Как составить уравнение окружности через диаметр

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М11; у1) и М22; у2) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x – 2 ) 2 + (y – ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x – 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 – 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Uravneniye-Okruzhnosti.html

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0552/

[/spoiler]

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Решение:

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

    [{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}]

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

    [{(x - 5)^2} + {(y - ( - 1))^2} = {7^2},]

    [{(x - 5)^2} + {(y + 1)^2} = 49.]

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Решение:

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

    [R = AC = sqrt {{{({x_C} - {x_A})}^2} + {{({y_C} - {y_A})}^2}} ]

    [R = AC = sqrt {{{(3 - 8)}^2} + {{( - 6 - ( - 3))}^2}} = sqrt {25 + 9} = sqrt {34} ,]

    [{R^2} = 34.]

Следовательно, уравнение данной окружности

    [{(x - 8)^2} + {(y + 3)^2} = 34.]

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Решение:

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

    [{x_O} = frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_O} = frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}]

    [{x_O} = frac{{ - 4 + 6}}{2} = 1,{y_O} = frac{{ - 9 + 5}}{2} = - 2]

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

    [R = OA = sqrt {{{({x_A} - {x_O})}^2} + {{({y_A} - {y_O})}^2}} ]

    [R = OA = sqrt {{{( - 4 - 1)}^2} + {{( - 9 - ( - 2))}^2}} = sqrt {25 + 49} = sqrt {74} ,]

    [{R^2} = 74.]

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

    [{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 74.]

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Решение:

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

    [{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},]

получаем систему уравнений:

    [left{ begin{array}{l} {(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {R^2}\ {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {R^2}\ {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2} = {R^2} end{array} right.]

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

    [{(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2}]

    [16 - 8a + {a^2} + 25 + 10b + {b^2} = 64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2}]

    [8a + 16b = 32]

    [8a + 16b = 32]

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

    [{(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2}]

    [64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2} = 64 + 16a + {a^2} + 121 - 22b + {b^2}]

    [ - 32a + 16b = 112]

Умножив уравнение

    [8a + 16b = 32]

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

    [ - 32a + 16b = 112,]

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

    [{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2}]

    [{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2},]

получаем R²=100.

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

    [{(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} = 100.]

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

    [{(x - 5)^2} + {(y - 2)^2} = 25.]

Прежде всего,
давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что
уравнение с двумя переменными x и y
называется уравнением линии l, если этому уравнению
удовлетворяют координаты любой точки линии l и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Сегодня на уроке мы
попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

В качестве линии
рассмотрим окружность радиуса  с
центром в точке .

Пусть центр
окружности имеет координаты . Возьмем на
окружности произвольную точку . Запишем формулу
расстояния между точками C и M.
Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с
центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC
равно r. Возведем MC в квадрат
и получим уравнение MC2 = r2.
Заменим MC2 квадрат на выражение  и получим, что если
точка лежит на окружности с радиусом r и центром в
точке C, то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению . Если точка не
лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно
радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному
уравнению. Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение
окружности радиуса
r с центром в точке C с координатами  имеет вид: .

Задача. Записать
уравнение окружности с радиусом  и центром в начале
координат.

Решение.

Начало координат
имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что
уравнение окружности с радиусом r и
центром в начале координат имеет вид

 

.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего,
определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь
давайте определим величину радиуса окружности.

Поскольку в правой
части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо
извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.

 Значит наша
формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом
равным двум.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего
определимся с координатами центра окружности.

Это будут числа -4
и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение. Уравнениями
такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте
определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит
квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень
из 9.

Значит наша формула
задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.

Теперь давайте
попробуем решить задачу обратную данным.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Как и в предыдущих
задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это
нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр
окружности имеет координаты (0;0).

Нетрудно заметить,
что радиус окружности равен 4.

Запишем уравнение
окружности и подставим найденные значения.

 

 

 

Ответ: .

Решим еще одну
задачу.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

 

 

 

Ответ:.

Решая задачи, мы с
вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот
порядок.

Для того, что
бы составить уравнение окружности и построить ее надо:

1. Найти координаты
центра окружности.

2. Найти длину
радиуса этой окружности.

3. Записать уравнение
окружности.

4. Подставить
полученные значения в уравнение окружности.

5. Построить
окружность, если это требуется для решения задачи.

Рассмотрим еще одну
задачу.

Написать уравнение
окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм
имеет координаты шесть три.

Задача. Написать
уравнение окружности с диаметром , если , .

Решение.

Найдем координаты
центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра. Воспользуемся
формулами для нахождения координат середины отрезка.

Получим, что центр
окружности имеет координаты .

Теперь определим
радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов
диаметра.

 

 

Запишем общее
уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что
уравнение данной окружности имеет вид:

Ответ: .

Подведем итоги
урока.

На сегодняшнем
уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С
(x0; y0)
и радиусом r.

Также мы
познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале
координат и радиусом r.

Мы рассмотрели
задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение
окружности по заданному уравнению.

Содержание:

Окружность:

Определение: Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Если коэффициенты Окружность - определение и вычисление с примерами решения

При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические у равнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.

Определение: Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения называемой центром окружности, на расстояние R, которое называется радиусом окружности.

Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка М(х;у) лежит на окружности:

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 27. Вывод уравнения окружности.

Из рисунка видно, что по теореме Пифагора Окружность - определение и вычисление с примерами решения которое определяет уравнение окружности (Рис. 28): Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 28. Окружность. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения то уравнение принимает вид Окружность - определение и вычисление с примерами решения который называется каноническим уравнением окружности.

Пример:

Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой М (2; 1), прямая линия Окружность - определение и вычисление с примерами решения является касательной к окружности.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности точки М (2; 1) до прямой l, т.е.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

В уравнении окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения таким образом оно имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения причем одной из них в т. А (1; 2).

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Прежде всего определим, на какой из прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения или Окружность - определение и вычисление с примерами решениялежит точка A(1; 2). Для этого подставим ее координаты в уравнения прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения следовательно, точка A(1; 2) принадлежит линии Окружность - определение и вычисление с примерами решения(в сокращенной форме это предложение пишут так: Окружность - определение и вычисление с примерами решения где значок Окружность - определение и вычисление с примерами решения означает “принадлежит”. Таким образом, диаметр окружности D равен расстоянию от точки A(1; 2) до прямой Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

а радиус окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения Найдём координаты центра окружности точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения которая делит отрезок АВ пополам. Вначале составим уравнение прямой (АВ) и вычислим координаты точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения перейдем от общего уравнения прямой Окружность - определение и вычисление с примерами решения к уравнению прямой с угловым коэффициентом Окружность - определение и вычисление с примерами решения Так как прямаяОкружность - определение и вычисление с примерами решениято её угловой коэффициент Окружность - определение и вычисление с примерами решения Прямая (АВ) проходит через известную точку A(1;2), следовательно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Отсюда находим Окружность - определение и вычисление с примерами решения Таким образом,уравнение прямой (АВ):Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Найдем координаты точки B, которая является пересечением прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения и (АВ), т.е. решим систему линейных алгебраических уравнений, составленную из уравнений прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения и (АВ): (В): Окружность - определение и вычисление с примерами решения Подставим выражение для переменной у из второго у равнения в первое, получим Окружность - определение и вычисление с примерами решения Подставив это значение во второе уравнение системы, найдем Окружность - определение и вычисление с примерами решения т.е. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления координат точки О применим формулы деления отрезка пополам (О): Окружность - определение и вычисление с примерами решения в этой формуле Окружность - определение и вычисление с примерами решения (координаты точки О), Окружность - определение и вычисление с примерами решения (координаты точки А), Окружность - определение и вычисление с примерами решения (координаты точки В), следовательно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения т.е. координаты точки О Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность в высшей математике

Рассмотрим уравнение

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

которое получается из уравнения (I), если положить Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками, подставить Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то получим Окружность - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения (1) находим, что Окружность - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Это значит, что все точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии Окружность - определение и вычисление с примерами решения от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения определяет окружность радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Найдем уравнение окружности с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом, равным 10.

Решение:

ПолагаяОкружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения получим Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Разрешим это уравнение относительно Окружность - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

и

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней.

Центральный угол. Градусная мера дуги

Дуга окружности. Если отметить на окружности точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то окружность разделится на две дуги: большую дугу (мажорная дуга) и меньшую дугу (минорная дуга). Если точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения является какой-либо точкой дуги Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Если точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения являются концами диаметра, го каждая дуга является полуокружностью.

Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Центральный угол. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Сумма всех центральных углов окружности, не имеющих общую внутреннюю точку, равна Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Дуги окружности и их величины

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример: Окружность - определение и вычисление с примерами решения минорная дуга: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения мажорная дуга: Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Конгруэнтные дуги

В окружности конгруэнтным центральным углам соответствуют конгруэнтные дуги и наоборот.

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги

Какую часть составляет центральный угол от всей окружности, такую же часть длина дуги составляет от длины всей окружности.

Длина дуги в Окружность - определение и вычисление с примерами решения равна Окружность - определение и вычисление с примерами решения части длины окружности.

Длина дуги, соответствующей центральному углу с градусной мерой Окружность - определение и вычисление с примерами решения, составляет Окружность - определение и вычисление с примерами решения части длины окружности: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги выражается единицами измерения длины (мм, см, м, и т.д.)

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №1

Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Так как центральный угол Окружность - определение и вычисление с примерами решения составляет Окружность - определение и вычисление с примерами решения часть полного угла, то длина искомой дуги: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу Окружность - определение и вычисление с примерами решения в окружности радиусом 15 см.

Решение: подставляя значения Окружность - определение и вычисление с примерами решения в формулу длины дуги находим: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность и хорда

Теорема о конгруэнтных хордах

Теорема 1. Хорды, стягивающие конгруэнтные дуги окружности, конгруэнтны.

Обратная теорема 1. Дуги, стягиваемые конгруэнтными хордами окружности, конгруэнтны.

1)Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения

2)Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 1:

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема о серединном перпендикуляре хорд

Теорема 2.

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и соответствующую дугу пополам.

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 2.

Дано: Окружность - определение и вычисление с примерами решения– центральный угол, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Докажите: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Начертите радиусы Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения окружности.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и ее дугу пополам.

Следствие 2. Центр окружности расположен на серединном перпендикуляре хорды. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности.

Пример: Найдите расстояние от центра до хорды длиной 30 единиц в окружности радиусом 17 единиц. Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Из Окружность - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора имеем: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности

Теорема 3.

Конгруэнтные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Обратная теорема 3. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, конгруэнтны.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 3

Дано: Окружность с центром Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Докажите: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ее дугу пополам. Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения – серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Окружность - определение и вычисление с примерами решения, так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения: Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Прямоугольные треугольники, Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Теорема доказана.

Задача. Хорды Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Если радиус окружности равен 41 единице, то найдите Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Решение: Так как хорды Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они конгруэнтны: Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения Соединим точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения с точкой Окружность - определение и вычисление с примерами решения В прямоугольном треугольнике Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения; Окружность - определение и вычисление с примерами решения; Окружность - определение и вычисление с примерами решения; Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Угол, вписанный в окружность

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется углом вписанным в окружность. Дуга, соответствующая углу, вписанному в окружность, называется дугой, на которую опирается этот угол.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения является углом вписанным в окружность с центром Окружность - определение и вычисление с примерами решения, а Окружность - определение и вычисление с примерами решения дуга, на которую опирается этот угол. Ниже показаны три разных угла, вписанных в окружность.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Угол, вписанный в окружность:

Теорема 1. Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство (текстовое): Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения радиусы окружности и Окружность - определение и вычисление с примерами решения равнобедренный треугольник. Значит, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения является внешним углом Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Если примем, что Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения Так как градусные меры центрального угла и опирающейся на него дуги равны, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Следствие 2. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр (полуокружность), является прямым углом.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Конгруэнтные углы, вписанные в окружность

Следствие 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, конгруэнтны. Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Следствие 4. Вписанные углы, опирающиеся на конгруэнтные дуги, конгруэнтны. Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Касательная к окружности

Касательная. Признак касательной

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной. Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения является касательной к окружности. Значит, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.

Прямая, касающаяся обеих окружностей, называется общей касательной этих окружностей. Окружности, касаясь друг друга изнутри или извне, могут иметь общую касательную в одной точке. Также окружности могут касаться одной касательной в разных точках.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Две окружности могут иметь несколько общих касательных или вообще не иметь общих касательных.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 1. Если прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения – касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения не перпендикулярна радиусу Окружность - определение и вычисление с примерами решения Проведем Окружность - определение и вычисление с примерами решения и на прямой Окружность - определение и вычисление с примерами решения выделим отрезок Окружность - определение и вычисление с примерами решения Тогда Окружность - определение и вычисление с примерами решения так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения Значит, точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения также находится на окружности. То есть прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, конгруэнтны, и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения касательные, проведенные из точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения к окружности с центром Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Углы, образованные секущими и касательными

Прямая, имеющая две общие точки с окружностью, называется секущей окружности.

Углы между двумя секущими

Вершина угла находится внутри окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного двумя секущими, находится внутри окружности, то градусная мера угла равна полусумме величин дуг на которые опирается этот угол и угол вертикальный данному. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Углы между касательной и секущей

Вершина угла находится на окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного касательной и секущей, находится на окружности, то градусная мера угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Углы, образованные касательной и секущей

Вершина угла находится вне окружности

Теорема 1.

Градусная мера угла, образованного секущей и касательной, двумя касательными, двумя секущими окружности (если вершина угла находится вне окружности), равна половине разности градусных мер дуг, находящихся между сторонами угла.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Отрезки секущих и касательных

Длина отрезков, секущих окружность

Теорема 1. При пересечении двух хорд, произведение отрезков одной хорды, полученных точкой пересечения, равно произведению отрезков второй хорды.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 2. Если из точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения провести две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения то верно равенство Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 3. Если из точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения проведены прямая, которая пересекает окружность в точках Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения и касательная к окружности в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения то верно равенство: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение окружности

Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом Окружность - определение и вычисление с примерами решения и с центром в начале координат. Расстояние между центром окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения и ее любой точкой Окружность - определение и вычисление с примерами решения равно радиусу Окружность - определение и вычисление с примерами решения окружности.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Расстояние между двумя точками

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Упрощение

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Возведение обеих частей в квадрат

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом Окружность - определение и вычисление с примерами решения: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Например, уравнение окружности с центром в начале координат Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом 2 имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

По формуле расстояния между центром окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения и точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения на окружности радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения имеем Окружность - определение и вычисление с примерами решенияВозведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Например, уравнение окружности с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом 4 имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Напишем уравнение в виде Окружность - определение и вычисление с примерами решения Как видно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии 5 единиц от начала координат. Например, Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения Проведем окружность через эти точки.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения находится на окружности, центром которой является начало координат. Напишите уравнение этой окружности.

Решение: Записав координаты точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения в уравнении Окружность - определение и вычисление с примерами решения, получим: Окружность - определение и вычисление с примерами решения Уравнение этой окружности: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

Найдем центр и радиус окружности, заданной уравнением Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Центр окружности точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения Радиус Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №6

Мобильные телефоны работают с помощью передачи сигналов посредством спутников из одной передающей станции в другую. Компания мобильного оператора старается расположить передающую станцию так, чтобы обслуживать больше пользователей. Представим, что три больших города находятся в точках Окружность - определение и вычисление с примерами решения На координатной плоскости 1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая станция должна быть расположена в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от этих городов. Напишите координаты этой точки и уравнение соответствующей окружности.

Решение: Сначала соединим эти точки и найдем точку пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника. Эта точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения Эта точка, являясь центром окружности, показывает месторасположение станции. Расстояние между центром и любой из заданных точек является радиусом окружности, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение окружности: Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Заметка. Определив линейные уравнения, соответствующие серединным перпендикулярам, можно найти координаты центра окружности решением системы уравнений.

Координаты точек, находящихся на окружности, и тригонометрические отношения

Если точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения при повороте радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения вокруг точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения против движения часовой стрелки на угол Окружность - определение и вычисление с примерами решения преобразуется в точку Окружность - определение и вычисление с примерами решения то Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Для координат точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения соответствующей углу поворота Окружность - определение и вычисление с примерами решения на окружности, верны формулы Окружность - определение и вычисление с примерами решения В этих формулах Окружность - определение и вычисление с примерами решения – угол, отсчитываемый от положительной оси Окружность - определение и вычисление с примерами решенияпротив движения часовой стрелки. Если точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения не находится на оси ординат, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Синусы смежных углов равны, а косинусы взаимно противоположны.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Из этих формул при Окружность - определение и вычисление с примерами решения почленным делением получаем:

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

С помощью формул, приведенных выше, вычисление синуса, косинуса, тангенса для тупого угла можно свести к вычислению синуса, косинуса, тангенса острого угла, соответственно.

Сектор и сегмент

Сектор часть круга, ограниченная центральным углом, образованным двумя радиусами и соответствующей этому углу дугой. Площадь сектора, соответствующего центральному углу, составляет ту часть площади круга, которую составляет центральный угол от полного угла.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Например, часть круга, соответствующая центральному углу Окружность - определение и вычисление с примерами решения, составляет Окружность - определение и вычисление с примерами решения часть всего круга. Так как площадь круга Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то площадь этого сектора будет Окружность - определение и вычисление с примерами решения Сегмент часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Площадь сектора

Площадь сектора: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Площадь сегмента: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Указание: При нахождении площади сегмента, соответствующего большей дуге, к площади соответствующего сектора прибавляется площадь Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Сфера в геометрии
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники

 Формулы окружности 

Окружность

  • Длины окружности и диаметр:

(С=pi*D)

  • Длина окружности:

(C = 2*pi*R)

  • Площадь круга:

(S=pi*r^2)

  • Площадь через диаметр:

(frac{pi*D}{4})

  • Уравнение окружности:

(r^2 = x^2 + y^2)

  • Выразим (R) из формулы  (C = 2*pi*R) (–>) (R=frac{c}{2*pi}) подставим (R) в формулу (S=pi*r^2) (–>) (S=frac{C^2}{4*pi}). Получаем формулу площади через длину окружности и (pi):

(S=frac{C^2}{4*pi})

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Добавить комментарий