Как составить уравнение прямой в треугольнике с медианой

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

1) По формулам координат середины отрезка

   

   

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

   

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

   

   

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы  BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

   

   

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

   

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

9.1. Прямая на плоскости

Рассмотрим
различные случаи задания прямой L
на плоскости.

1. Если
задан ненулевой направляющий
вектор

и радиус-вектор
некоторой фиксированной точкито в этом случае радиус-векторпроизвольной точкизадается формулой

(9.1)

где

Уравнение (9.1)
называется
векторно-параметрическим уравнением
прямой L.

2. Если
– координаты точкикоторая лежит на прямойL,
(l, m)
– координаты направляющего вектора
то прямая задаетсяпараметрическими
уравнениями:

3. Если
– направляющий вектор, такой, чтои– точка, через которую проходит прямая,
то имеемканоническое
уравнение:

(9.2)

4. Если прямая L
не параллельна оси Ox,
то для всех направляющих векторов
отношение
По заданному угловому коэффициентуk
прямой L
и точке
уравнение прямойL
может быть задано в следующем виде:

– это уравнение
прямой с угловым коэффициентом
k,
проходящей
через точку
М₀.

В случае, если
– точка пересечения прямойL
с осью Oy,
это уравнение может быть записано в
следующем виде:

5. Координаты
направляющего вектора
прямойL
могут быть найдены, если известны две
точки
иэтой прямой:

Уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки:

(9.3)

6. Если известны
точки пересечения прямой L
с координатными осями, т. е. точки M₀(a,
0) и M₁(0,
b),
то справедливо уравнение
«в отрезках»:

7. Положение прямой
на плоскости однозначно определено и
в случае, когда задан ненулевой нормальный
вектор
этой прямой и точкаУсловие перпендикулярности векторовпозволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его
координатной форме:

или

(9.4)

где

Уравнение (9.4)
называется общим
уравнением прямой
L.

8. Если в качестве
нормального вектора берется единичный
вектор
направленный из начала координат в
сторону прямой, т. е.

то справедливо
нормальное
уравнение
прямой L
на плоскости:

где
– расстояние от начала координат до
прямой.

Величина
δ(M₀,
L)
= x₀cos α
+ y₀cos β
– p,
где

называется отклонением точки М₀
от прямой L.
При этом δ
< 0, если точки M₀
и O(0,
0) лежат по одну сторону от прямой L,
δ
> 0 – если по разные. Расстояние d(M₀,
L)
от точки до прямой равно абсолютному
значению отклонения.

От общего уравнения
прямой к нормальному можно перейти с
помощью умножения на нормирующий
множитель:

где

Расстояние от
точки M₀(x₀,
y₀)
до прямой L:
Ax
+ By
+ C
= 0 может быть
найдено по формуле

(9.5)

Угол между прямыми
легко найти с помощью косинуса угла
между их направляющими или нормальными
векторами, а также по формуле

где k₁
и k₂
– угловые коэффициенты прямых.

При этом возможны
частные случаи:

Здесь L₁
и L₂
– прямые на плоскости, для которых
– угловые коэффициенты соответственно
прямыхи

В полярной системе
координат уравнение прямой имеет вид

ρcos(φ
– φ₀)
= p,

где p
– длина перпендикуляра, проведенного
из полюса к прямой, φ₀
– угол между полярной осью и перпендикуляром.

Пример 1.
Даны вершины треугольника ABC:
A(1, 2),
B(–1, –3),
C(2, –1).
Найти:

1) уравнение прямой
BC;

2) уравнение высоты
AH
и ее длину;

3) уравнение медианы
BM;

4) угол между прямыми
BM
и AH;

5) уравнения
биссектрис внутреннего и внешнего углов
при вершине А.

Решение.
1) Для составления уравнения прямой BC
воспользуемся заданными координатами
точек B,
C
и уравнением прямой (9.3), проходящей
через две заданные точки. Так как B(–1,
–3), C(2,
–1), имеем:

Последнее уравнение
приведем к общему уравнению, использовав
основное свойство пропорции:

2(x
+ 1) = 3(y
+ 3) или 2x
– 3y
– 7 = 0.

Таким образом,
окончательно получаем:

ВС:
2x
– 3y
– 7 = 0.

2) Для построения
уравнения высоты АН
воспользуемся условием перпендикулярности
прямых AH
и ВС:
нормальным вектором прямой ВС
является
,
т. е.Этот вектор можно рассматривать как
направляющий вектор прямойАН.
Следовательно, каноническое уравнение
прямой AH
согласно формуле (9.2) имеет вид:

(9.6)

где А(1,
2)АН.

В общем виде получим
АН:
3х
+ 2у
– 7 = 0.

Чтобы найти длину
высотыАВС,
опущенной из вершины А,
воспользуемся формулой расстояния
(9.5):

3) Для составления
уравнения медианы ВМ
найдем координаты точки М,
являющейся серединой отрезка AC:

Получим M(3/2,
1/2). Запишем уравнение прямой BM
по двум известным точкам B(–1,
–3) и
используя формулу (9.3):

Приведя его к
общему уравнению, получим:

ВМ:
7x
– 5y
– 8 = 0.

4) Угол φ
между прямыми BM
и AH
найдем, используя угол между их нормальными
векторами:

Получаем

5) Пусть точка M(x,
y)
лежит на биссектрисе угла BАС.
Тогда по свойству биссектрисы d(M,
AB)
= d(M,
AC).
Запишем уравнения прямых АВ
и
АС. Имеем:

Следовательно,

Аналогично

т. е.

Используем формулу
расстояния (9.5):

Следовательно,

По основному
свойству пропорции и свойству модуля
имеем:

Итак, получили две
биссектрисы (внутреннего и внешнего
углов при вершине А):

Пример 2.
Даны две точки A(–3,
8) и B(2,
2). На оси Ox
найти такую точку M,
сумма расстояний от которой до двух
заданных точек была бы наименьшей.

Решение.
Воспользуемся утверждением, смысл
которого состоит в следующем: наименьший
путь между двумя точками достигается
в случае движения по прямой. Тогда задача
будет заключаться в поиске точки
пересечения прямой AB
(рис. 9.1) с осью Ox,
где B
– точка, симметричная точке В
относительно оси Ox
(или в нахождении точки пересечения
прямой AB
с осью Ox,
где A
– точка, симметричная точке А
относительно оси Ox).

Рис. 9.1

Точки B(2,
–2) и A(–3,
8) определяют прямую AB:

т. е.
или

Значит, для
нахождения координат искомой точки М
осталось решить систему уравнений:

Решаем ее:

Итак, точка М(1,
0) является искомой.

Задания

Соседние файлы в папке Часть 2

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1007 Составить канонические
уравнения прямой, проходящей через точку М₁(2; 0; -3) параллельно: 1007.1 вектору a={2; -3;
5}; 1007.2 прямой ; 1007.3 оси Ох; 1007.4 оси Оу; 1007.5 оси Oz. 1008 Составить
канонические уравнения прямой, проходящей через
данные точки: 1008.1 (1; -2; 1), (3; 1; -1); 1008.2 (3; -1; 0), (1; 0; -3); 1008.3 (0; -2; 3), (3; -2; 1); 1008.4 (1; 2; -4), (-1; 2; -4). 1009 Составить
параметрические уравнения прямой, проходящей
через точку М₁(1; -1; -3) параллельно: 1009.1 вектору a={2; -3;
4}; 1009.2 прямой ; 1009.3 прямой , , . 1010 Составить
параметрические уравнения прямой, проходящей
через данные точки: 1010.1 (3; -1; 2), (2; 1; 1); 1010.2 (1; 1; -2), (3; -1; 0); 1010.3 (0; 0; 1), (0; 1; -2). 1011 Через точки М₁(-6; 6; -5), М₂(12;
-6; 1) проведена прямая. Определить
точки пересечения этой прямой с координатными
плоскостями.
1012 Даны вершины
треугольника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3), С(4; -7; -2). Составить
параметрические уравнения его медианы,
проведенной из вершины С. 1013 Даны вершины
треугольника А(3; -1; -1), В(1; 2; -7), С(-5; 14; -3). Составить
канонические уравнения биссектрисы его
внутреннего угла при вершине С. 1014 Даны вершины
треугольника А(2; -1; -3), В(5; 2; -7), С(-7; 11; 6). Составить
канонические уравнения биссектрисы его внешнего
угла при вершине А. 1015 Дан вершины
треугольника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3), С(5; 1; -7). Составить
параметрические уравнения его высоты,
опущенного из вершины В на противоположную
сторону. 1016 Дана прямая , . Вычислить
проекции какого-нибудь ее направляющего вектора
а на координатные оси. Найти общее выражение
проекций произвольного направляющего вектора
этой прямой на координатные оси. 1017 Дана прямая , . Найти
разложение какого-нибудь ее направляющего
вектора а по базису i, j, k. Выразить в общем виде
разложение произвольного направляющего вектора
этой прямой по базису i, j, k. 1018 Составить
канонические уравнения прямой, проходящей через
точку М₁(2; 3; -5) параллельно
прямой , . 1019 Составить
канонические уравнения следующих прямых: 1019.1 , ; 1019.2 , ; 1019.3 , . 1020 Составить
параметрические уравнения следующих прямых: 1020.1 , ; 1020.2 , . 1021 Доказать
параллельность прямых: 1021.1 и , ; 1021.2 , , и , ; 1021.3 , и ,
. 1022 Доказать
перпендикулярность прямых: 1022.1 и , ; 1022.2 , , и , ; 1022.3 , и ,
. 1023 Найти острый
угол между прямыми , . 1024 Найти тупой
угол между прямыми , , и , , . 1025 Определить
косинус угла между прямыми , и , . 1026 Доказать, что
прямые, заданные параметрическими уравнениями , , и , , , пересекаются. 1027 Даны прямые , ; при
каком значении l они пересекаются? 1028  

Доказать,
что условие, при котором две прямые и лежат в одной плоскости, может быть
представлено в следующем виде:

.

1029 Составить
уравнения прямой, которая проходит через точку М₁(-1;
2; -3) перпендикулярно к вектору a={6;
-2; -3} и пересекает прямую . 1030 Составить
уравнения прямой, которая проходит через точку
М(-4; -5; 3) и пересекает две прямые , .
1031 Составить
параметрические уравнения общего
перпендикуляра двух прямых, заданных
уравнениями , , и, ,. 1032 Даны
уравнения движения точки М(x; y; z): , , . Определить скорость v. 1033 Даны
уравнения движения точки М(x; y; z): , , . Определить расстояние d, которое
пройдет эта точка за промежуток времени от t₁=0
до t₂=7. 1034 Составить
уравнения движения точки М(x; y; z), которая, имея
начальное положение М₀(3; -1; -5), движется прямолинейно и равномерно
в направлении вектора s={-2; 6; 3} со скоростью v=21. 1035 Составить
уравнения движения точки М(x; y; z), которая,
двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла
расстояние от точки М₁(-7; 12; 5) до точки М₂(9; -4; -3) за промежуток времени от t₁=0
до t₂=4. 1036 Точка М(x; y; z)
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М₀(20; -18; -32)
в направлении, противоположном
вектору s={3; -4; -12}, со скоростью v=26. Составить
уравнения движения точки М и определить точку, с
которой она совпадает в момент времени t=3. 1037 Точки М(x; y; z)
и N(x, y, z) движутся прямолинейно и равномерно:
первая из начального положения М₀(-5;
4; -5) со скоростью v_M=14 в направлении вектора s={3; -6; 2}, вторая
из начального положения N₀(-5; 16; -6) со скоростью v_N=13 в направлении, противоположном
вектору r={-4; 12; -3}. Составить уравнения движения
каждой из точек и, убедившись, что их траектории
пересекаются, найти: 1037.1 точку Р
пересечения их траекторий; 1037.2 время,
затраченное на движение точки М от М₀
до Р; 1037.3 время,
затраченное на движение точки N от N₀
до Р; 1037.4 длины
отрезков M₀P и N₀P.