Как составить таблицу значений функции онлайн

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
2. Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
3. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем “С решением”
4. Нажмите на кнопку “Построить”

Видеоинструкция к калькулятору

Используемые символы

В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a, x, a1, B, X, X1, Y1, A123 и так далее.

Для записи логических операций можно использовать
как обычные символы клавиатуры (*, +, !, ^, ->, =), так и символы, устоявшиеся в литературе (∧, ∨, ¬, ⊕, →, ≡). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите “Показать клавиатуру”), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.

Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().

Обозначения логических операций

• И (AND): & • ∧ *
• ИЛИ (OR): ∨ +
• НЕ (NOT): ¬ !
• Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
• Импликация: -> → =>
• Эквивалентность: = ~ ≡ <=>
• Штрих Шеффера: ↑ |
• Стрелка Пирса: ↓

Что умеет калькулятор

• Строить таблицу истинности по функции
• Строить таблицу истинности по двоичному вектору
• Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
• Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
• Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
• Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
• Строить карту Карно
• Минимизировать ДНФ и КНФ
• Искать фиктивные переменные

Что такое булева функция

Булева функция f(x1, x2, ... xn) — это любая функция от n переменных x₁, x₂, … x_n, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2n строк, где n – число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.

Логические операции

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).

Таблица истинности логических операций

Как задать логическую функцию

Есть множество способов задать булеву функцию:

• таблица истинности
• характеристические множества
• вектор значений
• матрица Грея
• формулы

Рассмотрим некоторые из них:

Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2ⁿ нулей и единиц, где n – число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).

Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c

Способы представления булевой функции

С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:

• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
• Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, ДНФ является функция ¬abc ∨ ¬a¬bc ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.

Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
3. Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
3. Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5… ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6… прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5… строк.
3. Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10… строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12… строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
4. Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
5. Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
6. Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.

Примеры построения различных представлений логических функций

Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬ab∨¬bc∨ca

1. Построим таблицу истинности для функции

---

Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: { 0, 0, 1 } { 0, 1, 0 } { 0, 1, 1 } { 1, 0, 1 } { 1, 1, 1 }

В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:

K₁: { 0, 0, 1 } — ¬a¬bc
K₂: { 0, 1, 0 } — ¬ab¬c
K₃: { 0, 1, 1 } — ¬abc
K₄: { 1, 0, 1 } — a¬bc
K₅: { 1, 1, 1 } — abc

Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

K₁ ∨ K₂ ∨ K₃ ∨ K₄ ∨ K₅ = ¬a¬bc ∨ ¬ab¬c ∨ ¬abc ∨ a¬bc ∨ abc

---

Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: { 0, 0, 0 } { 1, 0, 0 } { 1, 1, 0 }

В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:

D₁: { 0, 0, 0 } — a∨b∨c
D₂: { 1, 0, 0 } — ¬a∨b∨c
D₃: { 1, 1, 0 } — ¬a∨¬b∨c

Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:

D₁ ∧ D₂ ∧ D₃ = (a∨b∨c) ∧ (¬a∨b∨c) ∧ (¬a∨¬b∨c)

---

Построение полинома Жегалкина:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:

Окончательно получим такую таблицу:

Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):

{ 0, 0, 1 } — c, { 0, 1, 0 } — b, { 0, 1, 1 } — bc, { 1, 1, 0 } — ab, { 1, 1, 1 } — abc

Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc

Вам может понадобиться построить таблицу значений некоторой функции – например, для реферата или для выполнения домашнего задания.

Чтобы не рисовать вручную и не считать с помощью калькулятора значения функции в разных точках, можно использовать наш калькулятор. Вот, к примеру на рисунке (кликабельно) показано будет выглядеть таблица значений на интервале от нуля до десяти с шагом один для функции:

[fleft(xright)=frac{x}{x+1}]

Чтобы построить такую таблицу надо ввести команду с ключевым словом table. Дальше записана функция, переменная по которой строится таблица и ее начальное, конечное значение, а также шаг изменения. Кликните по значку вставки, чтобы вставить код из примера в калькулятор и затем нажмите кнопку “Решить”. Когда будет построена таблица, наведите на таблицу мышку и нажмите правую кнопку – выберите опцию “Открыть картинку в новой вкладке”.

 table[x/(x+1),{x,0,10,1}]

 

Похожие публикации: калькулятор

Вычисление значений функции

Калькулятор поддерживает следующие логические операции:

При формировании таблицы истинности сложного (составного) логического выражения необходимо использовать представленные выше таблицы истинности соответствующих логических операций.

Список литературы Создать список литературы Список источников Примеры списков Готовые списки литературы История списков литературы Список издательств Список авторов Генератор кроссвордов Генератор кроссвордов online Готовые кроссворды История созданных кроссвордов Генератор титульных листов Создать титульный лист История титульных листов Таблица истинности ONLINE Построение таблицы истинности История таблиц истинности Прочие ONLINE сервисы Решение транспортной задачи Решатель задач (бета) Матричные вычисления (сложение, вычитание, умножение) Транспортная задача

Построение таблицы истинности Было построено: 154252 таблицы по формулам и 5693 по векторам Для ввода с клавиатуры воспользуйтесь следующими клавишами: Клавиша Оператор Название (по клику покажет справку) ! ¬ Отрицание (НЕ) | | Штрих Шеффера (И-НЕ) # ↓ Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ) * ∧ Конъюнкция (И) + ∨ Дизъюнкция (ИЛИ) ^ ⊕ Исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2 (XOR) @ → Импликация (ЕСЛИ-ТО) % ← Обратная импликация = ≡, ~ Эквивалентность (РАВНО) Формула Вектор ← Backspace ¬ ∧ ∨ → ← ≡ ⊕ | ↓ ( ) Панель переменных 0 1 a a1 a2 a3 a4 a5 b b1 b2 b3 b4 b5 c c1 c2 c3 c4 c5 d d1 d2 d3 d4 d5 e e1 e2 e3 e4 e5 aA x x1 x2 x3 x4 x5 y y1 y2 y3 y4 y5 z z1 z2 z3 z4 z5 Обратите внимание, что запись abcd∨def в вашем задании обозначает, что между переменными abcd и def стоит знак ∧, который опускается. То есть, данная запись эквивалентна записи (a∧b∧c∧d)∨(d∧e∧f). Запись abcd обозначает, что отрицание распространяется на все четыре переменные. В форму это нужно вводить так: ¬(a∧b∧c∧d). Настройки: Делать замену с abcd∨def на (a∧b∧c∧d)∨(d∧e∧f) Вывод промежуточных таблиц для таблицы истинности Выводить схемы Построение СКНФ Построение СДНФ Построение полинома Жегалкина Код на картинке[зарегистрируйтесь, чтобы не вводить]*

Вход на сайт Нажмите для авторизации Информация Полезная информация FAQ О создателях / Контакты В нашем каталоге Теоретическая механика: Тарг С.М. 1989 Физика: Чертов для заочников (решебник) Физика: Прокофьев (решебник) Химия: Шиманович мет. 2003г. (решебник) Околостуденческое Полезные файлы