Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения
Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости
Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.
Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , находящиеся в декартовой системе координат.
В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x – x 1 a x = y – y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .
Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .
Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) и координатами лежащих на них точках M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 или x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 .
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x = x 1 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 – y 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 – y 1 ) · λ .
Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.
Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 – 5 , 2 3 , M 2 1 , – 1 6 .
Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = – 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = – 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x – ( – 5 ) 1 – ( – 5 ) = y – 2 3 – 1 6 – 2 3 ⇔ x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .
Ответ: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .
При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.
Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 ( 1 , 1 ) и M 2 ( 4 , 2 ) в системе координат О х у .
Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x – 1 4 – 1 = y – 1 2 – 1 ⇔ x – 1 3 = y – 1 1 .
Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:
x – 1 3 = y – 1 1 ⇔ 1 · x – 1 = 3 · y – 1 ⇔ x – 3 y + 2 = 0
Ответ: x – 3 y + 2 = 0 .
Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у , которая проходит через точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x – x 1 = 0 .
Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .
Для этого найдем k = y 2 – y 1 x 2 – x 1 b = y 1 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 1 или k = y 2 – y 1 x 2 – x 1 b = y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 2 .
С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x + y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 1 или y = y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x + y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 2 .
Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.
Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 ( 2 , 1 ) и y = k x + b .
Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 ( – 7 , – 5 ) и M 2 ( 2 , 1 ) .
Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что – 5 = k · ( – 7 ) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему – 5 = k · – 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.
При подстановке получаем, что
– 5 = k · – 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = – 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = – 5 + 7 k 2 k – 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = – 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = – 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = – 1 3 k = 2 3
Теперь значения k = 2 3 и b = – 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x – 1 3 .
Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.
Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 ( 2 , 1 ) и M 1 ( – 7 , – 5 ) , имеющее вид x – ( – 7 ) 2 – ( – 7 ) = y – ( – 5 ) 1 – ( – 5 ) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · ( x + 7 ) = 9 · ( y + 5 ) ⇔ y = 2 3 x – 1 3 .
Ответ: y = 2 3 x – 1 3 .
Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве
Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.
Имеем, что канонические уравнения вида x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y , a z ) .
Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) , где прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 = z – z 1 z 2 – z 1 или x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 = z – z 2 z 2 – z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 – y 1 ) · λ z = z 1 + ( z 2 – z 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 – y 1 ) · λ z = z 2 + ( z 2 – z 1 ) · λ .
Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.
Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 ( 2 , – 3 , 0 ) и M 2 ( 1 , – 3 , – 5 ) .
Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 = z – z 1 z 2 – z 1 .
По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = – 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = – 3 , z 2 = – 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:
x – 2 1 – 2 = y – ( – 3 ) – 3 – ( – 3 ) = z – 0 – 5 – 0 ⇔ x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5
Ответ: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .
Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через две точки. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение прямой, проходящей через две точки − примеры и решения
Пример 1. Построить прямую, проходящую через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2).
 |
(1) |
Подставив координаты точек A и B в уравнение (1), получим:
(Здесь 0 в знаменателе не означает деление на 0).
Составим параметрическое уравнение прямой:
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:
Пример 2. Построить прямую, проходящую через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2).
|
(2) |
Подставив координаты точек A и B в уравнение (2), получим:
Составим параметрическое уравнение прямой:
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:
Уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида
где A и B не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду
где k – угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
| x – x 1 | = | y – y 1 |
| x 2 – x 1 | y 2 – y 1 |
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x 0 y = m t + y 0
где N( x 0, y 0) – координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
x – 1 2 – 1 = y – 7 3 – 7
Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой
Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
x = t + 1 y = -4 t + 7
Решение. Так как M y – N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу
| x – x 1 | = | y – y 1 | = | z – z 1 |
| x 2 – x 1 | y 2 – y 1 | z 2 – z 1 |
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
 |
x = l t + x 0 |
| y = m t + y 0 | |
| z = n t + z 0 |
где ( x 0, y 0, z 0) – координаты точки лежащей на прямой, – координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
| x – x 0 | = | y – y 0 | = | z – z 0 |
| l | m | n |
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений
[spoiler title=”источники:”]
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-prjamoj-online.php
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/
[/spoiler]
Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.
Здесь будет калькулятор
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y=kx+by=kx+b,
где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.
Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:
y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),
где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.
Решение
Подставляем значения в формулу:
y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)
y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)
Приводим подобные слагаемые:
y=x+1y=x+1
Ответ
y=x+1y=x+1
Общее уравнение прямой
Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:
y−x−1=0y-x-1=0
Уравнение прямой по двум точкам
Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},
где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.
Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).
Решение
x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}
x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}
x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}
x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}
y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)
y=8−2x−1y=8-2x-1
y=−2x+7y=-2x+7
Ответ
y=−2x+7y=-2x+7
Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,
где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).
Решение
x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,
(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,
x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0
x−5y=−40+7x-5y=-40+7
x−5y=−33x-5y=-33
5y=x+335y=x+33
y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}
Проверка
Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.
8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}
8=88=8 — верно, ответ правильный.
Ответ
y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}
Прямая в пространстве
Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},
где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.
Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).
Решение
x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}
x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}
Проверка
Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:
1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.
Такой вид уравнения прямой называется каноническим.
Ответ
x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}
Тест по теме “Составление уравнения прямой”
Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости
Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.
Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a, проходящей через две несовпадающие точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), находящиеся в декартовой системе координат.
В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay, задается прямоугольная система координат Оху с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M1(x1, y1) с направляющим вектором a→=(ax, ay).
Необходимо составить каноническое уравнение прямой a, которая пройдет через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2).
Прямая а имеет направляющий вектор M1M2→ с координатами(x2-x1, y2-y1), так как пересекает точки М1 и М2. Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M1M2→=(x2-x1, y2-y1) и координатами лежащих на них точках M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λ.
Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.
Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M1-5, 23, M21, -16.
Решение
Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x1, y1 и x2, y2 принимает вид x-x1x2-x1=y-y1y2-y1. По условию задачи имеем, что x1=-5, y1=23, x2=1, y2=-16. Необходимо подставить числовые значения в уравнение x-x1x2-x1=y-y1y2-y1. Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x-(-5)1-(-5)=y-23-16-23⇔x+56=y-23-56.
Ответ: x+56=y-23-56.
При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.
Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M1(1, 1) и M2(4, 2) в системе координат Оху.
Решение
Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x-14-1=y-12-1⇔x-13=y-11.
Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:
x-13=y-11⇔1·x-1=3·y-1⇔x-3y+2=0
Ответ: x-3y+2=0.
Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y=kx+b. Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b, при которых уравнение y=kx+b определяет линию в системе Оху, которая проходит через точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), где x1≠x2. Когда x1=x2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М1М2 определена общим неполным уравнением вида x-x1=0.
Потому как точки М1 и М2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y1=kx1+bи y2=kx2+b. Следует решить систему уравнений y1=kx1+by2=kx2+b относительно k и b.
Для этого найдем k=y2-y1x2-x1b=y1-y2-y1x2-x1·x1 или k=y2-y1x2-x1b=y2-y2-y1x2-x1·x2.
С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x1 или y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x2.
Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.
Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M2(2, 1) и y=kx+b.
Решение
Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y=kx+b. Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M1(-7, -5) и M2(2, 1).
Точки М1 и М2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y=kx+b верное равенство. Отсюда получаем, что -5=k·(-7)+b и 1=k·2+b. Объединим уравнение в систему -5=k·-7+b1=k·2+bи решим.
При подстановке получаем, что
-5=k·-7+b1=k·2+b⇔b=-5+7k2k+b=1⇔b=-5+7k2k-5+7k=1⇔⇔b=-5+7kk=23⇔b=-5+7·23k=23⇔b=-13k=23
Теперь значения k=23 и b=-13 подвергаются подстановке в уравнение y=kx+b. Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y=23x-13.
Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.
Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M2(2, 1) и M1(-7, -5), имеющее вид x-(-7)2-(-7)=y-(-5)1-(-5)⇔x+79=y+56.
Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x+79=y+56⇔6·(x+7)=9·(y+5)⇔y=23x-13.
Ответ: y=23x-13.
Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве
Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), проходящая через них прямая M1M2, необходимо получить уравнение этой прямой.
Имеем, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az и параметрические вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λспособны задать линию в системе координат Охуz, проходящую через точки, имеющие координаты (x1, y1, z1) с направляющим вектором a→=(ax, ay, az).
Прямая M1M2 имеет направляющий вектор вида M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), где прямая проходит через точку M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), отсюда каноническое уравнение может быть вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1, в свою очередь параметрические x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λz=z1+(z2-z1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λz=z2+(z2-z1)·λ.
Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.
Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат Охуz трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M1(2, -3, 0) и M2(1, -3, -5).
Решение
Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
По условию имеем, что x1=2, y1=-3, z1=0, x2=1, y2=-3, z2=-5. Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:
x-21-2=y-(-3)-3-(-3)=z-0-5-0⇔x-2-1=y+30=z-5
Ответ: x-2-1=y+30=z-5.
Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.
Прямая – это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.
Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:
- каноническое уравнение,
- параметрическое уравнение,
- общее уравнение прямой,
- уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- уравнение прямой в полярных координатах и другие.
Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}
xa и ya – координаты первой точки A,
xb и yb – координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}
xa, ya – координаты точки, лежащей на прямой,
{l;m} – координаты направляющего вектора прямой,
t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}
xa, ya и za – координаты первой точки A,
xb, yb и zb – координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }
xa, ya и za – координаты точки, лежащей на прямой,
{l;m;n} – координаты направляющего вектора прямой,
t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки
Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}
Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}
Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}
Параметрическое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой имеет вид:
{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }
где {x_a, y_b} – координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} – координаты направляющего вектора прямой, t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.
Найдем координаты направляющего вектора:
overline{AB} = {x_b – x_a; y_b – y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}
Получаем параметрическое уравнение:
begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}
Используем калькулятор для проверки полученного ответа.
Ответы Mail.ru
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Вопросы – лидеры.
Как найти величину флуктуации сигнала на входе приемника если известно что
1 ставка
Помогите с математикой
Найдите сумму членов ряда
1 ставка
Выполнить расчет выпарной установки
1 ставка
Математика Помогите!
Найдите формулу общего члена ряда по его первым членам
1 ставка
Помогите решить задачи в Excel
1 ставка
Лидеры категории
Лена-пена
Искусственный Интеллект
М.И.
Искусственный Интеллект
Y.Nine
Искусственный Интеллект
•••
Алексей Григорьев
Знаток
(284),
закрыт
12 лет назад
Лучший ответ
Вадим Терентьев
Просветленный
(23389)
12 лет назад
А (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1);
(х-1)/2=(у-2)/-3=(z-1)/6-канонический вид;
х=1+2t
у=2-3t
z=1+6t-параметрический вид
Остальные ответы
Похожие вопросы
