Как составить уравнение медианы треугольника по координатам вершин онлайн

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

1) По формулам координат середины отрезка

$[x_{A_1 } = frac{{x_B + x_C }}{2} = frac{{6 + ( - 3)}}{2} = 1,5;]$

$[y_{A_1 } = frac{{y_B + y_C }}{2} = frac{{ - 3 + ( - 7)}}{2} = - 5.]$

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

$[left{ begin{array}{l} 1 = k cdot 3 + b; \ - 5 = k cdot 1,5 + b. \ end{array} right.]$

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

$[x_{B_1 } = frac{{x_A + x_C }}{2} = frac{{3 + ( - 3)}}{2} = 0;]$

$[y_{B_1 } = frac{{y_A + y_C }}{2} = frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3.]$

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

$[x_{C_1 } = frac{{x_A + x_B }}{2} = frac{{3 + 6}}{2} = 4,5;]$

$[y_{C_1 } = frac{{y_A + y_B }}{2} = frac{{1 + ( - 3)}}{2} = - 1.]$

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

$[left{ begin{array}{l} - 7 = k cdot ( - 3) + b; \ - 1 = k cdot 4,5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = 0,8;b = - 4,6.]$

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Источник

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Длина медианы треугольника

Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.

Калькулятор длины медианы треугольника

Онлайн калькулятор расчета длины медианы треугольника при условии, что известны координаты его вершин. Нахождение длины трех медиан треугольника

Формула расчета длины медианы

a,b,c — Длина сторон треугольника.

Пример расчета медиан:

Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.

Получаем:

A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )

Решение:

Шаг 1:

Найдем длину сторон a,b,c используя формулу

Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )

a = √((5 — 8) 2 + (6 — 9) 2 )= 4.242

Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )

b = √((1 — 5) 2 + (5 — 6) 2) = 4.123

Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )

c = √((8 — 1) 2 + (9 — 5) 2) = 8.062

Шаг 2:

Полученные значения a,b,c применяем в формулы

m_a = (1/2) √2c 2 + 2b 2 — a 2

m_b = (1/2) √(2c 2 + 2a 2 — b 2 )

m_c = (1/2) √(2a 2 + 2b 2 — c 2 )

m_a = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.123) 2 — 4.242 2 )= 6.042
m_b = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.242) 2 — 4.123 2 )= 6.103
m_c = (1/2)√2(4.242) 2 + 2(4.123) 2 — 8.062 2 = 1.118

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

[spoiler title=”источники:”]

http://wpcalc.com/median-triangle/

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm

[/spoiler]

Источник

Калькулятор для нахождения коэффициентов уравнения медианы треугольника.

В треугольнике `PQR` известны координаты вершин (см. рис), точки `K,L,M`-середины сторон `PQ,QR,RP`.
Найдите недостающие коэффициенты уравнения медианы `RK:-3x+By+C=0`

Для решения задач необходимо зарегистрироваться.

Источник

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Длина медианы треугольника

Калькулятор длины медианы треугольника

Формула расчета длины медианы

a,b,c — Длина сторон треугольника.

Пример расчета медиан:

Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.

Получаем:

A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )

Решение:

Шаг 1:

Найдем длину сторон a,b,c используя формулу

Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )

a = √((5 — 8) 2 + (6 — 9) 2 )= 4.242

Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )

b = √((1 — 5) 2 + (5 — 6) 2) = 4.123

Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )

c = √((8 — 1) 2 + (9 — 5) 2) = 8.062

Шаг 2:

Полученные значения a,b,c применяем в формулы

m_a = (1/2) √2c 2 + 2b 2 — a 2

m_b = (1/2) √(2c 2 + 2a 2 — b 2 )

m_c = (1/2) √(2a 2 + 2b 2 — c 2 )

m_a = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.123) 2 — 4.242 2 )= 6.042
m_b = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.242) 2 — 4.123 2 )= 6.103
m_c = (1/2)√2(4.242) 2 + 2(4.123) 2 — 8.062 2 = 1.118

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.