Как составить уравнение проекции перемещения - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Кинематика

Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.

Кинематика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение.

Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если

расстояние, которое проходит тело, много больше его размера;
расстояние от данного тела до другого тела много больше его размера;
тело движется поступательно.

Система отсчета — это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.
Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением за данный промежуток времени.

Важно!
В процессе движения путь может только увеличиваться, а перемещение как увеличиваться, так и уменьшаться, например, когда тело поворачивает обратно.
При прямолинейном движении в одном направлении путь равен модулю перемещения, а при криволинейном — путь больше перемещения.
Перемещение на замкнутой траектории равно нулю.

Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение и его виды

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение может быть:
1. по характеру движения

поступательным — это движение, при котором все точки тела движутся одинаково и любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельна сама себе;
вращательным — это движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, расположенным в параллельных плоскостях;
колебательным — это движение, которое повторяется в двух взаимно противоположных направлениях;

2. по виду траектории

прямолинейным — это движение, траектория которого прямая линия;
криволинейным — это движение, траектория которого кривая линия;

равномерным — движение, при котором скорость тела с течением времени не изменяется;
неравномерным — это движение, при котором скорость тела с течением времени изменяется;

равноускоренным — это движение, при котором скорость тела увеличивается с течением времени на одну и ту же величину;
равнозамедленным — это движение, при котором скорость тела уменьшается с течением времени на одну и ту же величину.

Относительность механического движения

Относительность движения — это зависимость характеристик механического движения от выбора системы отсчета.

Правило сложения перемещений

Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

где ( S ) — перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;
( S_1 ) — перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;
( S_2 ) — перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Правило сложения скоростей

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

где ( v ) — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;
( v_1 ) — скорость тела относительно подвижной системы отсчета;
( v_2 ) — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Относительная скорость

Важно! Чтобы определить скорость одного тела относительно другого, надо мысленно остановить то тело, которое мы принимаем за тело отсчета, а к скорости оставшегося тела прибавить скорость остановленного, изменив направление его скорости на противоположное.

Пусть ( v_1 ) — скорость первого тела, а ( v_2 ) — скорость второго тела.
Определим скорость первого тела относительно второго ( v_ <12>) :

Определим скорость второго тела относительно первого ( v_ <21>) :

Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.

Если скорости направлены перпендикулярно друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме Пифагора:

Если скорости направлены под углом ( alpha ) друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме косинусов:

Скорость

Скорость — это векторная величина, характеризующая изменение перемещения данного тела относительно тела отсчета с течением времени.

Обозначение — ( v ) , единицы измерения — м/с (км/ч).

Средняя скорость — это векторная величина, равная отношению всего перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, к промежутку времени, за которое этот путь пройден:

Важно! Чтобы определить среднюю скорость на всем участке пути, надо время разделить на отдельные промежутки и все время представить в виде суммы этих промежутков.
Чтобы определить среднюю скорость за все время движения, надо путь разделить на отдельные участки и весь путь представить как сумму этих участков.

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.

Ускорение

Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

Обозначение — ( a ) , единица измерения — м/с 2 .
В векторном виде:

где ( v ) – конечная скорость; ( v_0 ) – начальная скорость;
( t ) – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.

В проекциях на ось ОХ:

где ( a_n ) – нормальное ускорение, ( a_ <tau>) – тангенциальное ускорение.

Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, а значит, направлено вдоль касательной к кривой:

Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость – векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.

Важно!
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.
Если ( a_ <tau>) ≠ 0, ( a_n ) = 0, то тело движется по прямой;
если ( a_ <tau>) = 0, ( a_n ) = 0, ( v ) ≠ 0, то тело движется равномерно по прямой;
если ( a_ <tau>) = 0, ( a_n ) ≠ 0, тело движется равномерно по кривой;
если ( a_ <tau>) = 0, ( a_n ) = const, то тело движется равномерно по окружности;
если ( a_ <tau>) ≠ 0, ( a_n ) ≠ 0, то тело движется неравномерно по окружности.

Равномерное движение

Равномерное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

Скорость при равномерном движении – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:

График скорости (проекции скорости)

График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:

График скорости при равномерном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью ( t ) , тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью ( t ) , тело движется против оси ОХ.

Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:

Проекция вектора перемещения на ось ОХ:

График перемещения (проекции перемещения)

График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:

График перемещения при равномерном движении – прямая, выходящая из начала координат.
График 1 лежит над осью ( t ) , тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью ( t ) , тело движется против оси ОХ.

По графику зависимости скорости от времени можно определить перемещение, пройденное телом за время ( t ) . Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).

Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:

График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: ( x=x(t) ) .

График координаты при равномерном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется по направлению оси ОХ:

График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:

Прямолинейное равноускоренное движение

Прямолинейное равноускоренное движение – это движение по прямой, при котором тело движется с постоянным ускорением:

При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.

Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

При разгоне (в проекциях на ось ОХ):

При торможении (в проекциях на ось ОХ):

График ускорения (проекции ускорения) при равноускоренном движении представляет собой зависимость ускорения от времени:

График ускорения при равноускоренном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью t, тело разгоняется, ( a_x ) > 0.
График 2 лежит под осью t, тело тормозит, ( a_x ) ( v_ <0x>) > 0, ( a_x ) > 0.

График 2 направлен вниз, тело движется равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ, ( v_ <0x>) > 0, ( a_x ) ( v_ <0x>) ( a_x ) ( t_2-t_1 ) . Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).

Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

Перемещение в ( n ) -ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Свободное падение (ускорение свободного падения)

Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.

Все тела при свободном падении независимо от массы падают с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли (вертикально вниз).

Обозначение – ( g ) , единицы измерения – м/с 2 .

Важно! ( g ) = 9,8 м/с 2 , но при решении задач считается, что ( g ) = 10 м/с 2 .

Движение тела по вертикали

Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:

Если тело падает вниз без начальной скорости, то ( v_0 ) = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:

Тело брошено вверх:

Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то ( v ) = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:

равномерного движения по горизонтали со скоростью ( v_0=v_ <0x>) ;
равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения ( g ) и без начальной скорости ( v_<0y>=0 ) .

Скорость тела в любой момент времени:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:

равномерного движения по горизонтали;
равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения.

Скорость тела в любой момент времени:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Время подъема на максимальную высоту:

Максимальная высота подъема:

Максимальная дальность полета:

Важно!
При движении вверх вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равнозамедленно.
При движении вниз вертикальная составляющая скорости будет увеличиваться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равноускоренно.
Скорость ( v_0 ) , с которой тело брошено с Земли, будет равна скорости, с которой оно упадет на Землю. Угол ( alpha ) , под которым тело брошено, будет равен углу, под которым оно упадет.

При решении задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, важно помнить, что в точке максимального подъема проекция скорости на ось ОУ равна нулю:

Это облегчает решение задач:

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.

Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.
Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением.
Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным.
Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.

Центростремительное ускорение – это ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора линейной скорости.
Обозначение – ( a_ <цс>) , единицы измерения – м/с 2 .

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Обозначение – ( T ) , единицы измерения – с.

где ( N ) – количество оборотов, ( t ) – время, за которое эти обороты совершены.
Частота вращения – это число оборотов за единицу времени.
Обозначение – ( nu ) , единицы измерения – с –1 (Гц).

Период и частота – взаимно обратные величины:

Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности.
Обозначение – ( v ) , единицы измерения – м/с.
Линейная скорость направлена по касательной к окружности:

Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота к времени, за которое поворот произошел.
Обозначение – ( omega ) , единицы измерения – рад/с .

Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика).
Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости.
Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Важно!
При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к. радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:

Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:

Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь относительно нее с линейной скоростью ( v_1 ) , и все точки обода колеса движутся относительно его центра с такой же линейной скоростью ( v_1 ) , то относительно дороги мгновенная скорость разных точек колеса различна.

Мгновенная скорость нижней точки ( (m) ) равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке ( (n) ) равна удвоенной скорости ( v_1 ) , мгновенная скорость точки ( (p) ) , лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке ( (c) ) – по теореме косинусов.

Траектория

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Здесь x₀, y₀, z₀ — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

По теореме Пифагора

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как, зная тормозной путь, определить начальную скорость автомобиля и как, зная характеристики движения, такие как начальная скорость, ускорение, время, определить перемещение автомобиля? Ответы мы получим после того, как познакомимся с темой сегодняшнего урока: «Перемещение при равноускоренном движении, зависимость координаты от времени при равноускоренном движении».

источники:

http://av-mag.ru/physics/index.php/mechanics/kinematika/trajectory/

http://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/mehanikakinematika/peremeschenie-pri-ravnouskorennom-dvizhenii-uravnenie-koordinaty

Источник

Содержание:

Основная задача механики – описание движения тел, т. е. выяснение закона (уравнения) их движения. Как отмечал А. Эйнштейн, наиболее фундаментальная проблема, остававшаяся нерешенной на протяжении тысячелетий, – это проблема движения. Собственно, учение о движении стало наукой лишь со времен Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Кинематика, изучает конкретные механические та их взаимодействия с другими телами. Она фактически объединяет простейшие пространственно-временные зависимости, в частности изменение координат тела со временем (как функцию времени).

Поэтому кинематику часто называют геометрией движения.

Кинематика изучает механические движения тел без учета их взаимодействия с другими телами.

Кинематика

Физика изучает разнообразные явления и процессы, происходящие вокруг нас. Как вам известно, в зависимости от их природы различают механические, тепловые, электрические, магнитные, световые и другие физические явления. Раздел физики, который объясняет движение и взаимодействие тел, называется механикой.

Слово «механика» впервые ввел Аристотель. Оно означает «машина».
Механика – одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие связано с практическими потребностями человека. Первые труды по механике, в которых рассматривались свойства простых механизмов и машин, появились еще в Древней Греции. Весомый вклад в ее становление сделали такие корифеи науки, как Аристотель (IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Леонардо да Винчи (XV в.), Галилео Галилей (XVII в.) и др. В завершенном виде как классическая теория она получила обоснование в работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Современная механика, в основе которой лежит теория относительности, создана в начале XX в. Альбертом Эйнштейном.

Основная задача механики состоит в том, чтобы на основании параметров движения тела: координат, пройденного пути, перемещения, угла поворота, скорости, силы и т. д. – найти закон или уравнение, которое описывает это движение.

Основная задача механики состоит в том, чтобы найти уравнение движения тела с помощью параметров, описывающих это движение.
Т. е. если мы при помощи этих физических величин сможем установить положение тела в любой момент времени, то основная задача механики считается решенной. В зависимости от способов ее решения в механике выделяют три раздела: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает, как движется тело, не вникая в причины, вызывающие именно такое движение. Поэтому кинематические уравнения состоят лишь из пространственных характеристик механического движения: пройденного пути, изменения координат тела, скорости и т. д. В них нет сил, изменяющих это движение.

В переводе с греческого слово кинематика» (kinematos) означает движение.

Механическое движение и траектория движения

Чаще всего в обыденной жизни мы наблюдаем явление, которое называется механическим движением. Например, автомобиль едет по дороге, в небе «плывут» тучи, ребенок катается на качелях, Луна вращается вокруг Земли и т. д. Во всех этих случаях происходит изменение положения одного тела или его частей относительно других. Чтобы убедиться в этом, необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого можно фиксировать положение движущегося тела в любой момент времени. Тело отсчета выбирают произвольно. В приведенных примерах это может быть столб или дерево возле дороги, дом, поверхность Земли и т. д.

Для того чтобы описать движение тела, необходимо точно знать его местоположение в пространстве в произвольный момент времени, т. е. уметь определять изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Как известно, легче всего это можно сделать с помощью системы координат. Например, зафиксировать «адрес» тела как определенное его положение в пространстве, измерив расстояния или углы в некоторой системе координат.

Например, в географии положение тела на земной поверхности задается двумя числами на пересечении меридиана и параллели, которые называются географической долготой и широтой. В математике «адрес» точки чаще всего определяют ее координатами, в частности в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости – это расстояния х и у (рис. 1.1).
Взаимные изменения положения тела или его частей в пространстве с течением времени называются механическим движением.

Систему координат, как правило, связывают с телом отсчета. В данном случае движущееся тело характеризуется изменением положения в пространстве относительно тела отсчета, т. е. изменением его координат с течением времени.

Математически это можно записать в таком виде: х = x(t); у = y(t).

Для того чтобы определить такое изменение в любой момент времени, с телом отсчета и системой координат необходимо связать средство измерения времени, к примеру секундомер или хронометр. Тогда тело отсчета, связанную с ним систему координат и секундомер как единое целое называют системой отсчета.

Как известно, реальные физические тела имеют форму и объем. Поэтому однозначно задать их положение в пространстве не всегда представляется возможным, поскольку различные их части имеют разные координаты. Однако эту проблему можно упростить, если не брать во внимание размеры тела. Такое возможно лишь при определенных условиях.

Чтобы выяснить их, рассмотрим движение автомобиля. На значительных расстояниях, например на шоссе между Киевом и Харьковом, размерами автомобиля можно пренебречь, поскольку они значительно меньше расстояния между этими городами. Поэтому нет необходимости рассматривать особенности движения каждой части кузова автомобиля – достаточно его представить как движение точки.

Таким образом, для упрощения описания движения тел, когда их размерами при определенных условиях можно пренебречь, применяют понятие материальной точки. Это условное тело, не имеющее размеров, которое определяет положение реального тела в пространстве при помощи координат такой, материальной точки. Ее геометрический образ – невесомая точка, не имеющая размеров. В случае поступательного движения, при котором все точки тела движутся одинаково, любое тело можно считать материальной точкой.

Материальная точка – это физическая модель, при помощи которой представляют реальное тело, пренебрегая его размерами.

Часто кроме движущихся предметов мы наблюдаем тела, пребывающие в состоянии покоя. Однако абсолютно неподвижных тел в природе не существует.

Рассмотрим такой пример. В вагоне на столе стоит бутылка с водой (рис. 1.2). Во время движения поезда разные наблюдатели – пассажир в купе и провожающий на перроне – оценят ее состояние движения по-разному. Для сидящего пассажира она неподвижна, поскольку расстояние от него до бутылки не изменяется. Для провожающего на перроне 16 она движется, потому что изменяет свое положение с течением времени в системе отсчета, связанной с перроном.

Следовательно, состояние покоя является относительным, равно как и состояние движения, поскольку зависит от выбранной системы отсчета. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении движения тела мы в первую очередь будем определяться с выбором системы отсчета, потому что от этого нередко зависит сложность уравнений, описывающих данное движение. Правильный выбор системы отсчета ведет к упрощению уравнений движения.

Состояние покоя и состояние движения тела относительны, поскольку зависят от выбора системы отсчета.

Рассмотрим движущееся тело, последовательно фиксируя его положение в определенные моменты времени. Если теперь соединить все точки, в которых побывало тело во время своего движения, то получим мнимую линию, которая называется траекторией движения. Траектория движения может быть видимой (след от самолета на небосклоне, линия от карандаша или ручки при записи в тетради) и невидимой (полет птички, движение теннисного мяча и т. д.).

По форме траектории механическое движение бывает прямолинейным и криволинейным (рис. 1.3).

Положение броуновской частички через определенные промежутки времени.

Рис. 1.3. Различные формы траектории

Траектория прямолинейного движения – прямая линия. Например, падение тела с определенной высоты или движение шарика по наклонному желобу. Во время криволинейного движения тело перемещается по произвольной кривой. Часто реальное движение тел является комбинацией прямолинейного и криволинейного движений. Например, комбинированным есть движение автобуса по маршруту: на разных участках траектория его движения может быть и прямолинейной, и криволинейной.

Поскольку движение тел происходит в определенных системах отсчета, то и траектория рассматривается относительно них. Ведь она отображает во времени последовательные положения тела в некоторой системе отсчета. Поэтому она будет отличаться формой в различных системах отсчета, т. е. траектории движения также относительны. Например, все точки колеса велосипеда относительно его оси описывают окружность, однако в системе отсчета, связанной с землей, эта линия более сложная (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Траектория движения точки обода колеса велосипеда

Путь и перемещение

Зная траекторию движения, можно определить путь, пройденный телом: для этого необходимо измерить длину траектории между начальной и конечной точками движения.

Путь – это длина траектории, которую проходит тело или материальная точка за определенный интервал времени. Он обозначается латинской буквой l. Данная физическая величина является скалярной и характеризуется лишь значением длины траектории движения.

В Международной системе единиц (СИ) путь измеряется в метрах (м). На практике используют также другие единицы пути – километр (км), сантиметр (см) и др.

Часто, для того чтобы более полно охарактеризовать движение тела и найти его новое положение, кроме пройденного пути (длины траектории), необходимо указать также направление, в котором двигалось тело. Например, водителю автомобиля приходится ехать по извилистой дороге (рис. 1.5).

Пройденный путь – это длина дороги I, по которой ехал автомобиль. Водитель же совершил перемещение в пространстве из точки А в точку В, которое можно найти, соединив начальное и конечное положение тела прямой линией, указав при этом направление движения.

Следовательно, направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущегося тела с конечным, называется перемещением. Перемещение – это векторная величина. Оно обозначается латинской буквой Его значение характеризуется модулем вектора перемещения или для упрощения записи s.

Путь и перемещение могут отличаться своими значениями. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение велосипедиста по окружности радиуса R= 100 м (рис. 1.6).

Допустим велосипедист стартует в точке А. Проехав половину окружности, он окажется в точке В. Пройденный им путь равен дуге а модуль перемещения = 2R = 200 м.

В момент времени, когда велосипедист проедет окружности, пройденный им путь будет равен значение перемещения Когда велосипедист сделает полный оборот, пройденный путь будет равен модуль перемещения при этом равен нулю Таким образом, перемещение может равняться нулю даже в том случае, если тело перед этим осуществляло движение. Это возможно, когда начальное и конечное положения тела совпадают.

Путь и перемещение имеют также одинаковые значения, когда тело движется прямолинейно лишь в одном направлении.

В рассмотренном нами примере пройденный путь и перемещение разные, отличаются по своему значению. Возникает вопрос: могут ли они совпадать, быть одинаковыми? Можно легко убедиться в том, что такое возможно, если, во-первых, траектория движения будет прямой, во-вторых, движение происходит в одну сторону. Как подтверждение этого, рассмотрим — такой пример.

Допустим, что автомобиль движется прямолинейно по шоссе из пункта А в пункт В, а затем возвращается в пункт С. Расстояние между пунктами 2 км и 4 км соответственно, все они размещены на одной прямой (рис. 1.7).

Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль проходит путь = 2 км + 4 км = 6 км, и модуль его перемещения равен = 6 км. Т. е. в данном случае путь и перемещение совпадают: После того как автомобиль развернулся и приехал в пункт С, его перемещение равно = 2 км, а пройденный путь составляет = 6 км + 4 км = 10 км, т. е. пройденный путь и перемещение отличаются:

Следовательно, пройденный путь и перемещение по своему значению одинаковы лишь в том случае, если тело движется по прямой и не изменяет направление движения.

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим видом механического движения является равномерное прямолинейное движение. Это такое движение, при котором тело, двигаясь по прямой, за любые одинаковые интервалы времени совершает одинаковые перемещения. Его траектория – прямая линия. Поэтому его можно описать переменой одной из координат, например х = x(t), если координатная ось совпадает с направлением движения.

Пусть тело в начальный момент движения имеет координату (рис. 1.8); через некоторое время, совершив перемещение оно будет иметь координату х. Перемещение, характеризующее изменение положения тела в пространстве с течением времени, может происходить с разной скоростью. Скорость равномерного движения – это физическая величина, равная отношению перемещения ко времени, в течение которого оно произошло:

Как известно, в СИ скорость
измеряется в метрах за секунду (м/с). 1 м/с – это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при которой тело за 1 с совершает перемещение 1 м. На практике используют также другие единицы скорости, например километр в час:

Поскольку перемещение – векторная величина, а время t -скалярная и всегда больше 0, то скорость также векторная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения (рис. 1.9).

При равномерном движении значение скорости остается постоянным, поскольку за любые равные интервалы времени совершаются равные перемещения.

Как известно, основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в произвольный момент времени. Следовательно, чтобы ее решить, надо найти координаты тела либо их изменение во времени: х – x(t). В механике такое уравнение называется уравнением движения. При решении задач с использованием уравнения движения векторные величины, характеризующие движение тела, записывают в проекциях на соответствующую ось. Следовательно, из формулы (1) получаем:

Из рисунков 1.8 и 1.9 понятно, что Воспользовавшись формулой (2), получим уравнение равномерного прямолинейного движения:

поэтому
Уравнения равномерного прямолинейного движения:

Рассмотрим теперь различные случаи равномерного прямолинейного движения (рис. 1.10).

Из рисунка следует, что если направление движения тела совпадает с направлением координатной оси, то > 0 и координата тела с течением времени возрастает: где v – модуль скорости.

Если же направление движения тела противоположно направлению координатной оси, то < 0 и координата с течением времени уменьшается:

Как решать задачи кинематики

Решение любой физической задачи в определенной степени можно условно разделить на три этапа: физический, математический и анализ решения.

На физическом этапе:

✓ анализируют условие задачи и описание физической ситуации, заданной условием;
✓ выясняют физическую модель явления, лежащего в основе задачи;
✓ физическую модель явления представляют в графической форме (рисунки, чертежи, схемы, графики и т. д.);
✓ сокращенно записывают условия задачи в систематизированном виде.

На математическом этапе:

✓ предлагают математическую модель задачи, составляют общие уравнения, описывающие физические явления, представленные в условии задачи;
✓ определяют конкретные условия и параметры, при которых происходит данное явление;
✓ конкретизируют общие уравнения в виде частных решений аналитическим, графическим или числовым способом, производят вычисления.
На этапе анализа решения:
✓ производят проверку единиц физических величин и находят значения искомых величин;
✓ анализируют результаты, их достоверность и правдоподобность;
✓ ищут иные методы решения задачи и выбирают наиболее рациональный из них.

В ходе решения задач кинематики главное состоит в том, чтобы за заданными параметрами движения (координаты, перемещение, скорость и др.) записать уравнение движения. Или наоборот, если уравнение движения известно, ищут физические величины, которые его описывают.

Решение задач кинематики подчинено определенной последовательности умственных действий, так называемому алгоритму, при помощи которого поиск решения задачи значительно облегчается. Представим его как последовательность шагов в ходе решения задачи.

Шаг 1. В соответствии с условием задачи выберите систему отсчета. Определите начальные значения координат, связав их с телом отсчета.
Шаг 2. Выясните характер движения (равномерное, неравномерное) и вид траектории (прямолинейная, криволинейная).
Шаг 3. Сделайте рисунок, иллюстрирующий условие задачи. Свяжите рисунок с выбранной системой отсчета, обозначьте на нем векторные физические величины.
Шаг 4. Отобразите проекции перемещения, скорости, других векторных величин и запишите уравнение движения тела в общем виде. При необходимости составьте дополнительные уравнения, которые объединяют эти кинематические величины.
Шаг 5. Решите уравнения относительно искомых величин. Определите их значения, оцените достоверность результата.
Шаг 6. Проанализируйте полученный ответ. Если он противоречит смыслу задачи, начните поиск иного решения.
Шаг 7. Произведите поиск иных возможных путей решения задачи. Оцените, какое из решений наиболее рационально.

Задача №1

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 80 км, одновременно начали движение навстречу друг другу два велосипедиста. Первый ехал со скоростью 5 м/с, второй -3 м/с. Определите:

1) через какое время они встретятся и где это произойдет;
2) какой путь они пройдут до момента встречи и какое совершат перемещение;
3) через какое время от начала движения расстояние между ними будет 20 км.

Решение

1. Выберем такую систему отсчета, начало координат которой совпадает с пунктом А. В общем виде уравнение движения тела имеет такой вид: Запишем его для каждого велосипедиста отдельно. Поскольку у первого велосипедиста начальная координата = 0, проекция скорости а ее модуль по условию задачи равен 5 м/с, то уравнение его движения будет иметь вид:

У второго велосипедиста = 80 км, = 3 м/с, следовательно, =80000- -3t.

Вследствие движения координаты обоих велосипедистов с течением времени изменяются: у первого она возрастает, у второго – уменьшается. В момент их встречи координаты обоих велосипедистов равны: Подставив в это равенство соответствующие уравнения движения, получим уравнение с одним неизвестным:
5t = 80 000 – 3t; St = 80 000; отсюда t = 10 000 с = 2,8 ч. Таким образом, велосипедисты встретятся через 2,8 часа.

Место их встречи определяют координаты которые можно найти из уравнения движения каждого велосипедиста, подставив в него время t = 10 000 с:

а) = 5t = 5 м/с • 10 000 с = 50 000 м = 50 км;
б) = 80 000 – 3t = 80 000 м – 3 м/с • 10 000 с = 50 000 м = 50 км.

Задача №2

Поскольку велосипедисты по условию задачи ехали прямолинейно и не изменяли направления движения, то пройденный ими путь равен модулю перемещения (или его проекции):

5 м/с • 10 000 c = 50 000 м = 50 км;

= 50 000 м, = 80 000 m; = 30 km.

Или = 3 м/с • 10 000 c = 30 000 м = 30 км.

3. Чтобы найти время, когда расстояние между велосипедистами будет равно 20 км, достаточно записать равенство = 20 км или = 20 км и подставить в него соответствующие уравнения движения велосипедистов.

5t – 80 000 + 3t = 20 000; 8t = 100 000; t = 12 500 с = 3,5 ч.

80 000 – 3t – 5t = 20 000; 8t = 60 000; t = 7500 с = 2,1 ч.

Почему получено два разных ответа? Внимательно проанализировав условие задачи, заметим, что на расстоянии 20 км друг от друга велосипедисты будут дважды – когда едут навстречу друг другу (2,1 ч) и когда разъезжаются после встречи, продолжая движение (3,5 ч).

Графики равномерного прямолинейного движения

Для того чтобы лучше усвоить особенности изменений параметров равномерного движения (координат, пути, перемещения, скорости) с течением времени, рассмотрим соответствующие графические зависимости, следующие из уравнения равномерного прямолинейного движения.

1. График скорости v = u(t). Как известно, скорость тела при равномерном прямолинейном движении с течением времени не изменяется, т. е. v = const. Поэтому график скорости – это прямая, параллельная оси времени t, которая находится над ней, если проекция скорости положительна (рис. 1.11), или под ней, если она отрицательна.

2. График пути l = l(t). Из формулы пути l = vt следует, что между пройденным путем и временем существует прямо пропорциональная зависимость. Графически она отображается прямой, проходящей через начало координат (ведь длина пути не может иметь отрицательных значений). В зависимости от значения скорости наклон графика будет разным (рис. 1.12): чем больше скорость, тем круче прямая.

3. График проекции перемещения Поскольку проекция перемещения может иметь как положительные, так и отрицательные значения, график проекции перемещения (рис. 1.13) может, соответственно, вздыматься вверх (проекция перемещения положительна) либо устремляться вниз (проекция перемещения отрицательна).

График проекции перемещения всегда проходит через начало координат. Угол наклона прямой, как и в случае графика пути, зависит от значения скорости: чем она больше, тем круче график проекции перемещения.

Если тело изменяет направление движения – сначала движется в одну сторону, а затем возвращается назад, то график проекции перемещения принимает вид, изображенный на рисунке 1.14 (в момент времени тело изменило направление движения).

4. График движения тела х = x(t) характеризует изменение координат тела с течением времени. Из уравнения движения следует, что он представляет собой линейную функцию и отображается прямой. Эта прямая проходит через начало координат, когда = 0. Она смещена на , если (рис. 1.15 и 1.16).

Так как проекция скорости может иметь положительные и отрицательные значения (направление вектора скорости может совпадать или быть противоположным выбранному направлению оси), то график может подниматься вверх ( > 0) либо устремляться вниз ( < 0). На представленных графиках отображена зависимость координат тел, которые в начальный момент времени находились в одной точке: > 0 (рис. 1.15) либо < 0 (рис. 1.16), но двигались в противоположных направлениях ( > 0 и < 0).

Таким образом, при помощи графиков можно выяснить характер движения тел и изменения соответствующих величин с течением времени t.

Задача №3

На основании графика движения (рис. 1.17):

1) определить скорость движения тел;
2) составить уравнения движения обоих тел;
3) найти перемещение тел за 4 с;
4) определить время и место их встречи;
5) найти расстояние между телами через 2 с после начала движения;
6) построить графики скорости, проекции перемещения и пути.

Решение

1. Скорость тела определяется на основании формулы

Время движения выбираем произвольно, руководствуясь простотой расчетов. Например, используем значение t = 2 с. Тогда тело 1 через 2 с будет иметь координату 6 м; его начальная координата = 0. Следовательно, скорость тела 1 равна:

У тела 2 начальная координата равна = 4 м, а через 2 с она равна 2 м. Следовательно, скорость тела 2 равна:

2. Уравнение движения для обоих тел будет иметь такой вид:

3. Перемещение тел за время t = 4 с равно:

4.   В момент встречи тел их координаты будут одинаковы, т. е. это точка пересечения графиков. При помощи перпендикуляра, проведенного к оси координат, можно установить координату места встречи – она равна 3 м. Для определения времени встречи необходимо опустить перпендикуляр на ось времени t; получим t = 1 с.
5.   Согласно графикам движения тел через 2 с тело 1 имеет координату
= 6 м, а тело 2 – координату = 2 м. Следовательно, расстояние между телами равно: l = = 4 (м).
6.   Используя предыдущие данные решения задачи, построим соответствующие графики (рис. 1.18-1.20).

Относительность движения. Закон сложения скоростей

Для того чтобы описать механическое движение и определить его параметры – траекторию, перемещение, пройденный путь, скорость и др., следует прежде всего выбрать систему отсчета и проанализировать движение тела или материальной точки относительно тела отсчета, выбранного произвольно. В природе существует множество систем отсчета и описание движения может одновременно производиться в каждой из них. Например, лодка, плывущая по реке, движется относительно ее берегов, относительно теплохода, который плывет рядом, относительно пешеходов, стоящих на берегу, и т. д.

Чаще всего систему отсчета связывают с телом, которое в данной ситуации считается неподвижным: с землей, берегом реки, населенным пунктом, столбом на обочине дороги и др. Такая система отсчета считается неподвижной.

С телами, которые движутся в неподвижных системах отсчета равномерно и прямолинейно, связывают подвижные системы отсчета. Следует учитывать, что удачный выбор системы отсчета намного упрощает решение задачи.

Рассмотрим движение какого-либо тела, например лодки, плывущей по реке, в различных системах отсчета (рис. 1.22).

Пусть лодка пересекает реку перпендикулярно к ее течению. За движением лодки следят два наблюдателя – один на берегу реки (неподвижная система отсчета XOY), другой с плота, который перемещается относительно берега со скоростью течения реки (подвижная система отсчета X’O’Y’).
Первый наблюдатель будет видеть перемещение лодки по прямой ОА’. Второй наблюдатель, находясь в подвижной системе отсчета, увидит иную картину: лодка будет удаляться от него по прямой, перпендикулярно к течению, и когда она достигнет противоположного берега в т. А’, плот будет находится точно напротив нее в т. А.

Таким образом, относительно подвижной системы отсчета лодка совершает перемещение (рис. 1.23), относительно неподвижной системы отсчета она совершает перемещение Сама же подвижная система отсчета за это время совершила перемещение Согласно правилам сложения векторов: Следовательно, сложение перемещений относительно различных систем отсчета выполняется в соответствии с правилами сложения векторов.

Разделив каждый член уравнения на время движения t, одинаковое для подвижной и неподвижной систем отсчета, получим:

Уравнение (1) называется законом сложения скоростей: скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Сложение скоростей в данном случае также выполняется согласно правилам сложения векторов.

Движение тела в подвижной системе отсчета называется относительным, движение самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной является переносным. Таким образом, механическое движение тел относительно различных систем отсчета может быть представлено независимыми движениями: а) относительным движением тела в подвижной системе отсчета; б) переносным движением подвижной системы отсчета относительно неподвижной. В соответствии с данным утверждением закон сложения скоростей приобретает вид:

т. е. скорость тела в неподвижной системе отсчета равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Скорость тела в неподвижной системе отсчета иногда называют абсолютной.

Заказать решение задач по физике

Задача №4

Моторная лодка плывет по реке от одного поселка к другому, расстояние между которыми 30 км. Скорость лодки в стоячей воде 20 км/ч, а скорость течения реки относительно берегов 10 км/ч. За какое время лодка преодолеет расстояние между поселками, двигаясь сначала по течению, а затем, возвращаясь назад, против него?
Дано:

Решение

Согласно закону сложения скоростей

В скалярной форме, учитывая знаки проекции скоростей, получим:

(по течению),

(против течения).

Следовательно, время движения лодки между поселками по течению:

Время движения лодки против течения:

Ответ:

Равноускоренное движение. Ускорение

При равномерном прямолинейном движении скорость тела в различных точках траектории остается неизменной. Однако в реальной жизни мы чаще имеем дело с неравномерным движением, когда скорость тела может изменяться и по своему значению, и по направлению. Если за любые равные интервалы времени скорость тела изменяется одинаково либо по значению, либо по направлению, то такое движение называется равноускоренным.

Изменение значения скорости может происходить довольно быстро (например, движение пули в ружье, старт ракеты, разбег самолета и т. п.) или сравнительно медленно (начало движения поезда, торможение автомобиля). При этом также следует учитывать, что скорость как векторная величина может изменять свое направление, которое тоже характеризует неравномерность движения. В физике для оценивания быстроты изменения скорости движения применяют физическую величину, которая называется ускорением.

Для характеристики неравномерного движения используют понятие ускорения, которое определяет, насколько быстро I изменяется скорость движения.

Ускорение – это векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло:

где – начальная скорость тела, – его конечная скорость, t -время, в течение которого произошло изменение скорости.

Из определения равноускоренного движения следует, что его ускорение является постоянной величиной ( = const), потому что за равные интервалы времени скорость изменяется одинаково. В СИ ускорение измеряется в метрах в секунду в квадрате (). 1 – это ускорение такого движения, при котором тело за 1 с изменяет свою скорость на 1 м/с.

Значение ускорения определяют, учитывая векторные свойства данной физической величины. В частности, в проекциях на ось ОХ (рис. 1.24) формула ускорения приобретает вид:

В случае, когда > 0, скорость движения увеличивается, ведь – > 0, вектор совпадает с направлением движения.

Если скорость тела со временем уменьшается то вектор ускорения будет противоположным к направлению движения (рис. 1.25).

В данном случае в соответствии с выбранным направлением координатной оси ОХ проекция ускорения будет отрицательной

Вместе с тем знак проекции ускорения не определяет характер движения – оно ускоряющееся или замедляющееся, в зависимости от выбора системы отсчета. В этом легко убедиться, если рассмотреть случай, когда оба тела движутся в противоположных направлениях. Тогда одно из тел имеет положительную проекцию ускорения а другое – отрицательную хотя оба движутся равноускоренно.

Из формул (1) и (2) можно получить кинематическое уравнение скорости для равноускоренного движения:

или в проекциях на ось ОХ:

Выведем теперь кинематическое уравнение перемещения для равноускоренного движения. Учтем, что скорость во время такого движения постоянно изменяется, например сначала она равна а в конце движения она будет v. Поэтому в формуле перемещения можно воспользоваться понятием средней скорости (известное из курса физики 8-го класса):

Подставив в данную формулу уравнение (3) и произведя некоторые преобразования, получим:

или в проекциях на ось ОХ:

Если начальная скорость тела равна 0 то кинематическое уравнение перемещения приобретает вид:

или в проекциях на ось ОХ:

Для прямолинейного движения, учитывая, что получим кинематическое уравнение для координат или уравнение равноускоренного движения:

или для случая, когда = 0:

Следует помнить, что в ходе решения задач необходимо учитывать знаки проекций в соответствующих уравнениях.

При определении проекции перемещения не всегда известно время, в течение которого происходило движение. Тогда можно воспользоваться иным уравнением. Чтобы его получить, подставим в кинематическое уравнение выражение Сделав некоторые математические преобразования (предлагаем произвести их самостоятельно), получим формулу:

Отсюда Если

Задача №5

Водитель начинает тормозить в тот момент, когда спидометр автомобиля фиксирует скорость 72 км/ч. Через какое время автомобиль остановится, если он двигался с ускорением Каким был его тормозной путь?
Дано:

t -?

l – ?
Решение

По условию задачи спидометр показывает начальную скорость автомобиля Движение автомобиля во время торможения – замедляющееся, поэтому вектор ускорения направлен в противоположную сторону от направления движения. Конечная скорость автомобиля v = 0 (он остановился).

следовательно, 0 = – at, отсюда

Ответ: автомобиль остановился через 10 с, проехав 100 м.

Задача №6

Шарик толкнули по наклонному желобу вверх со скоростью 6 м/с. Шарик движется с ускорением 0,5 Найти скорость шарика через 8 с и 14 с после начала движения.
Дано:

Решение

Направим ось ОХ вдоль желоба (см. рис.).

Учитывая знаки проекций скорости и ускорения, имеем

Отсюда уравнение для имеет такой вид:

Для имеем:

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что в первом случае шарик двигался вверх (> 0), а во втором случае он скатывался вниз, поскольку < 0.
Ответ: = 2 м/с, = -1 м/с.

Графики равноускоренного движения

1. График ускорения а = a(t). Как известно, при равноускоренном движении ускорение является величиной постоянной (а = const). Поэтому зависимость проекции ускорения от времени отображает прямая, параллельная оси времени t. В зависимости от значения проекции ускорения -положительная она или отрицательная – данная прямая размещена над осью или под ней (рис. 1.26).

2. График скорости и = v(t).

Линейная зависимость скорости от времени обусловлена математическим видом ее кинематического уравнения В зависимости от значений проекции ускорения и начальной скорости график будет иметь различный вид (рис. 1.27), в частности:

Если = 0, то прямая выходит из начала координат и в зависимости от значения проекции ускорения будет либо устремляться вверх ( > 0), либо падать вниз ( < 0). Наклон прямых зависит от значения проекции ускорения: чем больше ускорение, тем круче график.

3. График проекции перемещения и координаты х = x(t).

Кинематические уравнения перемещения и координат представляют собой квадратные уравнения вида Поэтому графиками зависимости проекции перемещения и координаты от времени являются параболы. Например, если = 0 и > 0, то график имеет вид, представленный на рисунке 1.28. На графике зависимости координаты от времени, если вершина параболы смещается по оси ординат вверх или вниз в зависимости от значения

Если = 0 и < 0, то ветки параболы опущены вниз (рис. 1.29) и смещение вершины параболы вверх или вниз по оси ординат также зависит от значения

Если и (рис. 1.30), то вершина параболы смещается в точку, координаты которой определяются из соотношений:

Представленные на рисунке 1.30 графики отображают такие параметры равноускоренного движения:

Задача №7

Прямолинейное движение тела описывается уравнением Определить:

1) характер движения тела и его скорость через 3 с от начала движения;
2) в какой момент времени после начала его отсчета тело изменило направление движения на противоположное;
3) в какой момент времени после начала его отсчета тело вернется в начальную точку;
4) перемещение и пройденный путь через 2 с.

Решение

1. Для определения скорости тела в любой момент времени необходимо составить уравнение скорости Сравнив общее уравнение равноускоренного движения с уравнением из условия задачи найдем параметры движения:

При таких условиях уравнение скорости для данного движения приобретает вид: = 6 – 8t. Из этого уравнения определим проекцию скорости через 3 с от начала движения:

Следовательно, скорость движения равна 18 м/с. Отрицательное ее значение свидетельствует о том, что направление скорости противоположно выбранному направлению координатной оси. Движение тела замедляется поэтому в некоторый момент оно остановится и может изменить направление движения.

2. Для определения момента изменения направления движения надо уравнение скорости приравнять к 0 и решить его относительно t:

3. Тело вернется в начальную точку, когда его координата примет значение начальной координаты, т. е. х = = 4 м. Подставив это значение в уравнение движения и решив его относительно t, получим:

Следовательно, тело имело координату в начале движения и через 1,5 с после начала движения.

4. Для определения перемещения через 2 с после начала движения составим уравнение проекции перемещения
в соответствии с параметрами данного движения:
Отсюда = 12 м – 16 м = -4 м.
Для определения пройденного пути следует учесть, что тело меняло направление движения, поэтому где и – перемещение тела до и после изменения направления движения. Учитывая, что время движения до изменения направления равно 0,75 с, после изменения направления t = 2 с – 0,75 с = 1,25 с, имеем:

Таким образом, пройденный путь равен:

l = 2,25 м + 6,25 м = 8,5 м.

Свободное падение тел. Ускорение свободного падения

Многочисленные наблюдения и опыты убеждают нас в том, что все тела падают на землю вследствие притяжения к ней. Если тело бросить вертикально вверх, оно все равно упадет на землю: вначале его скорость будет уменьшаться, а затем оно начнет падать вниз со всевозрастающей скоростью.

Анализ характера движения падающего тела (рис. 1.33) показывает, что данное движение равноускоренное, т. е. за равные интервалы времени оно проходит разные расстояния, которые с течением времени пропорционально увеличиваются.

Долгое время считалось, что различным телам Земля придает разное ускорение, и поэтому они падают на нее неодинаково – одни быстрее, другие медленнее. Это, как оказалось впоследствии, ложное представление подтверждал жизненный опыт: легкое перышко, падающее вместе со свинцовым шариком, достигало земли гораздо позже его. Этот, на первый взгляд, очевидный факт вынуждал многих людей искаженно воспринимать действительное протекание явления свободного падения тел. Если повторить данный опыт в условиях, когда на тело не действуют другие факторы, кроме земного притяжения, например в цилиндрической колбе, из которой откачан воздух, то результат будет иным: оба тела упадут одновременно. Этот опыт впервые выполнил И. Ньютон. Он подтвердил, что в условиях свободного падения, т. е. когда на тело действует только сила тяжести, все тела, независимо от их массы и формы, падают одинаково. Следовательно, свободное падение – это равноускоренное движение тел под действием силы тяжести при отсутствии посторонних влияний на них (сопротивление воздуха, электромагнитное взаимодействие и др.). Свободное падение происходит не только на Земле вследствие притяжения к ней всех тел. Оно происходит на всех планетах, Солнце, Луне и др. Однако падение тела ускорение свободного падения у них, конечно же, разное.

Выдающийся итальянский физик Галилео Галилей, изучая движение тел по наклонной плоскости, установил, что шары одинакового диаметра, изготовленные из дерева, железа, слоновой кости и других материалов, следовательно, разной массы, имеют одно и то же ускорение. Увеличивая угол наклона, он пришел к выводу, что значение ускорения при этом растет, но остается одинаковым для всех тел, независимо от их массы. Если увеличивать угол наклона плоскости до 90°, т. е. до ее вертикального положения, выводы в отношении ускорения тел останутся теми же.

Ведь при этом не появилось каких-либо дополнительных факторов, влияющих на характер движения тел. Для подтверждения данного вывода ученый провел известный опыт с пушечным ядром и пулей от мушкета, бросая их с Пизанской башни (рис. 1.34): оба тела достигали земли одновременно. Таким образом Г. Галилей экспериментально установил, что ускорение свободного падения не зависит от массы тел и является постоянной величиной для каждой планеты.

Благодаря многочисленным измерениям ускорения свободного падения для Земли определено его среднее значение у поверхности: Установлено, что оно зависит от географической широты местности. Например, на экваторе а на полюсах

Поскольку свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх (как частный случай свободного падения), являются равноускоренным движением, все его кинематические уравнения применимы и для данного случая. Вместе с тем в соответствующих уравнениях надо учитывать направление движения.

Выберем ось ОУ для вывода кинематических уравнений свободного падения тела (рис. 1.35).

Учитывая знаки проекций векторных величин на ось ОУ, а также то, что проекцию вертикального перемещения (высоту) обозначают
буквой h, получим:

Задача №8

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с (рис. 1.36).

1. Через какое время оно будет на высоте 40 м?

Воспользуемся уравнением движения
Для упрощения уравнения можно принять тогда

Решив квадратное уравнение, получим два корня

Оба корня удовлетворяют условию задачи. Ведь тело было на высоте 40 м дважды: через 2 с, двигаясь вверх, и через 4 с, падая вниз.

2. Какую скорость имеет тело, пролетая отметку 40 м?

На одной и той же высоте значение скорости тела по модулю одинаково, а по направлению противоположно.

3. На какую максимальную высоту поднимется тело?

В наивысшей точке скорость тела равна 0. Следовательно,

Несложно определить, что все время движения составляет 6 с, общее перемещение тела равно 0, а пройденный путь l = 90 м.

Движение точки по окружности

Ранее мы рассматривали равноускоренное движение, траекторией которого была прямая. При таком движении изменяется значение скорости, а ее направление остается неизменным. В жизни чаще встречаются криволинейные движения (орбитальное движение планет, повороты транспорта нa дороге, карусели и т. п.), во время которых происходят изменения направления скорости движения. Здесь проявляется векторный характер ускорения.

По форме траектории криволинейное движение может быть достаточно разнообразным. Однако его всегда можно представить в виде последовательных участков, состоящих из отрезков прямых и дуг окружностей различного диаметра (рис. 1.37). Т. е. любое криволинейное движение является комбинацией прямолинейного движения и движения тела по окружности.

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. Пусть она равномерно движется по окружности радиуса R и за некоторое время t перемещается из точки А в точку В (рис. 1.38).

Угол, который при этом описывает радиус, называется угловым перемещением.

Угловое перемещение обозначают греческой буквой («фи») и в СИ измеряют в радианах (рад). 1 рад равен центральному углу между двумя радиусами, стягивающих дугу, длина которой равна радиусу. Следовательно, за один оборот (360°) материальная точка осуществляет угловое перемещение рад.

Движение точки по окружности характеризуют также период вращения и частота вращения. Период вращения – это время, в течение которого материальная точка совершает полный оборот по окружности, т. е. поворот на угол рад:

где t – время вращения, N – количество совершенных оборотов. В СИ период вращения Т измеряется в секундах (с). Частота вращения n характеризует количество оборотов тела или материальной точки вокруг центра вращения за 1 секунду:

где N – количество оборотов, совершенных за время t.

В СИ частота вращения измеряется в оборотах за секунду (об/с).
Между частотой и периодом вращения существует взаимообратная зависимость:

Для определения быстроты движения точки по окружности используют понятие угловой скорости. Это физическая величина, равная отношению углового перемещения к интервалу времени t, в течение которого данное перемещение происходило:

В СИ угловая скорость измеряется в радианах за секунду (рад/с). 1 рад/с равен угловой скорости такого равномерного движения точки по окружности, при котором за 1 с совершается угловое перемещение 1 рад.

Поскольку за период Т угловое перемещение равно рад, то угловая скорость может быть определена через период и частоту вращения:

Равномерное движение материальной точки по окружности характеризуется специфическими кинематическими величинами, благодаря которым его описывают при помощи соответствующих уравнений. Это – угловое перемещение и угловая скорость, период и частота вращения. Наряду с ними применяется и привычное для нас понятие скорости, которое в данном случае называют линейной скоростью.

Во время равномерного движения точки по окружности значение ее линейной скорости остается неизменным однако направление вектора скорости все время меняется (рис. 1.39).

Поэтому линейную скорость можно характеризовать как скорость тела в некоторой точке. Она направлена по касательной к дуге в данной точке (точка А и точка В). В этом можно убедиться, приложив к точильному камню стальной нож: искры от него летят по касательной к поверхности камня в том месте, куда поднесли нож.

Линейная скорость тела, которое движется по окружности, все время изменяется по направлению и в любой точке траектории направлена по касательной к дуге этой окружности.

Поскольку в данном случае линейная скорость по модулю не изменяется, то из формулы скорости равномерного движения и можно найти выражение для линейной скорости вращательного движения: Или учитывая, что получим:

Сравнивая формулы линейной скорости с угловой благодаря несложным преобразованиям, получаем:

Как уже отмечалось, изменение направления вектора скорости также вызывает ускорение, ведь как векторная величина оно равно Поэтому даже во время равномерного движения точки по окружности вследствие изменения направления линейной скорости возникает ускорение. Его называют центростремительным, потому что как вектор оно направлено к центру окружности, по которой движется материальная точка. Значение центростремительного ускорения определяют по формуле или принимая во внимание, что получаем

Задача №9

Земля делает один оборот вокруг своей оси за 24 ч. Вычислить угловую и линейную скорости вращения точек поверхности Земли, которые находятся на экваторе. Радиус Земли равен 6400 км. Считайте, что ось вращения проходит сквозь полюсы.

Дано:

Решение
Вращение Земли вокруг своей оси можна считать равномерным.

Следовательно,

Ответ:

Задача №10

Велосипедист едет по дороге со скоростью 10 м/с. Сколько оборотов за секунду делают колеса велосипеда, если они не скользят? Какое центростремительное ускорение точки обода колеса, если его радиус 35 см?
Дано:

v = 10 м/с,

R = 0,35 м.

n – ? а – ?
Решение

Ответ: n = 0,22 об/с, а = 285

Итоги:

Кинематика изучает механическое движение тел, не рассматривая причин, вызывающих именно такое движение. Описание механического движения в кинематике основывается на выяснении характера изменений координат, перемещений, скорости с течением времени. Для того чтобы описать движение тела, необходимо установить закон (уравнение) изменения во времени координат или скоростей тела относительно других тел. Изменение положения тела в пространстве с течением времени характеризуется перемещением. Это векторная величина, которая определяет не только пройденный путь, но и направление, в котором происходило движение.

Механическое движение по форме траектории может быть прямолинейным или криволинейным, по характеру движения – равномерным или равноускоренным. В зависимости от этого уравнения движения имеют вид:

для равномерного прямолинейного движения

для равноускоренного прямолинейного движения

для равномерного движения по окружности

Механическое движение относительно. Это означает, что траектория, перемещение, пройденный путь, скорость, зависят от выбора системы отсчета. Механическое движение относительно различных систем отсчета может быть представлено двумя независимыми движениями – относительным движением тела в подвижной системе отсчета и переносным движением подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Данное утверждение подтверждает закон сложения скоростей -скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:

Равноускоренное движение характеризует векторная физическая величина, называемая ускорением: Одним из случаев равноускоренного движения является свободное падение тел, при котором движение тела происходит лишь под действием силы тяжести Земли, исключая постороннее влияние на тела иных факторов (сопротивление воздуха, электромагнитное взаимодействие и др.). Ускорение свободного падения не зависит от массы тела и является постоянной величиной для данной местности. На Земле оно равно приблизительно 9,81 Уравнения движения тел при их свободном падении зависят от выбора системы отсчета:

Криволинейное движение можно представить как последовательность участков, состоящих из отрезков прямых и дуг окружностей разного диаметра. Равномерное движение тела или материальной точки по окружности характеризуется угловым перемещением и угловой скоростью

Линейная и угловая скорости согласуются между собой в виде соотношения:

При равномерном движении точки по окружности вследствие изменения направления линейной скорости возникает центростремительное ускорение:

Законы сохранения в физике
Международная система единиц СИ
Математика – язык физики
Законы Ньютона в физике
Магнитное поле Земли
Ядерная энергетика в физике
Динамика в физике
Статика в физике

Источник

Кинематика

Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.

Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если

расстояние, которое проходит тело, много больше его размера;
расстояние от данного тела до другого тела много больше его размера;
тело движется поступательно.

Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение и его виды

Механическое движение может быть:
1. по характеру движения

поступательным — это движение, при котором все точки тела движутся одинаково и любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельна сама себе;
вращательным — это движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, расположенным в параллельных плоскостях;
колебательным — это движение, которое повторяется в двух взаимно противоположных направлениях;

2. по виду траектории

прямолинейным — это движение, траектория которого прямая линия;
криволинейным — это движение, траектория которого кривая линия;

равномерным — движение, при котором скорость тела с течением времени не изменяется;
неравномерным — это движение, при котором скорость тела с течением времени изменяется;

равноускоренным — это движение, при котором скорость тела увеличивается с течением времени на одну и ту же величину;
равнозамедленным — это движение, при котором скорость тела уменьшается с течением времени на одну и ту же величину.

Относительность механического движения

Правило сложения перемещений

Правило сложения скоростей

Относительная скорость

Определим скорость второго тела относительно первого ( v_ <21>) :

Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.

Скорость

Обозначение — ( v ) , единицы измерения — м/с (км/ч).

Ускорение

Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

Обозначение — ( a ) , единица измерения — м/с 2 .
В векторном виде:

В проекциях на ось ОХ:

где ( a_n ) – нормальное ускорение, ( a_ <tau>) – тангенциальное ускорение.

Равномерное движение

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:

График скорости (проекции скорости)

График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:

Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:

Проекция вектора перемещения на ось ОХ:

График перемещения (проекции перемещения)

График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:

Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:

График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: ( x=x(t) ) .

График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:

Прямолинейное равноускоренное движение

При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.

Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

При разгоне (в проекциях на ось ОХ):

При торможении (в проекциях на ось ОХ):

Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

Перемещение в ( n ) -ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Свободное падение (ускорение свободного падения)

Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.

Обозначение – ( g ) , единицы измерения – м/с 2 .

Важно! ( g ) = 9,8 м/с 2 , но при решении задач считается, что ( g ) = 10 м/с 2 .

Движение тела по вертикали

Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:

Если тело падает вниз без начальной скорости, то ( v_0 ) = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:

Тело брошено вверх:

Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то ( v ) = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:

равномерного движения по горизонтали со скоростью ( v_0=v_ <0x>) ;
равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения ( g ) и без начальной скорости ( v_<0y>=0 ) .

Скорость тела в любой момент времени:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:

равномерного движения по горизонтали;
равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения.

Скорость тела в любой момент времени:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Время подъема на максимальную высоту:

Максимальная высота подъема:

Максимальная дальность полета:

Это облегчает решение задач:

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.

Период и частота – взаимно обратные величины:

Равномерное прямолинейное движение в физике – формулы и определения с примерами

Содержание:

Равномерное прямолинейное движение:

Вы изучали равномерное прямолинейное движение, познакомились с понятием «скорость». Скалярной или векторной величиной является скорость? Каковы закономерности равномерного прямолинейного движения?

Вы знаете, что движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути, называется равномерным. В каком случае одинаковыми будут не только пути, но и перемещения?

Проделаем опыт. Проследим за падением металлического шарика в вертикальной трубке, заполненной вязкой жидкостью (например, густым сахарным сиропом) (рис. 43). Будем отмечать положение шарика через равные промежутки времени. Опыт показывает, что за равные промежутки времени, например за

Сделаем вывод. При равномерном прямолинейном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения и проходит одинаковые пути.

В 7-м классе вы находили скорость равномерного движения тела как отношение пути к промежутку времени, за который путь пройден: Это отношение показывает, как быстро движется тело, но ничего не говорит о направлении движения. Чтобы скорость характеризовала и быстроту движения, и его направление, ее определяют через перемещение.

Скорость равномерного прямолинейного движения — это величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно совершено:

Из равенства (1) следует, что скорость — векторная физическая величина. Ее модуль численно равен модулю перемещения за единицу времени, а направление совпадает с направлением перемещения (т. к. ).

Отношение для всех участков движения на рисунке 43 одинаково: Значит, скорость равномерного прямолинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.

Из формулы (1) легко найти перемещение:

и путь (равный модулю перемещения ):

А как определить положение равномерно и прямолинейно движущегося тела в любой момент времени Рассмотрим пример. Автомобиль движется с постоянной скоростью по прямолинейному участку шоссе (рис. 44).

Автомобиль рассматриваем как материальную точку. Из формулы (2) находим проекцию перемещения автомобиля на ось Ох:

Согласно рисунку 44 за время автомобиль совершил перемещение Подставляя в равенство (4), получим:

Приняв запишем формулу для координаты автомобиля:

Координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно зависит от времени.

Зависимость координаты движущегося тела от времени называется кинематическим законом движения. Формула (5) выражает кинематический закон равномерного прямолинейного движения.

Для измерения скорости используются специальные приборы. В автомобилях имеется спидометр (рис. 45), на самолетах — указатель скорости. Эхолокаторы измеряют скорость тел, движущихся под водой, а радиолокаторы (радары) — в воздухе и по земле. Сотрудники службы дорожного движения с помощью портативного радара с видеокамерой (рис. 46) регистрируют скорость транспортных средств.

Для любознательных:

Скорости движения могут сильно отличаться. За одну секунду черепаха может преодолеть несколько сантиметров, человек — до 10 м, гепард — до 30 м, гоночный автомобиль — около 100 м.

Около 8 км за секунду пролетает по орбите спутник Земли (рис. 47). Но даже скорости космических кораблей «черепашьи» по сравнению со скоростью микрочастиц в ускорителях. В современном ускорителе (рис. 48) электрон за одну секунду пролетает почти 300 000 км!

Главные выводы:

При равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения.
Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
При равномерном прямолинейном движении тела модуль перемещения равен пути, пройденному за тот же промежуток времени.
Координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно зависит от времени.

Пример решения задачи:

Кинематический закон прямолинейного движения лодки но озеру вдоль оси Ох задан уравнением где

Определите: 1) проекцию скорости лодки 2) координату лодки в момент времени 3) проекцию перемещения лодки на ось Ох и путь, пройденный лодкой за время от момента до момента

Решение

Сделаем рисунок к задаче.

По условию задачи координата лодки линейно зависит от времени. Значит, лодка движется равномерно. Сравнив получим

Найдем

Из рисунка 49: проекция перемещения

Ответ:

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

Зависимости между различными величинами можно наглядно изобразить с помощью графиков. Использование графиков облегчает решение научных, практических задач и даже бытовых проблем.

Например, по графику зависимости температуры пациента от времени (рис. 50) видно, что на 5-е сутки температура достигла своего максимума, затем резко упала, а еще через сутки стала приближаться к норме. График дал наглядное представление о течении болезни.

В физике роль графиков чрезвычайно велика. Умение строить и читать графики помогает быстрее и глубже понять физические явления.

Рассмотрим простой пример из кинематики. Леша и Таня идут навстречу друг другу (рис. 51). Они движутся равномерно и прямолинейно. Модуль скорости Леши Тани Как представить графически характеристики их движения?

Выберем координатную ось Ох и зададим начальные положения участников движения (см. рис. 51). Пусть при координата Леши Тани

Построим графики зависимости проекции скорости проекции перемещения пути S и координаты X от времени t.

График проекции скорости

Согласно условию и рисунку 52 для проекций скорости движения Тани и Леши на ось Ох получим: Так как проекции постоянны, то графики их зависимости от времени t — прямые, параллельные оси времени (прямые I и II на рисунке 52).

Графики показывают: проекция скорости при равномерном прямолинейном движении с течением времени не изменяется.

График проекции перемещения

Проекция перемещения совершенного за время t, определяется формулой (см. § 6).

Зависимость проекции перемещения от времени для Леши или График — наклонная прямая I (рис. 53).

Для Тани или График — наклонная прямая II, изображенная на рисунке 53.

Из графиков и формул следует, что при равномерном прямолинейном движении проекция перемещения прямо пропорциональна времени.

График пути

Путь — величина положительная при любом движении тела. При равномерном прямолинейном движении путь равен модулю перемещения: Поэтому при график пути совпадает с графиком проекции перемещения (прямая I), а при график пути (прямая III) является «зеркальным отражением» графика II (проекции перемещения) от оси времени.

Графики пути показывают: при равномерном прямолинейном движении пройденный путь прямо пропорционален времени.

График координаты

Его называют также графиком движения.

По формуле , используя данные из условия задачи и рисунок 51, находим зависимости координаты Леши и Тани от времени Графики этих зависимостей — прямые I и II на рисунке 54. Они параллельны соответствующим графикам проекций перемещения на рисунке 53.

Графики движения показывают: при равномерном прямолинейном движении координата тела линейно зависит от времени.

По точке пересечения графиков I и II (точке А) (рис. 54) легко найти момент и координату места встречи Леши и Тани. Определите их самостоятельно.

Что еще можно определить по графикам?

По графику проекции скорости можно найти проекцию перемещения и пройденный путь

Рассмотрим прямоугольник ABCD на рисунке 52. Его высота численно равна а основание — времени t. Значит, площадь прямоугольника равна Таким образом, проекция перемещения численно равна площади прямоугольника между графиком проекции скорости и осью времени. При проекция перемещения отрицательна, и площадь надо брать со знаком «минус».

Докажите самостоятельно, что площадь между графиком проекции скорости и осью времени численно равна пройденному пути.

По углу наклона графика проекции перемещения можно оценить скорость движения

Рассмотрим треугольник АВС на рисунке 53. Чем больше угол наклона а графика проекции перемещения, тем больше скорость тела. Объясните это самостоятельно.

Главные выводы:

Для равномерного прямолинейного движения:

График проекции скорости — прямая, параллельная оси времени.
Графики проекции перемещения и координаты — прямые, наклон которых к оси времени определяется скоростью движения.
Площадь фигуры между графиком проекции скорости и осью времени определяет проекцию перемещения.

Пример №1

Мотоциклист едет из города по прямолинейному участку шоссе с постоянной скоростью Через время после проезда перекрестка он встречает едущего в город велосипедиста, движущегося равномерно со скоростью Определите расстояние между участниками движения через время после их встречи, если Запишите кинематические законы движения мотоциклиста и велосипедиста, постройте графики проекции и модуля скорости, проекции перемещения, координаты и пути для обоих участников движения.

Решение

Изобразим координатную ось Ох, вдоль которой идет движение (рис. 55). Начало системы координат О свяжем с перекрестком.

В начальный момент времени мотоциклист находился на перекрестке, а велосипедист в точке В. Значит, кинематический закон движения мотоциклиста имеет вид:

Найдем координату велосипедиста в начальный момент времени. Пусть точка С на оси Ох — место встречи участников движения (рис. 56).

Кинематический закон движения велосипедиста имеет вид:

Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом через время после их встречи равно сумме путей, которые они проделают за это время. Значит,

Пример №2

Построим графики проекций и модулей скорости. Для мотоциклиста графики проекции скорости 1 и модуля скорости совпадают (рис. 56). Для велосипедиста график проекции скорости — прямая 2, а модуля скорости — прямая Объясните причину несовпадения.

Графиками пути s, проекции и модуля перемещения (рис. 57) будут прямые, выражающие прямую пропорциональную зависимость от времени t.

Графики пути, модуля и проекции перемещения мотоциклиста совпадают (прямая 1).

Прямая 2 является графиком пути и модуля перемещения велосипедиста. Прямая — графиком проекции его перемещения.

Графики координат представлены на рисунке 58. Они выражают зависимости (прямая 1) и (прямая 2). Точка А определяет время встречи и координату места встречи.

Ответ:

Прямолинейное равномерное движение и скорость

Из курса Физики VII класса вам известно, что равномерное прямолинейное движение является самым простым видом механического движения.

Прямолинейное равномерное движение — это движение по прямой линии, при котором материальная точка за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

При прямолинейном равномерном движении модуль и направление скорости с течением времени не изменяются:

Скорость при прямолинейном равномерном движении является постоянной физической величиной, равной отношению перемещения материальной точки ко времени, за которое это перемещение было совершено:

Так как отношение в формуле является положительной скалярной величиной, то направление вектора скорости совпадает с направлением вектора перемещения Единица измерения скорости в СИ – метр в секунду:

Если скорость известна, то можно определить перемещение s материальной точки за промежуток времени при прямолинейном равномерном движении:

При прямолинейном равномерном движении пройденный телом путь равен модулю перемещения:

Так как уравнение в векторном виде можно заменить алгебраическими уравнениями в проекциях векторов, то для вычисления перемещения используют не формулу, выраженную через векторы, а формулу, содержащую в себе проекции векторов на координатные оси. При прямолинейном движении положение материальной точки определяется одной координатой X, определяются проекции векторов скорости и перемещения материальной точки на эту ось и уравнение решается в этих проекциях. Поэтому выражение (1.2) можно записать в проекциях перемещения и скорости на ось ОХ:

Можно получить формулу для вычисления координаты точки в произвольный момент времени (см.: тема 1.2):

Выражение (1.5) является уравнением прямолинейного равномерного движения тела. Если материальная точка движется по направлению выбранной координатной оси ОХ, то проекция скорости считается положительной (b), если же движется против направления координатной оси, то проекция скорости считается отрицательной (с).

Из формулы (1.5) определяется выражение для проекции скорости:

Из формулы (1.6) становится ясным физический смысл скорости: проекция скорости на ось равна изменению проекции соответствующей координаты за единицу времени.

Пройденный путь и координата материальной точки при прямолинейном равномерном движении являются линейной функцией от времени (d). Скорость же является постоянной величиной, поэтому график скорость – время будет представлять собой линию, параллельную оси времени — скорость такого движения не зависит от времени (е):

График координата-время при равномерном движении образует определенный угол с осью времени. Тангенс этого угла равен проекции (модулю) скорости по оси ох (f):

Пример №3

Два велосипедиста одновременно начали движение навстречу друг другу вдоль прямой линии из пунктов А и В, расстояние между которыми 90 км. Скорость первого велосипедиста скорость второго велосипедиста (g)?

Определите: а) координату и время встречи велосипедистов; b) пройденные велосипедистами пути и совершенные ими перемещения к моменту встречи; с) время прошедшее с начала движения до момента, когда расстояние между ними стало 10 км.

a) При решении задачи соблюдается следующая последовательность действий:

I действие. Выбирается система координат ОХ с началом координат в точке А и рисуется схема (h).

II действие. Уравнение движения записывается в общем виде:

III действие. На основании условия задачи уравнения движения велосипедистов записываются в общем виде:

IV действие. Координаты велосипедистов при встрече равны: Это равенство решается для

V действие. Для определения координат и встречи велосипедистов необходимо решить уравнения их движения для времени

Так как то

b) Так как по условию задачи велосипедисты движутся прямолинейно и без изменения направления движения, то пройденный путь равен проекции (модулю) перемещения:

c) Время прошедшее с начала движения до момента, когда между ними осталось 10 км, вычисляется по нижеприведенному равенству:

или

Скорость при равнопеременном прямолинейном движении

Из формулы (1.14) видно, что если известны ускорение и начальная скорость тела то можно определить его скорость в любой момент времени:

или ее проекцию на ось

Если начальная скорость равна нулю то:

Из этих выражений видно, что скорость при равнопеременном движении является линейной функцией от времени. График зависимости скорости от времени – прямая линия, проходящая через начало координат (или через Эта линия, в соответствии с увеличением или уменьшением скорости, направлена вверх или вниз (с).

Перемещение при равнопеременном прямолинейном движении

Формулу для определения перемещения при равнопеременном движении можно вывести на основе графика скорость-время. Проекция перемещения равна площади фигуры между графиком и осью времени.

На приведенных графиках — это заштрихованная фигура трапеции (см: с):

или в векторной форме:

Если в последнюю формулу вместо подставить выражение (1.18), то получим

обобщенную формулу перемещения для равнопеременного движения:

Таким образом, формула проекции перемещения (например, на ось при равнопеременном прямолинейном движении будет:

а формула координаты:

(1.23) является формулой перемещения при равнопеременном движении в векторной форме, а (1.24) и (1.25) обобщенными формулами координаты и проекции перемещения, соответственно. Если материальная точка начинает движение из состояния покоя то:

Как видно из формулы, проекция перемещения при прямолинейном равнопеременном движении пропорциональна квадрату времени и его график представляет собой параболу, проходящую через начало координат (d).

В некоторых случаях возникает необходимость определить перемещение материальной точки, не зная время прошедшее от начала движения. Такую задачу можно решить тогда, когда известны ускорение, начальное и конечное значения скорости. Для получения этой формулы из выражения (1.19) получаем

Это выражение подставляется в формулу (1.21):

После простых преобразований получаем:

Для проекции конечной скорости получаем: Если движение начинается из состояния покоя то проекции перемещения и скорости будут равны:

Равноускоренное и равнозамедленное движения

Равнопеременное движение по характеру может быть или равноускоренным, или же равнозамедленным.

При равноускоренном движении векторы и имеют одинаковые направления. В этом случае знаки у обеих проекций и или положительные, или же отрицательные. Если материальная точка начнет движение из состояния покоя то независимо от направления движения, оно во всех случаях будет равноускоренным.

При равнозамедленном движении векторы и имеют противоположные направления. В этом случае проекции и имеют противоположные знаки, если один из них отрицательный, то другой – положительный.

В таблице 1.3 даны формулы и соответствующие графики равноускоренного и равнозамедленного прямолинейного движения.

Примечание: так как то отношение проекций перемещения равно отношению квадратов соответствующих промежутков времени:

Это соотношение иногда называется “правило путей”.

Кинематика прямолинейного движения

Физические величины бывают скалярные и векторные. Скалярные физические величины характеризуются только численным значением, тогда как векторные определяются и числом (модулем), и направлением. Скалярными физическими величинами являются время, температура, масса, векторными — скорость, ускорение, сила.
Мир вокруг нас непрерывно изменяется, или движется, т. е. можно сказать, что движение (изменение) есть способ существования материи.

Простейшая форма движения материи — механическое движение — заключается в изменении взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени. Наука, изучающая механическое движение, называется механикой (от греческого слова — подъемная машина).

Даже самое простое движение тела оказывается достаточно сложным для изучения и исследования. Соответственно, для того чтобы в сложном явлении «увидеть» главное, в физике строится его адекватная упрощенная модель.

В механике широко используется простейшая модель реального тела, называемая материальной точкой (МТ). Под материальной точкой понимают тело, размерами и формой которого можно пренебречь при описании данного движения. Хотя МТ представляет собой абстрактное понятие, упрощающее изучение многих физических явлений, она, подобно реальному телу, «имеет» массу, энергию и т. д.

Кроме материальной точки, в механике используется модель абсолютно твердого тела. Под абсолютно твердым телом понимают модель реального тела, в которой расстояние между его любыми двумя точками остается постоянным. Это означает, что размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются в процессе его движения. В противном случае говорят о модели деформируемого тела.

В классической (ньютоновской) механике рассматривается движение тел со скоростями, намного меньшими скорости света в вакууме
Классическая механика состоит из трех основных разделов: кинематики, динамики и статики. В кинематике (от греческого слова — движение) изучается механическое движение тел без учета их масс и действующих на них сил. В динамике (от греческого слова — сила) рассматривается влияние взаимодействия между телами на их движение. В статике (от греческого слова — искусство взвешивать) исследуются законы сложения сил и условия равновесия твердых, жидких и газообразных тел.

Всякое движение тела можно представить в виде двух основных видов движения — поступательного и вращательного.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, соединяющая в этом теле любые две точки, при перемещении остается параллельной самой себе (рис. 1).

Вращательным называется движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на этой оси (рис. 2).

Основными задачами кинематики являются:

описание совершаемого телом движения с помощью математических формул, графиков или таблиц;

определение кинематических характеристик движения (перемещения, скорости, ускорения).

Движение тела можно описать только относительно какого-либо другого тела. Тело, относительно которого рассматривается исследуемое движение, называют телом отсчета (ТО). Для описания движения используются формулы, графики и таблицы, выражающие зависимость координат, скоростей и ускорений от времени.

Основным свойством механического движения является его относительность: характер движения тела зависит от выбора системы отсчета (СО).

Систему отсчета, выбираемую для описания того или иного движения, образуют: тело отсчета, связанные с ним система координат (СК) и прибор для измерения времени (часы) (рис. 3).

Система координат и часы необходимы для того, чтобы знать, как с течением времени изменяется положение тела относительно выбранного тела отсчета.

Для описания движения материальной точки в пространстве вводятся такие понятия, как траектория, перемещение, путь.

Линию, которую описывает материальная точка в процессе движения по отношению к выбранной СО, называют траекторией (от латинского слова trajectorus — относящийся к перемещению). Если траектория является прямой линией, то движение называется прямолинейным, в противном случае — криволинейным.

Длина участка траектории, пройденного МТ в процессе движения, называется путем (s).

Термин «скаляр», происходящий от латинского слова scalarus — ступенчатый, введен У. Гамильтоном в 1843 г.

Термин «вектор» произошел от латинского слова vector — несущий и введен У. Гамильтоном в 1845 г.
Перемещением называют вектор направленный из точки, заданной радиус-вектором где МТ находилась в начальный момент времени, в точку, заданную радиус-вектором где МТ находится в рассматриваемый момент времени (рис. 4):

Для количественного описания механического движения тел (МТ) вводятся физические величины, характеризующие пространство и время: длина l, время t.

Длина l определяется как расстояние между двумя точками в пространстве. Основной единицей длины в Международной системе единиц (СИ) является метр (1м).

Время t между двумя событиями в данной точке пространства определяется как разность показаний прибора для измерения времени, например часов. В основе работы прибора для измерения времени лежит строго периодический физический процесс. В СИ за основную единицу времени принята секунда (1с).
В зависимости от вида движения могут выбираться следующие системы координат: одномерная (на прямой линии) (рис. 5), двухмерная (на плоскости) (рис. 6), трехмерная (в пространстве) (рис. 7).

Произвольное движение материальной точки может быть задано одним из трех способов: векторным, координатным, траекторным (естественным).

При векторном способе описания положение движущейся МТ по отношению к выбранной системе отсчета определяется ее радиус-вектором

Радиус-вектор всегда проводится из начала координат О в текущее положение материальной точки (рис. 8). При движении положение МТ изменяется. Закон движения в этом случае задается векторным уравнением

При координатном способе описания положение точки относительно СО определяется координатами х, у, z, а закон движения — уравнениями х = х(t), у = y(t), z = z(t) (см. рис. 8). Исключив из этих уравнений время /, можно найти уравнение траектории движения точки.

Траекторный (естественный) способ описания движения применяется, когда известна траектория движения материальной точки по отношению к выбранной СО (рис. 9).

Текущее положение материальной точки в данном случае определяется расстоянием s, измеренным вдоль траектории от выбранного на ней начала отсчета (точка О на рисунке 9). Кинематический закон движения МТ при этом задается уравнением s = s(t).

Если положить в основу классификации движений характер изменения скорости, то получим равномерные и неравномерные движения, а если вид траектории, то — прямолинейные и криволинейные.

Для того чтобы описать быстроту изменения положения тела (МТ) и направление движения относительно данной СО, используют векторную физическую величину, называемую скоростью

Чтобы охарактеризовать неравномерное движение тела (МТ), вводят понятие средней скорости движения как отношение перемещения тела к промежутку времени за который это перемещение произошло (рис. 10):

Средней путевой скоростью называется отношение длины отрезка пути As (см. рис. 9) к промежутку времени его прохождения:

Средняя путевая скорость в отличие от средней скорости является скалярной величиной.

Однако средняя скорость характеризует движение тела (МТ) на определенном участке траектории, но не дает информации о его движении в определенной точке траектории или в определенный момент времени. Кроме того, средняя скорость дает лишь приближенное понятие о характере движения, так как движение в течение каждого малого промежутка времени заменяется равномерным движением. В рамках этой модели скорость тела (МТ) меняется скачком при переходе от одного промежутка времени к другому.

Для того чтобы отразить характер движения в данной точке траектории или в данный момент времени, вводится понятие мгновенной скорости — это скорость тела (МТ), равная производной перемещения по времени:

Вектор мгновенной скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней (см. рис. 10).

В СИ основной единицей скорости является метр в секунду

Простейший вид движения — равномерное. Равномерным называется движение МТ, при котором она за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

При прямолинейном движении в одном направлении модуль перемещения равен пройденному пути s. Скорость равномерного движения равна отношению перемещения тела ко времени за которое это перемещение произошло:

При равномерном движении скорость постоянна и равна средней скорости определяемой выражением (2).

Зависимость перемещения от времени имеет вид Вследствие того, что — радиус-вектор, задающий положение МТ в начальный

момент времени получаем кинематическое уравнение движения в векторном виде

При проецировании радиус-вектора, например, на ось Ох получаем кинематическое уравнение для координаты при равномерном движении:

Здесь — координата тела (МТ) в начальный момент времени Если начальный момент времени уравнение принимает вид

Для наглядности описания механического движения удобно представлять зависимости между различными кинематическими величинами графически.

Скорость МТ при равномерном движении постоянна, поэтому график зависимости проекции скорости от времени представляет собой отрезок прямой линии, параллельной оси времени Ot (рис. 11). Отрезок прямой l на рисунке 11 соответствует движению материальной точки в положительном направлении оси а 2 — в отрицательном Площади закрашенных прямоугольников численно равны модулям перемещений МТ с проекциями скоростей за промежуток времени

График зависимости координаты материальной точки, движущейся равномерно прямолинейно, от времени x(t) — линейная функция (рис. 12).
На рисунке отрезок / прямой соответствует равномерному движению в положительном направлении оси Ох; отрезок 2 прямой — покою материальной точки; отрезок 3 прямой — равномерному движению в отрицательном направлении оси Ох.

Проекция скорости движения численно равна угловому коэффициенту этой прямой линии:

т. е. тангенсу угла наклона (tga) этой прямой к оси времени.

График зависимости пути (модуля перемещения| от времени s(t) при равномерном движении представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (рис. 13).

Угловой коэффициент (tga) этой прямой численно равен модулю скорости движения v. Поэтому на рисунке большей скорости у, соответствует больший угловой коэффициент (tg).

Для тел (МТ), участвующих в нескольких движениях одновременно, справедлив принцип независимости движений:

если тело (МТ) участвует в нескольких движениях одновременно, то его результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений за то же время в отдельных движениях:

Как следует из принципа независимости движений, конечное перемещение тела не зависит от порядка (последовательности) суммирования перемещений при отдельных движениях.

Пусть, например, при переправе через реку, скорость течения которой мы движемся на лодке со скоростью относительно воды. В этом случае результирующее перемещение (рис. 14) лодки относительно берега будет складываться из собственного перемещения относительно воды и перемещения вместе с водой вследствие течения реки:

На основе принципа независимости движений формулируется классический закон сложения скоростей:

результирующая скорость тела (МТ), участвующего в нескольких движениях одновременно, равна векторной сумме скоростей отдельных движений (рис. 15):

Этот закон справедлив только при условии, что скорость каждого отдельного движения мала по сравнению со скоростью света

Так, для рассмотренного примера (см. рис. 14) результирующая скорость лодки

Равномерное движение по прямой линии в повседневной жизни встречается сравнительно редко. Например, различные транспортные средства (автомобиль, автобус, троллейбус и т. д.) равномерно и прямолинейно движутся лишь на небольших участках своего пути, в то время как на остальных участках их скорость изменяется как по величине, так и по направлению.

Для измерения мгновенной скорости движения на транспортных средствах устанавливается прибор — спидометр.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Физика
Атомная физика
Ядерная физика
Квантовая физика
Молекулярная физика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Прямолинейное неравномерное движение
Прямолинейное равноускоренное движение
Сложение скоростей
Ускорение в физике
Пружинные и математические маятники
Скалярные и векторные величины и действия над ними
Проекция вектора на ось
Путь и перемещение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/ravnomernoe-pryamolinejnoe-dvizhenie-v-fizike

http://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/mehanikakinematika/peremeschenie-pri-ravnouskorennom-dvizhenii-uravnenie-koordinaty

[/spoiler]

Источник

Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
Уравнение прямолинейного равномерного движения
Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
График движения x=x(t)
Как найти уравнение движения по графику движения?
График скорости v_x=v_x(t)
Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Задачи

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.

Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.

Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	30	40	50	60

Стартуя с точки x₀=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: begin{gather*} x=x_0+s=x_0+vt\ x=20+10t end{gather*}

Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	10	0	-10	-20

В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin{gather*} x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end{gather*} Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x₀ в любой момент времени t.

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения

Основная задача механики – уметь определять положение тела в пространстве в любой момент времени.

Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.

Назовем проекцией вектора скорости (overrightarrow{x}) на параллельную ему ось координат OX величину (v_x=pm|overrightarrow{v}|=pm v).
Знак проекции определяется следующим правилом:

если направление вектора (overrightarrow{v}) совпадает с направлением оси OX, то (v_x=vgt 0)
если направление вектора (overrightarrow{v}) противоположно направлению оси OX, то (v_x=-vlt 0)

В любой момент времени t координата тела x(t) при прямолинейном равномерном движении описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ где (x_0) – координата в начальный момент времени, (v_x) – проекция вектора скорости движения.

Проекция перемещения (overrightarrow{r}) на параллельную ему ось координат OX в любой момент времени t определяется формулой: $$ triangle x=x(t)-x_0 $$ Знак (triangle x) указывает на направление совершенного перемещения:

если (triangle xgt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло в направлении оси OX;
если (triangle xlt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло противоположно направлению оси OX.

п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении

При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.

При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.

Прямолинейное движение описывается с помощью координатной прямой, параллельной направлению движения тела.

Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.

п.4. График движения x=x(t)

Сравним полученное уравнение движения (x(t)=x_0+v_x t) с уравнением прямой (y(x)=kx+b) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).

В уравнении движения роль углового коэффициента (k) играет проекция скорости (v_x), а роль свободного члена (b) – начальная координата (x_0).

В осях (t) и (x) график (x(t)=x_0+v_x t) является прямой.
Эта прямая:

возрастает, если (v_xgt 0)
убывает, если (v_xlt 0)
постоянна (параллельна оси (t)), если (v_x= 0)

Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:

x=20+10t – машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t – машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 – машина стоит

п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?

Шаг 1. Выбрать на прямой любые две точки (A(t_1,x_1)) и (B(t_2,x_2)).
Шаг 2. Найти проекцию скорости как отношение: $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{triangle x}{triangle t} $$ Шаг 3. Найти начальную координату по одной из формул: $$ x_0=x_1-v_x t_1 text{или} x_0=x_2-v_x t_2 $$ Шаг 4. Записать найденное уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t $$

п.6. График скорости v_x=v_x(t)

В осях (t) и (x) график (v_x(t)=v_x=const) является прямой, параллельной оси (t).
Эта прямая:

расположена над осью (t), если (v_xgt 0)
расположена под осью (t), если (v_xlt 0)
совпадает с осью (t), если (v_x=0)

Для рассмотренного примера:

Внимание!
В отличие от алгебры, в физике масштабы на осях, как правило, разные.
Поэтому обязательно нужно:
1) указывать обозначения и единицы измерения физических величин, которым соответствуют оси графика;
2) подбирать масштабы так, чтобы с графиком было удобно работать.

п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени (t_1) координата равна (x_1=x_0+v_x t_1).
Несколько позже, в момент времени (t_2gt t_1) координата равна (x_2=x_0+v_x t_2).
Если (v_xgt 0), то пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x triangle t $$ В общем случае, т.к. (v_x) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости:

На графике скорости путь, пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади прямоугольника, длина которого равна (triangle t), а ширина (triangle |v_x|): $$ s=|v_x|triangle t $$

Проекция скорости (v_x) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ triangle x=v_x triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.

На графике скорости проекция перемещения на ось OX за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равна площади (v_xtriangle t), с учетом знака: $$ triangle x=v_xtriangle t $$

Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.

п.8. Задачи

Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите (x_0=0) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения (x=x(t)) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за (t_1=5 с), за (t_2=10 с);
б) постройте график скорости (v=v(t)) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1)?

По условию (x_0=0, v_x=8).
Уравнение движения: (x=x_0+v_x t=0+8t=8t)
а) Строим график прямой (x=8t) по двум точкам:

По графику находим: begin{gather*} x_1=x(5)=8cdot 5=40 text{(м)}\ x_2=x(10)=8cdot 10=80 text{(м)} end{gather*}
б) Скорость (v_x=8) м/с – постоянная величина, её график:

$$ t_1=5 с, t_2=10 с $$ Пройденный путь за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x triangle t=8cdot (10-5)=40 text{(м)} $$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м

Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?

а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения (x=x(t)).

Найдем скорость корабля (v_x): $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{56-38}{2-1}=18 (text{тыс.км/ч}) $$ Найдем начальную координату (x_0): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18cdot v_1=20 (text{тыс.км/ч}) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t, x(t)=20+18t $$ где (x) – в тыс.км, а (t) – в часах.

б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии (x_0=20) тыс.км от астероида.

в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18cdot 4=92 (text{тыс.км}) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000frac{text{км}}{text{ч}}=frac{18000 text{км}}{1 text{ч}}=frac{18000 text{км}}{3600 text{c}}=5 text{км/c} $$ Ответ:
а) (x(t)=20+18t) ((x) в тыс.км, (t) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с

Источник

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

v_cp = s / t

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

v_x = x’

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

v_x = v_0x ± a_xt

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

0a = v₀
bc = v

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратов поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то уравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x < 0 и х₀ = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Источник

Кинематика

Механическое движение и его виды

Относительность механического движения

Правило сложения перемещений

Правило сложения скоростей

Относительная скорость

Скорость

Ускорение

Равномерное движение

График скорости (проекции скорости)

График перемещения (проекции перемещения)

Прямолинейное равноускоренное движение

Свободное падение (ускорение свободного падения)

Движение тела по вертикали

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Траектория

Вектор перемещения

Правило сложения векторов

Проекции вектора перемещения

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты

Этот видеоурок доступен по абонементу

Кинематика

Механическое движение и траектория движения

Путь и перемещение

Равномерное прямолинейное движение

Как решать задачи кинематики

Графики равномерного прямолинейного движения

Относительность движения. Закон сложения скоростей

Равноускоренное движение. Ускорение

Графики равноускоренного движения

Свободное падение тел. Ускорение свободного падения

Движение точки по окружности

Кинематика

Механическое движение и его виды

Относительность механического движения

Правило сложения перемещений

Правило сложения скоростей

Относительная скорость

Скорость

Ускорение

Равномерное движение

График скорости (проекции скорости)

График перемещения (проекции перемещения)

Прямолинейное равноускоренное движение

Свободное падение (ускорение свободного падения)

Движение тела по вертикали

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Равномерное прямолинейное движение в физике – формулы и определения с примерами

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

График проекции скорости

График проекции перемещения

График пути

График координаты

По графику проекции скорости можно найти проекцию перемещения и пройденный путь

По углу наклона графика проекции перемещения можно оценить скорость движения

Пример №1

Пример №2

Прямолинейное равномерное движение и скорость

Пример №3

Скорость при равнопеременном прямолинейном движении

Перемещение при равнопеременном прямолинейном движении

Равноускоренное и равнозамедленное движения

Кинематика прямолинейного движения

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты

Этот видеоурок доступен по абонементу

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения

п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении

п.4. График движения x=x(t)

п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?

п.6. График скорости vx=vx(t)

п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

п.8. Задачи

Вам также может понравиться

Как найти магазин в хабаровске

Как найти с помощью знаков

п.6. График скорости v_x=v_x(t)