Как составить уравнение прямой симметричной прямой относительно прямой

§ 1. Уравнения прямой на плоскости

Напомним,
что прямая
на плоскостиможет быть задана следующими уравнениями
(см. рис. 1):

общим:

(1)

Здесь
–нормальный
вектор прямой
(т.е. любой ненулевой вектор, перпендикулярный
этой прямой).
и– любые действительные числа, за
исключением случая

Рис.1.

Если
прямая проходит через точку
и имеет нормальный векторто её уравнение может быть записано в
виде

(2)

Уравнение
(2) равносильно векторному уравнению
где

каноническим:

(3)

Здесь
–направляющий
вектор
прямой, т.е. любой ненулевой вектор,
коллинеарный этой прямой.
и– любые действительные числа, за
исключением случаяОтметим, что в уравнении (3)формально
допускается 0 в знаменателе.
Это не означает, конечно, что допустимо
деление на 0: формулу (3) следует считать
эквивалентом равенства
в котором никакого деления на 0 нет.
Приведём примеры: уравнениеопределяет прямуюпараллельную осиуравнение осиимеет вид

параметрическим:

(4)

Число
называетсяпараметром.
Система уравнений (4) равносильна
векторному уравнению
(см. рис. 2).

Рис.2.

Параметр
имеет прозрачныйгеометрический
смысл: модуль
числа
означает, сколько векторов“укладывается” на вектореа знак обозначает расположение точкина прямойприточканаходится с той стороны, куда направлен
вектора при– в противоположной стороне.

с
угловым коэффициентом
(см. рис. 3):

(5)

Рис.3.

Здесь
– угловой коэффициент, т.е.где– угол наклона прямойк осиУравнением (5) может быть задана любая
прямая, не коллинеарная оси

“в
отрезках”
(см. рис. 4):

(6)

Рис.4.

Здесь
– отрезки, отсекаемые прямойот осей координат. При этом допускается,
чтоилиУравнением (6) может быть задана любая
прямая, за исключением прямых, коллинеарных
какой-либо из осей координат, а также
прямых, проходящих через начало координат.

Замечание.
Уравнения (1)-(6) задают прямые не только
в прямоугольной, но и в произвольной
косоугольной
системе координат. При этом вектор
будет по-прежнему направляющим вектором
прямой (т.е. вектором, коллинеарным этой
прямой). Однако, векторв уравнениях (1), (2) может уже не быть
перпендикулярным данной прямой. “Угловой
коэффициент”в уравнении (5) может не равняться тангенсу
угла между прямой и осью абсцисс. Наконец,
числаив уравнении (6) в косоугольной системе
координат будут не истинными длинами
отсекаемых на осях отрезков, аотносительными
длинами
(если
и– базисные векторы, то на осиотрезки следует измерять “в векторах”,
а на оси– “в векторах”).

Задача
1. Написать
каноническое, параметрическое и общее
уравнение прямой, проходящей через
точки
и

Решение.
Направляющим вектором прямой
можно считать векторВ качестве точкиможно взятьилиПусть, например,Тогда по формуле (3) получим:

(7)

Это
каноническое уравнение прямой
Приравняем эти дроби к числуполучим:откуда

Это
параметрическое уравнение прямой
Из равенства (7) имеем:т.е.

Это
общее уравнение прямой

Задача
2. Дана прямая
Составить уравнение прямойпроходящей через точкуи параллельной прямойа также прямойпроходящей через точкуи перпендикулярной прямой

Решение.
(см. рис. 5)

Рис.5.

Из
уравнения прямой
находим ее нормальный вектор:Взявзапишем равенство (2):т.е.Это уравнение прямой

Заметим,
что вектор
является направляющим вектором прямойа значит, можно записать уравнение этой
прямой согласно равенству (3). Мы получим:откудаилиЭто уравнение прямой

Задача
3. Найти угол
между прямыми
и

Решение.
Найдём нормальные векторы этих прямых:
Уголмежду прямыми равен углу между их
нормальными векторами. Следовательно,

Отсюда
обычно под углом между прямыми берут
острый угол, образованный этими прямыми.
Поэтому мы можем считать, что угол равен

Задача
4. Составить
уравнение прямой, симметричной прямой
относительно:

а)
начала координат; б) оси абсцисс; в)
точки

Решение.
а) Симметрия относительно начала
координат переводит точку
в точкуПоэтому уравнение симметричной прямой
мы получим, заменяянаинаТаким образом, искомое уравнение будет
таково:или

б)
Симметрия относительно оси абсцисс
задается формулами
Отсюда получаем:

в)
(см. рис. 6)

Рис.6.

Возьмём
какую-нибудь точку прямой
например,(для этого достаточно подобрать числаудовлетворяющие уравнению).
Пусть– точка, симметричная точкеотносительно точкиТогдаиСледовательно,Отсюда получаем уравнение прямойт.е.

Замечание.
Решение задачи 4(в) может быть упрощено,
если использовать формулу симметрии
плоскости относительно точки (см. раздел
«Геометрические преобразования»).

Задача
5. Спроектировать
току
на прямую

Решение.
(см. рис. 7)

Рис.7.

Обозначим
через
прямую

Уравнение этой прямой можно переписать
в виде
Найдём нормальный вектор прямойЭтот вектор может быть принят в качестве
направляющего вектора прямойЗапишем параметрические уравнения
прямой

(8)

Теперь
найдем координаты точки
пересечения прямыхиподставив формулы (8) в уравнение прямойполучим:ОтсюдаПодставим теперь это значениев (8), получим:Таким образом,Точка– это и есть проекция точкина прямую

Задача
6. Составить
уравнение высоты
медианыи биссектрисытреугольникаесли

Решение.
(см. рис. 8).

Рис.8.

Имеем:
Векторявляется нормальным вектором прямойт.е.В качестве точкипрямойвозьмём точкуЗапишем теперь уравнение высотыт.е.

Далее,
направляющим вектором прямой
может служить векторЕсли направляющий вектор умножить на
2, то он по-прежнему останется направляющим
вектором. Поэтому возьмёмОтсюда получаем уравнение прямойили

Составим
теперь уравнение биссектрисы
Найдём длины векторовиВекторыиимеют одинаковую длину, поэтому векторнаправлен по биссектрисе углаа значит, является направляющим вектором
прямойВычисляем:Запишем каноническое уравнение прямойотсюда получаем:

Замечание.
Если
и– векторы, то вектор– вектор, направленный по биссектрисе
угла, образованного векторамииа вектор– по биссектрисе смежного угла (см. рис.
9).

Рис.9.

Если
тоа

Задача
7. Даны
уравнения двух сторон параллелограмма:
и координаты его центра:Составить уравнения двух других сторон
и уравнения диагоналей.

Решение
(см. рис. 10).

Рис.10.

Обозначим
вершины параллелограмма буквами
а его центр буквойМожно считать, что даны уравнения сторониНайдём вершинурешив систему

Прибавим
к первому уравнению удвоенное второе,
получим:
откудаДалее,Следовательно,Затем вычисляем:

Отсюда
Через точкупроводим прямую, параллельнуюполучаемАналогично получаем уравнениет.е.Теперь найдём точку

Отсюда
т.е.

Осталось
получить уравнения диагоналей
иИмеем:Взявполучим уравнениеа значит,Аналогично получим уравнениеоткуда получаем:т.е.

Задача
8. Даны
координаты одной из вершин треугольника:
и уравнения двух его медиан:Найти координаты двух других вершин
треугольника.

Решение..
Так как точка
не удовлетворяет уравнениям данных
прямых, то можно считать, что– это вершинаа данные прямые – медианы, выходящие
из вершинисоответственно (см. рис. 11).

Рис.11.

Обозначим
данные прямые через
иВозьмём какую-нибудь точку на прямойПусть– точка, симметричная точкеотносительноТогда

Следовательно,
Через точкупроводим прямуют.е.Точкунайдём, пересекая прямыеи

Получаем:

Аналогично
находим точку
А именно, возьмём точку на прямойПусть– точка, симметричная точкеотносительноТогдаУравнение прямойпараллельнойи проходящей черезТочкунаходим из системы

Отсюда

Задача
9. Через точку
провести прямую, пересекающую положительные
части осей координат и образующую с
осями координат треугольник наименьшей
площади.

Решение
(см. рис. 12).

Рис.12.

Пусть
– искомая прямая и– отрезки, отсекаемые прямойот осей координат. ТогдаЗапишем уравнение прямой“в отрезках” (см. формулу (6)):Так кактоОтсюдаНайдём площадь треугольникаНайдём наименьшее значение функциина множествеДля этого вычислим производную:Очевидно,приСоставим таблицу:

		2
	–	0
		4

Из
таблицы видно, что функция
имеет в точкеминимум, равныйПриполучаем:а значит, уравнение прямойтаково:или

Соседние файлы в папке СРС

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Условие

Решение

Все решения

Написать комментарий

Задача 27867 4.2.78) Составить уравнение прямой.

Условие

4.2.78) Составить уравнение прямой, симметричной прямой x+2y-6 = 0 относительно точки А(4; 2).

Решение

1 способ
Прямая, симметричная данной, параллельна данной.
Значит ее уравнение имеет вид
x+2y- d=0
Чтобы найти d подставим координаты точки, принадлежащей этой прямой, например точки Е.
Для этого выберем точку F(2;2), принадлежащую данной прямой и найдем координаты точки Е симметричной относительно А
Е(6;2)
6+2*2-d=0
d=10

2 способ
Составим уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку А
vector_(данной прямой)=(1;2)
vector_(перпендикулярной прямой)=(2;-1)
Скалярное произведение этих векторов равно 0, векторы ортогональны.
2х-у+с=0
Чтобы найти c подставляем координаты точки А
2*4-2=с
с=-6
2х — у — 6 = 0

Найдем расстояние от точки А до данной прямой
d=|4+2*2-6|/sqrt(1+2^2)=2/sqrt(5)

Составим уравнение окружности с центром в точке А и радиусом R=2/sqrt(5).
Эта окружность касается данной прямой и второй прямой, параллельной данной и находящейся на расстоянии 2/sqrt(5) от точки.
(x-4)^2+(y-2)^2=4/5

(x-4)^2+(2x-6-2)^2=4/5
(x-4)^2=4/25
x-4=2/5 или х-4=-2/5
х=4,4 или х=3,6 — абсцисса точки М
у=2х-6=2*4,4-6=2,8
N(4,4; 2,8)

Прямая, параллельная данной имеет вид
х + 2y — d = 0
Чтобы найти d подставим координаты точки N
4,4+2*2,8 — d=0

О т в е т. х+2y -10 =0

Параметрическое уравнение прямой. Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Прямая вместе с точкой являются важными элементами геометрии, с помощью которых строятся многие фигуры в пространстве и на плоскости. В данной статье подробно рассматривается параметрическое уравнение прямой, а также его связь с другими типами уравнений для этого геометрического элемента.

Прямая и уравнения для ее описания

Прямая в геометрии представляет собой совокупность точек, которые соединяют произвольные две точки пространства отрезком с наименьшей длиной. Этот отрезок является частью прямой. Любые другие кривые, соединяющие зафиксированные две точки в пространстве, будут иметь большую длину, поэтому прямыми не являются.

Вам будет интересно: Нейтральная лексика — это. Определение, понятие, значение и примеры

На рисунке выше показаны две черные точки. Синяя линия, соединяющая их, является прямой, а красная — кривой. Очевидно, что длина красной линии между черными точками больше, чем синей.

Существуют несколько видов уравнений прямой, с помощью которых можно описать прямую в трехмерном пространстве или в двумерном. Ниже приведены названия этих уравнений:

• векторное;
• параметрическое;
• в отрезках;
• симметричное или каноническое;
• общего типа.

Вам будет интересно: А. Пушкин «Песнь о вещем Олеге»: жанр и идея

В данной статье рассмотрим параметрическое уравнение прямой, однако выведем его из векторного. Также покажем связь параметрического и симметричного или канонического уравнений.

Уравнение векторное

Понятно, что все приведенные типы уравнений для рассматриваемого геометрического элемента связаны между собой. Тем не менее векторное уравнение является базовым для всех них, поскольку оно непосредственно следует из определения прямой. Рассмотрим, как оно вводится в геометрию.

Допустим, дана точка в пространстве P(x0; y0; z0). Известно, что эта точка принадлежит прямой. Сколько прямых можно провести через нее? Бесконечное множество. Поэтому для того, чтобы можно было провести единственную прямую, необходимо задать направление последней. Направление, как известно, определяется вектором. Обозначим его v¯(a; b; c), где символы в скобках — это его координаты. Для каждой точки Q(x; y; z), которая находится на рассматриваемой прямой, можно записать равенство:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α × (a; b; c)

Здесь символ α является параметром, принимающим абсолютно любое действительное значение (умножение вектора на число может изменить только его модуль или направление на противоположное). Это равенство называется векторным уравнением для прямой в трехмерном пространстве. Изменяя параметр α, мы получаем все точки (x; y; z), которые образуют эту прямую.

Вам будет интересно: Тайны «Аненербе»: история, артефакты, архивы

Стоящий в уравнении вектор v¯(a; b; c) называется направляющим. Прямая не имеет конкретного направления, а ее длина является бесконечной. Эти факты означают, что любой вектор, полученный из v¯ с помощью умножения на действительное число, также будет направляющим для прямой.

Что касается точки P(x0; y0; z0), то вместо нее в уравнение можно подставить произвольную точку, которая лежит на прямой, и последняя при этом не изменится.

Рисунок выше демонстрирует прямую (синяя линия), которая задана в пространстве через направляющий вектор (красный направленный отрезок).

Не представляет никакого труда получить подобное равенство для двумерного случая. Используя аналогичные рассуждения приходим к выражению:

(x; y) = (x0; y0) + α × (a; b)

Видим, что оно полностью такое же, как и предыдущее, только используются две координаты вместо трех для задания точек и векторов.

Уравнение параметрическое

Сначала получим в пространстве параметрическое уравнение прямой. Выше, когда записывалось векторное равенство, уже упоминалось о параметре, который в нем присутствует. Чтобы получить параметрическое уравнение, достаточно раскрыть векторное. Получаем:

Совокупность этих трех линейных равенств, в каждом из которых имеется одна переменная координата и параметр α, принято называть параметрическим уравнением прямой в пространстве. По сути, мы не сделали ничего нового, а просто явно записали смысл соответствующего векторного выражения. Отметим лишь один момент: число α, хотя и является произвольным, но оно для всех трех равенств одинаковое. Например, если α = -1,5 для 1-го равенства, то такое же его значение следует подставить во второе и в третье равенства при определении координат точки.

Параметрическое уравнение прямой на плоскости подобно таковому для пространственного случая. Оно записывается в виде:

Таким образом, чтобы составить параметрическое уравнение прямой, следует записать в явном виде векторное уравнение для нее.

Получение уравнения канонического

Как выше было отмечено, все уравнения, задающие прямую в пространстве и на плоскости, получаются одно из другого. Покажем, как получить из параметрического уравнения прямой каноническое. Для пространственного случая имеем:

Выразим параметр в каждом равенстве:

Поскольку левые части являются одинаковыми, тогда правые части равенств тоже равны друг другу:

(x — x0) / a = (y — y0) / b = (z — z0) / c

Это и есть каноническое уравнение для прямой в пространстве. Значение знаменателя в каждом выражении является соответствующей координатой направляющего вектора. Значения в числителе, которые вычитаются из каждой переменной, представляют собой координаты точки, принадлежащей этой прямой.

Соответствующее уравнение для случая на плоскости примет вид:

(x — x0) / a = (y — y0) / b

Дальше в статье решим несколько задач, используя полученные знания.

Уравнение прямой через 2 точки

Известно, что две фиксированные точки как на плоскости, так и в пространстве однозначно задают прямую. Предположим, что заданы две следующие точки на плоскости:

Как составить уравнение прямой через них? Для начала следует определить направляющий вектор. Его координаты имеют следующие значения:

PQ¯(x2 — x1; y2 — y1)

Теперь можно записать уравнение в любом из трех видов, которые были рассмотрены в пунктах выше. Например, параметрическое уравнение прямой принимает вид:

x = x1 + α × (x2 — x1);

y = y1 + α × (y2 — y1)

В канонической форме можно переписать его так:

(x — x1 ) / (x2 — x1) = (y — y1) / (y2 — y1)

Видно, что в каноническое уравнение входят координаты обеих точек, причем в числителе можно менять эти точки. Так, последнее уравнение можно переписать следующим образом:

(x — x2) / (x2 — x1) = (y — y2) / (y2 — y1)

Все записанные выражения называются уравнениями прямой через 2 точки.

Задача с тремя точками

Даны координаты следующих трех точек:

Необходимо определить, лежат эти точки на одной прямой или нет.

Решать эту задачу следует так: сначала составить уравнение прямой для любых двух точек, а затем подставить в него координаты третьей и проверить, удовлетворяют ли они полученному равенству.

Составляем уравнение через M и N в параметрической форме. Для этого применим полученную в пункте выше формулу, которую обобщим на трехмерный случай. Имеем:

Теперь подставим в эти выражения координаты точки K и найдем значение параметра альфа, который им соответствует. Получаем:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

-1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

-5 = -1 + α × 1 => α = -4

Мы выяснили, что все три равенства будут справедливы, если каждое из них примет отличающееся от других значение параметра α. Последний факт противоречит условию параметрического уравнения прямой, в котором α должны быть равны для всех уравнений. Это означает, что точка K прямой MN не принадлежит, а значит, все три точки на одной прямой не лежат.

Задача на параллельность прямых

Даны два уравнения прямых в параметрическом виде. Они представлены ниже:

Необходимо определить, являются ли прямые параллельными. Проще всего определить параллельность двух прямых с использованием координат направляющих векторов. Обращаясь к общей формуле параметрического уравнения в двумерном пространстве, получаем, что направляющие вектора каждой прямой будут иметь координаты:

Два вектора являются параллельными, если один из них можно получить путем умножения другого на некоторое число. Разделим попарно координаты векторов, получим:

Это означает что:

Направляющие вектора v2¯ и v1¯ параллельны, значит, прямые в условии задачи тоже являются параллельными.

Проверим, не являются ли они одной и той же прямой. Для этого нужно подставить координаты любой точки в уравнение для другой. Возьмем точку (-1; 3), подставим ее в уравнение для второй прямой:

-1 = 2 — 6 × λ => λ = 1/2;

3 = 4 — 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

То есть прямые являются разными.

Задача на перпендикулярность прямых

Даны уравнения двух прямых:

Перпендикулярны ли эти прямые?

Две прямые будут перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Выпишем эти вектора:

Найдем их скалярное произведение:

(v1¯ × v2¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 — 12 = 0

Таким образом, мы выяснили, что рассмотренные прямые перпендикулярны. Они изображены на рисунке выше.

Способы задавания уравнений прямых в плоскости и в трехмерном пространстве

Прямая является основным геометрическим объектом на плоскости и в трехмерном пространстве. Именно из прямых строятся многие фигуры, например: параллелограмм, треугольник, призма, пирамида и так далее. Рассмотрим в статье различные способы задавания уравнений прямых.

Определение прямой и виды уравнений для ее описания

Каждый школьник хорошо себе представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. Прямую можно представить как совокупность точек, причем если соединить каждую из них по очереди со всеми остальными, то мы получим набор параллельных векторов. Иными словами, попасть в каждую точку прямой можно из одной фиксированной ее точки, перенося ее на некоторый единичный вектор, умноженный на действительное число. Это определение прямой используется для задавания векторного равенства для ее математического описания как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Вам будет интересно: Муляж — это необходимость или выдумка?

Прямая может быть математически представлена следующими видами уравнений:

• общее;
• векторное;
• параметрическое;
• в отрезках;
• симметричное (каноническое).

Далее рассмотрим все названные виды и покажем на примерах решения задач, как с ними работать.

Векторное и параметрическое описание прямой

Вам будет интересно: Размер бумаги А3 в сантиметрах и не только: краткий путеводитель

Начнем с задавания прямой через известный вектор. Предположим, что в пространстве имеется фиксированная точка M(x0; y0; z0). Известно, что прямая проходит через нее и направлена вдоль векторного отрезка v¯(a; b; c). Как по этим данным найти произвольную точку прямой? Ответ на этот вопрос даст следующее равенство:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ * (a; b; c)

Где λ — произвольное число.

Аналогичное выражение можно записать для двумерного случая, где координаты векторов и точек представлены набором из двух чисел:

(x; y) = (x0; y0) + λ * (a; b)

Записанные уравнения называются векторными, а сам направленный отрезок v¯ — это направляющий вектор для прямой.

Из записанных выражений соответствующие параметрические уравнения получаются просто, достаточно лишь переписать их в явном виде. Например, для случая в пространстве получаем следующее уравнение:

С параметрическими уравнениями удобно работать, если необходимо проанализировать поведение каждой координаты. Заметим, что хотя параметр λ может принимать произвольные значения, но во всех трех равенствах он должен быть одинаковым.

Общее уравнение

Другим способом задавания прямой, который часто используют для работы с рассматриваемым геометрическим объектом, является применение уравнения общего вида. Для двумерного случая оно имеет вид:

A * x + B * y + C = 0

Здесь большие латинские буквы представляют конкретные числовые значения. Удобство данного равенства при решении задач заключается в том, что оно в явном виде содержит вектор, который перпендикулярен прямой. Если обозначить его n¯, тогда можно записать:

Кроме того, выражение удобно применять для определения расстояния от прямой до некоторой точки P(x1; y1). Формула для расстояния d имеет вид:

d = |A * x1 + B * y1 + C| / √(A2 + B2)

Несложно показать, что если из общего уравнения выразить явно переменную y, то получится следующая известная форма записи прямой:

Где k и b однозначно определяются числами A, B, C.

Уравнение в отрезках и каноническое

Уравнение в отрезках проще всего получить из общего вида. Покажем, как это можно сделать.

Предположим, что имеется следующая прямая:

A * x + B * y + C = 0

Перенесем свободный член в правую часть равенства, затем поделим на него все уравнение, получаем:

x / (-C / A) + y / (-C / B) = 1;

x / q + y / p = 1, где q = -C / A, p = -C / B

Мы получили так называемое уравнение в отрезках. Свое название оно получило по причине того, что знаменатель, на который делится каждая переменная, показывает значение координаты пересечения прямой с соответствующей осью. Этот факт удобно использовать для изображения прямой в координатной системе, а также для анализа ее взаимного расположения по отношению к другим геометрическим объектам (прямым, точкам).

Теперь перейдем к получению канонического уравнения. Это проще сделать, если рассмотреть параметрический вариант. Для случая на плоскости имеем:

Выразим параметр λ в каждом равенстве, затем приравняем их, получаем:

(x — x0) / a = (y — y0) / b

Это и есть искомое уравнение, записанное в симметричной форме. Так же, как и векторное выражение, оно в явной форме содержит координаты направляющего вектора и координаты одной из точек, которая принадлежит прямой.

Можно заметить, что в данном пункте мы привели уравнения для двумерного случая. Аналогичным образом можно составить уравнение прямой в пространстве. Здесь нужно заметить, что если каноническая форма записи и выражение в отрезках будут иметь такой же вид, то общее уравнение в пространстве для прямой представляется системой из двух уравнений для пересекающихся плоскостей.

Задача на построение уравнения прямой

Из геометрии каждый школьник знает, что через две точки можно начертить единственную линию. Предположим, что в координатной плоскости заданы следующие точки:

Следует найти уравнение прямой, которой принадлежат обе точки, в отрезках, в векторном, каноническом и в общем виде.

Получим сначала векторное уравнение. Для этого следует определить для прямой направляющий вектор M1M2¯:

M1M2¯ = (-1; 3) — (1; 2) = (-2; 1)

Теперь можно составить векторное уравнение, взяв одну из двух заданных в условии задачи точек, например, M2:

(x; y) = (-1; 3) + λ * (-2; 1)

Чтобы получить каноническое уравнение, достаточно преобразовать найденное равенство в параметрический вид и исключить параметр λ. Имеем:

x = -1 — 2 * λ, следовательно, λ = x + 1 / (-2);

y = 3 + λ, далее получаем λ = y — 3;

x + 1 / (-2) = (y — 3) / 1

Оставшиеся два уравнения (общее и в отрезках) можно найти из канонического, преобразуя его следующим образом:

общее уравнение: x + 2 * y — 5 = 0;

в отрезках уравнение: x / 5 + y / 2,5 = 1

Полученные уравнения показывают, что вектор (1; 2) должен быть перпендикулярен прямой. Действительно, если найти его скалярное произведение с направляющим вектором, то оно будет равно нулю. Уравнение в отрезках говорит, что прямая пересекает ось x в точке (5; 0), а ось y — в точке (2,5; 0).

Задача на определение точки пересечения прямых

На плоскости заданы две прямые следующими уравнениями:

(x; y) = (0; -1) + λ * (-1; 3)

Необходимо определить координаты точки, в которой эти прямые пересекаются.

Решить задачу можно двумя способами:

Преобразовать векторное уравнение в общий вид, затем решить систему из двух линейных уравнений.

Не выполнять никаких преобразований, а просто подставить координату точки пересечения, выраженную через параметр λ, в первое уравнение. Затем найти значение параметра.

Поступим вторым способом. Имеем:

2 * (-λ) + (-1) + 3 * λ — 1 = 0;

Подставляем полученное число в векторное уравнение:

(x; y) = (0; -1) + 2 * (-1; 3) = (-2; 5)

Таким образом, единственной точкой, которая принадлежит обеим прямым, является точка с координатами (-2; 5). В ней прямые пересекаются.

источники:

http://24simba.ru/zdorove-i-bezopasnost/5109-parametricheskoe-uravnenie-prjamoj-parametricheskoe-uravnenie-prjamoj-v-prostranstve/

http://1ku.ru/obrazovanie/41786-sposoby-zadavanija-uravnenij-prjamyh-v-ploskosti-i-v-trehmernom-prostranstve/

Макеты страниц