Как составить уравнение сторон треугольника по координатам его вершин?
Зная координаты вершин треугольника, можно составить уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-5;1), B(7;-4), C(3;7)
Составить уравнения сторон треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение прямой AB, проходящей через 2 точки A и B.
Для этого в уравнение прямой y=kx+b подставляем координаты точек A(-5;1), B(7;-4) и из полученной системы уравнений находим k и b:
![[left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - 5) + b; \ - 4 = k cdot 7 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{13}}{{12}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f7c412bc9ddf9bdbaf256c3a154be17_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, уравнение стороны AB
![[y = - frac{5}{{12}}x - frac{{13}}{{12}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e480e19b37aae3c93683c72cf86b9271_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2) Прямая BC проходит через точки B(7;-4) и C(3;7):
![[left{ begin{array}{l} - 4 = k cdot 7 + b; \ 7 = k cdot 3 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{61}}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e2276a816bf030af4fd509622adea24_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Отсюда уравнение стороны BC —
![[y = - frac{{11}}{4}x + frac{{61}}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b632e9324777b2188d4e9fcf4ad2483b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3) Прямая AC проходит через точки A(-5;1) и C(3;7):
![[left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - 5) + b; \ 7 = k cdot 3 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{19}}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e454eb216db2d02956856b5138b46062_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Уравнение стороны AC —
![[y = frac{3}{4}x + frac{{19}}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e227d8f9201dec70e7a2d2a24d3582c3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Задача 65941 .Составить уравнения сторон квадрата,…
Условие
.Составить уравнения сторон квадрата, если
известны координаты вершины A(0, 6) и уравнения
диагоналей AC:
5x+4y-24=0 , BD:
4x-5y-11=0 .
математика ВУЗ
1019
Решение
★
AC: 5x+4y–24=0
BD:4x–5y–11=0 .
Диагонали квадрата пересекаются в точке М
Найдем координаты точки М, решаем систему уравнений:
[m]left{begin {matrix} 5x+4y–24=0\4x–5y–11=0 end {matrix}right.[/m] ⇒
Решаем систему способом сложения.
Умножаем первое уравнение на 5, второе на 4:
[m]left{begin {matrix} 25x+20y–120=0\16x–20y–44=0 end {matrix}right.[/m]
и складываем ( т.е заменяем одно из уравнений суммой этих уравнений):
[m]left{begin {matrix} 25x+20y–120=0\41x–164=0 end {matrix}right.[/m]
[m]left{begin {matrix} 25cdot 4+20y–120=0\x=4 end {matrix}right.[/m] ⇒
[m]left{begin {matrix} y=1\x=4 end {matrix}right.[/m]
M(4:1)
M – середина АС
Применяем формулы для нахождения координат середины отрезка
Координаты точки M как середины АС
[m]x_{M}=frac{x_{A}+x_{C}}{2}[/m] ⇒ [m]x_{C}=2x_{M}-x_{A}=2cdot 4-0=8[/m]
[m]y_{M}=frac{y_{A}+y_{C}}{2}[/m] ⇒ [m]y_{C}=2y_{M}-y_{A}=2cdot 1-6=-4[/m]
Применяем свойства диагоналей квадрата:
АМ=МС=ВМ=МD
АМ=sqrt((4-0)^2+(1-6)^2)=sqrt(16+25)=sqrt(41)
ВМ=sqrt((x_(B)-0)^2+(y_(B)-6)^2) ⇒
sqrt((x_(B)-0)^2+(y_(B)-6)^2) =sqrt(41)
Возводим в квадрат:
(x_(B)-0)^2+(y_(B)-6)^2=41
Так как точка B принадлежит прямой BD, то её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
4x_(В)–5y_(В)–11=0 .
Решаем систему двух уравнений, находим координаты точки B
{(x_(B)-0)^2+(y_(B)-6)^2=41
{4x_(В)–5y_(В)–11=0 .
Аналогично находим координаты точки D
Чтобы составить уравнения сторон применяем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки
Написать комментарий
По известным координатам вершин треугольника А(4;4), В(-6;-1), С(-2;-4) записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в общем виде биссектрисы угла АВС.
Решение
Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула, от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).
1. Найдем уравнение стороны АВ. В качестве точки прямой можно взять точку А с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор АВ. Найдем координаты вектора АВ:
2. Тогда каноническое уравнение стороны АВ запишется:
3. Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны ВС: координаты вектора
4. Откуда каноническое уравнение: 
Следовательно, общее уравнение: 3x+4y+22=0.
5. Для стороны CА: координаты направляющего вектора 
6. Каноническое уравнение: 
7. Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах АВ и ВС треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b).
8. Для нахождения орта a необходимо знать координаты вектора BA:
соответственно a определится как:
9. Аналогично определим орт b:
Теперь определим их сумму:
10. Тогда каноническое уравнение биссектрисы:
Уравнение длины сторон треугольника
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 181.
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 181.
Уравнение длин сторон треугольника – это первые вкрапления высшей математики в математику школьного курса. Понимание данной тематики приближает ученика к университетскому уровню, вместе с тем делая более понятной тему функции.
Функция
Что такое функция? Это зависимость одной величины от другой. В математической функции чаще всего две неизвестных: независимая и зависимая или х и у соответственно.
Что это значит? Это значит, что х может принимать абсолютно любое значение, а у будет под него подстраиваться, меняясь в соответствии с коэффициентами функции.
Существуют ситуации, когда функция имеет несколько переменных. Зависимая у всегда 1, но факторов, которые влияют на неё может быть несколько. Не всегда такую функцию получается отразить на графике. В лучшем случае графически можно отобразить зависимость у от 2 переменных.
Как проще всего представить зависимость у(х)?
Да очень просто. Представьте себе избалованного ребенка и богатую любящую мать. Они вместе приходят в магазин и начинают клянчить конфеты. Кто знает, сколько конфет мальчик потребует сегодня?
Никто, но в зависимости от количества конфет увеличится сумма, которую мама оплатит на кассе. В этом случае, зависимой величиной является сумма в чеке, а независимой – количество конфет, которое захочет мальчик сегодня.
Очень важно понимать, что одному значению функции у, всегда соответствует 1 значение аргумента х. Но, как и с корнями квадратного уравнения, эти значения могут совпадать.
Уравнение прямой линии
Зачем нам нужно уравнение прямой, если мы говорим об уравнении длин сторон треугольника?
Да затем, что каждая из сторон треугольника это отрезок. А отрезок это ограниченная часть прямой. То есть мы можем задать уравнения прямых. А в точках их пересечения ограничить линии, тем самым обрезав прямые и превратив их в отрезки.
Уравнение прямой выглядит следующим образом:
$$y_1=a_1x+b_1$$
$$y_2=a_2x+b_2$$
$$y_3=a_3x+b_3$$
Уравнение сторон треугольника
Необходимо найти уравнение длин сторон треугольника с вершинами в точках А(3,7) ; В(5,3); С(12;9)
Все координаты положительны, значит, треугольник будет расположен в 1 координатной четверти.
Поочередно составим уравнения каждой из линий треугольника.
- Первой будет линия АВ. Координаты точек подставим в уравнение прямой на место х и у. Таким образом мы получим систему из двух линейных уравнений. Решив ее можно найти значение коэффициентов для функции:
А(3,7) ; В(5,3):
7=3а+b
3=5a+b
Из первого уравнения выразим b и подставим во второе.
b=7-3a
3=5a+7-3a
2a=-4
a=-2
Подставим значение а и найдем b.
b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13
Составим уравнение прямой.
у=-2х+13
- Аналогично составим два оставшихся уравнения.
В(5,3); С(12;9)
3=5а+b
9=12a+b
b=3-5a
9=12a+b=12a+3-5a
9=7a+3
7a=6
$$a={6over7}$$
$$b=3-5*{6over7}=-{9over7}$$
$$y={6over7}x-{9over7}$$
- А(3,7) ; С(12;9)
7=3а+b
9=12a+b
b=7-3a
9=12a+b=12a+7-3a=9a+7
9a=2
$$a={2over9}$$
$$b=7-{6over9}={57over9}$$
$$y={2over9}x+{57over9}$$
- Запишем уравнение длин сторон треугольника:
у=-2х+13
$$y={6over7}x-{9over7}$$
$$y={2over9}x+{57over9}$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое функция, поговорили у функции прямой линии и научились выводить уравнения сторон треугольника по координатам его вершин.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 181.
А какая ваша оценка?
