Как составить уравнение прямой в трехмерном пространстве

При
переходе к трехмерному пространству с
заданной декартовой прямоугольной
системой координат происходит естественное
обобщение уравнений прямой на плоскости
на трехмерный случай. Запишем основные
виды уравнений прямой
в трехмерном пространстве,

Название уравнения	Вид уравнения	Геометрический смысл чисел, входящих в уравнение
Уравнение прямой , проходящей через две заданные точки		, – координаты двух заданных точек, через которые проходит прямая.
Каноническое уравнение прямой		– координаты заданной точки прямой ;– координаты направляющего вектора.
Параметрическое уравнение прямой		Геометрический смысл итот же самый, что и в каноническом уравнении,– свободная переменная, параметр.

Обратим
внимание на то, что все, приведенные в
таблице, виды уравнений прямой могут
быть представлены как системы уравнений
двух плоскостей.

Например, уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки:

В
уравнении плоскости
:,,;
координатаотсутствует,
следовательно, плоскостьили, что то же самое,‌‌
‌.
Аналогично для плоскости:

или
‌
‌;,,.

Также
и остальные уравнения прямой можно
представить как системы уравнений двух
плоскостей, параллельных координатным
плоскостям. В общем случае плоскости ,
линией пересечения которых является
прямая
,
могут быть расположены произвольно
относительно системы координат. Систему
уравнений двух плоскостей называютобщим
уравнением прямой. Общее
уравнение прямой – это уравнение линии
пересечения данных плоскостей:

.

(6.17)

В
заключение приведем векторное
уравнение прямой:

,

(6.18)

где
=–
радиус-вектор произвольной точки,
лежащей на прямой,=– радиус-вектор известной, фиксированной
точки этой прямой,– направляющий вектор прямой. Векторное
уравнение прямой, лежащей в плоскости,
имеет вид (6. ), но все векторы, входящие
в него, имеют лишь по две координаты.

6.5. Преобразование координат

Рассматривая
уравнения плоскости и прямой, мы
подчеркивали их связь с выбранным
репером. В этом разделе рассмотрим, как
меняются эти уравнения при переходе от
одного репера к другому.

Будем
рассматривать геометрические пространства
с ортонормированными базисами, то есть
базисами состоящими из единичных
векторов, попарно перпендикулярных
друг другу. Реперы с такими базисами
могу отличаться друг от друга (а) точкой
приложения базиса, (б) направлениями
базисных векторов.

Пусть
точки приложения базиса (,)
– точкии.
Точкаимеет
радиусы-векторыв репере,
ив
репере.
Точкав репереимеет радиус-вектор.

	Так как =+, то формулы перехода от одного репера к другому имеют вид: или , (6.19) где -координаты точкив репере,– координаты той же точки в репере,– координаты точки(нового начала координат) в репере.

Равенства
(6.19) можно записать более компактно:

,

(6.20)

где
– радиус вектор точкив репере,– радиус вектор той же точки в репере,– радиус-вектор «нового» начала координат
в «старом» репере.

	Пусть векторы ив репереимеет координаты=(),=(), то есть=,=. Радиус-вектор точкив реперахи: = =+= ==.

Следовательно,
имеем:

,

или
в матричной форме:

или

(6.21)

где
– столбец координат точкив
репере,=матрица перехода от реперак реперу,
столбцами которой являются координаты
векторовив репере,=– столбец координат точкив репере.

Если
найти матрицу
,
обратную матрице,
то можно выразитьчерез:

=или,

(6.22)

Столбцы
матрицы
– это координаты векторовив репере.

В
случае трехмерного геометрического
пространства будут справедливы равенства
(6.21 ) и (6.22), но векторы
ибудут содержать по три координаты, а
матрицыииметь три строки и три столбца.

Таким
образом, переход от одного репера к
другому удобно выполнять в два шага:

Шаг
1. Выполнить
перенос начала координат, пользуясь
формулой:
.

Шаг
2. Выполнить
поворот осей координат, пользуясь
формулой:.

Пример.
Прямая
задана своим общим уравнением:

:

.

Записать
уравнение этой прямой в системе координат,
начало которой является какая-либо
точка прямой
,сонаправлена вектору нормали плоскости,
осьпроходит по прямой,
базис является левой тройкой векторов.

Решение.

1.Найдем
какую-либо точку лежащую на прямой
и перенесем в нее начало координат.
Пусть

.

Новое
начало координат:
.
Пользуясь формулами,
запишем уравнение прямой в системе
координат с началом в точке:

.

2.
Найдем векторы, сонаправленные новым
координатным осям, и, нормировав их,
получим новый базис.

Вектор
нормали плоскости
:.
Напомним, что координаты вектора нормали
к плоскости – это коэффициенты перед
переменными в ее уравнении..

Вектор,
сонаправленный прямой
,
можно найти как векторное произведение
векторов нормалей к плоскостями:

.

,

Вектор,
сонаправленный
найдем, вычислив векторное произведениеи.
Напомним, что тройка (–
левая. (см. стр. ).

=)=
(2,-4,-2)=-2(1,-2,-1),.

Итак,
матрица
перехода от базисак базисуимеет
вид:

==
–

(Вычисление
элементов матрицы
выполните самостоятельно).

3.
Умножим нормальные векторы плоскостей
ина матрицу:

=
–
=(0,0,-),

=
–
=(0,-,-).

Уравнения
плоскостей
,и общее уравнение прямойв репереимеет вид:

.

Обратим
внимание на следующий факт:
,
то есть,чтобы
найти матрицу, обратную матрице перехода
от одного ортонормированного базиса к
другому, достаточно ее транспонировать.

1Вектор, перпендикулярный плоскости,
называютнормалью к этой плоскости.

112

Соседние файлы в папке Математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.

В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.

Что такое каноническое уравнение прямой в пространстве

О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.

Допустим, у нас есть прямоугольная система координат Oxyz, в которой задана прямая. Как мы помним, задать прямую можно разными способами. Используем самый простой из них – зададим точку, через которую будет проходить прямая, и укажем направляющий вектор. Если обозначить прямую буквой a, а точку M, то можно записать, что M1(x1, y1, z1) лежит на прямой a и направляющим вектором этой прямой будет a→=(ax, ay, az). Чтобы множество точек M(x, y, z) определяло прямую a, векторы M1M→ и a→ должны быть коллинеарными,

Если мы знаем координаты векторов M1M→ и a→, то можем записать в координатной форме необходимое и достаточное условие их коллинеарности. Из первоначальных условий нам уже известны координаты a→. Для того чтобы получить координаты M1M→, нам необходимо вычислить разность между M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1). Запишем:

M1M→=x-x1, y-y1, z-z1

После этого нужное нам условие мы можем сформулировать так: M1M→=x-x1, y-y1, z-z1 и a→=(ax, ay, az): M1M→=λ·a→⇔x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

Здесь значением переменной λ может быть любое действительное число или ноль. Если λ=0, то M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1)совпадут, что не противоречит нашим рассуждениям.

При значениях ax≠0, ay≠0, az≠0 мы можем разрешить относительно параметра λ все уравнения системы x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:

x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az⇔λ=x-x1axλ=y-y1ayλ=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

В итоге у нас получились уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az, с помощью которых можно определить искомую прямую в трехмерном пространстве. Это и есть нужные нам канонические уравнения.

Такая запись используется даже при нулевых значениях одного или двух параметров ax, ay, az, поскольку она в этих случаях она также будет верна. Все три параметра не могут быть равны 0, поскольку направляющий вектор a→=(ax, ay, az) нулевым не бывает.

Если один-два параметра a равны 0, то уравнение x-x1ax=y-y1ay=z-z1az носит условный характер. Его следует считать равным следующей записи:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, λ∈R.

Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.

Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.

1) если исходная прямая будет проходить через две точки  M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то канонические уравнения примут следующий вид:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x2ax=y-y2ay=z-z2az.

2) поскольку a→=(ax, ay, az) является направляющим вектором исходной прямой, то таковыми будут являться и все векторы μ·a→=μ·ax, μ·ay, μ·az, μ∈R, μ≠0. Тогда прямая может быть определена с помощью уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x1μ·ax=y-y1μ·ay=z-z1μ·az.

Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:

Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве

Мы выяснили, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az будут соответствовать прямой, проходящей через точку M1(x1, y1, z1), а вектор a→=(ax, ay, az) будет для нее направляющим. Значит, если мы знаем уравнение прямой, то можем вычислить координаты ее направляющего вектора, а при условии заданных координат вектора и некоторой точки, расположенной на прямой, мы можем записать ее канонические уравнения.

Разберем пару конкретных задач.

Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.

Канонические уравнения с одним или двумя a, равными нулю

Ранее мы уже говорили, что одно-два значения параметров ax, ay, az в уравнениях могут иметь нулевые значения. При этом запись x-x1ax=y-y1ay=z-z1az=λ приобретает формальный характер, поскольку мы получаем одну или две дроби с нулевыми знаменателями. Ее можно переписать в следующем виде (при λ∈R):

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

Рассмотрим эти случаи подробнее. Допустим, что ax=0, ay≠0, az≠0, ax≠0, ay=0, az≠0, либо ax≠0, ay≠0, az=0. В таком случае нужные уравнения мы можем записать так:

1.  В первом случае: 
   x-x10=y-y1ay=z-z1az=λ⇔x-x1=0y=y1+ay·λz=z1+az·λ⇔x-x1=0y-y1ay=z-z1az=λ

2.  Во втором случае:
   x-x1ax=y-y10=z-z1az=λ⇔x=x1+ax·λy-y1=0z=z1+az·λ⇔y-y1=0x-x1ax=z-z1az=λ

3.  В третьем случае:
   x-x1ax=y-y1ay=z-z10=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λz-z1=0⇔z-z1=0x-x1ax=y-y1ay=λ

Получается, что при таком значении параметров нужные прямые находятся в плоскостях x-x1=0, y-y1=0 или z-z1=0, которые располагаются параллельно координатным плоскостям (если x1=0, y1=0 либо z1=0). Примеры таких прямых показаны на иллюстрации.

Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.

1. В первом случае: x-x10=y-y10=z-z1az=λ⇔x-x1=0y-y1=0z=z1+az·λ, λ∈R
2. Во втором: x-x10=y-y1ay=z-z10=λ⇔x-x1=0y=y1+ay·λ, λ∈Rz-z1=0
3. В третьем: x-x1ax=y-y10=z-z10=λ⇔x=x1+ax·λ, λ∈Ry=y1=0z-z1=0

Во всех трех случаях исходные прямые будут совпадать с координатными осями или окажутся параллельными им: x1=0y1=0, x1=0z1=0, y1=0z1=0. Их направляющие векторы имеют координаты  0, 0, az, 0, ay, 0, ax, 0, 0. Если обозначить направляющие векторы координатных прямых как i→, j→, k→, то направляющие векторы заданных прямых будут коллинеарными по отношению к ним. На рисунке показаны эти случаи:

Покажем на примерах, как применяются эти правила.

Как записать каноническое уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки

Допустим, что у нас есть две несовпадающие точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), через которые проходит прямая. Как в таком случае мы можем сформулировать для нее каноническое уравнение?

Для начала примем вектор M1M2→ (или M2M1→) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:

M1M2→=x2-x1, y2-y1, z2-z1

Далее переходим непосредственно к записи канонического уравнения, ведь все нужные данные у нас уже есть. Исходная прямая будет определяться записями следующего вида:

x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1

Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:

Приведем пример решения задачи.

Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений

Иногда пользоваться каноническими уравнениями вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az не очень удобно. Для решения некоторых задач лучше использовать запись x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ. В некоторых случаях более предпочтительно определить нужную прямую с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0. Поэтому в данном пункте мы разберем, как можно перейти от канонических уравнений к другим видам, если это требуется нам по условиям задачи.

Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔⇔x-x1ax=λy-y1ay=λz-z1az=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

Значение параметра λ может быть любым действительным числом, ведь и x, y, z могут принимать любые действительные значения.

Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).

Равенство x-x1ax=y-y1ay=z-z1az нужно для начала представить в виде системы уравнений:

x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1axy-y1ay=z-z1az

Поскольку pq=rs мы понимаем как p·s=q·r, то можно записать:

x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1azy-y1ay=z-z1az⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)az·(x-x1)=ax·(z-z1)az·(y-y1)=ay·(z-z1)⇔⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

В итоге у нас вышло, что:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

Выше мы отмечали, что все три параметра a не могут одновременно быть нулевыми. Значит, ранг основной матрицы системы будет равен 2, поскольку ay-ax0az0-ax0az-ay=0 и один из определителей второго порядка не равен 0:

ay-axaz0=ax·az, ay0az-ax=ax·ay,  -ax00-ax=ax2ay-ax0az=ay·az, ay00-ay=-ay2, -ax0az-ay=ax·ayaz00az=az2, az-ax0-ay=-ay·az, 0-axaz-ay=ax·az

Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.

4. Аналитическая геометрия в трехмерном пространстве

4.4 Прямая в трехмерном пространстве

 

Фиксировать прямую в трехмерном пространстве можно, задавая точку $M_0$, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой $textbf {a}$. Пусть точке $M_0$ соответствует вектор $ textbf {r}_0$, текущей точке прямой $M$ соответствует вектор $textbf {r}$, тогда вектора $textbf {r}-textbf {r}_0$ и $textbf {a}=(a_1,, a_2, ,a_3)^T$ отличаются только множителем,
begin{equation}
textbf {r}-textbf {r}_0=textbf {a}t. (36)
label{pryam_3}
end{equation}
Это уравнение называется векторным уравнением прямой, см. рис. ref{pryam33}. Когда параметр $t$ пробегает значения от $-infty$ до $infty$, точка $M$ пробегает прямую.

 

Рис 15: Прямая в трехмерном пространстве задается фиксированной точкой $M_0$ и направляющим вектором $textbf {a}$.

 

Записывая это уравнение в координатах, получаем:
[
x-x_0=a_1t, quad y-y_0=a_2t, quad z-z_0=a_3t.
]
Этот набор уравнений называется параметрическим описанием прямой в трехмерном пространстве. Исключая $t$ из этих уравнений, находим:
begin{equation}
frac{x-x_0}{a_1}=frac{y-y_0}{a_2}=frac{z-z_0}{a_3}. (37)
label{pryam31}
end{equation}
Эти уравнения называются координатными уравнениями прямой. Заметим, что по знаменателям в этом соотношении можно восстановить вектор $textbf {a}=(a_1,, a_2, ,a_3)^T$.

Выпишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, $M_0=(x_0,, y_0, ,z_0)$, $M_1=(x_1,, y_1, ,z_1)$. Подставляя вторую точку в уравнение (37) и затем разделив (37) на результат подстановки, получим искомое уравнение:
begin{equation}
frac{x-x_0}{x_1-x_0}=frac{y-y_0}{y_1-y_0}=frac{z-z_0}{z_1-z_0}. (38)
label{pryam32}
end{equation}

Далее, в трехмерном пространстве прямую можно представить как результат пересечения двух плоскостей, т.е. как результат совместного решения уравнений
begin{equation}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, quad A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. (39)
label{pryam34}
end{equation}
Заметим, что уравнения прямой (37), (38) можно трактовать как уравнения вида (39).

 

Пример.

Контрольный вопрос.

Решение типовых задач.

Задачи.

 

Уравнения прямых в пространстве

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. . Это условие означает, что плоскости и пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали и неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.

---

Пример 4.13. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту треугольника.

Решение. Прямая является линией пересечения двух плоскостей: плоскости , треугольника и плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости проходящей через три точки

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой имеет вид

---

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть в координатном пространстве заданы точка и ненулевой вектор (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .

Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.28).

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор заданной точки принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве

где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (4.32),(4.33) имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от заданной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — это время при равномерном и Прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании параметра движение происходит в направлении направляющего вектора.

---

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Выразим параметр из каждого уравнения системы (4.33): , а затем исключим этот параметр:

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. В этом уравнении коэффициенты не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

---

Замечания 4.6.

1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:

а) каноническое уравнение — это уравнение прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);

б) каноническое уравнение — это уравнение прямой, параллельной координатной плоскости (рис.4.29,б).

2. Направляющий вектор прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор , где , также является направляющим вектором для той же прямой.

Переход от общего уравнение к каноническому

3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение системы определяя тем самым координаты точки , принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы

и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты точки , а коэффициентам придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке , т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку .

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

---

Пример 4.14. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис. 4.30). Требуется:

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника;

б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису треугольника.

Решение. а) Общее уравнение прямой получено в примере 4.13: Перейдем от общего уравнения к каноническому.

1) Найдем любое решение системы, например, (это координаты точки ).

2) Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): .

б) Сначала составим каноническое уравнение прямой . Для этого нужно найти направляющий вектор этой прямой. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, , где и — единичные векторы, одинаково направленные с векторами и соответственно. Находим

Составляем каноническое уравнение прямой .

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой

---

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Найдем расстояние от точки до прямой , заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах

и , то есть.

---

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве заданы две точки и . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Как показано в разд., точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор удовлетворяет условию (рис.4.32): , где — некоторое действительное число (параметр). Это уравнение, а также его координатную форму

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки и .

Выражая параметр из каждого уравнения системы (4.36), получаем: . Исключая параметр , приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки и :

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора вектор т.е. подставляя

---

Пример 4.15. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой ;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану треугольника;

в) найти высоту треугольника, опущенную на сторону .

Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки

б) Находим координаты середины стороны . Составляем уравнение (4.37) прямой

в) Искомую высоту находим по формуле (4.35), полагая и

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.