Как составить уравнение кривой по двум точкам

Кривые второго порядка – определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам

Элементы кривой второго порядка или координаты

Уравнения Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0

A=

B=

C=

D=

E=

F=

Полученная формула

Коэффициенты через пробел Калькулятор предназначен для расчета и создания уравнения кривых второго порядка на декартовой плоскости по нескольким точкам, от двух до пяти. Не является секретом то, что уравнение кривой второго порядка может быть представлена формулой Мы будем использовать чуть измененную формулу, разделив все коэффициенты на a6 отсюда видно, что кривую второго порядка можно однозначно определить по пяти точкам. Кривая второго порядка при различных коэффициентах может превращатся в следующие “типы”: – пара пересекающихся прямых – пара паралельных несовпадающих прямых – пары совпадающих прямых – линии, вырождающиеся в точку – “нулевые линии”, то есть “линии”, вовсе не имеющие точек Если Вам интересны формулы при которых получаются все эти типы, то пожалуйста – пара пересекающихся прямых – пара параллельных прямых – пара совпадающих прямых Этот сервис позволяет Вам по заданным точкам определить, какую же кривую второго порядка провести через эти точки. Кроме этого, Вы увидите все основные параметры полученной кривой второго порядка. От Вас лишь понадобится предоставить боту от двух до пяти декартовых координат, что бы бот мог решить эту задачу. ИНВАРИАНТЫ И СВОДНАЯ ТАБЛИЦА Любая кривая второго порядка характеризуется тремя инвариантами, имеющими вид И одним семиинвариантом если Вам интересно, откуда они появились, то рекомендуем прочитать книгу “Аналитическая геометрия – Делоне” Характеристическое уравнение кривой второго порядка: Таким образом сводная таблица имеет вид Признак типа Признак класса Название Приведенное уравнение Каноническое уравнение Эллипс 0, & I_1K_2>0″ /> Мнимый эллипс 0, & K_2=0″ /> Точка Гипербола Пара пересекающихся прямых Окружность Парабола Пара паралельных прямых 0″ /> Пара мнимых паралельных прямых Пара совпадающих прямых Анализируя написанные онлайн калькуляторы по этой теме, нашел интересную “особенность”. Попробовав рассчитать по трем точкам кривую второго порядка, зная что эти точки принадлежат окружности, я с завидным постоянством получал ответ, что графиком(формой)полученного уравнения кривой является эллипс. Нет формально, конечно стоит признать что окружность является частным примером эллипса, но ведь можно пойти дальше и признать что и эллипс и гипербола и парабола, являются лишь частным примером кривой второго порядка общего вида, и в ответах таких калькуляторов выдавать ответ пользователю “вы получили уравнение второго порядка” и всё. не соврали же. Такое сверхлегкое трактование и смешение определений геометрических фигур, никак не способствует пониманию и сути решаемых задач. Это как в анекдоте “А теперь нарисуем квадрат со сторонами 3 на 4″(с) И не поймешь то ли рисовать квадрат, то ли прямоугольник. Пример: Начнем сразу с проверочного примера Вообще, убедимся правильно ли считает бот? Итак, есть у нас функция x*x+3x-11=y определим значения при x=1,2,3,4,5 значения получились такие y=-7,-1,7,17,29 и зададим эти точки в качестве исходных пишем kp2 1:-7 2:-1 3:7 4:17 5:29 в результате получаем следующее: На первый взгляд получилось далеко не то, что должно получится. Но если мы уберем нулевые коэффициенты, и разделим все на 0.09091 то результат будет такой то есть Что и требовалось доказать в качестве правильности расчетов нашего бота. Теперь пусть у нас есть всего лишь три точки С координатами x=1,2,3 и y=-7,-1,7 Логично, что это тоже самое уравнение параболы что мы разбирали в первом примере. НО! при трех точках такое решение не единственное. Давайте попробуем задать боту всего три координаты и скажем ему какого вида уравнение мы хотим получить. Это частное уравнение кривой второго порядка в котором коэффициенты а1 и а5 равны нулю Скажем об этом боту kp2 0 1:-7 2:-1 3:7 0 1 где 0- показывает какие коэффициенты нам НЕ надо учитывать, а 1 – это постоянный коэффициент, то есть его находить нет необходимости. Он известен. Видим что не учитываем 1 и 5 коэффициент. Кривая второго порядка a1*x*x+a2*y*y+a3*x*y+a4*x+a5*y+a6 = 0 Кривые второго порядка Кривая второго порядка – это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением: Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах – при вторых степенях одновременно не нули. или можно встретить следующую форму записи: К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. Покажем на примере определение значений коэффициентов. Рассмотрим кривую второго порядка: Вычислим определитель из коэффициентов: Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа, если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа, если Δ F1 и F2 – фокусы. с – фокальное расстояние, Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат: 2а – большая ось эллипса, 2b – малая ось эллипса. а – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса. Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b: Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид: Эксцентриситет – число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси: Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут. Гипербола – множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками. с – фокальное расстояние, Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат: x – действительная ось, y – мнимая ось. а – действительная полуось, b – мнимая полуось. Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид: Эксцентриситет гиперболы – число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси. Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох. Директриса гиперболы – прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε. f1 – правая директриса, f2 – левая директриса. Порядок построения гиперболы : 1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b. 2. Провести асимптоты гиперболы – диагонали построенного прямоугольника. 3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0). Парабола – множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f. F – фокус параболы, f – директриса параболы. [spoiler title=”источники:”] http://abakbot.ru/online-2/81-krivaya-two http://matecos.ru/mat/matematika/krivye-vtorogo-poryadka.html [/spoiler]

Коэффициенты через пробел

Калькулятор предназначен для расчета и создания уравнения кривых второго порядка на декартовой плоскости по нескольким точкам, от двух до пяти.

Не является секретом то, что уравнение кривой второго порядка может быть представлена формулой

Мы будем использовать чуть измененную формулу, разделив все коэффициенты на a6

отсюда видно, что кривую второго порядка можно однозначно определить по пяти точкам.

Кривая второго порядка при различных коэффициентах может превращатся в следующие «типы»:

— пара пересекающихся прямых

— пара паралельных несовпадающих прямых

— пары совпадающих прямых

— линии, вырождающиеся в точку

— «нулевые линии», то есть «линии», вовсе не имеющие точек

Если Вам интересны формулы при которых получаются все эти типы, то пожалуйста

— пара пересекающихся прямых

— пара параллельных прямых

— пара совпадающих прямых

Этот сервис позволяет Вам по заданным точкам определить, какую же кривую второго порядка провести через эти точки. Кроме этого, Вы увидите все основные параметры полученной кривой второго порядка.

От Вас лишь понадобится предоставить боту от двух до пяти декартовых координат, что бы бот мог решить эту задачу.

ИНВАРИАНТЫ И СВОДНАЯ ТАБЛИЦА

Любая кривая второго порядка характеризуется тремя инвариантами, имеющими вид

И одним семиинвариантом

если Вам интересно, откуда они появились, то рекомендуем прочитать книгу «Аналитическая геометрия — Делоне»

Характеристическое уравнение кривой второго порядка:

Таким образом сводная таблица имеет вид

Признак типа	Признак класса	Название	Приведенное уравнение	Каноническое уравнение
Эллипс
0, & I_1K_2>0″ />	Мнимый эллипс
0, & K_2=0″ />	Точка
Гипербола
Пара пересекающихся прямых
Окружность
Парабола
Пара паралельных прямых
0″ />	Пара мнимых паралельных прямых
Пара совпадающих прямых

Анализируя написанные онлайн калькуляторы по этой теме, нашел интересную «особенность». Попробовав рассчитать по трем точкам кривую второго порядка, зная что эти точки принадлежат окружности, я с завидным постоянством получал ответ, что графиком(формой)полученного уравнения кривой является эллипс.

Нет формально, конечно стоит признать что окружность является частным примером эллипса, но ведь можно пойти дальше и признать что и эллипс и гипербола и парабола, являются лишь частным примером кривой второго порядка общего вида, и в ответах таких калькуляторов выдавать ответ пользователю «вы получили уравнение второго порядка» и всё. не соврали же.

Такое сверхлегкое трактование и смешение определений геометрических фигур, никак не способствует пониманию и сути решаемых задач. Это как в анекдоте «А теперь нарисуем квадрат со сторонами 3 на 4″(с) И не поймешь то ли рисовать квадрат, то ли прямоугольник.

Пример:

Начнем сразу с проверочного примера

Вообще, убедимся правильно ли считает бот?

Итак, есть у нас функция x*x+3x-11=y

определим значения при x=1,2,3,4,5

значения получились такие y=-7,-1,7,17,29

и зададим эти точки в качестве исходных

пишем kp2 1:-7 2:-1 3:7 4:17 5:29

в результате получаем следующее:

На первый взгляд получилось далеко не то, что должно получится.

Но если мы уберем нулевые коэффициенты, и разделим все на 0.09091 то результат будет такой

то есть

Что и требовалось доказать в качестве правильности расчетов нашего бота.

Теперь пусть у нас есть всего лишь три точки

С координатами x=1,2,3 и y=-7,-1,7

Логично, что это тоже самое уравнение параболы что мы разбирали в первом примере. НО! при трех точках такое решение не единственное.

Давайте попробуем задать боту всего три координаты и скажем ему какого вида уравнение мы хотим получить.

Это частное уравнение кривой второго порядка в котором коэффициенты а1 и а5 равны нулю

Скажем об этом боту

kp2 0 1:-7 2:-1 3:7 0 1

где 0- показывает какие коэффициенты нам НЕ надо учитывать, а 1 — это постоянный коэффициент, то есть его находить нет необходимости. Он известен.

Видим что не учитываем 1 и 5 коэффициент.

Кривая второго порядка a1*x*x+a2*y*y+a3*x*y+a4*x+a5*y+a6 = 0

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Аппроксимация функции одной переменной

Калькулятор использует методы регрессии для аппроксимации функции одной переменной.

Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.

Если не ввести значения x, калькулятор примет, что значение x меняется от 0 с шагом 1.

Аппроксимация функции одной переменной

Линейная регрессия

Коэффициент линейной парной корреляции:

Средняя ошибка аппроксимации:

Квадратичная регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c:

Коэффициент корреляции:
,
где

Средняя ошибка аппроксимации:

Кубическая регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Степенная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Показательная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Гиперболическая регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Логарифмическая регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Экспоненциальная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Вывод формул

Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.

Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.

Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:

Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.

Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:

Для функции вида частные производные равны:
,

Подставив производные, получим:

Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с<а. Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.

Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины 2а закрепить в точках и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной 2 а (Рис. 7.1).

Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ох походила через фокусы положительное направление оси – от , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек будут соответственно (-с,0) и (с,0).

Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса, тогда:

Подставляя сюда значения имеем:

(7.1)

Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим

его:

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим:

Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем или

(7.2)

Положительную величину обозначим через. Тогда уравнение (7.2) примет вид:

(7.3)

Оно называется каноническим уравнение эллипса.

Координаты точек эллипса ограничены неравенствами. Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами 2а и 2b •

Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени х и у. Поэтому, если точка M(х,у) принадлежит эллипсу, то и точки также ему принадлежат. А это означает, что эллипс – линия симметричная относительно координатных осей Ох и Оу.

Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:

(7.4)

При возрастании x от 0 до а, у монотонно убывает от а до 0. График функции изображен на Рис. 7.4.

Рис. 7.4

Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).

Рис. 7.5. Оси симметрии эллипса (оси Ох и Оу) называются просто его осями, а центр симметрии – точка О – центром эллипса. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки , а также их длины а и Ь называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси Ох (как в нашем случае), из равенства следует, что a>b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а <с.

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение: (7.6) где ху – координаты произвольной точки гиперболы,

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми х = -а и х = а.

Так как в уравнение входят только четные степени x и у, то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем:

График этой функции от точки A(а,0) уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны 2а и 2Ь параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки , пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Величины а и Ь называются полуосями гиперболы. Если а=Ь, то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число. Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси Ох. На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями £.

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами. Их длины и задаются формулами:

Для правой – ветви ,

Для левой – ветви

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось Ох проводят через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом F и точкой D пересечения оси Ох с директрисой . Если обозначить через р расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что л: может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси Оу. Так как уравнение (7.8) содержит у только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .

При неограниченном возрастании x неограниченно растет и у. Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии. Сделаем рисунок параболы (Рис. 7.10).

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.

Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

(7.9)

где среди коэффициентов А, В, С есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно х и у.

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: Оху, которую будем называть старой, и новую, полученную из Оху поворотом ее вокруг начала координат на угол

Старые координаты х, у выражаются через новые координаты по формулам:

(7.10)

Подставив выражения для х и у в уравнение (8), получим: (7.11)

Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе Оху.

Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла а в (7.10) можно добиться того, что В’ = 0. Для этого угол а надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать В’= 0, тогда уравнение (7.11) примет вид:

(7.12)

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:

(7.13)

В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:

Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество.

Кривые второго порядка в высшей математике

Выяснение взаимосвязей между различными показателями экономического характера часто приводит к форме этих связей в виде гиперболы и параболы. В этой лекции приведём краткие сведения обо всех кривых второго порядка.

Окружность

Определение 9.1. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки – центра окружности.

Если точка – центр (рис.9.1), N(x,y) – произвольная точка окружности и R – её радиус, то согласно определения можно записать

или

Найдём условия, при которых общее уравнение второй степени с двумя переменными

определяет окружность. Раскрыв скобки в (9.1.1), получим

Сравнивая (9.1.2) и (9.1.3), находим условия А = С, В = О,

, при выполнении которых общее уравнение (9.1.2) определяет окружность.

Эллипс

Определение 9.2. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть на плоскости хОу (рис. 9.2) дан эллипс с фокусами и. Пусть начало координат лежит на середине отрезка . Выведем уравнение эллипса.

Если точка А – произвольная точка эллипса с координатами (х, у), то

(9.2.1)

где – постоянная сумма. Так как

расположены симметрично относительно начала координат, то они имеют координаты (с,0) и (-с,0) соответственно. Воспользовавшись формулой для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Подставив значения

и в (9.2.1), получаем уравнение

Обе части этого уравнения возведем в квад-Упростив и обозначив

получим. Разделим обе части уравнения на правую часть

Уравнение (9.2.2) называется каноническим уравнением эллипса, где а – большая полуось, b – малая полуось.

Это уравнение второго порядка, следовательно, эллипс есть линия второго порядка. Для определения формы эллипса служит его эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большей полуоси. Так как са, то эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Поскольку

, то подставив значение в равенство, получим

Следовательно, эксцентриситет определяется отношение осей эллипса; а отношение осей определяется эксцентриситетом. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение . Это значит, что эллипс вытянут вдоль оси Ох. В случае Ь=а и получаем окружность.

Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. Уравнения директрис

Пример:

Исследовать, какая линия определяется уравнением

Решение:

Сгруппируем члены, содержащие одну и туже переменную, получим

Из второй скобки вынесем коэффициент при , после чего предыдущее уравнение примет вид

В каждой из скобок выделим полный квадрат

или

Произведём замену: . Исследуемое уравнение принимает вид: .

Разделив обе части этого уравнения на , получим канонический вид данного уравнения:

Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями , центр которого находится в точке

Выбираем на плоскости произвольным образом прямоугольную систему координат хОу. С помощью параллельного переноса переносим оси координат в новое начало в точку . В новой системе координат строим основной прямоугольник со сторонами , стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке . Вписываем в него эллипс.

Гипербола

Определение 9.3.1. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами и отличная от нуля (указанная разность берется по абсолютному значению).

Пусть М- произвольная точка гиперболы с фокусами (рис. 9.4). Отрезки называются фокальными радиусами точки М и обозначаются По определению гиперболы . Так как и т.к. расположены симметрично относительно начала координат, то, применяя формулу для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Заменяя в равенстве найденными выражениями, получаем:

.

Возведя в квадрат обе части этого уравнения и обозначая , получим: или, разделив все члены уравнения на правую часть, приводим его к виду:

Уравнение (9.3.1)- это каноническое уравнение гиперболы, линии второго порядка.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником. Его диагонали совпадают с асимптотами гиперболы . Поэтому, если требуется построить гиперболу с полуосями а и b, то следует, прежде всего, построить ее основной прямоугольник, затем асимптоты.

Уравнение вида определяет гиперболу, вершины которой расположены на оси Оу (Рис. 9.5).

Форму гиперболы характеризует её эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между её вершинами. Поскольку , то подставив в формулу получимоткуда. Следовательно, эксцентриситет oредсляется отношением , а отношение – эксцентриситетом. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение , а это значит, что основной прямоугольник вытянут в направлении оси, соединяющей вершины.

Прямые, заданные уравнениями называются директрисами гиперболы.

Пример:

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от данной точки А(4, 0) и от данной прямой х=1 равно 2.

Решение:

В системе координат хОу построим точку А(4, 0) и прямую х = 1. Пусть М(х, у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то её абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, B(1, у) (рис. 9.6).По условию задачи .Подставив значения расстояний, которые находим по формуле расстояния между двумя точками, получим:

Возводя в квадрат левую и правую части равенства и последовательно преобразовывая, находим уравнение:

Полученное уравнение определяет гиперболу, у которой действительная полуось -а = 2, а мнимая .

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство . Следовательно, .А – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка

А(4, 0) является правым фокусом гиперболы.

Эксцентриситет полученной гиперболы равен

Подставив значения а и b в уравнения асимптот и

у =—получим уравнения асимптот гиперболы:и .

Для построения гиперболы строим основной прямоугольник с полуосями , затеем асимптоты и а далее строим и саму гиперболу (рис.9.6).

• Заказать решение задач по высшей математике

Парабола

Определение 9.4.1. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых, расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой,(директриса не проходит через фокус).

Обозначим фокус параболы – F, расстояние от фокуса до директрисы – р(р > 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС<0.

Кривая второго порядка принадлежит параболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0 и только один из коэффициентов А и С не равен нулю: АС=0 и

Рассмотрим канонические (простейшие) уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Геометрическое свойство точек эллипса выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину, о которой идет речь в определении эллипса, обозначим через 2а: 2а>2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а<2с. Точка М(х,у) принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением гиперболы.

Число а называют действительной полуосью гиперболы, число

– мнимой полуосью гиперболы, 2а и 2b – соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Точки называют вершинами гиперболы, – ее фокусами (рис. 13).

Координатные оси являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы.

Точки гиперболы по мере удаления от начала координат неограниченно (асимптотически) приближаются к прямым у=±kх (где ), которые называются асимптотами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси:

Эксцентриситет гиперболы изменяется от единицы до бесконечности и характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем ее ветви более сжаты к оси Ох.

Замечание. Каноническое уравнение определяет сопряженную гиперболу с действительной полуосью b, вершинами в точках и фокусами на оси Оу.

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат, если ее действительная полуось равна трем, а эксцентриситет -четырем третьим.

Решение:

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

По условию задачи нам известно: а=3, Найдем мнимую полуось.

Следовательно, уравнение искомой гиперболы:

Задача решена.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расстояние между фокусом и директрисой обозначим р. Для того чтобы точка М(х,у) принадлежала параболе, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли уравнению которое называется каноническим уравнением параболы.

Точка O(0,0) называется вершиной параболы, число р – параметром параболы, – директрисой пир,болы, а – ее фокусом. Прямая у=0 является осью симметрии параболы, ветви которой направлены вправо. Центра симметрии у параболы нет (рис. 14).

Если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид (уравнение параболы с вертикальной осью, уравнением директрисы фокусом ветви направлены вверх).

Замечание. Канонические уравнения параболы можно рассматривать и в случае, когда ветви направлены влево или вниз:

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе первого координатного угла отрезок длиной

Решение:

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и ветвями, направленными вверх, имеет вид:

Уравнение биссектрисы первого координатного угла у=х. Найдем точки пересечения параболы с биссектрисой. Для этого решим систему уравнений

Следовательно, точка М(2р,2р) будет принадлежать параболе. С другой стороны, парабола отсекает на биссектрисе отрезок длиной который является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 2р.

По теореме Пифагора

Тогда искомое уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы: у=-1, координаты ее фокуса F(0,1).

Задача решена.

Кривая второго порядка – это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:  Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах – при вторых степенях одновременно не нули. или можно встретить следующую форму записи: К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка: 

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ < 0, кривая второго порядка гиперболического типа.

Эллипс – множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, большая расстояния между этими точками.

F₁ и F₂ – фокусы.  

с – фокальное расстояние, F1(-c;0) – левый фокус, F2(c;0) – правый фокус.

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а – большая ось эллипса, 2b – малая ось эллипса.

а – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀),  оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

 

Эксцентриситет – число, равное отношению  фокального расстояния к большей полуоси:

 

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола – множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

F₁ и F₂ – фокусы.

с – фокальное расстояние, F1(-c;0) – левый фокус, F2(c;0) – правый фокус. А1(-а;0),  А2(а;0) – вершины.

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

 

x – действительная ось, y – мнимая ось.

а – действительная полуось,   b –  мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀),  оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы – число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы – прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ –  правая директриса,   f₂ –  левая директриса.

Уравнения директрис:

Порядок построения гиперболы:

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы – диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А₁(-а;0),  А₂(а;0).

Парабола – множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F – фокус параболы, f – директриса параболы. 

р – фокальное расстояние  Фокус параболы: Директриса параболы:

Пример по теме кривые второго порядка №1

Привести к каноническому виду и построить график кривой второго порядка. 

 

Пример по теме кривые второго порядка №2

По виду уравнения определить тип кривой и нарисовать ее в декартовой системе координат:

 

Пример по теме кривые второго порядка №3

Построить кривую второго порядка:

 

Пример по теме кривые второго порядка №4

Построить кривую второго порядка:

 

Пример по теме кривые второго порядка №5

Провести заданное уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить ее:

Пример по теме кривые второго порядка №6

Определить центр и радиус окружности:

 

Пример по теме кривые второго порядка №7

Определить центр и полуоси эллипса:

 

Пример по теме кривые второго порядка №8

Определить центр, полуоси и асимптоты гиперболы:

 

Пример по теме кривые второго порядка №9

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(-1;0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x=-4

Пример по теме кривые второго порядка №10

Определить тип кривой второго порядка:

Пример по теме кривые второго порядка №11

Дана кривая:

Докажите, что эта кривая – эллипс.

Найдите координаты центра симметрии.

Найдите его большую и малую полуоси.

Запишите уравнение фокальной оси.

Постройте данную кривую.

Пример по теме кривые второго порядка №12

Дана кривая:

Доказать, что данная кривая – парабола.

Найти координаты вершины параболы.

Найдите значение ее параметра.

Запишите уравнение оси симметрии параболы.

Постройте данную параболу.

Пример по теме кривые второго порядка №13

Дана кривая:

Докажите, что кривая – гипербола.

Найдите координаты центра симметрии гиперболы.

Найдите действительную и мнимую полуоси гиперболы.

Запишите уравнение фокальной оси гиперболы.

Найдите данную гиперболу.

Пример по теме кривые второго порядка №14

Все графике в этой статье были построены в Geogebra.Подробно о построении графиков функции быстрым и удобным способом читать тут:

Умение
строить графики и анализировать
уравнения кривых, каковыми являются
прямые линии и кривые второго порядка
– окружность,
эллипс, гипербола, парабола является
важным для всех специалистов. При
решении большого класса задач требуется
выделить на плоскости область,
ограниченную какими-либо кривыми,
уравнения которых заданы. Часто
приходится искать наибольшее или
наименьшее значения, принимаемые
некоторой функцией в области, заданной
уравнениями системы неравенств.

В
аналитической геометрии
линия на плоскости
определяется как множество точек,
координаты которых удовлетворяют
уравнению
.
При этом на функциюдолжны быть наложены ограничения так,
чтобы, с одной стороны, это уравнение
имело бесконечное множество решений
и, с другой стороны, чтобы это множество
решений не заполняло “куска плоскости”.
Важный класс линий составляют те, для
которых функцияесть многочлен от двух переменных, в
этом случае линия, определяемая
уравнением,
называется
алгебраической.
Алгебраические линии, задаваемые
уравнением первой степени, суть прямые.
Уравнение второй степени, имеющее
бесконечное множество решений, определяет
эллипс, гиперболу, параболу или линию,
распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости
задана прямоугольная декартова система
координат. Прямая на плоскости может
быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение
   прямой:

(2.1)

Вектор
ортогонален прямой, числа A и B одновременно
не равны нулю.

1. Уравнение прямой
   с угловым коэффициентом:

(2.2)

где
k – угловой коэффициент прямой, то есть
,
где‑ величина угла, образованного прямой
с осью Оx,‑ некоторая точка, принадлежащая
прямой.

Уравнение
(2.2) принимает вид ,
если
есть точка пересечения прямой с осью
Оy.

1. Уравнение прямой
   в отрезках:

(2.3)

где
a и b ‑ величины отрезков, отсекаемых
прямой на осях координат.

1. Уравнение
   прямой, проходящей через две данные
   точки ‑
   и:

(2.4)

1. Уравнение
   прямой, проходящей через данную точку
   параллельно данному вектору:

(2.5)

1. Нормальное
   уравнение прямой:

(2.6)

где


‑ радиус-вектор произвольной точки
этой прямой,
‑
единичный вектор, ортогональный этой
прямой и направленный от начала координат
к прямой;

‑ расстояние от начала координат до
прямой.

Нормальное
уравнение прямой в координатной форме
имеет вид:

,

где
‑ величина угла, образованного прямой
с осью Оx.

Величина
угла между прямыми
и
задается формулой:

.

Равенство
есть необходимое и достаточное условие
перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы
два уравнения

(2.7)

(2.8)

задавали одну и
ту же прямую, необходимо и достаточно,
чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

Уравнения
(2.7), (2.8) задают две различные параллельные
прямые, если

и
;
прямые пересекаются, если
.

Расстояние
d от точки
до
прямой есть длина перпендикуляра,
проведенного из точкик прямой. Если прямая задана нормальным
уравнением, то,
где

‑ радиус-вектор точки
или, в координатной форме,
.

Общее уравнение
кривой второго порядка имеет вид:

Предполагается,
что среди коэффициентов уравнения


есть
отличные от нуля.

Уравнение
окружности с центром в точке
и радиусом, равным R:

(2.9)

Эллипсом
называется геометрическое место точек,
сумма расстояний которых от двух данных
точек F₁
и F₂
(фокусов) есть величина постоянная,
равная 2a.

Каноническое
(простейшее) уравнение эллипса:

(2.10)

Эллипс,
заданный уравнением (2.10), симметричен
относительно осей координат. Параметры
a
и b
называются
полуосями
эллипса.

Пусть
a>b, тогда фокусы F₁
и F₂
находятся на оси Оx на расстоянии
от
начала координат. Отношениеназываетсяэксцентриситетом
эллипса. Расстояния от точки
эллипса до его фокусов (фокальные
радиусы-векторы) определяются формулами:

,
.

Если
же a<b, то фокусы находятся на оси Оy,
,,

,
.

Если
a=b, то эллипс является окружностью с
центром в начале координат радиуса a.

Гиперболой
называется геометрическое место точек,
разность расстояний которых от двух
данных точек F₁
и F₂
(фокусов) равна по абсолютной величине
данному числу 2a.

Каноническое
уравнение гиперболы:

(2.11)

Гипербола,
заданная уравнением (2.11), симметрична
относительно осей координат. Она
пересекает ось Оx в точках
и‑ вершинах гиперболы и не пересекает
ось Оy. Параметрa
называется вещественной
полуосью,
b
– мнимой
полуосью.
Параметр
есть расстояние от фокуса до начала
координат. Отношениеназывается
эксцентриситетом
гиперболы. Прямые, уравнения которых

называются
асимптотами
гиперболы. Расстояния от точки
гиперболы до ее фокусов (фокальные
радиусы-векторы) определяются формулами:

,
.

Гипербола,
у которой a=b, называется
равносторонней,
ее уравнение
,
а уравнение асимптот.
Гиперболы
и
называются сопряженными.

Параболой
называется геометрическое место точек,
одинаково удаленных от данной точки
(фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое
уравнение параболы имеет два вида:

1. ‑парабола
   симметрична относительно оси Оx.

2. ‑парабола
   симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях
р>0 и вершина параболы, то есть точка,
лежащая на оси симметрии, находится в
начале координат.

Парабола,
уравнение которой
имеет фокуси директрису,
фокальный радиус-вектор точкина ней.

Парабола,
уравнение которой
имеет фокуси директрису;
фокальный радиус-вектор точкипараболы равен.

Уравнение
задает линию, разбивающую плоскость
на две или несколько частей. В одних из
этих частей выполняется неравенство,
а в других – неравенство.
Иными словами, линияотделяет часть плоскости, где,
от части плоскости, где.

Прямая,
уравнение которой
,
разбивает плоскость на две полуплоскости.
На практике для выяснения того, в какой
полуплоскости мы имеем,
а в какой,
применяют метод контрольных точек. Для
этого берут контрольную точку (разумеется,
не лежащую на прямой, уравнение которой)
и проверяют, какой знак имеет в этой
точке выражение.
Тот же знак имеет указанное выражение
и во всей полуплоскости, где лежит
контрольная точка. Во второй полуплоскостиимеет противоположный знак.

Точно так же
решаются и нелинейные неравенства с
двумя неизвестными.

Например,
решим неравенство
.
Его можно переписать в виде.

Уравнение
задает окружность с центром в точке
C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает
плоскость на две части ‑ внутреннюю
и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них
имеет место данное неравенство, возьмем
контрольную точку во внутренней области,
например, центр C(2,-3) нашей окружности.
Подставляя координаты точки C в левую
часть неравенства, получаем отрицательное
число -25. Значит, и во всех точках, лежащих
внутри окружности, выполняется
неравенство.
Отсюда следует, что данное неравенство
имеет место во внешней для окружности
области.

Пример
1.5. Составьте
уравнения прямых, проходящих через
точку A(3,1) и наклоненных к прямой
под углом 45^o.

Решение.
Будем искать
уравнение прямой в виде .
Поскольку прямая проходит через точку
A, то ее координаты удовлетворяют
уравнению прямой, т.е.,

.
Величина угла между прямыми
и определяется
формулой
.
Так как угловой коэффициент k₁
исходной
прямой
равен,
а угол,
то имеем уравнение для определения k:

или
.

Имеем
два значения k:
,.
Находя соответствующие значения b по
формуле,
получим две искомые прямые, уравнения
которых:
и.

Пример
1.6. При каком
значении параметра
прямые, уравнения которыхипараллельны ?

Решение.
Прямые,
заданные общими уравнениями, параллельны,
если коэффициенты при x
и y
пропорциональны,
т.е.
.
Решая полученное уравнение, находим:

,
.

Пример
1.7. Найти
уравнение общей хорды двух окружностей:
и.

Решение.
Найдем точки
пересечения окружностей, для этого
решим систему уравнений:

Решая
первое уравнение, находим значения:,.
Из второго уравнения ‑ соответствующие
значения:,.
Теперь получим уравнение общей хорды,
зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие
этой прямой:,
или.

Пример
1.8. Как
расположены на плоскости точки,
координаты которых удовлетворяют
условиям
,?

Решение.
Первое
неравенство системы определяет
внутренность круга, не включая границу,
т.е. окружность с центром в точке (3,3) и
радиуса
.
Второе неравенство задает полуплоскость,
определяемую прямой, уравнение которой
,
причем, так как неравенство строгое,
точки самой прямой не принадлежат
полуплоскости, а все точки ниже этой
прямой принадлежат полуплоскости.
Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие
обоим неравенствам, то искомая область
‑ внутренность полукруга.

Пример
1.9. Вычислить
длину стороны квадрата, вписанного в
эллипс, уравнение которого .

Решение.
Пусть

‑ вершина
квадрата, лежащая в первой четверти.
Тогда сторона квадрата будет равна
.
Т.к. точкаМ
принадлежит эллипсу, ее координаты
удовлетворяют уравнению эллипса ,
откуда
;
значит, сторона квадрата ‑.

Пример
1.10. Зная
уравнение асимптот гиперболы
и одну из ее точек,
составить уравнение гиперболы.

Решение.
Запишем
каноническое уравнение гиперболы: .
Асимптоты гиперболы задаются уравнениями
,
значит,,
откуда a=2b. ПосколькуМ
‑ точка
гиперболы, то ее координаты удовлетворяют
уравнению гиперболы, т.е.
.
Учитывая, что a=2b, найдем b: b²=9

b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы ‑
.

Пример
1.11. Вычислить
длину стороны правильного треугольника
ABC, вписанного в параболу с параметром
р,
предполагая, что точка А совпадает с
вершиной параболы.

Решение.
Каноническое
уравнение параболы с параметром р
имеет вид
,
вершина ее совпадает с началом координат,
и парабола симметрична относительно
оси абсцисс. Так как прямая AB образует
с осью Ox угол в 30^o,
то уравнение прямой имеет вид:
.

Следовательно,
мы можем найти координаты точки B, решая
систему уравнений

,

откуда
,.
Значит, расстояние между точками A(0,0)
иравно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #