В этом уроке будем учиться строить эпюры для балок, работающих на поперечный изгиб — эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Важно уметь правильно построить и проанализировать эти эпюры, потому что большинство современных инженерных сооружений состоят из элементов, которые работают на изгиб.
В статье рассмотрим 2 примера: один попроще — консольная балка, загруженная сосредоточенными силами и моментом, другой посложнее — двухопорная балка, загруженная распределённой нагрузкой.
Чтобы освоить материал этого урока, уже нужно знать, как определяются опорные реакции. Умеешь — отлично, но если же нет, то можешь изучить этот урок.
Подробно рассматривать в этом уроке нахождения реакций не будем, я буду приводить только их расчёт.
Поперечные силы и изгибающие моменты
При поперечном изгибе, в поперечных сечениях балки, возникает два внутренних силовых фактора (ВСФ) – поперечная сила (Q) и изгибающий момент (Mизг).
Наша задача, научиться определять их и строить эпюры. Чтобы потом, используя полученные эпюры, можно было проводить различные расчёты. Например, подбирать размеры поперечных сечений балки или проверять прочность балки, если эти размеры уже заданы и т. д.
Поперечные силы и изгибающие моменты определяются с помощью метода сечений. Когда балка мысленно рассекается на две части. Затем действие частей балки друг на друга заменяется внутренними силовыми факторами (ВСФ) – поперечными силами и изгибающими моментами. Потом путём рассмотрения равновесия одной из частей находятся ВСФ.
Если пока не очень понятно — это нормально, когда начнём это всё делать на практике, ты обязательно всё поймёшь!
Обозначения поперечных сил и изгибающих моментов
Теперь поговорим по поводу обозначений для поперечных сил и изгибающих моментов. Как правило, задачи в сопромате, и механике в целом, решаются относительно каких-то координатных осей. А поперечные силы и изгибающие моменты, имеют индексы в зависимости от выбранной системы координат.
Например, если выбрать следующие обозначения для координатных осей:
То, поперечная сила, будет обозначаться, как Qy (параллельна оси y), а изгибающий момент, как Mx (поворачивает относительно оси x). Это наиболее частый вариант. Однако, можно встретить обозначения – Qy, Mz или Qz, Mx. Самые ленивые, предпочитают подписывать данные величины, как просто Q и M. Как видишь, здесь всё зависит от предпочтений твоего преподавателя. Чтобы изучая этот урок, ты не привыкал (- а) к каким-то индексам, т. к. твой преподаватель тебя всё равно будет учить по-своему, я решил использовать в статье для поперечной силы, просто букву – Q, а для изгибающего момента – Mизг. Такое обозначение изгибающего момента, тоже используется часто, а сам индекс «изг» нужен, чтобы не путать внутренний – изгибающий момент, с внешними моментами, которые почти всегда подписываются просто буквой – M.
Расчётная схема балки
Также нужно понимать, что когда мы рассчитываем поперечные силы и изгибающие моменты, мы считаем их непросто для какой-то линии:
А подразумеваем, что мы рассчитываем некоторый элемент конструкции — балку, которая обязательно имеет некоторую форму, либо для которой впоследствии будет рассчитана эта форма, в зависимости от целей расчёта.
К примеру, балка может иметь прямоугольное поперечное сечение:
Если в расчётах эпюр при растяжении (сжатии) или кручении, форма стержня указывалась явно, и в этом был определённый смысл, так как те стержня имели ступенчатую форму – разную жёсткость на участках. То здесь, как правило, балки имеют одинаковое сечение, по всей длине, поэтому для экономии времени, балку показывают в виде такой линии. Затем, после построения эпюр, традиционно, для балки либо подбирается поперечное сечение из условия прочности, либо проверяется прочность уже заданного сечения.
Правила знаков для поперечных сил и изгибающих моментов
В этом разделе поговорим о правилах знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. Для примера возьмём самую простую расчётную схему — консольную балку, загруженную сосредоточенной силой (F).
Расчётная схема
Предположим, что нужно определить поперечную силу и изгибающий момент в каком-то поперечном сечении. Пока не будем строить никаких эпюр, а просто поставим перед собой простейшую задачу — рассчитать внутренние силовые факторы (Q и Мизг) для одного, конкретного сечения. Например, рассмотрим сечение в заделке (А).
Чтобы вычислить внутренние силовые факторы для этого сечения, нужно учесть всю внешнюю нагрузку, либо справа от сечения, либо слева. Если учитывать нагрузку справа — нужно учесть силу F, а если учитывать нагрузку слева — нужно учесть тогда реакции в заделке. Чтобы не вычислять реакции, пойдём по короткому пути и учтём всю нагрузку — справа.
Правило знаков для поперечных сил
Поперечная сила в сечении будет равна алгебраической сумме всех внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
А знаки внешних сил определяются следующим образом — если внешняя сила, относительно рассматриваемого сечения, стремится повернуть:
• ПО часовой стрелке, то её нужно учесть с «плюсом»;
• ПРОТИВ часовой стрелки — учитываем её с «минусом».
Таким образом, для нашего случая, поперечная сила в сечении A будет равна:
Правило знаков для изгибающих моментов
Изгибающий момент в сечении будет равен алгебраической сумме всех моментов внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Перед тем как поговорить о правилах знаков для изгибающих моментов. Необходимо понять ещё одну особенность — когда на балку действует какая-то внешняя нагрузка, балка деформируется. При деформации балки принято различать «верхние волокна» и «нижние волокна», относительно линии (нейтральной оси), проходящей через центр тяжести поперечного сечения балки.
Одни волокна при поперечном изгибе, будут растягиваться, а другие сжиматься.
В нашем случае, «верхние волокна», как видишь, будут растянуты, а нижние – сжаты.
На основании этой особенности, часто используется следующее правило для изгибающих моментов — если момент силы стремится растянуть:
• верхние волокна, то учитываем его с «минусом»;
• нижние волокна, то нужно учесть его с «плюсом».
Не забываем, что мы ведём расчёт моментов, поэтому все силы нужно умножать на соответствующие плечи.
Таким образом, в нашем случае, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Если на балку действуют сосредоточенные моменты, то правило знаков аналогичное:
Сосредоточенные моменты, конечно, уже не нужно ни на что умножать. Например, для верхней схемы, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Как построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ?
В пределах участков, и эпюра Q и эпюра M меняются по определённому закону. Границами участков являются точки приложения сил, моментов, а также начало и конец распределённой нагрузки (будем рассматривать во второй задаче). Поэтому, чтобы построить эпюры в пределах участка, сначала необходимо написать уравнения, которые будут описывать изменение поперечных сил и изгибающих моментов в пределах участка. А затем, подставляя в уравнения координаты начала и конца участка, получить значения на эпюрах в характерных точках, и построить эпюры на участке. Рассчитав таким образом все участки, можно построить эпюры для балки.
Чувствую, опять перегрузил тебя информацией…давай лучше, наконец, посмотрим, как это всё делается на практике 😉
Построение эпюр для консольной балки
В качестве первого примера, возьмём консольную балку, жёстко закреплённую с левого торца и загруженной следующим образом:
Будем рассчитывать балку справа налево.
Рассмотрим первый участок
Обозначим некоторое сечение 1-1 на расстоянии x1, от свободного торца балки, при этом x1 будет находиться в диапазоне: 0 ≤ x1 ≤ 4м.
Так как расчёт выполняется справа налево, то в уравнениях необходимо учесть всю нагрузку, которая находится правее рассматриваемого сечения. Как видишь, на этом участке действует всего лишь одна сила F. Её и будем учитывать.
Поперечные силы на первом участке
Сила F, относительно сечения 1-1, поворачивает ПО часовой стрелке, поэтому с учётом правила знаков, записываем её с «плюсом»:
Как видишь, поперечная сила будет постоянна на первом участке:
Уже можем отразить это на эпюре поперечных сил:
Изгибающие моменты на первом участке
Теперь запишем уравнение для изгибающих моментов. Сила F растягивает верхние волокна, поэтому с учётом правила знаков, нужно учесть момент силы F со знаком «минус»:
Здесь уже изгибающие моменты будут меняться по линейному закону. Как я уже писал, чтобы построить эпюру изгибающих моментов на участке, нужно вычислить значения на границах участка:
Откладываем полученные значения:
Расчёт второго участка
Переходим ко второму участку. Также будем рассматривать некоторое сечение 2-2, на расстоянии x2 от начала участка (0 ≤ x2 ≤ 6м). Здесь также нужно учесть ВСЮ нагрузку, которая находится справа от сечения 2-2.
Поперечные силы на втором участке
Теперь на участке будут действовать 2 силы (сосредоточенный момент — M, никак не влияет на эпюру поперечных сил), учитываем их с учётом правила знаков:
Теперь можем показать окончательную эпюру поперечных сил:
Изгибающие моменты на втором участке
Для изгибающих моментов, с учётом правила знаков, второе уравнение будет выглядеть следующим образом:
Вычисляем значения на границах второго участка:
Показываем окончательную эпюру изгибащих моментов:
Проверка построенных эпюр
Балку можно рассчитать и слева направо. При этом очевидно, должны получаться те же эпюры. Давай проверим себя и рассчитаем эту балку с другой стороны.
Определение реакций в жёсткой заделке
Первым делом, нам потребуется определить реакции в заделке:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Рассчитываем все участки теперь слева направо:
Ожидаемо, получили те же эпюры поперечных сил и изгибающих моментов:
Причём не обязательно считать все участки балки только слева направо или справа налево. Можно считать балку с разных сторон:
Такой подход позволяет минимизировать расчёт: когда балка имеет много расчётных участков. Как раз так и будем считать вторую двухопорную балку.
Эпюра моментов со стороны растянутых или сжатых волокон
По построенной эпюре можно явно сказать, какие волокна балки будут растянуты, а какие сжаты. Это очень полезная информация, при проведении прочностных расчётов.
Причем сама эпюра была построенна со стороны растянутых волокон:
Однако, студентов некоторых специальностей учат строить эпюры, с другой стороны – со стороны сжатых волокон:
Как видишь, в первом случае, отрицательные значения на эпюре моментов откладываются выше нулевой линии, а во втором – ниже. При этом правила знаков для расчета эпюр и сами расчёты не меняются. Обычно эпюры «на растянутых волокнах» строят студенты — строители, а эпюры «на сжатых волокнах» строятся студентами машиностроительных специальностей. В конечном счёте с какой стороны ты будешь строить эпюры, будет зависеть от твоего преподавателя, как он учит. В своих уроках я буду строить эпюры моментов со стороны растянутых волокон.
Учёт распределённой нагрузки
Перед тем как пойдём дальше и рассмотрим вторую задачу – двухопорную балку, нужно научиться работать с распределённой нагрузкой.
Давай рассмотрим ещё одну простенькую схему — консольную балку, загруженную распределённой нагрузкой:
Определение поперечной силы и изгибающего момента в сечении A
Чтобы определить поперечную силу в сечении A, первым делом нужно «свернуть» распределённую нагрузку (q) до сосредоточенной силы. Для этого нужно интенсивность нагрузки (q) умножить на длину участка действия нагрузки.
После чего получим силу — ql, приложенную ровно посередине участка, на котором действует распределённая нагрузка:
Тогда поперечная сила QA будет равна:
Изгибающий момент Mизг, A будет равен:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Для написания уравнений для расчёта эпюр рассмотрим сечение 1-1:
Уравнение для поперечных сил будет следующее:
Рассчитаем значения на эпюре поперечных сил:
Уравнение для изгибающих моментов будет следующее:
Тогда значения на эпюре будут такими:
На участке с распределённой нагрузкой, на эпюре изгибающих моментов всегда будет либо выпуклость, либо вогнутость. Так как эпюра на этом участке будет меняться по квадратичному закону.
Если эпюра моментов откладывается со стороны растянутых волокон, распределённая нагрузка будет направлена «внутрь вогнутости» (выпуклости) эпюры изгибающих моментов:
Если же эпюра моментов откладывается со стороны сжатых волокон, то наоборот:
Построение эпюр для двухопорной балки
А теперь давай рассмотрим более сложную схему – двухопорную балку, загруженную всеми типами нагрузок:
Определим реакции опор:
Рассчитываем первый участок:
Строим эпюры на первом участке:
Определение экстремума на эпюре моментов
Так как эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию на первом участке, это значит, что в месте пересечения — на эпюре изгибающих моментов будет экстремум — точка, в которой эпюра моментов часто имеет наибольшее значение. Это значение, обязательно следует рассчитывать, потому — что экстремумы часто являются не только максимальными значениями в пределах участка, но и для всей балки в целом. Поэтому так важно, вычислять это значение, для дальнейшего проведения прочностных расчётов.
Чтобы найти экстремум, сначала нужно найти координату, где эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию. Для этого уравнение для поперечных сил нужно приравнять к нулю:
Отсюда найти значение координаты:
Затем подставить это значение в уравнение для изгибающих моментов:
Теперь можем указать экстремум на эпюре:
Расчет эпюр на остальных участках
Расчёты остальных участков не вижу смысла комментировать, потому что здесь будет применяться всё то, о чём я уже рассказывал по ходу урока. Поэтому просто приведу решение:
Определение экстремума:
Оценка правильности построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
И напоследок хочу рассказать как можно проверить себя – оценить правильность построенных эпюр визуально. Собственно так, как проверяют эпюры — преподаватели, ведь они не проверяют у всех студентов каждое уравнение, каждый знак или цифру, т.к. это бы занимало слишком много времени.
Вот несколько признаков, правильно построенных эпюр:
- На эпюре поперечных сил, в местах приложения сосредоточенных сил, должны быть скачки на величину этих сил.
- На эпюре изгибающих моментов, в местах приложения сосредоточенных моментов, должны быть скачки на величину этих моментов.
- Эпюра поперечных сил, на участках без распределённой нагрузки, должна быть постоянна. А на участках, где действует распределённая нагрузка – меняться по линейному закону.
- Эпюра изгибающих моментов, на участках без распределённой нагрузки, должна меняться по линейному закону или быть постоянна (если действуют только сосредоточенные моменты). А на участках, где действует распределённая нагрузка – иметь вогнутость или выпуклость.
Примеры построения эпюр для решения задач сопротивления материалов, строительной и технической механики со всеми расчетами, подробными пояснениями и видеоуроками.
Примечание: студентам строительных специальностей эпюры изгибающих моментов надо строить на растянутых слоях балки, поэтому положительные значения Mx необходимо откладывать вниз, а отрицательные — вверх от базовой линии.
Сохранить или поделиться с друзьями
Рассмотрим пару упрощенных и несколько максимально подробных примеров построения эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений для всех способов закрепления и нагружения балок, стержней и валов.
Построение эпюр Qy и Mx для консольной балки
Для заданной консольной балки требуется построить эпюры внутренних силовых факторов Qy и Mx.
Решение
Вычерчиваем расчетную схему нагружения балки в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок.
Показываем оси системы координат y-z и обозначаем характерные сечения балки.
Для построения эпюр внутренних силовых факторов консольных балок, опорные реакции можно не определять.
Тогда для расчета значений Qy и Mx необходимо рассматривать противоположную от заделки часть балки, где все внешние усилия известны.
Балка имеет 2 силовых участка.
Рассчитаем, с учетом правил знаков при изгибе, значения внутренних поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях балки на каждом силовом участке методом сечений.
На первом участке оба силовых фактора рассчитаны.
Переходим ко второму
Так как эпюра Qy на втором силовом участке не пересекает базовую линию, экстремума на эпюре Mx не будет.
По полученным данным строим эпюры внутренних поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx.
При ручном оформлении решения, эпюры заштриховываются тонкими линиями перпендикулярно базовой (нулевой) линии.
Оформление в электронном виде допускает сплошную однородную заливку площади эпюры.
Проверка построенных эпюр:
- по дифференциальным зависимостям
- в сечениях балки, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Qy имеются скачки значений на величину соответствующей силы;
- в сечениях балки, где приложены изгибающие моменты, на эпюре Mx скачки значений на величину соответствующего момента.
Все условия выполнены, следовательно, эпюры построены верно.
Как строить эпюры для балки на двух опорах
Для заданной расчетной схемы балки на двух шарнирных опорах требуется определить значения и построить эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.
Решение
При построении эпюр для участков балки расположенных между опорами необходимо знать величину хотя бы одной из реакций.
Определение реакций в шарнирных опорах балки
Направим реакции опор, например, вверх
и запишем, с учетом правила знаков, суммы моментов нагрузок приложенных к балке относительно точек на опорах
Из составленных уравнений выражаем и находим реакции
Положительные значения указывают на то, что произвольно заданное направление реакций оказалось верным.
Расчет и построение эпюр
Используя метод сечений и соответствующие правила знаков, рассчитаем по каждому участку значения для построения эпюр.
Балка имеет 2 силовых участка.
На первом участке расчет произведем, рассматривая левую отсеченную часть балки
На втором — правую
Значения поперечной силы Qy на границах участка имеют разные знаки, следовательно, на этом участке, на эпюре Mx будет экстремум.
Определим его:
По полученным данным строим эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.
Алгоритм проверки эпюр показан в решении предыдущей задачи.
Более подробно ход расчетов и построения эпюр для балки с тремя силовыми участками рассмотрен в следующих задачах.
Подробные примеры построения эпюр
При растяжении-сжатии
Примеры построения эпюр внутренних продольных сил, нормальных напряжений и линейных перемещений для стержней при их растяжении и сжатии.
- эпюра внутренних продольных сил
- эпюра нормальных напряжений в стержне
- построение эпюр внутренних сил, напряжений и перемещений для стального бруса
- построение эпюры внутренних продольных сил для стержня с продольно распределенной нагрузкой
- расчет напряжений с построением эпюры в стержне заданной формы
- построение эпюры перемещений сечений стержня
При кручении
Примеры построения эпюр внутренних крутящих моментов и угловых перемещений сечений вала при кручении.
- Построение эпюры крутящих моментов для вала
- Построение эпюр крутящих моментов и углов закручивания сечений вала
Построение эпюр при изгибе
Примеры построения эпюр внутренних поперечных сил и изгибающих моментов, нормальных и касательных напряжений для балок и рам при изгибе.
Эпюры внутренних силовых факторов
- Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx для балки (3 участка)
- Эпюра внутренних поперечных сил
- Эпюра внутренних изгибающих моментов балки
- Построение эпюр для рамы
- Проверка эпюр внутренних силовых факторов в рамах
Эпюры напряжений
- эпюра нормальных напряжений двутавра
- эпюра касательных напряжений для двутавра
- эпюра нормальных напряжений прямоугольного сечения
Видеоурок расчетов для построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:
Другие видео
Другие примеры решения задач >
Порядок построения эпюр
В рассмотренных выше примерах для построения эпюр выполняется следующая последовательность действий:
- Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок;
Расчетная схема балки - Обозначаются характерные сечения бруса;
- Определяются опорные реакции;
Опорные реакции балки - Рассматриваемый элемент разбивается на силовые участки;
Обозначение силовых участков - Для каждого силового участка выбирается рассматриваемая часть бруса (балки)
Выбранная часть балки и записываются выражения для рассчитываемых внутренних силовых факторов, напряжений или перемещений;
Выражения для расчета поперечной силы в сечении балки - Рассчитываются значения на границах участков. В случаях, когда переменная в выражении имеет вторую или более степень можно дополнительно определить значение в середине участка;
- В некоторых случаях необходимо определять экстремумы эпюр;
- После расчета всех значений выполняется построение эпюр.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки
После построения эпюр желательно выполнять их проверку.
Методика построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил
Заказать решение Способ оплаты
Видео: Что такое внутренние силовые факторы. Что такое эпюры внутренних силовых факторов
1. Виды опорных закреплений
С технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьма разнообразны. При решении задач сопромата, все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых
наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижнаяопора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление, или заделка (рис.1,в).
Рис. 1
В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.
2. Построение эпюр продольных сил Nz
Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.
Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной – в противном случае.
Пример 1.Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).
Порядок расчета:
1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.
По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные – под осью.
рис. 2
3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр.
Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.
Правило знаков для Мкр: условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным – в противном случае.
Пример 2.Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).
Порядок расчета.
Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.
1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).
рис. 3
4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр.
Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.
1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.
2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) – прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой – наклонная прямая.
3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.
5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора – поперечная сила Qy и изгибающий момент Mx .
Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.
Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной – в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде
Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.
Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной – в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде:
Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.
6. Консольные балки
При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.
Пример 3.Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).
рис. 4
Порядок расчета.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем поперечную силу Qy в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру Qy.
3. Определяем изгибающий момент Mx в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру Mx, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.
7. Балки на двух опорах
В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.
Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:
Пример 4. Построить эпюры Qy, Mx для балки с шарнирным опиранием (рис.5).
Порядок расчета.
1. Вычисляем реакции опор.
Проверка:
</p>
2. Намечаем характерные сечения.
В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.
3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
Строим эпюру Qy.
4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
рис. 5
Строим эпюру Mx.
8. Правила контроля эпюр Qу и Mx
Дифференциальные зависимости между q, Qy, Mx определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Qy и Mx.
Эпюра Qy является прямолинейной на всех участках; эпюра Mx – криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.
Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Qy обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx обязателен скачок на величину момента.
Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Qy пересекает ось (Qy=0), то эпюра Mx в этом сечении имеет экстремум.
На участках с поперечной силой одного знака эпюра Mx имеет одинаковую монотонность. Так, при Qy>0 эпюра Mx возрастает слева направо; при Qy<0 – убывает.
Порядок линии на эпюре Qy всегда на единицу меньше, чем на эпюре Mx. Например, если эпюра Mx – квадратная парабола, то эпюра Qy на этом участке – наклонная прямая; если эпюра Mx – наклонная прямая, то эпюра Qy на этом участке – прямая, параллельная оси; если Mx=const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Qy=0.
Заказать решение Способ оплаты
При расчете на прочность стержневых
элементов конструкций необходимо
знать законы изменения внутренних
усилий (сил и моментов) в поперечных
сечениях балки по ее длине. Эти законы
можно изобразить с помощью
специальных графиков, называемых
эпюрами соответствующих
внутренних силовых факторов.
Например, эпюрой изгибающих моментов
(эпюрой M) называется график,
изображающий закон изменения величин
этих моментов по длине балки. Аналогично
эпюрой поперечных сил (эпюройQ) или
эпюрой продольных сил (эпюройN)
называется график, изображающий
изменение поперечных или
продольных сил по длине балки.
Каждая ордината эпюры M (илиQ,
илиN) представляет собой величину
изгибающего момента (или поперечной
силы, или продольной силы) в
соответствующем поперечном сечении
балки.
1.13. Правила построения эпюр внутренних силовых факторов
Рассмотрим на конкретном примере
построение эпюр для балки, находящейся
под действием системы сил, расположенных
в одной плоскости
(параллельной плоскости чертежа).
Построим эпюры Q иMдля
свободно-опертой балки, изображенной
на рис. 1.8,a, при следующих исходных
данных:
;
;
;
.
Вначале определим опорные реакции. Для
этого отбросим опоры и заменим их влияние
на балку опорными реакциями
и
(рис. 1.8,б). Реакции
и
представляют собой вертикальную и
горизонтальную составляющие
полной реакции шарнирно-неподвижной
опорыA; сила же
является полной реакцией опорыB.
Направление опорных реакций
выбирается произвольно; если в результате
расчета значение какой-либо
реакции получается отрицательным, то,
значит, в действительности
ее направление противоположно
предварительно принятому.
Сначала определим опорную реакцию
,
составив для этого сумму проекций
всех сил на горизонтальную осьx:
;
=0.
Очевидно, что не только в рассматриваемом
случае, а всегда при действии
на горизонтальную балку только
вертикальной нагрузки горизонтальная
опорная реакция равна нулю.
Для определения опорной реакции
составим уравнение моментов всех
сил относительно точкиB. Опорные
реакции
и
проходят через эту точку, а потому
их моменты относительно нее равны нулю:
;
,
где
и
– равнодействующие погонной равномерно
распределенной нагрузки интенсивностьюqна длине
и
соответственно.
,
.
Рис.
1.8
Аналогично составим сумму моментов
всех сил относительно точки A:
;
,
,
.
Для проверки правильности найденных
значений опорных реакций составим
сумму проекций всех сил на ось y:
;
,
,
.
Составленное уравнение удовлетворяется
тождественно, что указывает
на правильность определения
опорных реакций.
Для определения аналитических
зависимостей дляN,QиMпо
длине балки выделим на ней участки.
Назовем участком балки каждую ее часть,
в пределах которой законы изменения
поперечной силы и изгибающего
момента остаются неизменными. Границами
участков являются поперечные
сечения балки, в которых к ней приложены
сосредоточенные нагрузки (в
том числе и опорные реакции) или в
которых начинается либо заканчивается
распределенная нагрузка, или в которых
интенсивность этой нагрузки
начинает изменяться по новому закону.
Текущая координатаxна
каждом участке может отсчитываться
как от левого, так и от правого
конца балки. В первом случае при записи
уравнений равновесия участка необходимо
учесть все нагрузки, расположенные
левее рассматриваемого сечения,
а во втором – правее рассматриваемого
сечения. Влияние отброшенной части
балки на рассматриваемую заменяется
внутренними силамиN,Qи моментомM, направленными в
соответствии с принятым правилом
знаков.
Рассматриваемая балка (рис. 1.8) имеет
три участка.
Рассмотрим Участок I(рис. 1.9):
,
.
Рис. 1.9
(1.1)
.
.
Зависимость для Qна этом участке –
линейная, а потому для построения
эпюрыQна этом участке достаточно
определить величины поперечной
силы при двух значениях
:
при
=0
(на левом конце балки – в начале
участка I)
=
=
6,5
;
при
=
(в конце участка I – при отсчете
от левого конца балки)
.
,
(1.2)
.
При
=0
(на левом конце балки – в начале участка
I)
=0;
при
=
(в
конце участка I- при отсчете от левого
конца балки)
.
В формулах (1.1), (1.2)
– равнодействующая равномерно
распределенной нагрузки
в пределах отрезка длиной
участка I. Она приложена в
середине этого отрезка, а потому ее
момент относительно рассматриваемого
сечения равен (-
).
Знак изгибающего момента отрицателен
потому, что момент
действует против часовой стрелки.
На первом участке поперечная сила меняет
знак с плюса на минус, следовательно
в каком-то сечении этого участка она
равна нулю. Определим координату
этого сечения, приравняв нулю выражение
для Qв формуле (1.1):
.
Теперь, воспользовавшись формулой (1.2)
найдем значение изгибающего
момента в этом сечении балки:
.
Трех точек будет вполне достаточно для
построения эпюры M, которая на
первом участке изменяется по квадратичному
закону.
Ординаты эпюр, соответствующие
положительным значениям внутренних
усилий, откладываем вверх от осей
этих эпюр, а отрицательные
– вниз (оси эпюр параллельны оси балки).
Рассмотрим УчастокII(рис. 1.10):
.
.
(1.3)
.
.
(1.4)
Рис. 1.10
.
При
=
(в начале участка II – при отсчете от
левого конца балки)
;
при
=
(в
конце участка II – при отсчете от левого
конца балки)
.
Рассмотрим УчастокIII(рис. 1.11):
.
(1.5)
.
Рис. 1.11
При
=0
(на правом конце балки – в начале
участка III)
;
при
=
(в конце участка III – при отсчете от
правого конца балки)
.
.
.
(1.6)
При
=0
(на правом конце балки – в начале участка
III)
;
при
=
(в конце участка III – при отсчете от
правого конца балки)
.
На третьем участке поперечная сила
меняет знак с плюса на минус,
следовательно в каком-то сечении
этого участка она равна нулю. Определим
координату этого сечения, приравняв
нулю выражение для Qв формуле (1.5):
.
.
Теперь, воспользовавшись формулой
(1.6), найдем значение изгибающего
момента в этом сечении балки:
.
Анализируя эпюры поперечных сил Q(рис. 1.8,в) и изгибающих моментовM(рис. 1.8,г), можно отметить
следующие наблюдения.
1. В сечении, в котором к балке приложена
сосредоточенная внешняя сила,
перпендикулярная к оси балки (в том
числе и опорная реакция в виде
сосредоточенной силы), значение поперечной
силы Qизменяется скачкообразно
на величину приложенной силы. Когда
сосредоточенная внешняя
сила направлена вверх, на эпюреQ(при перемещении слева направо)
имеется скачок вверх, а когда сила
направлена вниз – скачок вниз.
2. В сечении, в котором к балке приложен
сосредоточенный внешний момент (в
том числе и опорная реакция в виде
сосредоточенного
момента), значение изгибающего
момента Mизменяется скачкообразно
на величину приложенного момента; когда
сосредоточенный внешний момент
действует по часовой стрелке, на эпюреM(при перемещении слева
направо) имеется скачок вверх, а когда
момент действует против часовой
стрелки – скачок вниз, т. е. в обоих случаях
в сторону сжатых волокон.
3. В сечении, в котором поперечная сила
Qобращается в нуль, на эпюре
моментов имеется максимум (если при
перемещении слева направо поперечная
сила меняет знак с плюса на минус) или
минимум (если при перемещении слева
направо поперечная сила меняет знак с
минуса на плюс).
Аналитическое обоснование последнего
и ряда других наблюдений будет
приведено в последующих
разделах.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Лекция 8. ИЗГИБ
Плоский поперечный изгиб прямых стержней (брусьев, балок).
Определение внутренних сил (поперечных сил и изгибающих моментов)
в произвольном поперечном сечении стержня и построение их эпюр.
Дифференциальные зависимости между нагрузкой, поперечными силами,
изгибающими моментами, их использование при построении диаграмм
и контроля правильности построения.
Плоский изгиб. Под плоским поперечным изгибом понимают такой вид
деформации, при которой происходит искривление оси прямого бруса,
и в поперечном сечении бруса действует два силовых фактора: изгибающий
момент М и поперечная сила Q. Осью бруса называется геометрическое место
точек центров тяжестей поперечных сечений бруса. Изгиб – плоский, если
ось балки после деформации остается плоской линией. В противном случае
имеет место косой изгиб. Если поперечная сила не возникает, изгиб
называется чистым изгибом.
Рассмотрим, например, балку, нагруженную вертикальной
сосредоточенной силой P. Для определения внутренних усилий при прямом
изгибе, возникающих в поперечном сечении, расположенном на расстоянии z
от места приложения нагрузки, воспользуемся методом сечений.
а б
Рис. 22. Плоский изгиб:
а – балка под нагрузкой Р; б – внутренние силы при изгибе
Разрежем мысленно балку в интересующем месте на две части.Отбросим
левую часть балки, нагруженную силой P. Заменим действие отброшенной
левой части балки на оставленную правую часть внутренними силами.
Внутренние усилия возникают во всех точках поперечного сечения
балки и распределены по неизвестному закону. Не имея возможности
определить эти внутренние усилия для каждой точки сечения, заменяем их
статически эквивалентными внутренними силовыми факторами, приложенными
в центре тяжести поперечного сечения.
Внутренние силовые факторы определяются из условия равновесия
рассматриваемой части балки. Однако можем внутренние силовые факторы
найти и непосредственно, как действие отброшенной левой части на правую
часть. Видно, что часть балки, нагруженная силой P, стремится изогнуть
рассматриваемую нами правую часть выпуклостью вниз, а также пытается
произвести срез. Следовательно, в сечении должны возникнуть поперечная
сила и изгибающий момент.
Осуществим параллельный перенос силы P в центр тяжести поперечного
сечения балки. По правилам теоретической механики добавляется момент,
равный Pz.
Таким образом, в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора:
– изгибающий момент, численно равный алгебраической сумме моментов
всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной
центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого
сечения (в данном примере М = Рz);
– поперечная сила, численно равная алгебраической сумме всех
внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть
балки (в нашем примере Q = P).
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. При расчете
балок на прочность необходимо знать характер изменения изгибающего
момента и поперечной силы вдоль оси балки и знать положение опасного
сечения. С этой целью строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Если внешняя сила стремится повернуть отсеченную часть по часовой
стрелке относительно рассматриваемого сечения, то поперечная сила
положительна.
а б
Рис. 23. Правило знаков для внутренних усилий:
а – для поперечной силы; б – для изгибающего момента
Изгибающий момент будет положительным, если при действии момента внешних сил балка искривляется выпуклостью вниз.
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов рассмотрим на конкретном примере.
Пусть на балку действует внешний изгибающий момент m = 6 кН•м
и внешняя сила F = 12 кН, l = 1 м. Определим реакции в опорах A и B.
Составим уравнения равновесия моментов всех внешних сил относительно
опор A и B
откуда
Рис. 24. Эпюры Qy, Mx
Проведем сечения на каждом характерном участке и определим значения поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx.
В сечении 1
В сечении 2
В сечении 3
По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 24).
Дифференциальные зависимости при изгибе.
Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет
сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dz. Так как вся балка
находится в равновесии, то и элемент dz будет находиться в равновесии
под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов
и внешней нагрузки. Поскольку Qy и Mx в общем случае меняются вдоль оси
балки, то в сечениях элемента dz будут возникать поперечные силы Qy
и Qy + dQy, а также изгибающие моменты Mx и Mx + dMx.
Из условия равновесия выделенного элемента получим:
следовательно
следовательно
Первое из двух записанных уравнений дает условие
(10)
Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым 
как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем
(11)
Рассматривая полученные выражения, совместно можем получить
(12)
Полученные соотношения называют дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского при изгибе.
Рис. 25. Внутренние усилия в балке при изгибе
Анализ дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет
установить некоторые правила построения эпюр изгибающих моментов
и поперечных сил:
– на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q
ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры М – наклонными прямыми;
– на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q,
эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры М – квадратичными
параболами;
– в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила, на
эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре
М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы;
– в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент,
на эпюре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачок на величину
момента;
– в сечении, где приложена сосредоточенная внешняя сила эпюра
изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных
участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору
силы;
– сосредоточенная (или распределенная) пара сил влияния на закон
изменения поперечных сил на участке не оказывает, и на эпюре Q это ни
как не отражается;
– в сечении, где приложена пара сил, эпюра изгибающих моментов делает скачок на величину этой пары и с ее знаком;
– на участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q,
эпюра поперечных сил имеет вид прямой наклонной линии с угловым
коэффициентом q;
Рис. 26. В сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная
внешняя сила, перпендикулярная к оси балки, эпюра поперечных сил Q
делает скачок
на величину этой силы и с ее знаком
– на участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра изгибающих моментов ограничена параболической кривой;
– в сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра изгибающих
моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры
(излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы;
– на участке, где поперечная сила равна нулю, наблюдается
деформация чистого плоского изгиба, при котором изгибающий момент
является постоянной величиной.
Рис. 27. Пример действия пары сил
