Как составить уравнение сторон треугольника через уравнения медиан

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

составьте уравнения сторон треугольника зная одну из его вершин A(-1,2) и уравнения двух медиан x-y-3=0 и 5x+4y-9=0 решение

математика ВУЗ
812

Найдем точку пересечения медиан
{x–y–3=0 ⇒ х=у+3
{5x+4y–9=0 ⇒ 5*(y+3)+4y-9=0 ⇒ 9y=-6 ⇒ y=-2/3; x=(-2/3)+3=7/3

M(7/3; -2/3)

Составим уравнение третьей медианы АМ как прямой, проходящей через две точки

A (x_(A);y_(A)) и M (x_(M);y_(M)) и имеет вид:

[m]frac{x-x_{A}}{x_{M}-x_{A}}=frac{y-y_{A}}{y_{M}-y_{A}}[/m]

[m]frac{x-(-1)}{frac{7}{3}-(-1)}=frac{y-2}{-frac{2}{3}-2}[/m] ⇒[m]frac{x+1}{frac{10}{3}}=frac{y-2}{-frac{8}{3}}[/m]

пропорция
[m]-frac{8}{3}(x-1)=frac{10}{3}(y-2)[/m]

[m]-8x+8=10y-20[/m]

[m]8x+10y-28=0[/m]

[m]4x+5y-14=0[/m]

Медиана АМ проходит через точку F- середину отрезка BC
[m]4x_{F}+5y_{F}-14=0[/m]

[m]x_{F}=frac{x_{B}+x_{C}}{2}[/m]

[m]y_{F}=frac{y_{B}+y_{C}}{2}[/m]

Пусть точка C принадлежит первой медиане х=у+3 , точка B принадлежит второй медиане 5x+4y–9=0

[m]х_{C}=у_{C}+3[/m]
[m]5x_{B}+4y_{B}–9=0[/m]

Решаем систему уравнений:

[m]left{begin {matrix}4x_{F}+5y_{F}-14=0\x_{F}=frac{x_{B}+x_{C}}{2}\y_{F}=frac{y_{B}+y_{C}}{2}\х_{C}=у_{C}+3\5x_{B}+4y_{B}–9=0end {matrix}right.[/m]

[m]left{begin {matrix}x_{F}frac{14-5y_{F}}{4}\frac{14-5y_{F}}{4}=frac{x_{B}+x_{C}}{2}\y_{F}=frac{y_{B}+y_{C}}{2}\х_{C}=у_{C}+3\5x_{B}+4y_{B}–9=0end {matrix}right.[/m]

Находим координаты точек B и С

Составляем уравнения сторон

Источник

210

Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3;
-3), M₅(3; -1), M₆(-2; 1) лежат
на прямой

и какие на ней не лежат. 211 Точки P₁,
P₂, P₃, P₄, P₅ расположены
на прямой

; их абсциссы соответственно равны
числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек. 212 Точки Q₁,
Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ расположены
на прямой

; их ординаты соответственно равны
числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек. 213 Определить точки
пересечения прямой

с координатными
осями и построить эту прямую на чертеже. 214 Найти точку
пересечения двух прямых

. 215 Стороны АВ, ВС и АС
треугольника АВС даны соответственно
уравнениями

. Определить
координаты его вершин. 216 Даны уравнения двух
сторон параллелограмма

и уравнение одной из
его диагоналей

.
Определить координаты вершин
этого параллелограмма. 217 Стороны
треугольника лежат на прямых

. Вычислить его площадь S. 218 Площадь
треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2),
В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой

. Определить координаты вершины С. 219 Площадь
треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2;
-3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на
прямой

.
Определить координаты третьей
вершины С. 220 Составить
уравнение прямой и построить прямую на чертеже,
зная ее угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый ею на оси Oy: 220.1 k=2/3, b=3; 220.2 k=3, b=0; 220.3 k=0, b=-2; 220.4 k=-3/4, b=3; 220.5 k=-2, b=-5; 220.6 k=-1/3, b=2/3. 221 Определить угловой
коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для
каждой из прямых: 221.1

; 221.2

; 221.3

; 221.4

; 221.5

. 222 Дана прямая

. Определить угловой коэффициент k
прямой: 222.1 Параллельной
данной прямой; 222.2 Перпендикулярно к
данной прямой. 223 Дана прямая

. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку М₀(2; 1): 223.1 Параллельно данной
прямой; 223.2 Перпендикулярно
данной прямой. 224 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника

и одна из его вершин
А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон
этого прямоугольника. 225 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника

и уравнение одной из
его диагоналей

.
Найти вершины прямоугольника. 226 Найти проекцию
точке Р(-5; 13) относительно прямой

. 227 Найти точку Q,
симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой

. 228 В каждом из
следующих случаев составить уравнение прямой,
параллельной двум данным прямым и проходящей
посередине между ними: 228.1

; 228.2

; 228.3

; 228.4

; 228.5

. 229 Вычислить угловой
коэффициент k прямой, проходящей через две данные
точки: 229.1 M₁(2;
-5), M₂(3; 2); 229.2 P(-3, 1), Q(7; 8); 229.3 A(5; -3), B(-1; 6). 230 Составить
уравнения прямых, проходящих через вершины
треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно
противоположным сторонам. 231 Даны середины
сторон треугольника M₁(2; 1), M₂(5;
3), M₃(3; -4). Составить
уравнение его сторон. 232 Даны две точки P(2; 3),
Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей
через точку Q перпендикулярно к отрезку

. 233 Составить
уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала
координат на эту прямую. 234 Даны вершины
треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1),
M₃(3; 2). Составить уравнения
его высот. 235 Стороны
треугольника даны уравнениями

. Определить точку пересечения его
высот. 236 Даны вершины
треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
А на медиану, проведенную из вершины В. 237 Даны вершины
треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
С на биссектрису внутреннего угла при вершине А. 238 Составить
уравнения сторон и медиан треугольника с
вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0). 239 Через точки M₁(-1; 2), M₂(2; 3) проведена
прямая. Определить точки пересечения этой прямой
с осями координат. 240

Доказать,
что условие, при котором три точки M₁(x₁,
y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃,
y₃) лежат на одной прямой,
может быть записано в следующем виде:

241

Доказать,
что уравнение прямой, проходящей через две
данные точки M₁(x₁, y₁),
M₂(x₂, y₂), может
быть записано в следующем виде:

242 Даны
последовательные вершины выпуклого
четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6).
Определить точку пересечения его диагоналей. 243 Даны две смежные
вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3;
0) пересечения его диагоналей. Составить
уравнения сторон этого параллелограмма. 244 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника

и уравнение его
диагонали

. Составить уравнения остальных
сторон и второй диагонали этого прямоугольника. 245 Даны вершины
треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить
уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего
углов при вершине А. 246 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на
одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15). 247 Найти проекцию
точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2;
-3), B(-5; 1). 248 Найти точку M₁, симметричную точке М₂(8;
-9) относительно прямой,
проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2). 249 На оси абсцисс
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей. 250 На оси ординат
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей. 251 На прямой

найти такую точку Р, сумма
расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы
наименьшей. 252 На прямой

найти такую точку Р, разность
расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы
наибольшей. 253 Определить угол

между двумя прямыми: 253.1

; 253.2

; 253.3

; 253.4

. 254 Дана прямая

. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку M₀(2; 1) под углом 45⁰ к данной прямой. 255 Точка А(-4; 5)
является вершиной квадрата, диагональ которого
лежит на прямой

. Составить
уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата. 256 Даны две
противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2).
Составить уравнения его сторон. 257 Точка E(1; -1) является
центром квадрата, одна из сторон которого лежит
на прямой

. Составить уравнения
прямых, на которых лежат остальные стороны этого
квадрата. 258 Из точки M₀(-2; 3) под углом

к оси
Ox направлен луч света. Известно, что

. Дойдя
до оси Ox, луч от нее отразился. Составить
уравнения прямых, на которых лежат падающий и
отраженный лучи. 259 Луч света направлен
по прямой

, луч от нее отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит
отраженный луч. 260 Даны уравнения
сторон треугольника

. Доказать, что этот треугольник
равнобедренный. Решить задачу при помощи
сравнения углов треугольника. 261 Доказатть, что
уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) параллельно
прямой

, может быть записано в виде

. 262 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2: -3) параллельно
прямой: 262.1

; 262.2

; 262.3

; 262.4

; 262.5

. 263 Доказать, что
условие перпендикулярности прямых

;

может быть записано
в следующем виде:

. 264 Установить, какие
из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых. 264.1

; 264.2

; 264.3

; 264.4

; 264.5

; 264.6

. 265

Доказать,
что формула для определения угла между
прямыми , может
быть записана в следующей форме:

266 Определить угол

, образованный двумя прямыми. Решить
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых. 266.1

; 266.2

; 266.3

. 267 Даны две вершины
треугольника M₁(-10; 2), M₂(6; 4);
его высоты пересекаются в точке
N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M₃. 268 Даны две вершины A(3;
-1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения
его высот. Составить уравнения сторон этого
треугольника. 269 В треугольнике АВС
даны: уравнение стороны АВ:

, уравнения
высот АМ:

и BN:

. Составить уравнения двух
других сторон и третьей высоты этого
треугольника. 270 Составить
уравнения сторон треугольника АВС, если даны
одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан

. 271 Составить
уравнения сторон треугольника, сли даны одна из
его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот

. 272 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис

. 273 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин B(2; 6), а также уравнения высоты

и
биссектрисы

, проведенных из одной вершины. 274 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -1), а также уравнения высоты

и биссектрисы

, проведенных из
различных вершин. 275 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; -1), а также уравнения высоты

и медианы

, проведенной из
одной вершины. 276 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -7), а также уравнения высоты

и медианы

, проведенных из
различных вершин. 277 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы

и медианы

, проведенных из
одной вершины. 278 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы

и медианы

, проведенных из
различных вершин. 279 Составить
уравнение прямой, которая проходит черезначало
координат и вместе с прямыми

образует
треугольник с площадью, равной 1,5. 280 Среди прямых,
проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок
которой, заключенный между прямыми

, делится в точке Р
пополам. 281 Через точку Р(-3; -1)
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
отрезок каждой из них, заключенный между прямыми

, делится
в точке Р пополам. 282 Через точку Р(0; 1)
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
среди них нет прямой, отрезок которой,
заключенный между прямыми

, делился бы в точке Р
пополам. 283 Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, зная, что длина ее отрезка,
заключенного между прямыми

, равна

. 284 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4),
зная, что длина ее отрезка, заключенного между
прямыми

, равна 5.

Источник

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

1) По формулам координат середины отрезка

$[x_{A_1 } = frac{{x_B + x_C }}{2} = frac{{6 + ( - 3)}}{2} = 1,5;]$

$[y_{A_1 } = frac{{y_B + y_C }}{2} = frac{{ - 3 + ( - 7)}}{2} = - 5.]$

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

$[left{ begin{array}{l} 1 = k cdot 3 + b; \ - 5 = k cdot 1,5 + b. \ end{array} right.]$

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

$[x_{B_1 } = frac{{x_A + x_C }}{2} = frac{{3 + ( - 3)}}{2} = 0;]$

$[y_{B_1 } = frac{{y_A + y_C }}{2} = frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3.]$

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

$[x_{C_1 } = frac{{x_A + x_B }}{2} = frac{{3 + 6}}{2} = 4,5;]$

$[y_{C_1 } = frac{{y_A + y_B }}{2} = frac{{1 + ( - 3)}}{2} = - 1.]$

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

$[left{ begin{array}{l} - 7 = k cdot ( - 3) + b; \ - 1 = k cdot 4,5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = 0,8;b = - 4,6.]$

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Источник

Раздел V.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И В ПРОСТРАНСТВЕ

В раздел включены
задачи, которые рассматриваются в теме
«Аналитическая геометрия на плоскости
и в пространстве»: составление различных
уравнений прямых на плоскости и в
пространстве; определение взаимного
расположения прямых на плоскости,
прямых, прямой и плоскости, плоскостей
в пространстве; изображение кривых
второго порядка. Необходимо отметить,
что в данном разделе представлены задачи
экономического содержания, при решении
которых применяются сведения из
аналитической геометрии на плоскости.

При решении задач
аналитической геометрии целесообразно
воспользоваться учебными пособиями
следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш.
Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина,
т.к. в данной литературе рассматривается
более широкий круг задач, которые можно
использовать для самостоятельной
подготовки по данной теме. Применение
аналитической геометрии к решению
экономических задач изложено в учебных
изданиях М.С. Красса и В.И. Ермакова.

Задача 5.1. Даны
координаты вершин треугольника АВС.
Необходимо

а) написать
уравнения сторон треугольника;

б) написать
уравнение высоты треугольника проведенной
из вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину;

в) написать
уравнение медианы треугольника,
проведенной из вершины В
к стороне АС;

г) найти углы
треугольника и установить его вид
(прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный);

д) найти длины
сторон треугольника и определить его
тип (разносторонний, равнобедренный,
равносторонний);

е) найти координаты
центра тяжести (точка пересечения
медиан) треугольника АВС;

ж) найти координаты
ортоцентра (точка пересечения высот)
треугольника АВС.

К каждому из
пунктов а) – в) решения сделать рисунки
в системе координат. На рисунках
обозначить соответствующие пунктам
задачи линии и точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

7)
;

8)
;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)

;

4)
;

5)
;

6)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30).

Пример 5.1

Даны координаты
вершин треугольника АВС:

.
Необходимо а) написать уравнения сторон
треугольника; б) написать уравнение
высоты треугольника проведенной из
вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину; в) написать уравнение
медианы треугольника, проведенной из
вершины В
к стороне АС;
г) найти длины сторон треугольника и
определить его тип (разносторонний,
равнобедренный, равносторонний); д)
найти углы треугольника и установить
его вид (прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный); е) найти координаты центра
тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС;
ж) найти координаты ортоцентра (точка
пересечения высот) треугольника АВС.

Решение

а)
Для каждой стороны треугольника известны
координаты двух точек, которые лежат
на искомых линиях, значит уравнения
сторон треугольника – уравнения прямых,
проходящих через две заданные точки

(5.1)

где

и

соответствующие координаты точек.

Таким образом,
подставляя в формулу (5.1) координаты
соответствующих прямым точек получаем

,
,
,

откуда после
преобразований записываем уравнения
сторон

На рис. 7 изобразим
соответствующие сторонам треугольника

прямые.

Ответ:

,
,
.

Рис. 7

б)
Пусть

– высота, проведенная из вершины

к стороне
.
Поскольку

проходит через точку

перпендикулярно вектору
,
то составим уравнение прямой по следующей
формуле

(5.2)

где

– координаты вектора перпендикулярного
искомой прямой,

– координаты точки, принадлежащей этой
прямой. Найдем координаты вектора,
перпендикулярного прямой
,
и подставим в формулу (5.2)

,
,

Найдем длину высоты
CH
как расстояние от точки

до прямой

(5.3)

где

– уравнение прямой
,

– координаты точки
.

В предыдущем пункте
было найдено

Подставив данные
в формулу (5.3), получим

На рис. 8 изобразим
треугольник и найденную высоту СН.

Ответ:

.

Рис.
8

в)
медиана

треугольника

делит сторону

на две равные части, т.е. точка

является серединой отрезка
.
Исходя из этого, можно найти координаты

точки

,
,

(5.4)

где

и

– координаты соответственно точек

и
,
подставив которые в формулы (5.4), получим

;
.

Уравнение медианы

треугольника

составим как уравнение прямой, проходящей
через точки

и

по формуле (5.1)

Ответ:

(рис. 9).

Рис.
9

г)
Длины сторон треугольника найдем как
длины соответствующих векторов, т.е.

,
,
.

Стороны

и

треугольника

равны, значит, треугольник является
равнобедренным с основанием
.

Ответ:
треугольник

равнобедренный с основанием
;

,
.

д)
Углы треугольника

найдем как углы между векторами,
исходящими из соответствующих вершин
данного треугольника, т.е.

,
,
.

Поскольку треугольник
равнобедренный с основанием
,
то

Углы между векторами
вычислим по формуле (4.4), для которой
потребуются скалярные произведения
векторов
,
.

Найдем координаты
и модули векторов, необходимых для
вычисления углов

,
;

,
,
.

Подставляя
найденные данные в формулу (4.4), получим

Поскольку значения
косинусов всех найденных углов
положительны, то треугольник

является остроугольным.

Ответ:
треугольник

остроугольный;

,
,
.

е)
Пусть

– центр тяжести треугольника
,
тогда координаты

точки

можно найти, по формулам (5.5)

,
,

(5.5)

где
,

и

– координаты соответственно точек
,

и
,
следовательно,

,
.

Ответ:

– центр тяжести треугольника
.

ж) Пусть

– ортоцентр треугольника
.
Найдем координаты точки

как координаты точки пересечения высот
треугольника. Уравнение высоты

было найдено в пункте б).
Найдем уравнение высоты
:

,
,

Поскольку
,
то решение системы

является координатами
точки
,
откуда находим
.

Ответ:

– ортоцентр треугольника
.

Задача 5.2.
Фиксированные издержки на предприятии
при выпуске некоторой продукции
составляют F
руб. в месяц, переменные издержки – V₀
руб. за
единицу продукции, при этом выручка
составляет R₀
руб. за единицу изготовленной продукции.
Составить функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

8)
;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30)
.

Пример 5.2

Фиксированные
издержки на предприятии при выпуске
некоторой продукции составляют

руб. в месяц, переменные издержки –

руб. за единицу
продукции, при этом выручка составляет

руб. за единицу
изготовленной продукции. Составить
функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные
издержки на производстве при выпуске
q
единиц некоторой продукции

Если будет продано
q
единиц продукции, то совокупный доход
составит

Исходя из полученных
функций совокупного дохода и совокупных
издержек, найдем функцию прибыли

Точка
безубыточности – точка, в которой
прибыль равна нулю, или точка, в которой
совокупные издержки равны совокупному
доходу

откуда находим

– точка безубыточности.

Для построения
графика (рис. 10) функции прибыли найдем
еще одну точку

Рис. 10

Ответ:
функция прибыли
,
точка безубыточности
.

Задача 5.3. Законы
спроса и предложения на некоторый товар
соответственно определяются уравнениями
p=p_D(q),
p=p_S(q),
где p
– цена на товар, q
– количество товара. Предполагается,
что спрос определяется только ценой
товара на рынке p_С,
а предложение – только ценой p_S,
получаемой поставщиками. Необходимо