Как составить уравнение биссектрисы по координатам вершины треугольника

Как составить уравнение биссектрисы треугольника по координатам его вершин?

1 способ

Используя уравнение биссектрисы угла:

$[frac{{a_1 x + b_1 y + c_1 }}{{sqrt {a_1^2 + b_1^2 } }} = pm frac{{a_2 x + b_2 y + c_2 }}{{sqrt {a_2^2 + b_2^2 } }}.]$

Пример.

Даны вершины треугольника A(-5;4), B(7;-1) и C(3;10).

1) Составить уравнение биссектрисы треугольника ABC, выходящей из вершины A.

2) Найти длину этой биссектрисы.

Решение:

1) Угол A образован прямыми AB и AC. Составим уравнения этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, например, по формуле

$[frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}]$

Уравнение прямой AB:

$[frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}} = frac{{x + 5}}{{7 + 5}},]$

Уравнение прямой AC:

$[frac{{y - 4}}{{10 - 4}} = frac{{x + 5}}{{3 + 5}},]$

Подставляем уравнения прямых AB и AC в формулы уравнения биссектрис угла:

$[frac{{5x + 12y - 23}}{{sqrt {5^2 + 12^2 } }} = pm frac{{3x - 4y + 31}}{{sqrt {3^2 + ( - 4)^2 } }},]$

$[frac{{5x + 12y - 23}}{{13}} = pm frac{{3x - 4y + 31}}{5},]$

то есть

Из этих уравнений является уравнением биссектрисы внутреннего угла BAC треугольника, другое — биссектрисой внешнего угла при вершине A. Как отличить уравнение биссектрисы внутреннего угла?

Точки B и C лежат по одну сторону от биссектрисы внешнего угла, поэтому при подстановке координат B и C в уравнение мы получим числа одинакового знака. От биссектрисы внутреннего угла B и C лежат по разные стороны, поэтому подстановка их координат в уравнение биссектрисы внутреннего угла даёт нам числа разных знаков.

Подставляем в уравнение x-8y+37=0 координаты B и C.

B(7;-1): 7-8·(-1)+37>0

C(3;10): 3-8·10+37<0.

Таким образом, уравнение x-8y+37=0 является уравнением биссектрисы AF треугольника ABC.

2) Чтобы найти длину биссектрисы, найдём точку пересечения прямых AF и BF.

Уравнение прямой BC:

$[frac{{y + 1}}{{10 + 1}} = frac{{x - 7}}{{3 - 7}},]$

Координаты точки пересечения прямых AF и BC находим из системы уравнений

$[left{ begin{array}{l} 11x + 4y - 73 = 0, \ x - 8y + 37 = 0. \ end{array} right.]$

Решение системы —

$[F(frac{{109}}{{23}};frac{{120}}{{23}}).]$

Длину биссектрисы AF находим по формуле расстояния между точками A и F:

$[AF = sqrt {(x_F - x_A )^2 + (y_F - y_A )^2 } ]$

$[ AF = sqrt {(frac{{109}}{{23}} - ( - 5))^2 + (frac{{120}}{{23}} - 4)^2 } = ]$

$[= sqrt {(frac{{224}}{{23}})^2 + (frac{{28}}{{23}})^2 } = sqrt {frac{{50960}}{{23^2 }}} = frac{{28sqrt {65} }}{{23}}.]$

2 способ

Используя свойство биссектрисы треугольника:

$[frac{{AB}}{{AC}} = frac{{BF}}{{CF}}]$

$[AC = sqrt {(x_C - x_A )^2 + (y_C - y_A )^2 } ,]$

$[AC = sqrt {(3 - ( - 5))^2 + (10 - 4)^2 } = 10,]$

$[AB = sqrt {(x_B - x_A )^2 + (y_B - y_A )^2 } ,]$

$[AB = sqrt {(7 - ( - 5))^2 + ( - 1 - 4)^2 } = 13,]$

$[frac{{BF}}{{CF}} = frac{{13}}{{10}}.]$

По формулам деления отрезка в данном отношении

$[x = frac{{nx_1 + mx_2 }}{{m + n}},y = frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}]$

разделим отрезок BC в отношении 13 к 10, то есть

$[x_F = frac{{nx_B + mx_C }}{{m + n}},y_F = frac{{ny_B + my_C }}{{m + n}},m = 13,n = 10]$

$[x_F = frac{{10 cdot 7 + 13 cdot 3}}{{13 + 10}} = frac{{109}}{{23}},y_F = frac{{10 cdot ( - 1) + 13 cdot 10}}{{13 + 10}} = frac{{120}}{{23}}.]$

Составим уравнение биссектрисы AF треугольника ABC как уравнение прямой, проходящей через точки

$[A( - 5;4),F(frac{{109}}{{23}};frac{{120}}{{23}})]$

$[frac{{y - 4}}{{frac{{120}}{{23}} - 4}} = frac{{x + 5}}{{frac{{109}}{{23}} + 5}}, Rightarrow frac{{23(y - 4)}}{{28}} = frac{{23(x + 5)}}{{224}},]$

Источник

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

Делящая пополам угол линия

Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.

Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.

Способы построения

В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:

С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.

Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.

В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

Основные свойства

Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.

Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.

Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.

В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:

DB/DC = AB/AC.

Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.

Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:

L (A) = 2/(b+c)*(b*c*p*(p-a))^0,5.

Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.

Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

Уравнение биссектрисы треугольника

Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.

В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):

Сначала требуется определить уравнения двух сторон угла по их координатам. Это легко сделать в векторной форме, а затем, преобразовать ее в выражение общего типа.
Далее, необходимо найти уравнение биссектрис первого координатного угла, прировняв расстояния от ее точек до соответствующей стороны. Рабочая формула имеет вид: |A1*x + B1*y + C|/(A1² + B1²)^0,5 = |A2*x + B2*y + C|/(A2² + B2²)^0,5. Следует обратить внимание на наличие двух различных решений этого равенства, поскольку в числителе стоит модульное выражение. Два полученных уравнения говорят о наличии взаимно перпендикулярных биссектрис для углов треугольника внутреннего и внешнего.
Для внутреннего угла искомое уравнение можно найти, если определить точку пересечения соответствующей прямой с противоположной исходному углу стороной треугольника. Та точка, сумма расстояний от которой до концов отрезка будет равна длине стороны, принадлежит искомой биссектрисе.

Пример решения задачи

Пусть, треугольник задан координатами A (1, -1), B (0, -2), C (3,0). Следует уравнение биссектрисы найти для угла B и ее длину вычислить.

Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:

AB: (x, y) = (1, -1) + α*(-1, -1) ==> y — x + 2 = 0;
CB: (x, y) = (3, 0) + α*(-3, -2) ==> 3*y — 2*x + 6 = 0.

Составить уравнения биссектрис можно так:

| y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.

Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:

y*(6−3*3^0,5) + x*(3*3^0,5−4)+12−6*3^0,5 = 0;
y*(3*3^0,5+6) -x*(4+3*3^0,5)+12+6*3^0,5 = 0.

Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид:

x = 2*y + 3.

Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:

D1 = (-0,2515;-1,6258);
D2 = (1,556;-0,722).

При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:

D1A = 1,4; D1C = 3,635;
D2A = 0,621; D2C = 1,614.

Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2:

BD2 = 2,014 единицы.

Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.

Источник

По известным координатам вершин треугольника А(4;4), В(-6;-1), С(-2;-4) записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в общем виде биссектрисы угла АВС.

Решение

Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула, от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).

1. Найдем уравнение стороны АВ. В качестве точки прямой можно взять точку А с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор АВ. Найдем координаты вектора АВ:

2. Тогда каноническое уравнение стороны АВ запишется:

3. Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны ВС: координаты вектора

4. Откуда каноническое уравнение:

Следовательно, общее уравнение: 3x+4y+22=0.

5. Для стороны CА: координаты направляющего вектора

6. Каноническое уравнение:

7. Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах АВ и ВС треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b).

8. Для нахождения орта a необходимо знать координаты вектора BA:

соответственно a определится как:

9. Аналогично определим орт b:

Теперь определим их сумму:

10. Тогда каноническое уравнение биссектрисы:

Источник

Найти уравнение биссектрисы внутреннего угла и угол в радианах по координатам вершин треугольника

Flameshadow

Профи

(513),
закрыт

13 лет назад

Viktor

Просветленный

(49792)

13 лет назад

Сначала нужно составить уравнения сторон АВ и ВС. Затем использовать формулу (А1х+В1у+С1)/+-sqrt(А1 в квадрате+В1 в квадрате) =(А2х+В2у+С2)/+-sqrt(А2 в квадрате+В2 в квадрате). Упростите и получите уравнение бисектрисы.

Источник

Пример решения
некоторых заданий из типовой работы
«Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины
,

треугольника АВС. Найти:

Уравнения всех
сторон треугольника;
Систему линейных
неравенств, определяющих треугольник
АВС;
Уравнения высоты,
медианы и биссектрисы треугольника,
проведенных из вершины А;
Точку пересечения
высот треугольника;
Точку пересечения
медиан треугольника;
Длину высоты,
опущенной на сторону АВ;
Угол А;
Сделать чертеж.

Решение:

Пусть вершины
треугольника имеют координаты: А
(1; 4), В
(5; 3), С
(3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать
уравнения всех сторон треугольника,
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две заданные точки с
координатами (x₀,
y₀)
и (x₁,
y₁):

Таким образом,
подставляя вместо (x₀,
y₀)
координаты точки А,
а вместо (x₁,
y₁)
координаты точки В,
мы получим уравнение прямой АВ:

Полученное уравнение
будет уравнением прямой АВ,
записанным в общей форме. Аналогично
находим уравнение прямой АС:

И так же уравнение
прямой ВС:

2. Заметим, что
множество точек треугольника АВС
представляет собой пересечение трех
полуплоскостей, причем каждую полуплоскость
можно задать с помощью линейного
неравенства. Если мы возьмем уравнение
любой из сторон ∆АВС,
например АВ,
тогда неравенства

задают точки,
лежащие по разные стороны от прямой АВ.
Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где
лежит точка С. Подставим ее координаты
в оба неравенства:

и
.

Правильным будет
второе неравенство, значит, нужные точки
определяются неравенством

Аналогично поступаем
с прямой ВС, ее уравнение
.
В качестве пробной используем точку А
(1, 1):

значит, нужное
неравенство имеет вид:

Если проверим
прямую АС (пробная точка В), то получим:

значит, нужное
неравенство будет иметь вид

Окончательно
получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥»
означают, что точки, лежащие на сторонах
треугольника, тоже включены во множество
точек, составляющих треугольник АВС.

3. а) Для того, чтобы
найти уравнение высоты, опущенной из
вершины А на
сторону ВС,
рассмотрим уравнение стороны ВС:

.
Вектор с координатами

перпендикулярен стороне ВС
и, значит, параллелен высоте. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку А
параллельно вектору
:

Это уравнение
высоты, опущенной из т. А
на сторону ВС.

б) Найдем координаты
середины стороны ВС
по формулам:

Здесь

– это координаты т. В,
а

– координаты т. С.
Подставим и получим:

Прямая, проходящая
через эту точку и точку А
является искомой медианой:

в) Уравнение
биссектрисы мы будем искать, исходя из
того, что в равнобедренном треугольнике
высота, медиана и биссектриса, опущенные
из одной вершины на основание треугольника,
равны. Найдем два вектора

и

и их длины:

Тогда вектор

имеет такое же направление, что и вектор
,
а его длина

Точно так же единичный вектор

совпадает по направлению с вектором

Сумма векторов

есть вектор, который
совпадает по направлению с биссектрисой
угла А.
Таким образом, уравнение искомой
биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной
из высот мы уже построили. Построим
уравнение еще одной высоты, например,
из вершины В.
Сторона АС
задается уравнением

Значит, вектор

перпендикулярен АС,
и, тем самым, параллелен искомой высоте.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через вершину В
в направлении вектора

(т. е. перпендикулярно АС),
имеет вид:

Известно, что
высоты треугольника пересекаются в
одной точке. В частности, эта точка
является пересечением найденных высот,
т.е. решением системы уравнений:

– координаты этой
точки.

5. Середина АВ
имеет координаты
.
Запишем уравнение медианы к стороне
АВ. Эта
прямая проходит через точки с координатами
(3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет
вид:

Заметим, что ноль
в знаменателе дроби в записи уравнения
прямой означает, что эта прямая проходит
параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку
пересечения медиан достаточно решить
систему уравнений:

Точка пересечения
медиан треугольника имеет координаты
.

6. Длина высоты,
опущенной на сторону АВ,
равна расстоянию от точки С
до прямой АВ
с уравнением

и находится по формуле:

7. Косинус угла А
можно найти по формуле косинуса угла
между векторами

и
,
который равен отношению скалярного
произведения этих векторов к произведению
их длин: