Как составить старинную задачу

Исследовательская
работа по теме

«Методы
решения старинных математических задач»

Выполнил: Токарь Валерий Владимирович 6 «В» класс

Руководитель:  Казьменко Елена Александровна

Воронеж

2017

Оглавление

Введение ………………………………………………………………3

Теоретическая часть…………………………………………………3

1.Старинные задачи разных народов и
стран…………………….3

2.Способы 
и методы решения старинных задач…………………9

2.1   Метод 
полного перебора и вариантов……………………………..9

2.2
 Метод ложного положения………………………………………..11

2.3  Наглядно-геометрический способ………………………………….13  2.4  Метод предположения……………………………………………..15

2.5  
Алгебраический метод……………………………………………..16

Практическая часть…………………………………………….…19

Выводы………………………………………………………………35

Заключение…………………………………………………………36

Список литературы………………………………………………..37

Введение

         Увлечение
математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся
задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии
математического кружка, и в журнале или книжке. А меня очень заинтересовали
старинные задачи, с которыми мы столкнулись на уроке математики. И я решил
узнать о них больше. Старинные задачи пришли к нам из глубины веков, от наших
предков. Разные народы нашей планеты придумывали их, оттачивали условия и
логику заданий. Они неизбежно остроумны и занимательны, в них собраны
замечательные находки многих поколений.

         Старинные
задачи позволяют не только развить смекалку и сообразительность, но и
почувствовать прикосновение других эпох, порадоваться пришедшему решению.  Конечно,
задач и головоломок за века было придумано неисчислимое множество, и я
специально отобрал лучшие из них.

         Еще в
древние века математика занимала основное место в умах ученых и благодаря
сохранившимся рукописям у нас есть возможность проследить за развитием
математической мысли и возможность прорешать старинные задачи и сравнить их
решение с современным решением.

Цель исследования: рассмотрение
различных способов решения старинных задач.

Задачи исследования:

• Изучить  старинные задачи различных народов

·        
исследовать методы решения старинных задач
и сделать их классификацию

·        
составить сборник старинных математических
задач

Теоретическая
часть

1.Старинные
задачи разных народов и стран

Древний Египет

Самый
большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст –
это так называемый папирус XVIII-XVII вв. до н. э. Ахмеса. 

Около
пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был признан богом мудрости великий
врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик
Имхотеп.

Задачи из папируса
Ахмеса

• У семи лиц по
  семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по
  семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семи мер ячменя. Как
  велики числа этого ряда и их сумма?
• Раздели 10
  мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого
  человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры. 
• Найти
  приближенное значение для числа ,приняв площадь круга равной площади
  квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

Вавилон.

В
Древнем Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские
памятники в виде глиняных плиток с клинописными надписями хранятся в различных
музеях мира.

Вавилоняне
были основоположниками астрономии, создали шестидесятиричную систему счисления,
решали уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третей степени при
помощи специальных таблиц

 Задачи
Древнего Вавилона

Задача
на глиняной табличке(ок. 1950 до н. э.)

• Площадь А,
  состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона
  одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого
  квадрата. Каковы стороны квадратов?
• Задача о
  вычислении числа П

За
длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность
правильного шестиугольника. Найти приближение для П, которым пользовались
вавилоняне.

Древняя
Греция.   

Если
от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и
таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, ,основанная на строгих
доказательствах Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI-V вв. до
н. э.

Задача “Суд
Париса” 

Богини
Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них
прекраснее, высказав следующие утверждения:

АФРОДИТА.
Я самая прекрасная.

АФИНА.
Афродита не самая прекрасная 

ГЕРА.
Я самая прекрасная.

АФРОДИТА.
Гера не самая прекрасная

АФИНА.
Я самая прекрасная.

Все
утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных
богинь ложны. Кто прекраснее из богинь?

 Задача
Евклида  

Мул
и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.

Жалобно
охал осел, непосильною ношей придавлен.

Это
подметивший мул обратился к попутчику с речью:

“
Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, как будто девчонка?

Нес
бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,

Если
ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись”.

Сколько
нес каждый из них, огеометр, поведай нам это.

Китай.

Возникновение
китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II тыс. до н.
э.

Среди
важнейших достижений китайской математики отметим: правило двух ложных
положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения
систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и
извлечение корней любой степени.

Задачи древнего
Китая

Задача
Ло-шу

• Заполнить
  натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы
  суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и
  тому же числу 15.

Задача
Сунь-цзы (III-IV вв.)

• Имеются вещи,
  число их не известно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать
  их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2.
  Спрашивается, сколько вещей.

Индия. 

Творчество
индийских математиков оказало огромное влияние на развитие арифметики
(индийская десятичная позиционная нумерация), алгебры (метод рассеивания для
неопределенных уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными) и
тригонометрии (бесконечные ряды для синуса, косинуса и арктангенса).

Задачи Древней Индии

Задача-легенда

• Изобретатель шахмат, которому было
  предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на
  первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью –
  4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?

  Задача
Магавиры

• Найти число павлинов в стае, 1/16
  которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат 1/9
  остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.

Страны Ислама

Крупнейшие
ученые средневековья – ал-Хорезми, Авиценна, ал-Бируни, Омар Хайям, ал-Каши
писали свои сочинения на арабском языке. Употребляемые нами термины “арабские
цифры”, “корень”, “алгебра”, “алгоритм”, “синус” сформировались под влиянием
науки стран Ислама.

Задачи стран
Ислама

Задача
из сказки “1001ночь”

• Стая голубей
  подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая
  расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях говорят расположившимся
  внизу: “Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше,
  чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас стало бы
  поровну”. Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Задачи стран
Ислама

Задача
Ал-Каши (XV в.)

• Плата
  работнику за месяц, то есть за тридцать дней, – десять динаров и платье.
  Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?

Задача
Ибн Сины (Авиценны, X-XI вв.)

• Если число,
  будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа,
  деленный на 9, дает в остатке 1. Какое это число?

Страны
Европы.

В
середине I тыс. в Европе центрами просвещения сначала были монастыри, а позднее
университеты. Развитие торговли, мореплавания, ремесел повысило роль
математики. В XVII в.была создана аналитическая геометрия. В XVIII столетии
появилось дифференциальное и интегральное исчисление. Научная деятельность крупнейших
математиков сосредоточилась в прославленных академиях в Париже, Петербурге и
Берлине.

Задачи народов Европы.

Задача
Леонарда Пизанского

• 30 птиц стоят
  30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби – по две и пара воробьев –
  по монете; спрашивается, сколько птиц каждого вида.

Французская
задача 17 век.

• Трое имеют по
  некоторой сумме каждый. Первый дает из своих денег двум другим столько,
  сколько есть у каждого. После него второй дает двум другим, столько,
  сколько каждый из них имеет. Наконец, и третий дает двум другим столько,
  сколько есть у каждого. После этого, у всех троих оказывается по 8 экю.
  Спрашивается, сколько денег было у каждого. 

Россия. 

Первые
сведения о развитие математики на Руси относится к IX – XII вв. (древнерусская
нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). Рассвет математики и
механики в России связано с основанием Петербургской академии наук (XVIII в.) и
с именами великих ученых: М. В. Ломоносова, Леонарда Эйлера, П. Л. Чебышева, Н.
И. Лобачевского, С. В. Ковалевской и др.

Старинная русская
задача

Шли
7 старцев

У
каждого старца по 7 костылей

На каждом костыле
по 7 сучков

На каждом сучке по
7 кошелей

На каждом кошеле
по 7 пирогов

В каждом пироге по
7 воробьев.   Сколько всего?

2.Способы  и методы решения
старинных задач

Рассмотрев
старинные задачи, я  выяснил, что способы их решения можно разбить на 5 групп.

2.1   Метод  полного
перебора и вариантов.

Под 
методом  перебора  в  математике  понимают 
осуществление  последовательного  или  случайного 
анализа  всех  или  некоторых  специально 
выбранных  случаев,  которые  могут  встретиться 
в  ситуации,  заданной  формулировкой  задач. 
Для  классификации  задач  метода  перебора 
выделим  сначала  две  большие  группы:  задачи, 
решаемые  методом  полного  перебора;  задачи, 
в  ходе  решения  которых  возможно  ограничить 
полный  перебор.

При 
решении  первой  группы  задач  возникает 
проблема  правильной  организации  полного  перебора. 
Необходимо  рассмотреть  все  возможные  случаи, 
встречающиеся  при  решении  задачи,  избегая 
повторов  и  пропусков.  Задачи  первой  группы 
делятся  на  серии  в  зависимости  от 
системы  организации  полного  перебора,  к  ним 
относят:  правило  крайнего;  полный  перебор  с 
возвратом;  графическое  представление  полного 
перебора;  полный  перебор  «от  конца  к 
началу».

Правило 
крайнего 
—  такая  организация  полного  перебора,  когда 
при  рассмотрении  всех  возможных  случаев 
берется  самый  «крайний  случай»  —  «крайним» 
элементом  может  быть  самый  меньший  или 
самый  больший. 

Полный 
перебор  с  возвратом  —  применяется  в  том  случае, 
когда  изменяются  две  переменные  или  более. 
Полный  перебор  осуществляется  для  определения 
всех  возможных  значений,  как  первой 
переменной,  так  и  других.  Тогда,  дав 
первой  переменной  крайнее  значение,  надо 
перебрать  все  значения  второй  переменной 
(используя  правило  «крайнего»),  затем 
возвратиться  к  первой  переменной  и,  дав 
ей  следующее  значение,  опять  перебрать  все 
значения  второй  переменной  и  т.  д., 
пока  не  будет  осуществлен  полный  перебор. 
Этот  способ  и  называется  перебором  «с 
возвратом».  Аналогично  для  трех  и  более 
переменных.

Графическое 
представление  полного  перебора  —  дает  наглядную 
иллюстрацию  полного  перебора  и  в  ряде 
случаев  значительно  упрощает  решение.  Для 
решения  задач  применяется  упрощенный  метод 
графов.  Элементы  задачи  являются  вершинами  графа, 
линии  их  соединяющие  —ребрами  графа.

Полный 
перебор  «от  конца  к  началу»  —  рассмотрим  на 
примере  задач  на  переливание.  К  задачам 
на  переливание  относятся  задачи,  в  которых 
надо  получить  определенное  количество  жидкости 
ограниченными  средствами,  иногда  за  ограниченное 
число  переливаний.  (Одну  из  задач  на 
переливание  связывают  с  именем  французского 
математика,  механика  и  физика  Симеона  Дени 
Пуассона  1781—1840,  который  говорил,  что 
задача  про  два  сосуда  определила  его 
судьбу  —  он  решил,  что  станет  математиком). 
Такие  задачи  можно  решать  полным  перебором 
вариантов.  Но  поскольку  в  них  заданы 
начальная  и  конечная  ситуация,  то  полный 
перебор  рациональнее  вести  «от  конца  к 
началу»,  в  этом  случае  возникает  меньше 
вариантов,  и  перебор  становится  более 
целенаправленным. 

Задачи 
второй  группы,  в  ходе  решения  которых 
можно  ограничить  полный  перебор,  делятся  на 
серии  в  зависимости  от  организации 
сокращения  полного  перебора.  Задачи  второй 
группы  делятся  на  серии:  выделение  области 
поиска  решения;  «отсечение»  —  сокращение 
перебора,  исходя  из  соображений  симметрии.

Выделение 
области  поиска  решения  —  применяется  в  тех 
случаях,  когда  рассмотрение  всех  возможных 
решений  задачи  имеет  такое  число  шагов, 
что  рассмотреть  их  все  очень  трудоемкая 
работа.  В  таких  случаях  приходится 
ограничивать  область  поиска,  иногда  в  результате 
теряются  некоторые  ответы.  В  предлагаемых 
задачах,  прежде  чем  применять  метод  полного 
перебора,  надо  определить  область,  в 
которой  вероятнее  всего  находится  решение  задачи.

«Отсечение»  —  сократить 
перебор  можно,  отбросив  варианты,  которые 
заведомо  не  дадут  желаемого  результата. 
Прежде  чем  начать  перебор,  надо  рассмотреть 
все  видимые  с  самого  начала  случаи, 
которые  не  приводят  к  решению  задачи, 
а  затем  не  включать  их  в  перебор.

Задача
1. 
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23,
24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Задача
2. 
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите
возможные варианты распределения призовых мест.

Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.

Задача
3. 
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа,
Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Ответ: 
1) Таня – Петя, 2) Таня – Коля, 3) Таня – Витя, 4) Таня – Олег, 5) Оля – Петя,
6) Оля – Коля, 7) Оля – Витя, 8) Оля – Олег, 9) Наташа – Петя, 10) Наташа –
Коля, 11) Наташа – Витя, 12) Наташа – Олег, 13) Света – Петя, 14) Света – Коля,
15) Света – Витя, 16) Света – Олег.

2.2
 Метод ложного положения

Правила ложных положений — regulaefalsi или falsorum, также numeratiodivinationisзап.-европ.
арифметических учебников как средневековых, так и нового времени почти до
исхода XVIII в. Первоначально представляли два вида методов (ныне совсем
оставленных) решения линейных уравнений. Простейший из этих методов П. одного ложного положения (ishtakarman индусских математических
сочинений, в Зап. Европе — régulafalsisimplicispositionis) состоял в замене
неизвестного произвольно взятым числом и в следующем за тем определении
истинной величины неизвестного на основании пропорциональности, существующей
между ним, его произвольным значением и соответствующими результатами
указываемых условиями задачи вычислений. Примером может служить следующая
задача, заимствованная из «LiberAbaci» Леонарда Пизанского. Определить высоту
дерева, часть которого, сидящая под землей и равная 21 пяди, составляет треть и
четверть его высоты. Если принять за искомую высоту число 12, как делящееся на 3 и на 4, то для подземной части дерева
получится число 7, приводящее, очевидно, к пропорции 7:21 = 12:x, в
которой х есть равное 36 истинное значение
неизвестного. Употребление этого метода встречается уже в Папирусе Ринда (см.
задачу № 40 по изд. Эйзенлора). П.
двух ложных положений изобретено
индусами, от которых перешло к арабам, доставившим ему очень широкое
распространение как в собственной математической литературе, под именем «метода
чашек весов», так и через ее посредство в литературе Европы. Теоретически это
П. может быть выведено следующим образом.

 В
решаемое уравнение ax + b = 0 подставляются последовательно
вместо х произвольные числа (ложные положения) z₁ и z₂ обращающие первую часть уравнения
соответственно в числа φ ₁ и φ ₂,
назыв. обыкновенно ошибками
уравнений. Вычитание
полученных тождеств

az₁ + b = φ ₁ и az₂ + b = φ ₂ из первоначального
уравнения дает уравнения

а (х
— z ₁) = — φ ₁ и а (x — z₂) = — φ ₂, откуда

a = φ ₁/(z₁ — x) или (x — z₁₎/(x — z₂) = G₁/ φ ₁,

т. е. ошибки
подстановок х — z ₁ и х
— z ₂ пропорциональны ошибкам уравнений.
Определение х из последнего уравнения
и дает формулу, представляющую П. двух ложных положений:

x = (z₂ φ ₁ — x₁ φ ₂)/(φ ₁ — φ ₂).

Из западноевропейских арифметических учебников П. ложных
положений перешло в русские арифметические рукописи XVII в., в «Арифметику»
Магницкого и в учебники XVIII и даже начала XIX ст. Подобно арабам, русские
ввели в свое употребление только П. двух положений, о могуществе и значении
которого имели самое высокое мнение, как это можно видеть, напр., из следующего
определения, данного в одной из рукописей XVII в. (рук. 682 из собрания В. М.
Ундольского в Румянцевском музее): «статияцыфирнаяболшая, еже именуется
вымышленная, или затейчивая, или збойливая, высокого и остропамятного
разума.ее-же нецыиискуснии проводницы фалшивою строкою нарекоша, еже есть
збойливою, еже ни малым погрешиша». Выведенная выше формула, выражающая правило
двух ложных положений, излагается в наших арифметических рукописях XVII в.
более древней редакции в следующем виде: «Сия статья фальшивая или збойливая;
буди ти ведомо, как ею считати во всяких статиях и переводах, что ти приведется
считати. И ты возьми число велико или мало и считай, и, как сочтешь, приложи к
тому перечню, который ищешь. И будет ти число боле того перечня стало во счете,
и ты намети сице +; и чем боле того перечня стало, то у креста постави. А будет
ти мене, и ты намети сице ; и чем мене, то утое черты постави. Да опять емли другое
число и считай такоже, да прикладывай к тому перечню, который ищешь. И будет ти
боле или мене, и ты теми же знамены знаменуй. Да и постави счет на крест.
Первое число постави, чем искал, вверху по левую руку креста; а что у него
осталось боле или мене, то против того же числа постави по правую руку, а меж ими
постави знамя; только боле, и ты постави +; а буде мене, и ты постави . Да другое число такожепостави внизу противо тех же чисел,
чем искал; и что осталось боле или мене тако-ж знамя меж имипостави. Да считай
на крест верхний с нижними; и буде оба боле или мене, исчетши большое число, да
меньшее число из большего числа выни, да то на дел и стави. А деловуютако-ж:
остатки из остатков выни, и что сяостанет тем большой перечень и дели; и что ти
из делу выдет, то и правда. А буде не одинаки остатки: один боле, а другой
мене, и ты не вычитай, только складывай вместо; большие перечни и деловые також
дели». Между многочисленными задачами, решенными в рукописях XVII в. по П. двух
ложных положений, кроме большинства, занимающегося уравнениями 1-ой степени с
одним неизвестным, встрчаются также и посвященные уравнениям 1-ой степени с
двумя, тремя и четырьмя неизвестными. В западно-европейской математической
литературе П. двух ложных положений, начиная с XVI ст., очень нередко
прилагалось разными математиками к решению уравнений 2-й, 3-й, 4-й и высших
степеней.

Задача 1.

 Приложим этот приём к задаче Чехова. Предположим, что
чёрного сукна было 70 аршин. Тогда синего сукна было 68 аршин. Всё чёрное сукно
стоило 210 руб., а всё синее – 340 руб.

Всё сукно, выходит, стоило 550 руб. Наше предположение
неверно, так как стоимость всего сукна у нас оказалась на 10 руб. больше
действительной. Это произошло потому, что чёрного сукна на самом деле больше,
чем 70 аршин. Заметим, что увеличение количества чёрного сукна на 1 аршин при
одновременном уменьшении количества синего сукна на 1 аршин вызывает уменьшение
общей стоимости сукна на 2 руб. Следовательно, для того, чтобы уменьшить
стоимость сукна на 10 руб., надо количество чёрного сукна увеличить на5 аршин.
Выходит, что чёрного сукна было 75 аршин, а синего 63 аршина.

Обращаем внимание на то, что предположение, которое
было сделано, произвольно. Можно было с таким же успехом предположить, что
синего сукна было 60 аршин, 80 аршин, вовсе не было и т. д. Только ошибка
всякий раз была бы другая, и для её исправления потребовалась бы другая
поправка.

Задача 2.

Во дворе гуляли поросята и куры. У всех 40 животных
100 ног.Сколько было поросят и кур? Решим задачу с помощью правила ложного
положения. Предположим, что поросят было 15.

1) 40 – 15 = 25 (жив.) – кур

2) 4 × 15 = 60 (н) у поросят

3) 2 × 25 = 50 (н) у кур

4) 60 + 50 = 110 (н) всего по предположению

5) 110 – 100 = 10 (н) «лишних»

6) 4 – 2 = 2 (н) больше у поросёнка

7) 10 : 2 = 5 (жив.) больше поросят

8) 15 – 5 = 10 (жив.) поросят

9) 40 – 10 = 30 (жив.) кур

Ответ: 10 поросят, 30 кур.

2.3  Наглядно-геометрический способ

         Геометрический способ решения текстовых
задач заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их
элементов в процессе решения задачи. Этот способ делает решение текстовой
задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. Для
составления математических моделей задач геометрическим способом чаще всего
применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади.

Задача
1.

На одно платье и три сарафана пошло 9м ткани, а на три таких же платья и пять сарафанов – 19м ткани. Сколько ткани требуется на одно платье и на один сарафан?

Решение.

Во-первых,
составим геометрическую модель этой задачи. Изобразим одно платье синим
отрезком одной длины, а три сарафана – тремя синими отрезками другой длины. Все
четыре отрезка будут моделировать количество ткани, использованное для пошива
платья и трёх сарафанов, то есть 9м. Ниже смоделируем соответствующими
отрезками условие задачи, что на три таких же платья и пять сарафанов потратили
19м ткани, значит, начертим три синих и пять красных соответствующих отрезка. Так
как во втором условии задачи платьев в три раза больше, чем в первом условии,
то в третьей строке начертим три фигуры первой строки, получим три синих и
девять красных отрезков общей условной длиной 27м. Получили,
что длина третьей фигуры отличается от длины второй фигуры на 4 равных синих
отрезка, а длина их соответствует 27 – 19метрам, то есть 8-ми метрам. Итак,
получили, что на 4 сарафана потрачено 8 м ткани, значит, на один сарафан – 2м.
Найти длину ткани, потраченной на платье, позволит первая фигура. Очевидно, что
длина синего отрезка соответствует 9 – 3 умноженное на 2м, то есть 3м ткани.
Таким образом, мы ответили на главные вопросы задачи: 3м ткани требуется на
одно платье и 2м на один сарафан.

Рассмотрим
другую задачу на применение геометрического метода с использованием
свойств  площади прямоугольника.

Задача
2.

Токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в срок. Однако он делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей должен был изготовить токарь?

 Решение.

Так
как в этой задаче общий объём изготовленных деталей зависит от
производительности и времени работы токаря, то наиболее удобной моделью этой
задачи будет прямоугольник. Одна из его сторон будет характеризовать
производительность, а другая – время работы. Так как объём выполненной работы
равен произведению скорости выполнения работы на время, а площадь
прямоугольника равна произведению её сторон, то общее количество сделанных
деталей будет отражать площадь смоделирован-ного прямоугольника. По условию задачи
токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в
срок, значит, изобразим прямоугольник длиной 24условных единицы и шириной t
единиц, где t – характеризует время, необходимое для выполнения задания в срок.
Однако по условию задачи токарь делал в день на 15 деталей больше и уже за 6
дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Значит, смоделируем новый
прямоугольник длиной большей на 15 условных единиц  и шириной 
меньшей на 6 условных единиц и  наложим для сравнения его на первоначальный
прямоугольник. Таким образом, плановое выполнение деталей соответствует сумме
площадей двух прямоугольников S1 + S2, а фактическое выполнение больше плана на
21 деталь, то есть S1 + S2 + 21. Из чертежа несложно определить, что S2 =
24умноженное на 6, то есть S2 = 144(деталям). Значит, площадь красного
прямоугольника будет выражена 15умноженное на t – 6 с одной стороны, и 144 + 21
с другой стороны. Решая несложное уравнение 15t – 90 = 165, получаем, что t =
17. Таким образом, по плану токарь должен был затратить 17 дней. Следовательно,
по плану токарь должен изготовить 17 умноженное на 24 деталей, то есть 408
деталей.

     Мы
рассмотрели геометрический способ. Этот способ полезен тем, что он позволяет
избежать громоздких вычислений. Для успешного применения этого способа важно
научиться видеть фигуры, позволяющие увязать известные и неизвестные величины
из условия задачи.

2.4
  Метод предположения

Задача 1.

В комнате стоят табуретки и стулья. У каждой табуретки
3 ноги, у каждого стула 4 ноги. Когда на всех табуретках и стульях сидят люди,
в комнате всего 39 ног. Сколько стульев и табуреток в комнате?

Способ  «Метод предположения».

Если бы в комнате стояли одни табуретки, то всего в
комнате было бы не 39 «ног», как в условии, а не более 35. Почему? Потому что
когда на табуретке сидит человек, то у каждой табуретки – 5 «ног», и количество
«ног» кратно пяти, то есть если в комнате стоят 7 табуреток, то «ног» на 4
меньше, чем требуется по условию задачи. В этом случае недостаток «ног» можно
компенсировать, если заменить 4 табуретки на 4 стула.

Ответ: 3 табуретки и 4
стула.

Задача 2.

За неделю каждый мальчик съел по 21 конфете, а каждая
девочка – по 15 конфет. Сколько было мальчиков и девочек, если всего они съели
174 конфеты?

Способ  «Метод предположения на равных».

Предположим, что количество мальчиков и девочек
равное, то есть               1 мальчик и 1 девочка за неделю съели 36 конфет.
Если 174 конфеты разделить на 36, получится 4 человека и 30 конфет останется. А
30 конфет – это съеденные конфеты 2 девочками. Получается, что 174 конфеты
съели                 4 мальчика и 6 девочек.

Комментарий: этот способ либо «не работает», а если «работает»,
то есть опасность найти не все решения. Необходимо пользоваться перебором
вариантов.

2.5   Алгебраический метод

Раздел 
объединяет  задачи,  которые  сводятся  к 
решению  уравнений.  Десятичная 
запись  натурального  числа.  Как  известно, 
десятичной  записью  натурального  числа  называется 
его  представление  в  виде  суммы,  разложенной 
по  степеням  числа  10:  х  =  а_п10ⁿ 
+  а_п-1  10^n-1  + 
…  +  а₁10  +  а_о,  где  а_п  #  0.  В 
основе  решений,  найденных  с  помощью  десятичной 
записи,  лежит  идея  алгебраизации;  часто 
представление  числа  в  виде  разложения  по 
степеням  числа  10  позволяет  свести  задачу 
к  решению  алгебраического  уравнения  (иногда 
неопределенного  уравнения).  Имеется  ряд  задач, 
при  решении  которых  применяются  другие 
приемы.  На  основе  алгебраизации  записи 
числа  решается  достаточно  широкий  класс 
задач:  числовые  ребусы,  задачи  на 
доказательство,  задачи  на  отгадывание  чисел. 
При  составлении  задач  на  отгадывание  чисел 
выбирается  такая  последовательность  операций,  что 
в  результате  получается  или  само  число, 
или  задуманное  число  можно  получить,  проделав 
простые  операции. 

Уравнения 
в  целых  числах.  Задачи,  предлагаемые  в  этой 
серии,  сводятся  к  решению  в  натуральных 
числах  уравнения  с  двумя  неизвестными.  В 
самом  простом  случае  уравнения  решаются 
перебором  всех  возможных  вариантов.  Организовать 
перебор  удобнее  всего,  используя  правило 
«крайнего».  Но  решение  в  целых  числах 
алгебраических  уравнений  с  целыми  коэффициентами 
с  двумя  неизвестными  —  достаточно  трудная 
задача.  Сократить  перебор  в  предлагаемых  задачах 
можно  двумя  способами:  выяснить  ограничения, 
которые  накладываются  на  неизвестные  и 
перебрать  предполагаемые  значения  того 
неизвестного,  где  «претендентов»  меньше; 
сократить  перебор  можно,  используя  одно  из 
основных  свойств  делимости  целых  чисел: 
если  каждое  из  целых  чисел  а₁,  а₂,  …  ,  а_п-1, 
а_п  делится  на  b,  то  при  любых  целых  с₁,  с₂,  …  ,  с_п  число  (с₁а₁  +  с₂а₂ 
+  …  +  с_па_п) 
делится  на  b.  По 
отношению  к  целочисленному  решению  уравнения  xa  +  yb  =  c, 
свойство  можно  применить  следующим  образом: 
число  yb  должно 
делиться  на  НОД  (xa,  c) 
или  число  xa 
должно  делиться  на  НОД  (yb,  c).

Деление 
с  остатком. 
Разделить  число  а  на 
число  b  (b  >  0)  с  остатком 
—  значит  представить  число  а  в  виде  а  =  bq  +  r,  0  <  r  <  b. 
Число  q  при 
этом  называется  неполным  частным,  а  число  r  –  остатком  от  деления 
на  b.  В 
основе  решения  серии  задач  лежит 
представление  числа  в  виде  a  =  bq  +  r.  В 
дальнейшем  решение  задания  может  быть 
сведено  к  решению  уравнения,  системы 
уравнений.  Иногда  такая  запись  нужна  для 
того,  чтобы  «увидеть»,  что  произойдет  с 
числом,  если  отбросить  остаток.

Признаки  делимости.  Ученикам  5—6 
классов  знакомы  признаки  делимости  на  2, 
3,  5,  9,  10.  При  решении  задач 
полезно  их  вывести,  а  кроме  того, 
доказать  признак  делимости  на  4,  11  и 
на  составные  числа.  Рассмотреть  и  другие 
признаки  делимости,  признак  делимости  на  7, 
13  и другие.
         Задача 1.

При
продаже товара за 299 р., выручено 15% прибыли. Чему равна стоимость товара без
прибыли?

Решение.
Пусть товар стоит х р., тогда 15% прибыли составляет
(15/100)x p. Зная, что товар продан за 299 р., составим уравнение
x + (15/100)x = 299;  115х = 29900;  х = 260.

Ответ: товар без прибыли стоит 260 р.

При
решении задач, содержащих не меньше двух соотношений между данными числами и
искомыми, как мы видели, любое из соотношений можно положить в основу для
составления уравнения. Все оставшиеся соотношения должны быть использованы для
выражения через х и через данные числа всех остальных неизвестных.
Произвольность выбора основного соотношения дает возможность составлять одно
уравнение с одним неизвестным по тексту задачи несколькими отличными друг от
друга способами.

Если
задача содержит больше двух соотношений, то за основу для составления уравнения
удобно принять соотношение, связывающее все ее искомые величины, если в задаче
такое соотношение дано.

Задача
2.

 Сумма
трех чисел равна 100. Если разделить первое число на второе, то в частном
получится 4, а в остатке 3; если же второе число разделить на третье, то в
частном получится 2 и в остатке 4. Найдите эти три числа.

Решение. По условию задачи имеем три
соотношения:

1)
сумма трех чисел равна 100;

2)
первое число равно учетверенному второму плюс 3;

3)
второе число равно удвоенному третьему плюс 4.

Примем
за основу для составления уравнения первое соотношение. Вводим обозначение х
для третьего числа и выражаем через х второе и первое неизвестные. Второе
неизвестное на основании третьего соотношения будет иметь вид 2x+4, а первое
неизвестное на основании второго соотношения запишется как 4·(2х+ 4) + 3. На
основании первого соотношения составим уравнение  4·(2х + 4) + 3 + (2х +
4) + х = 100.

Решив
полученное уравнение, найдем x = 7, т.е. третье число 7. Следовательно, второе
число 2x + 4 = 18, а первое — 4·(2x+ 4) + 3 = 75. Проверка показывает, что
найденные значения искомых величин удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа — 75, 18 и 7.

Из
трех соотношений, данных в задаче, только первое содержит все три искомых
числа. Второе и третье только устанавливают связь между двумя неизвестными.
Поэтому для составления уравнения принимать за основу второе или третье
соотношения нецелесообразно.

Разобранные
примеры позволяют сделать некоторые выводы о тех операциях, которые
производятся при составлении уравнения с одним неизвестным по условию задачи.

1.
Сначала выбирают соотношение, на основании которого будет составлено уравнение.
Если задача содержит более двух соотношений, то за основу для составления
уравнения надо взять то соотношение, которое устанавливает некоторую связь
между всеми неизвестными.

2.
Затем выбирают неизвестное, которое обозначают соответствующей буквой.

3.
Все неизвестные величины, входящие в выбранное для составления уравнения
соотношение, необходимо выразить через выбранное неизвестное, опираясь на
остальные соотношения, входящие в задачу кроме основного.

Итак,
за основное неизвестное выбирают искомое или одно из искомых, если их
несколько. Такой выбор желателен, но не обязателен, так как в некоторых
случаях, как мы убедились, целесообразнее выбрать не неизвестное искомое число,
а другое. В основу выбора неизвестных может быть положен следующий принцип:
неизвестные следует вводить так, чтобы запись с помощью уравнений имеющихся в
задаче условий получилась наиболее простой. При этом вовсе необязательно, чтобы
величина, которую требуется найти, содержалась среди выбранных неизвестных. Как
правило, при таком выборе неизвестных искомая величина будет представлять собой
некую комбинацию введенных неизвестных, для нахождения которой нет
необходимости определять по отдельности все входящие в эту комбинацию
неизвестные.

Заключительным
этапом работы над задачей является проверка ее решения. Решив уравнение (или
систему уравнений), составленное по условиям задачи, необходимо убедиться,
удовлетворяет ли найденный корень условиям задачи. Это необходимо по следующим
соображениям. Решая уравнение, отыскивают корни в определенной области
допустимых значений. Может оказаться, что по смыслу задачи искомое число должно
принадлежать другой области, более ограниченной по сравнению с областью
значений, допустимых для корней уравнения. В этом случае необходимо отобрать из
корней уравнения те, которые удовлетворяют условиям задачи. Корни, удовлетворяющие
уравнению, но не удовлетворяющие условиям задачи, следует отбросить. Может
оказаться, что уравнение имеет решение, а задача решения не имеет.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.    
Решение старинной задачи
разными способами

      В
своей работе я решил одну и ту же задачу разными способами. По моему мнению,
решение задач различными способами способствует углублению знаний, логического
мышления, расширяет кругозор.

   У
крестьянина  имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 5 голов и 14
ног. Сколько кур и кроликов имеет крестьянин?

1 способ: метод подбора:

2
кролика, 3 курицы.

2 способ: перебор вариантов

Решение
таким методом лучше оформить в виде таблицы:

Количество
голов

Количество
ног

Количество голов	Количество ног	Всего
кролики	куры	кролики	куры	голов	ног
1	4	4	8	5	12
2	3	8	6	5	14
3	2	12	4	5	16
4	1	16	2	5	18

Ответ:
2 кролика и 3 курицы.

3 способ: Арифметический. Метод предположения:

а) метод предположения по избытку.

     Предположим,
что в клетке только кролики, тогда у них 4х5=20 (ног), т.е. 6 ног «лишние». Эти
ноги принадлежат курам. Так как у курицы 2 ноги,

то 6 :
2 = 3 (курицы)

5 – 3
= 2 (кролики)

б) метод предположения по недостатку:

предположим,
что в клетке были только куры:

5 х 2
= 10, т.е. не достает 4 ноги. Они принадлежат кроликам: 4 : 2 = 2 (кролика)

5 – 2
= 3 (куры)

Ответ:
2 кролика и 3 курицы.

4 способ: Алгебраический

а) составление уравнения:

х –
кролики 5 – х – куры

4х +
2(5 – х) = 14

4х +
10 – 2х = 14

4х –
2х = 14 – 10

2х = 4

х=4:2

х=2
(кролики) 5 – 2 = 3 (курицы)

б) составлением системы уравнений:

 х – кролики
у – куры

х + у
= 5

4х +
2у = 14

х = 5 – у

4(5 –
у) + 2у = 14

х = 5 – у

20 –
4у + 2у = 14

х = 5 – у

20 –
2у = 14

х =5 – у

2у= 20
-14

х = 5 – у

2у = 6

х + у
= 5

у =3 (куры)

х = 5
– 3 х = 2 (кролики)

2.Задачи разных эпох

     Проанализировав 
старинные задачи разных народов, я сделал для себя одно небольшое открытие: существует 
задача (в различных редакциях и с некоторыми видоизменениями) встречающаяся:

1) в
папирусах египтянина Ахмеса (1700 г. До н. э.),

2) у
Леонарда Пизанского (1202 г.),

3) в
«Школьной арифметике» Даниэля Адамса.

    В
папирусе Ахмеса предлагается задача, имеющая отвлечённый характер. Например:

В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает
7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений, на каждом растении 7 мер зерна.
Сколько всех вместе?

    Тут
интересно, что в задаче надо ответить на вопрос: сколько всех вместе? Автора
задачи не интересует, о каких вещах или предметах идёт речь, однородны они или
разнородны,- важно только их общее количество. Значит, очень давно египтяне уже
представляли себе не число кошек, или колосьев, или мышей, а именно само по себе
число. Но ведь это совсем не так просто.

       
Некоторые задачи были не слишком сложны, но вели к интересным выводам. Такова
задача, о которой я сказал только что. В ней надо сосчитать сумму пяти чисел,
из которых каждое следующее в 7 раз больше предыдущего. Чтобы решить её, надо
было только терпеливо умножать на 7 и складывать.Но такие суммы часто
встречаются и получили особое название: сумма геометрической прогрессии.

       
В XIII веке итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначчи,
привёл в своей книге задачу, почти не отличающуюся от египетской(хотя со времён
Ахмеса и минуло несколько тысячелетий):

Семь старух отправились в Рим. У каждой старухи по семи ослов,
каждый осёл несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе
по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

От
задачи Ахмеса она отличается добавлением одного слагаемого.

И на
Руси решались похожие задачи. Ещё в XIX веке в деревнях загадывали:

«Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей.

На каждом костыле по семи сучков.

На каждом сучке по семи кошелей.

В каждом кошеле по семи пирогов.

В каждом пироге по семи воробьёв.

Сколько всего?»

    А
ведь это та же задача Ахмеса! Прожившая тысячелетия, она сохранилась почти неизменной
и рассматривается в современных учебниках алгебры. В учебнике алгебры автор

3.Сравнение решения

Старинное
решение задач:

7 +
7*7 + 7*7*7 + 7*7*7*7+7*7*7*7*7 =19607.

Современное
решение задач:

по
формуле суммы первых 5 членов геометрической прогрессии:

S5 =
7*(75 – 1) = 19607.

Сборник
старинных задач

Задача 1          Из «Всеобщей арифметики» И.
Ньютона.

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может
выполнить ее 1 раз за 3 недели, В — 3 раза за 8 недель, С — 5 раз за 12 недель. Спрашивается, в какое время они смогут
выполнить эту работу все вместе (считать в неделе 6 рабочих дней по 12 ч)

Решение:
рабочий А за 1 неделю может
выполнить 1⁄3 работы, рабочий В за 1 неделю выполнит 3⁄8 работы, а рабочий С –
5⁄12 работы. Следовательно за 1
неделю, работая вместе, трое рабочих выполнят 1⁄3 + 3⁄8 + 5⁄12 = 27⁄24 = 9⁄8
частей работы, что больше всей работы на 1⁄8. На выполнение целой  работы
потребуется 1:9⁄8 = 8⁄9 недели или 8⁄9•6•12 = 64 часа.

Задача
2            Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона

Два почтальона А и В находятся друг от друга на расстоянии 59
миль. Утром они отправляются друг
другу навстречу: А проходит в 2 часа 7 миль, В — в 3 часа 8 миль. Но В выходит
часом позднее, чем А. Сколько миль пройдет А до встречи с В?

Решение: Согласно условию, скорость почтальона А 7⁄2
миль/час, скорость почтальона В – 8⁄3 миль/час.Следовательно, скорость их
сближения, поскольку они движутся навстречу друг другу, составит 7⁄2 + 8⁄3 =
37⁄6 (миль/час). За 1 час почтальон А пройдёт 7⁄2 мили и расстояние между
почтальонами к моменту выхода почтальона В составит 59 – 7⁄2 = 111⁄2 (мили).
Почтальоны встретятся через 111⁄2:37⁄6 = 111•6/37•2 = 9 (часов). За это время А пройдёт 7⁄2•9 + 7⁄2 = 70⁄2 = 35 (миль).

Задача
3              Из «Всеобщей
арифметики И.Ньютона.

Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динаров
больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздал лишь по два, и у него
еще остается три. Сколько бедных?

Решение:
Некто раздал бедным по
два динара, а оставшиеся у него 3 начал добавлять каждому бедному с тем, чтобы
к него стало 3 динара. Таких
людей оказалось трое. Согласно условию, для того, чтобы у всех участников стало
по 3 динара, не хватило 8 динаров. Значит всего бедных было 3 + 8 = 11.

Задача 4           Задача
Герона Александрийского (I е.).

Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две
трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый
час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при
совместном действии обеих труб? 

Решение: Две трубы, работая совместно, за 1 час заполнят 1 + 4 = 5 (кубических
единиц объёма бассейна). Следовательно,
для заполнения бассейна ёмкостью 12 кубических единиц, потребуется 12:5 =
2  2/5 (часа) или 2 часа 24 мин.

Задача 5          
Старинная задача (Китай).

 В клетке находится неизвестное число фазанов и
кроликов. Известно, что вся
клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Решение: Пусть в клетке одни кролики. Тогда число ног
составит 35*4 = 140. Но на самом
деле в клетке на 140 – 94 = 46 (ног) меньше, поскольку часть из них принадлежит
фазанам, у которых на две ноги меньше, чем у кроликов. Значит число фазанов
составляет 46:2 = 23, а число кроликов, соответственно, 35 – 23 = 12.

Задача
6   Старинная задача (Китай, II в.).

 

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней.
Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь
вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение: Примем расстояние от северного моря до
южного за единицу. Тогда дикая утка пролетает за 1 день 1⁄7 часть пути, а дикий
гусь –1⁄9  часть пути. Поскольку
птицы летят навстречу друг другу, за день они сближаются на 1⁄7 + 1⁄9 = 16⁄63
частей пути. Следовательно, встретятся они через 1:16⁄63 = 63⁄16 дня= 3 15⁄16
дня. 15⁄16 дня = 15⁄16•24 часа = 15•24⁄16 часа = 45⁄2 часа = 22 часа 30 мин, то
есть птицы встретятся через 3 дня 22 часа 30 минут.

Задача 7

Старинная задача
(Индия, III-IV века н.э.)

Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше
первого, третий — втрое больше
второго, четвертый — вчетверо больше третьего, все вместе дали 132 (денежных
единицы). Сколько дал первый?

Решение: Пусть первый дал одну часть, тогда, согласно условию,
второй дал 2 части, третий – 6 частей, четвёртый – 24 части. Всё пожертвование в размере 132
денежных единиц составило, таким образом, 1 + 2 + 6 +24 = 33 части и,
следовательно, на одну часть приходится 4 денежных единицы. Первый жертвователь
дал одну часть – 4 денежные единицы.

Задача 8

Старинная задача
(Анания из Ширака, армянский математик VII века).

В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за
1 ч, другая, более тонкая, — за 2 ч, третья, еще более тонкая, — за 3 ч. Итак,
узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоем. 

Решение: Примем объём водоёма за единицу.
Первая труба наполняет весь водоём 1 час, вторая за это время наполнит 1⁄2
водоёма, а третья –1⁄3 . Следовательно, работая вместе, три трубы за 1 час
наполнят 1 + 1⁄2 + 1⁄3 = 1 5⁄6 (11⁄6) частей водоёма. То есть, если на час включить все три
трубы, водоём переполнится, а для того, чтобы этого не случилось, 
включить трубы всего  на 1:11⁄6 = 6⁄11 часа.

Можно рассуждать и следующим образом. Определим, за какое время
каждая из труб заполнит 6 водоёмов. Первая сделает это за 6 часов, вторая – за
3, третья – за 2. Итак, за шесть часов трубы, работая вместе, заполнят всего 6
+ 3 + 2 = 11 водоёмов. Следовательно, 1 водоём они наполнят 6⁄11 часа.

Задача 9                Из
«Арифметики» Л. Н. Толстого.

1) У двух мужиков 35
овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

2) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого
на 6. Сколько овец у каждого?

Решение: 1) Если бы у двух мужиков овец было поровну и по стольку, сколько
было у того, у кого овец меньше, то в сумме у них было бы 35 – 9 = 26 (овец), а
у каждого по 13 овец. Но у одного
на самом деле было на 9 овец больше, то есть 13 + 9 = 22 (овцы).

Итак: у одного 13, а другого 22 овцы

2)Если бы у двух мужиков овец было поровну и по стольку, сколько
было у того, у кого овец было больше, то в сумме у них было бы 40 + 6 = 46
(овец), а у каждого по 46:2 = 23 (овцы). Но на самом деле у одного из них было
на 6 овец меньше, то есть 23 – 6 = 17 (овец).

Итак: у одного 17, а другого 23 овцы

Задача
10                  Из «Азбуки» Л.Н.
Толстого.

Мужик вышел пешком из Тулы в Москву 5 часов утра. В 12 часов выехал
барин из Тулы в Москву. Мужик
идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11 вёрст в каждый час. На какой версте
барин догонит мужика?

Решение: Барин выехал на 12 – 5 = 7 (часов) после
мужика, и за это время мужик прошёл 7•5 = 35 (вёрст). Теперь мы имеет типичную
задачу на движение вдогонку. Барин
догонит мужика за время, равное первоначальному расстоянию между ними (35
вёрст), делённому на разность скоростей их скоростей (6 вёрст в час), то есть
за:

35:6 = 5 5⁄6 (часа).

За это время барин окажется на расстоянии от Тулы, составляющем
11•5 5⁄6 = (11•35):6 = 385⁄6 = 64 1⁄6 (версты). Таким образом, барин догонит
мужика на 65-ой версте.

Задача 11

Задача С.А.
Рачинского.

Нужно проверить 360 тетрадей диктанта. Один учитель может
проверить их за 15 ч, другой — за 10 ч, третий — за 6 ч. За сколько часов они проверят тетради
втроём.

Решение: Узнаем, сколько тетрадей может проверить каждый
из учителей за 1 час. Первый проверит 360:15 = 24 (тетради за 1 час), второй –
360:10 = 36 (тетрадей за 1 час), а третий – 360:6 = 60 (тетрадей за 1 час). Следовательно, работая втроём, учителя
за 1 час проверят 24 + 36 + 60 = 120 (тетрадей). А поскольку всего тетрадей
360, на всю работу втроём им потребуется 360:120 = 3 (часа).

Задача 12

Старинная задача.

Путешественник идет из одного города в другой 10
дней, а другой путешественник тот же путь проходит за15 дней. Через сколько дней встретятся
путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Решение:
Примем расстояние между
двумя городами за единицу. Тогда
один путешественник в день проходит 1/10 пути, а второй – 1/15. За один день
путешественники сближаются на 1/10 + 1/15 = 1/6 пути, поэтому чтобы
встретиться, то есть пройти весь путь, им понадобится 1:1/6 = 6 (дней).

Задача 13

Старинная задача.

Прохожий, догнавший другого, спросил:
«Как далеко до деревни, которая у
нас впереди?» Ответил другой
прохожий: «Расстояние от той
деревни, от которой ты идешь, равно
третьей части всего расстояния между
деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между
деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему? 

Решение: Примем расстояние между деревнями за единицу. Первый прохожий
прошёл 1⁄3 расстояния, значит, для того, чтобы ему оказаться на половине пути,
ему осталось пройти 1⁄2 – 1⁄3 = 1⁄6 часть пути. Это расстояние и составляет 2 версты,
а следовательно всё расстояние между деревнями: 2•6 = 12 (вёрст). Первый
прохожий прошёл треть расстояния, поэтому осталось ему пройти 2⁄3 или 12•2⁄3 =
8(вёрст).

Задача 14

Старинная задача.

К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я
вам продам лошадей, — сказал табунщик, — 1-му продам я полтабуна и еще половину
лошади, 2-му — половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, 3-й также получит
половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе
же оставлю только 5 лошадей.» Удивились казаки, как это табунщик будет делить
лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка
состоялась. Сколько лошадей продал табунщик каждому из казаков.

Решение:

Если первый персонаж взял (или купил) некоторое количество
предметов и ещё полпредмета, после чего второму персонажу достался остаток, то
у первого окажется на один предмет больше, чем у второго, то есть (остаток +
1). В данном случае персонажами являются казаки, а предметами – лошади.

У табунщика осталось 5 лошадей, и, следовательно, 3-ий казак
получил 6 лошадей. Вместе у табунщика и 3-его казака было 6 + 5 = 11 лошадей, а
это значит, что 2-ой казак получил 11 + 1 = 12 лошадей. Вместе у табунщика,
3-его казака и 2-го казака 11 + 12 = 23 лошади и, следовательно, у 1-го казака
23 + 1 = 24 лошади. Отсюда получаем, что всего лошадей было 23 + 24 = 47.

Итак:

У 1-го казака 24 лошади, у второго — 12 лошадей, у 3-го — 6
лошадей

Задача
15

Старинная задача

Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались
подмоченными, и купец продал их на 2р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3р.
дороже за 1фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.

Решение: Продав 50 фунтов табака на 2 рубля дешевле купец
понёс убыток в 50•2 = 100 (рублей), а продав оставшиеся 60 фунтов на 3 рубля
дороже купец получил прибыль в 60•3 = 180 (рублей). Следовательно, общая прибыль купца
составила 180 – 100 = 80 (рублей)

Задача
16

Старинная задача.

Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу
половину своих денег и еще 1 рубль; потом
уплатил 2-му купцу половину оставшихся денег да еще 2 рубля и, наконец, уплатил
третьему купцу половину оставшихся денег да еще 1 руб. После этого денег у
крестьянина совсем не осталось.
Сколько денег было у крестьянина
первоначально?

Решение:
Третий купец получил половину
оставшихся денег, да ещё 1 рубль и больше денег не осталось. Значит эта
половина составляет 1 рубль и всего третий купец получил 2 рубля. Эти 2 рубля да ещё 2 рубля составляют
половину полученного вторым купцом, поэтому он получил 4*2 = 8 (рублей).
Аналогично, половина денег первого купца составляла 8 + 1 = 9 (рублей), а всего
он получил от крестьянина 9*2 = 18 (рублей).

Задача 17

Старинная задача.

Капитан на вопрос «Сколько людей имеет он в своей команде?»
ответил, что 2/5 его команды в
карауле, 2/7- в работе, 1/4 — в лазарете, да еще 27 человек налицо.
Спрашивается число людей его команды.

Решение: Примем полное число людей в команде
капитана за единицу. Тогда, в карауле, на работе и в лазарете

2/5 + 2/7 + 1/4 = (56 + 40 + 35)/140 = 131/140 часть людей,

а оставшиеся 1 – 131/140 = 9/140 составляют 27 человек. Теперь
решение сводится к нахождения целого по его части. Поэтому полное число членов
команды составит 27:9/140 = 420 (человек).

Задача
18

Старинная задача.

За 1000 р. я купил 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько
тех и других в отдельности?

Решение: Пусть количество коров по 18 руб. – х, а количество коров по 26
руб. – у. Тогда можно
написать 2 уравнения:

х + у = 44
18*х + 26*у = 1000

Выразим х через у из первого уравнения:

х = 44 – у,

и подставим полученное значение во второе:

18*(44 – у)
+ 26у = 1000,

792 – 18у +
26у = 1000

8у = 208

у = 26, х = 44 – 26 = 18

Ответ: куплено 18 коров по 18 рублей и 26 коров по 26 рублей.

Задача
19

Старинная задача.

Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты
500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен.

Какое расстояние будет между собакой и зайцем через 10 минут? В
какое время собака догонит зайца?

Решение: Это типовая задача на движение.
Для начала определим скорости зайца и собаки. Заяц прыгал со скоростью 500:2 =
250 (сажен/мин), а собака бежала со скорость 1300:5 = 260 (сажен/мин.

Скорость собаки больше скорости зайца на 10 сажен/мин, поэтому
через 10 мин расстояние между собакой и зайцем составит 150 -10*10 = 50
(сажен), а догонит зайца собака через 150:10 = 15 (мин)

Задача 20

Старинная русская задача.

На мельнице имеется три жернова. На первом
из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на
третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время
на этих трех жерновах.
За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов
надо зерна насыпать?

Решение:
Используя все три жернова
одновременно за сутки можно смолоть 60 + 54 + 48 = 162 четверти зерна. Поскольку некто собирается смолоть 81
четверть зерна, то есть ровно половину, на это потребуется половина суток. На
каждый жернов следует насыпать пропорционально его производительности, а
поскольку зерна вполовину меньше, на первый жернов следует насыпать 30
четвертей, на второй – 27 четвертей, а на третий – 24 четверти.

Заключение

Математика
в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь, все более внедряется
в традиционно далекие от нее области. Компьютеризация общества, внедрение
современных информационных технологий требует математической грамотности
человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные
математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый
математикой.

В
результате изученной темы было выяснено, что существует множество методов
различных старинных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно.
Также мы научились правильно анализировать задачи и решать их разными методами
(путём составления уравнений, т.е методом ложного положения, методом полного
перебора вариантов и т.д) и разными способами: алгебраическим и арифметическим
(старинным). Арифметические способы решения текстовых задач имеют больший
развивающий потенциал, чем универсальный алгебраический способ решения. В наше
время предпочтение отдаётся алгебраическому способу.

Я
надеюсь, что составленный сборник старинных задач поможет моим одноклассникам
поближе познакомиться с данной темой, так как решение старинных задач
различными способами способствует углублению знаний,  развитию логического
мышления и расширению кругозора.

Список
использованных источников

1.    
Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами
учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение,
1989.

2.    
Нагибин Ф.Ф., Капин Е.С. Математическая
шкатулка. Пособие для учащихся 4-8 кл. сред шк. – М.: Просвещение, 1988.

3.    
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.
1980.

4.    
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника
алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1990.

5.     Internet
источник: http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2173&Itemid

6.    
Глухова О.Ю. СИСТЕМА НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ, ПРИЕМЫ И
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ // Инновации в науке: сб. ст. по матер. XXIV междунар.
науч.-практ. конф. № 8(21). – Новосибирск: СибАК, 2013.

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 45» г. Курска

Проектная работа на тему:

«Старинные математические задачи

древних стран и народов»

Автор: Петрикеев Егор Николаевич, 6А класс

Руководитель: Сидорова Валентина Ивановна, учитель математики

Курск 2019

Паспорт проектной работы

1. Название исследовательского проекта: «Старинные математические задачи через века и страны».
2. Авторы: Петрикеев Егор, обучающийся 6А класса МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №45» г. Курска.
3. Научный руководитель: Сидорова Валентина Ивановна, учитель математики.
4. Предмет: История возникновения старинных математических задач. Задачи разных стран и народов.
5. Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: история, литература.
6. Возраст учащихся, на который рассчитан проект: обучающиеся среднего звена.
7. Тип проекта: по продолжительности – краткосрочный; по числу участников – индивидуальный; по содержанию – межпредметный.
8. Гипотеза: если мы узнаем о старинных задачах, которые решали наши предки, то расширим свой кругозор и получим знания не только об истории возникновения математики на Руси, но и о методах решения старинных задач.
9. Цель проекта: узнать о старинных математических задачах, изучить историю возникновения математики на Руси, узнать о людях, которые внесли большой вклад в развитие математики.
10.  Дидактические цели: после завершения проекта обучающиеся будут:

1. знать историю возникновения старинных задач;
2. знать   задачи древних стран и народов и способы их решения;
3. владеть информацией о тех людях, которые стояли у истоков математических задач и создали первый учебник «Арифметики»;
4. иметь навыки работы с различными источниками информации;
5. применять информационные технологии для предоставления результата своей деятельности (презентация).

1.  Задачи проекта:

1. проанализировать разные источники информации о старинных задачах;
2. осуществить отбор информации и иллюстраций по теме;
3. провести встречу Юных математиков для решения старинных задач;
4. подготовить презентацию, брошюру «Старинные задачи через века и страны».

1.  Актуальность проекта: активизация познавательной деятельности учащихся через поисковую деятельность, тем самым развиваются навыки самостоятельного критического мышления, умение использовать полученную информацию и применять ее на практике.
2.  Вопросы проекта:

Что такое старинная математическая задача?

Когда и кем был написан первый учебник по математике?

Кто такой Леонтий Филиппович Магницкий?

Какие старинные задачи вы знаете?

1.  Продукт проекта: представление собранной и обработанной информации в виде презентации, брошюры.
2.  Проблема: на уроках математики меня заинтересовала история древнерусской математики, а конкретно решение старинных задач. В связи с этим я заострил своё внимание на этапах развития древнерусской математики. Особое значение я придал учебнику «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Также рассмотрел задачи других стран и народов. Таким образом, возникла проблема учебного проекта, которая заключается в том, чтобы рассмотреть, как решаются старинные задачи.
3.  Объект и предмет исследования: знакомство с историей развития математики, исследование способов решения старинных задач разных стран и народов.
4.  Основные результаты и выводы: в ходе нашего исследования собран и систематизирован материал об истории древнерусской математики и подобраны старинные задачи. Самым важным для нас в работе было то, что на всем ее протяжении мы испытывали чувство гордости за наших ученых, которые внесли большой вклад в развитие математики.
5.  Практическая значимость: полученную в процессе разработки данной темы информацию можно использовать во время занятий по математике, на внеурочных занятиях, в ходе проведения внеклассных мероприятий.
6.  План реализации проекта:

1. этап – подготовительный: обоснование выбора темы, основополагающего вопроса для исследования;
2. этап – аналитический: корректировка целей и задач, выработка стратегии для их решения;
3. этап – практический: поиск информации;
4. этап – обработка собранных материалов, работа над презентацией и брошюрой.

Введение

В настоящее время проводится достаточно большое количество дистанционных олимпиад. Уровень заданий, предлагаемых организаторами той или иной олимпиады различный, начиная от олимпиады, где необходимо показать глубокие знания в области математики и заканчивая учебной олимпиадой, где представлены задания школьного курса, изучаемого в конкретном классе и ориентированные практически на каждого ученика.  Учащиеся, проявляющие хотя бы не большой интерес к науке математики, стараются принять участие олимпиадах такого рода, это дает возможность проверить себя не только, на сколько хорошо ты владеешь предметом, но повышают твой уровень интеллектуального развития, заставляют нас думать, размышлять, анализировать. Однажды выполняя задания Олимпиады, организаторы предложили учащимся целый блок старинных задач. Посмотрев только на название одного из разделов заданий «Старинные задачи» многие учащиеся были в недоумении, оказалось, что для большинства учащихся было не под силу решить задачи из данного раздела. На уроках математики меня заинтересовала история древнерусской математики, а конкретно решение старинных задач. В связи с этим я заострил своё внимание на этапах развития древнерусской математики. Особое значение я придал учебнику «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Также рассмотрел задачи других стран и народов.

Таким образом, возникла проблема учебного проекта, которая заключается в том, чтобы рассмотреть, как решаются старинные задачи?

Актуальность данной работы заключается в активизации познавательной деятельности учащихся через поисковую деятельность, тем самым развиваются навыки самостоятельного критического мышления, умение использовать полученную информацию и применять ее на практике.

Цель исследования – рассмотреть старинные задачи, которые решали раньше наши предки.

Гипотеза исследования – если мы узнаем о старинных задачах, которые решали наши предки, то расширим свой кругозор и получим знания не только об истории возникновения математики на Руси, но и о методах решения старинных задач.

Для достижения цели и доказательства гипотезы исследования необходимо решить следующие задачи:

• анализ и изучение научной литературы по теме исследования;

• разработать брошюру по истории возникновения старинных задач;
• провести встречу Юных математиков для решения старинных задач.

В ходе решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:

• анализ методической литературы по проблеме исследования;
• анализ и синтез;
• опрос общественного мнения.

История возникновения математики на Руси

Предки русского народа – славяне с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Χ веке нашей эры у славян появилась письменность. С этого времени начинается «писаная» история Древней Руси.

У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была сама жизнь, практика. По-видимому, все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках, которые у русских назывались бирками. Такой способ записи долговых обязательств или налогов применялся малограмотными людьми разных стран.

Постепенно рождались и накапливались навыки счета, правила измерения: ведь без этого нельзя было бы ни торговать, ни даже обмениваться продуктами. В летописях сохранились сведения о школах, которые учреждались повелением князей Владимира Святославовича (980 -1015), Ярослава Мудрого (978-1054).

Из первых известных письменных источников узнаем мы о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X-XI веках.

Они были связаны, естественно, с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д.

«А полбы немолочные I5 копен, а на то прибытка на одно лето 7 копен, а на всю I2 лет в той полбе прибытка I000, 700 и 50 копен».

Эти строки взяты из статьи «О полбе немолочной» одного из ранних рукописных исторических документов – Русской Правды – первого дошедшего до нашего времени сборника русских законов.

Судя по всему, подсчет «прибытка» в этой статье основан на предположении, что каждый год в течение12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянный полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах.

Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом – временем, когда единая Киевская Русь стала неудержимо разваливаться на мелкие, враждующие княжества. Автором этой рукописи был новгородский дьякон и «числолюбец» по имени Кирик.

Благодаря запискам Кирика, мы можем судить, что уровень математических знаний в XII веке был на Руси не ниже, чем в Западной Европе. Записки содержат значки на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, со дня сотворения мира; вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным (при этом число «пи» считается равным 3). Она ясно показывает, что славяне без малого тысячу лет назад отлично владели четырьмя действиями арифметики, свободно обращались с очень большими целыми числами и с очень маленькими дробями.

Самой сложной задачей было вычисление дат празднования Пасхи, с которым жестко связаны даты других праздников церковного календаря.

В начале «Учения…» указывается, что написано оно в 6644 году от «сотворения мира» (в 1136 году по принятому сейчас у нас летоисчислению) и что от «сотворения мира» прошло 79 728 месяцев, или 346 673 недели, или 2 426 721 день, или 29 120 652 дневных часа и столько же ночных. После этого сообщается, как вычислить так называемый «солнечный», «лунный» и «великий» круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник Пасхи в текущем год. То есть, чтобы вычислить даты Пасхи на много лет вперед, надо сопоставить периодичность солнечных и лунных движений, обладать основательными знаниями и навыками астрономии и математики.

Монголо-татарское и ливонское нашествие надолго прервали развитие математики на Руси. Торговый путь из варяг в греки перестал существовать, с ним прекратился и обмен информацией. Новые способы счета могли быть получены разве что от татарских сборщиков дани.

В конце XV века татарское иго было свергнуто. На Руси, хотя и с отставанием, развивалась торговля, строительство, оружейное дело.

В XVI – XVII веках при Иване Грозном на Руси начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требует межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами).А немного позже – печатные книги о применении математики  для разных практических нужд.

 В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись разнообразными примерами и задачами. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учебники по арифметике и алгебре XVIII века, а некоторые сохранились и до нашего времени.

Рукописи XVI-XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века, которая содержала необходимые для практических нужд математические сведения. Однако, Россия, лишенная выхода к морям, не имела того мощнейшего стимула развития математики, каким в странах Западной Европы стало мореплавание. Математическое отставание России углублялось вплоть до начала XVIII века – до реформ Петра Великого.

В его царствование были построены на Урале заводы, создан военный флот, значительно расширены границы государства Российского. Полностью было перестроено и войско.

     Для нужд промышленности и армии, строительства и флота понадобилось много людей, знакомых с техникой. Часть таких людей была приглашена из-за рубежа, но нужны были государству русские инженеры и техники, капитаны и штурманы военных кораблей, артиллеристы и саперы. Поэтому в стране начали открываться многочисленные учебные заведения. До того единственным учебным заведением, которое можно было назвать высшим, являлась Славяно-греко-латинская академия, где изучали древние языки, богословие и философию.

    Царь Петр в молодости изучал математику и свободно обращался с чертежами и математическими приборами. Он хорошо понимал практическое значение математики, и она стала одним из главных предметов изучения в организованных при них училищах. В 1698 году во время посещения Лондона он познакомился с математиком Генри Фарвархсоном и пригласил его работать в Россию. Тот приехал с двумя помощниками   и принял участие в организации Школы математико-навигацких наук, выпускавшей капитанов и штурманов, а потом стал преподавать в ней математику, астрономию и мореходное дело.

В математико-навигатскую школу принимали не только дворян, но и людей иных сословий. Эта школа вскоре стала выпускать каждый год многие десятки молодых людей всех сословий для военной, морской и гражданской службы. Они принимали активное участие в преобразовательной деятельности Петра І, готовили войска и флот. Позднее были созданы инженерная, артиллерийская и другие школы.

Но для успешного преподавания во всех этих школах было одно существенное препятствие. Хотя Фарвархсона и стали звать Андреем Даниловичем, по-русски он говорить не научился и учебники писал по-латыни. Некоторые из них потом были переведены на русский язык, но все, же различие в языке мешало слушателям понимать своего профессора. Это делало жизненно необходимым создание учебника математики, написанного по-русски. А печатных русских учебников по математике в то время еще не существовало. Были лишь немногие рукописные книги, по которым учились считать будущие купцы.

Особенно важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Арифметика, или наука числительная», написанная Леонтием Филипповичем Магницким (1669-1739 гг.)

Леонтий Филиппович Магницкий и его “Арифметика”

Первый напечатанный русский учебник математики создал Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739).

Леонтий Филиппович Магницкий — первый учитель математики и морских наук в России. С 1701 года и до конца жизни преподавал математику в Московской школе математических и навигацких наук.

О Леонтии Магницком известно не так уж и много. Большинство сведений о нем относится к годам, когда он уже преподавал в Навигацкой школе. О детских годах известно лишь то, что родился он в крестьянской семье в Осташковской монастырской слободе на берегу озера Селигер. Отца будущего математика звали Филиппом, прозвище его было Теляшин, фамилии же в то время крестьянам не полагались. Мальчик еще в детстве научился самостоятельно читать, благодаря чему временами исполнял обязанности псаломщика в местной церкви.

Судьба юноши резко изменилась, когда из родной слободы его отправили с возом мороженой рыбы в Иосифо-Волоколамский монастырь. Видимо, в монастыре паренек проявил интерес к книгам, и игумен, убедившись в его грамотности, оставил Леонтия чтецом. Уже через год игумен благословил юношу на учебу в Славяно-греко-латинскую академию, бывшую в тот период основным учебным заведением в России. В академии Леонтий проучился около восьми лет.

Любопытно, что математику, которой Магницкий затем занимался до конца жизни, в академии не преподавали. Следовательно, её Леонтий изучил самостоятельно, как и основы навигации и астрономии. Закончив академию, Леонтий не стал постригаться в священнослужители, как надеялся отправлявший его на учебу игумен, а стал преподавать математику, а, возможно, и языки, в семьях московских бояр.

В Москве и произошла его встреча с Петром I, который умел находить людей, полезных для России, из каких бы слоев общества они ни происходили. Безродный учитель, не имевший даже фамилии, понравившийся царю глубокими знаниями, получил от монарха своеобразный подарок. Петр I любил Магницкого за живой ум и большие познания и в знак глубокого уважения к математическому таланту Леонтия Филипповича и его просветительской деятельности придумал ему фамилию “Магницкий” так как он притягивал своей ученостью отроков к себе, как магнитом. Фамилии имели только представители высшей знати.

Как лучшему российскому математику, Л. Ф. Магницкому было поручено составление учебного руководства по арифметике, что он и выполнил с большим талантом. Хотя учебник и назывался “Арифметикой” его можно рассматривать как энциклопедию математических знаний того времени. В нем, кроме подробного изложения основ арифметики, даны сведения по алгебре (правила извлечения квадратных и кубических корней, прогрессии), понятия о вычислении тригонометрических таблиц и тригонометрических вычислениях вообще, сведения по астрономии, геодезии и навигации.

В течение полустолетия она стала пособием для всех русских людей, которые стремились к математическому образованию. Великий русский ученый М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого «вратами своей учености».

     При составлении своей книги Магницкий использовал обширную литературу, опубликованную на других языках. Он указывает, что материал для своей книги он:

«Из многих разных книг собравши –

Из грецких убо и латинских,

Немецких же и итальянских».

    Но Магницкий понимал, что нельзя предложить русскому читателю книгу, не учитывающую вековое самобытное развитие русского народа. Поэтому он широко использовал русскую математическую литературу, добавив к ней достижения мировой научной мысли, переработанные и приспособленные к потребностям русского читателя. Он подчеркивал, что

«Разум весь собрал и чин

Природно-русский, а не немчин».

Учебник содержит много задач и примеров, причем большинство из них интересно и даже увлекательно по содержанию. Автор, стремясь придать арифметике занимательный характер, пользуется стихами и рисунками.

Так возник первый оригинальный русский учебник математики, ставший вратами учености не только для Ломоносова, но и для всех русский людей, стремящихся к образованию. Русская математическая литература не знает другой книги, которая имела бы такое значение в истории русского математического образования.

Главное достоинство “Арифметики” Магницкого – в полноте содержания. Это не просто арифметика, а целый курс математики с приложением ее к мореплаванию. Правда, арифметику Магницкий считал краеугольным камнем математического образования и обработал ее в своей книге с аналогичными западноевропейскими учебниками, ей современными исключительно тщательно. Он использовал новинки в области арифметики, ввел новые наименования; “миллион”, “биллион” и т.д., сделав тем самым крупный шаг вперед, возвел нуль в ранг числа, причислив его к “перстам” (первым десяти числам) и тем самым на много опередил свое время; поместил множество объяснительных примеров (“прикладов”) включая примеры “неких увеселительных действий, через арифметику употребляемых” обнаружил большой педагогический талант при изложении действий над целыми числами и обыкновенными дробями.

“Арифметика” Магницкого явилась ответом на это требование времени. Она обладала для своей эпохи крупными научными и методическими достоинствами, и ее преимущества особенно ясно выступают при сравнении.

В предисловии к “Арифметике” Магницкий писал: “Будет сей труд добре пользовать русский весь люд”. Это желание вполне сбылось. Его книга помогла ученикам математико-навигацкой школы дать в 1726-1734 годах материал для первой “генеральной карты всея Руси” и первого географического атласа.

     «Арифметика» Магницкого очень во многом сходна с рукописными математическими книгами прежних веков. Почти каждое старинное русское руководство по математике начинается с разъяснения значения этой науки для человека.

     Он уверяет своего читателя, что арифметика нужна всем, не только купцам

«Цену товаров обретати

И достойно ее исчисляти»,

Но и людям

«Ремесленным и художным,

Подданным всяким и вельможным».

Ее должен изучать

«Хотящий быть морской пловец,

Навигатор ли или гребец».

Старинные задачи Леонтия Магницкого

Задача №1. Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по два хлеба, женщина – по половине хлеба, а ребенок – по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Ответ. Попробуем мысленно распределить 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми. Сначала дадим всем по половине хлеба, при этом будет роздано 6 хлебов. Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить этот хлеб среди мужчин. Каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба. Шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами, после чего каждый из них будет нести по два хлеба. Отсюда следует, что мужчин не менее пяти. Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести. Но если бы мужчин было шесть, то они сами, если бы весь хлеб, а женщинам и детям ни чего бы не осталось. Итак, имеется всего пять мужчин. Пятому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четверти у каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят из шести четвертей, то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно 12 – 5 – 6 = 1. Следовательно, хлебы несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.

Задача №2. Четверо купцов имеют некоторую суму денег. Известно, что, сложив свои деньги без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго – 85 рублей, сложившись без третьего – 80 рублей, сложившись без четвертого – 75 рублей. Сколько денег у каждого купца?

Ответ: Второй, третий и четвертый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут, как сказано в условии, 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получится по условию 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Но точно также легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий купцы, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца. В условии сказано, что эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого – 20 рублей, у третьего – 30 рублей. Но тогда у четвертого купца было 35 рулей.

Второй способ. Предположим, что первый второй и третий купцы положат на стол третью часть имеющихся у каждого из них денег. По условию на столе окажется третья часть от 75 рублей, т.е. 25 рублей. Затем пусть первый, второй и четвертый добавят к этой сумме еще третью часть от первоначально имевшихся у каждого денег. Тогда прибавится третья часть от 80 рублей и на столе станет 25+ = 51+ рубля. После этого пусть к имеющейся сумме добавят третью часть первый, третий и четвертый купцы, и наконец, добавят третью часть второй, третий и четвертый купцы. На столе окажется

51 +  +  = 51 + 28 + 30  =110 рублей, а каждый из купцов окажется без денег. Мы установили, таким образом, что общая сумма денег у всех купцов равна 110 рублей. Но тогда у первого купца имеется 110-90=20 рублей, у второго 110-85=25, у третьего 110-80=30 рублей и у четвертого 110-75=35 рублей.

Задача №3. Ка узнать день недели? Перенумеровав дни недели, начиная с понедельника, по порядку от 1 до 7, предложите кому-нибудь загадать некоторый день недели. Затем предложите порядковый номер задуманного дня увеличить в два раза и к этому произведению прибавить 5. После этого предложите полученную сумму умножить на 5, а затем то, что получится, умножить на 10. По объявленному результату вы называете день недели, который был загадан.

Ответ. Из первой цифры объявленного результата вычесть 2. Остаток укажет номер задуманного дня недели.

Пример. Пусть задуман четверг, порядковый номер 4. После удвоения этого числа получим 8. Прибавим 5, получим 13. Умножив 13 на 5, получим 65. Умножив 65 на 10, получим 650. Отняв от числа 6 – числа сотен получившегося произведения – числа 2, получаем 4 – порядковый номер задуманного дня недели, т.е. четверга.

Пусть задуманный порядковый номер M удовлетворяет условию, что M больше 1, но меньше 7.

((2M+5).5).10 = 100M + 250 = (2 + M) . 100 + 50.

Задача №4. «Сколь он стар?» Некто, будучи вопрошен, сколь он стар, ответствовал: «Когда я проживу еще половину да треть, да четверть моих лет, тогда мне будет сто лет». Сколько лет этому человеку?

Ответ.  Предположим, что у каждого человека есть внук, который в 12 раз младше его. Тогда 12 возрастов внука, да еще 6 возрастов внука, да еще 4 возраста внука, да 3 возраста внука составляют, по условию задачи, 100 лет. Другими словами, возраст внука в 25 раз меньше, чем 100 лет, и равен, поэтому 4 годам. Но тогда возраст человека, которому был задан вопрос, равен 48 годам.

Задача №5. Один человек купил трех коз и заплатил 3 рубля. Спрашивается: по чему каждая коза пошла?

Ответ: По земле.

Задача №6. Двое шли – 3 гвоздя нашли. Следом четверо пойдут – много ли гвоздей найдут?

Ответ: ничего не найдут.

Задача №7. Летели утки: одна впереди т две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?

Ответ: всего летело три утки, одна за другой.

Задача №8. Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а в ходьбе только четыре?

Ответ: Всадник на лошади.

Задача №9. Два землекопа выкапывают 2 метра канавы за 2 часа. Сколько землекопов за 5часов выкопают 5 метров канавы?

Ответ: 2 землекопа.

Задача №10. Волк, коза и капуста. Крестьянину надо перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодке может поместиться один человек, а с ним волк, коза или капуста. Если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу; если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. В присутствии человека коза не может съесть капусту, а волк – козу. Крестьянин перевез свой груз через реку. Как он это сделал?

Ответ: Человек вначале перевозит на другой берег козу, оставляя волка с капустой; затем возвращается, забирает волка и перевозит его на другой берег, а козу увозит с собой обратно. Оставляя козу на берегу, человек перевозит к волку капусту, затем возвращается и перевозит козу. Таким образом, на другом берегу оказываются вместе с человеком волк, коза и капуста.

Задачи древних стран и народов

Задачи Древнего Египта

Наиболее древние письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н. э. математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии.

Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был признан богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотен.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах.

Еще IX тыс. лет назад они решали практические задачи по арифметике, алгебре и геометрии.

Задача 1.

У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа из этого ряда и их сумма?

Задача 2.

Найти приближенное значение для числа π, приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной  диаметра круга.

Задачи Вавилона

В древнем Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские памятники в виде глиняных плиток (всего около 50000, причем из них примерно лишь 150 с текстами математических задач и 200 с числовыми таблицами) с клинописными надписями хранятся в различных музеях мира. В этих текстах мы находим достаточно удобные способы решения ряда практических задач, связанных с землемерием, торговлей и строительством.

Вавилоняне были основоположниками астрономии, создали шестидесятеричную систему счисления, решали уравнения второй степени, некоторые виды уравнений третей степени.

Задача 3. О глиняной табличке.

Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?

Задача 4

Разделить прямой угол на три равные части.

Задачи Древней Греции

Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицами, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории относится к VI-V вв. до н. э.

Задача 5. «Суд Париса»

Один из древнейших мифов содержит сказание троянского царевича Париса…Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшая». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афродитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита- красивейшую женщину на земле в жены. Гера- власть и богатство. Как Парис определил р из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.

Афродита. Я самая прекрасная. (1) Афина. Афродита не самая прекрасная (2) Гера. Я самая прекрасная. (3) Афина. Афродита не самая прекрасная. (4) Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, какая из них самая прекрасная. Парис предложил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

Задача 6. Задача Дидоны.

В древнем мифе рассказывается, что Тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Финикию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нумидийцев Ярт обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген. Участок какой формы окружила Дидона веревкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?

Задача 7. О школе Пифагора.

Пифагор Самосский (ок. 570- ок.500 г. до н. э.)- древнегреческий математик и филосов. Основал пифагорейский союз (школу). Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). В школе возникло представление о шарообразности Земли.

Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. Охотно скажу тебе, о Поликрат, – отвечал Пифагор. Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?

Задача 8.

Всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.

Задача 9.

Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?

Задача 10.

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись» Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Задача 11. Герона Александрийского.

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за один день, – второй- за два дня, третий-за три дня, четвертый- за четыре дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Задача 12. Древнеримская задача (II в.)

Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2:3 имения, а жене – остальная часть. Если, же родится дочь, то ей ,а не жене ». Родилась двойня – сын и дочь. Как разделить имение?

Задачи Древнего Китая

Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхе относиться к началу II тыс. до н. э. Сохранились обозначения цифр на гадальных костях животных XIII в. до н. э. Среди важнейших достижений китайской математики отметим: введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, уравнений высоких степеней. В Китайских рукописях содержатся наиболее ранние сведения о магических (волшебных) квадратах (V в. до н.э.).

Задача 13.

Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3X3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.

Задача 14.

Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.

Задачи Древней Индии

Задача 15.

Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи каково число их разновидностей?

Задача 16.

Прекрасная дева с блестящими очами, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на 3:4 этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1:3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, дает число 2.

Задачи Древней Руси

Задача 17.

Три торговца, не желая отбивать друг у друга покупателей, решили продавать свои апельсины по одинаковой цене. У одного торговца было 50 апельсинов, у другого 30, у третьего только 10. Торговцы условились, что цену можно изменить, лишь бы продажа одновременно производилась у всех трех торговцев по одной и той же цене. Когда весь товар был распродан, то оказалось, что каждый из торговцев выручил за свои апельсины одинаковую сумму, а именно 50 копеек. Как и по какой цене они должны были продать апельсины?

Задача 18.

Сельский виноторговец призвал трех своих сыновей и велел поделить им поровну между собой 7 полных бочонков с вином, 7 таких же бочонков, наполненных вином поровну, и 7 таких же бочонков, но пустых. Как сыновья могут поделить вино и бочонки, чтобы каждому досталось и одинаковое количество вина, и одинаковое число бочонков, если переливать вино из одного бочонка в другой нельзя?

Задача 19.

На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Хозяин двора и его сын вышли на двор, посмотрели на живность и пошли в поле. По дороге сын и спрашивает: «Папа, сколько у нас на скотном дворе гусей и сколько поросят?» – «А вот угадай-ка сам. Если считать по головам, то на дворе 25 голов, а если по ногам, то 70 ног». Сколько было гусей и сколько поросят?

Задача 20.

Хозяйка в продолжение поста накопила два горшка масла: один в 8 фунтов, другой в 3 фунта, а третий горшок в 5 фунтов остался у нее

пустым. Перед праздником хозяйке понадобилось одолжить 6 фунтов масла соседке. Как она это сделала, если меркой могли служить только те же три горшка?

Задача 21.

Дед, отец и сын встретили во время прогулки знакомого, который спросил, сколько каждому из них лет. «Нам 131 год и 10 месяцев», – ответил за всех дед и важно зашагал вперед. Тогда их знакомый, продолжая интересоваться их возрастом, спросил отца: «Ну скажите же, сколько вам лет?»- «Мне вместе с сыном 57 лет и 2 месяца,- ответил отец,- а сын на 19 лет и 10 месяцев моложе меня». Так знакомому и не пришлось узнать, сколько лет каждому из них. Сколько лет деду, отцу и сыну?

Практическая часть

Результаты социологического опроса.

Для того чтобы определить является ли данная тема актуальной для учащихся 6-х классов, мы провели социологический опрос. В результате опроса выяснили, что учащиеся достаточно редко встречаются со старинными задачами, а если и встречаются, то не обращают на это внимание.

Стоит отметить, что учащиеся 6 классов мало интересуются историей возникновения математики на Руси, а в частности на вопрос «Кто такой Леонтий Магницкий?» учащиеся в основном указывали, что математик, при этом они давали ответ интуитивно, а не опираясь на знания в области истории математики.

Заключение

 В настоящее время существует достаточно большое количество литературы, в которой мы сможем найти старинные задачи. Это могут быть задачи не только из «Арифметики» Магницкого, но это могут быть и задачи разных народов и времен. Решение разнообразных старинных задач не только обогащает опыт мыслительной деятельности, но и позволяет осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач.

В данной работе рассмотрена история развития математики на Руси. Установлено, кто первым напечатал русскую книгу по математике. Рассмотрены примеры решения задач из «Арифметики» Магницкого.

В ходе работы выполнены поставленные задачи:

• Анализ и изучение научной литературы по теме исследования предоставило возможность познакомиться с историей развития математики на Руси.

• В результате проведения социологического опроса я пришел к выводу, что учащиеся мало интересуются историей математики и прибегают к решению старинных задач только лишь в результате участия в олимпиадах и на уроках математики. Также я нашел ребят, которые бы желали встретиться во внеурочное время для решения старинных задач
• В целях повышения интереса к изучению истории математики во внеурочное время выпустил брошюру, в которой привел несколько старинных задач для самостоятельного решения.

В данной работе мы узнали о старинных задачах, которые решали наши предки, расширили свой кругозор в области истории математики, следовательно, наша гипотеза подтвердилась.

Список литературы

1. Старинные занимательные задачи / С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов – 2-е изд., стереотип – М.: Дрофа, 2005. – 173, (3) с.: ил. – (Познавательно!Занимательно!)
2. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. / Сост. А. П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова: под общ. Ред. О. Г. Хинн; художники А. В. Кардашук, А. Е. Шабельник, А. О. Хоменко. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ»», 1999.
3. Интернет-ресурсы.

Приложение

Решения задач древних стран и народов:

1. 7; 49; 343; 2401; 16807; 19607.

2. По условию задачи.

3. 30 и 10.

4. Пусть требуется разделить прямой угол ABC на три равные части. Для этого древние вавилоняне на отрезке AD стороны BA строили равносторонний треугольник BED. Тогда угол CBE будет составлять одну треть данного прямого угла. Остается только разделить пополам угол DBE, и задача будет решена.

5. Пусть Парис предложил, что Афина изрекла истину. Тогда она прекраснейшая из богинь, и по предложению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, т. к. Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предложение ложно. Если Парис предложит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предложению (2) ложно. Мы снова приходим к противоречию, т. к. Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера. И это исходное предложение ложно. Если Парис наконец предложит, что Афродита изрекла истину, то Афродита прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3), (5) истинны и показывают, что Афродита – прекраснейшая из богинь.

6. Среди всех плоских фигур данного периметра максимальную площадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

7. Среди 28 учеников школы Пифагора математикой занимались 14, музыкой – 7, пребывали в молчании – 4 и было еще 3 женщины.

8. – 1) = 2k – 1 – нечетное число.

9. Пусть у каждой из грации было по x- плодов и они отдали каждой из муз по y- плодов. Тогда по условию задачи должно быть x – y = 3y или x = 12y, т. е. у каждой грации до встречи с музами число плодов было кратно 12.

10. Если x – груз мула, то (x-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (x-2). С другой стороны, x+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т. е. x-3. Таким образом, x+1 = 2(x – 3) x=7 – груз мула, x-2=5 -груз осла.

11. 12/25 дня.

12. Имение следует разделить между сыном женой и дочерью пропорционально числам 4:2:1.

13. 4 9 2

      3 5 7

      8 1 6

14. 23 + 105t.

15. 23 разновидности.

16. Применив метод инверсии (правило обращения), получим;

1) 2 * 10 = 20; 2) 20 – 8 = 12 3)12*12  = 144;

4) 144 + 52 = 196; 5)  6) 14 +7 = 21;

7) 21 *7=147; 8) 147-63  = 84; 9) 84 : 3 = 28.

17. Сначала торговцы решили продавать свои апельсины по 5 копеек за каждые 7 штук. Первый торговец продал 7 апельсинов и выручил 35 копеек. Второй торговец продал 7 апельсинов и выручил 20 копеек. Третий торговец продал 7апельсинов и выручил 5 копеек. После этого у первого торговца остался 1 апельсин, у второго – 2 апельсина, у третьего – 3 апельсина. Оставшиеся апельсины торговцы решили продать по 15 копеек за штуку. Первый торговец выручил 15 копеек, а всего 15 + 35 = 50 копеек. Второй торговец выручил 30 копеек, а всего 20 +30 = 50 копеек. Третий торговец выручил 45 копеек, а всего 45 + 5 = 50 копеек.

18. Каждый из сыновей должен получить по 7 бочонков. Все же вино можно представить себе так: 7 полных бочонков равны 14 полным наполовину бочонкам, плюс 7 полных наполовину бочонков, т. е. всего 21 полный наполовину бочонок. Следовательно, каждый из сыновей должен получить по 7 полных наполовину бочонков вина. Это можно сделать следующим образом:

Полных бочонков. Пустых бочонков. Полных наполовину бочонков

1 сын 2 3 2

2 сын 2 3 2

3 сын 3 1 3

19. Так как голов 25, всех гусей и поросят 25 штук. Если бы на дворе гулял только одни гуси, то у них было бы 50 ног. На самом деле ног у всех обитателей скотного двора 70. Следовательно, «лишние» 20 ног принадлежат гулявшим на дворе поросятам, у каждого из которых на 2 ноги больше, чем у гуся. Значит, поросят было 20: 2 = 10, а гусей 25 – 10 =15.

20. В 5-фунтовый горшок хозяйка доложила масла из 8-фунтового горшка, в котором осталось такое количество масла, которое требовалось.

21. Деду-74 года и 8 месяцев, отцу-38 лет и 6 месяцев, сыну – 18 лет и 8 месяцев.

Результаты социологического опроса

Вопросы проекта:

1. Что такое старинная математическая задача?
2. Когда и кем был написан первый учебник по математике?
3. Кто такой Леонтий Филиппович Магницкий?
4. Какие старинные задачи вы знаете?

Старинные задачи по математике

Выполнила

Учитель математики

Кронштатова Ирина Юрьевна

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

Гипотеза

старинные

задачи нельзя решать современными методами

Цель работы

• Изучить различные виды старинных задач
• сравнить методы решения задач из первых учебников математики с современными

методами

• Сделать выводы

Задачи

• познакомиться со способами решения старинных задач авторов первых учебников математики;
• решить старинные задачи более привычным для нас способом – путем составления и решения уравнений;
• развивать логическое мышление, умение анализировать, сопоставлять факты, отстаивать свою точку зрения, делать выводы

Актуальность

На сегодняшний день старинные задачи необычны для современного ученика и поэтому позволяют проверить сообразительность и умение решать неординарные задания, мотивируют учащегося на изучение математики

из истории

Еще в древние века математика занимала основное место в умах ученых и благодаря сохранившимся рукописям у нас есть возможность проследить за развитием математической мысли

и возможность порешать

старинные задачи и

сравнить их решение с

современным решением

из истории

Наиболее древние письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н. э.

Математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии

Первый печатный учебник математики на русском языке появился в 1703 году. Это была «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого. 50 лет это был единственный русский учебник математики. М.В.Ломоносов назвал его «вратами всей учености».

Задача из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 г. до н. э.).

“Количество и его четвертая часть дают вместе 15”. Найди количество.

В папирусе Ахмеса задача решается “методом ложного положения”. Решение начинается так: “Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5”. Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4. Так и получается неизвестное 12.

Решение с помощью уравнения

• Пусть х это само число
• Тогда его четвёртая часть это 1/4х или 0,25х
• Составляем уравнение

х +0,25х =15

1,25х = 15

х = 15 : 1,25

х = 12

Ответ: 12

Задача Пифагора (около 580-501 г. до н.э.)

“Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: “Половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого, есть три женщины”. Сколько учеников посещало школу Пифагора?”

Решение пифагорейцев

1-1/2 -1/4 -1/7 =1-25/28 =3/28. Три женщины составляют 3/28 всех учеников школы, значит 3:3/28 =3х28/3 =28. Ответ: 28 учеников .

Решение с помощью уравнения

Обозначим количество всех учеников школы буквой у, тогда 1/2 у+1/4 у+1/7 у +3=у

25/28у +3=у

у-25/28 у=3

3/28 у=3

у=3:3/28

у=28

Ответ: в школе Пифагора 28 учеников.

Как разделить орехи? Из книги Магницкого Л. Ф. 1703 год

  Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?

Решение из книги

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях. Значит, большая часть должна содержать в 3 x 4 = 12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей части. Поэтому меньшая часть должна содержать 130 : 13 = 10 орехов, а большая 130 — 10 = 120 орехов.

Решение с помощью уравнения

• Пусть меньшая часть это х
• Тогда большая часть это 130 – х
• Составим уравнение

(130 – х): 3 = 4х

130 – х = 4х *3

130 –х = 12х

13х =130

Х= 10, 10 орехов меньшая часть, тогда 130-10 = 120 орехов большая часть

Старинная китайская задача

В клетке находится неизвестное

число фазанов и кроликов. Известно,

вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги

Узнать число фазанов

и число

кроликов .

Логическое китайское решение

Представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? — 70 (35·2 = 70). — Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? — Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов. — Сколько их? — 24 (94 – 70 = 24). — Сколько же кроликов? — 12 (24:2 = 12). — А фазанов? — 23 (35 – 12 = 23).

Решение с помощью уравнения

• Пусть х – это кролики, тогда

(35-х) – это фазаны.

• Посчитаем ноги: 4х +2(35 – х) =94

4х +70 – 2х = 94

2х + 70 = 94

2х = 94 – 70

2х =24

Х = 12 т. е. кроликов 12,

а фазанов 35 – 12 = 23

Воз сена из книги Магницкого Л. Ф.

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца за три месяца.

За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена.

Решение из книги

Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съедает 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съедает 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съедает 4 воза сена. Вместе же они за год съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22=6/11 (шесть одиннадцатых) месяца .

Решение с помощью уравнения

Пусть стог сена – это 1.

Тогда скорость, с которой лошадь поедает сено 1 стог в месяц

У козы скорость1 стог за 2 месяца, т. е. – 1/2

У овцы скорость 1 стог за 3 месяца, т. е. – 1/3

(1 +1/2 + 1/3) *T = 1

T =1 : (1 +1/2 + 1/3)

T =1 : 11/6

T =6/11 месяца

Ответ : 6/11 месяца

Занимательные задачи

• Задумайте число
• Прибавьте 2
• Результат умножьте на 3
• Вычтите 5
• Вычтите задуманное число
• Умножьте на 2
• Вычтите 1
• Назовите мне результат

« Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», – писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном

«Всеобщая арифметика»

Метод уравнения

Результаты

• Изучили историю возникновения старинных задач;
• Изучили различные виды старинных задач;
• Сравнили решение старинных задач с современными методами;
• Ознакомились с нетрадиционными методами решения задач.

Вывод

Гипотеза о том, что старинные задачи нельзя решать современными методами не подтвердилась .

Да, надо математику любить

И не считать ученье за мучение!

Всё в жизни пригодится, ты учись,

Учись и не жалей на то мгновения!

Источники информации

• Олехник С.Н. Старинные занимательные задачи. Москва. 1988г.
• Петраков И.С. Математика для любознательных. Москва. 1990г.
• Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение, 1989.
• Нагибин Ф.Ф., Капин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся 4-8 кл. сред шк. – М.: Просвещение, 1988.
• Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М. 1980.
• http://matematika.gym075.edusite.ru/zadachki/denegnir-racheti-1.html
• http://www.pavelbers.com/Arifmetika%20Magnizkogo.htm
• http ://kopilkaurokov.ru /
• http:// igraemsdetmy.ru
• http://uslide.ru /

Благодарю за

внимание

Решение старинных задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Презентация
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

I.Введение

Математика предмет очень интересный, но не простой. Не всем людям он дается одинаково. Некоторым дается очень легко, кому – то труднее, а кто – то совсем не умеет решать задачи. А как у вас дела с математикой? Чтобы ответить на этот вопрос проверим вашу логику. Свою работу я хочу начать с задачи- загадки.

Шла баба в Москву и повстречала 3 мужиков. Каждый из них нёс по мешку, в каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Москву?

Удивительно то, что подобные задачи встречаются в совершенно разных источниках: в папирусах египтянина Ахмеса, у Леонарда Пизанского и в «Школьной арифметике» Даниэля Адамса совсем немного измененные. Значительные преимущества имеет математика перед другими предметами, потому что изучать ее, заниматься ею можно с ранних лет. Многие открытия в математике были сделаны, да и сейчас делаются людьми, еще очень молодыми, не достигшими тридцати, а иногда и двадцати лет.

Выбрана тема о старинных задачах, потому что они показались мне труднее тех, которые мы решаем на уроках. Чтобы справиться с ними, надо проявить сообразительность, смекалку, так как обычных методов тут может и не хватить. Необходимы настойчивость и целеустремленность, без этих качеств нельзя добиться успеха в любом деле, не только в математике.

Цель работы: выбор более удобного способа решения математических задач.

Задачи:

1. Познакомиться с занимательными старинными задачами;

2. Сравнить «старые» и «новые» способы решения задач;

3. Научиться применять в жизненных ситуациях простые арифметические решения.

План исследования:

1. Найти старинные задачи.

2. Узнать способ их решения по-старинному, без букв.

3. Перевести с родного языка на алгебраический.

4. Сравнить эти способы решения.

5. Сделать выводы.

II. Основная часть.

1.Задачи Ахмеса и подобные задачи на Руси.

В древнейших рукописях египтян (около 4 тысяч лет) сохранился папирус Ахмеса. В нём даются решения боле 80 задач на различные вычисления, которые могут понадобиться на практике. Некоторые из этих задач показались бы довольно сложными ученику- старшекласснику нашей школы. Представляете себе, как трудно было их решить 4 тысячи лет назад! Ведь у древних египтян не было ни удобного способа записи чисел, ни наших правил арифметических действий, ни таблицы умножения. Большая часть задач папируса Ахмеса относится к арифметике: задачи на арифметические действия, на пропорциональное деление и т. д. При этом сгруппированы они не по математическому содержанию, а по тому, о чём в них идёт речь.

В Древнем Египте ещё не знали и не подозревали о том, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как с известными величинами. С дробями у них тоже были сложности. Однако египтяне придумали метод решения таких задач, который назвали «методом кучи».

В папирусе Ахмеса предлагается задача, имеющая отвлечённый характер. Например:В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений, на каждом растении 7 мер зерна. Сколько всех вместе?Тут интересно, что в задаче надо ответить на вопрос: сколько всех вместе? Автора задачи не интересует, о каких вещах или предметах идёт речь, однородны они или разнородны,- важно только их общее количество. Значит, очень давно египтяне уже представляли себе не число кошек, или колосьев, или мышей, а именно само по себе число. Но ведь это совсем не так просто. Некоторые задачи были не слишком сложны, но вели к интересным выводам. Такова задача, о которой я сказала только что. В ней надо сосчитать сумму пяти чисел, из которых каждое следующее в 7 раз больше предыдущего. Чтобы решить её, надо было только терпеливо умножать на 7 и складывать.

В XIII веке итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначчи, привёл в своей книге задачу очень похожую на задачу Ахмеса. Вот ее содержание. Семь старух отправились в Рим. У каждой старухи по семи ослов, каждый осёл несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов? От задачи Ахмеса она отличается добавлением одного слагаемого.

На Руси также решались похожие задачи. Ещё в XIX веке очень популярной была задача, которую и сейчас загадывают нередко.

«Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей.

На каждом костыле по семи сучков.

На каждомсучке по семи кошелей.

В каждом кошеле по семи пирогов.

В каждом пирогепо семи воробьёв.

Сколько всего?»

А ведь это та же задача Ахмеса! Прошли тысячи лет, а задачу до сих пор решают. Но такие суммы теперь часто встречаются и получили особое название: сумма геометрической прогрессии и каждый девятиклассник без труда и очень быстро решит ее.

Если сравнить их решения, вы увидите, что современное решение гораздо короче и легче, так как в нем используют формулу и вместо 15 действий, выполняют всего 5. Убедитесь сами.

Старинное решение задач:

7 + 7*7 + 7*7*7 + 7*7*7*7+7*7*7*7*7 =19607.

Современное решение задач:

по формуле суммы первых 5 членов геометрической прогрессии:

S₅ = 7*(7⁵ – 1) = 19607.

7 – 1 Ответ: всех вместе 19607.

2. Особенности ряда математических задач Древней Руси и возможные способы их решения в современной практике решения задач.

В большинстве русских математических рукописей и печатных книг старого времени встречаются занимательные задачи. Много таких задач можно найти в “Арифметике” Л. Ф. Магницкого.

Каждая задача облекается автором в интересную, а чаще практическую форму. Одной из самых ярких характеристик задач «Ари­фметики» является прикладной характер. Самым главным потребителем арифметических знаний являлось купечество, поэтому практически вся третья часть задач была посвящена тройно­му правилу и представляла из себя решение задач торговли.

Вспомним о том, что славяне без малого тысячу лет назад уже отлично владели четырьмя действиями арифметики, свободно обращались с довольно большими целыми числами и с маленькими дробями. Думаю, что именно поэтому, все задачи решались путем логических рассуждений. Рассмотрим задачу о цене кафтана, которую не всякий школьник быстро решит.

Задача № 1. “Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублев и кафтан. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчет 5 рублев и кафтан, и знать надлежит, какой цены оный кафтан был”.

I способ. Можно вычислить по действиям, рассуждая логически.

Работник не получил 12 – 5 = 7 (руб.) за 12 – 7 = 5 (месяцев),

поэтому за один месяц ему должны были платить 7:5 = 1,4 (руб.), а за 7 месяцев он должен получил 7 ·1,4 = 9,8 (руб.), так как деньгами он получил 5 рублей, значит кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (руб.).

II способ. Решаем, используя пропорции.

Пусть x руб. — стоимость кафтана, (х+12) он должен получить за год, а

(х+12) :12 в месяц. Получил же он (х+5), а в месяц (х+5):7

Получим уравнение, применяя основное свойство пропорции

(x + 12):12 = (x + 5):7

Решим уравнение Х = 4,8 . Ответ: 4,8 руб. стоит кафтан.

3. «Правило ложного положения»

Одним из способов решения задач часто использовался способ, который основан на предположении. Этим способом сейчас не пользуются или пользуются очень редко. Рассмотрим его на примере двух задач, которые сейчас используют в «Занимательной математике»

Старинные русские задачи из книги Л.Ф.Магницкого «Арифметика»

Задача 1. Летела стая гусей, а навстречу им ещё гусь. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столька, да ты, гусь вот тогда нас было бы сто гусей». Египетский математик Ахмес, решая эту задачу, сказал бы: «Считай с четырёх». Это значило: «Предположи, что в стае было 4 гуся». Тогда по условию задачи получим:

4 + 4 + 2 + 1 = 11 (гусей).

А так как нужно получить не 11, а 99 гусей (100 – 1 = 99; 99 : 11 = 9),то надо взятое вначале число 4 умножить на 9. Получится правильный ответ 36 гусей.

Поскольку вначале делается неправильное предположение, что число гусей равно 4, этот способ называют теперь «Правилом ложного положения» или «фальшивым правилом».

Рассмотрим перевод задачи с родного языка на алгебраический

На родном языке	На языке алгебры
Сколько в стае гусей?	Х
Если нас столько, да ещё столько,	Х +Х
да ещё полстолька,	Х +Х + ½ Х
да четверть столька,	Х +Х + ½ Х +¼Х
да ты, гусь,	Х +Х + ½ Х +¼Х + 1
тогда было бы 100 гусей.	Х +Х + ½ Х +¼Х + 1 = 100
Сколько гусей было в стае?	Х = 36.

Ответ: 36 гусей

«Правилом ложного положения» или «фальшивым правилом» решается еще одна задача из книги Магницкого.

Задача 2. Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?

Делаем первое предположение: учеников было 24. Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолько, четверть столько и 1», имели бы:

24+24+12+6+1=67, то есть на 100-67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи), число 33 называем «первым отклонением».

Делаем второе предположение: учеников было 32.

Тогда имели бы:

32+32+16+8+1=89, то есть на 100-89=11 меньше это «второе отклонение».

В случае, если при обоих предположениях получилось меньше, даётся правило: помножить первое предложение на второе отклонение, а второе предложение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений:

(32*33 – 24*11) : (33 – 11) =36.

Учеников было 36.

Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию.

Например:

Первое предположение: 52.

52+52+26+13+1=144.

Получили на 144-100 =44 больше (первое отклонение).

Второе предположение: 40.

40+40+20+10+1=111.

Получили на 111-100=11 больше (второе отклонение).

(40*44-52*11) 🙁 44-11 ) =36.

Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы.

При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко обосновываются.

Перевод задачи с родного языка на алгебраический:

На родном языке	На языке алгебры
Сколько в классе учеников?	Х
Если учеников столько, да ещё столько,	Х +Х
да ещё полстолька,	Х +Х + ½ Х
да четверть столько,	Х +Х + ½ Х +¼Х
да твой сын,	Х +Х + ½ Х +¼Х + 1
тогда будет 100 учеников	Х +Х + ½ Х +¼Х + 1 = 100
Сколько было у учителя учеников?	Х = 36.

Ответ: 36 учеников.

Задача 3. Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

Допустим, что в клетке были только фазаны. У фазана две ноги, значит, всего было бы 2 . 15 = 30 (ног).

В действительности ног было 42, значит 12 «лишних» (42 – 30 = 12).

Чьи это ноги? Конечно, кроличьи.

Но у каждого кролика на 2 ноги больше, чем у фазана, значит, эти «лишние» 12 ног принадлежат 6 кроликам

(12 : 2 = 6).

Но если кроликов было 6, то фазанов 15 – 6 = 9.

Действительно, у 6 кроликов 24 ноги, у 9 фазанов 18 ног. Всего 24 + 18 = 42 (ноги), что соответствует условию задачи. В клетке было 6 кроликов и 9 фазанов.

Решим задачу, применяя буквы:

На родном языке	На языке алгебры
В клетке сидели фазаны и	Х
кролики.	Y
Сосчитали головы. Их оказалось 15.	Х + Y = 15
Подсчитали ноги. Их было 42.	2Х + 4Y = 42
Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке?	Решаем систему: Х + Y = 15; 2Х + 4Y = 42. Х = 6, Y = 9.

Ответ: 6 кроликов, 9 фазанов.

В рассказе А. П. Чехова «Репетитор» гимназист Егор Зиберов не сумел решить арифметическую задачу, а отец репетируемого ученика, отставной губернский секретарь Удодов, пощелкав на счётах, получил правильный ответ. Попробуем решить эту задача арифметически.

Задача 4. Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а чёрное – 3 руб.? Решение задачи в старину.

Если бы купец приобрёл сукно одного типа, например синее, то он заплатил бы 138*5 = 690 руб. Образовавшаяся разность в 150 руб. получена за счёт того, что чёрное сукно повышено в цене на 2 руб. Значит, чёрного сукна было 150:2 = 75 аршин, а синего было 138-75 = 63 аршина.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин

Решим задачу, применяя буквы

На родном языке	На языке алгебры
Куплено аршин синего сукна,	Х
аршин черного сукна.	Y
Купец купил всего аршин синего и черного сукна	Х + Y = 138
За синее сукно заплатил рублей	5Х
За черное сукно заплатил рублей	3Y
Купец заплатил за всю покупку	5Х + 3Y = 540
	Решаем систему: Х + Y = 138; 5Х + 3Y =540. Х = 63, Y =75.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин.

Современным ученикам проще решить эту задачу с помощью системы с двумя неизвестными, чем подумать логически и решить эту задачу в несколько действий!

4. Задачи на признаки делимости.

Очень интересны и поучительны задачи на применение признаков делимости, на нахождение НОК. Таких задач можно найти множество. Вот несколько из них дошедших до нас, которые можно предложить учащимся 6-7 классов.

1. «Ай да старушка!» (из старинных рукописей). Старуха принесла на рынок кошелку яиц. Не успела разложить их, как богатый купец ненароком зацепил кошелку, и все яйца разбились. Прибежал городовой, ухватил купца и приказал возместить убытки. А тот спрашивает:

– Сколько было всего яиц?

– Не знаю, не считала, – отвечает старушка. – Зато дома я все яйца раскладывала на кучки. Сначала разложила на две кучки, и осталось одно яйцо. Потом на три. Опять одно осталось. Тогда разложила на четыре, на пять, на шесть, на семь кучек, но каждый раз оставалось одно яйцо. В последний раз на восемь разложила. И что же! Опять лишнее яйцо. Я рассердилась и больше не считала…

– Ясно, – сказал купец и протянул деньги.

– Правильно, – подтвердил городовой, и все разошлись добром.

А ты сможешь высчитать, сколько было яиц в кошелке?

2. В легенде рассказывается, что когда один из помощников Магомета – Мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:

– Какое число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка?

Мудрец ответил:

– Умножь число дней в неделе на число дней в нужном месяце и на число месяцев в году (считая, что в месяце 30 дней).

Проверь, прав ли Хозрат Али?

3. «Сколько яиц в лукошке?» (из старинных рукописей). Пришел крестьянин на базар и принёс лукошко яиц. Торговцы его спрашивают: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, и одно лишнее осталось на земле, и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 4 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 5 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 6 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочтите мне, сколько в том лукошке яиц было?”

Решение: НОК (2, 3, 4, 5, 6)= 60; 60∙2+1=121 не делится на 7 , 60∙3+1= 181 не делится на7…. 60∙5+1=301 делится на 7

4. «Угадайте число!» (из старинных рукописей).

Угадайте число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, от деления на 3 даёт в остатке 2, от деления на 4 даёт в остатке3, от деления на 5 даёт в остатке 4, от деления на 6 даёт в остатке 5, а на 7 – делится без остатка.

Решение:

НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60, 60 – 1 = 59 – не делится на 7, 60 *2 -1 =119 делится на 7.

Ответ: 119.

Ш. Вывод.

В работе решено несколько задач.

1. Найти занимательные задачи в старых математических рукописях и печатных руководствах. Мне удалось познакомиться со старинными способами решения, требующими логического мышления, продемонстрировать различные способы решения таких задач в современной математике.

2. Показать, в каких жизненных ситуациях и как стоит принимать решения: с чего начинать, какими соображениями руководствоваться при этом, какие выводы сделать, исходя из полученных результатов.

3.Научиться старинным методам решения задач. То, что этому можно научиться, мне кажется, уже ни у кого не должно вызывать сомнений.

Сравнивая старинные и современные способы решения, сделан вывод:

1. В старину вначале делали неправильное предположение, т.е. решали задачи по «Правилу ложного положения». Такой способ требовал большой сообразительности, поэтому решать задачи лишь некоторые мудрецы.

2. С помощью букв условие задачи люди научились записывать в виде формул, уравнения, систем уравнений, что намного облегчает их решение.

Трудности возникают только при составлении уравнений. Решить же уравнение и систему может почти каждый современный школьник.

Школьникам можно предложить следующие рекомендации при решении задач:

Установить связи между величинами или показать, что их нет вообще;

Выразить одну величину через другую или через несколько величин;

Выяснить, не являются ли одни величины функциями других.

IV. Литература:

1. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М. 1980

2. Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение, 1989.

3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.

4.Internet источник: http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2173&Itemid=34

.

Просмотров работы: 3542