Как составить треугольник формулы

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры – треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Определение треугольника

Треугольник – это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом – △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник ABC (△ABC)

• Точки A, B и C – вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
• Отрезки AB, BC и СА – стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
• Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b – β, с – γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом – ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

• Сумма всех углов треугольника равна 180°:

• Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c
sin α	sin β	sin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO	=	BO	=	CO	=	2
OD	OE	OF	1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://binary2hex.ru/triangle.html

[/spoiler]

Треугольник
Рёбра	3
Символ Шлефли	{3}
Медиафайлы на Викискладе

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)^[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла^[2], т.е. как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В -мерной геометрии аналогом треугольника является -й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Основные элементы треугольника[править | править код]

Вершины, стороны, углы[править | править код]

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: , а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами , и обозначается как . Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: , , .

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (, , ).

Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от до .

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников[править | править код]

По виду наибольшего угла[править | править код]

Основной источник: ^[3]

• 

• 

• 

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна , то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими ). Выделяют следующие виды треугольников^[2].

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
• Если один из углов треугольника прямой (равен ), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
• Если один из углов треугольника тупой (больше ), то треугольник называется тупоугольным, Остальные два угла, очевидно, острые (треугольников с двумя тупыми или прямыми углами быть не может).

По числу равных сторон (или по степени симметричности)[править | править код]

• 

• 

• 

• Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием^[4]. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Треугольник	Количество осей симметрии	Количество пар равных сторон
Разносторонний	Нет	Нет
Равнобедренный	1	1
Равносторонний	3	3

Медианы, высоты, биссектрисы[править | править код]

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
Длину медианы опущенной на сторону можно найти по формулам:

     для других медиан аналогично.

• 

  Высота в треугольниках различного типа

• 

  Высоты пересекаются в ортоцентре

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты , опущенной на сторону , можно найти по формулам:

;      для других высот аналогично.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:^[5]:p.64

.

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам^[6].

Длину биссектрисы , опущенной на сторону , можно найти по одной из формул:

, где  — полупериметр.

.

;     здесь  — высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника^[6].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей.

где  — площадь треугольника,  — его полупериметр.

,

где  — радиусы соответственных вневписанных окружностей

Ещё два полезных соотношения:

^[7]

.

Существует также формула Карно^[8]:

,

где , ,  — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон , , треугольника,
, ,  — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин , , треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

;

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

.

Признаки равенства треугольников[править | править код]

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:^[9]

1. , , (равенство по двум сторонам и углу между ними);
2. , , (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. , , (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон^[10].

Дополнительный признак {по двум сторонам и углу не между ними, если этот угол прямой или тупой}.
Если в треугольниках и имеют место равенства , , , причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны^[11].

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Признаки подобия треугольников[править | править код]

Основные свойства элементов треугольника[править | править код]

Свойства углов[править | править код]

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы^[10].

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных^[10].

Неравенство треугольника[править | править код]

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

.

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон^[10].

Теорема о сумме углов треугольника[править | править код]

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов[править | править код]

,

где  — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править код]

.

Является обобщением теоремы Пифагора.

• Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))^[12].

.

Теорема о проекциях[править | править код]

Источник: ^[13].

.

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)[править | править код]

Теорема котангенсов[править | править код]

.

Формулы Мольвейде[править | править код]

.

Решение треугольников[править | править код]

Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника[править | править код]

Далее используются обозначения

Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.  — формула Герона
7. ^[14]
8. 
9. ^[15]
10. 
11. 
12. 
13.  — ориентированная площадь треугольника.
14.  — см. Аналоги формулы Герона
15. 
16. 
17. 
18. 

Частные случаи

1.  — для прямоугольного треугольника
2.  — для равностороннего треугольника

Другие формулы[править | править код]

• Существуют другие формулы, такие, как например,^[16]

для угла .

• В 1885 г. Бейкер (Baker)^[17] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:

,

,

,

.

Неравенства для площади треугольника[править | править код]

Для площади справедливы неравенства:

    и    ,

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

История изучения[править | править код]

Свойства треугольника, изучаемые в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.^[21]

Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней Греции^[22]. В частности, во второй книге „Начал“ Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников^[23]. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Свойствами элементов треугольников (углов, сторон, биссектрис и др.) после Евклида занимались Архимед, Менелай, Клавдий Птолемей, Папп Александрийский^[24].

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров^[25]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались „зиджи“; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории^[26]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века^[27]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника^[28].

Фундаментальное изложение тригонометрии (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году^[29]. Его „Трактат о полном четырёхстороннике“ содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси^[30]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10»^[31]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций.

Изучение треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыта точка Торричелли (1640) и изучены её свойства. Джованни Чева доказал свою теорему о трансверсалях (1678). Лейбниц показал, как вычислять расстояние от центра тяжести треугольника до других его замечательных точек^[24]. В XVIII веке были обнаружены прямая Эйлера и окружность шести точек (1765).

В начале XIX века была открыта точка Жергонна. В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. К концу XIX века относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нойберга. Окружность девяти точек исследовали Понселе, Брианшон и Штейнер, Были обнаружены ранее неизвестные геометрические связи и образы — например, окружность Брокара, точки Штейнера и Тарри. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан. Исследования перечисленных выше геометров превратили геометрию треугольника в самостоятельный раздел математики^[32].

Значительный вклад в геометрию треугольника внёс в конце XIX — начале XX века Фрэнк Морли. Он доказал, что геометрическое место центров кардиоид, вписанных в треугольник, состоит из девяти прямых, которые, взятые по три, параллельны трём сторонам равностороннего треугольника. Кроме того, 27 точек, в которых пересекаются эти девять прямых, являются точками пересечения двух трисектрис треугольника, принадлежащих к одной и той же его стороне. Наибольшую известность получил частный случай этой теоремы: внутренние трисектрисы углов треугольника, прилежащих к одной и той же стороне, пересекаются попарно в трёх вершинах равностороннего треугольника. Обобщение этих работ опубликовал Анри Лебег (1940), он
ввел -сектрисы треугольника и изучил их расположение в общем виде^[33].

С 1830-х годов в геометрии треугольника стали широко использоваться трилинейные координаты точек. Активно развивалась теория преобразований — проективное, изогональное, изотомическое и другие. Полезной оказалась идея рассмотрения задач теории треугольников на комплексной плоскости.
^[32].

Дополнительные сведения[править | править код]

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

• Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы. Чевианы, соединяющие вершину треугольника с точками противоположной стороны, отстоящими на заданное отношение от её концов, называют недианами.
• Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
• Серединные перпендикуляры (медиатрисы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
• Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.
• Чевианы, лежащие на прямых, изотомически сопряжённых биссектрисам относительно оснований медиан, называются антибиссектрисами. Они проходят через одну точку — центр антибиссектрис.
• Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
• Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Некоторые замечательные прямые треугольника[править | править код]

• В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.
• В любом треугольнике центр тяжести, центр круга, вписанного в него (инцентр), его точка Нагеля и центр круга, вписанного в дополнительный треугольник (или Центр Шпикера), лежат на одной прямой, называемой второй прямой Эйлера (прямой Нагеля)
• Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония.
• Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана.
• Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

Трилинейные поляры треугольника[править | править код]

• Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)

• Ортоцентрическая ось  (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
• Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

Вписанные и описанные фигуры для треугольника[править | править код]

Преобразования[править | править код]

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.

Изогональное сопряжение[править | править код]

• Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны).
• Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек:
  • Центр описанной окружности и ортоцентр (точка пересечения высот),
  • Центроид (точка пересечения медиан) и точка Лемуана (точка пересечения симедиан),
  • Центр девяти точек и точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты^[34];
  • Две точки Брокара;
  • Точки Аполлония и точки Торричелли.
• Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают.
• Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
• Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[35].
• Если для любой внутренней точки треугольника построить три точки, симметричные ей относительно сторон, а затем через три последние провести окружность, то ее центр изогонально сопряжен исходной точке^[36].

Изогональные сопряжения линий треугольника[править | править код]

• Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые.
• Так, изогонально сопряжены:
  • гипербола Киперта и ось Брокара,
  • гипербола Енжабека и прямая Эйлера,
  • гипербола Фейербаха и линия центров вписанной и описанной окружностей.
• Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Изотомическое сопряжение[править | править код]

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

• Изотомически сопряжены следующие точки:
  • точка Жергонна и Нагеля,
  • точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения антибиссектрис,
  • Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точке Брокара,
  • Центроид (точка пересечения медиан) изотомически сопряжён сам себе.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры[править | править код]

Изоциркулярное преобразование[править | править код]

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием ^[39]. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Тригонометрические тождества только с углами[править | править код]

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

,^[40]

(второе тождество для тангенсов)

,

(первое тождество для синусов)

,^[40]

(второе тождество для синусов)

,^[7]

(тождество для косинусов)

(тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение получается тождество для котангенсов:

,

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Разные соотношения[править | править код]

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Где:

• , и  — стороны треугольника,
• ,  — отрезки, на которые биссектриса делит сторону ,
• , ,  — медианы, проведённые соответственно к сторонам , и ,
• , ,  — высоты, опущенные соответственно на стороны , и ,
•  — радиус вписанной окружности,
•  — радиус описанной окружности,
•  — полупериметр,
•  — площадь,
•  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
• Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами , а площадь равна , длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключённых внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равны^{[41]:Corollaries 5 and 6}

, и .

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

Обозначения

•  — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (x_B, y_B) и C = (x_C, y_C), то площадь может быть вычислена в виде ¹⁄₂ от абсолютного значения определителя

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula^[42]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов[править | править код]

Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .

Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим , где , ,  — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

и аналогично

Площадь треугольника равна .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин[править | править код]

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через , и и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через , и , тогда получим формулу:

,

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula^[42]), или формуле площади Гаусса.

Треугольник в неевклидовых геометриях[править | править код]

На сфере[править | править код]

Свойства треугольника со сторонами , , и углами , , .

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше .

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

,

Теоремы косинусов:

,

.

На плоскости Лобачевского[править | править код]

Для треугольника со сторонами , , и углами , , .

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше .

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов

,

Теоремы косинусов

,

.

Связь суммы углов с площадью треугольника[править | править код]

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне

.

В случае треугольника эйлерова характеристика . Углы  — это внешние углы треугольника. Значение величины (гауссовой кривизны) — это для евклидовой геометрии, для сферы, для плоскости Лобачевского.

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Треугольник в римановой геометрии[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Обозначение[править | править код]

Символ	Юникод	Название
△	U+25B3	white up-pointing triangle

См. также[править | править код]

• Глоссарий планиметрии
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрия
• Энциклопедия центров треугольника

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

• Категория:Геометрия треугольника.
• Категория:Теоремы евклидовой геометрии
• Категория:Планиметрия
• Категория:Теоремы планиметрии

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть 1: Планиметрия. Изд. 4-е, М.: Учпедгиз, 1957. 608 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
• Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0.

История

• Гайдук Ю. М., Хованский А. М. Из истории геометрии треугольника // Вопросы истории физико-математических наук. — М.: Высшая школа, 1963. — С. 129—133. — 524 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.

Ссылки[править | править код]

• Расчёт элементов треугольника.
• Расчёт параметров треугольника по координатам его вершин.

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

• типы треугольников
• вершины углы и стороны треугольника
• медианы треугольника
• биссектрисы треугольника
• высоты треугольника
• окружность вписанная в треугольник
• окружность описанная вокруг треугольника
• связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
• средняя линия треугольника
• периметр треугольника
• формулы площади треугольника
• равенство треугольников
• подобие треугольников
• прямоугольные треугольники

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так:

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению – Любой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: АВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: BСА или CАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: A, B, C. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, ACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается P_ABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Два равных треугольника ABC и A₁B₁C₁ (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

• в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
• в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В₁С₁ лежат равные углы А и А₁. Против равных углов С и С₁ лежат равные стороны AB и A₁B₁.

Если треугольники ABC и A₁B₁C₁  равны, то это обозначается следующим образом: ABC = A₁B₁C₁

(читают: «Треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁ »).

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. Если, то

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: ). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен , в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: . Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.
 

Для любознательных:

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р – его периметр , то

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°
 

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. Тогдакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Примечание:

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Следствие:

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

ВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Для любознательных:

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Иной способ:

Ответ. 360°.

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства . Например,

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это – признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Примечание:

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: и т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут , то подразумевают, что АВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Для любознательных:

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

1. каждая фигура равна самой себе;
2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

 Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку . Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и вины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины и то совместятся и стороны: Значит, если то ,Чтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть — два треугольника, у которых, (рис. 1;46). Докажем, что 

Наложим таким образом, чтобы вершина совместилась А, вершина  — с В, а сторона наложилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условию. Поскольку , то при таком положении точка совместится с С. В результате все вершины совместятся с соответствующими вершинами

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Для любознательных:

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

1. по двум сторонам и углу между ними;
2. по стороне и двум прилежащим углам,
3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников

Стороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Решение:

Пусть у сторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. , поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, , то по двум сторонам и углу между ними . Из равенства этих треугольников следует:

а) , то есть углы при основании равны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана

в) , 

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в (рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: У них, Поэтому . По стороне AL и прилежащим к ней углам . Следовательно,

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

 В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Для любознательных:

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см < 6 см. Следовательно, речь идет о треугольнике с основанием 2 см и боковыми сторонами по 6 см. Ответ. 6 см.

Пример №8

Покажите на диаграмме соотношения между понятиями: треугольники, равнобедренные треугольники и равносторонние треугольники.

Решение:

Равносторонний треугольник является одновременно и равнобедренным треугольником. Следовательно, соотношения между названными видами треугольников можно изобразить схематически, как на рисунке 165.

Третий признак равенства треугольников

Вам уже известны два признака равенства треугольников. Зная свойства равнобедренного треугольника, можно доказать еще один признак.

Теорема:  (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Примечание:

Мы рассмотрели случай, когда отрезки пересекаются. Для случаев, когда эти отрезки не пересекаются, в доказательстве теоремы требуется кое-что изменить. Предлагаем вам рассмотреть эти случаи самостоятельно, используя рисунки 169 и 170.

Третий признак равенства треугольников утверждает, что тремя сторонами треугольник задается однозначно. Представим, что каждый семиклассник построил в тетради треугольник, стороны которого равны, например, 3 см, 4 см и 5 см. Один отложил сначала наибольший отрезок, а из его концов рронел дуги радиусами 4 см и 5 см (рис. 171). Другой сначала отложил наименьший из данных отрезков и т. д. Хотя строили ОНИ разными способами, но в результате получили равные треугольники.

Вспомнив два других признака равенства Треугольников, можно сделать такой вывод.

Треугольник определяется (задается)

Однозначно:

1. двумя сторонами и углом между ними;
2. стороной и двумя прилежащими углами;
3. тремя сторонами.

Примечание:

В пункте 2) речь идет об углах, сумма которых меньше 180°, и в пункте 3) — о трех отрезках, каждый из которых меньше суммы двух других.

Для любознательных:

Третий признак равенства треугольников свидетельствует о том, что треугольник — фигура жесткая. Чтобы лучше понять, о чем идет речь, представьте сбитые гвоздями из отдельных планок треугольник и четырехугольник (рис. 172). Такой четырехугольник нетрудно деформировать: изменить углы, не меняя длин сторон. Треугольник так деформировать нельзя. Три стороны треугольника Однозначно определяют его углы!

Так же, зная две стороны треугольника и угол между ними, можно однозначно определить третью сторону и два других угла; зная сторону и два прилежащих к ней угла, можно определить две другие стороны и т. д. Как это сделать, узнаете в старших классах.

Зная, что из всех многоугольников только треугольник — фигура жёсткая, ажурные конструкции изготавливают так, чтобы они имели как можно больше треугольников (рис. 173).

Пример №9

Докажите, что если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то и противолежащие углы равны.

Решение:

Пусть в четырехугольнике ABCD АВ = CD и ВС = AD (рис. 174). При ведем отрезок АС, в результате образуются два треугольника ABC и CDA Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = CD и ВС = AD, а сторона AC у них общая. Следовательно, . А в равных треугольника  :> против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов (рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° – 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки< признаки.

Два прямоугольных треугольника равны, если:

1. катеты одного из них равны соответственно катетам другого;
2. катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны соответственно катету и прилежащему острому углу другого;
3. гипотенуза и прилежащий угол одного треугольника равны соответственно гипотенузе и прилежащему углу другого.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников требует доказательства.

Теорема: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть в треугольниках прямые , (рис. 183). Докажем,

Приложим так, чтобы вершина совместилась с занял положение . Поскольку углы прямые, то точки расположатся 

Ни одной прямой  Тогда и Таким образом, в данных треугольниках между соответственно равными сторонами и   лежат равные углы По первому признаку равенства треугольников

Наедем еще несколько важных понятий, связанных с прямоугольным треугольником. Если АНМ — прямоугольный треугольник К прямым углом Н, то его катет АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к Примой НМ (рис. 184). Гипотенузу AM на- -им на ют также наклонной, проведенной из точки А к прямой НМ, а катет НМ — проекцией этой наклонной на прямую НМ.

Длину перпендикуляра AH’ называют таким расстоянием от точки А до прямой НМ. Вообще, расстояние между двумя геометрическими фигурами — это расстояние между ми ближайшими точками (если такие точки существуют). Например, расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки одной прямой к другой прямой (рис. 185). А расстояние от точки К до отрезка РТ (рис. 186) равно КТ.

Для любознательных:

Прямоугольные треугольники составляют только часть всех треугольников. Если у треугольника нет прямого угла, его называют непрямоугольным треугольником. Таким образом, в зависимости от того, есть у треугольника прямой угол или его нет, все треугольники можно разделить на два класса. Схематически это деление можно изобразить рисунком 187.

Если катеты прямоугольного треугольника равны, то он одновременно является и равнобедренным треугольником. Соотношение между такими видами треугольников показано на рисунке 188.

Прямоугольные треугольники в геометрии играют важную роль, поскольку любой треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, а для каждого прямоугольного треугольника истинна знаменитая теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Подробнее о теореме Пифагора, а также о применении свойств прямоугольных треугольников вы узнаете в 8 классе.

Пример №11

Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. ■ Пусть в  (рис. 189). Докажем, что 

Решение:

На прямой ВС отложим отрезок CD, равный СВ, и проведем отрезок AD. По двум катетам . Поскольку  Следовательно, все углы равны по 60°. Таким свойством обладает только равносторонний треугольник. Поскольку BD =АВ и ВС = « CD, то ВС = 0,5 АВ.

Неравенства треугольника

Вы уже знаете, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Чтобы доказать это утверждение как теорему, сначала рассмотрим другую теорему.

Теорема: В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Доказательство:

1) Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше АС. Покажем, что угол С больше угла В (рис. 193). Отложим на стороне АВ отрезок АК, равный АС. Поскольку отложенный ■ Рис 193 отрезок короче АВ, то точка К лежит между А и В, a является частью угла АСВ. Углы АКС и АСК равны, то есть , по скольку равнобедренный., поскольку является внешним для треугольника ВКС. Следовательно, весь угол С больше . Этим мы доказали, что если в треугольнике

2) Пусть в угол С больше угла В.

Докажем, что тогда АВ > АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.

Следствия:

1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и:< этой же точки к той же прямой.
3. Проекция наклонной всегда меньше наклонной.

Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный  покажем, что (рис. 194).

Для доказательства отложим на Продолжении стороны АС отрезок СР. равный ВС, и рассмотрим треугольник АВР. Углы СВР и СРВ равны. так как СВ = СР. Угол АВР больше  Р. А поскольку против большего угла лежит большая сторона, то ли . Учитывая, что АР = АС + СР = АС + СВ, получим АВ < АС + СВ. ‘Гак же можно показать, что ВС < СА + АВ, АС < СВ + ВА. 

Из доказанной теоремы следует такое утверждение.

 Если точки А, В, С не лежат на одной прямой, то верны неравенства:

АВ < ВС + СА, ВС < С А + АВ, АС < СВ + ВА.

Каждое из этих трех неравенств называют неравенством треугольника.

Для любознательных:

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одно из приведенных выше неравенств преобразуется в равенство, а два других остаются верными. Например, когда точка С лежит между А и В (рис. 195), то верны такие соотношения:

АВ = ВС + СА, ВС < С А + АВ, СА < АВ + ВС.

Учитывая вышеизложенное, можно сделать следующий вывод.

Как бы ни были расположены три точки А, В, С, всегда:

Из трех расстояний между любыми тремя точками каждое не превышает суммы двух других.

Пример №12

 Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с произвольной внутренней точкой основания, короче боковой стороны треугольника.

Решение:

Пусть АС — основание произвольного равнобедренного треугольника ABC,    а К — произвольная внутренняя точка его основания (рис. 196). Покажем что,

ВК <АВ.

Угол АКВ — внешний в , поэтому . ПосколькуСледовательно, в сторона ВК лежит против меньшего угла, чем тот, против которого лежит сторона АВ. Таким образом,

В К < АВ.

Пример №13

Прямая КР, пересекающая A ABC, параллельна АС (рис. 197). Какая из сторон, АВ или ВС, данного треугольника больше, если ВК < ВР1

Решение:

Пронумеруем некоторые углы в    как показано на рисунке 197. Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны, поэтому , Поскольку , то Следовательно, АВ < ВС.

Равенство фигур. Равные треугольники

Согласно ранее данным определениям, два отрезка (угла) называются равными, если они совмещаются наложением. Обобщим это определение для произвольных фигур.

Определение

Две геометрические фигуры называются равными, если они совмещаются наложением.

На рисунках 55 изображены фигуры и . Если представить, что фигура изображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру (той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры и . В таком случае фигуры и по определению равны.

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Запись означает «фигура равна фигуре _»

Рассмотрим равные треугольники и (рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому элементу треугольника будет соответствовать равный элемент треугольника . Условимся, что в записи мы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если , то

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым количеством дужек (рис. 56).

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

^[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники и , у которых (рис. 58). Докажем, что

Поскольку то треугольник можно наложить на треугольник так, чтобы точки и совместились, а стороны и наложились на лучи и соответственно. По условию и , следовательно, сторона совместится со стороной , а сторона — со стороной . Таким образом, точка совместится с точкой , а точка — с точкой , то есть стороны и также совместятся. Значит, при наложении треугольники , совместятся полностью. Итак, по определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, по теореме о вертикальных углах. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Тогда, согласно предыдущей задаче, по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А₁В₁С₁ (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁), но равные углы и лежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример – от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример ».

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Доказательство

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой точки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой . На луче ВС отложим отрезок ВА₁, равный отрезку ВА, и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка , с прямой .

Рассмотрим треугольники и . Они имеют общую сторону BD, a и по построению. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Но эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах . Итак, прямая перпендикулярна прямой .

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые и перпендикулярные прямой (рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, . Но это невозможно, поскольку прямые и имеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой , единственна.

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой . От любой полупрямой прямой с начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) – точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Тогда по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники и , у которых , (рис. 72). Докажем, что

Поскольку , то треугольник можно наложить на треугольник так, чтобы сторона АС совместилась со стороной , а точки и лежали по одну сторону от прямой . По условию и , поэтому сторона наложится на луч , а сторона — на луч . Тогда точка — общая точка сторон и — будет лежать как на луче , так и на луче , то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны и , а также и . Значит, при наложении треугольники и , совместятся полностью, то есть по определению . Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Найдите угол D если

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: . Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: .Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к стороне АС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, по условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит,

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), как углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC . Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке (рис. 85). Соединим точки и и рассмотрим треугольники . У них сторона общая, и AD = CD по построению. Таким образом, по первому признаку. Отсюда , . Поскольку по построению точка лежит на луче АВ, угол совпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: . Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы и совпадают, то есть точка лежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки и совпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Следствие:

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC тогда как углы, смежные с равными углами. Значит, по первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку то Таким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку то Таким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

^[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Рис. 101 Отрезок DB – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, как углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что , то есть BD — биссектриса треугольника ABC.

Кроме того, а поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC, проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае но второму признаку Отсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и , то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC. Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана и биссектриса , не совпадающие с – Тогда по доказанному выше отрезки и также являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки и совпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Теорема доказана.

Медиана – от латинского «медианус» — средний

Следствие:

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть и — данные равнобедренные треугольники с основаниями и , и — Медианы этих треугольников, причем (рис. 102). Докажем, что

Рассмотрим треугольники . По условию . Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника и являются также биссектрисами равных углов и , то отрезки и — высоты равнобедренных треугольников, поэтому 90°. Таким образом,, по второму признаку равенства треугольников, откуда тогда и Значит, треугольники равны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы.

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

На луче ВD от точки D отложим отрезок равный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники У них АD = СD по определению медианы, по построению, как вертикальные. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что . Рассмотрим теперь треугольник С учетом того, что BD – биссектриса угла ABC, имеем тогда По признаку равнобедренного треугольника, треугольник равнобедренный с основанием Отсюда а поскольку по доказанному Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

^[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник . Доказав его равенство с треугольником , мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD. Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники и , у которых . Докажем, что .

Приложим треугольник к треугольнику так, чтобы вершина А₁ совместилась с вершиной , вершина — с вершиной В, а точки и лежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

1. луч проходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
2. луч проходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
3. луч совпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Рис. Прикладывание треугольника к треугольнику

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы и , то треугольники и равнобедренные с основанием . По свойству равнобедренного треугольника . Тогда как суммы (или разности) равных углов. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов и следует из свойства равнобедренного треугольника с основанием, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть и — данные треугольники с медианами и , соответственно, причем (рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники и В них и , по условию, как половины равных сторон и то есть по третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Тогда по первому признаку по условию, по доказанному).

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

• внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
• внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
• соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем (рис. 119). Докажем, что .

Если углы 1 и 2 прямые, то и . Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр , к прямой O. Пусть Н₂ — точка пересечения прямых

Рассмотрим треугольники и . У них по условию, как вертикальные и по построению. Итак, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда то есть прямая перпендикулярна прямым а и b. Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Следствие:

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна , то прямые параллельны.

Действительно, если (рис. 120) и по теореме о смежных углах , то Тогда по доказанной теореме .

Следствие:

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если (рис. 121), a как вертикальные, то Тогда но доказанной теореме

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

1. внутренние накрест лежащие углы равны;
2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 — биссектриса угла Докажите, что

Решение:

По условию задачи треугольник равнобедренный с основанием По свойству углов равнобедренного треугольника Вместе с тем так как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Углы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых и секущей Поскольку эти углы равны, то по признаку параллельности прямых что и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

1. внутренние накрестлежащие углы равны;
2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую так, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых и b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Но по условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть (рис. 134). Поскольку то Тогда:

°, так как углы 1 и 5 соответственные; , так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; так как углы 2 и 3 вертикальные; так как углы 5 и 6 смежные; так как углы 7 и 3 соответственные; так как углы 8 и 4 соответственные.

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, — расстояния от точек и прямой до прямой (рис. 135). Докажем, что

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой и , то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей,

Рассмотрим треугольники и У них сторона общая, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Таким образом, по второму признаку равенства треугольников, откуда Теорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 то есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, , то есть — общий перпендикуляр к прямым а и b.

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Проведем через вершину В прямую b, параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично как внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Теорема доказана.

Следствие:

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Следствие:

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен .

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например (рис. 142, а). Тогда как углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Значит, то есть ABC — равносторонний треугольник.
2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть (рис. 142, б). Тогда как углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° – 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a — внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника С другой стороны, по теореме о смежных углах Отсюда, что и требовалось доказать.

Следствие:

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Тогда для их суммы имеем:

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике , AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу , то другие острые углы этих треугольников равны , то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» – стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть — данные прямоугольные треугольники, в которых 90° , (рис. 152). Докажем, что

На продолжениях сторон и отложим отрезки и , равные катетам и соответственно. Тогда и , по двум катетам. Таким образом, . Это значит, что по трем сторонам. Отсюда И наконец, , по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и равны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике . Докажем, что Очевидно, что в треугольнике Отложим на продолжении стороны отрезок , равный (рис. 153). Прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Отсюда следует, что и Таким образом, треугольник равносторонний, а отрезок — его медиана, то есть что и требовалось доказать.

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет – от греческого “катетос” – отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

В треугольнике:

1. против большей стороны лежит больший угол;
2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике . Докажем, что . Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку то точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Очевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Кроме того, угол 2 — внешний угол треугольника , поэтому . Следовательно, имеем: откуда

2. Пусть в треугольнике Докажем от противного, что . Если это не так, то или . В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть . Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть . В обоих случаях имеем противоречие условию . Таким образом, наше предположение неверно, то есть . Теорема доказана.

Следствие:

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, – наибольшая.

Следствие:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что . Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Но угол 2 является частью угла ACD, то есть Таким образом, в треугольнике . Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Теорема доказана.

Следствие:

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок равный Для любой точки С прямой с прямоугольные треугольники равны по двум катетам, откуда Очевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма будет наименьшей в случае, когда точки лежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка с прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

• ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

• ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
• ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
• ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
• ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
• ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
• ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
• ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
• ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
• ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
• ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

• ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
• ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
• ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

• ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
• ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
• ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

• ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
• ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
• ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

• 1) углы при основании равны;
• 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

• 1) все углы равны;
• 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

• ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
• ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
• ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
• ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

• ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
• ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
• ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.   
• ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
• ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 – средняя линия треугольника 

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть  – средняя линия треугольника (рис. 105). Докажем, что и 

1) Проведем через точку прямую, параллельную По теореме Фалеса она пересекает сторону в ее середине, то есть в точке Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию Поэтому

2) Проведем через точку  прямую, параллельную  которая пересекает в точке  Тогда  (по теореме Фалеса). Четырехугольник — параллелограмм.

(по свойству параллелограмма), но

Поэтому

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть – данный четырехугольник, а точки – середины его сторон (рис. 106). – средняя линия треугольника поэтому и  Аналогично

Таким образом,  Тогда – параллелограмм (по признаку параллелограмма).

– средняя линия треугольника  Поэтому  Следовательно, – также параллелограмм, откуда:

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Доказательство:

Пусть  – точка пересечения медиан и треугольника (рис. 107).

1) Построим четырехугольник  где – середина – середина

2) — средняя линия треугольника

 поэтому  и

3) – средняя линия треугольника  поэтому и 

4) Следовательно,  и  Значит, – параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) – точка пересечения диагоналей и параллелограмма поэтому  Но   Тогда и  Следовательно, точка делит каждую из медиан и в отношении 2:1, считая от вершин и соответственно.

6) Точка пересечения медиан и должна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка – точка  которая в таком отношении делит медиану  то медиана также проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. 

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки – вершины треугольника; отрезки   – стороны треугольника;  – углы треугольника.

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 – медиана треугольника

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 – биссектриса треугольника

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

На рисунке 270 – высота  Сумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 – равнобедренный,  и – его боковые стороны, – основание.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 – равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса  проведенная к основанию равнобедренного треугольника  является его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

• остроугольные (все углы которого – острые – рис. 277);
• прямоугольные (один из углов которых – прямой, а два других – острые – рис. 278);
• тупоугольные (один из углов которых – тупой, а два других – острые – рис. 279).

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 – внешний угол треугольника

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть

Прямоугольные треугольники

Если то – прямоугольный (рис. 281). и – катеты прямоугольного треугольника;  – гипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Гипотенуза больше любого из катетов.
3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки , , , не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками , , . Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками , и называют треугольником. Точки , , называют вершинами, а отрезки , , — сторонами треугольника.

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: , или , или и т. д. (читают: «треугольник , треугольник » и т. д.). Углы , , (рис. 110) называют углами треугольника .

В треугольнике , например, угол называют углом, противолежащим стороне , углы и — углами, прилежащими к стороне , сторону — стороной, противолежащей углу , стороны и — сторонами, прилежащими к углу (рис. 110).

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника используют обозначение .

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим (рис. 109). Точка не принадлежит отрезку . Тогда в силу основного свойства длины отрезка . Аналогично доказывают остальные два неравенства: , .

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

На рисунке 113 изображены равные треугольники и . Записывают: . Эти треугольники можно совместить так, что вершины и , и , и совпадут. Тогда можно записать: , .

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы и , стороны и — соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника и луча существует треугольник равный треугольнику , такой, что и сторона принадлежит лучу , а вершина лежит в заданной полуплоскости относительно прямой (рис. 114).

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую и не принадлежащую ей точку (рис. 115). Предположим, что через точку проходят две прямые и , перпендикулярные прямой .

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник , равный треугольнику (рис. 116). Тогда . Отсюда , а значит, точки , ( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки также лежат на одной прямой. Но тогда прямые и имеют две точки пересечения: и . А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

На рисунке 117 изображены равные фигуры и . Пишут: . Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

На рисунке 118 отрезки и — высоты треугольника . Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

На рисунке 119 отрезок — медиана треугольника .

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

На рисунке 120 отрезок — биссектриса треугольника .

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам , обозначают соответственно . Длины высот обозначают , , , медиан — , , , биссектрис — . Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников и выполняются шесть условий , ,, , , то очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: и . Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим треугольники и у которых (рис. 128). Докажем, что

Наложим на так, чтобы луч совместился с лучом , а луч совместился с лучом . Это можно сделать, так как по условию Поскольку по условию и , то при таком наложении сторона совместится со стороной , а сторона — со стороной . Следовательно, и полностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка .

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство: Пусть — произвольная точка серединного перпендикуляра отрезка , точка — середина отрезка . Надо доказать, что . Если точка совпадает с точкой (а это возможно, так как — произвольная точка прямой а), то . Если точки и не совпадают, то рассмотрим треугольники и (рис. 130).

В этих треугольниках , так как — середина отрезка . Сторона — общая, . Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки и равны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим треугольники и , у которых , , , (рис. 131). Докажем, что .

Наложим на так, чтобы точка совместилась с точкой , отрезок — с отрезком (это возможно, так как ) и точки и лежали в одной полуплоскости относительно прямой . Поскольку и то луч совместится с лучом , а луч — с лучом . Тогда точка — общая точка лучей и — совместится с точкой — общей точкой лучей и . Значит, и , полностью совместятся, следовательно, они равны.

Пример №27

На рисунке 132 точка — середина отрезка . Докажите, что .

Решение:

Рассмотрим и . , так как точка — середина отрезка . по условию. и равны как вертикальные. Следовательно, по / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим и . , , так как . — общая сторона. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними. Тогда .

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник , у которого .

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка на рисунке 155). При этом угол называют углом при вершине, а углы и — углами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник . Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник , у которого , отрезок — его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что , , .

В треугольниках и сторона — общая, , так как по условию — биссектриса угла , стороны и равны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

1. и равны как соответственные углы в равных треугольниках;
2. отрезки и равны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, — медиана;
3. . Но . Отсюда следует, что , значит, — высота.

Из этой теоремы следует, что:

1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Пример №28

Отрезок — медиана равнобедренного треугольника , проведенная к основанию. На сторонах и отмечены соответственно точки и так, что . Докажите равенство треугольников и .

Решение:

Имеем:, (рис. 158). Так как и , то . , поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. — общая сторона треугольников и . Следовательно, по двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого отрезок — медиана и высота. Надо доказать, что (рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая — серединный перпендикуляр отрезка .

Тогда по свойству серединного перпендикуляра .

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого отрезок — биссектриса и высота. Надо доказать, что (рис. 169). В треугольниках и сторона — общая, , так как по условию — биссектриса угла , , так как по условию — высота. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны и равны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого. Надо доказать, что .

Проведем серединный перпендикуляр стороны . Докажем, что прямая проходит через вершину .

Предположим, что это не так. Тогда прямая пересекает или сторону (рис. 170), или сторону (рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть — точка пересечения прямой со стороной . Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) . Следовательно, — равнобедренный, а значит . Но по условию. Тогда имеем: , что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая проходит через точку (рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра .

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого отрезок — медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что . На луче отложим отрезок , равный отрезку (рис. 173). В треугольниках и , так как по условию — медиана, по построению, и равны как вертикальные. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны и , и равны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку — биссектриса угла , то . С учетом доказанного получаем, что . Тогда по теореме 10.3 — равнобедренный, откуда . Но уже доказано, что . Следовательно, .

Пример №29

В треугольнике проведена биссектриса (рис. 174), ,. Докажите, что .

Решение:

Так как и — смежные, то . Следовательно, в треугольнике .

Тогда — равнобедренный с основанием , и его биссектриса ( — точка пересечения и ) является также высотой, т. е. .

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим треугольники и (рис. 177), у которых , , (эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что .

Расположим треугольники и , так, чтобы вершина совместилась с вершиной вершина — с а вершины и лежали в разных полуплоскостях относительно прямой (рис. 178). Проведем отрезок . Поскольку , то треугольник — равнобедренный, значит, . Аналогично можно доказать, что . Следовательно, . Тогда по первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок пересекает отрезок во внутренней точке. На самом деле отрезок может проходить через один из концов отрезка , например, через точку (рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком (рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Доказательство: Пусть точка равноудалена от концов отрезка , т. е. (рис. 183). Рассмотрим треугольники и , где — середина отрезка . Тогда по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда . Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая — серединный перпендикуляр отрезка .

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка не принадлежит прямой . Если точка принадлежит прямой , то она совпадает с серединой отрезка , а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка является серединой отрезка , то обращение к треугольникам и было бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 192 изображены параллельные прямые и . Пишут: (читают: «прямые и параллельны» или «прямая а параллельна прямой »). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

На рисунке 193 отрезки и параллельны. Пишут: .

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Доказательство: На рисунке 195 и . Надо доказать, что.

Предположим, что прямые и пересекаются в некоторой точке (рис. 196). Тогда через точку , не принадлежащую прямой , проходят две прямые и , перпендикулярные прямой . Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, .

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Следствие. Через данную точку , не принадлежащую прямой , можно провести прямую , параллельную прямой .

Доказательство: Пусть точка не принадлежит прямой (рис. 198).

Проведем (например, с помощью угольника) через точку прямую , перпендикулярную прямой . Теперь через точку проведем прямую , перпендикулярную прямой . В силу теоремы 13.1 .

Можно ли через точку (рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой ? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть и. Докажем, что .

Предположим, что прямые и не параллельны, а пересекаются в некоторой точке (рис. 199). Получается, что через точку проходят две прямые, параллельные прямой , что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, .

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Решение:

Пусть прямые и параллельны, прямая пересекает прямую в точке (рис. 200). Предположим, что прямая не пересекает прямую , тогда . Но в этом случае через точку проходят две прямые и , параллельные прямой , что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая пересекает прямую .

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые и пересечь третьей прямой , то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых а и .

• Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
• Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
• Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Доказательство: На рисунке 205 прямая является секущей прямых и , . Докажем, что .

Если (рис. 206), то параллельность прямых и следует из теоремы 13.1.

Пусть теперь прямая не перпендикулярна ни прямой , ни прямой . Отметим точку — середину отрезка (рис. 207). Через точку проведем перпендикуляр к прямой . Пусть прямая пересекает прямую в точке . Имеем: по условию; и равны как вертикальные.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда . Мы показали, что прямые и перпендикулярны прямой , значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство: На рисунке 208 прямая является секущей прямых и , . Докажем, что .

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, . Тогда . Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 .

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Доказательство: На рисунке 209 прямая является секущей прямых и , . Докажем, что .

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, . Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 . ▲

Пример №31

На рисунке 210 , . Докажите, что .

Решение:

Рассмотрим и . , — по условию. — общая сторона. Значит, по двум сторонам и углу между ними. Тогда . Кроме того, и — накрест лежащие при прямых и и секущей . Следовательно, .

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р < 180° лельную данной, является аксиомой.

Вам может показаться, что в этом выводе ничего особенного нет: присоединяем аксиому параллельности к уже существующему списку аксиом-правил, а дальше доказываем теоремы.

Однако если в футболе поменять только одно правило, например, потребовать от полевых игроков играть руками, а не ногами, то мы получим совершенно новую игру.

Если пятый постулат — это правило, которое мы принимаем, а не теорема, то его можно заменить противоположным утверждением.

Так и поступил выдающийся русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792-1856). Он заменил лишь одно правило — аксиому параллельности прямых — таким: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая аксиома позволила построить новую геометрию — неевклидову.

С подобной идеей несколько позже выступил венгерский математик Янош Бойяи (1802-1860).

Свойства параллельных прямых

Теорема 15.1 (обратная теореме 14.1). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

Доказательство: а рисунке 226 , — секущая. Докажем, что . Пусть . Тогда через точку проведем прямую так, чтобы (рис. 226). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых и и секущей . Тогда по теореме 14.1 . Получили, что через точку проходят две прямые, параллельные прямой . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и .

Теорема 15.2 (обратная теореме 14.3). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

Доказательство: На рисунке 227 , — секущая. Докажем, что . По теореме 15.1 и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Но и равны как вертикальные. Следовательно, .

Теорема 15.3 (обратная теореме 14.2). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.

Доказательство: На рисунке 228 , — секущая. Докажем, что .

По теореме 15.1 и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому . Следовательно, .

Следствие. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 229).

Докажите эту теорему самостоятельно.

Пример №32

Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение:

Пусть прямые и параллельны (рис. 230), и — две произвольные точки прямой . Опустим из них перпендикуляры и на прямую . Докажем, что . Для этого рассмотрим треугольники и . — их общая сторона.

Так как и , то , а углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Аналогично и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей .

Следовательно, треугольники и равны по стороне и двум прилежащим углам. Тогда .

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Пример №33

На рисунке 231 отрезок — биссектриса треугольника ,. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

Решение:

Так как — биссектриса треугольника , то . Углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей .

Следовательно, .

Тогда — равнобедренный с основанием .

Сумма углов треугольника

Треугольник — ключевая фигура планиметрии. Мир треугольников разнообразен. Но всем им присуще одно свойство.

Теорема 16.1. Сумма углов треугольника равна 180⁰ .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник . Требуется доказать, что .

Через вершину проведем прямую , параллельную прямой (рис. 245). Имеем: и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Аналогично доказываем, что . Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной . Следовательно, .

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника .

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 — внешний. Надо доказать, что .

Очевидно, что . Та как , то , отсюда .

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого . Надо доказать, что (рис. 247).

Поскольку , то на стороне найдется такая точка , что . Получили равнобедренный треугольник , в котором .

Так как — внешний угол треугольника , то . Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Рассмотрим треугольник , у которого . Надо доказать, что .

Поскольку , то угол можно разделить на два угла и так, что (рис. 248). Тогда — равнобедренный с равными сторонами и .

Используя неравенство треугольника, получим: .

Пример №34

Медиана треугольника равна половине стороны . Докажите, что — прямоугольный.

Решение:

По условию (рис. 249). Тогда в треугольнике . Аналогично , и в треугольнике . В : . Учитывая, что , имеем:

.

Следовательно, — прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник , у которого .

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим треугольники и , у которых , , (рис. 256). Надо доказать, что .

Расположим треугольники и так, чтобы вершина совместилась вершиной вершина — с вершиной , а точки и лежали в разных полуплоскостях относительно прямой (рис. 257).

Имеем: . Значит, угол — развернутый, и тогда точки лежат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник с боковыми сторонами и , и высотой (рис. 257). Тогда — медиана этого треугольника, и Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Решение:

В треугольниках и (рис. 258) , отрезки и — биссектрисы, .

Так как

то прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Тогда и прямоугольные треугольники и равны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

На рисунке 267 отрезок — перпендикуляр, отрезок — наклонная, . Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник , в котором , . Надо доказать, что .

На прямой отложим отрезок , равный отрезку (рис. 268). Тогда по двум катетам. Действительно, стороны и равны по построению, — общая сторона этих треугольников и . Тогда . Отсюда . Следовательно, и треугольник — равносторонний. Значит,

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник , в котором , . Надо доказать, что . На прямой отложим отрезок , равный отрезку (рис. 268). Тогда . Кроме того, отрезок является медианой и высотой треугольника , следовательно, по признаку равнобедренного треугольника . Теперь ясно, что и треугольник — равносторонний. Так как отрезок — биссектриса треугольника , то .