Как составить среднюю арифметическую задачу

Определить среднюю скорость
можно и по-другому – сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью,
затем сложить эти расстояния и результат разделить на время.

На рисунке видно, что первые
три часа скорость автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние,
пройденное за три часа:

66,2 × 3 = 198,6 км.

Аналогично можно определить
расстояние, которое было пройдено со скоростью 
78,4
км/час. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался  2 час.

78,4 × 2 = 156,8 км.

Сложим эти расстояния и результат разделим
на  5.

ЗАДАЧА:

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое – это частное от деления суммы чисел на их количество.

Из данных примеров можно сделать вывод, что для нахождения среднего арифметического, нужно сложить все числа и поделить их сумму на их количество.

Рассмотрим задачи, в которых требуется найти средне арифметическое нескольких чисел, относящихся к одной величине.

Основной аудиторией моего блога являются люди за 50+. То есть люди, которые уже давно закончили школу и университет, но, видимо, не потеряли любовь к точным науками. Давайте проведем маленький Challenge. Сможете ли Вы решить задачу по информатике за 8 класс без использования интернета (гугления, библиотек, готовых решений вроде Excel и других математических пакетов, дающих готовые функции) ?

Только Вы, блокнот, черновик и компилятор для проверки 🙂 Готовы и согласны? Тогда ближе к теме…

Сегодня разберем задачу по информатике для 8 класса, которую задал один из участников беседы сообщества Physics.Math.Code. Человек является школьником, поэтому для многих читателей эта задача может показаться несложной. А многим будет полезно вспомнить основы.

Задача

Составить программу для нахождения среднего арифметического чисел в диапазоне от a до b с помощью цикла for. Массив использовать нельзя.
Значения a и b вводятся вручную перед телом цикла с помощью оператора read.

Проблема учащегося по его же словам:

«Проблема в том, что я не особо понимаю зачем в этой программе нужен цикл, если среднее арифметическое можно найти и без него, написав код в несколько строк.»

Решение:

Заметка 1. Итак, задачу можно решить, как минимум двумя способами. Аналитическое решение представляется возможным, если вспомнить свойства суммы арифметических прогрессий. При нахождении среднего арифметического всех чисел (видимо, речь идет о целых числах, если не задан шаг) в диапазоне от a до b, у нас как раз появится сумма чисел, которые будут отличаться на одно и то же число (на единицу). Именно поэтому мы можем применить общую формулу, даже не смотря на то, что мы заранее не знаем количество этих чисел. Получается, что задачу можно решить не то чтобы без массивов, а даже без цикла. В итоге, аналитическое решение задачи будет выглядеть так:

Заметка 2. Мы уже решили задачу аналитически, теперь нужно решить её численно. Зачем?
1. Для тренировки навыков работы с циклическими конструкциями;
2. Для тренировки компьютерного (дискретного) мышления решения какой-либо задачи;
3. Для тренировки навыков работы с каким-либо языком программирования
Мы имеем отличный пример задачи, который можно решить двумя способами. И если эти способы сходятся, то они доказывают правильность друг друга. Именно поэтому я очень люблю и ценю аналитические решения математических задач. Перебор — это хорошо, но если есть возможность записать одну инструкцию и понизить сложность задачи, то это прекрасная оптимизация. Напишите в комментариях ваше мнение на вопрос: нужно ли оптимизировать программы в 2022 году? Или скоростей работы процессоров уже достаточно для быстрого выполнения любого нашего говнокода? 🙂

В итоге, численное решение задачи будет выглядеть так:

Код решения с помощью цикла ( численное решение ) и с помощью формулы для арифметической прогрессии ( аналитическое решение):

Решения сошлись, а значит всё хорошо. А вот так можно было бы посчитать на калькуляторе тот же пример, который введен в консоль нашей программы:

Понравился разбор задачи ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram

Составитель: 
учитель математики МОУ СОШ №26

г.
Ярославля

Мизулина
Т.Н.

2015-2016

Тема
«Среднее арифметическое»   5-6 класс

Результаты:

1. Оперировать понятием среднее арифметическое
   двух и нескольких чисел.
2. Изображать среднее арифметическое на
   координатной прямой.
3. Решать задачи на нахождение среднего
   арифметического двух и нескольких чисел.
4. Находить сумму чисел по среднему
   арифметическому.
5. Читать и извлекать информацию,
   представленную в таблицах и диаграммах.
6. Решать задачи практической направленности и
   уметь интерпретировать полученный результат.
7. Познакомиться со свойствами среднего
   арифметического.

Подбор задач, соответствующих теме «Среднее арифметическое»

1. В таблице показан расход электроэнергии
   некоторой семьёй в течение года:

Месяц	Я	Ф	М	А	М	И	И	А	С	О	Н	Д
Расход электроэнергии, кВт-ч	85	80	74	61	54	34	32	32	62	78	81	83

Найдите
средний ежемесячный расход
электроэнергии этой семьёй.

Решение:

(85+80+74+61+54+34+32+32+62+78+81+83):12=63

Ответ:
среднемесячный расход электроэнергии составляет 63 КВт-ч.

1. На соревнованиях по фигурному катанию судьи
   поставили спортсмену следующие оценки:

5,2   5,4   5,5  
5,4   5,1    5,4    5,5    5,3.

Для полученного
ряда найдите среднее арифметическое. Что характеризует это показание?

Решение:

Заметим, что сумму
этих чисел можно посчитать следующим способом

(5,1+5,2+5,3+5,4*3+5,5*2):8=5,32

Ответ: 5,32 – это
средний балл за выступление спортсмена.

1. Все числа равны между собой. Чему равно их
   среднее арифметическое?

Решение: 

1)Проверить на
примере двух, нескольких чисел.

2)Доказать
утверждение в общем виде.

Пусть неизвестные
числа будут   х, тогда их сумма запишется как     х*n, где
n-это количество чисел, по определению среднего
арифметического получим   (х *n):n=х

Ответ: среднее
арифметическое совпадает с указанным числом в ряду.

1. Пусть а – некоторое число. Вычислите среднее
   арифметическое набора чисел:

а) х  б) х

5. Придумайте
четыре таких числа, что их среднее арифметическое равно:

а)второму по
величине числу;

б)третьему по величине
числу;

в)Полусумме второго
и третьего по величине этих чисел.

Решение:

а) Учащиеся могут
подобрать данный ряд чисел. Но можно предложить и решение в общем виде,
например: обозначим числа a,b,c,d. По условию (a+b+c+d):4=b, тогда a+b+c+d=4b;   a+c+d=3b,
например пусть a=5, c=7,d=9, тогда b=21:3=7.

Ответ : задача
имеет много решений.

б) Аналогично а)

в) Учащиеся также
могут попробовать подобрать ряд чисел, удовлетворяющих условию, таких вариантов
окажется несколько, поэтому можно рассуждать подобным образом как в 
упражнении    а)  придём к выводу, что b+c=a+d.

6. Придумайте 5
таких чисел, что их среднее арифметическое

а) больше четырёх
из них;

б) меньше четырёх
из них.

Решение:

а) 4*a >

теперь можно
подобрать такие числа, например: 1, 2, 3, 4 и 79 и их среднее арифметическое
17,8;

б) аналогично 4*a
<, например 19,15, 17, 20 и  -1 их
среднее арифметическое  14.

1. Отметьте числа, полученные в предыдущей
   задаче на координатной прямой. Укажите положение их среднего
   арифметического. Какую особенность вы заметили?

Указание:

в  задаче речь идёт
о центре равновесия,  положение  которого соответствует   среднему 
арифметическому  ряда чисел,  а также на координатной прямой видна удалённость
чисел от значения среднего арифметического.

Например: 1, 2, 3,
4, 79 и их среднее арифметическое  17, 8

1. Можете ли вы без вычислений указать среднее
   значение набора чисел. Проверьте свои предположения вычислениями:

а) 13, 14, 15,
16,17;

б)16, 17, 18, 19,
20;

в)21, 22, 23, 24,
25;

г)20, 25, 30, 35,
40;

д)22, 24, 26, 28, 30;

е)102, 104, 106,
108, 110.

Ответ: в каждом
случае среднее арифметическое совпадает с третьим числом из ряда.

9. Отметьте числа и
их среднее арифметическое на  числовой прямой:

а) 1, 2, 3, 4;

б) 2, 3, 4, 5;

в) 10, 11, 12, 13.

Какую
закономерность в поведении среднего значения можно заметить в каждом из
случаев?

Ответ: в каждом
случае среднее арифметическое совпадает с полусуммой двух средних чисел.

1. Вычислите средние арифметические наборов
   чисел:

а)2, 4, 7, 8, 9;

б) 20, 40, 70, 80,
90;

в) 200, 400, 700,
800, 900.

Какую
закономерность можно наблюдать в поведении средних значений?

Ответ: в задаче
используется свойство: среднее арифметическое ряда чисел ахравно произведению числа а на среднее
арифметическое ряда х

1. Вычислите среднее арифметическое наборов
   чисел:

а) 10, 20, 35, 40,
45;

б) 13, 23, 38, 43,
48;

г) 7, 13, 28, 33,
38.

Какую
закономерность можно наблюдать в поведении средних значений?

Ответ:  в задаче
используется свойство: среднее арифметическое ряда чисел а+хравно сумме числа а и среднего
арифметического  ряда х

1. При изучении качества продукции, выпущенной
   цехом, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным
   образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Получили такую
   таблицу:

Число бракованных деталей	0	1	2	3	4
Число ящиков	8	22	13	5	2

Найдите среднее
арифметическое полученного ряда данных. Объясните практический смысл этой
статистической характеристики.

Решение:

(0*8+1*22+2*13+3*5+4*2):50=1,42

Ответ: по 1,42 
бракованной детали было бы в каждом ящике, если бы распределяли детали
равномерно, причём 1,42*50=71 – общее число бракованных деталей во всей партии.

1. В ряду данных, состоящем из 12 чисел,
   наибольшее число увеличили на 6. Изменится ли среднее арифметическое этого
   ряда?

Решение:

Пусть среднее
арифметическое чисел первоначального ряда было х, тогда 12*х – это сумма всех
чисел, получим  (12*х+6):12=х+0,5

Ответ: среднее
арифметическое увеличится на 0,5.

1. В ряду данных, состоящем из 15 чисел,
   наименьшее число уменьшили на 5. Изменится ли среднее арифметическое?

Решение:

(15*х-5):15=х-1/3

Ответ: среднее
арифметическое уменьшится на 1/3.

1. После урока по теме «Статистика» на доске
   осталась таблица:

Число учащихся	4	7
Количество ошибок	5	2	3

и ответ: «Ср. арифм.=10».

а) Заполните пустое
место в таблице

б) Может ли в
ответе для среднего арифметического стоять 15?

Решение:

а)  

арифметически:               
10*10=100

                                            
100-20-14=66

                                             
66:3=22

с помощью уравнения:      
обозначим отсутствующее число  х, тогда                  (4*5+7*2+х*3):10=10

          х=22

б) Если среднее
арифметическое будет 15, то

(4*5+7*2+х*3):10=15                     
или           (15*10-20-14):3= 38 

х= 38 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: А)
пропущенное число 22,

             Б) не
может.

1. Проведя учёт бракованных деталей в
   контрольной партии ящиков, составили таблицу, в которой два числа
   оказались стёртыми:

Число бракованных деталей	Число ящиков
0	12
1	28
2	–
3	–
4	7
5	2

Восстановите их, зная, что ящиков с двумя
бракованными деталями оказалось вдвое больше, чем ящиков с тремя бракованными
деталями, а в среднем в каждом ящике было по 1, 85 бракованных деталей.

Решение:

Пусть ящиков с тремя бракованными деталями
было х, тогда по условию задачи получим    (0*12+1*28+2*2х+3*х+4*7+5*2):(3х+49)=1,85

                          
х=17.

 2*17=34

Ответ: 34 и 17.

1. У группы из 20 учащихся спросили, сколько
   примерно часов в день они тратят на приготовление домашних заданий. Ответы
   представлены на диаграмме, изображённой на рисунке. Сколько времени в день
   в среднем тратит ученик из этой группы на приготовление домашних заданий?

 

Ответ: 2,4

1. Предприниматель Семён открыл мужскую
   парикмахерскую «Куафер Симон». Семён предлагает следующий прейскурант цен:

А – « Под
нуль»      40 р.

Б –
«Полубокс          50 р.

В –
Канадка              60 р.

Г – «Звезда
рока»     180 р.

Д – « Мамин сын» 
400р.

Будучи человеком
рачительным, Семён ведёт строгий учёт дохода, для чего он завёл специальную
книжку. Вот записи по месяцам за первые полгода:

Месяц	Количество стрижек
А	Б	В	Г	Д
1	30	50	55	25	5
2	45	45	43	20	6
3	42	52	58	28	12
4	32	68	45	17	1
5	28	39	70	34	4
6	49	62	68	30	7

1)     
Каково среднее количество стрижек в рабочий день?
(В месяце 20 рабочих дней).

2)     
Какой  средний доход от одной стрижки?

3)     
Чему равен среднемесячный доход Семёна?

4)     
Каков чистый среднемесячный заработок Семёна, если
он платит налог в размере 13% от дохода и ежемесячную арендную плату 2000
рублей в месяц?

Решение:

1)     
(165+159+192+163+175+216):120 8,9

2)     
(226*40+316*50+339*60+154*180+35*400):107081,2

3)     
(226*40+316*50+339*60+154*180+35*400): 614483,33

4)     
(86900 – ((226*40+316*50+339*60+154*180+35*400)*
0,13+6*2000)) :6= 10600,5

Ответ:
1) 8,9;

           
2) 81,2 руб.;

           
3) 14483,33 руб.;

           
4) 10600,5 руб.

План урока:

Понятие среднего арифметического

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Интересные факты

Понятие среднего арифметического

К сестрам Марине, Наталье, Елене в гости приехала бабушка. Она привезла своим внучкам гостинцы: восемнадцать конфет, шесть шоколадок, шесть киндер-сюрпризов. Сказала угощение разделить поровну. Определите, сколько сладостей достанется каждой девочке?

Ответ на вопрос, можно получить двумя способами. Рассмотрим их.

1 

Чтобы выяснить, сколько сладостей достанется одной девочке, нужно каждый вид угощения разделить поровну – на 3.

Разделим конфеты между детьми:

18 : 3 = 6.

Теперь известно, что каждому ребенку досталось 6 конфет.

Разделим шоколадки:

6 :3 = 2.

Каждой внучке досталось две шоколадки.

Разделим шоколадные яйца:

6 : 3 = 2.

Выяснили, бабушка привезла по два киндер-сюрприза.

Стало известно, сколько гостинцев получил один ребенок. Теперь, вычислим, сколько сладостей досталось каждой девочке. Сложим количество конфет(6), шоколадок(2), киндер-сюрпризов(2), имеющихся у одной девочки:

6+2+2=10.

Получается, бабушка привезла по 10 сладостей.

Запишем решение задачи.

Как видите, способ, довольно простой, ноимеет длинную запись, занимает много времени. Рассмотрим второй способ решения задач такого вида.

2

Известно, сколько гостинцев привезла бабушка: конфет–восемнадцать, шоколадок – шесть, киндер-сюрпризов – шесть.  Чтобы узнать количество гостинцев, доставшееся каждой сестре, сложим гостинцы и разделим поровну. То есть, суммируем привезенные подарки, делим на 3. Такой способ решения, имеет название в математике – «Нахождение среднего арифметического». Сформулируем, определение, среднего арифметического:

Среднее арифметическое нескольких чисел – результат деления суммы этих чисел на их количество

Используя, рассмотренное определение, найдем общее количество угощения, для этого сложим количество сладостей каждого вида конфеты + шоколадки + киндеры:

18+6+6=30.

Получается, что всего было 30 угощений. Теперь, эту сумму(30) делим на количество слагаемых(3), использованных в сумме:

30 : 3 =10.

Каждой внучке досталось по 10 сладостей.

Запишем решение этой задачи с использованием второго способа.

Как видите, второй способ, более краткий и удобный. Главное – запомнить изученное определение. Ведь, решение задач такого вида часто встречается на протяжении всего учебного процесса!

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Рассмотрим следующую задачу.

Два брата-садовода продавали собранные фрукты. Первый брат продал яблок на 25000 рублей, а второй брат продал груш на сумму 15000 рублей. Все заработанные деньги братья разделили поровну. Сколько денег заработал каждый садовод?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо использовать изученное правило.

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно сумму этих чисел разделить на их количество. Для этого:
1. Определяем количество слагаемых;
2. Находим сумму всех слагаемых;
3. Делим полученную сумму на количество слагаемых

В начале давайте определим количество слагаемых. Так как фрукты продавали два садовода, то и делить выручку будем между ними. То есть количество слагаемых в сумме – два.

Теперь можем найти общую сумму, заработанную братьями. Для этого, складываем выручку первого и второго брата:

25000+15000=40000

Всего они заработали 40000 рублей.

Зная, что общая сумма равна 40000 рублей, мы можем найти сумму заработка каждого садовода. Для этого полученную сумму (40000) делим на количество слагаемых (2):

40000 : 2 = 20000.

Получается, заработок садовода составил 20000 рублей.

В ходе решения данной задачи мы составили алгоритм нахождения среднего арифметического.

Запомни!

Алгоритм вычисления среднего арифметического:
1. Находим слагаемые и считаем их количество;
2. Суммируем все слагаемые;
3. Полученную сумму делим на количество слагаемых

Держи табличку всегда под рукой, тогда сможешь найти среднее арифметическое любых чисел!

Выполним задание.

Найди среднее арифметическое чисел 10,20,30,40.

Чтобы выполнить необходимые вычисления, вспоминаем,

среднее арифметическое – частное суммы всех слагаемых и их количества

Мы уже знаем, что для вычисления заданий, такого вида, существует специальный алгоритм. Используя данный алгоритм,выполним все необходимые действия.

Следуя  определенному алгоритму, мы без труда выполнили задание.

Запомни формулу среднего арифметического!

В заключение нашего урока рассмотрим еще одну задачу.

Исходя из условия, в этой задаче нужно найти среднее количество учеников в одном классе. Чтобы ответить на главный вопрос, необходимо воспользоваться алгоритмом вычисления среднего арифметического.

Значит, если бы во всех пятых классах школы, училось равное количество учеников, в каждом классе было по 25 детей.

Запишем решение.

Сегодня вы узнали, как найти среднее арифметическое число. Внимательно рассмотрите урок, и запомните основные определения и алгоритмы! Тогда, любая контрольная будет по плечу!

Интересные факты

1. По статистике, дети улыбаются 400 раз в день, а взрослые всего 17. Улыбайтесь чаще!

1. В России продолжительность жизни мужчин составляет 70 лет, женщин – 78 лет!

1. Ежедневно в Росси рождается 5000 детей.

1. Ученые подсчитали, за всю жизнь, человек тратит 5 лет на процесс приема пищи,

1. Ученые подсчитали,  за 70 лет, человек поглощает более 50000 килограммов пищи, в том числе около 200-300 килограммов поваренной соли. Так же, каждый человек, достигший 70 летнего возраста,  выпил за всю жизнь 50000 литров воды, что больше в 1400 раз массы  человеческого тела.

1. Одной хорошей шариковой ручкой можно написать 50000 слов.

Когда трескается стекло, трещина распространяется со скоростью 5000 км/ч.