Как составить уравнение биссектрисы углов между прямой

Уравнение биссектрисы угла

Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.

Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0.

Расстояние от точки (x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле

По свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть

Это равенство можно записать в виде

Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.

Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.

В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых:

Составить уравнение биссектрис углов образованных двумя прямыми

Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми

Решение

Найдем точку пересечения двух прямых

Направляющий вектор первой прямой есть , второй , так как их скалярное произведение положительно , поэтому найдем уравнение биссектрисы между векторами , проходящую через точку

Направляющий вектор биссектрисы угла равен сумме нормированных направляющих векторов сторон

Так как точка лежит на этой биссектрисе, то

Задание 8

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно плоскости

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9987 – | 7776 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.

Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0.

Расстояние от точки (x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле

По свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть

Это равенство можно записать в виде

Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.

Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.

В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых:

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Даны прямые: 11x-2y+5=0 и 4x+8y-7=0

Уравнения биссектрис углов между прямыми Ax + By + C = 0 и A₁x + B₁y + C₁ = 0:

Знак + или – выбирается в зависимости от того, нужно уравнение биссектрисы острого или тупого углов.

Подставив коэффициенты заданных прямых в приведенную формулу, получим уравнения биссектрис:

В приближённом варианте у ≈ 1,3541х + 1,3772.

Задача 34288 Составить уравнение биссектрисы угла.

Условие

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми l1(4x–y+1=0) и l2(2x–y+1=0) смежного с углом, содержащим точку M(1;2)

Решение

Пусть точка Р(х;у) лежит на биссектрисе угла между прямыми.
Это значит, что расстояние d_(1) это точки до прямой l_(1) равно
расстоянию d_(2) это точки до прямой l_(2)

Прямая 4x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
4x–y+1>0 или 4x–y+1 0 – верно;
Прямая 2x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
2x–y+1>0 или 2x–y+1 0 – верно;

Значит точка M принадлежит области
4x–y+1>0
2x–y+1>0
а смежные области задаются неравенствами противоположных знаков.

Поэтому в (#) знак модуля раскрывается так:
(4x-y+1)/sqrt(4^2+1^2) =- (2x-y+1)/sqrt(2^2+1^2)

Делим на (sqrt(5)+sqrt(17))

((2sqrt(17)+4sqrt(5))/(sqrt(17)+sqrt(5))) * x – y + 1=0

Избавляемся от иррациональности в знаменателе

[b]((7 – sqrt(85))/6)*x – y + 1 = 0[/b]

[spoiler title=”источники:”]

http://4apple.org/sostavit-uravnenie-bissektris-uglov-obrazovannyh/

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=34288

[/spoiler]

Пусть
имеем две прямые:

,
её
вектор нормали
=
и :

,
её
вектор нормали
=.
Будем предполагать, что векторы

и

всегда располагаются внутри одного из
углов, образуемых пересекающимися
прямыми (векторы

и
–
свободные!).
В общем случае прямые при пересечении
образуют один угол острый, а второй
тупой. Возникает классическая
задача:
найти уравнение биссектрисы тупого и
острого углов.

Существует
несколько способов решения задачи. В
каждом из них на первом шаге уста­навливается
факт: векторы

и

располага­ются в области тупого угла
или в области ост­рого. На этот вопрос
достаточно просто отве­чает скалярное
произведение векторов: а)
∙
> 0 – векторы расположены в области
тупого угла; б)
∙
< 0 – векторы расположены в области
острого угла. Далее рассмотрим наиболее
ин­тересные способы решения поставленной
задачи.

Способ–1.
Пусть векторы

и

располагаются в области тупого угла.
Учтём, что для точек, расположенных
внутри тупого угла с векторами

и

отклонения от прямых
и
положи­тельно: >0,
>0.
Это значит, что для точек биссектрисы
тупого угла выполняется равенство:

или: =. ()

Если бы
теперь нужно было построить биссектрису
острого угла, то уравнение нужно за­писать
в виде: =
–. ()

Если бы
векторы

и

располагались в области острого угла,
то биссектриса острого угла определялась
бы выражением ,
а биссектриса тупого –
выражением .

Способ–2.
В этом случае примем схему решения
задачи: а) находим точку

пересече­ния прямых
и ;
б) находим направление биссектрис ;
в) проводим прямую через заданную точку
в заданном направлении.

Для
определения направления биссектрис

построим единичные векторы:

и
,
затем суммы:
=+–определяет
направление биссектрисы угла, содержащего
векторы
,;

=––определяет
направление биссектрисы угла, смежного
первому.

Используя
угловой коэффициент вектора
,
строим биссектрису угла, содержащего
векторы
,;
если использовать угловой коэффициент
век­тора
,
построим биссектрису смежного угла.

Замечание: на
самом деле, достаточно найти толь­ко
один вектор:
для первой биссек­трисы он играет
роль направляющего вектора, а для второй
– роль вектора нормали.

Способ–3.
Воспользуемся уравнением пучка прямых:

и вектором
,
который будет иг­рать роль направляющего
или нормального, в зависимости от
конкретного задания.

Интересно рассмотреть
один и тот же пример, решив его сразу
всеми тремя способами: это позволит
сравнить их трудоёмкости!

☺☺

Пример
3–27:
Составить уравнение биссектрисы тупого
угла, образованного прямыми::;:.

Решение:

Имеем:

=(3,–4)
и
=(12,
5). Вычис­лим:
∙=>0
– векторы рас­по­ло­жены в области
тупого угла. Далее рас­смотрим решения
поставленной задачи тре­мя способами.

Способ–1.
Воспользуемся формулой

при условии равенства отклонений

произвольной точки
биссектрисы от
и :
=,
откуда получаем уравнение биссектрисы
выделенного угла: .

Способ–2.
В этом случае примем схему решения
задачи: а) находим точку
,
в которой пересекаются прямые
и ;
б) находим направление бис­сектрис
;
в) проводим прямую через заданную точку
в заданном направлении.

Координаты
точки
находим из системы урав­нений:
→

=.

Для
определения направления искомой
биссектрисы

построим единичные векторы
=(3,–4)
и
=(12,5),
затем вектор суммы:
=–=–(3,11)
– нормаль биссектрисы угла, содержащего
векторы
,.
Примем:
=(3,11).
Тогда уравнение биссек­трисы запишем
в виде: 3+11=0,
или .

Способ–3.
Воспользуемся уравнением пучка :

+=0,
или в виде:
=0
и направляющим вектором
=(11,–3).
Вектору

соответствует угловой коэффициент

=–.
Тогда:
===–.
Получаем уравнение искомой биссектрисы:
.

Ответ:
искомая
биссектриса: .

Замечание: трудоёмкость
рассмотренных способов различна;
одновременное использование разных
способов полезно наблюдением одинакового
окончательного результата.

☻

Соседние файлы в папке ЛА и АГ пособие

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти уравнение биссектрисы

Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные своими уравнениями. Требуется найти уравнение прямой, которая, проходя через точку пересечения этих двух прямых, делила бы точно пополам угол между ними, то есть являлась бы биссектрисой.

Инструкция

Предположим, что прямые заданы своими каноническими уравнениями. Тогда A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0. При этом A1/B1 ≠ A2/B2, иначе прямые параллельны и задача не имеет смысла.

Поскольку очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют между собой четыре попарно равных угла, то должны существовать ровно две прямые, удовлетворяющие условию задачи.

Эти прямые будут перпендикулярны друг другу. Доказательство этого утверждения достаточно просто. Сумма четырех углов, образованных пересекающимися прямыми, будет всегда равна 360°. Поскольку углы попарно равны, то эту сумму можно представить в виде:
2a + 2b = 360° или, что очевидно, a + b = 180°.
Поскольку первая из искомых биссектрис делит пополам угол a, а вторая — угол b, то угол между самими биссектрисами всегда равен a/2 + b/2 = (a + b)/2 = 90°.

Биссектриса, по определению, делит угол между прямыми пополам, а значит, для любой точки, лежащей на ней, расстояния до обеих прямых будут одинаковыми.

Если прямая задана каноническим уравнением, то расстояние от нее до некоторой точки (x0, y0), не лежащей на этой прямой:
d = |(Ax0 + By0 + C)/(√(A^2 + B^2))|.
Следовательно, для любой точки, лежащей на искомой биссектрисе:
|(A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2)| = |(A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2)|.

Из-за того, что в обеих частях равенства стоят знаки модуля, оно описывает сразу обе искомые прямые. Чтобы превратить его в уравнение только одной из биссектрис, нужно раскрыть модуль либо со знаком +, либо со знаком -.
Таким образом, уравнение первой биссектрисы:
(A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2) = (A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2).
Уравнение второй биссектрисы:
(A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2) = -(A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2).

Например, пусть заданы прямые, определенные каноническими уравнениями:
2x + y -1 = 0,

x + 4y = 0.
Уравнение их первой биссектрисы получается из равенства:
(2x + y -1)/√(2^2 + 1^2) = (x + 4y + 0)/√(1^2 + 4^2), то есть
(2x + y – 1)/√5 = (x + 4y)/√15.
Раскрывая скобки и переводя уравнение в канонический вид:
(2*√3 – 1)*x + (√3 – 4)*y – √3 = 0.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?