Как составить уравнение асимптот для кривой

Литература:
[3],
гл. V, §
10

[5],
Ч.1,
гл. 6, §
6.5

Прямая называется
асимптотой кривой y
= f
(x),
если расстояние от точки М
кривой до этой прямой стремится к нулю
при удалении точки М
вдоль кривой в бесконечность от начала
координат (рис. 1.7).

Рис.
1.7

Различают
вертикальные и наклонные асимптоты.
Вертикальная асимптота имеет уравнение
вида x
= x₀
и является прямой, параллельной оси Оy.
Наклонная асимптота имеет уравнение
вида y
= k
x
+ b.
В частном случае при k
= 0 асимптота называется горизонтальной,
так как ее уравнение y
= b
есть прямая, параллельная оси Ох.

Вертикальные
асимптоты.

Пусть дана кривая
y
= f
(x).
Для нахождения вертикальной асимптоты
этой кривой находят точки ее бесконечного
разрыва (точки разрыва второго рода).

Если, например,

и
,

то
прямая x
= x₀
─ вертикальная асимптота кривой y
= f
(x)
(рис. 1.8).

Наклонные
и горизонтальные асимптоты.

Пусть задана кривая
y
= f
(x).
Для нахождения наклонной асимптоты,
уравнение которой y
= k
x
+ b,
находят коэффициенты k
и b,
вычисляя пределы:
,.
Эти пределы вычисляются отдельно для
случаеви.
Если хотя бы один из пределов для
вычисленияk
и b
равен ∞ или не существует, то кривая
наклонных и горизонтальных асимптот
не имеет.

В частном случае,
когда k
= 0, а b
─ конечное число, кривая имеет
горизонтальную асимптоту, уравнение
которой y
= b.

Пример.
Найти асимптоты кривой
.

Решение. Функция
определена на всем множестве действительных
чиселR,
кроме точки x
= 1. Определим характер разрыва, для чего
вычислим пределы функции при x
→ 1 слева (x
< 1) и справа (x
> 1):

,
.

Так как один из
пределов бесконечен, то x
= 1 является точкой разрыва второго рода,
и, следовательно, кривая имеет вертикальную
асимптоту x
= 1.

Определим, имеет
ли кривая наклонную или горизонтальную
асимптоту. Для этого вычисляем
соответствующие пределы:

,
Уравнение
асимптотыy
= k
x
+ b
принимает вид y
= 1 (горизонтальная асимптота).

С

Рис.
1.9

хематический график функции
представлен на рис. 1.9.

1.14. Схема полного исследования функции и построение ее графика

Литература:
[3],
гл. V, §
11

[5],
Ч.1,
гл. 6, §
6.6

1.
Находим область определения функции.

2.
Устанавливаем четность, нечетность
функции, периодичность. Находим
характерные точки, например, точки
пересечения с осями координат.

3.Находим точки разрыва функции, определяем
их характер. При наличии точек разрыва
второго рода (точек бесконечного разрыва)
устанавливаем наличие вертикальных
асимптот графика функции.

4.
Находим производную функции, критические
точки, промежутки монотонности, точки
экстремума и значения функции в этих
точках.

5.
Находим вторую производную функции,
интервалы выпуклости и вогнутости
кривой и точки перегиба графика функции.

6.Устанавливаем наличие у исследуемой
кривой наклонных и горизонтальных
асимптот.

7.
По полученным данным строим график
функции.

Замечание.
Если функция является четной или
нечетной, то исследование проводят не
на всей числовой оси, а на промежутке
[0, +∞). Затем график продолжают симметрично
относительно оси ординат на промежуток
(-∞, 0), если функция четная, и относительно
центра системы координат, если функция
нечетная.

Если функция
периодическая, то ее график строят для
одного периода, а затем периодически
продолжают на всю числовую ось.

Пример.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена
и непрерывна на всей числовой оси, кроме
точек x
= ± 2.

2. Функция нечетная,
так как для нее выполняется условие
.
Поэтому достаточно провести исследование
на промежутке [0, +∞).

3. В промежутке [0,
+∞) имеется одна точка разрыва x
= 2. Исследуем характер точки разрыва,
для чего вычислим следующие пределы:

,

Так как односторонние
пределы бесконечные, то прямая x
= 2 является вертикальной асимптотой.

4. Находим первую
производную:

.

Находим критические
точки на промежутке [0, +∞):
,.
В точкепроизводная не существует, но эта точка
не является критической, так как функция
в ней не определена.

5. Находим вторую
производную:

.

Вторая производная
на промежутке [0, +∞) обращается в ноль
в точке x₁
= 0 и не существует в точке x₃
= 2, которая не входит в область определения
функции.

По полученным
данным строим таблицу:

x	0	(0, 2)	2	(2, )
	0	−	Не существует	–	0	+
	0	−	Не существует	+	+	+
y	0		Не существует		min

В первой строке
таблицы указаны интервалы, на которые
критические точки и точки, где вторая
производная равна нулю или не существует,
разбивают промежуток [0, +∞). Во второй
строке указан знак первой производной
в этих интервалах, в третьей − знак
второй производной. В четвертой строке
условно изображено возрастание или
убывание функции на промежутке (по знаку
первой производной), и выпуклость или
вогнутость кривой (по знаку второй
производной).

6. Ищем наклонную
асимптоту:

,

.

Кривая
на промежутке [0, +∞) имеет наклонную
асимптоту
.

Строим вертикальную
x
= 2 и наклонную y
= 2x
асимптоты, а затем по данным таблицы
строим график исследуемой функции на
промежутке [0, +∞), который затем продолжаем
на промежуток (-∞, 0) симметрично
относительно центра системы координат.

Соседние файлы в папке Литература (математика)

• #
• #
• #

Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.

Асимптоты графика функции

Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.

Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.

Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.

Вертикальные асимптоты

Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Наклонные асимптоты

Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ – это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.

Примеры решений

Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.

Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.

Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>)
ОДЗ: (xne left<-3;1right>)
(left\notin D) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем (x_0=-3). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-3-0-1)(-3-0+3)>=frac<1><-4cdot(-0)>=+infty\ lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-3+0-1)(-3+0+3)>=frac<1><-4cdot(+0)>=-infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=-3) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=1). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(1-0-1)(1-0+3)>=frac<1><-0cdot 4>=-infty\ lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(1+0-1)(1+0+3)>=frac<1><+0cdot 4>=+infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=1) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>) две точки разрыва 2-го рода (left\), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями (x=-3) и (x=1).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>)
Ищем предел функции на минус бесконечности: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-infty)(-infty)>=+0 end На минус бесконечности функция имеет конечный предел (b=0) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(+infty)(+infty)>=+0 end На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел (b=0) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>) одна горизонтальная асимптота (y=0). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>):

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции (y=frac), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: begin lim_frac=-infty, lim_frac=+infty end

График асимптотического поведения функции (y=frac):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) ( y=frac<4x> )
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(-1-0)><(-1-0+1)(-1-0-1)>=frac<-4><-0cdot(-2)>=-infty\ lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(-1+0)><(-1+0+1)(-1+0-1)>=frac<-4><+0cdot(-2)>=+infty end Точка (x=-1) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке (x=1) begin lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(1-0)><(1-0+1)(1-0-1)>=frac<4><2cdot(-0)>=-infty\ lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(1+0)><(1+0+1)(1+0-1)>=frac<4><2cdot(+0)>=+infty end Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты (x=pm 1)

График асимптотического поведения функции (y=frac<4x>)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_e^<frac<1>>=e^0=1\ b_2=lim_e^<frac<1>>=e^0=1\ b=b_1=b_2=1 end Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=1). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

График асимптотического поведения функции (y=e^<frac<1>>)

в) ( y=frac )
Заметим, что ( frac=frac<(x+1)(x-1)>=frac<(x^2)(x+1)><(x+1)(x-1)>=frac ) $$ y=fracLeftrightarrow begin y=frac\ xne -1 end $$ График исходной функции совпадает с графиком функции (y=frac), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой (x=-1).

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin k_1=lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=lim_fracright)>=frac<1+0><1-0>=1\ k_2=lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=lim_fracright)>=frac<1+0><1-0>=1\ k=k_1=k_2=1 end У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin b=lim_(y-kx)= lim_left(frac-2right)= lim_frac= lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=\ =lim_frac=frac<1+0><1-0>=1 end Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x+1).
График асимптотического поведения функции (y=frac)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_xe^<frac<1><2-x>>=-inftycdot e^0=-infty\ b_2=lim_xe^<frac<1><2-x>>=+inftycdot e^0=+infty end Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

График асимптотического поведения функции (y=xe^<frac<1><2-x>>)

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие асимптоты

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy .

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x) , если выполняется хотя бы одно из условий:

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy ) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Пример 4. Найти асимптоты график функции .

Горизонтальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox .

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x ) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox ), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Наклонные асимптоты

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше — угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

(1)

(2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0 .

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0 , т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0 . Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1 . Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

,

.

Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .

Пример 9. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и при этом . Знак переменной x совпадает со знаком . Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство . Из этого получаем область определения функции: . Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0 .

Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):

.

Точка x = 2 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 — вертикальная асимптота графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты:

Итак, y = x + 1 — наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :

Итак, y = −x − 1 — наклонная асимптота при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :

,

.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x . Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x .

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2 .

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x . Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2 , x = −2 и y = 2x .

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 12. Найти асимптоты графика функции .

Пример 13. Найти асимптоты графика функции .

Асимптоты графиков функций

Вертикальные асимптоты

Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

Определение 1. Говорят, что x стремится к x₀ слева и обозначают

Говорят, что x стремится к x₀ справа и обозначают

Определение 2. Прямую

называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с справа, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (с, d) и выполнено соотношение выполнено соотношение

при x → c + 0

называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с слева, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (d, c) и выполнено соотношение выполнено соотношение

при x → c – 0

Пример 1. Прямая

является вертикальной асимптотой графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

Пример 2. Прямая

является вертикальной асимптотой графика функции

при x , стремящемся к 0 справа (рис. 2)

Наклонные асимптоты

Определение 3. Прямую

называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

Определение 4. Прямую

называют горизотальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

называют горизотальной асимптотой графика функции y f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Замечание . Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты y = kx + b, когда угловой коэффициент прямой k = 0 .

Пример 3. Прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции

как при x , стремящемся к , так и при x , стремящемся к (рис. 3)

Пример 4. Прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции

при x , стремящемся к (рис. 4)

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Поиск наклонных асимптот графиков функций

Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует), нужно совершить 2 операции.

Первая операция. Вычислим предел предел

(1)

Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел предел

(2)

Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

делаем вывод о том, что прямая

является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .

Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует).

Первая операция. Вычислим предел предел

(3)

Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел предел

(4)

Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

делаем вывод о том, что прямая

является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .

Пример 5. Найти асимптоты графика функции

(5)

и построить график этой функции.

Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.

Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем

Отсюда вытекает, что прямая

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

При получаем

Отсюда вытекает, что прямая

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

Итак, y’ > 0 при x > 0 , y’ при x y’ = 0 при x = 0 . Точка x = 0 – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку x = 0 меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = 0 – точка минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.

Теперь мы уже можем построить график функции (5):

Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот y = x и y =v– x , поскольку справедливо неравенство:

.

Содержание:

Понятие асимптоты:

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Вертикальные асимптоты

— вертикальная асимптота, если при

Вертикальная асимптота может быть в точке если точка ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки значения функции стремятся к бесконечности.

Примеры вертикальных асимптот графиков функций

— вертикальная асимптота ( — также асимптота, но горизонтальная)

— вертикальная асимптота

Наклонные и горизонтальные асимптоты

I. Если — дробно рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.

Примеры:

При тогда Следовательно, — наклонная асимптота (также — вертикальная асимптота)

При тогда Следовательно, — горизонтальная асимптота (также — вертикальная асимптота)

II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптотможно получить с использованием формул

Понятие асимптоты

Если кривая имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.

Например, для графика функции (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при и при график функции приближается к прямой ось — горизонтальная асимптота. Когда функция стремится к (или ), то кривая приближается к прямой ось — вертикальная асимптота.

Если рассмотреть функцию то при выражение Вследствие этого график функции приближается к прямой поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функции(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту ).

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.

Вертикальные асимптоты

Если прямая — вертикальная асимптота, то по определению около точки кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при (слева или справа) должен равняться бесконечности (). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.

Например, у функции область определения имеет разрыв в точке (область определения: и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим

Аналогично

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой (рис. 7.3).

Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция имеет область определения поэтому прямая «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Аналогично Следовательно, около прямой функция не стремится к бесконечности, и поэтому прямая не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.

Например, еще раз рассмотрим функцию Выделим целую часть:

При выражение то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой при Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая (рис. 7.3).

Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.

Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции является прямая По определению асимптоты при график функции неограниченно приближается к прямой Другими словами, при с любой точностью будет выполняться равенство

(1)

Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Получим: При отношение поэтому отношение при , то есть

(2)

Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при то есть

(3)

Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции (при условии, что они существуют).

Отметим, что если у графика функции есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет (в этом случае ). Но при из формулы (3) получаем Следовательно, если существует число то график функции имеет горизонтальную асимптоту

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функции

Решение:

Будем искать наклонную асимптоту в виде где и находятся по формулам (2) и (3):

Асимптотой графика данной функции будет прямая то есть прямая

Пример:

Найдите асимптоты графика функции

Решение:

Область определения функции: — любое действительное число, то есть На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Тогда

Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту (рис. 7.5).

Иногда график функции может иметь разные асимптоты при и при в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения и при и при

Как найти асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности: Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Частным случаем наклонной асимптоты (k=0) является горизонтальная асимптота.

Пример:

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Функция непрерывна в области определения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты y=kx+b:

Получаем горизонтальную асимптоту y=0.

Общее исследование функции и построение графика

С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.

1. Найти область определения функции D(f).
2. Исследовать функцию на четность нечетность периодичность
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).

Пример:

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

Область определения функции – вся числовая прямая:

Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для

Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку точек разрыва нет.

Строим график функции, используя результаты исследования.