Как составить уравнение газа

Как составить уравнение газа

Уравне́ние состоя́ния идеа́льного га́за (иногда уравнение Менделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

{displaystyle pV=nu RT},

где

Уравнение состояния идеального газа можно записать в виде:

{displaystyle pcdot V={frac {m}{M}}Rcdot T} ,

где m — масса, M — молярная масса, (так как количество вещества {displaystyle nu ={frac {m}{M}}}):

или в виде

p=nkT,

где n=N/V — концентрация частиц (атомов или молекул) N – количество частиц, k={frac {R}{N_{A}}} — постоянная Больцмана.

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Клапейрона — Менделеева.

Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую неуниверсальную газовую постоянную {displaystyle r,} значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

{displaystyle pcdot V=rcdot T.}

Менделеев обнаружил, что r прямо пропорциональна nu , коэффициент пропорциональности R он назвал универсальной газовой постоянной.[источник не указан 1455 дней]

Связь с другими законами состояния идеального газа[править | править код]

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

frac{pcdot V}{T}=nucdot R,
frac{pcdot V}{T}=mathrm{const}.

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

T=mathrm{const}Rightarrow pcdot V=mathrm{const} — закон Бойля — Мариотта — Изотермический процесс.
p=mathrm{const}Rightarrowfrac{V}{T}=mathrm{const} — Закон Гей-Люссака — Изобарный процесс.
V=mathrm{const}Rightarrowfrac{p}{T}=mathrm{const} — закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.) — Изохорный процесс

В форме пропорции frac{p_1cdot V_1}{T_1}= frac{p_2cdot V_2}{T_2} этот закон удобен для расчёта перевода газа из одного состояния в другое.

С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как целые числа. Например, 1 объём водорода соединяется с 1 объёмом хлора, при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

{displaystyle {ce {H2 + Cl2 -> 2HCl}}}.

1 объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

{displaystyle {ce {N2 + 3H2 -> 2NH3}}}.
Закон Бойля — Мариотта

Закон Бойля — Мариотта

T=mathrm{const}Rightarrow pcdot V=mathrm{const}

назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627—1691), открывшего его в 1662 г., а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620—1684), который открыл этот закон независимо от Бойля в 1677 году.

В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме

p=(gamma-1)rhovarepsilon,

где gamma  — показатель адиабаты, varepsilon  — внутренняя энергия единицы массы вещества.

Эмиль Амага обнаружил, что при высоких давлениях поведение газов отклоняется от закона Бойля — Мариотта. Это обстоятельство может быть прояснено на основании молекулярных представлений.

С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объём газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях более существенным является второе обстоятельство и произведение {displaystyle Pcdot V} немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение {displaystyle Pcdot V} увеличивается.

См. также[править | править код]

  • Совершенный газ
  • Реальный газ
  • Уравнение состояния реального газа

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Стромберг А. Г., Семченко Д. П. Физическая химия: Учеб. для хим. спец. вузов / Под ред. А. Г. Стромберга. — 7-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2009. — 527 с. — ISBN 978-5-06-006161-1.
Источник

Содержание:

Уравнение состояния идеального газа:

Уравнения Клапейрона и Менделеева — клапейрона; законы Шарля, Гей-Люссака, Бойля — Мариотта, Авогадро, Дальтона, — пожалуй, такого количества «именных» законов нет ни в одном разделе физики. за каждым из них — кропотливая работа в лабораториях, тщательные измерения, длительные аналитические размышления и точные расчеты. нам намного проще. Мы уже знаем основные положения теории, и «открыть» все вышеупомянутые законы нам не составит труда.

Уравнение состояния идеального газа

Давление газа полностью определяется его температурой и концентрацией молекул: p=nkT. Запишем данное уравнение в виде: pV = NkT. Если состав и масса газа известны, число молекул газа можно найти из соотношения Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Произведение числа Авогадро Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами на постоянную Больцмана k называют универсальной газовой постоянной (R): R=Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиk 8,31 Дж/ (моль⋅К). Заменив в уравнении (*) Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиk на R, получим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона):

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Обратите внимание! Состояние данного газа некоторой массы однозначно определяется двумя его макроскопическими параметрами; третий параметр можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона.

Уравнение Клапейрона

С помощью уравнения Менделеева — Клапейрона можно установить связь между макроскопическими параметрами газа при его переходе из одного состояния в другое. Пусть газ, имеющий массу m и молярную массу М, переходит из состояния (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами) в состояние (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами) (рис. 30.1).

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Для каждого состояния запишем уравнение Менделеева — Клапейрона: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами Разделив обе части первого уравнения на Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами, а второго — на Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами, получим: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами. Правые части этих уравнений равны; приравняв левые части, получим уравнение Клапейрона:

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Для данного газа некоторой массы отношение произведения давления на объем к температуре газа является неизменным.

Изопроцессы

Процесс, при котором один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным, называют изопроцессом. Поскольку состояние газа характеризуется тремя макроскопическими параметрами, возможных изопроцессов тоже три: происходящий при неизменной температуре; происходящий при неизменном давлении; происходящий при неизменном объеме. Рассмотрим их.

Какой процесс называют изотермическим. Закон Бойля — Мариотта

Пузырек воздуха, поднимаясь со дна глубокого водоема, может увеличиться в объеме в несколько раз, при этом давление внутри пузырька падает, поскольку вследствие дополнительного гидростатического давления воды (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами) давление на глубине больше атмосферного. Температура же внутри пузырька практически не изменяется. В данном случае имеем дело с процессом изотермического расширения.

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Рис. 30.2. Изотермическое сжатие газа. Если медленно опускать поршень, температура газа под поршнем будет оставаться неизменной и равной температуре окружающей среды. Давление газа при этом будет увеличиваться

Изотермический процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменной температуре.

Пусть некий газ переходит из состояния (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами) в состояние (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиT), то есть температура газа остается неизменной (рис. 30.2). Тогда согласно уравнению Клапейрона имеет место равенство pУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами. После сокращения на T получим: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами.

Закон Бойля — Мариотта:

Для данного газа некоторой массы произведение давления газа на его объем остается постоянным, если температура газа не изменяется:

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Графики изотермических процессов называют изотермами. Как следует из закона Бойля — Мариотта, при неизменной температуре давление газа данной массы обратно пропорционально его объему: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами. Эту зависимость в координатах p, V можно представить в виде гиперболы (рис. 30.3, а). Поскольку при изотермическом процессе температура газа не изменяется, в координатах p, T и V, T изотермы перпендикулярны оси температур (рис. 30.3, б, в).

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Какой процесс называют изобарным. Закон Гей-Люссака

Изобарный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном давлении.

Пусть некий газ переходит из состояния (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами) в состояние (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами), то есть давление газа остается неизменным (рис. 30.4). Тогда имеет место равенство Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами. После сокращения на p получим: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Рис. 30.4. Изобарное расширение газа. Если газ находится под тяжелым поршнем массой M и площадью S, который может перемещаться практически без трения, то при увеличении температуры объем газа будет увеличиваться, а давление газа будет оставаться неизменным и равным pУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Закон Гей-Люссака

Для данного газа некоторой массы отношение объема газа к температуре остается постоянным, если давление газа не изменяется:

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Графики изобарных процессов называют изобарами. Как следует из закона Гей-Люссака, при неизменном давлении объем газа данной массы прямо пропорционален его температуре: V = const⋅T. График данной зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.5, а). По графику видно, что с приближением к абсолютному нулю объем идеального газа должен уменьшиться до нуля. Понятно, что это невозможно, поскольку реальные газы при низких температурах превращаются в жидкости. В координатах p, V и p, T изобары перпендикулярны оси давления (рис. 30.5, б, в).

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Изохорный процесс. Закон Шарля

Если газовый баллон сильно нагреется на солнце, давление в нем повысится настолько, что баллон может взорваться. В данном случае имеем дело с изохорным нагреванием.

Изохорный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном объеме.

Пусть некий газ переходит из состояния (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами) в состояние (Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами), то есть объем газа не изменяется (рис. 30.6). В этом случае имеет место равенство Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами. После сокращения на V получим: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Рис. 30.6. Изохорное нагревание газа. Если газ находится в цилиндре под закрепленным поршнем, то с увеличением температуры давление газа тоже будет увеличиваться. Опыт показывает, что в любой момент времени отношение давления газа к его температуре неизменно: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Закон Шарля

Для данного газа некоторой массы отношение давления газа к его температуре остается постоянным, если объем газа не изменяется:

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Графики изохорных процессов называют изохорами. Из закона Шарля следует, что при неизменном объеме давление газа данной массы прямо пропорционально его температуре: p T = ⋅ const . График этой зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.7, а). В координатах p, V и V, T изохоры перпендикулярны оси объема (рис. 30.7, б, в).

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Пример №1

В вертикальной цилиндрической емкости под легкоподвижным поршнем находится 2 моль гелия и 1 моль молекулярного водорода. Температуру смеси увеличили в 2 раза, и весь водород распался на атомы. Во сколько раз увеличился объем смеси газов?

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Анализ физической проблемы. Смесь газов находится под легкоподвижным поршнем, поэтому давление смеси не изменяется:Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами, но использовать закон Бойля — Мариотта нельзя, так как вследствие диссоциации (распада) молярная масса и число молей водорода увеличились в 2 раза: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Решение:

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа: pV = νRT. Запишем это уравнение для состояний смеси газов до и после распада: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами Разделив уравнение (2) на уравнение (1) и учитывая, что Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами получим: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамигде Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиУравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерамиНайдем значение искомой величины: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Ответ: примерно в 2,7 раза.

Пример №2

На рис. 1 представлен график изменения состояния идеального газа неизменной массы в координатах V, T. Представьте график данного процесса в координатах p, V и p, T.

Решение:

1. Выясним, какой изопроцесс соответствует каждому участку графика (рис. 1).

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Зная законы, которым подчиняются эти изопроцессы, определим, как изменяются макроскопические параметры газа. Участок 1–2: изотермическое расширение; T = const, V ↑, следовательно, по закону Бойля — Мариотта p ↓. Участок 2–3: изохорное нагревание; V = const, T ↑, следовательно, по закону Шарля p ↑ . Участок 3–1: изобарное охлаждение; p = const , T ↓, следовательно, по закону Гей-Люссака V ↓ .

2. Учитывая, что точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, точки 1 и 3 — на одной изобаре, а точки 2 и 3 на одной изохоре, и используя результаты анализа, построим график процесса в координатах p, V и p, T (рис. 2)

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

Выводы:

  1. Из соотношения p=nkT можно получить ряд важных законов, большинство из которых установлены экспериментально.
  2. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона): Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами — универсальная газовая постоянная.
  3. Уравнение Клапейрона: Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами
  4. Законы, которым подчиняются изопроцессы, то есть процессы, при которых один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным:

Уравнение состояния идеального газа - основные понятия, формулы и определение с примерами

  • Температура в физике
  • Парообразование и конденсация 
  • Тепловое равновесие в физике
  • Изопроцессы в физике
  • Абсолютно упругие и неупругие столкновения тел
  • Механизмы, работающие на основе правила моментов 
  • Идеальный газ в физике
  • Уравнение МКТ идеального газа
Источник

Уравнение
состояния идеального
газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева — Клапейрона) —
формула, устанавливающая зависимость
между давлением, молярным
объёмом и абсолютной
температурой идеального
газа.
Уравнение имеет вид:

где

  •  — давление,

  •  — молярный
    объём,

  •  — универсальная
    газовая постоянная

  •  — абсолютная
    температура,К.

Так
как ,
где—количество
вещества,
а ,
где—
масса,—молярная
масса,
уравнение состояния можно записать:

Эта
форма записи носит имя уравнения (закона)
Менделеева — Клапейрона.

В
случае постоянной массы газа уравнение
можно записать в виде:

Последнее
уравнение называют объединённым
газовым законом.
Из него получаются законы Бойля —
Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

 — закон
Бойля — Мариотта.

 — Закон
Гей-Люссака.

 — закон Шарля (второй
закон Гей-Люссака, 1808 г.).А
в форме пропорции этот
закон удобен для расчёта перевода газа
из одного состояния в другое. С точки
зрения химика этот закон может звучать
несколько иначе: Объёмы вступающих в
реакцию газов при одинаковых условиях
(температуре, давлении) относятся друг
к другу и к объёмам образующихся
газообразных соединений как простые
целые числа. Например, 1 объёмводородасоединяется
с 1 объёмом хлора,
при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

1 Объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

— закон
Бойля — Мариотта.
Закон Бойля — Мариотта назван в честь
ирландского физика, химика и философа Роберта
Бойля (1627—1691),
открывшего его в 1662 г., а также в честь
французского физика Эдма
Мариотта (1620—1684),
который открыл этот закон независимо
от Бойля в 1677 году. В некоторых случаях
(в газовой
динамике)
уравнение состояния идеального газа
удобно записывать в форме

где —показатель
адиабаты, —
внутренняя энергия единицы массы
вещества.Эмиль
Амага обнаружил,
что при высоких давлениях поведение газов отклоняется
от закона Бойля — Мариотта. И это
обстоятельство может быть прояснено
на основании молекулярных представлений.

С
одной стороны, в сильно сжатых газах
размеры самих молекул являются сравнимыми
с расстояниями между молекулами. Таким
образом, свободное пространство, в
котором движутся молекулы, меньше, чем
полный объём газа. Это обстоятельство
увеличивает число ударов молекул в
стенку, так как благодаря ему сокращается
расстояние, которое должна пролететь
молекула, чтобы достигнуть стенки. С
другой стороны, в сильно сжатом и,
следовательно, более плотном газе
молекулы заметно притягиваются к другим
молекулам гораздо большую часть времени,
чем молекулы в разреженном газе. Это,
наоборот, уменьшает число ударов молекул
в стенку, так как при наличии притяжения
к другим молекулам молекулы газа движутся
по направлению к стенке с меньшей
скоростью, чем при отсутствии притяжения.
При не слишком больших давлениях более
существенным является второе обстоятельство
и произведение немного
уменьшается. При очень высоких давлениях
большую роль играет первое обстоятельство
и произведениеувеличивается.

5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Для
вывода основного уравнения
молеку­лярно-кинетической теории
рассмотрим одноатомный идеальный газ.
Предполо­жим, что молекулы газа
движутся хаоти­чески, число взаимных
столкновений меж­ду молекулами газа
пренебрежимо мало по сравнению с числом
ударов о стенки сосуда, а соударения
молекул со стенками сосуда абсолютно
упругие. Выделим на стенке сосуда
некоторую элементарную площадку DS и
вычислим давле­ние, оказываемое на
эту площадку. При каждом соударении
молекула, движущая­ся перпендикулярно
площадке, передает ей
импульс m0v-(-m0v)=2m0v, где т0 —
масса молекулы, v —
ее скорость.

За
время Dt площадки DS достигнут только те
молекулы, которые заключены в объеме
цилиндра с основанием DS и высотой vDt .Число
этих молекул равно nDSvDt (n—концентрация
молекул).

Необходимо,
однако, учитывать, что реально молекулы
движутся к площадке

DS
под разными углами и имеют различ­ные
скорости, причем скорость молекул при
каждом соударении меняется. Для упрощения
расчетов хаотическое движе­ние молекул
заменяют движением вдоль трех взаимно
перпендикулярных направ­лений, так
что в любой момент времени вдоль каждого
из них движется 1/3 моле­кул,
причем половина молекул (1/6)
дви­жется вдоль данного направления
в одну сторону, половина — в противоположную.
Тогда число ударов молекул, движущихся
в заданном направлении, о площадку DS
будет 1/6nDSvDt.
При столкновении с пло­щадкой эти
молекулы передадут ей им­пульс

DР =
2m0v•1/6nDSvDt=1/3nm0v2DSDt.

Тогда
давление газа, оказываемое им на стенку
сосуда,

p=DP/(DtDS)=1/3nm0v2.
(3.1)

Если
газ в объеме V содержит N молекул,

движущихся
со скоростями v1, v2, …, vN,
то

целесообразно
рассматривать среднюю
квадратичную скорость

характеризующую
всю совокупность моле­кул газа.

Уравнение
(3.1) с учетом (3.2) при­мет вид

р
= 1/3пт0 <vкв>2.
(3.3)

Выражение
(3.3) называется основ­ным
уравнением молекулярно-кинетической
теории идеальных газов. Точный
рас­чет с учетом движения молекул по
все-

возможным
направлениям дает ту же формулу.

Учитывая,
что n = N/V, получим

где Е —
суммарная кинетическая энергия
поступательного движения всех молекул
газа.

Так
как масса газа m =Nm0,
то урав­нение (3.4) можно переписать в
виде

pV=1/3m<vкв>2.

Для
одного моля газа т
= М (М — моляр­ная
масса), поэтому

pVm=1/3M<vкв>2,

где Vm —
молярный объем. С другой сто­роны, по
уравнению Клапейрона —
Мен­делеева, pVm=RT. Таким
образом,

RT=1/3М
<vкв>2,
откуда

Так
как М = m0NA,
где m0—масса
од­ной молекулы, а NА —
постоянная Авогад­ро, то из уравнения
(3.6) следует, что

где k = R/NA—постоянная
Больцмана. Отсюда найдем, что при
комнатной темпе­ратуре молекулы
кислорода имеют сред­нюю квадратичную
скорость 480 м/с, во­дорода — 1900 м/с. При
температуре жид­кого гелия те же
скорости будут соответ­ственно 40 и
160 м/с.

Средняя
кинетическая энергия посту­пательного
движения одной молекулы иде­ального
газа

<e0)
=E/N = m0 <vкв>)2/2
= 3/2kT(43.8)

(использовали
формулы (3.5) и (3.7)) пропорциональна
термодинамической тем­пературе и
зависит только от нее. Из этого уравнения
следует, что при T=0 <e0>
=0,,т. е. при 0 К прекращается поступательное
движение молекул газа, а следовательно,
его давление равно нулю. Таким образом,
термодинамическая температура является
мерой средней кинетической энергии
по­ступательного движения молекул
идеаль­ного газа и формула (3.8) раскрывает
молекулярно-кинетическое толкование
температуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Уравнение состояния идеального газа


Уравнение состояния идеального газа

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 144.

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 144.

Идеальный газ – это теоретическая модель газа, хорошо описывающая поведение реальных газов при невысоких давлениях и температурах. Для описания его макроскопических параметров (температуры, давления и объема) используется специальное соотношение, называемое уравнением состояния. Рассмотрим его подробнее.

Уравнение состояния идеального газа

Основное уравнение состояния идеального газа выводится на основе положений молекулярно-кинетической теории. Согласно этой теории, идеальный газ – это вещество в газообразном состоянии, для которого справедливы следующие допущения:

  • молекулы представляют собой материальные точки;
  • силы взаимного притяжения молекул отсутствуют;
  • молекулы движутся хаотично, при этом каждая движется в соответствии с законами механики Ньютона;
  • взаимодействия между молекулами состоят только в абсолютно упругих соударениях.

Идеальный газ

Рис. 1. Идеальный газ.

Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, если концентрация молекул газа (количество в единице объема) равно $n$, масса одной молекулы $m_0$, а ее среднеквадратичная скорость $overline {v^2}$, то давление такого газа равно:

$$p={1over 3}nm_0overline {v^2},$$

Поскольку молекулы газа считаются материальными точками, то средняя кинетическая энергия движущейся молекулы равна:

$$overline E = {m_0overline {v^2}over 2}$$

Выразим из этого соотношения массу молекулы, и подставим в предыдущее. Получим:

$$p={2over 3}noverline E$$

Средняя энергия молекулы в молекулярно-кинетической теории связана с температурой газа через постоянную Больцмана ($k=1,38×10^{-23}Дж/К$):

$$overline E = {3over 2}kT$$

Подставив эту среднюю энергию в предыдущее выражение, получим:

$$p = nkT$$

Наконец, выразим концентрацию молекул как отношение их количества к объему ($n={Nover V}$). В итоге получим:

$$p = {Nover V}kT$$

Или:

$${pVover T} = Nk = const$$

Данное соотношение было впервые получено и практически доказано в 1834г. Б. Клапейроном, поэтому оно носит название «уравнение Клапейрона».

Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Клапейрона хорошо описывает изменение в газовых процессах макроскопических параметров некоторого количества газа. Однако, заранее сказать, какими будут эти параметры для конкретной массы некоторого конкретного газа, нельзя. Константа, присутствующая в уравнении Клапейрона должна вычисляться каждый раз заново.

В 1874 г Д. Менделеев сделал вывод, что эта константа прямо пропорциональная количеству вещества газа, то есть отношению общей массы газа $m$ к его молярной массе $М$:

$${pVover T} thicksim nu= {mover M}$$

Д. Менделеев

Рис. 2. Д. Менделеев.

А поскольку один моль любого газа в одинаковых условиях занимает один и тот же объем, можно ввести специальный коэффициент, $R=8.31 {Дж over моль × К}$. С этим коэффициентом уравнение состояния идеального газа получит вид:

$${pVover T} ={mover M}R$$

Значение температуры чаще всего переносят в правую часть формулы. Окончательно имеем:

$$pV ={mover M}RT$$

Уравнение состояния идеального газа в таком виде называется уравнением Менделеева-Клапейрона. Данное уравнение связывает макроскопические параметры газа с его физическими параметрами.

Постоянная R, присутствующая в уравнении, называется универсальной газовой постоянной. Она равна произведению числа Авогадро на постоянную Больцмана, и представляет количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю газа для увеличения его температуры на один кельвин.

Уравнение состояния для смеси газов

Уравнение состояния идеального газа описывает макроскопические параметры конкретного газа. Однако, в задачах нередко необходимо определять параметры смеси газов с разными молярными массами.

В этом случае применяется закон Дальтона.

Закон Дальтона

Рис. 3. Закон Дальтона.

Давление для каждой из компонент газа вычисляется отдельно, как если бы эта компонента была бы одна. Такое давление называется парциальным, а потом, общее давление смеси, в соответствии с законом Дальтона находится, как сумма парциальных давлений всех компонент.

Заключение

Что мы узнали?

Уравнение состояния идеального газа связывает объем, давление и температуру (макроскопические газовые параметры) с общей и молярной массой газа. Данное уравнение называется уравнением Менделеева-Клапейрона. Для расчета параметров смеси газов используется закон Дальтона.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 144.

А какая ваша оценка?

Источник

Уравнение состояния идеального газа было открыто экспериментально. Оно носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Это уравнение устанавливает математическую зависимость между параметрами идеального газа, находящегося в одном состоянии. Математически его можно записать следующими способами:

Уравнение состояния идеального газа

Внимание! При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.

Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м3 под давлением 8,3∙105 Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.

Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:

Уравнение состояния идеального газа следует использовать, если газ переходит из одного состояния в другое и при этом изменяется его масса (количество вещества, число молекул) или молярная масса. В этом случае необходимо составить уравнение Клапейрона — Менделеева отдельно для каждого состояния. Решая систему уравнений, легко найти недостающий параметр.

Подсказки к задачам

Давление возросло на 15% p2 = 1,15p1
Объем увеличился на 2% V2 = 1,02V1
Масса увеличилась в 3 раза m2 = 3m1
Газ нагрелся до 25 оС T2 = 25 + 273 = 298 (К)
Температура уменьшилась на 15 К (15 оС) T2 = T1 – 15
Температура уменьшилась в 2 раза
Масса уменьшилась на 20% m2 = 0,8m1
Выпущено 0,7 начальной массы

Важна только та масса, что осталась в сосуде. Поэтому:

m2 = 0,3m1
Какую массу следует удалить из баллона? Нужно найти разность начальной и конечной массы:

m1 – m2
Газ потерял половину молекул
Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы
Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ) M (O3) = 3Ar (O)∙10–3 кг/моль

M (O2) = 2Ar (O)∙10–3 кг/моль
Открытый сосуд Объем V и атмосферное давление pатм остаются постоянными
Закрытый сосуд Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины
Нормальные условия Температура T0 = 273 К

Давление p0 = 105 Па
Единицы измерения давления 1 атм = 105 Па

Пример №2. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину молекул, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Определите конечную температуру газа, если давление уменьшилось до 1,5 МПа.

2,8 МПа = 2,8∙106 Па

1,5 МПа = 1,5∙106 Па

Так как половина молекул была выпущена, m2 = 0,5m1. Объем остается постоянным, как и молярная масса. Учитывая это, запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного случая:

Преобразим уравнения и получим:

Приравняем правые части и выразим искомую величину:

Задание EF19012

На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.

Алгоритм решения

1.Указать, в каких координатах построен график.

2.На основании основного уравнения МКТ идеального газа и уравнения Менделеева — Клапейрона выяснить, как меняются указанные физические величины во время процессов 1–2 и 2–3.

Решение

График построен в координатах (V;Ek). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:

T=2−Ek3

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=νRT

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

νR=p1V1T1=p2V2T2

Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.

Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.

Ответ:

• Участок 1–2 — изобарный процесс. Температура увеличивается, давление постоянно.

• Участок 2–3 — изотермический процесс. Температура постоянно, давление увеличивается.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22473

На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10–9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.

Ответ:

а) 8,31⋅ 10–11 кг/м3

б) 1,38⋅ 10–9 кг/м3

в) 3⋅ 10–10 кг/м3

г)29⋅ 10–8 кг/м3

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать уравнение Менделеева — Клапейрона.

3.Выразить из уравнения плотность.

4.Подставить известные данные и сделать вычисления.

Решение

Запишем исходные данные:

• Давление воздуха на высоте 200 км: p = 10–9∙105 Па. Или p = 10–4 Па.

• Температура воздуха на этой же высоте: T = 1200 К.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=mMRT

Плотность определяется формулой:

ρ=mV

Следовательно, масса равна произведению плотности на объем. Перепишем уравнение состояния идеального газа, учитывая, что объем сократится слева и справа:

p=ρMRT

Молярная масса воздуха — табличная величина, равная 28,97 г/моль. Переведем в СИ и получим 28,97∙10–3 кг/моль.

Выразим и вычислим плотность:

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22749

Одноатомный идеальный газ в количестве ν моль помещают в открытый сверху сосуд под лёгкий подвижный поршень и начинают нагревать. Начальный объём газа V0, давление p0. Масса газа в сосуде остаётся неизменной. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь. R– универсальная газовая постоянная.

Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими газ, и формулами, выражающими их зависимость от абсолютной температуры T газа в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

1.Записать уравнение состояния идеального газа и выразить из него объем. Выбрать из таблицы соответствующий номер формулы.

2.Определить, от чего зависит внутренняя энергия идеального газа.

3.Записать основное уравнение МКТ и выразить внутреннюю энергию идеального газа. Выбрать из таблицы соответствующий номер формулы.

Решение

Уравнение состояния идеального газа имеет вид:

pV=mMRT

Учтем, что отношение массы к молярной массе есть количество вещества.Отсюда объем равен:

V=νRTp

Следовательно, первой цифрой ответа будет «1».

Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех молекул этого газа:

E=N−Ek

Запишем основное уравнение МКТ:

p=nkT

Отсюда температура газа равна:

T=pnk

Но температура прямо пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа:

T=2−Ek3k

Следовательно:

pnk=2−Ek3k

−Ek=3p2n

E=N−Ek=N3p2n

Но концентрация определяется отношением количества молекул к объему. Следовательно:

E=N3pV2N=3pV2

А произведение давления на объем можно выразить через уравнение Менделеева — Клапейрона. Следовательно:

E=32νRT

Вторая цифра ответа будет «3».

Ответ: 13

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22795

На рисунке показан график зависимости давления газа в запаянном сосуде от его температуры. Объём сосуда равен 0,25 м3. Какое приблизительно количество газообразного вещества содержится в этом сосуде? Ответ округлите до целых.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Выбрать любую точку графика и извлечь из нее дополнительные данные.

3.Записать уравнение состояния идеального газа.

4.Выполнить решение задачи в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные. Объем сосуда равен: V = 0,25 м3. На графике выберем точку, соответствующую температуре T = 300 К. Ей соответствует давление p = 2∙104 Па.

Запишем уравнение состояния идеального газа:

pV=νRT

Отсюда количества вещества равно:

ν=pVRT=2·104·0,258,31·300≈2 (моль)

Ответ: 2

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17664

Зависимость объёма идеального газа от температуры показана на VТ-диаграмме (см. рисунок). В какой из точек давление газа максимально? Масса газа постоянна.

Ответ:

A

B

C

D

Алгоритм решения

1.Записать уравнение состояния идеального газа.

2.Установить, как зависит давление от объема и температуры газа.

3.На основании графика, отображающего изменение температуры и объема газа, установить, в какой точке давление газа максимально.

Решение

Запишем уравнение состояния идеального газа:

pV=νRT

Отсюда видно, что давление прямо пропорционально температуре. Это значит, что с ростом температуры давление увеличивается.

Также видно, что давление обратно пропорционально объему. Следовательно, давление увеличивается с уменьшением объема.

Отсюда следует, что давление будет максимальным в той точке, в которой температура максимальна, а объем минимален. Такой точкой является точка D.

Ответ: D

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18093

В камере, заполненной азотом, при температуре  К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1). Высота сосуда  см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры  К. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h (см. рис. 2). Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры T0. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным  см (см. рис. 3). Чему равно h? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения физических величин в СИ.

2.Записать уравнение Менделеева — Клапейрона и применить его ко всем состояниям газа.

3.Определить условие равновесия пробки.

4.Выполнить решение задачи в общем виде.

5.Вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Начальная температура азота: T0 = 300 К.

• Высота сосуда: L = 50 см.

• Температура азота после охлаждения: T1 = 240 К.

• Высота столба азота после нагревания: H = 46 см.

50 см = 0,5 м

46 см = 0,46 м

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=νRT

Так как количество азота не меняется, можем принять, что:

pVT=const

Применим уравнение Менделеева — Клапейрона для всех трех состояний азота. Учтем, что

p0V0T0=p1V1T1=p2V2T2

Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда. Тогда объемы столба азота для каждого из состояний будут равны:

V0=SL

V1=Sh

V2=SH

Известно, что в состоянии 3 температура азота поднимается до первоначальной. Поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона примет вид:

p0SLT0=p1ShT1=p2SHT0

p0LT0=p1hT1=p2HT0

Неизвестными остались только давления. Их можно определить, записав условие равновесия пробки.

В состоянии 1 сила давления азота на пробку определяется формулой:

p0S=pатмS

В состоянии 2 на пробку действует сила давления со стороны азота и атмосферного давления, я а также сила трения, направленная вверх. Следовательно:

p1S=pатмS−Fтр=p0S−Fтр

В состоянии 3 на пробку действуют те же силы, но сила трения теперь действует не вверх, а вниз. Поэтому:

p2S=pатмS+Fтр=p0S+Fтр

Выразим из этих уравнений силу трения:

Fтр=p0S−p1S

Fтр=p2S−p0S

Приравняем правые части и получим:

p0S−p1S=p2S−p0S

Отсюда:

p0−p1=p2−p0

2p0=p2+p1

p0=p2+p12

Подставим это значение в уравнение Менделеева — Клапейрона и получим:

p2+p12LT0=p1hT1=p2HT0

Отсюда:

p2+p12L=p2H

p2L+p1L=2p2H

p1L=2p2H−p2L=p2(2H−L)

p1=p2(2H−L)L

Отсюда:

p2(2H−L)LhT1=p2HT0

Давление слева и справа взаимоуничтожается. Остается:

T0(2H−L)Lh=HT1

Отсюда выразим h:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18873

В сосуде неизменного объёма при комнатной температуре находилась смесь неона и аргона, по 1 моль каждого. Половину содержимого сосуда выпустили, а затем добавили в сосуд 1 моль аргона. Как изменились в результате парциальное давление неона и давление смеси газов, если температура газов в сосуде поддерживалась неизменной?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

  1. увеличилась
  2. уменьшилась
  3. не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Установить характер изменения парциального давления неона.

3.Применить закон Менделеева — Клапейрона, чтобы установить характер изменения общего давления смеси газов.

Решение

Исходные данные:

• Количество неона: ν1 = 1 моль.

• Количество аргона: ν2 = 1 моль.

• Количество впущенного аргона: ν4 = 1 моль.

Сначала парциальное давление неона и аргона равно. Это объясняется тем, что давление газов при неизменном количестве вещества зависит только от объема и температуры. Эти величины постоянны.

Когда из сосуда выпустили половину газовой смеси, в нем оказалось по половине моля каждого из газов. Затем в сосуд впустили 1 моль аргона. Следовательно, в сосуде стало содержаться 0,5 моль неона и 1,5 моль аргона. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=νRT

Из уравнения видно, что давление и количество вещества — прямо пропорциональные величины. Следовательно, если количество неона уменьшилось, то его парциальное давление тоже уменьшилось.

Общая сумма количества вещества равна сумме количеств вещества 1 (неона) и 2 (аргона): 0,5 + 1,5 = 2 (моль). Изначально в сосуде тоже содержалось 2 моль газа. Так как количество вещества, температура и объем сохранились, давление тоже осталось неизменным.

Ответ: 23

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 6.4k

Источник

Добавить комментарий