Как составить уравнение регрессии в excel

• 

LINEST(known_y's, known_x's)

=LINEST( A2:A15 , B2:B15 )

=LINEST( A2:A15 , B2:C15 )

Видео занятия

Строим корреляционную матрицу. Для этого используем надстройку «Анализ данных»

Выбираем в диалоговом окне «Анализа данных» – корреляция.

Далее заполняем диалоговое окно:

Получим корреляционную матрицу:

Наблюдается тесная связь между переменной Y и Х1, Y и X2, так как попарные коэффициенты корреляции составляют 0,8602 и 0,7479 соответственно. Это выше 0,7 – связь достаточно тесная.

Межу объясняющими переменными Х1 и Х2 коэффициент составляет 0,6311. Он ниже других, но имеет значение больше 0,6. Значит между объясняющими переменными, может быть корреляционная связь (явление мультиколлинеарности). Для обнаружения мультиколлинеарности есть ряд критериев, например VIF-критерий.

Парные коэффициенты корреляции можно ещё найти с помощью статистической функции КОРРЕЛ.

Заполняем диалоговое окно статистической функции КОРРЕЛ.

Получаем тоже значение, что и корреляционной матрице для Y и X1: 0,860227

Аналогично по отдельности можем найти и другие парные коэффициенты корреляции.

Строим множественную регрессию. Для этого в надстройке «Анализ данных» выбираем регрессия. Заполняем диалоговое окно.

Выбираем уровень надёжности 98%. Для коэффициентов регрессии будет найден доверительный интервал с уровнем с доверительной вероятностью 98%. Так же выбираем остатки, график остатков. Эти данные необходимы нам для дальнейшего анализа во второй части.

Получим.

Проведём анализ полученных данных.

Здесь выводятся: множественный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации (R-квадрат), скорректированный коэффициент детерминации (нормированный R-квадрат), стандартная ошибка регрессии (S).

R-квадрат = RSS/TSS

Стандартная ошибка = (ESS/(n-m-1))^0.5

ESS (error sum of squares) – остаточная сумма квадратов.

Построенное уравнение регрессии объясняет изменение результативного показателя Y на 80,99%. Остальные 10,01% приходятся на случайные факторы и факторы не включённые в модель.

Здесь даны столбцы: со степенями свободы (df); суммой квадратов (SS), суммой квадратов, делённых на степень свободы (MS=SS/df). Так же дано значение F-критерия Фишера и вероятность принятия нулевой гипотезы о равенстве коэффициента детерминации нулю (Значимость F).

TSS (total sum of squares) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней или вся дисперсия зависимой переменной;

RSS (regression sum of squares) – сумма квадратов, обусловленная регрессией или объясненная часть всей дисперсии;

ESS (error sum of squares) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов или необъясненная дисперсия.

F= (ESS/m)/(RSS/(n-m-1)), n=32 m=2

Значимость F= 3,51562998617576E-11 <<<<0.01. Не можем принять нулевую гипотезу, принимаем альтернативную. Коэффициент детерминации отличен от нуля. Уравнение значимо в целом.

Так же можно сравнить наблюдаемое значение F-критерия с критическим. Берём уровень значимости 0,01, число степеней свободы 2 и 29. И с помощью статистической функции F.ОБР.ПХ находим критическое значение распределения Фишера

F.ОБР.ПХ(0,01;2;29) = 5,420445

Наблюдаемое значение оказалось выше критического (61,766> 5,420445), отвергаем нулевую гипотезу – уравнение значимо в целом.

В данной таблице выводятся столбцы: коэффициентов регрессии; стандартных ошибок коэффициентов регрессии; t-статистик; вероятности принятия нулевой гипотезы для коэффициентов (Р-значение); доверительные интервалы для коэффициентов регрессии (95% интервал считается по умолчанию, 98% – мы задали сами в диалоговом окне регрессия).

Запишем полученное уравнение множественной регрессии.

Если P-значение < 0.05, то коэффициент регрессии можем принять значимым при 5% уровне.

Т. е. отвергаем нулевую гипотезу при 5% уровне значимости. Т. е. все коэффициенты полученного уравнения статистически значимы при 5% уровне, т. к. для них всех р-значение меньше 0,05.

Так же можем определить значимость коэффициентов, сравнивая наблюдаемые значения t-статистик с критическими. Находим критическое значения с помощью статистической функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х.

СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;29)= 2,04523

Наблюдаемые значения t-статистик из таблицы, выше критического значения при 5% уровне значимости, отвергаем нулевую гипотезу. Коэффициенты регрессии являются статистически значимыми.

Так же можем получить расчёт для множественной регрессии, используя статистическую функцию Excel – ЛИНЕЙН.

Для неё берётся число столбцов, равное количеству объясняющих переменных плюс один (в нашем случае три), а количество строк всегда пять.

Выделяем диапазон: E37:G41. Ставим знак равно и находим функцию ЛИНЕЙН в статистических функциях.

Заполняем диалоговое окно:

Нажимаем клавиши

Получаем результат:

t-статистики определим делением коэффициента регрессии на стандартную ошибку.

Получим следующую таблицу.

Кроме t-статистики в этой таблице считает функция ЛИНЕЙН. t-статистики мы подсчитали сами дополнительно.

Принципиальное отличие функции ЛИНЕЙН от регрессии в пакете «Анализ данных» заключается в том, что при изменении самих данных, все значения в таблице ЛИНЕЙН пересчитываются автоматически сразу. А при работе с пакетом «анализа данных» надо запускать процесс ещё раз, т. е. вызывать диалоговое окно, заполнять его и нажимать «ок».

В следующей части мы рассмотрим тестирование полученной модели на наличие автокорреляции остатков и на наличие гетероскедастичности.

Материал подготовлен сайтом: https://pro-smysl.ru/

Онлайн помощь в решении задач, консультации, создание обучающих роликов.

Подписывайтесь на наши каналы:

https://vk.com/sm_smysl

https://www.youtube.com/@SMYS_L

Регрессионный анализ в Microsoft Excel

​Смотрите также​ При значении коэффициента​ 75,5%. Это означает,​х​ нескольких независимых переменных.​ D, F.​ получено, что t=169,20903,​ = 11,714* номер​1755 рублей за тонну​+ ε строим систему​ Иными словами можно​ кнопка.​20​ того или иного​ или в отдельной​

​ В нём обязательными​степенная;​

Подключение пакета анализа

​Регрессионный анализ является одним​ 0 линейной зависимости​ что расчетные параметры​к​Ниже на конкретных практических​Отмечают пункт «Новый рабочий​ а p=2,89Е-12, т.​ месяца + 1727,54.​4​

1. ​ нормальных уравнений (см.​​ утверждать, что на​​Теперь, когда под рукой​

   

2. ​50000 рублей​​ параметра от одной​​ книге, то есть​

   

3. ​ для заполнения полями​логарифмическая;​​ из самых востребованных​​ между выборками не​

   

4. ​ модели на 75,5%​.​ примерах рассмотрим эти​​ лист» и нажимают​​ е. имеем нулевую​​или в алгебраических обозначениях​​3​ ниже)​ значение анализируемого параметра​​ есть все необходимые​​7​

   

5. ​ либо нескольких независимых​ в новом файле.​ являются​​экспоненциальная;​​ методов статистического исследования.​ существует.​

​ объясняют зависимость между​Где а – коэффициенты​​ два очень популярные​​ «Ok».​ вероятность того, что​​y = 11,714 x​​март​Чтобы понять принцип метода,​​ оказывают влияние и​​ виртуальные инструменты для​

Виды регрессионного анализа

​5​

• ​ переменных. В докомпьютерную​
• ​После того, как все​
• ​«Входной интервал Y»​
• ​показательная;​
• ​ С его помощью​
• ​Рассмотрим, как с помощью​
• ​ изучаемыми параметрами. Чем​

​ регрессии, х –​ в среде экономистов​Получают анализ регрессии для​ будет отвергнута верная​

Линейная регрессия в программе Excel

​ + 1727,54​1767 рублей за тонну​ рассмотрим двухфакторный случай.​ другие факторы, не​ осуществления эконометрических расчетов,​15​ эру его применение​ настройки установлены, жмем​и​гиперболическая;​ можно установить степень​ средств Excel найти​ выше коэффициент детерминации,​ влияющие переменные, к​

​ анализа. А также​ данной задачи.​ гипотеза о незначимости​​Чтобы решить, адекватно ли​5​​ Тогда имеем ситуацию,​​ описанные в конкретной​​ можем приступить к​55000 рублей​ было достаточно затруднительно,​ на кнопку​«Входной интервал X»​линейная регрессия.​​ влияния независимых величин​​ коэффициент корреляции.​ тем качественнее модель.​ – число факторов.​​ приведем пример получения​​«Собираем» из округленных данных,​ свободного члена. Для​ полученное уравнения линейной​4​ описываемую формулой​​ модели.​​ решению нашей задачи.​8​

1. ​ особенно если речь​​«OK»​​. Все остальные настройки​О выполнении последнего вида​​ на зависимую переменную.​​Для нахождения парных коэффициентов​​ Хорошо – выше​​В нашем примере в​

   

2. ​ результатов при их​ представленных выше на​​ коэффициента при неизвестной​​ регрессии, используются коэффициенты​​апрель​​Отсюда получаем:​

   

3. ​Следующий коэффициент -0,16285, расположенный​ Для этого:​6​ шла о больших​​.​​ можно оставить по​​ регрессионного анализа в​​ В функционале Microsoft​ применяется функция КОРРЕЛ.​ 0,8. Плохо –​

   ​ качестве У выступает​​ объединении.​​ листе табличного процессора​ t=5,79405, а p=0,001158.​ множественной корреляции (КМК)​1760 рублей за тонну​где σ — это​ в ячейке B18,​щелкаем по кнопке «Анализ​15​ объемах данных. Сегодня,​Результаты регрессионного анализа выводятся​ умолчанию.​ Экселе мы подробнее​ Excel имеются инструменты,​Задача: Определить, есть ли​

   ​ меньше 0,5 (такой​​ показатель уволившихся работников.​​Показывает влияние одних значений​ Excel, уравнение регрессии:​ Иными словами вероятность​ и детерминации, а​6​ дисперсия соответствующего признака,​ показывает весомость влияния​ данных»;​60000 рублей​ узнав как построить​ в виде таблицы​В поле​ поговорим далее.​ предназначенные для проведения​ взаимосвязь между временем​ анализ вряд ли​

   

   ​ Влияющий фактор –​ (самостоятельных, независимых) на​СП = 0,103*СОФ +​ того, что будет​ также критерий Фишера​5​ отраженного в индексе.​ переменной Х на​в открывшемся окне нажимаем​Для задачи определения зависимости​ регрессию в Excel,​ в том месте,​«Входной интервал Y»​Внизу, в качестве примера,​ подобного вида анализа.​ работы токарного станка​ можно считать резонным).​ заработная плата (х).​ зависимую переменную. К​ 0,541*VO – 0,031*VK​ отвергнута верная гипотеза​ и критерий Стьюдента.​май​МНК применим к уравнению​ Y. Это значит,​

   

   ​ на кнопку «Регрессия»;​ количества уволившихся работников​ можно решать сложные​​ которое указано в​​указываем адрес диапазона​

Разбор результатов анализа

​ представлена таблица, в​ Давайте разберем, что​ и стоимостью его​ В нашем примере​В Excel существуют встроенные​

​ примеру, как зависит​ +0,405*VD +0,691*VZP –​​ о незначимости коэффициента​​ В таблице «Эксель»​1770 рублей за тонну​ МР в стандартизируемом​ что среднемесячная зарплата​в появившуюся вкладку вводим​ от средней зарплаты​ статистические задачи буквально​ настройках.​

​ ячеек, где расположены​ которой указана среднесуточная​ они собой представляют​​ обслуживания.​​ – «неплохо».​​ функции, с помощью​​ количество экономически активного​ 265,844.​ при неизвестной, равна​ с результатами регрессии​7​ масштабе. В таком​ сотрудников в пределах​ диапазон значений для​ на 6 предприятиях​

​ за пару минут.​​Одним из основных показателей​​ переменные данные, влияние​​ температура воздуха на​​ и как ими​Ставим курсор в любую​Коэффициент 64,1428 показывает, каким​ которых можно рассчитать​ населения от числа​В более привычном математическом​ 0,12%.​ они выступают под​6​

​ случае получаем уравнение:​ рассматриваемой модели влияет​ Y (количество уволившихся​ модель регрессии имеет​ Ниже представлены конкретные​ является​ факторов на которые​ улице, и количество​ пользоваться.​

​ ячейку и нажимаем​

lumpics.ru

Регрессия в Excel: уравнение, примеры. Линейная регрессия

​ будет Y, если​ параметры модели линейной​ предприятий, величины заработной​ виде его можно​Таким образом, можно утверждать,​ названиями множественный R,​июнь​в котором t​ на число уволившихся​ работников) и для​ вид уравнения Y​ примеры из области​R-квадрат​ мы пытаемся установить.​ покупателей магазина за​Скачать последнюю версию​ кнопку fx.​ все переменные в​ регрессии. Но быстрее​ платы и др.​

Виды регрессии

​ записать, как:​ что полученное уравнение​ R-квадрат, F-статистика и​1790 рублей за тонну​y​

• ​ с весом -0,16285,​
• ​ X (их зарплаты);​
• ​ = а​
• ​ экономики.​
• ​. В нем указывается​
• ​ В нашем случае​
• ​ соответствующий рабочий день.​

Пример 1

​ Excel​В категории «Статистические» выбираем​ рассматриваемой модели будут​ это сделает надстройка​ параметров. Или: как​

​y = 0,103*x1 +​ линейной регрессии адекватно.​ t-статистика соответственно.​8​, t​ т. е. степень​подтверждаем свои действия нажатием​

	​0​	​Само это понятие было​	​ качество модели. В​
​ это будут ячейки​	​ Давайте выясним при​	​Но, для того, чтобы​	​ функцию КОРРЕЛ.​
​ равны 0. То​	​ «Пакет анализа».​	​ влияют иностранные инвестиции,​
​ 0,541*x2 – 0,031*x3​	​Множественная регрессия в Excel​	​КМК R дает возможность​	​7​
​x​	​ ее влияния совсем​	​ кнопки «Ok».​	​+ а​
​ введено в математику​	​ нашем случае данный​	​ столбца «Количество покупателей».​	​ помощи регрессионного анализа,​
​ использовать функцию, позволяющую​	​Аргумент «Массив 1» -​	​ есть на значение​	​Активируем мощный аналитический инструмент:​
​ цены на энергоресурсы​	​ +0,405*x4 +0,691*x5 –​	​ выполняется с использованием​	​ оценить тесноту вероятностной​
​июль​	​1, …​	​ небольшая. Знак «-»​	​В результате программа автоматически​

​1​ Фрэнсисом Гальтоном в​ коэффициент равен 0,705​ Адрес можно вписать​ как именно погодные​ провести регрессионный анализ,​ первый диапазон значений​_{​ анализируемого параметра влияют​}​Нажимаем кнопку «Офис» и​_{​ и др. на​}​ 265,844​_{​ все того же​}​ связи между независимой​_{​1810 рублей за тонну​}​t​_{​ указывает на то,​}​ заполнит новый лист​_​x​​ 1886 году. Регрессия​ или около 70,5%.​_{​ вручную с клавиатуры,​}​ условия в виде​ прежде всего, нужно​ – время работы​

​ и другие факторы,​ переходим на вкладку​ уровень ВВП.​Данные для АО «MMM»​ инструмента «Анализ данных».​ и зависимой переменными.​

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

​9​xm​ что коэффициент имеет​ табличного процессора данными​1​ бывает:​ Это приемлемый уровень​ а можно, просто​ температуры воздуха могут​

• ​ активировать Пакет анализа.​ станка: А2:А14.​
• ​ не описанные в​ «Параметры Excel». «Надстройки».​
• ​Результат анализа позволяет выделять​ представлены в таблице:​ Рассмотрим конкретную прикладную​
• ​ Ее высокое значение​8​— стандартизируемые переменные,​ отрицательное значение. Это​

​ анализа регрессии. Обратите​+…+а​линейной;​ качества. Зависимость менее​ выделить требуемый столбец.​ повлиять на посещаемость​

Линейная регрессия в Excel

​ Только тогда необходимые​Аргумент «Массив 2» -​ модели.​Внизу, под выпадающим списком,​ приоритеты. И основываясь​СОФ, USD​ задачу.​

• ​ свидетельствует о достаточно​август​
• ​ для которых средние​ очевидно, так как​
• ​ внимание! В Excel​k​параболической;​ 0,5 является плохой.​ Последний вариант намного​
• ​ торгового заведения.​ для этой процедуры​

​ второй диапазон значений​Коэффициент -0,16285 показывает весомость​ в поле «Управление»​ на главных факторах,​VO, USD​Руководство компания «NNN» должно​ сильной связи между​1840 рублей за тонну​ значения равны 0;​ всем известно, что​ есть возможность самостоятельно​x​степенной;​Ещё один важный показатель​ проще и удобнее.​Общее уравнение регрессии линейного​ инструменты появятся на​

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

​ – стоимость ремонта:​ переменной Х на​ будет надпись «Надстройки​ прогнозировать, планировать развитие​

​VK, USD​ принять решение о​ переменными «Номер месяца»​Для решения этой задачи​ β​ чем больше зарплата​ задать место, которое​k​экспоненциальной;​ расположен в ячейке​В поле​ вида выглядит следующим​ ленте Эксель.​ В2:В14. Жмем ОК.​ Y. То есть​ Excel» (если ее​ приоритетных направлений, принимать​VD, USD​ целесообразности покупки 20​ и «Цена товара​

Анализ коэффициентов

​ в табличном процессоре​i​ на предприятии, тем​ вы предпочитаете для​, где х​гиперболической;​ на пересечении строки​«Входной интервал X»​ образом:​Перемещаемся во вкладку​Чтобы определить тип связи,​ среднемесячная заработная плата​

​ нет, нажмите на​ управленческие решения.​VZP, USD​ % пакета акций​ N в рублях​ «Эксель» требуется задействовать​— стандартизированные коэффициенты​ меньше людей выражают​ этой цели. Например,​i​показательной;​«Y-пересечение»​вводим адрес диапазона​У = а0 +​«Файл»​ нужно посмотреть абсолютное​ в пределах данной​ флажок справа и​Регрессия бывает:​СП, USD​ АО «MMM». Стоимость​ за 1 тонну».​ уже известный по​

Множественная регрессия

​ регрессии, а среднеквадратическое​ желание расторгнуть трудовой​ это может быть​— влияющие переменные,​

​логарифмической.​_{​и столбца​}​ ячеек, где находятся​_{​ а1х1 +…+акхк​}​.​_{​ число коэффициента (для​}​ модели влияет на​ выберите). И кнопка​линейной (у = а​102,5​_{​ пакета (СП) составляет​}​ Однако, характер этой​_{​ представленному выше примеру​}​ отклонение — 1.​_{​ договор или увольняется.​}​ тот же лист,​ a​

Оценка параметров

​Рассмотрим задачу определения зависимости​«Коэффициенты»​ данные того фактора,​. В этой формуле​Переходим в раздел​ каждой сферы деятельности​ количество уволившихся с​_{​ «Перейти». Жмем.​}​ + bx);​_​535,5​​ 70 млн американских​_{​ связи остается неизвестным.​}​ инструмент «Анализ данных».​_{​Обратите внимание, что все​}​Под таким термином понимается​ где находятся значения​i​

​ количества уволившихся членов​. Тут указывается какое​ влияние которого на​Y​

​«Параметры»​

​ есть своя шкала).​ весом -0,16285 (это​Открывается список доступных надстроек.​

​параболической (y = a​45,2​ долларов. Специалистами «NNN»​Квадрат коэффициента детерминации R2(RI)​

​ Далее выбирают раздел​_{​ β​}​ уравнение связи с​_{​ Y и X,​​— коэффициенты регрессии,​}​ коллектива от средней​_{​ значение будет у​}​ переменную мы хотим​означает переменную, влияние​.​Для корреляционного анализа нескольких​_{​ небольшая степень влияния).​}​ Выбираем «Пакет анализа»​ + bx +​41,5​

​ собраны данные об​ представляет собой числовую​_{​ «Регрессия» и задают​}​i​ несколькими независимыми переменными​ или даже новая​ a k —​ зарплаты на 6​ Y, а в​ установить. Как говорилось​ факторов на которую​Открывается окно параметров Excel.​ параметров (более 2)​ Знак «-» указывает​

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

​ и нажимаем ОК.​ cx2);​21,55​ аналогичных сделках. Было​ характеристику доли общего​ параметры. Нужно помнить,​в данном случае​ вида:​

	​ книга, специально предназначенная​	​ число факторов.​	​ промышленных предприятиях.​
​ нашем случае, это​	​ выше, нам нужно​	​ мы пытаемся изучить.​	​ Переходим в подраздел​
​ удобнее применять «Анализ​	​ на отрицательное влияние:​	​После активации надстройка будет​	​экспоненциальной (y = a​
​64,72​	​ принято решение оценивать​	​ разброса и показывает,​	​ что в поле​
​ заданы, как нормируемые​	​y=f(x​	​ для хранения подобных​	​Для данной задачи Y​
​Задача. На шести предприятиях​	​ количество покупателей, при​	​ установить влияние температуры​	​ В нашем случае,​
​«Надстройки»​	​ данных» (надстройка «Пакет​	​ чем больше зарплата,​	​ доступна на вкладке​
​ * exp(bx));​	​Подставив их в уравнение​	​ стоимость пакета акций​	​ разброс какой части​
​ «Входной интервал Y»​	​ и централизируемые, поэтому​	​1​	​ данных.​
​ — это показатель​	​ проанализировали среднемесячную заработную​	​ всех остальных факторах​	​ на количество покупателей​

​ это количество покупателей.​.​ анализа»). В списке​ тем меньше уволившихся.​ «Данные».​степенной (y = a*x^b);​ регрессии, получают цифру​ по таким параметрам,​ экспериментальных данных, т.е.​ должен вводиться диапазон​ их сравнение между​+x​В Excel данные полученные​ уволившихся сотрудников, а​ плату и количество​ равных нулю. В​ магазина, а поэтому​ Значение​В самой нижней части​ нужно выбрать корреляцию​ Что справедливо.​Теперь займемся непосредственно регрессионным​гиперболической (y = b/x​ в 64,72 млн​ выраженным в миллионах​

​ значений зависимой переменной​ значений для зависимой​ собой считается корректным​2​ в ходе обработки​ влияющий фактор —​ сотрудников, которые уволились​ этой таблице данное​ вводим адрес ячеек​x​ открывшегося окна переставляем​ и обозначить массив.​​ анализом.​ + a);​

​ американских долларов. Это​ американских долларов, как:​ соответствует уравнению линейной​

​ переменной (в данном​

​ и допустимым. Кроме​+…x​

Анализ результатов

​ данных рассматриваемого примера​ зарплата, которую обозначаем​ по собственному желанию.​ значение равно 58,04.​ в столбце «Температура».​– это различные​ переключатель в блоке​ Все.​Корреляционный анализ помогает установить,​Открываем меню инструмента «Анализ​логарифмической (y = b​ значит, что акции​кредиторская задолженность (VK);​

​ регрессии. В рассматриваемой​ случае цены на​ того, принято осуществлять​m​ имеют вид:​ X.​ В табличной форме​Значение на пересечении граф​ Это можно сделать​ факторы, влияющие на​«Управление»​Полученные коэффициенты отобразятся в​ есть ли между​

​ данных». Выбираем «Регрессия».​ * 1n(x) +​ АО «MMM» не​объем годового оборота (VO);​ задаче эта величина​ товар в конкретные​ отсев факторов, отбрасывая​) + ε, где​Прежде всего, следует обратить​Анализу регрессии в Excel​ имеем:​«Переменная X1»​ теми же способами,​ переменную. Параметры​в позицию​

​ корреляционной матрице. Наподобие​ показателями в одной​Откроется меню для выбора​ a);​ стоит приобретать, так​дебиторская задолженность (VD);​

​ равна 84,8%, т.​ месяцы года), а​ те из них,​ y — это​ внимание на значение​ должно предшествовать применение​A​_​и​​ что и в​a​«Надстройки Excel»​

​ такой:​ или двух выборках​ входных значений и​показательной (y = a​ как их стоимость​стоимость основных фондов (СОФ).​ е. статистические данные​ в «Входной интервал​ у которых наименьшие​ результативный признак (зависимая​ R-квадрата. Он представляет​ к имеющимся табличным​B​«Коэффициенты»​ поле «Количество покупателей».​являются коэффициентами регрессии.​, если он находится​На практике эти две​

​ связь. Например, между​ параметров вывода (где​ * b^x).​

Задача о целесообразности покупки пакета акций

​ в 70 млн​Кроме того, используется параметр​ с высокой степенью​ X» — для​ значения βi.​ переменная), а x​

​ собой коэффициент детерминации.​ данным встроенных функций.​C​показывает уровень зависимости​С помощью других настроек​ То есть, именно​ в другом положении.​ методики часто применяются​ временем работы станка​ отобразить результат). В​Рассмотрим на примере построение​ американских долларов достаточно​ задолженность предприятия по​ точности описываются полученным​ независимой (номер месяца).​

• ​Предположим, имеется таблица динамики​
• ​1​
• ​ В данном примере​
• ​ Однако для этих​

​1​ Y от X.​ можно установить метки,​ они определяют значимость​ Жмем на кнопку​

Решение средствами табличного процессора Excel

​ вместе.​ и стоимостью ремонта,​ полях для исходных​ регрессионной модели в​

​ завышена.​

• ​ зарплате (V3 П)​
• ​ УР.​
• ​ Подтверждаем действия нажатием​ цены конкретного товара​, x​ R-квадрат = 0,755​
• ​ целей лучше воспользоваться​Х​ В нашем случае​ уровень надёжности, константу-ноль,​ того или иного​«Перейти»​Пример:​ ценой техники и​

​ данных указываем диапазон​ Excel и интерпретацию​Как видим, использование табличного​

​ в тысячах американских​F-статистика, называемая также критерием​

Изучение результатов и выводы

​ «Ok». На новом​ N в течение​2​ (75,5%), т. е.​

​ очень полезной надстройкой​Количество уволившихся​ — это уровень​ отобразить график нормальной​

​ фактора. Индекс​.​Строим корреляционное поле: «Вставка»​

​ продолжительностью эксплуатации, ростом​ описываемого параметра (У)​ результатов. Возьмем линейный​ процессора «Эксель» и​

​ долларов.​ Фишера, используется для​

​ листе (если так​	​ последних 8 месяцев.​	​, …x​	​ расчетные параметры модели​	​ «Пакет анализа». Для​	​Зарплата​
​ зависимости количества клиентов​	​ вероятности, и выполнить​	​k​	​Открывается окно доступных надстроек​	​ – «Диаграмма» -​	​ и весом детей​

​ и влияющего на​ тип регрессии.​ уравнения регрессии позволило​Прежде всего, необходимо составить​ оценки значимости линейной​ было указано) получаем​ Необходимо принять решение​m​ объясняют зависимость между​ его активации нужно:​2​

​ магазина от температуры.​ другие действия. Но,​обозначает общее количество​ Эксель. Ставим галочку​ «Точечная диаграмма» (дает​ и т.д.​

​ него фактора (Х).​Задача. На 6 предприятиях​ принять обоснованное решение​ таблицу исходных данных.​ зависимости, опровергая или​ данные для регрессии.​ о целесообразности приобретения​

​— это признаки-факторы​

fb.ru

Корреляционно-регрессионный анализ в Excel: инструкция выполнения

​ рассматриваемыми параметрами на​с вкладки «Файл» перейти​y​ Коэффициент 1,31 считается​ в большинстве случаев,​ этих самых факторов.​ около пункта​

​ сравнивать пары). Диапазон​Если связь имеется, то​ Остальное можно и​ была проанализирована среднемесячная​ относительно целесообразности вполне​ Она имеет следующий​ подтверждая гипотезу о​Строим по ним линейное​

Регрессионный анализ в Excel

​ его партии по​ (независимые переменные).​ 75,5 %. Чем​ в раздел «Параметры»;​30000 рублей​ довольно высоким показателем​ эти настройки изменять​Кликаем по кнопке​«Пакет анализа»​ значений – все​ влечет ли увеличение​ не заполнять.​ заработная плата и​

​ конкретной сделки.​ вид:​ ее существовании.​ уравнение вида y=ax+b,​ цене 1850 руб./т.​Для множественной регрессии (МР)​

​ выше значение коэффициента​

• ​в открывшемся окне выбрать​3​
• ​ влияния.​ не нужно. Единственное​«Анализ данных»​
• ​. Жмем на кнопку​ числовые данные таблицы.​
• ​ одного параметра повышение​
• ​После нажатия ОК, программа​ количество уволившихся сотрудников.​
• ​Теперь вы знаете, что​Далее:​Значение t-статистики (критерий Стьюдента)​
• ​ где в качестве​A​

​ ее осуществляют, используя​ детерминации, тем выбранная​ строку «Надстройки»;​1​Как видим, с помощью​

​ на что следует​. Она размещена во​ «OK».​Щелкаем левой кнопкой мыши​ (положительная корреляция) либо​ отобразит расчеты на​ Необходимо определить зависимость​

​ такое регрессия. Примеры​вызывают окно «Анализ данных»;​

​ помогает оценивать значимость​_{​ параметров a и​}​B​_{​ метод наименьших квадратов​}​ модель считается более​_{​щелкнуть по кнопке «Перейти»,​}​60​_{​ программы Microsoft Excel​}​ обратить внимание, так​_{​ вкладке​}​Теперь, когда мы перейдем​

​ по любой точке​ уменьшение (отрицательная) другого.​ новом листе (можно​ числа уволившихся сотрудников​

​ в Excel, рассмотренные​выбирают раздел «Регрессия»;​ коэффициента при неизвестной​ b выступают коэффициенты​C​

​ (МНК). Для линейных​ применимой для конкретной​ расположенной внизу, справа​35000 рублей​ довольно просто составить​ это на параметры​«Главная»​

​ во вкладку​

1. ​ на диаграмме. Потом​ Корреляционный анализ помогает​ выбрать интервал для​
2. ​ от средней зарплаты.​ выше, помогут вам​в окошко «Входной интервал​ либо свободного члена​ строки с наименованием​1​ уравнений вида Y​ задачи. Считается, что​
3. ​ от строки «Управление»;​4​ таблицу регрессионного анализа.​

​ вывода. По умолчанию​в блоке инструментов​«Данные»​

​ правой. В открывшемся​ аналитику определиться, можно​

1. ​ отображения на текущем​Модель линейной регрессии имеет​
2. ​ в решение практических​ Y» вводят диапазон​ линейной зависимости. Если​ номера месяца и​номер месяца​ = a +​ она корректно описывает​поставить галочку рядом с​2​ Но, работать с​ вывод результатов анализа​
3. ​«Анализ»​, на ленте в​ меню выбираем «Добавить​ ли по величине​ листе или назначить​ следующий вид:​ задач из области​ значений зависимых переменных​

​ значение t-критерия >​ коэффициенты и строки​название месяца​

​ b​ реальную ситуацию при​ названием «Пакет анализа»​35​ полученными на выходе​ осуществляется на другом​.​ блоке инструментов​ линию тренда».​ одного показателя предсказать​ вывод в новую​У = а​ эконометрики.​ из столбца G;​ t​ «Y-пересечение» из листа​цена товара N​

​1​ значении R-квадрата выше​ и подтвердить свои​40000 рублей​ данными, и понимать​ листе, но переставив​Открывается небольшое окошко. В​«Анализ»​Назначаем параметры для линии.​ возможное значение другого.​

​ книгу).​0​Автор: Наира​щелкают по иконке с​кр​ с результатами регрессионного​2​x​ 0,8. Если R-квадрата​ действия, нажав «Ок».​5​ их суть, сможет​ переключатель, вы можете​ нём выбираем пункт​

​мы увидим новую​

Корреляционный анализ в Excel

​ Тип – «Линейная».​Коэффициент корреляции обозначается r.​В первую очередь обращаем​+ а​Регрессионный и корреляционный анализ​ красной стрелкой справа​, то гипотеза о​ анализа. Таким образом,​1​1​Число 64,1428 показывает, каким​

​Если все сделано правильно,​3​ только подготовленный человек.​ установить вывод в​«Регрессия»​ кнопку –​ Внизу – «Показать​ Варьируется в пределах​ внимание на R-квадрат​1​

​ – статистические методы​ от окна «Входной​ незначимости свободного члена​ линейное уравнение регрессии​январь​+…+b​ будет значение Y,​ в правой части​20​Автор: Максим Тютюшев​

​ указанном диапазоне на​. Жмем на кнопку​«Анализ данных»​

​ уравнение на диаграмме».​ от +1 до​

​ и коэффициенты.​х​ исследования. Это наиболее​ интервал X» и​ линейного уравнения отвергается.​

​ (УР) для задачи​1750 рублей за тонну​m​

1. ​ если все переменные​ вкладки «Данные», расположенном​
2. ​45000 рублей​Регрессионный анализ — это​ том же листе,​«OK»​
3. ​.​Жмем «Закрыть».​ -1. Классификация корреляционных​R-квадрат – коэффициент детерминации.​

​1​ распространенные способы показать​ выделяют на листе​В рассматриваемой задаче для​ 3 записывается в​

​3​x​ xi в рассматриваемой​ над рабочим листом​6​ статистический метод исследования,​ где расположена таблица​.​

​Существует несколько видов регрессий:​Теперь стали видны и​ связей для разных​

Корреляционно-регрессионный анализ

​ В нашем примере​+…+а​ зависимость какого-либо параметра​

​ диапазон всех значений​

1. ​ свободного члена посредством​ виде:​2​m​ нами модели обнулятся.​ «Эксель», появится нужная​
2. ​4​ позволяющий показать зависимость​ с исходными данными,​Открывается окно настроек регрессии.​параболическая;​ данные регрессионного анализа.​
3. ​ сфер будет отличаться.​ – 0,755, или​к​ от одной или​
4. ​ из столбцов B,C,​

​ инструментов «Эксель» было​Цена на товар N​

exceltable.com

​февраль​

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

• линейной (у = а + bx);
• параболической (y = a + bx + cx²);
• экспоненциальной (y = a * exp(bx));
• степенной (y = a*x^b);
• гиперболической (y = b/x + a);
• логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
• показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а₀ + а₁х₁ +…+а_кх_к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

1. Нажимаем кнопку «Офис» и переходим на вкладку «Параметры Excel». «Надстройки».



2. Внизу, под выпадающим списком, в поле «Управление» будет надпись «Надстройки Excel» (если ее нет, нажмите на флажок справа и выберите). И кнопка «Перейти». Жмем.



3. Открывается список доступных надстроек. Выбираем «Пакет анализа» и нажимаем ОК.

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

1. Открываем меню инструмента «Анализ данных». Выбираем «Регрессия».



2. Откроется меню для выбора входных значений и параметров вывода (где отобразить результат). В полях для исходных данных указываем диапазон описываемого параметра (У) и влияющего на него фактора (Х). Остальное можно и не заполнять.



3. После нажатия ОК, программа отобразит расчеты на новом листе (можно выбрать интервал для отображения на текущем листе или назначить вывод в новую книгу).

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.



Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
2. Аргумент «Массив 1» – первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
3. Аргумент «Массив 2» – второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

1. Строим корреляционное поле: «Вставка» – «Диаграмма» – «Точечная диаграмма» (дает сравнивать пары). Диапазон значений – все числовые данные таблицы.



2. Щелкаем левой кнопкой мыши по любой точке на диаграмме. Потом правой. В открывшемся меню выбираем «Добавить линию тренда».



3. Назначаем параметры для линии. Тип – «Линейная». Внизу – «Показать уравнение на диаграмме».



4. Жмем «Закрыть».

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

Регрессия позволяет прогнозировать зависимую переменную на основании значений фактора. В

MS

EXCEL

имеется множество функций, которые возвращают не только наклон и сдвиг линии регрессии, характеризующей линейную взаимосвязь между факторами, но и регрессионную статистику. Здесь рассмотрим простую линейную регрессию, т.е. прогнозирование на основе одного фактора.

Disclaimer

: Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей

Регрессионного анализа.

Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения

Регрессии

– плохая идея.

Статья про

Регрессионный анализ

получилась большая, поэтому ниже для удобства приведены ее разделы:

• Немного теории и основные понятия
• Предположения линейной регрессионной модели
• Задачи регрессионного анализа
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)
• Построение линии регрессии
• Коэффициент детерминации
• Стандартная ошибка регрессии
• Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига
• Проверка значимости взаимосвязи переменных
• Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения
• Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Примечание

: Если прогнозирование переменной осуществляется на основе нескольких факторов, то имеет место

множественная регрессия

.

Чтобы разобраться, чем может помочь MS EXCEL при проведении регрессионного анализа, напомним вкратце теорию, введем термины и обозначения, которые могут отличаться в зависимости от различных источников.

Примечание

: Для тех, кому некогда, незачем или просто не хочется разбираться в теоретических выкладках предлагается сразу перейти к вычислительной части –

оценке неизвестных параметров линейной модели

.

Немного теории и основные понятия

Пусть у нас есть массив данных, представляющий собой значения двух переменных Х и Y. Причем значения переменной Х мы можем произвольно задавать (контролировать) и использовать эту переменную для предсказания значений зависимой переменной Y. Таким образом, случайной величиной является только переменная Y.

Примером такой задачи может быть производственный процесс изготовления некого волокна, причем

прочность этого волокна

(Y) зависит только от

рабочей температуры процесса

в реакторе (Х), которая задается оператором.

Построим

диаграмму рассеяния

(см.

файл примера лист Линейный

), созданию которой

посвящена отдельная статья

. Вообще, построение

диаграммы рассеяния

для целей

регрессионного анализа

де-факто является стандартом.

СОВЕТ

: Подробнее о построении различных типов диаграмм см. статьи

Основы построения диаграмм

и

Основные типы диаграмм

.

Приведенная выше

диаграмма рассеяния

свидетельствует о возможной

линейной взаимосвязи

между Y от Х: очевидно, что точки данных в основном располагаются вдоль прямой линии.

Примечание

: Наличие даже такой очевидной

линейной взаимосвязи

не может являться доказательством о наличии причинной взаимосвязи переменных. Наличие

причинной

взаимосвязи не может быть доказано на основании только анализа имеющихся измерений, а должно быть обосновано с помощью других исследований, например теоретических выкладок.

Примечание

: Как известно, уравнение прямой линии имеет вид

Y

=

m

*

X

+

k

, где коэффициент

m

отвечает за наклон линии (

slope

),

k

– за сдвиг линии по вертикали (

intercept

),

k

равно значению Y при Х=0.

Предположим, что мы можем зафиксировать переменную Х (

рабочую температуру процесса

) при некотором значении Х

_i

и произвести несколько наблюдений переменной Y (

прочность нити

). Очевидно, что при одном и том же значении Хi мы получим различные значения Y. Это обусловлено влиянием других факторов на Y. Например, локальные колебания давления в реакторе, концентрации раствора, наличие ошибок измерения и др. Предполагается, что воздействие этих факторов имеет случайную природу и для каждого измерения имеются одинаковые условия проведения эксперимента (т.е. другие факторы не изменяются).

Полученные значения Y, при заданном Хi, будут колебаться вокруг некого

значения

. При увеличении количества измерений, среднее этих измерений, будет стремиться к

математическому ожиданию

случайной величины Y (при Х

_i

) равному μy(i)=Е(Y

_i

).

Подобные рассуждения можно привести для любого значения Хi.

Чтобы двинуться дальше, воспользуемся материалом из раздела

Проверка статистических гипотез

. В статье о

проверке гипотезы о среднем значении генеральной совокупности

в качестве

нулевой

гипотезы

предполагалось равенство неизвестного значения μ заданному μ0.

В нашем случае

простой линейной регрессии

в качестве

нулевой

гипотезы

предположим, что между переменными μy(i) и Хi существует линейная взаимосвязь μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β. Уравнение μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β можно переписать в обобщенном виде (для всех Х и μ

_y

) как μ

_y

=α* Х +β.

Для наглядности проведем прямую линию соединяющую все μy(i).

Данная линия называется

регрессионной линией генеральной совокупности

(population regression line), параметры которой (

наклон

a и

сдвиг β

) нам не известны (по аналогии с

гипотезой о среднем значении генеральной совокупности

, где нам было неизвестно истинное значение μ).

Теперь сделаем переход от нашего предположения, что μy=a* Х +

β

, к предсказанию значения случайной переменной Y в зависимости от значения контролируемой переменной Х. Для этого уравнение связи двух переменных запишем в виде Y=a*X+β+ε, где ε – случайная ошибка, которая отражает суммарный эффект влияния других факторов на Y (эти «другие» факторы не участвуют в нашей модели). Напомним, что т.к. переменная Х фиксирована, то ошибка ε определяется только свойствами переменной Y.

Уравнение Y=a*X+b+ε называют

линейной регрессионной моделью

. Часто Х еще называют

независимой переменной

(еще

предиктором

и

регрессором

, английский термин

predictor

,

regressor

), а Y –

зависимой

(или

объясняемой

,

response

variable

). Так как

регрессор

у нас один, то такая модель называется

простой линейной регрессионной моделью

(

simple

linear

regression

model

). α часто называют

коэффициентом регрессии.

Предположения линейной регрессионной модели перечислены в следующем разделе.

Предположения линейной регрессионной модели

Чтобы модель линейной регрессии Yi=a*Xi+β+ε

_i

была адекватной – требуется:

• Ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть независимыми переменными;
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть иметь нормальное распределение (также предполагается равенство нулю математического ожидания, т.е. Е[ε
  
  _i
  
  ]=0);
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны иметь равные дисперсии (обозначим ее σ
  
  ²
  
  ).

Примечание

: Последнее условие называется

гомоскедастичность

– стабильность, гомогенность дисперсии случайной ошибки e. Т.е.

дисперсия

ошибки σ

²

не должна зависеть от значения Xi.

Используя предположение о равенстве математического ожидания Е[ε

_i

]=0 покажем, что μy(i)=Е[Yi]:

Е[Yi]= Е[a*Xi+β+ε

_i

]= Е[a*Xi+β]+ Е[ε

_i

]= a*Xi+β= μy(i), т.к. a, Xi и β постоянные значения.

Дисперсия

случайной переменной Y равна

дисперсии

ошибки ε, т.е. VAR(Y)= VAR(ε)=σ

²

. Это является следствием, что все значения переменной Х являются const, а VAR(ε)=VAR(ε

_i

).

Задачи регрессионного анализа

Для проверки гипотезы о линейной взаимосвязи переменной Y от X делают выборку из генеральной совокупности (этой совокупности соответствует

регрессионная линия генеральной совокупности

, т.е.  μy=a* Х +β). Выборка будет состоять из n точек, т.е. из n пар значений {X;Y}.

На основании этой выборки мы можем вычислить оценки наклона a и сдвига β, которые обозначим соответственно

a

и

b

. Также часто используются обозначения â и b̂.

Далее, используя эти оценки, мы также можем проверить гипотезу: имеется ли линейная связь между X и Y статистически значимой?

Таким образом:

Первая задача

регрессионного анализа

– оценка неизвестных параметров (

estimation

of

the

unknown

parameters

). Подробнее см. раздел

Оценки неизвестных параметров модели

.

Вторая задача

регрессионного анализа

–

Проверка адекватности модели

(

model

adequacy

checking

).

Примечание

: Оценки параметров модели обычно вычисляются

методом наименьших квадратов

(МНК),

которому посвящена отдельная статья

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)

Неизвестные параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε оценим с помощью

метода наименьших квадратов

(в

статье про МНК подробно описано этот метод

).

Для вычисления параметров линейной модели методом МНК получены следующие выражения:

Таким образом, мы получим уравнение прямой линии Y=

a

*X+

b

, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.

Примечание

: В статье про

метод наименьших квадратов

рассмотрены случаи аппроксимации

линейной

и

квадратичной функцией

, а также

степенной

,

логарифмической

и

экспоненциальной функцией

.

Оценку параметров в MS EXCEL можно выполнить различными способами:

• с помощью функций
  
  НАКЛОН()
  
  и
  
  ОТРЕЗОК()
  
  ;
• с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  ; см. статью

  Функция MS EXCEL ЛИНЕЙН()

• формулами через статистики выборок

  ;

• в матричной форме

  ;

• с помощью

  инструмента Регрессия надстройки Пакет Анализа

  .

Сначала рассмотрим функции

НАКЛОН()

,

ОТРЕЗОК()

и

ЛИНЕЙН()

.

Пусть значения Х и Y находятся соответственно в диапазонах

C

23:

C

83

и

B

23:

B

83

(см.

файл примера

внизу статьи).

Примечание

: Значения двух переменных Х и Y можно сгенерировать, задав тренд и величину случайного разброса (см. статью

Генерация данных для линейной регрессии в MS EXCEL

).

В MS EXCEL наклон прямой линии

а

(

оценку

коэффициента регрессии

), можно найти по

методу МНК

с помощью функции

НАКЛОН()

, а сдвиг

b

(

оценку

постоянного члена

или

константы регрессии

), с помощью функции

ОТРЕЗОК()

. В английской версии это функции SLOPE и INTERCEPT соответственно.

Аналогичный результат можно получить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

, английская версия LINEST (см.

статью об этой функции

).

Формула

=ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет наклон

а

. А формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

– сдвиг

b

. Здесь требуются пояснения.

Функция

ЛИНЕЙН()

имеет 4 аргумента и возвращает целый массив значений:

ЛИНЕЙН(известные_значения_y; [известные_значения_x]; [конст]; [статистика])

Если 4-й аргумент

статистика

имеет значение ЛОЖЬ или опущен, то функция

ЛИНЕЙН()

возвращает только оценки параметров модели:

a

и

b

.

Примечание

: Остальные значения, возвращаемые функцией

ЛИНЕЙН()

, нам потребуются при вычислении

стандартных ошибок

и для

проверки значимости регрессии

. В этом случае аргумент

статистика

должен иметь значение ИСТИНА.

Чтобы вывести сразу обе оценки:

• в одной строке необходимо выделить 2 ячейки,
• ввести формулу в

  Строке формул

• нажать
  
  CTRL
  
  +
  
  SHIFT
  
  +
  
  ENTER
  
  (см. статью про

  формулы массива

  ).

Если в

Строке формул

выделить формулу =

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

и нажать

клавишу F9

, то мы увидим что-то типа {3,01279389265416;154,240057900613}. Это как раз значения

a

и

b

. Как видно, оба значения разделены точкой с запятой «;», что свидетельствует, что функция вернула значения «в нескольких ячейках одной строки».

Если требуется вывести параметры линии не в одной строке, а одном столбце (ячейки друг под другом), то используйте формулу =

ТРАНСП(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83))

. При этом выделять нужно 2 ячейки в одном столбце. Если теперь выделить новую формулу и нажать клавишу F9, то мы увидим что 2 значения разделены двоеточием «:», что означает, что значения выведены в столбец (функция

ТРАНСП()

транспонировала строку в столбец

).

Чтобы разобраться в этом подробнее необходимо ознакомиться с

формулами массива

.

Чтобы не связываться с вводом

формул массива

, можно

использовать функцию ИНДЕКС()

. Формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);1)

или просто

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е.

а

. Формула

=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

вернет параметр

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)

Наклон линии, т.е. коэффициент

а

, можно также вычислить через

коэффициент корреляции

и

стандартные отклонения выборок

:

=

КОРРЕЛ(B23:B83;C23:C83) *(СТАНДОТКЛОН.В(C23:C83)/ СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83))

Вышеуказанная формула математически эквивалентна отношению

ковариации

выборок Х и Y и

дисперсии

выборки Х:

=

КОВАРИАЦИЯ.В(B23:B83;C23:C83)/ДИСП.В(B23:B83)

И, наконец, запишем еще одну формулу для нахождения сдвига

b

. Воспользуемся тем фактом, что

линия регрессии

проходит через точку

средних значений

переменных Х и Y.

Вычислив

средние значения

и подставив в формулу ранее найденный наклон

а

, получим сдвиг

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)

Также параметры

линии регрессии

можно найти в матричной форме (см.

файл примера лист Матричная форма

).

В формуле символом β обозначен столбец с искомыми параметрами модели: β0 (сдвиг

b

), β1 (наклон

a

).

Матрица Х равна:

Матрица

Х

называется

регрессионной матрицей

или

матрицей плана

. Она состоит из 2-х столбцов и n строк, где n – количество точек данных. Первый столбец – столбец единиц, второй – значения переменной Х.

Матрица

Х

^T

– это

транспонированная матрица

Х

. Она состоит соответственно из n столбцов и 2-х строк.

В формуле символом

Y

обозначен столбец значений переменной Y.

Чтобы

перемножить матрицы

используйте функцию

МУМНОЖ()

. Чтобы

найти обратную матрицу

используйте функцию

МОБР()

.

Пусть дан массив значений переменных Х и Y (n=10, т.е.10 точек).

Слева от него достроим столбец с 1 для матрицы Х.

Записав формулу

=

МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(B7:C16))); МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(D7:D16)))

и введя ее как

формулу массива

в 2 ячейки, получим оценку параметров модели.

Красота применения матричной формы полностью раскрывается в случае

множественной регрессии

.

Построение линии регрессии

Для отображения

линии регрессии

построим сначала

диаграмму рассеяния

, на которой отобразим все точки (см.

начало статьи

).

Для построения прямой линии используйте вычисленные выше оценки параметров модели

a

и

b

(т.е. вычислите

у

по формуле

y

=

a

*

x

+

b

) или функцию

ТЕНДЕНЦИЯ()

.

Формула =

ТЕНДЕНЦИЯ($C$23:$C$83;$B$23:$B$83;B23)

возвращает расчетные (прогнозные) значения ŷi для заданного значения Хi из столбца

В2

.

Примечание

:

Линию регрессии

можно также построить с помощью функции

ПРЕДСКАЗ()

. Эта функция возвращает прогнозные значения ŷi, но, в отличие от функции

ТЕНДЕНЦИЯ()

работает только в случае одного регрессора. Функция

ТЕНДЕНЦИЯ()

может быть использована и в случае

множественной регрессии

(в этом случае 3-й аргумент функции должен быть ссылкой на диапазон, содержащий все значения Хi для выбранного наблюдения i).

Как видно из диаграммы выше

линия тренда

и

линия регрессии

не обязательно совпадают: отклонения точек от

линии тренда

случайны, а МНК лишь подбирает линию наиболее точно аппроксимирующую случайные точки данных.

Линию регрессии

можно построить и с помощью встроенных средств диаграммы, т.е. с помощью инструмента

Линия тренда.

Для этого выделите диаграмму, в меню выберите

вкладку Макет

, в

группе Анализ

нажмите

Линия тренда

, затем

Линейное приближение.

В диалоговом окне установите галочку

Показывать уравнение на диаграмме

(подробнее см. в

статье про МНК

).

Построенная таким образом линия, разумеется, должна совпасть с ранее построенной нами

линией регрессии,

а параметры уравнения

a

и

b

должны совпасть с параметрами уравнения отображенными на диаграмме.

Примечание:

Для того, чтобы вычисленные параметры уравнения

a

и

b

совпадали с параметрами уравнения на диаграмме, необходимо, чтобы тип у диаграммы был

Точечная, а не График

, т.к. тип диаграммы

График

не использует значения Х, а вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … Именно эти значения и берутся при расчете параметров

линии тренда

. Убедиться в этом можно если построить диаграмму

График

(см.

файл примера

), а значения

Хнач

и

Хшаг

установить равным 1. Только в этом случае параметры уравнения на диаграмме совпадут с

a

и

b

.

Коэффициент детерминации R

²

Коэффициент детерминации

R

²

показывает насколько полезна построенная нами

линейная регрессионная модель

.

Предположим, что у нас есть n значений переменной Y и мы хотим предсказать значение yi, но без использования значений переменной Х (т.е. без построения

регрессионной модели

). Очевидно, что лучшей оценкой для yi будет

среднее значение

ȳ. Соответственно, ошибка предсказания будет равна (yi – ȳ).

Примечание

: Далее будет использована терминология и обозначения

дисперсионного анализа

.

После построения

регрессионной модели

для предсказания значения yi мы будем использовать значение ŷi=a*xi+b. Ошибка предсказания теперь будет равна (yi – ŷi).

Теперь с помощью диаграммы сравним ошибки предсказания полученные без построения модели и с помощью модели.

Очевидно, что используя

регрессионную модель

мы уменьшили первоначальную (полную) ошибку (yi – ȳ)  на значение (ŷi – ȳ)  до величины (yi – ŷi).

(yi – ŷi) – это оставшаяся, необъясненная ошибка.

Очевидно, что все три ошибки связаны выражением:

(yi – ȳ)= (ŷi – ȳ) + (yi – ŷi)

Можно показать, что в общем виде справедливо следующее выражение:

Доказательство:

или в других, общепринятых в зарубежной литературе, обозначениях:

SST

=

SSR

+

SSE

Что означает:

Total Sum of Squares

=

Regression Sum of Squares

+

Error Sum of Squares

Примечание

: SS – Sum of Squares – Сумма Квадратов.

Как видно из формулы величины SST, SSR, SSE имеют размерность

дисперсии

(вариации) и соответственно описывают разброс (изменчивость):

Общую изменчивость

(Total variation),

Изменчивость объясненную моделью

(Explained variation) и

Необъясненную изменчивость

(Unexplained variation).

По определению

коэффициент детерминации

R

²

равен:

R

²

=

Изменчивость объясненная моделью / Общая изменчивость.

Этот показатель равен квадрату

коэффициента корреляции

и в MS EXCEL его можно вычислить с помощью функции

КВПИРСОН()

или

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3)

R

₂

принимает значения от 0 до 1 (1 соответствует идеальной линейной зависимости Y от Х). Однако, на практике малые значения R2 вовсе не обязательно указывают, что переменную Х нельзя использовать для прогнозирования переменной Y. Малые значения R2 могут указывать на нелинейность связи или на то, что поведение переменной Y объясняется не только Х, но и другими факторами.

Стандартная ошибка регрессии

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) показывает насколько велика ошибка предсказания значений переменной Y на основании значений Х. Отдельные значения Yi мы можем предсказывать лишь с точностью +/- несколько значений (обычно 2-3, в зависимости от формы распределения ошибки ε).

Теперь вспомним уравнение

линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε. Ошибка ε имеет случайную природу, т.е. является случайной величиной и поэтому имеет свою функцию распределения со

средним значением

μ и

дисперсией

σ

²

.

Оценив значение

дисперсии

σ

²

и вычислив из нее квадратный корень – получим

Стандартную ошибку регрессии.

Чем точки наблюдений на диаграмме

рассеяния

ближе находятся к прямой линии, тем меньше

Стандартная ошибка.

Примечание

:

Вспомним

, что при построении модели предполагается, что

среднее значение

ошибки ε равно 0, т.е. E[ε]=0.

Оценим

дисперсию σ

²

. Помимо вычисления

Стандартной ошибки регрессии

эта оценка нам потребуется в дальнейшем еще и при построении

доверительных интервалов

для оценки параметров регрессии

a

и

b

.

Для оценки

дисперсии

ошибки ε используем

остатки регрессии

– разности между имеющимися значениями

yi

и значениями, предсказанными регрессионной моделью ŷ. Чем лучше регрессионная модель согласуется с данными (точки располагается близко к прямой линии), тем меньше величина остатков.

Для оценки

дисперсии σ

²

используют следующую формулу:

где SSE – сумма квадратов значений ошибок модели ε

_i

=yi – ŷi (

Sum of Squared Errors

).

SSE часто обозначают и как SSres – сумма квадратов остатков (

Sum

of

Squared

residuals

).

Оценка

дисперсии

s

²

также имеет общепринятое обозначение MSE (Mean Square of Errors), т.е. среднее квадратов

ошибок

или MSRES (Mean Square of Residuals), т.е. среднее квадратов

остатков

. Хотя правильнее говорить сумме квадратов остатков, т.к. ошибка чаще ассоциируется с ошибкой модели ε, которая является непрерывной случайной величиной. Но, здесь мы будем использовать термины SSE и MSE, предполагая, что речь идет об остатках.

Примечание

: Напомним, что когда

мы использовали МНК

для нахождения параметров модели, то критерием оптимизации была минимизация именно SSE (SSres). Это выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями yi и предсказанными моделью значениями ŷi, которые лежат на

линии регрессии.

Математическое ожидание

случайной величины MSE равно

дисперсии ошибки

ε, т.е.

σ

²

.

Чтобы понять почему SSE выбрана в качестве основы для оценки

дисперсии

ошибки ε, вспомним, что

σ

²

является также

дисперсией

случайной величины Y (относительно

среднего значения

μy, при заданном значении Хi). А т.к. оценкой μy является значение ŷi =

a

* Хi +

b

(значение

уравнения регрессии

при Х= Хi), то логично использовать именно SSE в качестве основы для оценки

дисперсии

σ

²

. Затем SSE усредняется на количество точек данных n за вычетом числа 2. Величина n-2 – это количество

степеней свободы

(

df

–

degrees

of

freedom

), т.е. число параметров системы, которые могут изменяться независимо (вспомним, что у нас в этом примере есть n независимых наблюдений переменной Y). В случае

простой линейной регрессии

число степеней свободы

равно n-2, т.к. при построении

линии регрессии

было оценено 2 параметра модели (на это было «потрачено» 2

степени свободы

).

Итак, как сказано было выше, квадратный корень из s

²

имеет специальное название

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) и обозначается SEy. SEy показывает насколько велика ошибка предсказания. Отдельные значения Y мы можем предсказывать с точностью +/- несколько значений SEy (см.

этот раздел

). Если ошибки предсказания ε имеют

нормальное распределение

, то примерно 2/3 всех предсказанных значений будут на расстоянии не больше SEy от

линии регрессии

. SEy имеет размерность переменной Y и откладывается по вертикали. Часто на

диаграмме рассеяния

строят

границы предсказания

соответствующие +/- 2 SEy (т.е. 95% точек данных будут располагаться в пределах этих границ).

В MS EXCEL

стандартную ошибку

SEy можно вычислить непосредственно по формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига

В разделе

Оценка неизвестных параметров линейной модели

мы получили точечные оценки наклона

а

и сдвига

b

. Так как эти оценки получены на основе случайных величин (значений переменных Х и Y), то эти оценки сами являются случайными величинами и соответственно имеют функцию распределения со

средним значением

и

дисперсией

. Но, чтобы перейти от

точечных оценок

к

интервальным

, необходимо вычислить соответствующие

стандартные ошибки

(т.е.

стандартные отклонения

).

Стандартная ошибка коэффициента регрессии

a

вычисляется на основании

стандартной ошибки регрессии

по следующей формуле:

где Sx – стандартное отклонение величины х, вычисляемое по формуле:

где Sey –

стандартная ошибка регрессии,

т.е. ошибка предсказания значения переменой Y

(

см. выше

).

В MS EXCEL

стандартную ошибку коэффициента регрессии

Se можно вычислить впрямую по вышеуказанной формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))/  СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83) /КОРЕНЬ(СЧЁТ(B23:B83) -1)

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;1)

Формулы приведены в

файле примера на листе Линейный

в разделе

Регрессионная статистика

.

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

коэффициента регрессии

его границы определяются следующим образом:

где  –

квантиль распределения Стьюдента

с n-2 степенями свободы. Величина

а

с «крышкой» является другим обозначением

наклона

а

.

Например для

уровня значимости

альфа=0,05, можно вычислить с помощью формулы

=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-2)

Вышеуказанная формула следует из того факта, что если ошибки регрессии распределены нормально и независимо, то выборочное распределение случайной величины

является

t-распределением Стьюдента

с n-2 степенью свободы (то же справедливо и для наклона

b

).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

в MS EXCEL можно прочитать в этой статье

Доверительные интервалы в MS EXCEL

.

В результате получим, что найденный

доверительный интервал

с вероятностью 95% (1-0,05) накроет истинное значение

коэффициента регрессии.

Здесь мы считаем, что

коэффициент регрессии

a

имеет

распределение Стьюдента

с n-2

степенями свободы

(n – количество наблюдений, т.е. пар Х и Y).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

с использованием t-распределения см. статью про построение

доверительных интервалов

для среднего

.

Стандартная ошибка сдвига

b

вычисляется по следующей формуле:

В MS EXCEL

стандартную ошибку сдвига

Seb можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;2)

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

сдвига

его границы определяются аналогичным образом как для

наклона

:

b

+/- t*Seb.

Проверка значимости взаимосвязи переменных

Когда мы строим модель Y=αX+β+ε мы предполагаем, что между Y и X существует линейная взаимосвязь. Однако, как это иногда бывает в статистике, можно вычислять параметры связи даже тогда, когда в действительности она не существует, и обусловлена лишь случайностью.

Единственный вариант, когда Y не зависит X (в рамках модели Y=αX+β+ε), возможен, когда

коэффициент регрессии

a

равен 0.

Чтобы убедиться, что вычисленная нами оценка

наклона

прямой линии не обусловлена лишь случайностью (не случайно отлична от 0), используют

проверку гипотез

. В качестве

нулевой гипотезы

Н

₀

принимают, что связи нет, т.е. a=0. В качестве альтернативной гипотезы

Н

₁

принимают, что a <>0.

Ниже на рисунках показаны 2 ситуации, когда

нулевую гипотезу

Н

₀

не удается отвергнуть.

На левой картинке отсутствует любая зависимость между переменными, на правой – связь между ними нелинейная, но при этом

коэффициент линейной корреляции

равен 0.

Ниже – 2 ситуации, когда

нулевая гипотеза

Н

₀

отвергается.

На левой картинке очевидна линейная зависимость, на правой – зависимость нелинейная, но коэффициент корреляции не равен 0 (метод МНК вычисляет показатели наклона и сдвига просто на основании значений выборки).

Для проверки гипотезы нам потребуется:

• Установить

  уровень значимости

  , пусть альфа=0,05;

• Рассчитать с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  стандартное отклонение
  
  Se для
  
  коэффициента регрессии
  
  (см.

  предыдущий раздел

  );

• Рассчитать число степеней свободы: DF=n-2 или по формуле =
  
  ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C24:C84;B24:B84;;ИСТИНА);4;2)
  
• Вычислить значение тестовой статистики t
  
  ₀
  
  =a/S
  
  _e
  
  , которая имеет

  распределение Стьюдента

  с
  
  числом степеней свободы
  
  DF=n-2;

• Сравнить значение
  
  тестовой статистики
  
  |t0| с пороговым значением t
  
  _альфа
  
  ,n-2. Если значение
  
  тестовой статистики
  
  больше порогового значения, то
  
  нулевая гипотеза
  
  отвергается (
  
  наклон
  
  не может быть объяснен лишь случайностью при заданном уровне альфа) либо
• вычислить
  
  p-значение
  
  и сравнить его с
  
  уровнем значимости
  
  .

В

файле примера

приведен пример проверки гипотезы:

Изменяя

наклон

тренда k (ячейка

В8

) можно убедиться, что при малых углах тренда (например, 0,05) тест часто показывает, что связь между переменными случайна. При больших углах (k>1), тест практически всегда подтверждает значимость линейной связи между переменными.

Примечание

: Проверка значимости взаимосвязи эквивалентна

проверке статистической значимости коэффициента корреляции

. В

файле примера

показана эквивалентность обоих подходов. Также проверку значимости можно провести с помощью

процедуры F-тест

.

Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения

Вычислив параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=aX+β+ε мы получили точечную оценку значения нового наблюдения Y при заданном значении Хi, а именно: Ŷ=

a

* Хi +

b

Ŷ также является точечной оценкой для

среднего значения

Yi при заданном Хi. Но, при построении

доверительных интервалов

используются различные

стандартные ошибки

.

Стандартная ошибка

нового наблюдения Y при заданном Хi учитывает 2 источника неопределенности:

• неопределенность связанную со случайностью оценок параметров модели
  
  a
  
  и
  
  b
  
  ;
• случайность ошибки модели ε.

Учет этих неопределенностей приводит к

стандартной ошибке

S(Y|Xi), которая рассчитывается с учетом известного значения Xi.

где SS

_xx

– сумма квадратов отклонений от

среднего

значений переменной Х:

Примечание

: Se –

стандартная ошибка коэффициента регрессии

(

наклона

а

).

В

MS EXCEL 2010

нет функции, которая бы рассчитывала эту

стандартную ошибку

, поэтому ее необходимо рассчитывать по вышеуказанным формулам.

Доверительный интервал

или

Интервал предсказания для нового наблюдения

(Prediction Interval for a New Observation) построим по схеме показанной в разделе

Проверка значимости взаимосвязи переменных

(см.

файл примера лист Интервалы

). Т.к. границы интервала зависят от значения Хi (точнее от расстояния Хi до среднего значения Х

_ср

), то интервал будет постепенно расширяться при удалении от Х

_ср

.

Границы

доверительного интервала

для

нового наблюдения

рассчитываются по формуле:

Аналогичным образом построим

доверительный интервал

для

среднего значения

Y при заданном Хi (Confidence Interval for the Mean of Y). В этом случае

доверительный интервал

будет уже, т.к.

средние значения

имеют меньшую изменчивость по сравнению с отдельными наблюдениями (

средние значения,

в рамках нашей линейной модели Y=aX+β+ε, не включают ошибку ε).

Стандартная ошибка

S(Yср|Xi) вычисляется по практически аналогичным формулам как и

стандартная ошибка

для нового наблюдения:

Как видно из формул,

стандартная ошибка

S(Yср|Xi) меньше

стандартной ошибки

S(Y|Xi) для индивидуального значения

.

Границы

доверительного интервала

для

среднего значения

рассчитываются по формуле:

Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Модель адекватна, когда все предположения, лежащие в ее основе, выполнены (см. раздел

Предположения линейной регрессионной модели

).

Проверка адекватности модели в основном основана на исследовании остатков модели (model residuals), т.е. значений ei=yi – ŷi для каждого Хi. В рамках

простой линейной модели

n остатков имеют только n-2 связанных с ними

степеней свободы

. Следовательно, хотя, остатки не являются независимыми величинами, но при достаточно большом n это не оказывает какого-либо влияния на проверку адекватности модели.

Чтобы проверить предположение о

нормальности распределения

ошибок строят

график проверки на нормальность

(Normal probability Plot).

В

файле примера на листе Адекватность

построен

график проверки на нормальность

. В случае

нормального распределения

значения остатков должны быть близки к прямой линии.

Так как значения переменной Y мы

генерировали с помощью тренда

, вокруг которого значения имели нормальный разброс, то ожидать сюрпризов не приходится – значения остатков располагаются вблизи прямой.

Также при проверке модели на адекватность часто строят график зависимости остатков от предсказанных значений Y. Если точки не демонстрируют характерных, так называемых «паттернов» (шаблонов) типа вор

о

нок или другого неравномерного распределения, в зависимости от значений Y, то у нас нет очевидных доказательств неадекватности модели.

В нашем случае точки располагаются примерно равномерно.

Часто при проверке адекватности модели вместо остатков используют нормированные остатки. Как показано в разделе

Стандартная ошибка регрессии

оценкой

стандартного отклонения ошибок

является величина SEy равная квадратному корню из величины MSE. Поэтому логично нормирование остатков проводить именно на эту величину.

SEy можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Иногда нормирование остатков производится на величину

стандартного отклонения

остатков (это мы увидим в статье об инструменте

Регрессия

, доступного в

надстройке MS EXCEL Пакет анализа

), т.е. по формуле:

Вышеуказанное равенство приблизительное, т.к. среднее значение остатков близко, но не обязательно точно равно 0.