное программирование
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  • Исследование функции
  • Пространство R”
  • Матрица – виды, операции и действия с примерами
  • Линейный оператор – свойства и определение
  • Многочлен – виды, определение с примерами
  • Квадратичные формы – определение и понятие

Сумма 3 чисел равна 16. Сумма первого и третьего 11, асумма третьего и второго 8. Найдите это числа​.

Если сумма всех трех чисел равна 16, а сумма первого и третьего равна 11, то из этого легко найти значение второго числа. Достаточно из суммы всех трех вычесть сумму только указанных двух. Получим 16 – 11 = 5.

Значит, второе число – пятерка.

А нам еще известна, вот же удача, сумму второго и третьего, которая равна 8. Из этого значения вычитаем известное нам второе и получаем, что третье равно трем (8 – 5).

Ну, а дальше совсем просто. Даже вычислять сумму второго и третьего не придется – нам она уже и так известна. Вычитаем её из общей суммы и находим, что первое число равно восьми (16 – 8).

Ответ: 8, 5, 3

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Карел­я Топин
[182K]

2 года назад 

Такая математическая задача решается путём решения системы из трёх уравнений.

Обозначим первое число как “x”, второе – “y”, третье “z” составим и решим систему из трёх уравнений.

x + y + z = 16 (1)

x + z = 11 (2)

y + z = 8 (3)

Из (3) уравнения найдём y = 8 – z, из (2) уравнения найдём x = 11 – z и подставим эти значения в (1) уравнение. В результате получаем:

11 – z + 8 – z + z = 16;

19 + z = 16, отсюда z = 3. Подставляем значение “z” во (2) уравнение и получаем x = 8. Подставляем значение “z” в (3) уравнение и получаем y = 5.

Ответ: Первое число x = 8, второе число y = 5 и третье число z = 3.

Проверка: 8 + 5 + 3 = 16.

Solom­iyMon
[93.1K]

2 года назад 

По условиям задачи сумма трех чисел равна – 16.

Обозначим неизвестные числа буквами “а”, “в” и “с” и запишем их в виде суммы:

a + в + с = 16

a + с = 11, находим, чему равна “а”:

а = 11 – с

в + c = 8, соответственно находим “в”:

в = 8 – с

Составляем уравнение, подставляя вместо “а” и “в” полученные выражения с неизвестной “с”.

(11 – с) + (8 – с) + с = 16

Убирая скобки, получаем такое уравнение:

11 – с + 8 – с + с = 16

19 – с = 16

с = 19 – 16

с = 3

Ищем остальные неизвестные:

а = 11 – с

а = 11 – 3

а = 8

в = 8 – с

в = 8 – 3

в = 5

Проверка: а + в + с = 8 + 5 + 3 = 16

Ответ: первое число – 8, второе – 5, третье – 3.

laris­atiur­ina15­00
[14.9K]

2 года назад 

По условию задачи сумма трех чисел равна 16. Обозначим их, как А; В; С

А+В+С=16.

А+С=11 от сюда выходит В=16-11=5

В+С=8 от сюда выходит, что

А=16-8=8 С=8-5=3

Проверяем 8+5+3=16

Евген­ий трохо­в
[56.5K]

2 года назад 

Сумма трех чисел равна 16.

А вот если к этой сумме прибавить еще раз третье число, то будет :

11+8=19,отсюда:

Третье число равно 19-16=3

Тогда первое число равно:

11-3=8.

А второе число равно:

8-3=5.

Проверка :

8+5+3=16

Ответ:это числа 8,5, 3.

Мудры­й Датч
[75.5K]

2 года назад 

Известно, что по условию задачи сумма первого и третьего равна 11, а сумма третьего и второго равна 8. Складываем значение этих сумм: 11+8=19. Получается, что данная сумма превосходит сумму всех трех на величину третьего, поэтому равно третье число 3, так как 16 равна сумма трёх чисел. Теперь легко найти второе число, оно равно 5: 8-3=5, а первое число равно 8: 11-3=8. Верный ответ: 8,5,3.

Корне­тОбол­енски­й
[162K]

2 года назад 

Задача взята видимо из какой-то олимпиады для средней школы. На первый взгляд, решается несходу.

Приходится прибегать к системе уравнений:

  1. a+m+n = 16
  2. a+n = 11
  3. m+n=8

Из 1) и 3) следует, что а = 16 – (m+n) = 16 – 8 = 8

Теперь, зная, что а = 8 из 2) получаем, что n=11-8=3

И, окончательно, из 1) m= 16 – 8 – 3 =5

Получаем ответ: это числа 8,5,3.

Имеем исходные соотношения:

(1) a1 + a2 + a3 = 16,

(2) a1 + a3 = 11,

(3) a2 + a3 = 8,

Высчитываем новое соотношение (1) – (2):

(3) a1 = 8,

Высчитываем новое соотношение (2) – (3):

(4) a3 = 3,

Высчитываем новое соотношение (3) – (4):

(5) a2 = 5.

Знаете ответ?

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений
с двумя неизвестными.

Запомните!
!

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют
«x» и «y»),
которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7»
неизвестное «x».

Важно!
Галка

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

  • перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
  • разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так,
    чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что
содержит «x» в левую часть,
а остальное в правую часть по
правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка (*).

x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4  (*)

(*)   3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
                 − 17y = − 17     | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1».
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

Запомните!
!

При сложения уравнений системы
левая часть первого уравнения полностью складывается
с левой частью второго уравнения,
а правая часть полностью складывается с
правой частью.

x + 5y = 7 (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+          =>     x
+ 5y + 3x
2y = 11
3x − 2y = 4 4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент
«−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

Важно!
Галка

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)
3x − 2y = 4
x ·(−3)
+ 5y · (−3) = 7 · (−3)
3x − 2y = 4
−3x −15y = −21
3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21 (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+          =>     3x15y +
3x2y = −21 + 4
3x − 2y = 4 −17y = −17 |:(−17)
y = 1

Мы нашли «y = 1».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое
значение и найдем «x».

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения «x».

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

x = 17 + 3y
(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и
найдем «x».

x = 17 + 3 · (−30)
y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

3x − 3y + 5x = 6x − 4
4x − 2x − 2y = 4 − 3y
8x − 3y = 6x − 4
2x −2y = 4 − 3y
8x − 3y − 6x = −4
2x −2y + 3y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

2x − 3y = −4      |·(−1)
2x + y = 4
2x · (−1)
3y · (−1) = −4 · (−1)
2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

−2x + 3y = 4 (−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+          =>     2x + 3y +
2x + y = 4 + 4
2x + y = 4 4y = 8         | :4
y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».

Ответ: x = 1; y = 2


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

8 мая 2020 в 16:20

Алина Козлова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Алина Козлова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

у-2х=-3
х+у=3

0
Спасибоthanks
Ответить

9 мая 2020 в 21:50
Ответ для Алина Козлова

Evgeny Bayron
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Evgeny Bayron
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1


y=3-x
3-x-2x=-3
x=2
y-2*2=-3
y=1

0
Спасибоthanks
Ответить

15 мая 2019 в 13:21

Марина Чернявская
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Марина Чернявская
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Решительно систему уравнений.
4x+3y =22.
-x+7y =10.
a)графическим способом.
б)способом подстановки
в)способом сложения

0
Спасибоthanks
Ответить

15 мая 2019 в 22:31
Ответ для Марина Чернявская

Лёха Чешуйка
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2


в): Домножаем первое на 1, второе на 4:
4x+3y=22
-4x+28y=40
Складываем:
4x+(-4x)+3y+28y=22+40
31y=62
y=62/31
y=2
Подставляем y в первое:
4x+3 · 2=22
4x=22-6
4x=16
x=4

0
Спасибоthanks
Ответить

15 мая 2019 в 22:41
Ответ для Марина Чернявская

Лёха Чешуйка
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2


б): Выражаем из второго x:
-x=10-7y
x=7y-10
Подставляем x в первое:
4(7y-10)+3y=22
28y-40+3y=22
31y=22+40
31y=62
y=2
Подставляем y в первое:
4x+3 · 2=22
4x=22-6
4x=16
x=4

0
Спасибоthanks
Ответить

20 октября 2015 в 13:24

Елена Тутуликова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Елена Тутуликова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

 Помогите, пожалуйста, решить систему уравнений.{y + sinx = 5; {4y + 2 sinx = 19
Спасибо!

0
Спасибоthanks
Ответить

23 октября 2015 в 21:25
Ответ для Елена Тутуликова

Елизавета Яременко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 5

(^-^)
Елизавета Яременко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 5


Я думаю{y + sinx  =5; {4y  + 2  sinx =19

0
Спасибоthanks
Ответить

9 июня 2016 в 14:19
Ответ для Елена Тутуликова

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


sinx = 1/2
y = 9/2

0
Спасибоthanks
Ответить


Добавить комментарий