Как составить уравнение касательной к кривой второго порядка

3. Аналитическая геометрия на плоскости

3.9 Касательные

 

Пусть на плоскости задана кривая уравнением $F(x,y)=0$ (т.е. неявным образом). Пусть точка $(x_0, y_0)$ принадлежит этой кривой. Выпишем уравнение касательной к кривой в этой точке.

Напомним, что если кривая задана уравнением $y=f(x)$, то, как известно из курса дифференциального исчисления, угловой коэффициент касательной в точке $(x_0,y_0)$, лежащей на кривой, равен значению производной $f(x)$ в этой точке, т.е. $k=f'(x_0)$. Таким образом, уравнение касательной (уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку) имеет вид:
[
y-y_0=f'(x_0)(x-x_0).
]
Если кривая задана неявно, то производная $f'(x_0)$ вычисляется согласно соотношению
[
f'(x_0)=-frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}|_{x_0, y_0}.
]
Подставляя в уравнение касательной, получаем уравнение касательной в окончательном виде:
begin{equation}
(y-y_0)cdot frac{partial F}{partial y}(x_0, y_0)+(x-x_0)cdot frac{partial F}{partial x}(x_0, y_0)=0. (26)
label{kasat}
end{equation}

Рассмотрим с помощью этого соотношения касательные к кривым второго порядка.

1. Касательная к эллипсу.
Исходное уравнение
[
frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1,
]
так что $frac{partial F}{partial x}=frac{2x}{a^2}$, $frac{partial F}{partial y}=frac{2y}{b^2}$. При этом уравнение (26) принимает вид
[
frac{2(x-x_0)x_0}{a^2}+frac{2(y-y_0)y_0}{b^2}=0.
]
Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на эллипсе, получаем уравнение касательной эллипса, проходящей через эту точку:
begin{equation}
frac{xx_0}{a^2}+frac{yy_0}{b^2}=1. (27)
label{kasell}
end{equation}

2. Касательная к гиперболе.
Исходное уравнение
[
frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,
]
так что $frac{partial F}{partial x}=frac{2x}{a^2}$, $frac{partial F}{partial y}=-frac{2y}{b^2}$. При этом уравнение (26) принимает вид
[
frac{2(x-x_0)x_0}{a^2}-frac{2(y-y_0)y_0}{b^2}=0.
]
Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на гиперболе, получаем уравнение касательной гиперболы, проходящей через эту точку:
begin{equation}
frac{xx_0}{a^2}-frac{yy_0}{b^2}=1. (28)
label{kashyp}
end{equation}

3. Касательная к параболе.
Исходное уравнение
[
y^2-2px=0,
]
так что $frac{partial F}{partial x}=-2p$, $frac{partial F}{partial y}=2y$. При этом уравнение (26) принимает вид
[
-2p(x-x_0)+2(y-y_0)y_0=0.
]
Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на параболе, получаем уравнение касательной параболы, проходящей через эту точку:
begin{equation}
yy_0=p(x+x_0). (29)
label{kaspar}
end{equation}

 

Пример.

Задачи.

 

I Определения

Касательную к
окружности, эллипсу, гиперболе и параболе
можно определить как прямую, имеющую с
кривой одну общую точку, за исключением
двух случаев: 1) прямая, параллельная
асимптоте гиперболы, пересекает ее в
одной точке, но не является касательной;
2) прямая, параллельная оси параболы,
пересекает параболу в одной точке, но
не является касательной.

Касательную к
окружности можно определить и как
прямую, проходящую через точку окружности
перпендикулярно к радиусу, проведенному
в эту точку.

II Уравнения касательных

Методами
математического анализа можно получить
(нужно уметь!) уравнения касательных к
линиям, заданными своими каноническими
уравнениями. Пусть точка (x₀
,y₀)
лежит на линии. Тогда:

1. касательная к
   эллипсу
   имеет вид;

2. касательная к
   гиперболе
   имеет вид;

3. касательная к
   параболе y²=2px
   имеет вид
   y₀y=p(x+x₀).

Замечание.
Окружность понимаем как частный случай
эллипса.

III Некоторые свойства касательных

1. Фокусы эллипса
   расположены по одну сторону от любой
   его касательной, а фокусы гиперболы –
   по разные стороны.

2. Фокальные радиусы
   любой точки эллипса (гиперболы) образуют
   равные углы с касательной, проходящей
   через эту точку.

3. Произведение
   расстояний от фокусов эллипса (гиперболы)
   до любой касательной к линии есть
   величина постоянная.

4. Отрезок касательной
   к гиперболе, заключенный между ее
   асимптотами, делится пополам точкой
   касания.

5. Площадь треугольника,
   образованного касательной к гиперболе
   и ее асимптотами, есть величина
   постоянная.

6. Касательная к
   параболе в любой ее точке образует
   равные углы с фокальным радиусом этой
   точки и лучом, исходящим из нее и идущим
   параллельно оси параболы в ту сторону,
   куда парабола бесконечно простирается.

7. Касательные к
   эллипсу (гиперболе), проведенные в
   концах одного и того же диаметра,
   параллельны.

Соседние файлы в папке Конспект

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Макеты страниц

1. Пересечение линии второго порядка и прямой.

   Начать изучение
   

2. Тип линии.

   Начать изучение
   

3. Диаметр линии второго порядка.

   Начать изучение
   

4. Центр линии второго порядка.

   Начать изучение
   

5. Сопряженные направления.

   Начать изучение
   

6. Главные направления.

   Начать изучение
   

7. Касательная к линии второго порядка.

   Начать изучение
   

8. Особые точки.

   Начать изучение
   

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением
$$
Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0label{ref1}
$$
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой
$$
x=x_{0}+alpha t, y=y_{0}+beta t.label{ref2}
$$
Значения параметра (t), соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой eqref{ref2} в eqref{ref1}:
$$
A(x_{0}+alpha t)^{2}+2B(x_{0}+alpha t)(y_{0}+beta t)+C(y_{0}+beta t)^{2} +\+ 2D(x_{0}+alpha t)+2E(y_{0}+beta t)+F=0.label{ref3}
$$
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение
$$
Pt^{2}+2Qt+R=0,label{ref4}
$$
в котором
$$
P=Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2},label{ref5}
$$
$$
Q=(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta,label{ref6}
$$
или, при другой группировке слагаемых,
$$
Q=(Aalpha+Bbeta)x_{0}+(Balpha+Cbeta)y_{0}+Dalpha+Ebeta.label{ref7}
$$
Свободный член — это значение многочлена при (t=0), то есть
$$
R=Ax_{0}^{2}+2Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+2Dx_{0}+2Ey_{0}+F=0.label{ref8}
$$

Вообще говоря, уравнение eqref{ref4} квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны “исключительные” прямые, для которых (P=0), то есть
$$
Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2}=0,label{ref9}
$$
и, следовательно, уравнение eqref{ref4} является линейным. В этом случае оно имеет один корень при (Q neq 0), а при (Q=0) либо выполнено тождественно (если и (R=0)), либо не имеет решений. Следовательно, “исключительные” прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек.

В равенство eqref{ref9} не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить (alpha) и (beta) на общий ненулевой множитель.

Тип линии.

Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив
$$
delta=begin{vmatrix}
A& B\
B& C
end{vmatrix},nonumber
$$
сформулируем следующее утверждение.

От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак (delta).

Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия eqref{ref9}. Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат.

Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотических направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис. 9.1). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.

Для линий гиперболического типа (delta < 0), для параболического типа (delta=0), а для эллиптического (delta > 0).

Диаметр линии второго порядка.

Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.

Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.

Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка (M_{0}(x_{0}, y_{0})) секущей eqref{ref2} находится в середине хорды, то корни уравнения eqref{ref4} равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 9.2). Это будет так в том и только том случае, когда (Q=0). Используя eqref{ref7}, мы получаем, что середины хорд направления ((alpha, beta)^{2}) лежат на прямой
$$
(Aalpha+Bbeta)x+(Balpha+Cbeta)y+Dalpha+Ebeta=0.label{ref10}
$$

Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.

Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение eqref{ref10} определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю? Допустим, что это так, то есть
$$
Aalpha+Bbeta=0, Balpha+Cbeta=0.nonumber
$$

Умножим первое из этих равенств на (alpha), второе — на (beta) и сложим. Мы получим равенство eqref{ref9}, которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение eqref{ref10} определяет прямую.

Центр линии второго порядка.

Обозначим левую часть уравнения eqref{ref1} через (boldsymbol{Phi}(x, y)) и введем еще одно понятие.

По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (x_{0}, y_{0}) точки (O) в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению eqref{ref11}. Будут ли ее координаты ((tilde{x}_{0}, tilde{y}_{0})) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена (tilde{boldsymbol{Phi}}(tilde{x}, tilde{y})), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, потому что многочлен (tilde{boldsymbol{Phi}}) так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство (tilde{boldsymbol{Phi}}(tilde{x}, tilde{y})=boldsymbol{Phi}(x, y)). Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из (O) сдвигом на векторы (boldsymbol{a}) и (-boldsymbol{a}).

Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой (y=0) является центром линии с уравнением (y^{2}+1=0).

Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство eqref{ref11}. Его левая часть равна
$$
A(x_{0}+alpha)^{2}+2B(x_{0}+alpha)(y_{0}+beta) +\+ C(y_{0}+beta)^{2}+2D(x_{0}+alpha)+2E(y_{0}+beta)+F.nonumber
$$
Правая часть отличается от левой только знаками у (alpha) и (beta). Поэтому при вычитании (boldsymbol{Phi}(x_{0}-alpha, y_{0}-beta)) из (boldsymbol{Phi}(x_{0}+alpha, y_{0}+beta)) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые (alpha) и (beta) входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta=0.label{ref12}
$$

Но равенство eqref{ref11}, а вместе с ним и равносильное равенство eqref{ref12} имеет место при любых (alpha) и (beta), в частности, при (alpha=1), (beta=0) и при (alpha=0), (beta=1). Отсюда следует, что координаты ((x_{0}, y_{0})) центра должны удовлетворять системе уравнений
$$
left{begin{array}{l}
Ax_{0}+By_{0}+D=0,\
Bx_{0}+Cy_{0}+E=0.
end{array}right.label{ref13}
$$

Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства eqref{ref13}, то, умножая их на произвольные числа (alpha) и (beta) и складывая, мы получим eqref{ref12}, а тем самым и eqref{ref11}.

Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений eqref{ref13} имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
$$
delta=begin{vmatrix}
A& B\
B& C
end{vmatrix} neq 0.label{ref14}
$$
Таким образом, условие (delta neq 0) необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.

Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.

Условие (delta=0) характеризует нецентральные линии. Это — линии параболического типа. При условии (delta=0) система eqref{ref13} либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (ранее мы уже доказывали этот факт). Это значит, что нецентральная линия либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых, вещественных и мнимых, и пары совпавших прямых).

Сопряженные направления.

Направление ((alpha’, beta’)), определяемое диаметром, сопряженным направлению ((alpha, beta)), называется сопряженным направлению ((alpha, beta)). Компоненты ((alpha’, beta’)), направляющего вектора диаметра eqref{ref10} согласно доказанному ранее утверждению 6 удовлетворяют условию
$$
(Aalpha+Bbeta)alpha’+(Balpha+Cbeta)beta’=0label{ref15}
$$
или
$$
Aalphaalpha’+B(alpha’beta+alphabeta’)+Cbetabeta’=0label{ref16}
$$
В последнее выражение пары чисел ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) входят симметричным образом. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению ((alpha, beta)) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства eqref{ref15} следует, что в качестве (alpha’) и (beta’) можно выбрать соответственно — (-(Balpha+Cbeta)) и ((Aalpha+Bbeta)). Подставим это в уравнение eqref{ref9} для асимптотических направлений:
$$
A(Balpha+Cbeta)^{2}-2B(Balpha+Cbeta)(Aalpha+Bbeta)+C(Aalpha+Bbeta)^{2}=0.nonumber
$$
После преобразований получаем ((AC-B^{2}) times (Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2})=0). Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя. Мы получаем новое утверждение.

Главные направления.

Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии.

Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты ((alpha, beta)) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения eqref{ref10}, то есть должно существовать такое число (lambda), что
$$
Aalpha+Bbeta=lambdaalpha, Balpha+Cbeta=lambdabeta.label{ref17}
$$
Исключая (lambda), мы получаем уравнение для (alpha) и (beta):
$$
(A-C)alphabeta+B(beta^{2}-alpha^{2})=0.label{ref18}
$$

Если положить (alpha=cos varphi), (beta=sin varphi), то уравнение eqref{ref18} превратится в уравнение (2B cos 2varphi = (A-C)sin 2varphi), которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно (varphi). Поэтому имеет место следующее утверждение.

Более подробное исследование уравнения eqref{ref18} показывает, что либо эта пара единственная, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной. Последний случай имеет место, когда (A=C), (B=0). При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов: (x^{2}+y^{2}=a^{2}), (x^{2}+y^{2}=-a^{2}) или (x^{2}+y^{2}=0). В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла.

Касательная к линии второго порядка.

Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением eqref{ref1}. Дадим предварительно следующее определение.

Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам.

Рассмотрим точку (M_{0}(x_{0, y_{0}})), лежащую на линии (L), и прямую с начальной точкой (M_{0}), заданную уравнением eqref{ref2}. С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что уравнение eqref{ref4}, определяющее точки пересечения (L) и прямой, имеет два совпадающих корня.

Так как начальная точка принадлежит (L), в уравнении eqref{ref4} (R=0), и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, для чего необходимо, чтобы (Q=0). Если при этом окажется, что и (P=0), то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень (t=0) в том и только том случае, когда (Q=0). Мы рассматриваем равенство (Q=0) как условие, определяющее направляющий вектор касательной:
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta=0.label{ref19}
$$

Так как (M_{0}) не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие eqref{ref19} определяет (alpha) и (beta) с точностью до общего множителя. Точка (M(x, y)) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) коллинеарен (boldsymbol{a}(alpha, beta)), то есть его координаты (x-x_{0}) и (y-y_{0}) удовлетворяют тому же условию, что и ((alpha, beta)):
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)(x-x_{0})+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)(y-y_{0})=0.label{ref20}
$$

Это и есть уравнение касательной к линии (L) в точке (M_{0}), лежащей на линии. Уравнение eqref{ref20} можно записать и иначе, если заметить, что координаты (M_{0}) удовлетворяют уравнению eqref{ref1} и, следовательно,
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)x_{0}+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)y_{0}+Dx_{0}+Ey_{0}+F=0.nonumber
$$
Прибавляя это равенство к eqref{ref20} и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение
$$
Axx_{0}+B(xy_{0}+x_{0}y)+Cyy_{0}+D(x+x_{0})+E(y+y_{0})+F=0.label{ref21}
$$

Особые точки.

Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат ((x_{0}, y_{0})) особой точки должны быть справедливы равенства
$$
begin{array}{cc}
& Ax_{0}+By_{0}+D=0, Bx_{0}+Cy_{0}+E=0,\
& Ax_{0}^{2}+2Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+2Dx_{0}+2Ey_{0}+F=0.
end{array}nonumber
$$
Умножим первое из них на (x_{0}), второе на (y_{0}) и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений
$$
left{begin{array}{l}
Ax_{0}+By_{0}+D=0,\
Bx_{0}+Cy_{0}+E=0,\
Dx_{0}+Ey_{0}+F=0.
end{array}right.label{ref22}
$$
Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы (boldsymbol{p}(A, B, D)), (boldsymbol{q}(B, C, E)) и (boldsymbol{r}(D, E, F)). Равенства eqref{ref22} представляют собой координатную запись векторного равенства
$$
x_{0}boldsymbol{p}+y_{0}boldsymbol{q}=-boldsymbol{r}.label{ref23}
$$
Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы (boldsymbol{p}), (boldsymbol{q}) и (boldsymbol{r}) компланарны, и потому
$$
triangle=begin{vmatrix}
A& B& D\
B& C& E\
D& E& F
end{vmatrix}=0.label{ref24}
$$

Если линия центральная, то векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) не коллинеарны, и условие компланарности eqref{ref24} равносильно существованию разложения eqref{ref23}, то есть существованию решения системы eqref{ref22}. Мы получили ещё одно утверждение.

Итак, сочетание (delta < 0), (triangle=0) характеризует пары пересекающихся прямых, а (delta > 0), (triangle=0) — пары мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда (triangle=0). В этом (и только этом) случае векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны. Действительно, так как (delta=0), по предложению 9 § 2 гл. II, если система уравнений eqref{ref13} имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда (triangle=0) независимо от (boldsymbol{r}).

Обратно, пусть для нецентральной линии (triangle=0). Докажем, что (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае (boldsymbol{r}) по ним раскладывается, и согласно eqref{ref23} существует особая точка. Она — центр, (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны, и мы получаем противоречие.

Итак, сочетание (delta=triangle=0) характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).

Из последних двух утверждений следует, что равенство (triangle=0) является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.