Как составить уравнение по двум точкам графика

Как для графика составить уравнение

Глядя на график прямой, можно без особых сложностей составить ее уравнение. При этом вам могут быть известны две точки, либо нет – в таком случае начинать решение нужно с поиска двух точек, принадлежащих прямой.

Инструкция

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей прямой, выберите ее на линии и опустите перпендикулярные линии на оси координат. Определите, какому числу соответствует точка пересечения, пересечение с осью ох – это значение абсциссы, то есть х1, пересечение с осью оу – это ордината, у1.

Постарайтесь выбрать точку, координаты которой можно определить без дробных значений, для удобства и точности расчетов. Для построения уравнения вам нужно как минимум две точки. Найдите координаты еще одной точки, принадлежащей данной прямой (х2, у2).

Подставьте значения координат в уравнение прямой, имеющей общий вид у=kx+b. У вас получится система из двух уравнений у1=kx1+b и y2=kx2+b. Решите эту систему, например, следующим способом.

Выразите b из первого уравнения и подставьте во второе, найдите k, подставьте в любое уравнение и найдите b. Например, решение системы 1=2k+b и 3=5k+b будет выглядеть так: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1.5, b=1-2*1,5=-2. Таким образом, уравнение прямой имеет вид y=1,5х-2.

Зная две точки, принадлежащие прямой, попробуйте воспользоваться каноническим уравнением прямой, оно выглядит таким образом: (х – х1)/(х2 – х1)=(у – у1)/(у2 – у1). Подставьте значения (х1;у1) и (х2;у2), упростите. Например, точки (2;3) и (-1;5) принадлежат прямой (х-2)/(-1-2)=(у-3)/(5-3); -3(х-2)=2(у-3); -3х+6=2у-6; 2у=12-3х или у=6-1,5х.

Чтобы найти уравнение функции, имеющей нелинейный график, действуйте так. Просмотрите все стандартные графики y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx и т.д. Если один из них напоминает вам ваш график, возьмите его за основу.

Начертите на той же оси координат стандартный график функции-основы и найдите его отличия от своего графика. Если график перенесен на несколько единиц вверх или вниз – значит к функции добавлено это число (например, у=sinx+4). Если график перенесен вправо или влево, значит, число добавлено к аргументу (например, у=sin (х+П/2).

Вытянутый график в высоту график говорит о том, что функция аргумента умножена на какое-то число (например, у=2sinx). Если график, напротив, уменьшен в высоту, значит, число перед функцией меньше 1.

Сравните график функции-основы и вашей функции по ширине. Если он более узкий, значит перед х стоит число больше 1, широкий – число меньше 1 (например, у=sin0.5х).

Подставляя в получившееся уравнение функции разные значения х, проверяйте, правильно ли находится значение функции. Если все верно – вы подбрали уравнение функции по графику.

Обратите внимание

Возможно, график соответствует найденному уравнению лишь на определенном отрезке. В таком случае укажите, для каких значений х выполняется полученное равенство.

Вывести уравнение прямой по координатам двух точек

По введенным пользователем координатам двух точек вывести уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b . Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2 . Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y , то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b :
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1 .
2. Получить значения координат ( x2, y2 ) второй точки.
3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2) .
4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2 .
5. Вывести на экран полученное уравнение.

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику»

На рисунке представлен график функции у = kx +b.
Записать формулу линейной функции, соответствующей данному графику.

1) Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1.
Значит, у = kx+ 1

2) Выбираем на графике произвольную точку, например, А (2;2) и определяем её координаты: если x = 2, то у = 2. Подставим в нашу формулу вместо Х и У и получим уравнение относительно k.
2 = 2k+1
2k=1
k = 0.5 Записываем формулу линейной функции: у = 0,5х + 1.

Написать ФОРМУЛУ линейной функции У= КХ+В, график которой изображен на рисунке :

Это ВПР задание 8) это ответ:

ВНИМАНИЕ : задание на сегодня 16 апреля

Внимание : вот эти следующие задания пока НЕ РЕШАТЬ.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 581 350 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

16. Линейная функция и её график

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 16.09.2020
• 199
• 11

• 31.03.2020
• 1166
• 30

• 16.03.2020
• 227
• 1

• 16.03.2020
• 191
• 1

• 08.03.2020
• 282
• 6

• 20.02.2020
• 1248
• 72

• 21.01.2020
• 180
• 0

• 09.12.2019
• 421
• 13

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.09.2020 16057
• DOCX 549.2 кбайт
• 155 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Хидиятова Залифа Даутовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 38704
• Всего материалов: 37

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Как узнать уравнение графика по двум точкам

Неверно введено число.

Точки должны быть разными.

Уравнение прямой по двум точкам

Введите координаты точек:

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Общее уравнение прямой:

Теория

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x₁,y₁) и (x₂,y₂), имеет вид:

или в общем виде

Т.е. получили общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Вывести уравнение прямой по координатам двух точек

По введенным пользователем координатам двух точек вывести уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b . Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2 . Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y , то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b :
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1 .
2. Получить значения координат ( x2, y2 ) второй точки.
3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2) .
4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2 .
5. Вывести на экран полученное уравнение.

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x – x 1 a x = y – y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) и координатами лежащих на них точках M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 или x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x = x 1 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 – y 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 – y 1 ) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 – 5 , 2 3 , M 2 1 , – 1 6 .

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = – 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = – 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x – ( – 5 ) 1 – ( – 5 ) = y – 2 3 – 1 6 – 2 3 ⇔ x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 ( 1 , 1 ) и M 2 ( 4 , 2 ) в системе координат О х у .

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x – 1 4 – 1 = y – 1 2 – 1 ⇔ x – 1 3 = y – 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x – 1 3 = y – 1 1 ⇔ 1 · x – 1 = 3 · y – 1 ⇔ x – 3 y + 2 = 0

Ответ: x – 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у , которая проходит через точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x – x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 – y 1 x 2 – x 1 b = y 1 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 1 или k = y 2 – y 1 x 2 – x 1 b = y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x + y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 1 или y = y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x + y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 ( 2 , 1 ) и y = k x + b .

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 ( – 7 , – 5 ) и M 2 ( 2 , 1 ) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что – 5 = k · ( – 7 ) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему – 5 = k · – 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

– 5 = k · – 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = – 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = – 5 + 7 k 2 k – 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = – 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = – 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = – 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = – 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x – 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 ( 2 , 1 ) и M 1 ( – 7 , – 5 ) , имеющее вид x – ( – 7 ) 2 – ( – 7 ) = y – ( – 5 ) 1 – ( – 5 ) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · ( x + 7 ) = 9 · ( y + 5 ) ⇔ y = 2 3 x – 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x – 1 3 .

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y , a z ) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) , где прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 = z – z 1 z 2 – z 1 или x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 = z – z 2 z 2 – z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 – y 1 ) · λ z = z 1 + ( z 2 – z 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 – y 1 ) · λ z = z 2 + ( z 2 – z 1 ) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 ( 2 , – 3 , 0 ) и M 2 ( 1 , – 3 , – 5 ) .

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 = z – z 1 z 2 – z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = – 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = – 3 , z 2 = – 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x – 2 1 – 2 = y – ( – 3 ) – 3 – ( – 3 ) = z – 0 – 5 – 0 ⇔ x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5

Ответ: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

[spoiler title=”источники:”]

http://gospodaretsva.com/straight.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-kotoraja-prohodit-cherez-dve-zad/

[/spoiler]

Как легко составить уравнение параболы по графику

В данной статье репетитор по математике рассказывает о простом и эффективном способе составления уравнения параболы по её графику, которому вас не научат в школе. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите видео с подробным объяснением, потому что эта информация может вам пригодиться на экзамене.

Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции :

Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу . Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.

Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: , где . Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции (синяя пунктирная линия на рисунке):

Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на всех ординат точек графика функции . Откуда получаем, что . Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: .

Осталось перейти в исходную систему координат. Поскольку новая система координат получена путём параллельного переноса исходной системы координат на 4 единичных отрезка вправо и 2 единичных отрезка вверх, то в исходной системе координат наша парабола может быть представлена в виде следующего выражения:

Как видите, данный способ требует минимум вычислений и фактически является полуустным. Запомните этот способ, он может пригодиться вам при решений задач из ЕГЭ, ОГЭ или вступительных экзаменов в вузы и школы с углубленным изучением математики.

Квадратичная функция. Построение параболы

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило, в соответствии с которым каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Вот какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек координатной плоскости, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 в частном случае при b = 0, c = 0:

Точки, обозначенные фиолетовыми кружками, называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении — расширяется.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля (a > 0), то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля (a < 0), то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax 2 + bx + c. Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

Теперь понятно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематично представить график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) относительно оси симметрии.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график параболы:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Зная координаты вершины параболы и старший коэффициент, можно записать уравнение квадратичной функции в виде у = a(x − x₀) + y₀, где x₀, y₀ — координаты вершины параболы.

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить график функции y = x 2 ,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид функции позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой линией.

Как построить параболу

Соавтор(ы): Jake Adams. Джейк Адамс — репетитор и владелец онлайн-сервиса Simplifi EDU с офисом в Санта-Монике, Калифорния, который предлагает образовательные ресурсы и услуги репетиторов по предметам от уровня детского сада до колледжа, помощь в подготовке к тестам SAT и ACT и консультирование по вопросам поступления в колледж. Имеет более 14 лет опыта в качестве профессионального репетитора, нацелен на предоставление клиентам репетиторских услуг высочайшего качества и доступа к сети, объединяющей выскоквалифицированных репетиторов с высшим образованием из лучших колледжей страны. Получил диплом бакалавра по международному бизнесу и маркетингу в Университете Пеппердайна.

Количество источников, использованных в этой статье: 7. Вы найдете их список внизу страницы.

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

   

То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

   

.

Находим из (2) :

   

и подставим в уравнение (1):

   

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

   

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

   

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .

Из подобия треугольников и находим:

   

Из рисунка видно, что:

   

   

   

   

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

   

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   

   

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

– получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :

Теперь координаты точки :

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ:

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

   

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.