Как составить уравнение равновесия для момента сил

Содержание

Физика ( Справочник )

Проекция силы на ось – характеризует действие этой силы вдоль этой оси.

То есть Проекция силы на ось Ох ($ P_x = sum X_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Ох.

А проекция силы на ось Оу ($ P_y = sum Y_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Оу.

И если сумма проекций всех сил на ось Ох равна нулю ($ sum X_i = 0 $ )– значит действие этих сил вдоль этой оси Ох нет ,
силы вдоль этой оси друг друга уравновешивают.

И если сумма проекций всех сил на ось Оу равна нулю ($ sum Y_i = 0 $ )- значит действие этих сил вдоль этой оси Оу нет , силы друг друга вдоль этой оси Оу уравновешивают.

Вращательное действие силы относительно точки О характеризует момент этой силы относительно этой точки О ($ M_0(P)=0 $) .

И если сумма моментов всех сил относительно точки О равно нулю ($ sum M_O =0 $), то вращательного действия всех этих сил на тело относительно точки О нет, они его не производят, или их вращательные действия их взаимно уравновешены.

Теперь – если проекции всех сил на оси Ох и Оу равны нулю , и сумма моментов всех сил относительно любой – какой угодно – точки равны нулю, то тело находится в равновесии.

$$ sum X=0 \ sum Y=0 \ sum M_A=0 $$

Это и есть условия равновесия тела под действием произвольной плоской системы тел:

Система сил, действующих на тело, называется сходящейся, если линии действия этих сил пересекается в одной точке.

Для того, чтобы система сходящихся сил была уравновешенной, то есть под действием ее тело будет находится в равновесии –
условие равновесия системы сходящихся сил,
может быть записано :
$$ sum X_i = 0
\ sum Y_i = 0
$$

Или другими словами – для плоской системы сходящихся сил, лежащих в плоскости Oxy,
соответствующие уравнения равновесия примут вид:

$$ sum X_i = 0
\ sum Y_i = 0
$$

Определение. Проекцией силы $vec{Р}$ на ось Ox называется взятая с знаком $pm$
длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца
вектора силы.

Эту проекцию обычно обозначают как Р_x или X. В соответствии с
определением она равна:

$$ P_x = X = |vec{Р}| cdot cos (vec{Р}, vec{i}) = P cdot cos alpha $$

$$ P_y = Y = |vec{Р}| cdot cos (vec{Р}, vec{j}) = P cdot sin alpha $$

, где $vec{i}$ – единичный вектор оси /Ox/, а $alpha$ – угол между ним и силой $vec{Р}$ (Рис.1).

Таким образом:

$$ P_x > 0text{, если }0 leq alpha < frac{pi}{2} $$
$$ P_x = 0text{, если } alpha = frac{pi}{2} $$
$$ P_x < 0text{, если } frac{pi}{2} < alpha leq pi $$

Проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярно оси.

Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.

Вектор $ vec{Р} $ может быть выражен:

$$vec{Р} = P_x cdot vec{i} + P_y cdot vec{j} = X cdot vec{i} + Y cdot vec{j}$$

А равнодействующая плоской системы двух
сходящихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на
этих силах, как на сторонах.

Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по
формулам:

$$ P = sqrt{X^2 + Y^2}
\ cos (vec{Р}, vec{i}) = frac{X}{P}
\ cos (vec{Р}, vec{j}) = frac{Y}{P}
$$

Приложим в точке А силу P и выясним – чем определяется момент силы относительно точки О, который характеризует
вращательное действие этой силы относительно точки О(Рис.1).

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее
величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет
определяться ее моментом относительно центра О.

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской
системы сил.

Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется
взятое со знаком $pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину
перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила
стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если
она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен
удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с
вершиной в моментной точке: $M_0(P) = Pcdot d = 2SDelta_{OAB}$ .

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия
действия силы проходит через моментную точку.

Уравнения равновесия плоской системы сил,
которые можно записать в трех различных формах:

1. Первая форма:
   $$ sum X=0 \ sum Y=0 \ sum M_A=0 $$

2. Вторая форма:
   $$ sum M_A=0 \ sum M_B=0 \ sum Y=0 $$ , где ось Oy не перпендикулярна отрезку АВ

3. Третья форма:
   $$ sum M_A=0 \ sum M_B=0 \ sum M_C=0 $$ , где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, любая из этих трех форм эквивалентна условию равновесия плоской системы сил и наоборот.

Центр тяжести – точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Если тело имеет ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит там.

Центр тяжести квадрата и прямоугольника – точка пересечения его диагоналей.

Центр тяжести круга – в его центре.

Центр тяжести треугольника – в точке пересечения медиан.

Центр тяжести

☆ Закон рычага ☆

Момент силы

✘☆ Вращающий момент ☆✘

Золотое правило механики

Балка на двух опорах

47

две силы R′ и R1 уравновешиваются, так как R′ = – R1 , и рассматриваемая система сил приводится только к одной силе R, равной главному вектору R′ и приложенной в точке А. Эта сила является равнодействующей заданной системе сил (рис. 6. 3, в).

Таким образом, если силы, произвольно расположенные на плоскости, не уравновешиваются, то их можно привести или к одной силе или к паре сил.

Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:

где Rх′ = ∑ Хi , R у′ = ∑ Уi . Но R′ может равняться нулю только тогда, когда одновременно Rх′ = 0 и Rу′= 0. Следовательно, условия (6. 1) будут выполнены, если:

достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей в плоскости их действия и сумма моментов всех сил относительно любой точки на плоскости равнялись нулю. Так как оси прямоугольных координат выбираются произвольно и точка О – любая точка плоскости, то для полученной системы уравнений равновесия (6. 1) ограничения отсутствуют. Поэтому такая система уравнений равновесия является основной.

2. Вторая форма уравнений равновесия.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно любых двух точек А, В на плоскости и сумма их проекций на ось ОХ, не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

3. Третья форма уравнений равновесия.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех точек А, В, С на плоскости, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

Рис. 6.4

49

Докажем справедливость уравнений равновесия (6. 2), (6. 3), (6. 4). Рассмотрим систему уравнений (6. 3).

Если имеет место уравнение ∑ МА (Рi) = 0, то главный момент системы сил, когда за центр приведения выбрана точка А, равен нулю и система сил или находится в равновесии или приводится к равнодействующей R′, линия действия которой должна проходить через точку А.

Из уравнения ∑ МА (Рi) = 0 следует, что главный момент системы сил равен нулю, а если равнодействующая R′ отлична от нуля, то ее линия действия должна проходить через центр приведения – точку В.

При выполнении двух первых уравнений системы следует, что система сил или находится в равновесии, или приводится к равнодействующей, причем ее линия действия должна проходить по прямой АВ.

Из третьего уравнения системы ∑Хi = 0 следует, что проекция равнодействующей Rх′ = 0, и если ось Х не перпендикулярна АВ, то это возможно лишь только в том случае, когда равнодействующая R′ = 0.

Таким образом, система уравнений является системой уравнений равновесия.

Рассмотрим систему уравнений (6. 4).

При выполнении двух первых уравнений системы (как было показано) следует, что система сил или находится в равновесии или приводится к равнодействующей R′, линия действия которой совпадает с прямой АВ. Из третьего уравнения системы ∑МС(Рi) = 0 следует, что момент равнодействующей R′ относительно точки С должен равняться нулю. Это возможно лишь в том случае, когда равнодействующая R′ = 0 (мы предположили, что точка С не должна лежать на прямой АВ).

Таким образом, полученные выражения являются системой уравнений равновесия для сил, произвольно расположенных на плоскости (при принятом ограничении выбора моментных точек).

6. 5. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил

Систему n параллельных сил (Р1, Р2, … Рn), лежащих в одной плоскости, можно рассматривать как частный случай плоской произвольной системы сил. Выбрав одну из осей прямоугольных координат (например, ось у) параллельной линии действия сил рассматриваемой системы, из уравнений равновесия (6. 2) получаем только два уравнения равновесия:

причем прямая АВ не должна быть параллельна линии действия сил.

50

6.6. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей плоской системы сил

Докажем, что если плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно любой точки, лежащей в плоскости действия данных сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Определим момент равнодействующей силы R′, приложенной в точке А, относительно произвольно выбранного центра приведения О (рис. 6. 3, в).

М0

Из этой теоремы следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

6. 7. Статически определимые и статически неопределимые задачи

Различают задачи статически определимые, которые можно решать методами статики твердого тела, и задачи статически неопределимые, которые могут быть решены, если принять во внимание упругие свойства тела и возникающие в нем деформации. Но так как решение последних задач выходит за пределы статики абсолютно твердого тела, то эти задачи рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики.

Статически определимыми будем называть задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия статики для данной системы сил.

При равновесии плоской системы произвольно расположенных сил, приложенных к твердому телу, можно составить три уравнения равновесия, а для уравновешенной системы параллельных сил только два уравнения равновесия. В первом случае задача будет статически определимой, если число неизвестных не превышает трех, во втором случае число неизвестных задачи не должно быть больше двух.

В противном случае задача становится статически неопределимой, так как число уравнений равновесия статики окажется меньше числа неизвестных.

Балка (рис. 6. 5, а) имеет связь в виде жесткой заделки. Реакции заделки представляют собой силы, которые приводятся к силе RА (препятствующей перемещению балки) и реактивной паре сил с моментом МА (препятствующей вращению балки вокруг закрепленного конца). Так как неизвестна RА, то ее заменяем составляющими ХА и УА. Таким образом, неизвестными,

51

подлежащими определению, являются ХА , УА и МА. Для определения неизвестных имеем 3 уравнения равновесия статики. Число неизвестных равно числу уравнений равновесия, следовательно, задача является статически определимой.

Ферма (рис. 6.5, б) имеет шарнирно неподвижную связь А. Линия действия RА неизвестна. Поэтому при решении задачи ее заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими ХА и УА. Связь В выполнена шарнирно подвижной. Линия действия реакции RВ известна, она пройдет перпендикулярно плоскости катания.

Таким образом, число неизвестных, подлежащих определению, равно трем (ХА, УА и RВ), что соответствует числу уравнений равновесия статики. Следовательно, задача является статически определимой.

Балка, показанная на рис. 6. 5, в, также является статически определимой на основании рассуждений, приведенных для фермы (рис. 6. 5, б).

Балка (рис. 6. 5, г) имеет шарнирно неподвижные опорные связи А и В. Так как линия действия реакций RА и RВ заранее неизвестны, то их заменяем

составляющими ХА , УА и ХВ, УВ. Число уравнений равновесия статики равно трем. Так как число неизвестных превышает число уравнений равновесия, задача является статически неопределимой.

Балка (рис. 6. 5, д) имеет три шарнирно неподвижные связи. На балку действует система параллельных сил. Поэтому горизонтальные составляющие опорных реакций ХА , ХВ и ХС будут заведомо равны нулю. Неизвестными

будут только вертикальные составляющие УА = RА, УВ = RВ, УС = RС . Таким образом, число неизвестных, подлежащих определению, равно трем. Для системы параллельных сил имеем два уравнения равновесия статики. Число неизвестных превышает число уравнений равновесия, следовательно, задача является статически неопределимой.

Балка (рис. 6. 5, е) имеет шарнирно неподвижную связь А. Так как линия действия реакции RА неизвестна, то ее заменяем двумя составляющими ХА и УА. В точке В и С балка закреплена двумя стержнями. Стержень шарнирно закреплен с балкой и основанием. Линия действия реакции таких связей проходит по линии, соединяющей шарниры. Таким образом, число неизвестных, подлежащих определению, равно четырем (ХА , УА и Т1, Т2). Число уравнений равновесия для определения неизвестных равно трем. Число неизвестных превышает число уравнений равновесия статики, следовательно, задача является статически неопределимой.

Рис.6.5