гречиху фасуют два дозатора. В один дозатор засыпают (200) кг гречихи, и он расфасовывает крупу в пакеты за (20) мин. В другой засыпают (330) кг, и он расфасовывает крупу за (30) мин. Какой из дозаторов работает быстрее?
Сначала найдём, скорость каждого дозатора.
Эту задачу можно представить в виде таблицы:
— килограммов гречихи расфасовывает первый дозатор за (1) мин.
— килограммов гречихи расфасовывает второй дозатор за (1) мин.
Значит, работает быстрее второй дозатор.
2-й способ решения — без таблицы
Как обойтись без составления таблицы?
Сразу составить уравнение.
Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.
Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.
Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.
Напомню, что первый работал на ( displaystyle 2) часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить ( displaystyle 2):
( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2)
То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.
А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.
Во-первых, сравним формулы:
| Движение | Работа |
| ( displaystyle v=frac{S}{t}) | ( displaystyle P=frac{A}{t}) |
| Скорость движения | Скорость выполнения работы, т.е. производительность |
| Пройденный путь | Выполненная работа |
| Потраченное на движение время | Потраченное на работу время |
Теперь рассмотрим задачу:
Пример №1
Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.
Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?
Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).
Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:
( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).
То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.
Как решать задачи на совместную работу
Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).
Пример №2
Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).
За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?
Решение
Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.
Придумал?
Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).
А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.
Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!
Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.
Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.
Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).
С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час, – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть производительности складываются:
( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}})
То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: ( displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}).
Итак,
( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).
Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):
( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)
Итак, правило:
При совместной работе производительности складываются
А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.
Пример 8
На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?
Решение:
Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).
Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).
Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).
( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.
То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).
Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:
- Зачастую задачи подобного рода вызывают затруднение у учеников, потому что им не всегда доступно объясняют, как составлять уравнения, через которые будут решаться задачи. В этой статье на примерах рассмотрим, как решать задачи на совместную работу.
Пример 1.
- Для удобства всегда стоит заносить данные в таблицу. Таблицу удобнее всего строить через отдельные основные условия. Первое условие у нас касается отдельной производительности каждой из бригад. А второе условие говорит про их совокупное производство. Так и отразим в таблице.
- Немаловажно, в первом условии неизвестной обозначить производительность той бригады, через которую могут быть выражены производительности оставшихся бригад. В данной задаче это 2 бригада.
- Далее составляем уравнение. Очевидно, что из совокупности отдельно изготовленных деталей складывается общее количество. Из-за того, что мы изначально выразили все бригады через одну неизвестную, мы сейчас получили уравнение с одной неизвестной, которое будет легко решить.
- Домножаем всё на 4, из-за коэффициента 1/4 при неизвестной. Всё же с целыми числами работать приятнее. И вычисляем, сколько деталей изготовила вторая бригада. Однако, нас в ответе просят указать разницу в деталях между третьей и первой бригадами.
- Через ранее указанные в таблице зависимости находим количества деталей, произведённые первой и третьей бригадами и вычисляем их разницу.
Пример 2.
- Для начала снова изобразим всё визуально. И если с первой и последней колонками более менее всё понятно, то по началу непонятно, что вписать в третью.
- Некоторые учащиеся по привычке могут взять производительность каждого из трёх мальчиков за x, y и z. И выразить время, которое нам известно как вся работа делённая на производительность. Но тогда получается довольно сложная система с тремя уравнениями и тремя неизвестными.
- Конечно, она вполне решаема, но это довольно муторно и долго, не говоря уже о том, что можно допустить ошибку.
- Поэтому запишем часть, выполненную от всей работы за час. Тогда, если мы сложим все выполненные работы в час за все три случая, мы получим, что за час это выполнили: Игорь и Паша, и Паша, и Володя, и Володя, и Игорь. То есть, каждый из мальчиков учтён два раза.
- Значит, чтобы узнать, сколько они покрасят за час втроём, нужно то, что получили в прошлом действии поделить на 2. А там уже не сложно найти время, за которое они покрасят весь забор. (Не забываем, что время нужно указать в минутах).
- Запомните этот приём, он периодически пригождается в задачах подобного типа.
Пример 3.
- Обозначим за неизвестную количество вопросов в тесте, так как оно одинаково у обоих мальчиков. Известна скорость решения. Значит, зная общее количество вопросов и скорость выполнения в час, можем выразить время для каждого из них.
- Составляем уравнение, учитывая тот факт, что Дима закончил позже на 75 минут. 75 минут переводим в часы (1,25) Так как время у нас в часах.
- И решаем несложное уравнение. Получаем ответ.
Спасибо за прочтение статьи, надеемся, она была понятной и полезной. Если у вас остались вопросы или вы нашли ошибку, можете написать об этом в комментариях. Постараемся как можно скорее ответить.
Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ “Сдам ГИА“.
Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.
Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа и следовать трем простым шагам.
- Формула, которую обязан знать каждый
- Как решать задачи на работу: основные правила
- Решение задачи на работу: 3 простых шага
- Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
- Пример решения задачи на совместную работу – 2 способа
Формула, которую обязан знать каждый
Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу:
Работа – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.
Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.
Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.
Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время:
Как решать задачи на работу: основные правила
При решении задач на работу нужно знать следующие правила:
- Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
- Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
- За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность
Решение задачи на работу: 3 простых шага
Решение задачи на работу сводится к трем шагам:
- Задаем переменную Х и составляем таблицу
- Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
- Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ
Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.
Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
Задача 1
Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?
Решение:
1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого. Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность.
2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа. Следовательно, получаем следующее равенство:
Решаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:
120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х
120х – 360 + 2х2 – 6х – 120х =0
2х2 – 6х – 360 = 0
Делим обе части уравнения на 2:
х2 – 3х – 180 = 0
D = 729
х1 = 15
х2 = -12
3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.
Ответ: 15 деталей в час
Задача 2
Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.
Решение:
1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:
2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: 
Теперь решаем два уравнения:
Решаем первое уравнение:
180/х = 120/ (х -1)
180 (х-1) = 120х
180х – 120х = 180
60х = 180
х1 = 3
Решаем второе уравнение:
180/х = 120/ (х +1)
180 (х+1) = 120х
180х – 120х = -180
60х = -180
х2 = -3
3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.
Ответ: 3 литра в минуту
Задача 3
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.
Решение:
1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:
2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно:
Решаем полученное уравнение:
300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)
300х – 3х2 + 15х – 300х + 1500 = 0
-3х2 + 15х + 1500 = 0
Делим обе части уравнения на -3:
х2 — 5х — 500 = 0
Находим дискриминант:
D = 2025
х1 = 25
х2 = -20
3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).
Подставляем полученное значение Х:
Подставляем х1: 25 – 5 = 20
Подставляем х2: -20 – 5 = -25
Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.
Ответ: 20 литров в минуту.
Примеры решения задачи на совместную работу
Задача 4
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.
Решение. Способ 1:
1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15. Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х. Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы. Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:
2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15:
Решаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:
15 + 12 = х
х = 27
3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.
Ответ: 27 часов.
Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.
Решение. Способ 2:
1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х1, а производительность второго рабочего – за х2. Следовательно, их общая производительность равна х1 + х2. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х1 + х2) = 1.
Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х1), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х2). Таким образом:
4х1 = 5х2
2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения:
Из второго уравнения выразим х1 = 5х2 / 4 и подставим в первое уравнение:
15 * (5х2 / 4) + 15 х2 = 1
75 х2 / 4 + 15 х2 = 1
Умножаем обе части уравнения на 4:
3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х1. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х1. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий:
Ответ: 27 часов.
Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.
Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь. Еще больше материалов по подготовке к ЕГЭ
Учимся решать задачи в 4 классе
«Производительность, время работы, объем
или количество»
№1
Составь краткую запись в виде таблицы для каждой задачи. Реши задачи. Вычисли
и запиши ответы.
а)
На овощной базе конвейер расфасовывал по 4 сетки в минуту. Сколько сеток
картофеля расфасовал конвейер, работая 30 минут?
Производительность
Время работы Объем работы
_______________________________________________________________
Ответ:
_________________________________________________________
б)
На новом станке за 10 часов было изготовлено 200 деталей. Какова
производительность нового станка?
Производительность
Время работы Объем работы
_______________________________________________________________
Ответ: _________________________________________________________
в)
Бригада рабочих асфальтирует в день 600 метров дороги. Сколько дней потребуется
бригаде, чтобы заасфальтировать 3600 метров?
Производительность
Время работы Объем работы
_______________________________________________________________
Ответ:
_________________________________________________________
№2
Реши задачу, представленную в форме таблицы. Вычисли и запиши ответ.
Участники
Производительность Время работы Объем работы
I мастер 6 лодок/день 32 дня
II
мастер ?/день 24 дня одинаковый
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Ответ:
__________________________________________________________
