Прежде всего,
давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что
уравнение с двумя переменными x и y
называется уравнением линии l, если этому уравнению
удовлетворяют координаты любой точки линии l и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Сегодня на уроке мы
попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.
В качестве линии
рассмотрим окружность радиуса с
центром в точке .
Пусть центр
окружности имеет координаты . Возьмем на
окружности произвольную точку . Запишем формулу
расстояния между точками C и M.
Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с
центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC
равно r. Возведем MC в квадрат
и получим уравнение MC2 = r2.
Заменим MC2 квадрат на выражение и получим, что если
точка лежит на окружности с радиусом r и центром в
точке C, то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению . Если точка не
лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно
радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному
уравнению. Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение
окружности радиуса r с центром в точке C с координатами имеет вид:
.
Задача. Записать
уравнение окружности с радиусом и центром в начале
координат.
Решение.
Начало координат
имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что
уравнение окружности с радиусом r и
центром в начале координат имеет вид
.
Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .
Решение.
Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего,
определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь
давайте определим величину радиуса окружности.
Поскольку в правой
части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо
извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.
Значит наша
формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом
равным двум.
Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .
Решение.
Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего
определимся с координатами центра окружности.
Это будут числа -4
и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.
Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .
Решение. Уравнениями
такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте
определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит
квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень
из 9.
Значит наша формула
задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.
Теперь давайте
попробуем решить задачу обратную данным.
Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Как и в предыдущих
задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это
нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр
окружности имеет координаты (0;0).
Нетрудно заметить,
что радиус окружности равен 4.
Запишем уравнение
окружности и подставим найденные значения.
Ответ: .
Решим еще одну
задачу.
Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Решение.
– центр окружности
– радиус окружности
Ответ:.
Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Решение.
– центр окружности
– радиус окружности
Ответ:.
Решая задачи, мы с
вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот
порядок.
Для того, что
бы составить уравнение окружности и построить ее надо:
1. Найти координаты
центра окружности.
2. Найти длину
радиуса этой окружности.
3. Записать уравнение
окружности.
4. Подставить
полученные значения в уравнение окружности.
5. Построить
окружность, если это требуется для решения задачи.
Рассмотрим еще одну
задачу.
Написать уравнение
окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм
имеет координаты шесть три.
Задача. Написать
уравнение окружности с диаметром , если
,
.
Решение.
Найдем координаты
центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра. Воспользуемся
формулами для нахождения координат середины отрезка.
Получим, что центр
окружности имеет координаты .
Теперь определим
радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов
диаметра.
Запишем общее
уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что
уравнение данной окружности имеет вид:
Ответ: .
Подведем итоги
урока.
На сегодняшнем
уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С
(x0; y0)
и радиусом r.
Также мы
познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале
координат и радиусом r.
Мы рассмотрели
задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение
окружности по заданному уравнению.
Написать уравнение окружности
Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.
1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:
2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).
Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.
Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.
Следовательно, уравнение данной окружности
3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).
Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка
Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.
Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,
Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —
4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).
Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение
получаем систему уравнений:
Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим
Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:
на -1 и сложив результат почленно с уравнением
получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:
Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —
5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).
Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение
Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности
п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.
Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.
Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm<frac1x>) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график – ниже).
п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции
Симметричное отображение относительно оси OY
Симметричное отображение относительно оси OX
Центральная симметрия относительно начала координат
Параллельный перенос графика на a единиц вправо
Параллельный перенос графика на a единиц влево
Параллельный перенос графика на b единиц вниз
Параллельный перенос графика на b единиц вверх
Сжатие графика к оси OY в a раз
Сжатие графика к оси OX в b раз
F(x; by) = 0
0 Например:
Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$
п.4. Примеры
Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<7>=-frac<2> + 2 > ) – это прямая
б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm> ) – это гипербола
в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm=2> )
г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<5>> ) – это парабола
Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<5>=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.
б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.
в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.
г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).
д) (mathrm<frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.
Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.
Уравнение окружности и прямой
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
ТЕМА: «Уравнение окружности и прямой» Цели урока: Повторить уравнение окружности и прямой. Показать применение уравнений окружности и прямой при решении задач. Совершенствование навыков решения задач методом координат.
1. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек, равноудаленных от данной точки? Математический диктант Проверить 1. Окружность
2. Как называется хорда, проходящая через центр окружности? Проверить 2. Диаметр
3. Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности? Проверить 3. Радиус
4. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, находящихся от данной точки на расстоянии, не превышающем данного? Проверить 4. Круг
5. Пересекаются ли окружности с центрами А и В, если АВ = 10 см, а радиусы равны 5 см, и 6 см? Проверить 5. Пересекаются
6. Расстояние от центра окружности до точки А равно d, а радиус окружности равен r. Сравните d и r, если точка А лежит вне круга, ограниченного данной окружностью? Проверить 6. d > r
7. Расстояние от центра окружности до точки В равно m, а радиус окружности равен r. Сравните m и r, если точка B лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью? Проверить 7. m 10 слайд
(7; 0), (0; 7), (-7; 0), (0; -7). 8. Найдите координаты точек пересечения окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 7, с осями координат. Проверить Вернуться назад, проверка
x y O y = x Уравнение линии на плоскости Если точка лежит на данной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой линии. Координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют ее уравнению.
= 9 2 (x – )2 + (y – )2 ( ) y0 r = 3 В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(x0;y0) имеет вид x y O C(4;-2) r = 2 r = 3 3 4 -2 x0 r
( ) = 2 (x – )2 + (y – )2 C( ; ) = 9 ( ) y0 В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(x0;y0) имеет вид x y O r 3 -2 x0 r = 3 -3 y0 x0 C(-3;-2)
(x – 3 )2 + (y – 2)2 = 16 (x – 1 )2 + (y + 2)2 = 4 (x + 5 )2 + (y – 3)2 = 25 (x – 1 )2 + y 2 = 8 x 2 + (y + 2)2 = 2 x 2 + y 2 = 9 (x – 3 )2 + (y – 2)2 = 0,09 (x + 7)2 + (y – 5)2 = 2,5 r C(3; 2) C(1;-2) C(-5; 3) C(1; 0) C(0;-2) C(0; 0) C(3; 2) C(-7; 5) C(0;-4) r = 4 r = 2 r = 5 r = 3 r = 0,3 Уравнение окружности Центр
(x – 3 )2 + (y – 2)2 = 16 (x – 1 )2 + (y + 2)2 = 4 (x + 5 )2 + (y – 3)2 = 25 (x – 1 )2 + y 2 = 8 x 2 + (y + 2)2 = 2 x 2 + y 2 = 9 (x – 3 )2 + (y – 2)2 = 0,09 (x + 7)2 + (y – 5)2 = 2,5 r C(3; 2) C(1;-2) C(-5; 3) C(1; 0) C(0;-2) C(0; 0) C(3; 2) C(-7; 5) C(0;-4) r = 4 r = 2 r = 5 r = 3 r = 0,3 Уравнение окружности Центр
(x – 1 )2 + (y – 2)2 = 64 (x – 1 )2 + (y + 2)2 = 0,64 (x + 5 )2 + y 2 = 1,44 x 2 + y 2 = 5 (x + 6)2 + (y + 2)2 = 7 (x – 5)2 + y 2 = 0,0169 (x – 3 )2 + (y + 2)2 = 0,09 (x + 7)2 + (y – 5)2 = 1,6 r C(1; 2) r = 8 Уравнение окружности Центр
( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); Центр Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов Радиус (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16; C r = r = r = r = r = r = C C C C C (x + 3)2 + (y – 5)2 = 0,16; x 2 + (y – 2)2 = 25; (x – 1)2 + y 2 = 144; x 2 + y 2 = 2,25; (x + 7)2 + (y + 1)2 = 0,09;
Центр? Радиус? x 2 + y 2 – 6y + 5 = 0; x 2 + y 2 – 6y + 9 – 4 = 0; ( ) x 2 + (y – 3) 2– 4 = 0; x 2 + (y – 3) 2 = 4 O(0; 3) r = 2
( ) Докажите, что линия, заданная уравнением , является окружностью. Является ли треугольник АВС вписанным в эту окружность, если известно, что А(7; -5), В(3;-1), С(-1;-5)? x 2 – 6x + 9 + y 2 + 10y + 25 – 16 = 0; ( ) (x – 3)2 + (y + 5) 2– 16 = 0; ( x – 3) 2 + ( y + 5) 2 = 16 x2 – 6x + y2 +10y +18 = 0 9 25 16 x2 – 6x + y2 +10y +18 = 0 А(7; -5), В(3;-1), С(-1;-5) 7 -5 3 -1 -1 -5
Какие из следующих уравнений задают окружность? x2 + (y – 1)2 = 25 4×2 + 4y2 = 9 2×2 + 2y2 = 0 x2 + y2 + 1 = 0 (x + 2)2 + y2 – 0,01 = 0; x2 – 2x + y2 = 3; x2 + y2 = 0 x2 + y2 = – 1 (x + 2)2 + y2 = 0,01 x2 – 2x +1 + y2 = 3 + 1 (x2 –1) + y2 = 4
№ 960 (a) Какие из точек лежат на окружности? x 2 + y 2 = 25 A(3; -4); Центр? Радиус? O(0; 0) r = 5 B(1; 0); C(0; 5); D(0; 0); E(0; 1); 32 + (-4)2 = 25 12 + 0 2 = 25 02 + 5 2 = 25 0 2 + 0 2 = 25 0 2 + 1 2 = 25 Верно 28 слайд
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 9 № 960 (б) Какие из точек лежат на окружности? y A(3; -4); Центр? Радиус? O(1;-3) r = 3 B(1; 0); C(0; 5); D(0; 0); E(0; 1); (3 – 1)2 + (– 4 + 3)2 = 9 Верно (0 – 1)2 + (0 + 3)2 = 9 > (0 – 1)2 + (1 + 3)2 = 9 > x
Дана окружность Определите, какие из точек А(-4; 3), В(5; 1), С(-5; 4), D(10; 5) лежат: а) на окружности; б) внутри круга, ограниченного данной окружностью; в) вне круга, ограниченного данной окружностью. (x – 4 )2 + (y + 3)2 = 100 (– 4 – 4)2 + (3 + 3)2 > 100 (5 – 4)2 + (1 + 3)2 100 (10 – 4)2 + (5 + 3)2 = 100
Найдите множество точек, удаленных от окружности на расстояние 3. x 2 + y 2 = 16 x y x 2 + y 2 = 49 x 2 + y 2 = 1
(x + 5)2 + (y – 5)2 = 25 Центр? Радиус? O1(-5;5) r = 5 x y A O O1 450 5 5
Центр? Радиус? x y O1 O E 300 На чертеже расстояние ОО1= , ОЕ – касательная к окружности. EOF = 600. Написать уравнение окружности. ОЕ = ОF, отрезки касательных 6
Домашнее задание п. 93 – 95 № 972(б), 973, 978 (а)
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 938 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 699 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 329 человек из 72 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
- Малышок Елена АлександровнаНаписать 878 07.12.2020
Номер материала: ДБ-1552901
-
09.11.2020 0
-
30.09.2020 0
-
09.01.2020 88
-
21.12.2019 96
-
30.11.2019 165
-
31.10.2019 268
-
30.10.2019 513
-
16.08.2019 132
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей
Время чтения: 1 минута
В Китае приняли закон о сокращении нагрузки на школьников
Время чтения: 1 минута
Ретроспектива культовой сказки «Вечера на Хуторе близ Диканьки»
Время чтения: 5 минут
В России ежегодно будут обучать плаванию не менее 500 тыс. детей
Время чтения: 2 минуты
Стартовал региональный этап Всероссийской олимпиады школьников
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
[spoiler title=”источники:”]
http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-uravnenie-okruzhnosti/
http://infourok.ru/uravnenie-okruzhnosti-i-pryamoj-4642598.html
[/spoiler]
Главная > Геометрия 9 класс > Уравнение окружности
Уравнение окружности – видеоурок
Видео урок по геометрии для учеников 9 класса. На уроке рассматривается уравнение окружности с центром в точке начала координат и с центром в произвольной точке координатной плоскости. Решаются задачи из учебника Атанасян ГДЗ 959 966 969 на построение окружности по её уравнению и нахождения уравнения окружности проходящей через точку на координатной плоскости.
