Как составить таблицу для задачи на работу – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

2-й способ решения — без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

Напомню, что первый работал на ( displaystyle 2) часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить ( displaystyle 2):

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2)

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час, – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть производительности складываются:

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}})

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: ( displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Источник

Здравствуйте, дорогие читатели, подписчики и гости канала. В этом выпуске рассмотрим последний тип текстовых задач. Задачи на работу и совместную работу.

Задача №1

В этой задаче за Х возьмем то, что стоит в вопросе задачи. По тексту задачи заполним таблицу:

Задачи такого типа решаются аналогично задачам на скорость, время, расстояние. Обобщенная таблица для решения текстовых задач.

Взяв за Х производительность первого рабочего за час, и записав в четвертый столбец сколько всего нужно сделать деталей каждому рабочему, заполним столбец времени, за которое каждый рабочий выполнит всю работу. Теперь составим уравнение относительно времени:

Ко времени первого рабочего прибавляем 3 часа, чтобы уравнять их время работы.

Решим уравнение:

Задача №2

При решении этой задачи, за Х возьмем то, что указано красным. Составим таблицу:

Заполнив по тексту задачи колонку производительности и объема, найдем время в течении которого заполнит резервуар каждая труба.

Составим уравнение по времени. Уравняем время заполнения резервуары первой и второй трубой.

Первая заполняет резервуар дольше чем вторая на 3 минуты

Решим уравнение:

Задача №3 Совместная работа.

Решать эту задачу будем без таблицы.

Пусть Х – количество деталей, изготавливает первая бригада, тогда 4Х – изготовила вторая бригада. Третья бригада изготовила на 5 деталей больше чем вторая т.е. 4Х+5. Все бригады вместе изготовили 266 деталей. Составим уравнение:

Спасибо, что дочитали. На этом цикл решения текстовых задач заканчиваем. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Путеводитель по каналу здесь

Источник

Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.

Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа и следовать трем простым шагам.

Формула, которую обязан знать каждый
Как решать задачи на работу: основные правила
Решение задачи на работу: 3 простых шага
Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
Пример решения задачи на совместную работу – 2 способа

Формула, которую обязан знать каждый

Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу: Zadachi na rabotu Работа – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.

Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.

Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.

Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время: Zadachi na rabotu1

Как решать задачи на работу: основные правила

При решении задач на работу нужно знать следующие правила:

Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность

Решение задачи на работу: 3 простых шага

Решение задачи на работу сводится к трем шагам:

Задаем переменную Х и составляем таблицу
Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ

Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.

Примеры решения задач на работу: от простого к сложному

Задача 1

Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?

Решение:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого. Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность. Zadachi na rabotu2 2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа. Следовательно, получаем следующее равенство: Zadachi na rabotu3 Решаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:

120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х

120х – 360 + 2х² – 6х – 120х =0

2х² – 6х – 360 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

х² – 3х – 180 = 0

D = 729

х₁ = 15

х₂ = -12

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х₂ нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час

Задача 2

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.

Решение:

1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:

Zadachi na rabotu4 2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: Zadachi na rabotu5 Теперь решаем два уравнения: Zadachi na rabotu6 Решаем первое уравнение:

180/х = 120/ (х -1)

180 (х-1) = 120х

180х – 120х = 180

60х = 180

х₁ = 3

Решаем второе уравнение:

180/х = 120/ (х +1)

180 (х+1) = 120х

180х – 120х = -180

60х = -180

х₂ = -3

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х₂ нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.

Ответ: 3 литра в минуту

Задача 3

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.

Решение:

1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:

Zadachi na rabotu7 2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно: Zadachi na rabotu8 Решаем полученное уравнение:

300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)

300х – 3х² + 15х – 300х + 1500 = 0

-3х² + 15х + 1500 = 0

Делим обе части уравнения на -3:

х² — 5х — 500 = 0

Находим дискриминант:

D = 2025

х₁ = 25

х₂ = -20

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).

Подставляем полученное значение Х:

Подставляем х₁: 25 – 5 = 20

Подставляем х₂: -20 – 5 = -25

Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.

Ответ: 20 литров в минуту.

Примеры решения задачи на совместную работу

Задача 4

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.

Решение. Способ 1:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15. Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х. Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы. Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:

Zadachi na rabotu9 2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15: Zadachi na rabotu10 Решаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:

15 + 12 = х

х = 27

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.

Ответ: 27 часов.

Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.

Решение. Способ 2:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х₁, а производительность второго рабочего – за х₂. Следовательно, их общая производительность равна х₁ + х₂. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х₁ + х₂) = 1.

Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х₁), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х₂). Таким образом:

4х₁ = 5х₂ Zadachi na rabotu11

2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения: Zadachi na rabotu12 Из второго уравнения выразим х₁ = 5х₂ / 4 и подставим в первое уравнение:

15 * (5х₂ / 4) + 15 х₂ = 1

75 х₂ / 4 + 15 х₂ = 1

Умножаем обе части уравнения на 4:

Zadachi na rabotu13 3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х₁. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х₁. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий:Ответ: 27 часов.

Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.

Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь. Еще больше материалов по подготовке к ЕГЭ

Источник

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: $A=p cdot t$ . Здесь $A$ — работа, $t$ — время, а величина $p$ , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

$A=p cdot t$ , то есть работа $=$ производительность $cdot$ время. Из этой формулы легко найти $t$ или $p$ .
Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
В качестве переменной $x$ удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

1. Заказ на $110$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на $1$ деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: $110$ . В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за $x$ . Тогда производительность первого рабочего равна $x+1$ (он делает на одну деталь в час больше). $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle A}{displaystyle p}$ , время работы первого рабочего равно $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}$ , время работы второго равно $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$ .

	$p$	$t$	$A$
первый рабочий	$x+1$	$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}$	$110$
второй рабочий	$x$	$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$	$110$

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, $t_1$ на $1$ меньше, чем $t_2$ , то есть

$t_1=t_2-1$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}-1$

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

$x^2+x-110=0$

Дискриминант равен $441$ . Корни уравнения: $x_1=10$ , $x_2=-11$ . Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их 🙂 Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: $10$ .

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за $12$ дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную $x$ удобно обозначить производительность. Пусть $x$ — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за $y$ .

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, $2x=3y$ . Отсюда $y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}x$ .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за $12$ дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

$left( x+y right) cdot 12 = 1$

$left( x+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}x right) cdot 12 = 1$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 5}{displaystyle 3}x cdot 12 = 1$

$20x=1$

$x=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 20}$ .

Итак, первый рабочий за день выполняет $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 20}$ всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится $20$ дней.

Ответ: $20$ .

3. Первая труба пропускает на $1$ литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом $110$ литров она заполняет на $2$ минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом $99$ литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за $x$ . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна $x+1$ , поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу

	$p$	$t$	$A$
первая труба	$x$	$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$	$110$
вторая труба	$x+1$	$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 99}{displaystyle x+1}$	$99$

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, $t_1-t_2=2$ . Составим уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 99}{displaystyle x+1}=2$ и решим его.

Ответ: $10$ .

$4$ . Андрей и Паша красят забор за $9$ часов. Паша и Володя красят этот же забор за $12$ часов, а Володя и Андрей — за $18$ часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть $x$ — производительность Андрея, $y$ — производительность Паши, а $z$ — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за $1$ — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей	$x$	$1$
Паша	$y$	$1$
Володя	$z$	$1$
Вместе	$x+y+z$	$1$

Андрей и Паша покрасили забор за $9$ часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
$left( x+y right) cdot 9=1$
Аналогично,
$left( y+z right) cdot 12=1$
$left( x+z right) cdot 18=1$
Тогда
$x+y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 9}$
$y+z=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 12}$
$x+z=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 18}$ .
Можно искать $x$ , $y$ и $z$ по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
$2left( x+y+z right)=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 9}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 12}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 18}$
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за $8$ часов.
Ответ: $8$ .

Читаем дальше: Задачи на проценты

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи на работу на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

№ 614.

Один инструктор может выполнить задание на 5 ч.
быстрее другого. Оба вместе они выполняют это
задание за 6ч. За сколько часов каждый из них
выполнит задание?

В задачах “на работу” три величины:

1) работа; 2)время; 3)производительность – работа,
выполненная за единицу времени.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (ч)	Производительность
Первый инструктор	1	X
Второй инструктор	1	Х+5
Совместно	1	6

Заметив по таблице, что совместная
производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) = Умножим обе
части на 6Х (Х + 5) ? 0, при Х ? 0 и Х ? -5, получим:

6 (Х+5) + 6Х = Х (Х+5),

6Х + 30 + 6Х = Х² + 5Х,

Х² – 7Х – 30 = 0;

Х₁= -3; Х₂ = 10.

2) -3 и 10являются корнями уравнения =.

3) -3 не удовлетворяет условию задачи, т.к. время
не может быть отрицательным, значит, первый
инструктор выполнит задание за 10 ч, а горой за 15 ч.

Ответ: 10ч; 15ч.

№615. Можно предложить учащимся решить
самостоятельно.

Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За
сколько дней может выполнить каждый рабочий,
если одному из них для выполнения всей работы
потребуется на 10 дней больше, чем другому?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (дни)	Производительность
Первый рабочий	1	X
Второй рабочий	1	Х+10
Совместно	1	6

Заметив по таблице, что совместная
производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) = Умножим обе
части на 12Х (Х + 10)

12Х + 120 + 12Х = Х²+ 10Х;

Х² – 14Х – 120 =0;

Х₁ = -6; Х₂ = 20;

2) -6 не удовлетворяет условию задачи, значит, за
20 дней выполнит всю работу первый рабочий, а
второй – за 30 дней.

Ответ: 20дней, 30 дней.

№616. Предложить задачу на дом.

Две бригады, работая совместно, закончили
отделку квартир в доме за 6 дней. Сколько дней
потребовалось бы каждой бригаде на выполнение
этой работы, если одной для этого требуется на 5
дней больше чем другой?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (дни)	Производительность
Первая бригада	1	X
Вторая бригада	1	Х+5
Совместно	1	6

Заметив по таблице, что совместная
производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) =;

Ответ: 10 дней, 15 дней.

Используя этот способ, можно решить задачу.

№703*.

Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать
хлопок с поля на 9 дней скорее, чем один первый
комбайн, и на 4 дня скорее, чем один второй. За
сколько дней каждый комбайн может собрать весь
хлопок?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (дни)	Производительность
Первый комбайн	1	X+9
Второй комбайн	1	Х+4
Совместно	1	6	или

1) Составим и решим уравнение

=; умножив на Х
(Х+9) + (Х+4) ? 0, получим:

2Х² + 13Х = Х² + 4Х +9Х + 36,

Х² = 36;

Х_1,2 = +6;

2) – 6 не удовлетворяет условию задачи. За 6 дней
соберут весь хлопок два комбайна; за 10 дней –
второй комбайн и за 15 дней – первый.

Ответ: 15 и 10 дней.

№704*.

Для наполнения бассейна через первую трубу
потребуется на 9ч. больше времени, чем при
пополнении через первую и вторую трубы, и на семь
меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько
часов наполниться бассейн через обе трубы?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (ч)	Производительность
Первая труба	1	X+9
Вторая труба	1	(Х+9)+7
Совместно	1	6	или

1) Составим и решим уравнение

х_1,2 = +12.

x = -12 – не удовлетворяет условию задачи. За 12
часов наполнится бассейн.

Ответ: 12ч.

№706*.

Два слесаря получили заказ. Сначала 1ч работал
первый слесарь, затем 4ч они работали вместе. В
результате было выполнено 40% заказа. За сколько
часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если
первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше,
чем второму?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (ч)	Производительность
Первый слесарь	1	X
Второй слесарь	1	(Х – 9)
Совместно		4

1) Первый слесарь, работая один, за 1 час выполнил
работу , и
работая совместно, выполнили работу , что по условию
равно 40% всего заказа, т.е.

2,5 не удовлетворяет условию задачи, т.к. второй
слесарь работал на 5 ч меньше, то есть 2,5 – 5 = – 2,5,
что не выполнимо.

2) За 25 ч. может выполнить заказ первый слесарь и
за 20 ч. второй слесарь.

Ответ: 25ч и 20ч.

Алгебра 9 класс. Учебник авторов Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк, К.И Нешков, СБ. Суворова.

№1150. (Задачи повышенной трудности).

За сколько часов может выполнить работу каждый
из трех рабочих, если производительность труда
третьего рабочего равна полусумме
производительностей труда первого и второго?
Известно, что если бы третий рабочий проработал
один 48 ч., то для окончания работы первому
требовалось бы 10ч., а второму 15ч.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (ч)	Производительность
Первый рабочий	1	10	Х
Второй рабочий	1	15	Y
Третий рабочий	1	48

1) работа,
выполненная вторым и третьим рабочими.

работа,
выполненная первым и третьим рабочими.

Составим и решим систему:

Таким образом,

–
производительность первого рабочего,

–
производительность второго рабочего,

–
производительность третьего рабочего.

3) = 50ч –
время первого рабочего,

= 75ч – время
второго рабочего,

= 60ч – время
третьего рабочего.

Ответ: 50ч; 75ч; 60ч.

№324*

Бассейн наполняется через первую трубу на 5ч
быстрее, чем через вторую. Бассейн можно
наполнить, если открыть сначала одну первую
трубу на 5ч, а затем одну вторую на 7,5ч. За сколько
часов наполнится бассейн при совместной работе
обеих труб?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности	Работа (1)	Время (ч)	Производительность	Выполненная работа
Время (ч)	Работа (1)
Первая труба	1	X		5
Вторая труба	1	Х+5		7,5