Как составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку

Была ли эта статья полезной?

Уравнение серединного перпендикуляра

Как найти уравнение серединного перпендикуляра

Чтобы найти серединный перпендикуляр m к отрезку по двум конца отрезка AB нужно проделать следующие действия.

Шаг 1

Найти точку М, которая является серединой отрезка AB.

Для этого координаты концов отрезка AB подставить в формулу для вычисления среднего значения координат x и y двух данных точек:

Как найти уравнение серединного перпендикуляра. Шаг 1

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

На рисунке 1 прямая ( small l ) серединный перпендикуляр к отрезку ( small AB .)

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку

Теорема 1. 1) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. 2) Обратно: Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство. 1) Пусть точка ( small O ) середина отрезка ( small AB ) и пусть прямая ( small q ) серединный перпендикуляр к отрезку ( small AB ) (Рис.2). Рассмотрим любую точку ( small M ) на прямой ( small q ). Докажем, что ( small AM=BM. ) Если точка ( small M ) совпадает с точкой ( small O ), то равенство ( small AM=BM ) верно поскольку ( small AO=BO ) (( small O )-середина отрезка). Пусть ( small M ) и ( small O ) различные точки. Тогда прямоугольные треугольники ( small MOA ) и ( small MOB ) равны по двум катетам (( small AO=OB ), ( small OM )− общий). Следовательно ( small AM=BM. )

2) Пусть точка ( small P ) равноудалена от от концов отрезка ( small AB ) (Рис.3). Тогда выполено равенство ( small AP=BP ). Докажем, что ( small P ) лежит на серединном перпендикуляре ( q ). Если точка ( small P ) принадлежит прямой ( small AB ), то поскольку она равноудалена от концов отрезка ( small AB, ) она совпадает с точкой ( small O ), т.е. лежит на прямой ( q.) Если же ( small P ) не лежит на прямой ( small AB ), то треугольник ( small ABP ) равнобедренный, поскольку ( small AP=BP .) Отрезок ( small PO ) медиана этого равнобедренного треугольника и, значит, является также высотой этого треугольника. Тогда ( small PO⊥AB .) Прямые ( small PO ) и ( q ) проходят через точку ( small O ) и перпендикулярны к ( small AB .) Следовательно эти прямые совпадают, т.е. точка ( small P ) принадлежит прямой ( q. )

Серединный перпендикуляр — определение, свойства и формулы

Общие сведения

Серединным перпендикуляром отрезка называют прямую, которая проходит под прямым углом через среднюю точку, т. е. середину отрезка. Для полного понимания материала следует остановиться на базовых элементах геометрии.

Точка — единица, при помощи которой строятся прямые, отрезки, лучи и фигуры. Прямая — простая фигура в форме бесконечной линии, состоящей из множества точек, лежащих в одной плоскости. Луч — базовая геометрическая фигура в виде бесконечной линии с одной стороны и точки-ограничителя — с другой. Иными словами, луч имеет начало, но не имеет конца. Отрезок — некоторая часть прямой (луча или другого отрезка), ограниченная двумя точками.

Кроме того, в геометрии серединный перпендикуляр встречается в треугольниках. Из определения можно сделать вывод, что им может быть прямая, отрезок и даже луч.

Аксиомы геометрии Евклида

Евклидовой геометрией называется наука о фигурах на плоскости, основанная на аксиомах и теоремах. Аксиома — базовое утверждение, не требующее доказательства. Оно используется для доказательства каких-либо теорем. Математики выделяют пять аксиом:

1. Принадлежности.
2. Порядка.
3. Конгруэнтности.
4. Параллельности прямых.
5. Непрерывности.

Формулировка первой имеет такой вид: если существует в геометрическом пространстве плоскость, состоящая из множества точек, то через любые из них можно провести только одну прямую. Иными словами, можно взять произвольные две точки и провести через них одну прямую. Чтобы начертить еще одну прямую, следует взять две другие точки.

Следующее утверждение называется аксиомой порядка. Она гласит, что существует точка, которая лежит между двумя другими на прямой. Значение слова «конгруэнтность» не совсем понятно для новичка, однако нужно постепенно привыкать к терминологии. Оно обозначает «равенство». Третий геометрический факт формулируется таким образом: когда два отрезка или угла конгруэнтны третьему, тогда они равны между собой. Аксиома касается только отрезков и углов.

Чтобы убедиться в ее правильности, нужно разобрать следующий пример: длина первого отрезка составляет 10 см, второго — тоже, а третий равен первому. Необходимо доказать, что они равны между собой. Это делается очень просто:

• Вводятся обозначения: первый — MN, второй — OP и третий — RS.
• Устанавливаются значения по условию: MN = 10 см, ОР = 10 см, а RS = MN.
• Доказательство строится таким образом: MN = RS = 10 (см). Следовательно, отрезки равны, поскольку MN = ОР = RS = 10 (см).

Следует отметить, что данные действия оказались лишними — было потрачено время на понимание простой «истины». Параллельность прямых является также аксиомой и формулируется таким образом: если существует некоторая прямая на плоскости и точка, не лежащая на ней, то через последнюю можно провести только одну параллельную ей прямую.

И последняя аксиома называется Архимедовой. Ее формулировка имеет такой вид: для произвольных отрезков, лежащих на одной прямой, существует некоторая последовательность базовых элементов (точек), лежащих на одном и другом отрезках, таких, что заданные их части равны между собой. Иными словами, на одной прямой могут быть расположены равные между собой отрезки.

Информация о треугольниках

Треугольником является любая фигура, состоящая из трех вершин (точек) соединенных отрезками (сторонами), причем точки не лежат на одной прямой в одной плоскости. Они классифицируются по такому типу:

В первом случае фигуры делятся на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Остроугольным называется треугольник, у которого все углы острые (меньше 90 градусов). У тупоугольного — один угол тупой (> 90), а в прямоугольном — один из углов равен 90 градусам. Следует отметить, что сумма градусных мер углов любого треугольника эквивалентна 180.

Когда стороны у треугольника неравны между собой, тогда его называют разносторонним. При равенстве двух боковых сторон он считается равнобедренным, у которого третья сторона — основание. Если все стороны равны, то значит, фигура является равносторонней или правильной.

У треугольника есть еще и другие параметры. Их называют медианой, биссектрисой и высотой. Первый параметр является отрезком, который проводится из любой вершины на среднюю точку стороны. Высота — часть прямой, которая проводится из произвольной вершины и перпендикулярна противоположной стороне. Биссектрисой называется прямая, делящая угол на две равные части.

Медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины к основанию, совпадают и эквивалентны серединному перпендикуляру в треугольниках равнобедренного и равностороннего типов. Это очень важно при решении задач. Еще одним признаком, по которому выполняется классификация — подобность треугольников. У них могут быть равными только углы и некоторые стороны. Они отличаются между собой по определенному параметру, который называется коэффициентом подобия. Последний влияет только на размерность сторон. Говорят, что фигуры подобны по определенному признаку (их всего три).

Основные теоремы

Теорема — гипотеза (предположение), которую нужно доказать. Они применяются для оптимизации расчетов и вычисления отдельных параметров заданной фигуры. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве таких научных предположений. Эти аспекты упрощают и автоматизируют вычисления. Например, при вычислении площади треугольника нет необходимости выводить формулу, достаточно воспользоваться уже готовой.

Математики выделяют всего три теоремы о СП, которые могут значительно упростить расчеты. К ним можно отнести следующие:

• Прямая.
• Обратная.
• Пересечение в треугольнике.

Первая теорема называется прямой о СП. Она показывает, каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра. Ее формулировка следующая: произвольная точка, которая взятая на перпендикуляре, удалена на равные расстояния от конечных точек отрезка, ограничивающих его на плоскости.

Для доказательства следует рассмотреть два прямоугольных треугольника с общей вершиной (искомая точка), общей стороной — катетом и равными катетами (по определению). Фигуры равны по одному из признаков равенства треугольников. Следовательно, их гипотенузы (стороны, равенство которых нужно доказать), равны между собой. Первая теорема доказана.

Следующая теорема — обратная: если точка удалена на равные расстояния от концов отрезка, то значит, она лежит на СП. В этом случае следует рассматривать равнобедренный треугольник, вершиной которого она является. Удалена точка на одинаковые расстояния от вершин основания по условию. Следовательно, этот факт доказывает, что полученный треугольник является равнобедренным, а в нем медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Значит, она лежит на серединном перпендикуляре. Утверждение доказано.

Следующую теорему нет необходимости доказывать, поскольку известно, что в равнобедренном и равностороннем треугольниках высоты (медианы и биссектрисы) имеют общую точку пересечения. Они являются также и СП. Следовательно, это утверждение справедливо для них.

Важные свойства

Иногда трех теорем недостаточно для решения какой-либо сложной задачи. В этом случае необходимо знать еще и некоторые свойства СП:

1. Центр описанной окружности вокруг треугольника соответствует точке их пересечения.
2. Точка, взятая на СП, равноудалена от конечных точек отрезка и образует равнобедренный или равносторонний треугольник.
3. В треугольниках равнобедренного и равностороннего типов им является высота, медиана и биссектриса.

В первом случае все зависит от типа треугольника. Если он является остроугольным, то центр лежит внутри него. Для тупоугольного — во внешнем пространстве, а в прямоугольном — на середине гипотенузы.

Следует отметить, что есть формулы для его расчета. Если предположить, что существует некоторый произвольный треугольник со сторонами а, b и с. Кроме того, для них выполняется условие a >= b >= c. Исходя из полученных данных, можно записать формулы перпендикуляров (Р), проведенных к определенной стороне:

1. а: Pa = (2 * а * S) / (a^2 + b^2 — c^2).
2. b: Pb = (2 * b * S) / (a^2 + b^2 — c^2).
3. c: Pc = (2 * c * S) / (a^2 — b^2 + c^2).

Иными словами, Р является отношением удвоенного произведения стороны на площадь треугольника к сумме квадратов смежных сторон без квадрата противоположной. Кроме того, справедливы неравенства: Pa >= Pb и Pс >= Pb. Стороны — известные параметры, а вот площадь находится по некоторым соотношениям, которые выглядят следующим образом:

1. Основание и высоту, проведенную к нему: S = (1/2) * a * Ha = (1/2) * b * Hb = (1/2) * c * Hc.
2. Через радиус вписанной окружности: S = (1/2) * r * (a + b + c).
3. Формулу Герона через полупериметр (р) и без него: S = [p * (p — a) * (p — b) * (p — c)]^(1/2) и S = 1/4 * [(a + b + c) * (b + c — a) * (а + c — b) * (a + b — c)]^(1/2).

В основном по таким соотношениям и нужно определить площадь. Полупериметр вычисляется таким образом: р = (а + b + с) / 2.

Бывают задачи, в которых необходимо просто подставить значения в формулу. Они называются простейшими. Однако встречаются и сложные. К ним относятся все виды без некоторых промежуточных параметров фигуры.

Пример решения задачи

В интернете попадаются примеры решения простых задач, а сложные приходится решать самостоятельно, просить помощи у кого-нибудь или покупать на сайтах готовое решение. Для примера нужно решить задание с такими данными:

1. Прямоугольник, изображенный на рисунке 1 с диагональю равной d.
2. Серединный перпендикуляр, проведенный к диагонали прямоугольника.
3. Точка Е делит сторону на отрезки а и 2а.

Нужно найти: углы, указанные на рисунке, стороны и ОЕ. Кроме того, дополнительные данные можно узнать из чертежа, который используется для решения задачи (рис. 1). К любому заданию нужно делать графическое представление, поскольку оно позволяет избежать ошибок при вычислении

Рисунок 1. Чертеж для решения задачи.

Числовых значений нет, тогда необходимо решать в общем виде. Углы можно найти по такому алгоритму:

1. Нужно рассмотреть треугольник ВДЕ. Он является равнобедренным, поскольку ОЕ — СП, а диагональ — отрезок. Следовательно, ВЕ = ДЕ = 2а.
2. Необходимо найти угол ЕВО. Сделать это проблемно. Рекомендуется обратить внимание на треугольник АВЕ.
3. При помощи тригонометрической функции синуса можно вычислить значение угла АBE: sin(АBE) = a/2а = 0,5. Следовательно, arcsin(0,5) = 30 (градусов).
4. Угол СВЕ вычисляется следующим образом: 90 — 30 = 60 (градусов).
5. Следовательно, искомый угол равен 30, поскольку 90 — 30 — 30 = 30.
6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой: ЕДО = ЕВО = 30 (градусов).

Для нахождения сторон нужно составить уравнение в общем виде, обозначив неизвестную величину АВ литерой «х». Рассмотрев прямоугольный треугольник АВЕ, по теореме Пифагора можно вычислить АВ: x = [4a^2 + a^2]^(1/2) = a * [5]^(1/2). Следовательно, АВ = a * [5]^(1/2) и ВС = 3а. ОЕ находится по формуле: ОЕ = (2 * 2 * а * S) / (8 * a^2 — d^2). Можно править соотношение таким образом через прямоугольный треугольник ДОЕ: ОЕ = [4 * a^2 — (d^2) / 4]^(1/2).

Таким образом, нахождение серединного перпендикуляра позволяет значительно уменьшить объемы вычислений. Однако для этого нужно знать не только основные теоремы, но и его свойства.

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Комментарии преподавателя

 Уравнение прямой

Пря­мой, к при­ме­ру, яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку. Для за­да­ния пря­мой сле­ду­ет за­фик­си­ро­вать концы от­рез­ка и на­пи­сать урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, ис­поль­зуя тот факт, что се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек, рав­но­уда­лен­ных от кон­цов от­рез­ка.

Вы­ве­дем урав­не­ние пря­мой – се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра р к от­рез­ку АВ, 

Рис. 1. Урав­не­ние пря­мой

Пусть точка М(х;у) – про­из­воль­ная точка се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, тогда она рав­но­уда­ле­на от точек А и В (рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

 это урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Если точка , то ее ко­ор­ди­на­ты удо­вле­тво­ря­ют по­лу­чен­но­му урав­не­нию.

Упро­стим урав­не­ние – рас­кро­ем скоб­ки и при­ве­дем по­доб­ные сла­га­е­мые:

Обо­зна­чим:

 хотя бы одно из чисел a и b не равно 0, так как точки А и В раз­ные.

Тогда урав­не­ние пря­мой при­мет вид:

фик­си­ро­ван­ные числа. Такое урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся общим урав­не­ни­ем пря­мой.

 Частные случаи уравнения прямой

а) Вер­ти­каль­ная пря­мая (рис. 3).

Рис. 3. Вер­ти­каль­ная пря­мая

Если через точку  про­ве­сти вер­ти­каль­ную пря­мую, то есть пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси х, то ее урав­не­ние будет . Ана­ло­гич­но,  и т. д. (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Об­ра­тим вни­ма­ние на по­след­нюю пря­мую . Вся пря­мая про­ек­ти­ру­ет­ся на ось х в точку 3. На этой пря­мой много точек, но абс­цис­са каж­дой из них равна 3.

Урав­не­ние вер­ти­каль­ной пря­мой:  или  .

Урав­не­ние оси Oy.

б)             Го­ри­зон­таль­ная пря­мая (рис. 5).

Рис. 5. Го­ри­зон­таль­ная пря­мая

Если го­ри­зон­таль­ная пря­мая про­хо­дит через точку , то ее урав­не­ние , любая точка этой пря­мой имеет ор­ди­на­ту .

Урав­не­ние го­ри­зон­таль­ной пря­мой  или .

Урав­не­ние оси .

 Решение задач

За­да­ча 1.

На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки  и . Най­ди­те точки пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с осями ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние (рис. 6):

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

1. Урав­не­ние ис­ко­мой пря­мой будем ис­кать в виде: 

Пря­мая про­хо­дит через точки А и В, зна­чит, ко­ор­ди­на­ты этих точек удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию пря­мой. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

Это си­сте­ма из двух урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми, при ре­ше­нии ее будем счи­тать, что с из­вест­но.

Под­ста­вим в урав­не­ние:

 по­это­му на с можно со­кра­тить: 

2. На­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния с осями (рис. 7, 8).

точка 

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

точка 

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

За­да­ча 2.

а) На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой CD, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки C(2; 5) и D(5; 2) .

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го пря­мой CD и осями ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние (рис. 9):

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а)  ис­ко­мое урав­не­ние пря­мой. Ко­ор­ди­на­ты точек C и D под­ста­вим в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

б)             На­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния с осями ко­ор­ди­нат и пло­щадь тре­уголь­ни­ка (рис. 10):

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

 Уравнение наклонной прямой

общее урав­не­ние пря­мой.

Рас­смот­рим слу­чай 

Обо­зна­чим

и по­лу­чим урав­не­ние на­клон­ной пря­мой:

В этом урав­не­нии m – ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью y, k – уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент.

 Решение задач

Для при­ме­ра решим вто­рым спо­со­бом преды­ду­щую за­да­чу. На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой CD, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки  C(2; 5) и D(5; 2) .

Будем ис­кать урав­не­ние пря­мой в виде , ко­ор­ди­на­ты точек C и D удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию:

За­да­ча 3.

а) На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой MN, где M(0; 1), N(-4; –5).

б) В тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном пря­мой MN и осями ко­ор­ди­нат, найти длину ме­ди­а­ны OD, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны О(0;0).

Ре­ше­ние (рис. 11):

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а) Урав­не­ние пря­мой будем ис­кать в виде  Под­ста­вим в урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точек M и N:

б) Опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мой с осями ко­ор­ди­нат: точка M нам из­вест­на; ко­ор­ди­на­ты точки А опре­де­лим как ко­ор­ди­на­ты точки пе­ре­се­че­ния с осью Ох из си­сте­мы (рис. 12):

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Те­перь най­дем ко­ор­ди­на­ты точки D как се­ре­ди­ны от­рез­ка AM:

и вы­чис­лим длину от­рез­ка  OD:

Ответ: 

Решим эту же за­да­чу вто­рым спо­со­бом. Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через точки M(0; 1) и N(-4; –5), ис­поль­зуя урав­не­ние на­клон­ной пря­мой в виде . Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

За­да­ча 4.

На­пи­ши­те урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку АВ, где А(-7; 5), В(3; -1) (рис. 13).

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние:

В на­ча­ле этого урока мы вы­ве­ли урав­не­ние пря­мой как урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку, ис­поль­зуя то, что любая точка се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра рав­но­уда­ле­на от его кон­цов. Если , то .

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рас­кро­ем скоб­ки и при­ве­дем по­доб­ные члены:

Ответ: 

 Заключение

Итак, мы вы­ве­ли урав­не­ние пря­мой и ис­поль­зо­ва­ли его для ре­ше­ния про­стей­ших задач. На сле­ду­ю­щем уроке мы про­дол­жим ре­шать за­да­чи по теме «Урав­не­ние пря­мой».

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/uravnenie-pryamoy

http://www.youtube.com/watch?v=aWrWel3jDAA

http://www.mathprofi.ru/uravnenie_pryamoi_na_ploskosti.html

http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/forms_of_equation_of_line_on_plane.html

http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm