Исходя
из определения 2, выберем ДПСК так, чтобы
центр эллипса имел координаты (x0,y0),
а его оси были параллельны координатным
осям. В этой системе эллипс будет
определяться уравнением
. (3)
К этому же уравнению
приходим и исходя из определения 1 после
параллельного переноса системы координат
в точку (–x0;–y0).
Фокусы эллипса
(3) лежат на прямой y=y0,
если a>b,
и на прямой x=x0
, если a<b.
V Параметрические уравнения эллипса (1):
Замечание.
Окружность – это частный случай
эллипса, когда a=b.
А
эллипс можно понимать как деформированную
окружность.
Типовые
задачи.
1). Составить каноническое уравнение
эллипса, зная некоторые из его элементов.
2). Общее уравнение эллипса, например
x2+4y2+4x–8y–8=0,
привести к нормальному виду и найти
элементы эллипса. 3). Выяснить, какую
линию определяет уравнение
.
ЛЕКЦИЯ 10
§4. Гипербола
I Каноническое уравнение гиперболы
Определение
1. Гиперболой
называется линия, которая в некоторой
ДПСК имеет уравнение
(1)
где a
и b
– некоторые положительные числа.
Гипербола (как и
эллипс) симметрична относительно обеих
осей координат. В первой четверти
уравнение (1) эквивалентно уравнению
. (2)
При
гипербола (2) не существует,y(a)=0
и при стремлении x
в
,у
также стремится в
.
Чтобы выяснить характер этого стремления,
рассмотрим прямую
и найдем расстояниеd(M,p),
где M(x,y)–
текущая точка гиперболы (2):
Умножая и деля
полученное выражение на
,
получим
.
Теперь нетрудно
заметить, что
при
,
т.е. гипербола (2) приближается к прямойp.
Эту прямую ( а с ней и прямую
в
силу симметрии)
называют асимптотой гиперболы.
II Определяющее свойство гиперболы
Обозначим
и рассмотрим точкиF1(–c;0)
и F2(c;0)
(их называют фокусами гиперболы). Можно
доказать (докажите!), что для любой точки
M
гиперболы (1) имеет место соотношение
.
Как и для эллипса,
это свойство можно взять за определение
и получить каноническое уравнение (1) в
некоторой ДПСК.
Определение
2. Гипербола
есть геометрическое место точек
(плоскости), для каждой из которых модуль
разности расстояний до двух данных
точек (называемых фокусами гиперболы)
есть величина постоянная
(меньшая расстояния
между фокусами).
III Элементы гиперболы
Оси симметрии
гиперболы называют, обычно, просто ее
осями, а точку их пересечения – центром
гиперболы. Для канонической гиперболы
– это оси координат и начало координат.
Точки пересечения гиперболы со своими
осями – это вершины гиперболы. Гипербола
(1) имеет две действительные вершины
A1(–a;0)
и A2(a;0)
и две “мнимые” вершины B1(0;–b)
и B2(0;b).
Отрезок A1A2
и его длина
2а
называется действительной осью гиперболы
(1), а отрезок B1B2
и его длина 2b
– мнимой осью (a
и b
– полуоси, действительная и мнимая).
Прямоугольник со сторонами 2a
и 2b,
расположенный симметрично относительно
осей гиперболы и касающийся ее в вершинах
называется основным прямоугольником
гиперболы. Диагонали этого прямоугольника
– прямые
– это асимптоты гиперболы.
Для любой точки
M
гиперболы
отрезки MF1
и MF2
и их длины
r1
и r2
называются фокальными
радиусами этой
точки.
Гипербола
состоит из двух частей,
которые
называются ветвями.
Эллипс:
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек 
Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы 
Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.
Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно 
Согласно определению эллипса имеем 
Из треугольников 
и 
по теореме Пифагора найдем
соответственно. Следовательно, согласно определению имеем
Возведем обе части равенства в квадрат, получим
Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим 
Раскроем разность квадратов 
Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение 
Вновь возведем обе части равенства в квадрат 
Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим 
Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим
Введем обозначение для разности, стоящей в скобках 
Уравнение принимает вид 
Разделив все члены уравнения на 
получаем каноническое уравнение эллипса: 
Если 
то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства – вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки 
следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:
Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.
Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса
Определение: Если 
то параметр а называется большой, а параметр b – малой полуосями эллипса.
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса 
Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству 
Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси 
Если 
и эллипс вырождается в окружность. Если 
и эллипс вырождается в отрезок 
Пример:
Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет 
Решение:
Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр 
Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса 
Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: 
Пример:
Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса 
а третья вершина – в центре окружности
Решение:
Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: 
Следовательно, большая полуось эллипса 
а малая полуось 
Так как 
то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса
Итак,
Окружность: 
Выделим полные квадраты по переменным 
Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).
Построим в декартовой системе координат треугольник 
Согласно школьной формуле площадь треугольника 
равна 
Высота 
а основание 
Следовательно, площадь треугольника 
равна:
Эллипс в высшей математике
Рассмотрим уравнение
где 
и 
—заданные положительные числа. Решая его относительно 
, получим:
Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное 
по абсолютной величине меньше 
, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству 
соответствуют два значения 
, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси 
. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси 
. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.
При 
, при 
. Кроме того, заметим, что если 
увеличивается, то разность
уменьшается; стало быть, точка 
будет перемещаться от точки 
вправо вниз и попадет в точку 
. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.
Полученная линия называется эллипсом. Число 
является длиной отрезка 
, число 
—длиной отрезка 
. Числа 
и 
называются полуосями эллипса. Число 
эксцентриситетом.
Пример:
Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.
Решение:
Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом 
(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось 
примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось 
будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости 
возьмем окружность радиуса 
с центром в начале координат, ее уравнение 
.
Пусть точка 
лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению 
.
Обозначим проекцию точки 
на плоскость 
буквой 
, а координаты ее—через 
и 
. Опустим перпендикуляры из 
и на ось 
, это будут отрезки 
и 
. Треугольник 
прямоугольный, в нем 
, 
,
, следовательно, 
. Абсциссы точек и равны, т. е. 
. Подставим в уравнение 
значение 
, тогда cos
или
а это есть уравнение эллипса с полуосями 
и 
.
Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.
Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.
Уравнение эллипсоида
Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:
где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.
Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей 
с коэффициентами деформации, равными 
В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам 
(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем
(рис. 206). Отсюда
Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в 
раз, если 
, и увеличиваются в 
раз, если 
и т. д.
Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь
где 
Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.
Величины 
называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины 
называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).
Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями
а = b = 6377 км и с = 6356 км.
Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.
- Гипербола
- Парабола
- Многогранник
- Решение задач на вычисление площадей
- Шар в геометрии
- Правильные многогранники в геометрии
- Многогранники
- Окружность
фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того,
что:
и 2;
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
24, а расстояние между фокусами 2c=10;
его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.
равна 20, а эксцентриситет e=3/5.
10, а эксцентриситет e=12/13;
его директрисами равно 5 и расстояние между
фокусами 2c=4;
равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
6, а расстояние между директрисами равно 13;
его директрисами равно 32 и e=1/2.
уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси
ординат симметрично начала координат, зная,
кроме того, что:
соответственно 7 и 2;
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.
16, а эксцентриситет e=3/5.
его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами
равно 50/3;
его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.
каждого из следующих эллипсов:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
. Найти его полуоси, фокусы,эксцентриситет, уравнения директрис.
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса
, а две другиесовпадают с концами его малой оси.
. Найти его полуоси, фокусы,эксцентриситет, уравнения директрис.
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса
, две другие лежат сконцами его малой оси.
расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса
доодносторонней с этим фокусом директрисы.
циркулем, построить фокусы эллипса
(считая,что изображены оси координат и задана масштабная
единица).
найти точку, абсцисса которых равна–3.
из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2;
-4), A4(-1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3;
-2), A8(2; 1), A9(0; 15), A10(0; -16) лежат на эллипсе
, какиевнутри и какие вне его.
линии опеределяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже.
;
;
;
.эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса
равен 10. Вычислить расстояние от точки М до
односторонней с этим фокусом директрисы.
эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до
директрисы равно 20. Вычислить расстояние от
точки М до фокуса, односторонней с этой
директрисой.
; составитьуравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М1.
459
точка M1(-4; 2,4) лежит
на эллипсе
, определить фокальные радиусы точкиМ1.
эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом
координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить
расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до
директрисы, односторонней с данным фокусом.
эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом
координат, одна из директрис дана уравнением x=16.
Вычислить расстояние от точки M1
эллипса с абсциссой, равной –4, до
фокуса, одностороннего с данной директрисой.
эллипса
, расстояние которых доправого фокуса равно 14.
эллипса
, расстояние которых долевого фокуса равно 2,5.
проведен перпендикуляр к егобольшой оси. Определить расстояния от точек
пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до
фокусов.
уравнения эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если даны:
; 2) эллипсаи его малая полуось b=3;
-2) эллипса и его большая полуось
a=4;
) иМ2(
; 3) эллипса;
; -1) эллипсаи его эксцентриситет e=2/3;
-5/3) эллипса и его эксцентриситет
e=2/3;
12) эллипса и расстояние r1=20
от нее до левого фокуса.
; 2) эллипсаи расстояние между его директрисами, равное 10.
эксцентриситет e эллипса, если:
из фокусов под углом 600;
фокусами виден и вершин малой оси под прямым
углом;
директрисами в три раза больше расстояния между
фокусами;
перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на
его директрису, делится вершиной эллипса
пополам.
эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси
(см. рис.). Определить, при каком значении
эксцентриситета эллипса отрезки
и 
будутпараллельны.
уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x0, y0), если
известно, что оси симметрии эллипса параллельны
осям координат.
абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4).
Составить уравнение этого эллипса, зная, что его
оси симметрии параллельны координатным осям.
является центром эллипса, касающегося обеих
координатных осей. Составить уравнение этого
эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны
координатным осям.
каждое из следующих уравнений определяет эллипс,
и найти координаты его центра С, полуоси,
эксцентриситет и уравнения директрис:
;
;
.линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже.
;
;
;
.уравнение эллипса, зная, что:
равна 26 и фокусы суть F1(-10; 0), F2(14;0);
473.2
2 и фокусы суть F1(-1; -1), F2(1;
1);
473.3
эксцентриситет e=
.473.4
расстояние между директрисами равно
.474
эксцентриситет
,фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей
директрисы
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы
.на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а
соответствующая директриса дана уравнением
. Составить уравнение этого эллипса.уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение
соответствующей директрисы
.-1) лежит на эллипсе, фокус
которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана
уравнением
. Составить уравнение этого эллипса.-1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой
. Составитьуравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет
e=
.пересечения прямой
и эллипса 
.пересечения прямой
и эллипса 
.пересечения прямой
и эллипса 
.расположена прямая относительно эллипса:
пересекает ли, касается или проходит вне его,
если прямая и эллипс заданы следующими
уравнениями:
, 
;
, 
;
, 
.каких начениях m прямая
:
;эллипса.
при котором прямая
касается эллипса 
.уравнение касательной к эллипсу
в еготочке M1(x1; y1).
касательные к эллипсу
, проведенныев концах одного и того же диаметра, параллельны.
(Диаметром эллипса называется его хорда,
проходящая через его центр).
уравнения касательных к эллипсу
, параллельныхпрямой
.уравнения касательных к эллипсу
, перпендикулярныхк прямой
.
параллельнопрямой
и вычислить расстояние d между ними.
найти точку М1,ближайшую к прямой
, и вычислить расстояние d от точки М1 доэтой прямой.
проведены касательные к эллипсу
. Составитьих уравнения.
проведены касательные к эллипсу
. Составитьуравнение хорды, соединяющей точки касания.
проведены касательные к эллипсу
. Вычислитьрасстояние d от точки Р до хорды эллипса,
соединяющей точки касания.
через точку А(4; -1) и касается прямой
. Составитьуравнение этого эллипса при условии, что его оси
совпадают с осями координат.
уравнение эллипса, касающегося двух прямых
, 
, приусловии, что его ося совпадают с осями координат.
произведение расстояний от центра эллипса до
точки пересечения любой его касательной с
фокальной осью и до основания перпендикуляра,
опущенного из точки касания на фокульную ось,
если величина постоянная, равная квадрату
большой полуоси эллипса.
произвдение расстояний от фокусов до любой
касательной к эллипсу равно квадрату малой
полуоси.
касаетсяэллипса, фокусы которого находятся в точках F1(-3;
0), F2(3; 0). Составить
уравнение этого эллипса.
уравнение эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если известны уравнение касательной к
эллипсу
и его малая полуось b=2.прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М,
составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит
вне угла F1MF2.
эллипса
под тупым углом 
к осиOx направлен луч света. Известно, что
. Дойдядо эллипса, луч на него отразился. Составить
уравнение прямой, на которой лежит отраженный
луч.
пересечения эллипсов
, 
.эллипсы
, 
(
) пересекаютсяв четырех точках, лежающих на окружности с
центром в начале координат, определить радиус R
этой окружности.
и 
образуют угол 
=300. Опредлитьполуоси эллипса, полученного проектированием на
плоскость
окружности радиуса R=10,лежащей наплоскости
.полуось которого равна 6, является проекцией
окружности радиуса R=12. Опредилть угол
между плоскостями, в которых лежатэллипс и окружность.
круглого цилиндра является окружность радиуса
R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в
сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к
его оси под уголом
=300.круглого цилиндра является окружность радиуса R=
. Определить, под каким углом к осицилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в
сечении получить эллипс с большой полуосью a=2.
сжатием (или равномерным растяжением) плоскости
к оси абсцисс называется такое преобразование
точек плоскости, при котором произвольная точка
M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что
x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая
коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично
рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется
равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2).
Определить, в какую линию преобразуется
окружность
, если коэффициентравномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.
равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4.
Определить уравнение линии, в которую при таком
сжатии преобразуется эллипс
.линии, в которую преобразуется эллипс
при двух последовательныхравномерных сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия
плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и
6/7.
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Ox, при котором эллипс
преобразуетсяв эллипс
.коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Oy, при котором эллипс
преобразуетсяв эллипс
.коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных
сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых
эллипс
преобразуется в окружность 
.
Что мы знаем со школы про эллипс? К сожалению, исходя из своей практики работы с учениками, многие вплоть до 11 класса не сталкиваются с такой замечательной плоской фигурой, впрочем как и с её частным случаем – окружностью. Некоторые знают только примерный вид уравнения…
Кстати, какое оно? Каноническим уравнением эллипса считается следующее уравнение:
Почему оно именно такое? Что ж, это можно вывести из определения. Поэтому давайте его напишем.
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Давайте сделаем рисунок и попробуем вывести каноническое уравнение из определения эллипса.
Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса M(x; y) до фокусов – через 2a. По определению 2а > 2c, т.е. а > c.
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат OXY так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали а оси OX, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F₁(-c; 0) и F₂(+c; 0).
Тогда, согласно определению эллипса, MF₁ + MF₂ = 2a, то есть:
Мы вывели каноническое уравнение эллипса и доказали, что оно эквивалентно начальному уравнению из определения.
Эллипс – кривая второго порядка.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, используя его каноническое уравнение.
1. Каноническое уравнение содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка (x; y) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (x; -y), (-x; y), (-x; -y). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей координат Ox и Oy, а также точки O(0; 0), которая является центром эллипса.
2. Точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y = 0, находим две точки A₁(a; 0) и A₂(-a;0), в которых ось Ox пересекает эллипс. Положив в уравнении x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью Oy: B₁(0; b) и B₂(0; -b). Все эти 4 точки называются вершинами эллипса.
Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
3. Также из канонического уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства
Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±a и y = ±b.
4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных слагаемых (x/a)² и (y/b)² равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если |x| возрастает, то |y| уменьшается и наоборот.
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения b/a. При a = b = R эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса принимает вид x² + y² = R². Однако, в качестве характеристики формы эллипса чаще используется отношение c/a.
Отношение c/a половины расстояния между фокусами к большей полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой «эпсилон» ε:
Из последней строки видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным, то есть больше походить на окружность, быть ближе к ней по форме. Если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.
Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точки M.
Очевидно, что r₁ + r₂ = 2a.
Тогда имеют место быть формулы: r₁ = a + εx и r₂ = a + εx
Выведем эти формулы
Прямые x = ±a/ε называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Теорема
Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r/d = ε.
Из равенства a² – c² = b² следует, что a > b. Если же a < b, то каноническое уравнение (x/a)² + (y/b)² = 1 определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси OY, а малая ось 2a – лежит на оси Ox. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁(0; +c) и F₂(0; -c), где c = √(b² – a²).
Площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Допустим, что перед нами стоит следующая задача:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
Решение:
Зададим эллипс параметрическими уравнениями:
x = a⋅cos(t) и y = b ⋅ sin(t). Кстати, выразив косинус и синус из каждого, а потом возведя в квадрат оба уравнения, сложив их, можно прийти к каноническому уравнению эллипса.
В силу симметричности эллипса относительно начала координат, нам достаточно найти площадь 1/4 части эллипса, а затем умножить результат на 4. Сделаем подходящий рисунок.
Здесь x изменяется от 0 до a, следовательно параметр t изменяется от π/2 до 0. Площадь четверти эллипса будем искать с помощью интегрирования функции, задающей эллипс в первой четверти координат.
Длина дуги эллипса (периметр эллипса)
Ознакомиться с эллиптическими интегралами
Стоит заметить, что для окружности всё получается гораздо проще, и мы легко выводим формулу, знакомую нам со школы C = 2πR.
Приближённые формулы для периметра
Точные формулы для периметра
Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
Площадь сегмента эллипса
Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой , проходящей через точки (x; y) и (x; -y) можно определить по формуле:
Если эллипс задан уравнением Ax² + Bxy + Cy² = 1, то площадь можно определить по формуле
Физический смысл фокусов
1. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
2. Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
3. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки M, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой F₁M равен углу между касательно и прямой F₂M.
4. Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
5. Эволютой эллипса является астроида , вытянутая вдоль вертикальной оси. Эволюта плоской кривой — геометрическое место точек , являющихся центрами кривизны кривой. По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой .
6. Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину .
Аффинная длина — параметр плоской кривой , который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях , сохраняющих площадь ).
7. Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше эллипсографе.
Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.
Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов – Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.
Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе. Название «фокус» как раз и связано со словом «фокусировка» лучей. Если на орбите Земли расположить зеркала, так чтобы они были повёрнуты ровно по касательной к орбите, то все лучи соберутся во 2 фокусе, то есть из той точки будет видно, что вся орбита светится.
Последнее свойство используется в физике для построение оптических резонаторов в лазерной технике. Лампа накачки размещается вдоль одной из фокальных осей зеркально отражающего эллиптического цилиндра, а лазерный стержень располагается вдоль другой фокальной оси. На второй фокальной оси помещают активную среду. А свойства эллиптической поверхности помогают быть уверенными в том, что вся энергия лампы накачки соберется в области активной среды.
Почитать подробнее здесь
Поместим в одном из фокусов зеркального эллипса лампочку
и проследим за выпущенными из неё лучами света. Отразившись от эллипса, они соберутся в другом фокусе. Причём окажутся там одновременно:
Зрительно напомним геометрическое определение эллипса: эллипс есть множество точек M плоскости, сумма расстояний от которых до данных точек A и B постоянна:
Решим вспомогательную задачу. Даны две точки по одну сторону от прямой. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l.
Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке M надо набирать воду, чтобы общий путь имел минимальную длину?
Рассмотрим точку B’, симметричную точке B. Тогда XB = XB’. Длина AX+XB = AX+XB’ минимальна, когда ломаная AXB’ превращается в прямую.
Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке набирать воду? Ответ: в точке пересечения l с AB’ (где B’ симметрична B относительно l). Заодно мы доказали равенство углов. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. Где набирать воду?
Ответ 1: в точке пересечения l с AB’.
Ответ 2: там, где «угол падения равен углу отражения».
Принцип Ферма: свет выбирает кратчайший путь между двумя точками.
Вернемся к доказательству оптического свойства эллипса. На эллипсе сумма AM+MB постоянна. А для точек вне эллипса эта сумма больше, AX+XB > AM+MB.
В частности, если провести в точке M касательную к эллипсу, то для любой другой точки X на этой касательной AX+XB > AM+MB. Значит, по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения».
…по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения». Оптическое свойство эллипса доказано.
Многофокусные эллипсы
N-эллипс — обобщение эллипса , имеющее более двух фокусов. N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами , полиэллипсами, k -эллипсами, эллипсами Чирнхауса . Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.
Пусть на плоскости задано n точек (ui , vi ) (фокусы ), тогда n -эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d . В виде формулы данное утверждение записывается как
1-эллипс представляет собой окружность , 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.
Для любого числа n фокусов n -эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
Задача 32501 Составить уравнение эллипса, зная,…
Условие
Составить уравнение эллипса, зная, что:
а) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F1(-6;0), F2(10;0)
б) а=5, F1(-3;5), F2(3;5)
2.
Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если:
а)задана точка M1(2 корня из 3;1) эллипса и его малая полуось равна 2
б) заданы две точки эллипса M1(0;7) и M2(8;0)
в)расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26
г) экцентриситет равен 7/25 и заданы фокусы (+-7;0)
предмет не задан
25309
Все решения
1.
a) a=10
F_(1)(-6;0); F_(2)=(10;0)⇒ 2c=(10-(-6))
2c=16
c=8
b^2=a^2-c^2=10^2-8^2=100-64=36=6^2
M- середина F_(1)F_(2)
x_(M)=(-6+10)/2=2
y_(M)=0
M(2;0)
Прямая x=2 -оcь симметрии эллипса
О т в е т.(x-2)^2/(10^2)+(y^2/6^2)=1
б) F_(1)(-3;5); F_(2)=(3;5)⇒
c=3
Прямая
y=5 – ось симметрии эллипса
b^2=a^2-c^2=25-9=16
О т в е т.(x^2/5^2)+((y-5)^2/4^2)=1
2. Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
а)
b=2
(x^2/a^2)+(y^2/4)=1
Подставляем координаты точки M_(1):
(12/a^2)+(1/4)=1
(12/a^2)=3/4
a^2=16
О т в е т. (x^2/4^2)+(y^2/2^2)=1
б)(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
Подставляем координаты точки M_(1) и М_(2):
{(0/a^2)+(7^2/b^2)=1 ⇒b^2=7^2 ⇒ b=7
{(8^2/a^2)+(0^2/b^2)=1 ⇒ a^2=8^2 ⇒ a=8
О т в е т. (x^2/8^2)+(y^2/7^2)=1
в)
2с=24 ⇒ с=12
2а=26 ⇒ а=13
b^2=a^2-с^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2
О т в е т. (x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1
г)
F( ± c;0) ⇒ c=7
ε=с/а
c/a=7/25
a=25
b^2=a^2-c^2=625-49=576=24^2
О т в е т. (x^2/25^2)+(y^2/24^2)=1
